Свойства синуса: Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Содержание

Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса

В этой статье будут рассмотрены три основных свойства тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Первое свойство — знак функции в зависимости от того, какой четверти единичной окружности приналдежит угол α. Второе свойство — периодичность. Согласно этому свойству, тигонометрическая функция не меняет значения при изменении угла на целое число оборотов. Третье свойсто определяет, как меняются значения функций sin, cos, tg, ctg при противоположных углах α и -α.

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Часто в математическом тексте или в контексте задачи можно встретить фразу: «угол первой, второй, третьей или четвертой координатной четверти». Что это такое?

Обратимся к единичной окружности. Она разделена на четыре четверти. Отметим на окружности начальную точку A0(1, 0) и, поворачивая ее вокруг точки O на угол α, попадем в точку A1(x, y). В зависимости от того, в какой четверти будет лежать точка A1(x, y), угол α будет называться углом первой, второй, третьей и четвертой четвети соответственно.

Для наглядности приведем иллюстрацию.

Угол α=30° лежит в первой четверти. Угол -210° является углом второй четверти. Угол 585° — угол третьей четверти. Угол -45° — это угол четвертой четверти.

При этом углы ±90°, ±180°, ±270°, ±360° не принадлежат ни одной четверти, так как лежат на координатных осях.

Теперь рассмотрим знаки, которые принимают синус, косинус, тангенс и котангенс в зависимости от того, в какой четверти лежит угол.

Чтобы определить знаки синуса по четвертям, вспомним опредение. Синус — это ордината точки A1(x, y). Из рисунка видно, что в первой и второй четвертях она положительна, а в третьей и четверной — отрицательна.

Косинус — это абсцисса точки A1(x, y). В соответсии с этим, определяем знаки косинуса на окружности. Косинус положителен в первой и четвертой четвертях, а отрицателен во второй и третьей четверти.

Для определения знаков тангенса и котангенса по четвертям также вспоминаем определения этих тригонометрических функций. Тангенс — отношение ординаты точки к абсциссе. Значит, по правилу деления чисел с разными знаками, когда ордината и абсцисса имеют одинаковые знаки, знак тангенса на окружности будет положительным, а когда ордината и абсцисса имеют разные знаки — отрицательным. Аналогично определяются знаки котангенса по четвертям.

Важно помнить!

Синус угла α имеет знак плюс в 1 и 2 четвертях, знак минус — в 3 и 4 четвертях.
Косинус угла α имеет знак плюс в 1 и 4 четвертях, знак минус — в 2 и 3 четвертях.
Тангенс угла α имеет знак плюс в 1 и 3 четвертях, знак минус — в 2 и 4 четвертях.
Котангенс угла α имеет знак плюс в 1 и 3 четвертях, знак минус — в 2 и 4 четвертях.

Свойство периодичности

Свойство периодичности — одно из самых очевидных свойств тригонометрических функций.

Свойство периодичности

При изменении угла на целое число полных оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса данного угла остаются неизменными.

Действительно, при изменении угла на целое число оборотов мы всегда будем попадать из начальной точки A на единичной окружности в точку A1 с одними и теми же координатами. Соответственно, не будут меняться и значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Математически данное свойство записывается так:

sinα+2π·z=sin αcosα+2π·z=cos αtgα+2π·z=tg αctgα+2π·z=ctg α

Какое применение на практике находит это свойство? Свойство периодичности, как и формулы приведения, часто используется для вычисления значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов больших углов.

Приведем примеры.

sin13π5=sin3π5+2π=sin3π5

tg(-689°)=tg(31°+360°·(-2))=tg31°tg(-689°)=tg(-329°+360°·(-1))=tg(-329°)

Свойства синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов

Вновь обратимся к единичной окружности.

Точка A1(x, y) — результат поворота начальной точки A0(1, 0) вокруг центра окружности на угол α. Точка A2(x, -y) — результат поворота начальной точки на угол -α.

Точки A1и A2 симметричны относительно оси абсцисс. В случае, когда α=0°, ±180°, ±360° точки A1и A2 совпадают. Пусть одна точка имеет координаты (x, y), а вторая — (x, -y). Вспомним определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса и запишем:

sin α=y, cos α=x, tg α=yx, ctg α=xysin-α=-y, cos-α=x, tg-α=-yx, ctg-α=x-y

Отсюда следует свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов.

Свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов

sin-α=-sin αcos-α=cos αtg-α=-tg αctg-α=-ctg α

Согласно этому свойству, справедливы равенства

sin-48°=-sin 48°, ctgπ9=-ctg-π9, cos 18°=cos-18°

Рассмотренное свойство часто используется при решении практических задач в случаях, когда нужно избавиться от отрицательных знаков углов в агрументах тригонометрических функций.

Решение задач от 1 дня / от 150 р.

Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

Свойства функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса и их графики

Свойства функции y=sin(x) и ее график.

График функции (синусоида)

Свойства функции

Область определения: R (x — любое действительное число) т.е.
Область значений:
Функция нечетная:

(график симметричен относительно начала координат).
Функция периодическая с периодом
Точки пересечения с осями координат:
Промежутки знакопостоянства:
Промежутки возрастания и убывания:

Объяснение и обоснование

Описывая свойства функций, мы будем чаще всего выделять такие их характеристики: 1) область определения; 2) область значений; 3) четность или нечетность; 4) периодичность; 5) точки пересечения с осями координат; 6) промежутки знакопостоянства; 7) промежутки возрастания и убывания; 8) наибольшее и наименьшее значения функции.

Замечание. Абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох (то есть те значения аргумента, при которых функция равна нулю) называют нулями функции.

Напомним, что значение синуса — это ордината соответствующей точки единичной окружности (рис. 1).

Рис.1.

Поскольку ординату можно найти для любой точки единичной окружности (в силу того, что через любую точку окружности всегда можно провести единственную прямую, перпендикулярную оси ординат), то область определения функции — все действительные числа. Это можно записать так:

Для точек единичной окружности ординаты находятся в промежутке [—1; 1] и принимают все значения от —1 до 1, поскольку через любую точку отрезка [—1; 1] оси ординат (который является диаметром единичной окружности) всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси ординат, и получить точку окружности, которая имеет рассматриваемую ординату. Таким образом, для функции область значений: . Это можно записать так:.Как видим, наибольшее значение функции sin x равно единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при Наименьшее значение функции равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, то есть при.

Синус — нечетная функция: , поэтому ее график симметричен относительно начала координат.

Синус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом : , таким образом, через промежутки длиной вид графика функции повторяется. Поэтому при построении графика этой функции достаточно построить график на любом промежутке длиной , а потом полученную линию параллельно перенести вправо и влево вдоль оси Ox на расстояние , где k — любое натуральное число.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси значение . Тогда соответствующее значение , то есть график функции проходит через начало координат.

На оси значение . Поэтому необходимо найти такие значения , при которых , то есть ордината соответствующей точки единичной окружности, равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окружности будут выбраны точки C или D, то есть при (см. рис. 1).

Промежутки знакопостоянства. Значения функции синус положительны (то есть ордината соответствующей точки единичной окружности положительна) в I и II четвертях (рис. 2). Таким образом, при всех , а также, учитывая период, при всех .

Значения функции синус отрицательны (то есть ордината соответствующей точки единичной окружности отрицательна) в III и IV четвертях, поэтому при .

Промежутки возрастания и убывания. Учитывая периодичность функции с периодом , достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной , например на промежутке .

Если (рис. 3, а), то при увеличении аргумента ордината соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то есть , следовательно, на этом промежутке функция возрастает. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она также возрастает на каждом из промежутков

Рис.2 Рис. 3

Если (рис.3,б), то при увеличении аргумента ордината соответствующей точки единичной окружности уменьшается (то есть ), таким образом, на этом промежутке функция убывает. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков

Проведенное исследование позволяет обоснованно построить график функции . Учитывая периодичность этой функции (с периодом ), достаточно сначала построить график на любом промежутке длиной , например на промежутке . Для более точного построения точек графика воспользуемся тем, что значение синуса — это ордината соответствующей точки единичной окружности. На рисунке 4 показано построение графика функции на промежутке . Учитывая нечетность функции (ее график симметричен относительно начала координат), для построения графика на промежутке отображаем полученную кривую симметрично относительно начала координат (рис. 5).

Рис.4

Рис.5

Поскольку мы построили график на промежутке длиной , то, учитывая периодичность синуса (с периодом ), повторяем вид графика на каждом промежутке длиной (то есть переносим параллельно график вдоль оси на , где k — целое число). Получаем график, который называется синусоидой .(Рис.6)

Рис.6

Замечание. Тригонометрические функции широко применяются в математике, физике и технике. Например, множество процессов, таких как колебания струны, маятника, напряжения в цепи переменного тока и т. п., описываются функцией, которая задается формулой . Такие процессы называют гармоническими колебаниями.

График функции можно получить из синусоиды сжатием или растяжением ее вдоль координатных осей и параллельным переносом вдоль оси . Чаще всего гармоническое колебание является функцией времени t. Тогда оно задается формулой , где А — амплитуда

колебания, — частота, — начальная фаза, — период колебания.

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ И ЕЕ ГРАФИК

График функции (косинусоида).

Свойства функции

Область определения: R (x — любое действительное число).
Область значений:
Функция четная:

(график симметричен относительно оси ).
Функция периодическая с периодом :
Точки пересечения с осями координат
Промежутки знакопостоянства:
Промежутки возрастания и убывания:

Объяснение и обоснование

Напомним, что значение косинуса — это абсцисса соответствующей точки единичной окружности (рис.7). Поскольку абсциссу можно найти для любой точки единичной окружности (в силу того, что через любую точку окружности, всегда можно провести единственную прямую, перпендикулярную оси абсцисс), то область определения функции — все действительные числа. Это можно записать так:
.

Рис.7

Для точек единичной окружности абсциссы находятся в промежутке и принимают все значения от -1 до 1, поскольку через любую точку отрезка оси абсцисс (который является диаметром единичной окружности) всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси абсцисс, и получить

точку окружности, которая имеет рассматриваемую абсциссу.

Следовательно, область значений функции . Это можно записать так: .

Как видим, наибольшее значение функции равно единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при .

Наименьшее значение функции cos x равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, то есть при .

Косинус — четная функция: , поэтому ее график симметричен относительно оси .

Косинус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом : . Таким образом, через промежутки длиной вид графика функции повторяется.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси значение . Тогда соответствующее значение . На оси значение . Поэтому необходимо найти такие значения , при которых , то есть абсцисса соответствующей точки единичной окружности будет равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окружности будут выбраны точки C или D, то есть при .

