Сумма геометрической прогрессии конечной: Сумма членов конечной геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а знаменатель положителен, равна 21/16,…

111. Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же отличное от нуля число , где – знаменатель прогрессии: ().

Общий вид геометрической прогрессии:

:: ; ; ; …; ; …

Геометрическая прогрессия является возрастающей при и убывающей при .

Например, :: 2; 6; 18; 54; …; – возрастающая прогрессия; :: 250; 50; 10; …; – убывающая прогрессия.

Если заданы первый член и знаменатель , то -й член геометрической прогрессии определяют по формуле:

.

Сумму первых членов Геометрической прогрессии находят по формуле: .

Свойства геометрической прогрессии.

1. Квадрат каждого среднего члена прогрессии равен произведению равноотстоящих от него членов:

; ().

2. В конечной геометрической прогрессии произведения двух членов, равноотстоящих от ее концов, равны между собой и равны произведению крайних членов:

:: ; ; ; . ..; ; ; …; ; ;

.

Пример 7. Найдите первый и последний члены геометрической прогрессии, которая состоит из четырех членов, если и .

Решение. Подставим исходные данные в формулу:

.

Найдем по формуле и получим: .

Ответ. и .

Пример 8. В геометрической прогрессии (): . Найдите сумму восьми первых членов прогрессии .

Решение. ; ; , тогда запишем исходную систему так: .

Разделим почленно второе уравнение на первое. Получим:

.

Найдем из первого уравнения системы: .

По формуле для суммы найдем: .

Ответ. .

Пример 9. Шесть чисел составляют геометрическую прогрессию. Сумма первых трех чисел равна 168, а сумма последних трех чисел равна 21. Найдите эти числа.

Решение. Из условия задачи составим систему уравнений:

Найдем , для этого разделим первое уравнение на второе: .

Найдем из первого уравнения: .

Ответ. 96; 48; 24; 12; 6; 3.

Пример 10. Найдите сумму , .

Решение. По условию задания можно сделать вывод о том, что: – это геометрическая прогрессия. Найдем первый член прогрессии, знаменатель и общее количество ее членов: ; ; . Тогда .

Ответ. .

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия – это такая бесконечная геометрическая прогрессия (), у которой знаменатель .

Сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии находят по формуле:

.

Пример 11. Запишите периодическую дробь 0,4545…=0,(45) как обыкновенную.

Решение. Запишем периодическую дробь в виде бесконечной суммы обыкновенных дробей: .

Слагаемые представляют собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем и первым членом , а полученная сумма – это сумма этой прогрессии.

Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, получим: .

Ответ. .

Пример 12. Найдите бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, если , а сумма .

Решение. Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии найдем:

.

Ответ. :: ; ; ; …

Пример 13. Найдите бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, если ее сумма равна , а сумма ее первых четырех членов равна .

Решение. Из условия задачи запишем систему:

.

Подставим правую часть первого уравнения во второе уравнение:

И .

Тогда найдем два значения :

1) ; 2) .

Ответ. 1) :: ; ; ; ; …; 2) :: ; ; ; ; … .

Пример 14. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии , а сумма квадратов всех ее членов . Найти четвертый член прогрессии.

Решение. Найдем знаменатель прогрессии, которая состоит из квадратов членов: ; ; ; …; ; … : .

Тогда составим систему уравнений: .

Возведем первое уравнение в квадрат: .

Разделим второе уравнение системы на первое:

Тогда ; .

Ответ. .

< Предыдущая		Следующая >

Сумма первых N членов конечной геометрической прогрессии Калькулятор

✖Первый член конечной GP — это значение, соответствующее первому члену конечной геометрической прогрессии.ⓘ Первый срок конечного GP [a]			+10% -10%
✖Общее отношение конечной GP — это отношение любого члена к предыдущему члену геометрической прогрессии, в которой не существует бесконечной суммы членов.ⓘ Общий коэффициент конечного GP [r]			+10% -10%
✖Номер индекса n-го члена конечной ГП — это значение n для n-го члена или положение n-го члена в конечной геометрической прогрессии.ⓘ Номер индекса n-го члена конечной ГП [n]			+10% -10%

✖Сумма первых N членов конечной ГП — это сумма членов, начиная с первого по n-й член данной конечной геометрической прогрессии. ⓘ Сумма первых N членов конечной геометрической прогрессии [Sn]

⎘ копия

👎

Формула

сбросить

👍

Сумма первых N членов конечной геометрической прогрессии Решение

ШАГ 0: Сводка предварительного расчета

ШАГ 1. Преобразование входов в базовый блок

Первый срок конечного GP: 3 —> Конверсия не требуется
Общий коэффициент конечного GP: 2 —> Конверсия не требуется
Номер индекса n-го члена конечной ГП: 4 —> Конверсия не требуется

