Свойства факториалов: Факториал. Понятие и свойство факториала.

Различные свойства факториала следующие:

• Рост и аппроксимация
• Делимость
• Непрерывная интерполяция и нецелочисленное обобщение
• Вычисление.

В математике многие последовательности сравнимы с факториалом. К ним относятся:

• Двойной факториал: используются для упрощения тригонометрических интегралов
• Мультифакториал: может обозначаться несколькими восклицательными знаками.
• Промориалы: Произведение простых чисел, которые меньше или равны n.
• Суперфакториалы: которые определяются как произведение первых n факториалов
• Гиперфакториалы: которые являются результатом умножения числа последовательных значений в диапазоне от 1 до n.

Факториал числа широко используется в перестановках, комбинациях и вычислении вероятности. Обозначаем его восклицательным знаком (!). Факториалы также используются в теории чисел, приближениях и статистике. В этом разделе мы обсуждали факториальную формулу. Мы также изучим различные применения формул факториала, таких как перестановки, комбинации, распределение вероятностей.

Гамма-функция и факториалы | by Oscar Nieves

Гамма-функция, обозначаемая как Γ(x), представляет собой математическую функцию, которая расширяет определение факториала до нецелочисленных значений. Если вы не знакомы с факториалом, то это математическая операция, которая принимает целое число n, а затем умножает его на все целые числа, меньшие n, вплоть до 1. Например, 5 factorial записывается как 5! и имеет значение:

В общем, мы выражаем факториалы, используя нотацию произведения:

, где большой символ Пи подобен символу суммы, за исключением того, что вместо этого он умножает последовательные члены. По сути, это говорит нам о том, что когда вы берете n различных объектов, например n шариков разного цвета, их становится n! различные способы их расположения в ряд. Существует дополнительное свойство факториалов, которое равно 0! = 1, потому что если у вас 0 объектов, то есть только 1 способ их расставить: ничего не расставлять, так как расставлять нечего (если вам интересно, на эту тему есть весёлое видео от Numberphile на ютубе: https:// www.youtube.com/watch?v=Mfk_L4Nx2ZI).

Факториалы довольно широко используются в комбинаторике и теории вероятностей, особенно при решении задач счета. Но факториалы обычно определяются только для положительных целых чисел, поэтому, если мы когда-либо сталкиваемся с проблемой, в которой мы хотим обобщить факториалы на нецелые числа, как мы часто делаем в физике, нам нужно немного более тщательно подумать о том, что означают факториалы.

Войдите в функцию Гамма, мощный инструмент для этого. Для любого комплексного числа z = x + iy, где x = Re(z) и y = Im(z), гамма-функция определяется как следующий интеграл:0003

, где предполагается, что x > 0 (действительная часть z должна быть больше нуля). Если мы возьмем z = n, где n — целое положительное число, то гамма-функция сведется к факториалу:

. z), мы можем вычислить значение Γ(z+1) и значение Γ(z+2) и так далее без необходимости каждый раз выполнять сложное интегрирование. Чтобы доказать это свойство, начнем с определения:

и затем, интегрируя по частям, получаем

Первое слагаемое можно вычислить с помощью правила Лопиталя для неопределенных пределов, которое говорит нам, что:

И на самом деле, правило Лопиталя можно применять рекурсивно до конечного ответа найден. В нашем случае мы получаем:

, поскольку функция exp(t) больше числителя при стремлении t к бесконечности. Следовательно, первое слагаемое при интегрировании по частям исчезло, а второе слагаемое снова представляет собой просто Гамма-функцию Γ(z), так что:

Этот результат верен в целом для Re(z) ≥ 1. Существуют также некоторые специальные значения, которые важно учитывать. Во-первых, давайте оценим функцию при z = 1, используя определение интеграла:

и аналогично, для z = 2 мы имеем

, что то же самое, что мы могли бы найти, используя свойство Γ(z+1) = zΓ (z), так что Γ(2) = 1Γ(1) = 1.