Промежутки знакопостоянства. Значения функции косинус положительны (то есть абсцисса соответствующей точки единичной окружности положительна) в I и IV четвертях (рис. 8). Следовательно, 0 при , а также, учитывая период, при всех .

Значения функции косинус отрицательны (то есть абсцисса соответствующей точки единичной окружности отрицательна) во II и III четвертях, поэтому при

Промежутки возрастания и убывания. Учитывая периодичность функции , достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной , например на промежутке .

Если (рис. 9, а), то при увеличении аргумента абсцисса соответствующей точки единичной окружности уменьшается (то есть ), следовательно, на этом промежутке функция убывает. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков .

Если (рис. 9, б), то при увеличении аргумента абсцисса соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то есть ), таким образом, на этом промежутке функция возрастает. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она возрастает также на каждом из промежутков .

Рис.8 Рис.9

Проведенное исследование позволяет построить график функции аналогично тому, как был построен график функции . Но график функции можно также получить с помощью геометрических преобразований графика функции , используя формулу

Рис.10

Эту формулу можно обосновать, например, так. Рассмотрим единичную окружность (рис. 10), отметим на ней точки а также

абсциссы и ординаты этих точек. Так как , то при повороте

прямоугольника около точки на угол — против часовой стрелки он перейдет в прямоугольник . Но тогда . Следовательно, 00.

Укажем также формулы, которые нам понадобятся далее:.

Тогда,

Таким образом, .

Учитывая, что , график функции можно получить из графика функции его параллельным переносом вдоль оси на (рис. 11). Полученный график называется косинусоидой (рис. 12).

Рис.11

Рис.12

График функции (тангенсоида)

Свойства функции :

1. Область определения:

2. Область значений:

3. Функция нечетная:

4. Функция периодическая с периодом

5. Точки пересечения с осями координат:

6. Промежутки знакопостоянства:

7. Промежутки возрастания и убывания:

8. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

График функции (котангенсоида)

Свойства функции :

1. Область определения:

2. Область значений:

3. Функция нечетная:

4. Функция переодическая с периодом
5. Точки пересечения с осями координат:

6. Промежутки знакопостоянства:

7. Промежутки возрастания и убывания:

8. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

Где синус положительный а где отрицательный. Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла

Позволяют установить ряд характерных результатов – свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса . В этой статье мы рассмотрим три основных свойства. Первое из них указывает знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла α в зависимости от того, углом какой координатной четверти является α . Дальше мы рассмотрим свойство периодичности, устанавливающее неизменность значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла α при изменении этого угла на целое число оборотов. Третье свойство выражает зависимость между значениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса противоположных углов α и −α .

Если же Вас интересуют свойства функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса, то их можно изучить в соответствующем разделе статьи .

Навигация по странице.

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям

Ниже в этом пункте будет встречаться фраза «угол I , II , III и IV координатной четверти». Объясним, что же это за углы.

Возьмем единичную окружность , отметим на ней начальную точку А(1, 0) , и повернем ее вокруг точки O на угол α , при этом будем считать, что мы попадем в точку A 1 (x, y) .

Говорят, что угол α является углом I , II , III , IV координатной четверти , если точка А 1 лежит в I , II , III , IV четверти соответственно; если же угол α таков, что точка A 1 лежит на любой из координатных прямых Ox или Oy , то этот угол не принадлежит ни одной из четырех четвертей.

Для наглядности приведем графическую иллюстрацию. На чертежах ниже изображены углы поворота 30 , −210 , 585 и −45 градусов, которые являются углами I , II , III и IV координатных четвертей соответственно.

Углы 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … градусов не принадлежат ни одной из координатных четвертей.

Теперь разберемся, какие знаки имеют значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла поворота α в зависимости от того, углом какой четверти является α .

Для синуса и косинуса это сделать просто.

По определению синус угла α — это ордината точки А 1 . Очевидно, что в I и II координатных четвертях она положительна, а в III и IV четвертях – отрицательна. Таким образом, синус угла α имеет знак плюс в I и II четвертях, а знак минус – в III и VI четвертях.

В свою очередь косинус угла α — это абсцисса точки A 1 . В I и IV четвертях она положительна, а во II и III четвертях – отрицательна. Следовательно, значения косинуса угла α в I и IV четвертях положительны, а во II и III четвертях – отрицательны.

Чтобы определить знаки по четвертям тангенса и котангенса нужно вспомнить их определения: тангенс – это отношение ординаты точки A 1 к абсциссе, а котангенс – отношение абсциссы точки A 1 к ординате. Тогда из правил деления чисел с одинаковыми и разными знаками следует, что тангенс и котангенс имеют знак плюс, когда знаки абсциссы и ординаты точки A 1 одинаковые, и имеют знак минус – когда знаки абсциссы и ординаты точки A 1 различны. Следовательно, тангенс и котангенс угла имеют знак + в I и III координатных четвертях, и знак минус – во II и IV четвертях.

Действительно, например, в первой четверти и абсцисса x , и ордината y точки A 1 положительны, тогда и частное x/y , и частное y/x – положительно, следовательно, тангенс и котангенс имеют знаки + . А во второй четверти абсцисса x – отрицательна, а ордината y – положительна, поэтому и x/y , и y/x – отрицательны, откуда тангенс и котангенс имеют знак минус.

Переходим к следующему свойству синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Свойство периодичности

Сейчас мы разберем, пожалуй, самое очевидное свойство синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла. Оно состоит в следующем: при изменении угла на целое число полных оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса этого угла не изменяются.

Это и понятно: при изменении угла на целое число оборотов мы из начальной точки А всегда будем попадать в точку А 1 на единичной окружности, следовательно, значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса остаются неизменными, так как неизменны координаты точки A 1 .

С помощью формул рассматриваемое свойство синуса, косинуса, тангенса и котангенса можно записать так: sin(α+2·π·z)=sinα , cos(α+2·π·z)=cosα , tg(α+2·π·z)=tgα , ctg(α+2·π·z)=ctgα , где α — угол поворота в радианах, z – любое , абсолютная величина которого указывает количество полных оборотов, на которые изменяется угол α , а знак числа z указывает направление поворота.

Если же угол поворота α задан в градусах, то указанные формулы перепишутся в виде sin(α+360°·z)=sinα , cos(α+360°·z)=cosα , tg(α+360°·z)=tgα , ctg(α+360°·z)=ctgα .

Приведем примеры использования этого свойства. Например, , так как , а . Вот еще пример: или .

Это свойство вместе с формулами приведения очень часто используется при вычислении значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса «больших» углов.

Рассмотренное свойство синуса, косинуса, тангенса и котангенса иногда называют свойством периодичности.

Свойства синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов

Пусть А 1 – точка, полученная в результате поворота начальной точки А(1, 0) вокруг точки O на угол α , а точка А 2 – это результат поворота точки А на угол −α , противоположный углу α .

Свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов базируется на достаточно очевидном факте: упомянутые выше точки А 1 и А 2 либо совпадают (при ), либо располагаются симметрично относительно оси Ox . То есть, если точка A 1 имеет координаты (x, y) , то точка А 2 будет иметь координаты (x, −y) . Отсюда по определениям синуса, косинуса, тангенса и котангенса записываем равенства и .
Сопоставляя их, приходим к соотношениям между синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами противоположных углов α и −α вида .
Это и есть рассматриваемое свойство в виде формул.

Приведем примеры использования этого свойства. Например, справедливы равенства и .

Остается лишь заметить, что свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов, как и предыдущее свойство, часто используется при вычислении значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса, и позволяет полностью уйти от отрицательных углов.

Список литературы.

Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. — 351 с.: ил. — ISBN 5-09-004617-4.
Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Тригонометрия, как наука, зародилась на Древнем Востоке. Первые тригонометрические соотношения были выведены астрономами для создания точного календаря и ориентированию по звездам. Данные вычисления относились к сферической тригонометрии, в то время как в школьном курсе изучают соотношения сторон и угла плоского треугольника.

Тригонометрия – это раздел математики, занимающийся свойствами тригонометрических функций и зависимостью между сторонами и углами треугольников.

В период расцвета культуры и науки I тысячелетия нашей эры знания распространились с Древнего Востока в Грецию. Но основные открытия тригонометрии – это заслуга мужей арабского халифата. В частности, туркменский ученый аль-Маразви ввел такие функции, как тангенс и котангенс, составил первые таблицы значений для синусов, тангенсов и котангенсов. Понятие синуса и косинуса введены индийскими учеными. Тригонометрии посвящено немало внимания в трудах таких великих деятелей древности, как Евклида, Архимеда и Эратосфена.

Основные величины тригонометрии

Основные тригонометрические функции числового аргумента – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Каждая из них имеет свой график: синусоида, косинусоида, тангенсоида и котангенсоида.

В основе формул для расчета значений указанных величин лежит теорема Пифагора. Школьникам она больше известна в формулировке: «Пифагоровы штаны, во все стороны равны», так как доказательство приводится на примере равнобедренного прямоугольного треугольника.

Синус, косинус и другие зависимости устанавливают связь между острыми углами и сторонами любого прямоугольного треугольника. Приведем формулы для расчета этих величин для угла A и проследим взаимосвязи тригонометрических функций:

Как видно, tg и ctg являются обратными функциями. Если представить катет a как произведение sin A и гипотенузы с, а катет b в виде cos A * c, то получим следующие формулы для тангенса и котангенса:

Тригонометрический круг

Графически соотношение упомянутых величин можно представить следующим образом:

Окружность, в данном случае, представляет собой все возможные значения угла α — от 0° до 360°. Как видно из рисунка, каждая функция принимает отрицательное или положительное значение в зависимости от величины угла. Например, sin α будет со знаком «+», если α принадлежит I и II четверти окружности, то есть, находится в промежутке от 0° до 180°. При α от 180° до 360° (III и IV четверти) sin α может быть только отрицательным значением.

Попробуем построить тригонометрические таблицы для конкретных углов и узнать значение величин.

Значения α равные 30°, 45°, 60°, 90°, 180° и так далее – называют частными случаями. Значения тригонометрических функций для них просчитаны и представлены в виде специальных таблиц.

Данные углы выбраны отнюдь не случайно. Обозначение π в таблицах стоит для радиан. Рад — это угол, при котором длина дуги окружности соответствует ее радиусу. Данная величина была введена для того, чтобы установить универсальную зависимость, при расчетах в радианах не имеет значение действительная длина радиуса в см.

Углы в таблицах для тригонометрических функций соответствуют значениям радиан:

Итак, не трудно догадаться, что 2π – это полная окружность или 360°.

Свойства тригонометрических функций: синус и косинус

Для того, чтобы рассмотреть и сравнить основные свойства синуса и косинуса, тангенса и котангенса, необходимо начертить их функции. Сделать это можно в виде кривой, расположенной в двумерной системе координат.

Рассмотри сравнительную таблицу свойств для синусоиды и косинусоиды:

Синусоида	Косинусоида
y = sin x	y = cos x
ОДЗ [-1; 1]	ОДЗ [-1; 1]
sin x = 0, при x = πk, где k ϵ Z	cos x = 0, при x = π/2 + πk, где k ϵ Z
sin x = 1, при x = π/2 + 2πk, где k ϵ Z	cos x = 1, при x = 2πk, где k ϵ Z
sin x = — 1, при x = 3π/2 + 2πk, где k ϵ Z	cos x = — 1, при x = π + 2πk, где k ϵ Z
sin (-x) = — sin x, т. е. функция нечетная	cos (-x) = cos x, т. е. функция четная
	функция периодическая, наименьший период — 2π
sin x › 0, при x принадлежащем I и II четвертям или от 0° до 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, при x принадлежащем I и IV четвертям или от 270° до 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, при x принадлежащем III и IV четвертям или от 180° до 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, при x принадлежащем II и III четвертям или от 90° до 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
возрастает на промежутке [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	возрастает на промежутке [-π + 2πk, 2πk]
убывает на промежутках [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	убывает на промежутках
производная (sin x)’ = cos x	производная (cos x)’ = — sin x

Определить является ли функция четной или нет очень просто. Достаточно представить тригонометрический круг со знаками тригонометрических величин и мысленно «сложить» график относительно оси OX. Если знаки совпадают, функция четная, в противном случае — нечетная.

Введение радиан и перечисление основных свойств синусоиды и косинусоиды позволяют привести следующую закономерность:

Убедиться в верности формулы очень просто. Например, для x = π/2 синус равен 1, как и косинус x = 0. Проверку можно осуществить обративших к таблицам или проследив кривые функций для заданных значений.

Свойства тангенсоиды и котангенсоиды

Графики функций тангенса и котангенса значительно отличаются от синусоиды и косинусоиды. Величины tg и ctg являются обратными друг другу.

Y = tg x.
Тангенсоида стремится к значениям y при x = π/2 + πk, но никогда не достигает их.
Наименьший положительный период тангенсоиды равен π.
Tg (- x) = — tg x, т. е. функция нечетная.
Tg x = 0, при x = πk.
Функция является возрастающей.
Tg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
Tg x ‹ 0, при x ϵ (— π/2 + πk, πk).
Производная (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x .

Рассмотрим графическое изображение котангенсоиды ниже по тексту.

Основные свойства котангенсоиды:

Y = ctg x.
В отличие от функций синуса и косинуса, в тангенсоиде Y может принимать значения множества всех действительных чисел.
Котангенсоида стремится к значениям y при x = πk, но никогда не достигает их.
Наименьший положительный период котангенсоиды равен π.
Ctg (- x) = — ctg x, т. е. функция нечетная.
Ctg x = 0, при x = π/2 + πk.
Функция является убывающей.
Ctg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
Ctg x ‹ 0, при x ϵ (π/2 + πk, πk).
Производная (ctg x)’ = — 1/sin 2 ⁡x Исправить

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Первое свойство — знак функции в зависимости от того, какой четверти единичной окружности приналдежит угол α . Второе свойство — периодичность. Согласно этому свойству, тигонометрическая функция не меняет значения при изменении угла на целое число оборотов. Третье свойсто определяет, как меняются значения функций sin, cos, tg, ctg при противоположных углах α и — α .

Yandex.RTB R-A-339285-1

Обратимся к единичной окружности. Она разделена на четыре четверти. Отметим на окружности начальную точку A 0 (1 , 0) и, поворачивая ее вокруг точки O на угол α , попадем в точку A 1 (x , y) . В зависимости от того, в какой четверти будет лежать точка A 1 (x , y) , угол α будет называться углом первой, второй, третьей и четвертой четвети соответственно.

Для наглядности приведем иллюстрацию.

Угол α = 30 ° лежит в первой четверти. Угол — 210 ° является углом второй четверти. Угол 585 ° — угол третьей четверти. Угол — 45 ° — это угол четвертой четверти.

При этом углы ± 90 ° , ± 180 ° , ± 270 ° , ± 360 ° не принадлежат ни одной четверти, так как лежат на координатных осях.

Чтобы определить знаки синуса по четвертям, вспомним опредение. Синус — это ордината точки A 1 (x , y) . Из рисунка видно, что в первой и второй четвертях она положительна, а в третьей и четверной — отрицательна.

Косинус — это абсцисса точки A 1 (x , y) . В соответсии с этим, определяем знаки косинуса на окружности. Косинус положителен в первой и четвертой четвертях, а отрицателен во второй и третьей четверти.

Важно помнить!

Синус угла α имеет знак плюс в 1 и 2 четвертях, знак минус — в 3 и 4 четвертях.
Косинус угла α имеет знак плюс в 1 и 4 четвертях, знак минус — в 2 и 3 четвертях.
Тангенс угла α имеет знак плюс в 1 и 3 четвертях, знак минус — в 2 и 4 четвертях.
Котангенс угла α имеет знак плюс в 1 и 3 четвертях, знак минус — в 2 и 4 четвертях.

Свойство периодичности

Свойство периодичности — одно из самых очевидных свойств тригонометрических функций.

Свойство периодичности

Действительно, при изменении угла на целое число оборотов мы всегда будем попадать из начальной точки A на единичной окружности в точку A 1 с одними и теми же координатами. Соответственно, не будут меняться и значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Математически данное свойство записывается так:

sin α + 2 π · z = sin α cos α + 2 π · z = cos α t g α + 2 π · z = t g α c t g α + 2 π · z = c t g α

Приведем примеры.

sin 13 π 5 = sin 3 π 5 + 2 π = sin 3 π 5

t g (- 689 °) = t g (31 ° + 360 ° · (- 2)) = t g 31 ° t g (- 689 °) = t g (- 329 ° + 360 ° · (- 1)) = t g (- 329 °)

Вновь обратимся к единичной окружности.

Точка A 1 (x , y) — результат поворота начальной точки A 0 (1 , 0) вокруг центра окружности на угол α . Точка A 2 (x , — y) — результат поворота начальной точки на угол — α .

Точки A 1 и A 2 симметричны относительно оси абсцисс. В случае, когда α = 0 ° , ± 180 ° , ± 360 ° точки A 1 и A 2 совпадают. Пусть одна точка имеет координаты (x , y) , а вторая — (x , — y) . Вспомним определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса и запишем:

sin α = y , cos α = x , t g α = y x , c t g α = x y sin — α = — y , cos — α = x , t g — α = — y x , c t g — α = x — y

Отсюда следует свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов.

Свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов

sin — α = — sin α cos — α = cos α t g — α = — t g α c t g — α = — c t g α

Согласно этому свойству, справедливы равенства

sin — 48 ° = — sin 48 ° , c t g π 9 = — c t g — π 9 , cos 18 ° = cos — 18 °

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Использование предлога in в английском языке

Употребление и произношение in

Проектное занятие по теме «Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса», алгебра, 9-й класс

Цели:

Обеспечить усвоение знаний по теме “Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса”.
Сформировать умения и навыки в применении свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса к упрощению тригонометрических выражений.

Задачи:

Изучить материалы соответствующего пункта учебного пособия, других источников в т.ч. сети Интернет.
Вырабатывать умения и навыки применения свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса к упрощению тригонометрических выражений.
Формировать навыки публичных выступлений.

Планируемый конечный результат (с позиции компетентностей, формируемых у школьников):

Электронная презентация, выставленная на школьном сайте сети Интернет.
Развитие информационной компетентности.
Развитие коммуникативной компетентности.

Тип урока: проектное занятие.

Время реализации: 2 учебных часа.

Техническое обеспечение: компьютер, сканер.

Программное обеспечение: MS Power Point, MS Word, Internet Explorer.

Другие ресурсы: учебные и дидактические материалы, набор карточек с заданиями, тесты.

Термины и понятия: свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса; нечетность функций синуса, тангенса и котангенса и четность функции косинус; неизменяемость значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса при изменении угла на целое число оборотов.

Содержание занятия:

Погружение в проблему.
Организация деятельности.
Осуществление деятельности.
Презентация продукта деятельности учащихся.
Оценка результата.

Ход занятия

I. Погружение в проблему.

Деятельность учителя. Осуществляет мотивацию детей на изучение темы и работу над проектом. Выделяет подтемы и ставит проблемные вопросы. Обсуждает с учащимися подтемы проекта. Показ электронной презентации предстоящей работы.

Триада вопросов:

Основополагающий вопрос: Все ли призрачно в этом мире бушующем?

Проблемные вопросы учебной темы:

Каким образом можно определить знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса по координатным четвертям?
Почему синус, тангенс и котангенс – нечетные функции, а косинус – четная функция?
Для чего в математике нам нужны эти формулы?

Частные вопросы:

Что называется синусом угла косинусом угла , тангенсом угла , котангенсом угла ?
Какие знаки имеет синус, косинус, тангенс и котангенс по координатным четвертям?
При изменении угла на целое число оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса изменяются?

Деятельность учащихся. Узнают тему проекта, вопросы для исследования.

Учащиеся активно обсуждают и предлагают варианты подтем, варианты конечного продукта.

Актуализация знаний учащихся.

Математический диктант.

Вариант 1.

Углом какой четверти является угол a, если:

a = 185⁰
a = –185⁰
a = 102⁰
a = –102⁰
a = 250⁰
a = –250⁰
a = 375⁰

a = 145⁰
a = –145⁰
a = 225⁰
a = –315⁰
a = 210⁰
a = 590⁰
a = –15⁰

Вычислите:

cos 180⁰ + 5sin 90⁰
sin 180⁰ – 3 cos 0⁰
5ctg 90⁰ – 7tg 180⁰
sin 60⁰ + cos 30⁰

cos 0⁰ + 3sin 90⁰
sin 270⁰ – 2cos 180⁰
6tg 180⁰ + 2ctg 90⁰
1 + ctg 270⁰ – 5 tg 360⁰

Ответы:

III
II
II
III
III
II
I

2.
4
–3
0

1.
II
III
III
I
III
III
IV

2.
4
1
0
1

II. Организация деятельности.

Деятельность учителя. Оказывает помощь в формировании творческих групп и распределении ролей и задач в группах.

