Модуль числа с x: Уравнения с модулями. Модули

1.2 Решение линейных уравнений с модулем

Для начала, стоит вспомнить, что такое модуль числа. Итак, абсолютной величиной или модулем числа называется само число х, если х положителен, число (-х), если х отрицателен, или нуль, если х=0. Значение модуля может быть только положительным.

Чтобы понять решение параметрических уравнений, содержащих знак модуля, лучше всего продемонстрировать решение наглядно, т.е. привести примеры:

Пример 1. Решить уравнение |x-2|=b.

Так как, по определению модуля, |x-2| , то при b<0 данное уравнение решений не имеет. Если b=0, то уравнение имеет решение х=2.

Если b>0, то решениями уравнения являются числа x=2+b и x=2-b.

Ответ: при b<0 решений нет, при b=0 х=2, при b>0 х=2+b и x=2-b.

Пример 2. Решить уравнение |x-a|=|x-4|. Удобнее всего данное уравнение решить методом интервалов, для двух случаев:

a ;

4 .

1. Первый интервал:

    ;

Второй интервал:

    , т. е. если а<4, то  .

Третий интервал:

 а=4, т.е. если а=4, то  .

2. Первый интервал:

 а=4,  .

В торой интервал:

     a>4,т.е. если 4<а, то 

Третий интервал:

   

Ответ: при а=4 х-любое;, при а<4  .

Пример 3. Для каждого значения параметра а найти все значения х, удовлетворяющие уравнению |x+3|– a| x – 1| =4.

Рассмотрим 3 промежутка: 1)  , 2)  , 3)   и решим исходное уравнение на каждом промежутке.

1.  ,  .

При а=1 уравнение не имеет решений, но при а 1 уравнение имеет корень  . Теперь надо выяснить, при каких а х попадает на промежуток x< – 3, т.е.  ,  ,  ,  . Следовательно, исходное уравнение на x< – 3 имеет один корень   при  , а на остальных а корней не имеет.

2.  .  .

При а= – 1 решением уравнения является любое х; но мы решаем на промежутке  . Если а 1, то уравнение имеет один корень х=1.

3.  .  .

При а=1 решением является любое число, но мы решаем на  .

Если а 1, то х=1.

Ответ: при    ; при а= – 1   и при а 1 х=1; при а=1   и при а 1 х=1.

1.3 Решение квадратных уравнений с параметром

Для начала напомню, что квадратное уравнение – это уравнение вида  , где а, b и с – числа, причем, а 0.

Условия параметрических квадратных уравнений могут быть различны, но для решений всех их нужно применять свойства обыкновенного квадратного уравнения  :

а) Если D>0, а>0, то уравнение имеет два действительных различных корня, знаки которых при с>0 одинаковые и противоположны по знаку коэффициента b, а при с<0, причем по абсолютной величине больше тот, знак которого противоположен коэффициенту b.

б) Если D=0, а>0, то уравнение имеет два действительных и равных между собой корня, знак которых противоположен знаку коэффициента b.

в) Если D<0, а>0, то уравнение не имеет действительных корней.

Аналогично можно представить свойства корней при а<0. Кроме того, в квадратных уравнениях справедливы следующие утверждения:

Если поменять местами коэффициенты а и

с, то корни полученного квадратного уравнения будут обратны корням данного.

Если поменять знак коэффициента b, корни полученного квадратного уравнения будут противоположны корням данного.

Если коэффициенты а и с разных знаков, то уравнение имеет действительные корни.

Пример1. Найти все значения параметра а, для которых квадратное уравнение  : а) имеет два различных корня; б) не имеет корней; в) имеет два равных корня.

Данное уравнение по условию является квадратным, поэтому а -1. Рассмотрим дискриминант данного уравнения:

При а>-1 уравнение имеет два различных корня, т.к. D>0, при a<-1 уравнение корней не имеет, т.к. D<0, а двух одинаковых корней это уравнение иметь не может, т.к. D=0 при а=-1, а это противоречит условию задачи.