ШАГ 2: Оцените формулу

ШАГ 3: Преобразуйте результат в единицу вывода

45 —> Конверсия не требуется

< 2 Конечная геометрическая прогрессия Калькуляторы

Сумма первых N членов конечной геометрической прогрессии формула

Сумма первых N членов конечной ЗП = (Первый срок конечного GP*((Общий коэффициент конечного GP^Номер индекса n-го члена конечной ГП)-1))/(Общий коэффициент конечного GP-1)
S_n = (a*((r^n)-1))/(r-1)

Что такое геометрическая прогрессия?

В математике геометрическая прогрессия или просто GP, также известная как геометрическая последовательность, представляет собой последовательность чисел, в которой каждый член после первого находится путем умножения предыдущего на фиксированное действительное число, называемое обыкновенным отношением. Например, последовательность 2, 6, 18, 54,… является геометрической прогрессией со знаменателем 3. Если сумма всех членов прогрессии является конечным числом или если существует бесконечная сумма прогрессии, то мы скажем, это бесконечная геометрическая прогрессия или бесконечная GP. А если бесконечной суммы прогрессии не существует, то это конечная геометрическая прогрессия или конечная ВП. Если абсолютное значение общего отношения больше 1, то ЗП будет Конечным ЗП, а если оно меньше 1, то ЗП будет Бесконечным ЗП.

Share

Copied!

геометрия — Визуальная интуиция для суммы КОНЕЧНОГО геометрического ряда

спросил 3 года 9 месяцев назад

Изменено 9 месяцев назад

Просмотрено 1к раз

$\begingroup$

Меня интересуют интуитивные визуальные объяснения суммы конечного геометрического ряда.

Я знаю, что есть несколько довольно «интуитивных» объяснений (в том числе и на этом сайте) , но я не видел ни одного визуального интуитивного понимания.

Если кто-нибудь знает о них и поделится ими, я был бы очень признателен!

Спасибо!

---

Конечный геометрический ряд . Все ответы до сих пор относились к бесконечному случаю.

Спасибо!

• последовательности и серии
• геометрия
• суммирование
• мягкий вопрос
• интуиция

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Вот еще одно доказательство (скопировано с блестящего.org) бесконечного ряда, но для произвольного $r<1$. Интересно, можно ли его адаптировать для конечного случая, если подумать о такой трапеции вместо треугольника...

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Если кто-то выживет, ограничиваясь только натуральными числами, предлагаю иллюстрацию с помощью деревьев.

Каждому из $n$ членов геометрического ряда со знаменателем $r$ соответствует уровень в (совершенном) $r$-арном дереве $T_n$. Сумма $s$ определяется количеством узлов в $T_n$.

Основная идея приходит из сравнения $T_n$ с $T_{n+1}$, т.е. сравнения ряда из $n$ и $n+1$ терминов: 9{n+1}-1}{r-1}$

Итого , рассматривая следующий член ряда, вы увеличиваете свою сумму на известную величину (шаг 2), что соответствует умножению оригинала на известную величину (шаг 3).

$\endgroup$

$\begingroup$

Смотрите эти изображения:

Это графическое объяснение суммы геометрической прогрессии отношения $\frac{1}{2}$.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Нарисуйте отрезок длиной в одну единицу.

Галочка в первой трети слева.

С правой стороны отметьте первую треть слева.

С правой стороны отметьте первую треть слева.

С правой стороны отметьте первую треть слева.

…

Когда вы закончите, у вас будет бесконечная сумма для $a=\frac13,r=\frac23$. 94$$.

Теперь представьте себе прямоугольник со сторонами 1 и 2 . Теперь возьмите еще два таких прямоугольника и поставьте их на соседние позиции, они образуют большой прямоугольник со сторонами 2 и 2 . Теперь снова возьмите два больших прямоугольника, чтобы повторить процесс до 4 раз. (См. схему). Теперь все, что вам нужно, это найти общую площадь этих прямоугольников. Здесь у двух последовательных прямоугольников одна сторона общая, а площадь в два раза больше.