Нацеливает на самостоятельную исследовательскую работу.

Формулирует задания для каждой группы.

Предлагает формы презентации результатов, помогает группам определиться.

Деятельность учащихся. Учащиеся определили свои роли и группируются в соответствии с ними в малые команды.

Определяют долю участия каждого в подборе информации, в соответствии со своими интересами, определяют этапы разработки проекта, даты получения первых результатов.

Учащиеся в группах, а затем в классе обсуждают формы представления результата исследовательской деятельности: презентаций (MS PowerPoint) и выставления работы на школьном сайте.

III. Осуществление деятельноти.

Деятельность учителя.

Координирует работу между группами и учащихся в группе, улаживает споры.
Мотивирует учащихся на выполнение проекта.
Оказывает помощь в подборе и оформлении материала.
Проводит тренировочные упражнения, направленные на отработку учебного материала. Предоставляет имеющийся материал для проекта.
Наблюдает за работой учащихся.
Оказывает техническую помощь в оформлении результатов проекта.

Деятельность учащихся. Выполняют свою задачу (индивидуально или в паре): подбирают материал для проекта в Internet, библиотеке; решают тесты.

Оформляют результаты работы в группах.

Компетентностно-ориентированные задания (КОЗ)

Информационная компетентность.

Аспект – планирование и поиск информации (уровень2)

Аспект – извлечение первичной информации (уровень 2)

Ребята, вам предоставляется возможность выставить электронную презентацию в сети Интернет, с тем, чтобы ее увидел весь мир. Для этого нам нужно немного поработать.
Задание.

Определите значения знаков синуса, косинуса, тангенса и котангенса по координатным четвертям. Запишите результаты в таблицу.

Объясните свойства четности косинуса и нечетности синуса, тангенса и котангенса. Объясните, почему при изменении угла на целое число оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса не изменяются.

	I четв.	II четв.	III четв.	IV четв.
Синус
Косинус
Тангенс
Котангенс

Синус – нечетная функция, т. к. ____________________________________

Косинус – четная функция, т.к. ____________________________________

Тангенс – нечетная функция, т.к. ___________________________________

Котангенс – нечетная функция, т.к. _________________________________

При изменении угла на целое число оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса не изменяются, т.к.__________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Информация, необходимая для решения данной задачи – п. 29 учебного пособия (можно найти информацию и в других источниках, обратитесь в библиотеку).
Ключ:

	I четв.	II четв.	III четв.	IV четв.
Синус	+	+	–	–
Косинус	+	–	–	+
Тангенс	+	–	+	–
Котангенс	+	–	+	–

Модельный ответ:

Синус – нечетная функция, т.к. sin (–a) = y_c/R = –y/R = –sina

Косинус – четная функция, т.к. cos (–a) = x_c/R = x/R = cosa

Тангенс – нечетная функция, т.к. tg (–a) = –y_c/x_c= –y/x = –tga

Котангенс – нечетная функция, т. к. ctg (–a) = x_c/y_c = x/–y = –sina

При изменении угла на целое число оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса не изменяются, т.к. при повороте радиуса ОА на угол ф получен радиус ОВ, тот же радиус получится при повороте ОА на угол, отличающийся от а на целое число оборотов.

Работа в малых группах по проблеме выработки умений и навыков применения свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса к упрощению тригонометрических выражений.

Выполнение теста.

Тест [4]

Вариант 1.

Часть А.

А1. Найдите значение выражения: –3 cos 60⁰ + 1/3 tg 45⁰

A2. Какое из значений может принимать sin a?

A3. Углом какой четверти является угол a, сos a>0, tg a <0?

1) I

2) II

3) III

4) IV

A4. Вычислите значение выражения 2 sin² 45⁰ + v3 ctg (–30⁰).

A5. Какое из данных выражений имеет отрицательное значение?

sin 170⁰
cos 152⁰
sin 252⁰
ctg 300⁰
tg 108⁰ctg 108⁰

Часть В.

В1. Найдите значение выражения 2cos 2a – 3 sin 3a при а = 30⁰

Ответ: ______________________________________________

В2. Найдите наибольшее значение выражения 4 – 2 cos a.

Ответ: ______________________________________________

В3. Найдите значение выражения tg (–495⁰)

Ответ: ______________________________________________

Часть С.

С1. Углы треугольника пропорциональны числам 1, 2, 3.

Найдите их градусные меры.

Запишите ход решения на отдельном листе.

Вариант 2.

Часть А.

А1. Найдите значение выражения: 1/5 sin 30⁰ — 4 ctg 45⁰

A2. Какое из значений может принимать cos a ?

A3. Углом какой четверти является угол a, sin a<0, tg a >0?

1) I

2) II

3) III

4) IV

A4. Вычислите значение выражения v3 tg (–30⁰) – 5 cos² 45⁰

A5. Какое из данных выражений имеет положительное значение?

Часть В.

В1. Найдите значение выражения cos 3a – 2 sin 2a при а = 30⁰

Ответ: ______________________________________________

В2. Найдите наибольшее значение выражения 5 – 3 sin a.

Ответ: ______________________________________________

В3. Найдите значение выражения ctg (–675⁰)

Ответ: ______________________________________________

Часть С.

С1. Углы треугольника пропорциональны числам 2, 2, 5.

Найдите их градусные меры.

Запишите ход решения на отдельном листе.

Ответы:

Вариант 1

Часть А

№ задания	А1	А2	А3	А4	А5
Номер ответа	2	1	4	2	3

Часть В

№ задания	В1	В2	В3
Ответ	-2	6	1

Часть С

Ответ: 30⁰, 60⁰, 90⁰

Вариант 2

Часть А

№ задания	А1	А2	А3	А4	А5
Номер ответа	2	3	3	4	1

Часть В

№ задания	В1	В2	В3
Ответ	–3	2	1

Часть С

Ответ: 40⁰, 40⁰, 100⁰

IV. Презентация продукта деятельности учащихся.

Деятельность учителя. Знакомится с презентацией, ставит вопросы по теме исследования группы, корректирует речевые ошибки, записывает типичные математические ошибки для последующей коррекционной работы.

Деятельность учащихся. Презентуют результат своей работы. Знакомятся и оценивают результаты работы других групп. Задают вопросы, высказывают свое мнение соблюдая культуру общения.

V. Оценка результата.

Деятельность учителя: Оценивает совместно с детьми результаты проекта, деятельности групп, деятельности каждого учащегося на основании наблюдений по ходу выполнения проекта. Делает анализ собственного участия в проекте.

Деятельность учащихся: Проводят рефлексию своей деятельности при работе над проектом. Анализируют результаты проекта, степень участия в работе других учащихся.

Задание на дом: п.29 [2], № 902 (б).

Литература

Министерство образования Российской Федерации. Программы для общеобразовательных школ. Математика. 5–11-е классы. М., “Дрофа”, 2001.
Алгебра. Учебник для 9-го класса общеобразовательных учреждений. Под редакцией С.А.Теляковского. Авторы: Ю.Н.Макарычев и др. М.: “Просвещение”, 2002.
Ю.Н.Макарычев и др. Дидактические материалы Алгебра. 9-й класс. М.: “Просвещение”, 2003.
Ю.Н.Макарычев и др Сборник тестовых заданий для тематического и обобщающего контроля. Алгебра. 9-й класс. М.: “Интеллект-центр”, 2007.
Методическое пособие для преподавателей по алгебре, 9-й класс, по учебнику Ю.Н.Макарычева.

Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Нажмите для полного просмотра!

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Доклад-сообщение содержит 41 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Слайд 2

Описание слайда:

Слайд 3

Описание слайда:

Слайд 4

Описание слайда:

Слайд 5

Описание слайда:

Слайд 6

Описание слайда:

Слайд 7

Описание слайда:

Слайд 8

Описание слайда:

Слайд 9

Описание слайда:

Слайд 10

Описание слайда:

Слайд 11

Описание слайда:

Слайд 12

Описание слайда:

Слайд 13

Описание слайда:

Слайд 14

Описание слайда:

Слайд 15

Описание слайда:

Слайд 16

Описание слайда:

Слайд 17

Описание слайда:

Слайд 18

Описание слайда:

Слайд 19

Описание слайда:

Слайд 20

Описание слайда:

Слайд 21

Описание слайда:

Слайд 22

Описание слайда:

Слайд 23

Описание слайда:

Слайд 24

Описание слайда:

Слайд 25

Описание слайда:

Слайд 26

Описание слайда:

Слайд 27

Описание слайда:

Слайд 28

Описание слайда:

Слайд 29

Описание слайда:

Слайд 30

Описание слайда:

Слайд 31

Описание слайда:

Слайд 32

Описание слайда:

Слайд 33

Описание слайда:

Слайд 34

Описание слайда:

Слайд 35

Описание слайда:

Слайд 36

Описание слайда:

Слайд 37

Описание слайда:

Слайд 38

Описание слайда:

Слайд 39

Описание слайда:

Слайд 40

Описание слайда:

Слайд 41

Описание слайда:

Теги Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Похожие презентации

Презентация успешно отправлена!

Ошибка! Введите корректный Email!

Mypresentation. ru

Загрузить презентацию

Закрыть (X)

Зависимость синуса от косинуса. Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла

Одним из разделов математики, с которыми школьники справляются с наибольшими трудностями, является тригонометрия. Неудивительно: для того чтобы свободно овладеть этой областью знаний, требуется наличие пространственного мышления, умение находить синусы, косинусы, тангенсы, котангенсы по формулам, упрощать выражения, уметь применять в вычислениях число пи. Помимо этого, нужно уметь применять тригонометрию при доказательстве теорем, а это требует либо развитой математической памяти, либо умения выводить непростые логические цепочки.

Истоки тригонометрии

Знакомство с данной наукой следует начать с определения синуса, косинуса и тангенса угла, однако прежде необходимо разобраться, чем вообще занимается тригонометрия.

Исторически главным объектом исследования данного раздела математической науки были прямоугольные треугольники. Наличие угла в 90 градусов дает возможность осуществлять различные операции, позволяющие по двум сторонам и одному углу либо по двум углам и одной стороне определять значения всех параметров рассматриваемой фигуры. В прошлом люди заметили эту закономерность и стали активно ею пользоваться при строительстве зданий, навигации, в астрономии и даже в искусстве.

Начальный этап

Первоначально люди рассуждали о взаимоотношении углов и сторон исключительно на примере прямоугольных треугольников. Затем были открыты особые формулы, позволившие расширить границы употребления в повседневной жизни данного раздела математики.

Изучение тригонометрии в школе сегодня начинается с прямоугольных треугольников, после чего полученные знания используются учениками в физике и решении абстрактных тригонометрических уравнений, работа с которыми начинается в старших классах.

Сферическая тригонометрия

Позже, когда наука вышла на следующий уровень развития, формулы с синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом стали использоваться в сферической геометрии, где действуют иные правила, а сумма углов в треугольнике всегда больше 180 градусов. Данный раздел не изучается в школе, однако знать о его существовании необходимо как минимум потому, что земная поверхность, да и поверхность любой другой планеты, является выпуклой, а значит, любая разметка поверхности будет в трёхмерном пространстве «дугообразной».

Возьмите глобус и нитку. Приложите нитку к двум любым точкам на глобусе, чтобы она оказалась натянутой. Обратите внимание — она обрела форму дуги. С такими формами и имеет дело сферическая геометрия, применяющаяся в геодезии, астрономии и других теоретических и прикладных областях.

Прямоугольный треугольник

Немного узнав про способы применения тригонометрии, вернемся к базовой тригонометрии, чтобы в дальнейшем разобраться, что такое синус, косинус, тангенс, какие расчёты можно с их помощью выполнять и какие формулы при этом использовать.

Первым делом необходимо уяснить понятия, относящиеся к прямоугольному треугольнику. Во-первых, гипотенуза — это сторона, лежащая напротив угла в 90 градусов. Она является самой длинной. Мы помним, что по теореме Пифагора её численное значение равно корню из суммы квадратов двух других сторон.

Например, если две стороны равны 3 и 4 сантиметрам соответственно, длина гипотенузы составит 5 сантиметров. Кстати, об этом знали ещё древние египтяне около четырех с половиной тысяч лет назад.

Две оставшиеся стороны, которые образуют прямой угол, носят название катетов. Кроме того, надо помнить, что сумма углов в треугольнике в прямоугольной системе координат равняется 180 градусам.

Определение

Наконец, твердо понимая геометрическую базу, можно обратиться к определению синуса, косинуса и тангенса угла.

Синусом угла называется отношение противолежащего катета (т. е. стороны, располагающейся напротив нужного угла) к гипотенузе. Косинусом угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Запомните, что ни синус, ни косинус не может быть больше единицы! Почему? Потому что гипотенуза — это по умолчанию самая длинная Каким бы длинным ни был катет, он будет короче гипотенузы, а значит, их отношение всегда будет меньше единицы. Таким образом, если у вас в ответе к задаче получился синус или косинус со значением, большим, чем 1, ищите ошибку в расчётах или рассуждениях. Этот ответ однозначно неверен.

Наконец, тангенсом угла называется отношение противолежащей стороны к прилежащей. Тот же самый результат даст деление синуса на косинус. Посмотрите: в соответствии с формулой мы делим длину стороны на гипотенузу, после чего делим на длину второй стороны и умножаем на гипотенузу. Таким образом, мы получаем то же самое соотношение, что и в определении тангенса.

Котангенс, соответственно, представляет собой отношение прилежащей к углу стороны к противолежащей. Тот же результат мы получим, разделив единицу на тангенс.

Итак, мы рассмотрели определения, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс, и можем заняться формулами.

Простейшие формулы

В тригонометрии не обойтись без формул — как найти синус, косинус, тангенс, котангенс без них? А ведь именно это требуется при решении задач.

Первая формула, которую необходимо знать, начиная изучать тригонометрию, говорит о том, что сумма квадратов синуса и косинуса угла равна единице. Данная формула является прямым следствием теоремы Пифагора, однако позволяет сэкономить время, если требуется узнать величину угла, а не стороны.

Многие учащиеся не могут запомнить вторую формулу, также очень популярную при решении школьных задач: сумма единицы и квадрата тангенса угла равна единице, деленной на квадрат косинуса угла. Присмотритесь: ведь это то же самое утверждение, что и в первой формуле, только обе стороны тождества были поделены на квадрат косинуса. Выходит, простая математическая операция делает тригонометрическую формулу совершенно неузнаваемой. Помните: зная, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс, правила преобразования и несколько базовых формул вы в любой момент сможете сами вывести требуемые более сложные формулы на листе бумаги.

Формулы двойного угла и сложения аргументов

Ещё две формулы, которые требуется выучить, связаны со значениями синуса и косинуса при сумме и разности углов. Они представлены на рисунке ниже. Обратите внимание, что в первом случае оба раза перемножается синус и косинус, а во втором складывается попарное произведение синуса и косинуса.

Также существуют формулы, связанные с аргументами в виде двойного угла. Они полностью выводятся из предыдущих — в качестве тренировки попробуйте получить их самостоятельно, приняв угол альфа равным углу бета.

Наконец, обратите внимание, что формулы двойного угла можно преобразовать так, чтобы понизить степень синуса, косинуса, тангенса альфа.

Теоремы

Двумя основными теоремами в базовой тригонометрии являются теорема синусов и теорема косинусов. С помощью этих теорем вы легко сможете понять, как найти синус, косинус и тангенс, а значит, и площадь фигуры, и величину каждой стороны и т. д.

Теорема синусов утверждает, что в результате деления длины каждой из сторон треугольника на величину противолежащего угла мы получим одинаковое число. Более того, это число будет равно двум радиусам описанной окружности, т. е. окружности, содержащей все точки данного треугольника.

Теорема косинусов обобщает теорему Пифагора, проецируя её на любые треугольники. Оказывается, из суммы квадратов двух сторон вычесть их произведение, умноженное на двойной косинус смежного им угла — полученное значение окажется равно квадрату третьей стороны. Таким образом, теорема Пифагора оказывается частным случаем теоремы косинусов.

Ошибки по невнимательности

Даже зная, что такое синус, косинус и тангенс, легко совершить ошибку из-за рассеянности внимания или ошибки в простейших расчётах. Чтобы избежать таких ошибок, ознакомимся с наиболее популярными из них.

Во-первых, не следует преобразовывать обыкновенные дроби в десятичные до получения окончательного результата — можно и ответ оставить в виде обыкновенной дроби, если в условии не оговорено обратное. Такое преобразование нельзя назвать ошибкой, однако следует помнить, что на каждом этапе задачи могут появиться новые корни, которые по задумке автора должны сократиться. В этом случае вы напрасно потратите время на излишние математические операции. Особенно это актуально для таких значений, как корень из трёх или из двух, ведь они встречаются в задачах на каждом шагу. То же касается округлений «некрасивых» чисел.

Далее, обратите внимание, что к любому треугольнику применима теорема косинусов, но не теорема Пифагора! Если вы по ошибке забудете вычесть удвоенное произведение сторон, умноженное на косинус угла между ними, вы не только получите совершенно неверный результат, но и продемонстрируете полное непонимание предмета. Это хуже, чем ошибка по невнимательности.

В-третьих, не путайте значения для углов в 30 и 60 градусов для синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов. Запомните эти значения, ведь синус 30 градусов равен косинусу 60, и наоборот. Их легко перепутать, вследствие чего вы неизбежно получите ошибочный результат.

Применение

Многие ученики не спешат приступать к изучению тригонометрии, поскольку не понимают её прикладного смысла. Что такое синус, косинус, тангенс для инженера или астронома? Это понятия, благодаря которым можно вычислить расстояние до далёких звёзд, предсказать падение метеорита, отправить исследовательский зонд на другую планету. Без них нельзя построить здание, спроектировать автомобиль, рассчитать нагрузку на поверхность или траекторию движения предмета. И это только самые очевидные примеры! Ведь тригонометрия в том или ином виде используется повсюду, начиная от музыки и заканчивая медициной.

В заключение

Итак, вы синус, косинус, тангенс. Вы можете использовать их в расчётах и успешно решать школьные задачи.

Вся суть тригонометрии сводится к тому, что по известным параметрам треугольника нужно вычислить неизвестные. Всего этих параметров шесть: длины трёх сторон и величины трёх углов. Всё различие в задачах заключается в том, что даются неодинаковые входные данные.

Как найти синус, косинус, тангенс исходя из известных длин катетов или гипотенузы, вы теперь знаете. Поскольку эти термины обозначают не что иное, как отношение, а отношение — это дробь, главной целью тригонометрической задачи становится нахождение корней обычного уравнения либо же системы уравнений. И здесь вам поможет обычная школьная математика.

Тригонометрия — раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии.

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

Синус угла (sin α) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинус угла (cos α) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла (t g α) — отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла (c t g α) — отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

Приведем иллюстрацию.

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Важно помнить!

Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса — вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от — ∞ до + ∞ .

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

Начальная точка A с координатами (1 , 0) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A 1 . Определение дается через координаты точки A 1 (x , y).

Синус (sin) угла поворота

Синус угла поворота α — это ордината точки A 1 (x , y). sin α = y

Косинус (cos) угла поворота

Косинус угла поворота α — это абсцисса точки A 1 (x , y). cos α = х

Тангенс (tg) угла поворота

Тангенс угла поворота α — это отношение ординаты точки A 1 (x , y) к ее абсциссе. t g α = y x

Котангенс (ctg) угла поворота

Котангенс угла поворота α — это отношение абсциссы точки A 1 (x , y) к ее ординате. c t g α = x y

Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой (0 , 1) и (0 , — 1). В таких случаях выражение для тангенса t g α = y x просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом. Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

Важно помнить!

Синус и косинус определены для любых углов α .

Тангенс определен для всех углов, кроме α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z)

Котангенс определен для всех углов, кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z (α = π · k , k ∈ Z)

При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α «. Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10 π равен синусу угла поворота величиной 10 π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Начальная точка на окружности — точка A c координатами (1 , 0).

Положительному числу t

Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус (sin) числа t

Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t = y

Косинус (cos) числа t

Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t = x

Тангенс (tg) числа t

Тангенс числа t — отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. t g t = y x = sin t cos t

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t , совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α , отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α , кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z (α = π · k , k ∈ Z).

Можно сказать, что sin α , cos α , t g α , c t g α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента.

Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t . Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.

Основные функции тригонометрии

Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A (1 , 0) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A 1 (x , y) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A 1 O H равен углу поворота α , длина катета O H равна абсциссе точки A 1 (x , y) . Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A 1 (x , y) , а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности.

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α , при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

1. Тригонометрические функции представляют собой элементарные функции, аргументом которых является угол . С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике. Области применения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Так, например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций (ряда Фурье). Данные функции часто появляются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.

2. К тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синус , косинус , тангенс ,котангенс , секанс и косеканс . Для каждой из указанных функций существует обратная тригонометрическая функция.