Пример2. Решить уравнение 

При а=0 уравнение является линейным 2х+1=0, которое имеет единственное решение х=-0.5. А при а 0, уравнение является квадратным и его дискриминант D=4-4a.

При а>1 D<0 поэтому уравнение корней не имеет. При а=1 D=0, поэтому уравнение имеет два совпадающих корня  =-1.

При a<1, но а 0, D>0 и данное уравнение имеет два различных корня

 ;  .

Ответ:   и   при a<1, но а 0; х=-0.5 при а=0;  =-1 при а=1.

Пример3. Корни уравнения   таковы, что  . Найдите а.

По теореме Виета   и  . Возведём обе части первого равенства в квадрат:  . Учитывая, что , а  , получаем:   или  ,    . Проверка показывает, что все значения   удовлетворяют условию.

Ответ: 

Модуль

Модулем положительного числа называют само это число; модулем отрицательного числа называют число, ему противоположное; модуль нуля равен нулю.

\(|a|=\begin{cases} a, \;\; если \;  a>0 \\ 0, \; если\;\; a=0\\ -a,\; если \;\;  a<0  \end{cases}\)

Второе название модуля – «абсолютное значение действительного числа».

Фактически модуль делает всё, что находится внутри него положительным. Поэтому чтобы правильно его раскрыть, необходимо сначала выяснить знак выражения внутри него:

— если подмодульное выражение положительно, модуль просто убирается. 4+1\)

Пример. Вычислить значение выражения \(|7-x|-|x+3|\), при \(x>12\).

Решение: При любом \(x\) большем \(12\), первое подмодульное выражение будет отрицательно, а второе – положительно. Соответственно, первый модуль будет раскрываться с минусом, а второй – с плюсом (значит перед ним останется минус, который стоял перед ним до раскрытия):

\(|7-x|-|x+3|=-(7-x)-(x+3)=-7+x-x-3=-10\)

Ответ: \(-10\)

Геометрическое определение модуля

\(|a|\) — это расстояние от \(0\) до числа \(a\) на числовой оси

Пример. Чему равен \(|5|\)  и \(|-5|\)?

Представим числовую ось и отметим на ней точки \(5\) и \(-5\). Какое будет расстояние от нуля до этих точек? Очевидно \(5\).

Значит ответ: \(|5|=5\),   \(|-5|=5\).

Так как модуль это расстояние, а расстояние не может выражаться отрицательным числом, то он всегда положителен.

Понимать легче второе определение, но практике удобнее использовать первое.

Решение простейших уравнений с модулем

Уравнения вида \(|f|=g\) решается с помощью перехода к совокупности   \( \left[ \begin{gathered}f= g\\  f=-g\end{gathered}\right.\) , при условии, что \(g≥0\).

Сначала об условии \(g≥0\). Откуда оно берется? Из определения модуля, ведь модуль всегда неотрицателен (то есть, положителен или равен нулю). Поэтому условие \(g≥0\) обязательно. Иначе уравнение не будет иметь решения.

Теперь о совокупности. Почему уравнение распадается на два? Давайте, к примеру, рассмотрим уравнение \(|x|=3\). Какое число под модулем будет равно \(3\)? Конечно \(3\) и \(-3\), потому что \(|3|=3\), \(|-3|=3\). Корни уравнения \(|x|=3\): \(3\) и \(-3\). Логично? Логично! В общем виде получается, что подмодульное выражение \(f\) должно быть равно \(g\) и \(-g\). Иначе равенство не получится.

Пример.   Решить уравнение:

\(|x-1|=3x\)		Найдем ограничения уравнения. Запишем его немного правее от основного решения
\(3x≥0\)                                \(x≥0\)		Когда ограничение записано —  можно со спокойной душой решать уравнение. Избавимся от модуля и перейдем к совокупности уравнений
\( \left[ \begin{gathered}x-1=3x\\ x-1=-3x\end{gathered}\right.\)		Перед нами 2 линейных уравнения. Решаем их с помощью известного заклинания: «иксы влево, числа вправо»
\( \left[ \begin{gathered}x-3x=1\\ x+3x=1\end{gathered}\right. \)		Приведем подобные слагаемые
\( \left[ \begin{gathered}-2x=1\\ 4x=1\end{gathered}\right.\)		Поделим первое уравнение на \(-2\), второе на \(4\).
\( \left[ \begin{gathered} x=-\frac{1}{2}\\ x=\frac{1}{4}\end{gathered}\right.\)		Корень \(-\)\(\frac{1}{2}\) – не подходит, т.к. \(x≥0\). Остается корень \(\frac{1}{4}\), его и запишем в ответ

Ответ:  \(\frac{1}{4}\)

Решение простейших неравенств с модулем

Неравенство вида \(|f|< c\) решается с помощью перехода к двойному неравенству   \( -c< f< c\) , при условии, что \(c>0\).

Начнем опять с условия. Почему \(c>0\)? Потому что, иначе неравенство не будет иметь решения. Здесь все также как в уравнениях. В самом деле, когда, например, модуль икса меньше \(-7\)? Никогда!

Теперь разберем неравенство \(|x|<3\). Какие иксы нам подойдут? Все от \(-3\) до \(3\). Иначе говоря, икс должен лежать между \(-3\) и \(3\). Это утверждение можно записать вот так \(-3< x <3\) либо системой \(\begin{cases}x<3\\x > -3\end{cases}\). В любом случае ответ будет \(xϵ (-3;3)\).

Неравенство вида \(|f|>c\) решается с помощью перехода к совокупности неравенств \( \left[ \begin{gathered} f>c\\ f< -c\end{gathered}\right.\), при условии, что \(c≥0\).

А здесь почему \(c≥0\)? Потому что иначе решать нечего: если \(c\) отрицательно, то модуль абсолютно любого икса нам подойдет. И значит ответ, икс – любое число.

Теперь о переходе. Рассмотрим неравенство \(|x|>3\). Какие иксы нам подойдут? Все, модуль которых больше трех, то есть от минус бесконечности до \(-3\) и от \(3\) до плюс бесконечности. Записывая системой получим \(\begin{cases}x>3\\x < -3\end{cases}\). Ответ будет \(x ϵ (-∞;-3)⋃(3;∞)\).

\(|3x-7|≤8\)		\(|3x-11|≥11\)
\(-8≤3x-7≤8\) \(|+7\)		\( \left[ \begin{gathered}3x-11≥11\\ 3x-11≤-11\end{gathered}\right.\)
\(-1≤3x≤15\)		\( \left[ \begin{gathered}3x≥22\\ 3x≤0\end{gathered}\right.\)
\(-\frac{1}{3}≤x≤5\)		\( \left[ \begin{gathered}x≥\frac{22}{3}\\ x≤0\end{gathered}\right. \)
Ответ: \([ -\frac{1}{3};5]\)		Ответ: \( (-\infty;0]\cup [ \frac{22}{3};\infty)\)

Смотрите также:
Свойства модуля

Теория чисел. Модульная арифметика

◀ Теория чисел. Алгоритм Евклида ▶

Содержание

Пусть \(n\) — положительное целое число. Обозначим множество \([0..n-1]\) через \(\mathbb{Z}_n\).

Мы считаем два целых числа \(x, y\) одинаковыми, если \(x\) и \(y\) отличаются на a кратно \(n\), и мы записываем это как \(x = y \pmod{n}\) и говорим, что \(x\) и \(y\) конгруэнтны по модулю \(n\). Мы можем опустить \(\pmod{n}\), когда ясно из контекста. Каждое целое число \(x\) конгруэнтно некоторому \(y\) в \(\mathbb{Z}_n\). Когда мы добавляем или вычесть кратные \(n\) из целого числа \(x\), чтобы получить некоторое \(у\в\mathbb{Z}_n\), мы говорим уменьшает \(x\) по модулю \(n\), а \(y\) является остатком .