Теперь давайте сделаем еще один шаг и нарисуем следующий прямоугольник, площадь которого будет в два раза больше предыдущего. Теперь мы хотим проверить, больше или меньше эта площадь, чем S. 95-2=32-2=30}$$

Когда вы думаете об обобщении этого метода, нам нужно на $\color{red}{k}$ больше предыдущих прямоугольников. Или мы должны разделить эту область на один шаг дальше на k частей, и мы будем использовать 1 часть, чтобы снова скрыть, поэтому у нас есть k-1 частей для разделения, и в конечном итоге мы останемся с наименьшим прямоугольником. Значит, площадь равна k-1 раз.

$$ S(k-1)=A_{n+1}-A_1$$

$\endgroup$

$\begingroup$

Метод треугольника/трапеции, вероятно, является наиболее традиционным, однако существует еще один метод, основанный на его упрощении. 9n$$

Я полагаю, что кто-то уже придумал этот точный метод, однако я не смог найти аналогичный метод нигде в Интернете.

$\endgroup$

7.4.1: Суммы конечного геометрического ряда

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

14795

Нахождение суммы конечного геометрического ряда

Вы копите деньги на летний лагерь. Вы вносите 100 долларов первого числа каждого месяца на свой сберегательный счет. Счет растет со скоростью 0,5% в месяц. Сколько денег на вашем счету в первый день 9 ^числа месяца?

---

Сумма конечного геометрического ряда

Мы обсудили, как использовать калькулятор для нахождения суммы любого ряда при условии, что мы знаем n 9{п-1}\).

Наконец, решим следующую задачу.

Первого числа каждого года Чарли вносит 1000 долларов на свой инвестиционный счет. Счет растет со скоростью 8% в год. Сколько денег на счету в первый день 11 ^-го года.

Сначала рассмотрим, что здесь происходит в первый день каждого года. В первый день первого года вносится 1000 долларов. В первый день второго года вносится 1000 долларов, а ранее внесенные 1000 долларов приносят 8% годовых или увеличиваются в 1,08 раза (108%). В первый день третьего года вносится еще 1000 долларов, депозит предыдущего года приносит 8% годовых, а первоначальный депозит приносит 8% годовых на два года (мы умножаем на 1,08 9). 0200 2 ):

Сумма за год 1: 1000

Сумма за год 2: 1000 + 1000(1,08)

Сумма за год 3: 1000 + 1000(1,08) + 1000(1,08) 9 0200 2

Сумма Год 4: 1000 + 1000(1,08) + 1000(1,08) ² + 1000(1,08) ³

\(\ \четверка\четверка\четверка\четверка\)⋮

Сумма Год 11: 1 000 + 1000 (1,08) + 1000(1,08) ² + 1000(1,08) ³ + … + 1000(1,08) ⁹ + 1000(1,08) ¹⁰

∗ В этом ряду 11 слагаемых, потому что в первый день 11 9{11}\right)}{1-1.08}=16645,48746 \приблизительно \$ 16 645,49\)

---

Примеры

Пример 1

9 ^-й месяц.

Решение

В этой серии 9 терминов, потому что в первый день 9 ^-го месяца вы вносите свой последний депозит, а первоначальный депозит приносит проценты в течение 8 месяцев.

Эта серия геометрическая. Первый член равен 100, обыкновенное отношение равно 1,005 и n = 9.{n-1}\)

Пример 4

Первого числа каждого месяца Сэм вносит 50 долларов на счет, который ежемесячно приносит 0,5% годовых. {48},\\
\quad \uparrow \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ quad\quad\quad\quad\quad\uparrow\\
\text {последний депозит} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad \text { первый депозит }
\end{aligned}\)

Обратите внимание, что на первый депозит начисляются проценты в течение 48 месяцев, а на последний депозит проценты не начисляются. Теперь мы можем найти сумму, используя \(\ a_{1}=50\), \(\ r=1,005\) и \(\ n=49{7} a_{n}=-\frac{63}{2}\) и \(\ r=-\frac{1}{2}\)

Решите следующие текстовые задачи, используя формулу суммы геометрического ряда.

14. Бабушка и дедушка Сапны вносят 1200 долларов на сберегательный счет колледжа в день ее ^{-го дня рождения 5  года. Они продолжают вносить этот депозит на день рождения каждый год, пока не сделают последний депозит в день ее рождения 18   года. Если счет приносит 5% годовых, сколько остается после окончательного депозита?}
15. Джереми хочет накопить 10 000 долларов за пять лет. Если он вносит ежегодные депозиты первого числа каждого года и на счете зарабатывается 4,5% годовых, сколько он должен вносить каждый год, чтобы иметь 10 000 долларов на счете после окончательного депозита первого из 6
    -й год. Округлите ответ до ближайших 100 долларов.

---

Ответы на проблемы с обзором

Чтобы просмотреть ответы на обзор, откройте этот PDF-файл и найдите раздел 11.10.

---

Словарь

Срок	Определение
индукция	Индукция — это метод математического доказательства, обычно используемый для установления того, что данное утверждение верно для всех положительных целых чисел.
серия	Серия — это сумма членов последовательности. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт