Формулы сумм ряда натуральных чисел в целочисленной степени
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Частное решение.
Фундаментальное решение системы уравнений >>
Настройка.
ПодробноСумма Сил — Набор инструментов Майка
Сумма Сил — Набор инструментов МайкаМатематические темы
Проценты Интерес Ипотека Казначейские облигации Логарифмы Расширенные логарифмы Сумма степеней числаСумма последовательных полномочий
В математике часто встречающимся вычислением является нахождение суммы последовательных
степени числа.
Например, нам может понадобиться найти сумму степеней числа x:
Сумма = х 5 + х 4 + х 3 + х 2 + х + 1
Напомним, что такая степень, как x 3 , означает умножение 3 x вместе (3 называется показатель):
х 3 = х · х · х
Если бы вы знали значение х, можно было бы вычислить все степени и добавить их вместе, чтобы найти сумму. Например, если бы x имел значение 2, сумма была бы:
| Сумма | = | 2 5 + 2 4 + 2 3 + 2 2 + 2 + 1 |
| = | 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 | |
| = | 63 |
Несмотря на то, что можно вычислить сумму, как только что показано, это одновременно утомительно и
подвержен ошибкам. К счастью, существует компактное уравнение, которое вычисляет сумму без
необходимо рассчитать все силы.
Чтобы вывести формулу, нам просто нужно заметить
что произойдет, если мы умножим обе части исходного уравнения на x:
| Сумма · х | = | (х 5 + х 4 + х 3 + х 2 + х + 1) · х |
| = | x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x |
Все показатели увеличились на единицу. Обратите внимание, что большинство терминов в правой части уравнения такие же, как и в исходной сумме выше. На самом деле они все там за исключением значения 1, поэтому давайте добавим его к обеим сторонам:
| Сумма · х + 1 | = | x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 |
| = | х 6 + (х 5 + х 4 + х 3 + х 2 + х + 1) | |
| = | x 6 + сумма |
Мы можем изменить это уравнение так, чтобы все члены, содержащие Sum, оказались в левой части:
Сумма · (х — 1) = х 6 — 1
Разделив обе части на (x − 1), мы получим хорошую компактную формулу для суммы последовательные степени числа:
| Сумма | = | х 6 − 1 |
| х — 1 |
Обратите внимание, что степень в компактной формуле всего на единицу больше, чем самая высокая степень в
сумма, которую вы пытаетесь определить.
Если мы оцениваем уравнение с x, равным
до 2 мы видим, что он вычисляет правильный ответ:
| Сумма | = | = | 64 − 1 | = | 63 | |
| 2 − 1 | 1 |
Одно предостережение заключается в том, что уравнение не работает, когда x = 1. Это потому что мы разделили обе части приведенного выше уравнения на (x − 1). Когда x = 1, этот термин равен нулю, и вы не можете делить на ноль. К счастью легко увидеть, каким было бы значение Sum, если бы x был равен единице. Каждый из степени в сумме оцениваются как 1, поэтому сумма — это просто количество добавленных терминов вместе, что в данном случае будет 6, или на единицу больше, чем самый высокий показатель в сумма.
Связаться с Майком из Mike’s Toolbox
Комментарии и предложения направляйте по адресу:
mikestoolbox@pobox.
com
Copyright © 2009-2010 Майкл Д’Эррико, Все права защищены
Math3.org Math Tables: Power Summations
Power Series| (Математика) |
| Суммирование | Расширение | Эквивалентное значение | Комментарии |
| п к к=1 | = 1 + 2 + 3 + 4 + .. + п | = (n 2 + n) / 2 = (1/2)n 2 + (1/2)n | сумма 1 st n целых чисел |
| п к 2 к=1 | = 1 + 4 + 9 + 16 + .. + п 2 | = (1/6)n(n+1)(2n+1) = (1/3)n 3 + (1/2)n 2 + (1/6)n | сумма 1 ст п квадраты |
| п к 3 к=1 | = 1 + 8 + 27 + 64 + . . + п 3 | = (1/4)n 4 + (1/2)n 3 + (1/4)n 2 | сумма 1 ст п кубов |
| п к 4 к=1 | = 1 + 16 + 81 + 256 + .. + п 4 | = (1/5)n 5 + (1/2)n 4 + (1/3)n 3 — (1/30)n | |
| п к 5 к=1 | = 1 + 32 + 243 + 1024 + .. + п 5 | = (1/6)n 6 + (1/2)n 5 + (5/12)n 4 — (1/12)n 2 | |
| п к 6 к=1 | = 1 + 64 + 729 + 4096 + .. + п 6 | = (1/7)n 7 + (1/2)n 6 + (1/2)n 5 — (1/6)n 3 + (1/42)n | |
| п к 7 к=1 | = 1 + 128 + 2187 + 16384 + . |