Мы могли бы выбрать разные наборы для \(\mathbb{Z}_n\), например мы могли бы добавить \(n\) к каждому элементу, но по умолчанию будет \([0..n-1]\). Элементы в этом конкретном представлении \(\mathbb{Z}_n\) называются наименьшими остатками .

Пример : \(38 = 3 \pmod{5}\), так как \(38 = 7\умножить на 5 + 3\). \(-3 = 11 \pmod{14}\), так как \(-3 = (-1)\умножить на 14 + 11\).

Каков наиболее естественный способ выполнения арифметических действий в \(\mathbb{Z}_n\)? Учитывая два элемента \(x, y \in \mathbb{Z}_n\), мы можем складывать, вычитать или умножать их как целые числа, а затем результат будет соответствовать одному из элементов в \(\mathbb{Z}_n\).

Пример : \(6 + 7 = 1 \pmod{12}\), \(3 \times 20 = 10 \pmod{50}\), \(12 — 14 = 16 \pmod{18}\).

Эти операции ведут себя так же, как их обычные аналоги. Однако понятия размера нет. Говоря \(0

Division

Division явно отсутствует в приведенном выше обсуждении. Если \(y\) делит \(x\) как целые числа, то можно предположить, что мы могли бы использовать обычное определение. Посмотрим, к чему это приведет: у нас есть \(10 = 4 \pmod{6}\). Разделение обоих сторон на \(2\) дает неверное уравнение \(5 = 2 \pmod{6}\).

Таким образом, мы должны изменить значение деления. Интуитивно деление должно «отменять умножение», т. е. разделить \(x\) на \(y\) означает найти число \(z\) такое, что \(y\) умножить на \(z\) равно \(x\). Проблема выше в том, что существуют разные кандидаты на \(z\): в \(\mathbb{Z}_6\) и 5, и 2 дают 4 при умножении на 2.

Какой ответ мы должны выбрать для «\(4 / 2\)», \( 5\) или \(2\)? Мы могли бы ввести некоторые произвольные соглашения, такие как выбор наименьшего ответ при рассмотрении наименьшего остатка как целого числа, но тогда деление будет вести себя странно.

Вместо этого мы требуем уникальности, то есть \(x\), деленное на \(y\) по модулю \(n\), составляет всего определяется, когда существует уникальный \(z \in \mathbb{Z}_n\) такой, что \(x = y z\).

Мы можем получить условие на \(у\) следующим образом. Предположим, \(z_1 y = z_2 y \pmod {n}\). Тогда по определению это означает для некоторого \(k\) имеем \(y(z_1 — z_2) = k n\). Пусть \(d\) будет наибольшим общий делитель \(n\) и \(y\). Тогда \(n/d\) делит \(z_1 — z_2\) поскольку он не может делить \(y\), мы имеем

\[ z_1 y = z_2 y \pmod {n} \]

тогда и только тогда, когда

\[ z_1 = z_2 \pmod {n/d} . \]

Таким образом, уникальный \(z\) существует по модулю \(n\), только если наибольшее общее делитель \(y\) и \(n\) равен 1.

Обратные

Мы увидим, что существует единственное \(z\) тогда и только тогда, когда можно найти \(w \in \mathbb{Z}_n\) такое, что \(y w = 1 \pmod {n}\). Если такое \(w\) существует, то оно должно быть уникальным: предположим, что \(y w’\) также равно 1. Тогда, умножая обе части \(y w = y w’\) через \(w\) дает \(w y w = w y w’\), откуда следует \(w = w’\) так как \(wy = 1\). Когда он существует, мы называем это уникальное \(w\) 9{-1}\) существует, и если да, то как его найти? Поскольку в \(\mathbb{Z}_n\) всего \(n\) элементов, мы можем умножить каждый элемент по очереди на \(y\) и посмотреть, получим ли мы 1. {-1}\), если существует инверсия \(y\), иначе ответ не определено. 9{-1}) = 2 \pmod{6}\).