3. Геометрическое определение тригонометрических функций удобно ввести с помощью единичного круга . На приведенном ниже рисунке изображен круг радиусом r=1. На окружности обозначена точка M(x,y). Угол между радиус-вектором OM и положительным направлением оси Ox равен α.

4. Синусом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к радиусу r:
sinα=y/r.
Поскольку r=1, то синус равен ординате точки M(x,y).

5. Косинусом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к радиусу r:
cosα=x/r

6. Тангенсом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к ee абсциссе x:
tanα=y/x,x≠0

7. Котангенсом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к ее ординате y:
cotα=x/y,y≠0

8. Секанс угла α − это отношение радиуса r к абсциссе x точки M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0

9. Косеканс угла α − это отношение радиуса r к ординате y точки M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. В единичном круге проекции x, y точки M(x,y) и радиус r образуют прямоугольный треугольник, в котором x,y являются катетами, а r − гипотенузой. Поэтому, приведенные выше определения тригонометрических функций в приложении к прямоугольному треугольнику формулируются таким образом:
Синусом угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом угла α называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом угла α называется противолежащего катета к прилежащему.
Котангенсом угла α называется прилежащего катета к противолежащему.
Секанс угла α представляет собой отношение гипотенузы к прилежащему катету.
Косеканс угла α представляет собой отношение гипотенузы к противолежащему катету.

11. График функции синус
y=sinx, область определения: x∈R, область значений: −1≤sinx≤1

12. График функции косинус
y=cosx, область определения: x∈R, область значений: −1≤cosx≤1

13. График функции тангенс
y=tanx, область определения: x∈R,x≠(2k+1)π/2, область значений: −∞

14. График функции котангенс
y=cotx, область определения: x∈R,x≠kπ, область значений: −∞

15. График функции секанс
y=secx, область определения: x∈R,x≠(2k+1)π/2, область значений:secx∈(−∞,−1]∪∪}

Полезное

Праздничные буквы для оформления

Не вошедшее в сборник сочинений Как сделать сладкий школьный кулек

Новое

«Аэрофлот» приглашает студентов, способных найти $55 тыс Статья о целевом обучении в авиации
Летная школа Аэрофлота: учебный центр Как получить целевое от аэрофлота
Какие расширения для Safari установить на Mac
Универсальная десятичная классификация
Программа для разработки своих шрифтов
RivaTuner Statistics Server — что это за программа?
Что это за программа RivaTuner Statistics Server и как её использовать?
Введение в Win32 API Полный справочник winapi на русском
Обзор бесплатной версии Inkscape Для рисования, редактирования, допечатной подготовки и веб-публикации
Презентация для начальных классов «буква е» Презентация по обучению гр буква е
Для Windows, Mac OS и Linux

Синус — График, Таблица, Свойства, Примеры

Синус угла представляет собой тригонометрическую функцию, которая обозначается sin x, где x — рассматриваемый угол. В прямоугольном треугольнике отношение перпендикуляра к гипотенузе называется синусоидой. Другими словами, это отношение стороны, противоположной рассматриваемому углу, а гипотенуза и ее значение изменяются при изменении угла. Функция синуса используется для представления звуковых и световых волн в области физики.

В этой статье мы изучим основные свойства sin x, синусоидального графика, его области определения и диапазона, производной, интеграла и разложения в степенной ряд. Функция синуса является периодической функцией и имеет период 2π. Мы решим несколько примеров, используя функцию синуса, чтобы лучше понять концепцию.

1.	Что такое синус?
2.	Определение синуса
3.	Формула функции синуса
4.	Синусоидальные функции Домен и диапазон
5.	Синусоидальный график
6.	Таблица синуса
7.	Свойства функции синуса
8.	Синусоидальные тождества
9.	Часто задаваемые вопросы о синусоидальной функции

Что такое синус?

Синус угла прямоугольного треугольника представляет собой отношение стороны, противолежащей углу, и гипотенузы. Функция синуса является важной периодической функцией в тригонометрии и имеет период 2π. Чтобы понять вывод sin x, давайте рассмотрим единичный круг с центром в начале координат плоскости. Переменная точка P движется по границе (окружности) этой окружности. Заметьте, что P находится в первом квадранте, а OP образует острый угол x радиан с положительной осью x. PQ — перпендикуляр, опущенный из точки P на горизонтальную ось. Таким образом, треугольник образуется путем соединения точек O, P и Q, как показано на рисунке.

Следовательно, синусоидальная функция для приведенного выше случая может быть математически записана как sin x = PQ/OP. Здесь x — острый угол между гипотенузой и основанием прямоугольного треугольника OPQ.

Определение синуса

Синус угла можно определить как отношение длины перпендикуляра к длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике. Он дает значение функции синуса угла между основанием и гипотенузой прямоугольного треугольника. Математически он обозначается как sin x, где x — острый угол между основанием и гипотенузой прямоугольного треугольника.

Формула функции синуса

Функция синуса записывается как отношение длины перпендикуляра и гипотенузы прямоугольного треугольника. Математически формула функции синуса относительно сторон прямоугольного треугольника записывается так:

sin x = противоположная сторона/гипотенуза = перпендикуляр/гипотенуза

Область функции синуса и диапазон

Областью определения функции синуса являются все действительные числа, поскольку sin x определен для всех x в (-∞, ∞). Принимая во внимание, что диапазон sin x равен [-1, 1], так как значение sin x не выходит за его пределы. График синусоидальной функции выглядит как волна, которая колеблется между -1 и 1. Кроме того, период sin x равен 2π, поскольку его значение повторяется через каждые 2π радиан. Область определения и диапазон синусоидальной функции также можно наблюдать с помощью ее графика. В разделе ниже давайте посмотрим, как построен график sin x.

Синусоидальный график

Прежде чем перейти к графику функции синуса, давайте разберемся, как значения синуса изменяются на единичном круге, а затем нанесем их на график. Как показано на изображении выше, мы отмечаем, что sin x = PQ/OP = PQ/1 = PQ (поскольку радиус единичного круга равен 1, поэтому OP = 1). Поскольку x изменяется, значение sin x изменяется с изменением длины PQ. Теперь мы изучим изменение функции синуса в четырех квадрантах координатной плоскости.

Случай 1: Изменение PQ в первом квадранте.

Предположим, что изначально P находится на горизонтальной оси. Рассмотрим движение P на 90° или π/2 рад. На следующем рисунке показаны различные положения P для этого движения. Ясно, что длина PQ увеличилась от начального значения 0 (когда x равно 0 радианам) до конечного значения 1 (когда x равно π/2 радианам).

Случай 2: Изменение PQ во втором квадранте.

Теперь мы проверим положение P во втором квадранте, как мы делали это в первом квадранте, и проверим, как изменяется значение функции синуса. P впоследствии перемещается из 9от 0° до положения 180°. В этой фазе движения длина PQ уменьшается от максимума 1 при 90° до минимума 0 при 180°.

Случай 3: Изменение PQ в третьем квадранте.

Когда P перемещается из положения 180° в положение 270°, хотя длина или величина PQ увеличивается. Но так как направление вдоль отрицательной оси y, фактическое значение синусоидальной функции уменьшается с 0 до -1. Таким образом, значение синусоидальной функции для угла x уменьшается.

Случай 4: Изменение PQ в четвертом квадранте.

Наконец, когда P перемещается из положения 270° в положение 360°, sin x увеличивается с -1 до 0 (снова). Хотя длина или величина PQ уменьшается, значение величины PQ будет увеличиваться, потому что его направление направлено вдоль отрицательной оси y. Таким образом, значение синуса для угла x увеличивается.

Теперь мы можем изобразить это изменение на графике. Горизонтальная ось представляет входную переменную x как угол в радианах, а вертикальная ось представляет значение функции синуса. Объединив реакцию изменения значения PQ для всех четырех квадрантов, мы получили полный график зависимости PQ от x или sin x от x для одного полного цикла от 0 до 2π радиан (от 0° до 360°). Полученный таким образом синусоидальный график показан ниже:

Таблица синуса

Теперь давайте пройдемся по значениям функции синуса для некоторых конкретных углов, таких как 0°, 30°, 45°, 60°, 90° и т. д., поскольку их легко запомнить. Большинство приведенных ниже значений используются для решения различных задач по тригонометрии. Значения sin x перечислены ниже в тригонометрической таблице:

2 х ∈ (0,1). Пусть p будет таким, как в гипотезе. затем

sin _{p , p} ⁡( π _{p , p} x ₁ ) > y ₁

и аналогично

sin _{p , p} ⁡( π _{p , p} x ₂ ) > sin _2,2 ⁡( π _2,2 x ₂ ) = y ₂ .

В силу Binding и др. . [5], lemma 3, the function sin _{p , p} ⁡( t ) is strictly concave for t ∈(0, π _{p , p} /2 ). Тогда, по сути,

sinp,p⁡(πp,px)>ℓ0(x)=92x∀ x∈(x0,x1)sinp,p⁡(πp,px)>ℓ1(x)=(33−92)x+3− 32∀ x∈(x1,x2).

Пусть

Ij=22∫xjxj+1ℓj(x)sin⁡(3πx) dx.

Because sin⁡(3 π x ) ≤ 0 for x∈(13,12) and |sin _{p , p} ⁡( π _{p , p} x )| ≤ 1,

a3(p,p)=22∫01/2sinp,p⁡(πp,px)sin⁡(3πx) dx>I0+I1+I2=22(12π2+(π−2)3+36π2−13π)> 0.

Связанный (б). Обратите внимание, что

π6/5,6/5=10π3.

Установлен

{xj}j=04={0,110,15,25,12}и{yj}j=04={0,171250,

,99100,1}.

затем

sin6/5,6/5−1⁡(y1)=y1 2F 1(56,56;116;y165)<1<π3=π65,65x1

так что

sin _6/5,6/5 ⁡( π _6/5,6/5 x ₁ ) > y 1 .

Кроме того,

sin6/5,6/5−1⁡(y2)<2<π6/5,6/5x2andsin6/5,6/5−1⁡(y3)<3<π6/5,6/5x3,

так

sin _6/5,6/5 ⁡( π _6/5,6/5 x _j ) > y _j j = 2, 3.

Пусть p такое же, как в гипотезе. Тогда, аналогично предыдущему случаю (а),

sin _{p , p} ⁡( π _{p , p} x _j ) > y _j j = 1, 2, 3.

6.1

Установлен

ℓj(x)=yj+1−yjxj+1−xj(x−xj)+yjj=0,1,3ℓ2(x)=1.