◀ Теория чиселАлгоритм Евклида ▶

Содержание

---

Бен Линн [email protected] 💡

Математическая задача: Модуль — вопрос № 4325, алгебра, уравнение

Найдите x в уравнении по модулю:

47x = 4 (mod 9)

Подсказка — прочитайте, какое число 47x разделить на 9 (по модулю 9) дает остаток 4.

Правильный ответ:

x =  2

Пошаговое объяснение:

47x = 9к + 4; k,x−целое число k=(47x−4)/9k1=(47⋅1−4)/9=943=497=4,7778k2=(47⋅2−4)/9=10k3​ =(47⋅ 3−4)/9=9137​=1592​≐15,2222 k4​=(47⋅ 4−4)/9=9184​=2094​≐20,4444 …. x=2

Нашли ошибку или неточность? Не стесняйтесь

пишите нам

. Спасибо!

Советы по связанным онлайн-калькуляторам

Вы решаете задачи Диофанта и ищете калькулятор целочисленных уравнений Диофанта?
У вас есть линейное уравнение или система уравнений и вы ищете ее решение? Или у вас есть квадратное уравнение?

Чтобы решить эту математическую задачу, вам необходимо знать следующие знания:

• алгебра
• уравнение
• целочисленное уравнение
• делимость
90 108 основные функции
• по модулю
• числа
• целые числа
• натуральные числа

Уровень задачи:

• практика для 14-летних
• старшая школа

• Большое число
  Какой остаток при делении 10 на 9 до 47 — 111?
• Напоминание и частное
  Даны числа A = 135, B = 315. Найдите наименьшее натуральное число R, большее единицы, так, чтобы отношения R:A, R:B были с остатком 1.
• Делимость
  Является ли число 761082 точно делится на 9? (результат — целое число и/или остаток равен нулю)
• Остаток 33031
  Найдите число, которое при делении на 28 дает соотношение 606 и остаток 23.
• Остаток 34441
  Найдите остаток после деления суммы на 1! +2! +3! +. … . +300! число 13.
• Неизвестное целое число
  Найдите наименьшее целое число: При делении на 2 остаток равен 1. При делении на 3. Остаток равен 2. При делении на 4. Остаток равен 3. При делении на восемь остаток равен 7. При делении на 9 остаток равен 8.
• Трехзначное 8002
  Найдите наибольшее трехзначное число, которое дает остаток 1 при делении на три, дает остаток 2 при делении на четыре, дает остаток 3 при делении на пять, и дает остаток 4 при делении на шесть.
• Делимый 9331
  Число X — наименьшее натуральное число, половина которого делится на три, треть — на четыре, четверть — на одиннадцать, а его половина дает остаток 5 при делении на семь. Найдите это число.
• Несколько систем счисления
  Найдите значение x, для которого 312 _четыре +52 _x = 96 _десять . Подсказка: четыре, х и десять — это основание заданного числа.
• Остаток 5594
  Какое число мы разделили на 55, если отношение равно 90,16, а остаток 0,04?
• Отец 2
  Отец отдал 1/3 своей земли дочери, а оставшуюся часть сыну. Сын жертвует 3/4 своей земли под детскую площадку. На половине оставшейся площади он построил дом, а другую половину продал за 1 миллион рупий. 1) давать сыновьям часть в виде дроби
• Остатки
  Дан набор чисел { 170; 244; 299; 333; 351; 391; 423; 644}. Разделите эти числа на число 66 и определите множество остатков. В результате запишите сумму этих остатков.
• Дата игры
  Пусть сейчас вторник. Какой день наступает через 229 дней? Запишите результат в виде числа: 1=понедельник, 2=вторник, 3=среда, 4=четверг, 5=пятница, 6=суббота, 7=воскресенье.
• Рынок открыт
  Определенный рынок открывается для продаж каждый 7-й день недели.

  No related posts.