По строгой вогнутости и (6.1)

sin _{p , p} ⁡( π _{p , p} x ) > ℓ _j ( x ) ∀ x ∈ ( x _j , x _{j +1} ) j = 0, 1, 3.

Позволять

Ij=22∫xjxj+1ℓj(x)sin⁡(5πx) dxj=0,1,2,3.

Затем,

а5(р,р)>∑j=03Ij>3100>0

как заявлено.

Связанный (в). Пусть p будет таким, как в гипотезе. Установлен

{xj}j=05={0,114,17,27,37,12}и{yj}j=05={0,283500,106125,1,1,1}.

затем

sin6/5,6/5−1⁡(y1)<73100<π6/5,6/5x1andsin6/5,6/5−1⁡(y2)<147100<π6/5,6/5x2.

Следовательно,

sin _{p , p} ⁡( π _{p , p} x _j ) > у _у у = 1, 2.

Помещать

ℓj(x)=yj+1−yjxj+1−xj(x−xj)+yjj=0,1ℓ4(x)=1.

Затем,

sin _{p , p} ⁡( π _{p , p} x ) > ℓ _j ( x ) ∀ x ∈ ( x _j , x _{j +1} ) j = 0, 1,

Позволять

Ij=22∫xjxj+1ℓj(x)sin⁡(7πx) dxj=0,1,4Ij=22∫xjxj+1sinp,p⁡(πp,px)sin⁡(7πx) dxj=2,3.

Because sin⁡(7 π x ) is negative for x ∈( x ₂ , x ₃ ) and positive for x ∈( x ₃ , х ₄ ), затем I ₂ + I ₃ >0. Следовательно,

а7(р,р)>I0+I1+I4>31000>0.

Связанный (d) Обратите внимание, что

π12/11,12/11=11π23(3−1).

Пусть p будет таким, как в гипотезе. Установлен

{xj}j=05={0,118,19,13,49,12}и{yj}j=05={0,1724,1516,1516,1516,1516}.

Затем,

sin12/11,12/11−1⁡(y1)<112100<π12/11,12/11x1andsin12/11,12/11−1⁡(y2)<233100<π12/11,12/11x2.

Следовательно,

sin _{p , p} ⁡( π _{p , p} x _j ) > y _j j = 1, 2.

Помещать

ℓj(x)=yj+1−yjxj+1−xj(x−xj)+yjj=0,1ℓ3(x)=1ℓ4(x)=1516.

Затем,

sin _{p , p} ⁡( π _{p , p} x ) > ℓ _j ( x ) ∀ x ∈ ( x _j , x _{j +1} ) j = 0, 1, 4.

Позволять

Ij=22∫xjxj+1ℓj(x)sin⁡(9πx) dxj=0,1,3,4I2=22∫x2x3sinp,p⁡(πp,px)sin⁡(9πx) dx.

Тогда I ₂ >0. Следовательно,

a9(p,p)>I0+I1+I3+I4=22(23216π2−172π)>0.

▪

Следствие 6.2 является прямым следствием объединения (a) и (d) из этой леммы с теоремой 5.1.

См. .

В статье [4], опубликованной несколько лет спустя, утверждается, что гипотеза (1.2) верна при p=q≥p~1, где p~1 определяется формулой (1.6). Затем было заявлено, что приближенное решение (1.6) близко к 1,05<1211. Точная численная аппроксимация (1.6), основанная на аналитических оценках 91≈1,158739>1211, что немного улучшает значение p~1 из [4]. Однако, как отмечено в [4], верхняя граница

|aj|≤22πp,pj2π2

обеспечивающее (5.5) и, следовательно, справедливость теоремы 5.2(a), является слишком грубым для малых значений p . Заметим, например, что правильным режимом является aj(p,p)→22/jπ, тогда как π _{p , p} → ∞ как p →1 (см. приложение A). Поэтому для определения обратимости A в окрестности p=q=1211 необходимо найти более точные оценки для нескольких первых слагаемых | a _j |, и использовать (1.2) напрямую. В этом состоит цель следующей леммы.

Следующий результат фиксирует доказательство утверждения, сделанного в [5, §4, и утверждения 2, и улучшает порог обратимости, определенный в [4, теорема 4.5].

Точная численная аппроксимация решения уравнения с равенством в (6.2) дает p3≈1,087063<1211 ().

Если имеются точные оценки первых нескольких коэффициентов Фурье a _j ( p , q ), подход, использованный выше для доказательства теоремы 6.5, также можно комбинировать с критериями ( 4.1) или (4.2). Естественный вопрос: приведет ли это к положительному ответу на вопрос об обратимости A всякий раз, когда

∑k=3∞aj≥a1.

В случае (4.1), как мы увидим ниже, это действительно так. Ключевое утверждение резюмируется следующим образом.

Обсудим теперь связь между различными утверждениями, установленными в предыдущих разделах, с положениями статей [3–5]. Для этого рассмотрим различные точные приближения a _j и ∑ a _j . Эти приближения основаны на следующих явных формулах

πp,q=2B(1/q,(p−1)/p)q=2Γ((p−1)/p)Γ(1/q)qΓ((p−1)/p+1/ р)

а также

aj(p,q)=22jπ∫01cos(jπxπp,q 2F 1(1p,1q;1+1q;xq))dx=22jπ∫01cos(jπ2I(1q,p−1p;xq))dx.

Здесь ℐ — неполная бета-функция, B — бета-функция, а Γ — гамма-функция. Более того, точно рассмотрев шаги, описанные в [4] для доказательства Бушелла и Эдмундса [4], (4.15), следует, что

∑j=1∞aj(p,q)=2π∫01log[cot(πx2πp,q 2F 1(1p,1q;1+1q;xq))]dx=2π∫01log[cot(π4 I(1q ,p−1p;xq))]dx.

Начнем со случая равных индексов (). Как упоминалось во введении,

∑k=3∞aj(p2,p2)=a1(p2,p2)

для р ₂ ≈1,043989. Состояние A ₃ ( P , P ) ( A ₁ ( P , P )+ A , P )+ A , P )+ A , P )+ A , P )+ A , P )+ A , P )+ P , P )+ P , P ). > 4 A ₉ ( P , P ) A ₁ ( P , P ). 1.038537. Коэффициенты Фурье a _j ( p , p )≥0 для всех 1≤ j ≤35 всякий раз, когда 1 k = 35 для численной проверки условий предложения 7.1, допускающих p < p ₂ . Действительно, отметим следующее.

(a) Для k =3,…,33 условие (7.1) выполняется только при p5 p ₅ ≥1,044573> р ₂ .
(b) При k =35 условие (7. 1) выполняется при p6 p ₆ ≈1,043917< p 2 908.

Это указывает на то, что порог обратимости A в настройках гильбертова пространства для p = q составляет не менее p ₆ .

Теперь рассмотрим общий случай. Графики, показанные на и ] соответствуют областям в ( p , q )-плоскость вблизи ( p , q )=(1,1). Кривые, выделенные красным цветом (онлайн-версия), относятся только к настройке гильбертова пространства r = 2. Черные кривые (онлайн-версия) относятся к r >1.

a и увеличенное изображение b имеют две сплошные (черные) линии. Тот, который показывает предел применимости теоремы 5.2(a), и тот, который показывает предел применимости результата из [3]. Штриховая линия показывает, где встречается (1.3). Слева от этой кривой (1.2) неприменимо. В ( a ), which indicate where a ₃ ( a ₁ + a ₉ )<4 a ₁ a ₉ and where a _j <0 для j =3,9. Предложение 7.1 неприменимо в объединении этих областей. Мы также показываем строки, где a ₃ = 0 и a ₉ = 0. Последний является частью границы этого союза. Сплошная красная линия, соответствующая пределу применимости теоремы 5.2(b), также включена в а , д . Справа от этой линии, в белой области, мы знаем, что A обратимо для r = 2. Увеличение в b ясно показывает разрыв между теоремой 5.2 (a), (b) в этой настройке r = 2.

Конечно, p = q =2 является точкой пересечения всех кривых, где a _j =0 для j >1. Эти кривые показаны для c также для j =5 и j =7. На этом рисунке мы также включаем границу региона, где A ₃ ( A ₁ + A ) <4 A ₁

0404040404
4
409090090090

0 ). область, где a _j <0 теперь для j =3,5,7,9. Отметим, что кривые для а ₇ =0 и а ₉ =0 являются частью границы последней. Сравнение и и c , новая линия, пересекающая ось p в точке p ≈1,1, соответствует пределу, где применимо предложение 7.1 для k =7 (для p справа от этой линии) . Разрыв между двумя красными линиями (случай r = 2) указывает на то, что предложение 7.1 может значительно повысить порог базисности по отношению к прямому применению теоремы 5.2(b).

При увеличении k граница соответствующей области сдвигается влево, см. увеличенное изображение на д , е . Две другие кривые красного цвета, расположенные очень близко к вертикальной оси, соответствуют точному значению параметра k , где предложение 7.1 позволяет доказать обратимость замены координат, включающей разрыв, сделанный (1. 3). Для k <35 область не включает черную пунктирную линию, для k =35 она включает эту линию. Область, показанная синим цветом в Q1, указывает на возможное место, где следствие 4.3 все еще может быть применимо, но в этом отношении необходимы дальнейшие исследования.

относится к формулировке теоремы 5.2(c). Небольшой клин, показанный зеленым, — единственное место, где можно применить первый вариант. Оказывается, условия следствия 4.4 не позволяют использовать его для определения обратимости A в окрестности ( p , q )=(1,1). Однако в области, показанной зеленым цветом, верхняя граница следствия постоянной Рисса (4.2) более точная, чем оценка, полученная из (1.2).

Авторы выражают благодарность Полу Биндингу, предложившему эту задачу несколько лет назад. Они также благодарны Стефании Маркантонини за ее проницательные комментарии во время подготовки этой рукописи.

Часть трудностей доказательства базисности семейства 𝒮 в режиме p = q → 1 приходится на то, что коэффициенты Фурье s ₁ приближаются к коэффициентам функции sign( sin⁡( π x )). В этом приложении мы покажем, что действительно

хромать→1(max0≤x≤1|s1(x)−sign(sin⁡(πx))|)=0.

А 1

¹ См. http://arxiv.org/abs/1405.7337.

² См. также [5], лемма 5.

³ Коэффициенты Фурье в Binding и др. . [5] отличаются от a _j ( p , p ) в 2 раза. Обратите внимание, что основная собственная функция уравнения p -лапласиана в Binding et 3 al. [5] обозначается как S _p ( x ) и равно sin _{p , p} ⁡( x ), как определено выше. Ключевым наблюдением здесь является p -Тождество Пифагора |sinp,p⁡(x)|p+|sinp,p′⁡(x)|p=1=|Sp(x)|p+|Sp′(x)|p.

Никакая часть этого исследования не проводилась на людях или животных.

Все числовые величины, приведенные в этом документе, точны до последней цифры, которая округляется до ближайшего целого числа. В онлайн-версию, доступную по адресу http://arxiv.org/abs/1405.7337, мы включили полностью воспроизводимые компьютерные коды, которые можно использовать для проверки представленных расчетов.

Оба автора в равной степени участвовали во всех компонентах исследования, представленного в этой статье.

Л.Б. выражает признательность за поддержку со стороны Британского исследовательского совета по инженерным и физическим наукам (EP/I00761X/1), Фонда поддержки исследований Эдинбургского математического общества и Венецианского института научных исследований.

У нас нет конкурирующих интересов.

1. Линдквист П. 1995. Некоторые замечательные функции синуса и косинуса. Ричерче ди Математика 44, 290–296. [Google Scholar]

2. Эдмундс Д., Ланг Дж. 2011. Вложения собственных значений и обобщенные тригонометрические функции. Берлин, Германия: Springer. [Академия Google]

3. Эдмундс Д., Гурка П., Ланг Дж. 2012. Свойства обобщенных тригонометрических функций. Дж. Прибл. Теория 164, 47–56 (doi:10.1016/j.jat.2011.09.004) [Google Scholar]

4. Bushell PJ, Edmunds D. 2012. Обобщенные тригонометрические функции. Скалистая гора Дж. Математика. 42, 25–57 (doi:10.1216/RMJ-2012-42-1-25) [Google Scholar]

5. Binding P, Boulton L, Cepicka J, Drábek P, Girg P. 2006. Базисные свойства собственных функций $p$-лапласиана. проц. Являюсь. Мат. соц. 134, 3487–3494 (doi:10.1090/S0002-9939-06-08001-4) [Google Scholar]

6. Binding P, Drábek P. 2003. Теория Штурма–Лиувилля для p -лапласиана. Studia Scientiarium Mathematicarum Hungarica 40, 375–396 (doi:10.1556/SScMath.40.2003.4.1) [Google Scholar]

7. Boulton L, Lord G. 2011. Аппроксимационные свойства q -основ синуса. проц. Р. Соц. А 467, 2690–2711 (doi:10.1098/rspa.2010.0486) [Google Scholar]

8. Evans LC, Feldman M, Gariepy R. 1997. Быстрая/медленная диффузия и разрушение песчаных отложений. Дж. Дифф. Экв. 137, 166–209(doi:10.1006/jdeq.1997.3243) [Google Scholar]

9. Edmunds D, Gurka P, Lang J. 2014. Распад ( p , q )-коэффициентов Фурье. проц. Р. Соц. А 470, 20140221 (doi:10.1098/rspa.2014.0221) [бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

10. Edmunds D, Gurka P, Lang J. 2014. Базисные свойства обобщенных тригонометрических функций. Дж. Матем. Анальный. заявл. 420, 1680–1692 (doi:10.1016/j.jmaa.2014.06.015) [Google Scholar]

11. Като Т. 1995. Теория возмущений для линейных операторов. Берлин, Германия: Springer. [Академия Google]

12. Певица И. 1970. Базисы в банаховых пространствах I. Берлин, Германия: Springer. [Google Scholar]

13. Хиггинс Дж.Р. 1977. Полнота и базисность множеств специальных функций. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. [Google Scholar]

14. Боултон Л. 2012. Применение методов несамосопряженных операторов к нелинейному оператору p -Лапласа в одном измерении. Интегральное уравнение Теория операторов 74, 1–2 (doi:10.1007/s00020-011-1933-9) [Google Scholar]

15. Розенблюм М., Ровняк Ю. 1984. Классы Харди и теория операторов. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. [Google Scholar]

16. Никольский Н. 1986 год. Трактат об операторе сдвига. Берлин, Германия: Springer. [Google Scholar]

17. Бётчер А., Зильберманн Б. 1998. Введение в большие усеченные тёплицевые матрицы. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. [Google Scholar]

18. Hedenmalm H, Lindqvist P, Seip K. 1997. Гильбертово пространство рядов Дирихле и системы расширенных функций в л ² (0,1). Герцог Математика. Дж. 86, 1–37 (doi:10.1215/S0012-7094-97-08601-4) [Google Scholar]

19. Hedenmalm H, Lindqvist P, Seip K. 1999. Дополнение к: гильбертово пространство рядов Дирихле и системы расширенных функций в L ² (0,1). Герцог Математика. Дж. 99, 175–178 (doi:10.1215/S0012-7094-99-09907-6) [Google Scholar]

Статьи из Proceedings. Математические, физические и инженерные науки представлены здесь благодаря The Royal Society

Симметрия в тригонометрических графах | Brilliant Math & Science Wiki

Содержание

Симметрия
Четные и нечетные функции
Симметрия в углах
Примеры

Функции косинуса и синуса удовлетворяют следующим свойствам симметрии:
cos⁡(−θ)=cos⁡(θ)sin⁡(−θ)=−sin⁡(θ). \begin{выровнено} \cos(-\theta) &= \cos(\theta) \\ \sin(-\theta) &= -\sin(\theta). \end{align}cos(-θ)sin(-θ)=cos(θ)=-sin(θ).

Из определения косинуса и синуса в единичной окружности
x=cos⁡θ и y=sin⁡θ.x= \cos \theta \quad \text{ и } \quad y= \sin \theta. х=cosθ и y=sinθ.
Мы видим, что как для θ\thetaθ, так и для −θ-\theta−θ xxx остается одним и тем же. Таким образом, cos⁡θ=cos⁡(−θ)\cos\theta=\cos (-\theta)cosθ=cos(−θ).
Точно так же мы можем видеть, что yyy в двух случаях являются аддитивно обратными друг другу. Таким образом, sin⁡(−θ)=−sin⁡θ. □\sin (-\theta)=-\sin\theta.\ _\squaresin(-θ)=-sinθ. □

Теперь, когда у нас есть вышеуказанные тождества, мы можем доказать несколько других тождеств, как показано в следующем примере.

Докажите тождества
тангенс⁡(-θ)=-тангенс⁡(θ)кот⁡(-θ)=-кот⁡(θ)csc⁡(-θ)=-csc⁡(θ)сек⁡(-θ)=сек⁡( θ). \begin{выровнено} \загар(-\тета) &= -\загар(\тета)\\ \кот(-\тета) &= -\кот(\тета)\\ \csc(-\тета) &= -\csc(\тета)\\ \сек(-\тета) &= \сек(\тета). \end{align}tan(-θ)cot(-θ)csc(-θ)sec(-θ)=-tan(θ)=-cot(θ)=-csc(θ)=sec(θ).
У нас есть
тангенс⁡(-θ)=sin⁡(-θ)cos⁡(-θ)=-sin⁡(θ)cos⁡(θ)=-tan⁡(θ)cot⁡(-θ)=1tan⁡(- θ)=1−tan⁡(θ)=−cot⁡(θ)csc⁡(−θ)=1sin⁡(−θ)=1−sin⁡(θ)=−csc⁡(θ)сек⁡(−θ )=1cos⁡(−θ)=1cos⁡(θ)=sec⁡(θ). □\begin{выровнено} \tan(-\theta) &=\frac{\sin(-\theta)}{\cos(-\theta)}=\frac{-\sin(\theta)}{\cos(\theta)}= -\загар(\тета)\\ \cot(-\theta) &=\frac{1}{\tan(-\theta)}=\frac{1}{-\tan(\theta)}=-\cot(\theta)\\ \csc(-\theta) &=\frac{1}{\sin(-\theta)}=\frac{1}{-\sin(\theta)}=-\csc(\theta)\\ \sec(-\theta) &=\frac{1}{\cos(-\theta)}=\frac{1}{\cos(\theta)}=\sec(\theta).\ _\square \end{align}tan(-θ)cot(-θ)csc(-θ)sec(-θ)=cos(-θ)sin(-θ)=cos(θ)−sin(θ)= −tan(θ)=tan(−θ)1=−tan(θ)1=−cot(θ)=sin(−θ)1=−sin(θ)1=−csc(θ)= cos(−θ)1=cos(θ)1=sec(θ). □

Используя описанные выше свойства симметрии, мы можем показать, что синус и косинус являются особыми типами функций.

Функция f(x)f(x)f(x) является четной функцией тогда и только тогда, когда для всех действительных значений xxx f(−x)=f(x)f(-x)=f(x )f(−x)=f(x). Другими словами, график симметричен относительно оси yyy.

Функция f(x)f(x)f(x) является нечетной функцией тогда и только тогда, когда для всех действительных значений xxx f(−x)=−f(x)f(-x)=-f (х)f(-x)=-f(x). Другими словами, граф симметричен относительно начала координат.
Кроме того, f(−0)=−f(0) ⟹ f(0)=0f(-0)=-f(0)\подразумевает f(0)=0f(−0)=−f(0)⟹ f(0)=0. То есть нечетная функция должна проходить через начало координат.

Из этого определения функция косинуса является четной функцией , а функция синуса является нечетной функцией .

Какая симметрия существует между углами θ\thetaθ и (θ+π)?(\theta + \pi)?(θ+π)? Если мы подставим несколько значений для θ\thetaθ, как изменятся основные тригонометрические функции?

В силу свойств симметрии мы можем записать sin⁡(θ+π)\sin (\theta + \pi) sin(θ+π) через sin⁡(θ)\sin(\theta)sin(θ ) следующим образом: 92(x) + \cos(x) = f(x)f(−x)=tan2(−x)+cos(−x)=tan2(x)+cos(x)=f(x)

, так как cos⁡(x)\cos(x)cos(x) — четная функция. Следовательно, f(x)f(x)f(x) — четная функция. □_\квадрат□

Найдите связь между загаром⁡(θ+π)\загаром (\тета + \пи) загаром (θ+π) и загаром⁡(θ).\загаром (\тета ). загар (θ).
Решение 1: У нас есть
тангенс⁡(θ+π)=sin⁡(θ+π)cos⁡(θ+π)=−sin⁡(θ)−cos⁡(θ)=sin⁡(θ)cos⁡(θ)=tan⁡ (θ).\begin{выровнено} \ tan (\ theta + \ pi) & = \ frac {\ sin (\ theta + \ pi )} {\ cos (\ theta + \ pi) } \\ &= \frac{-\sin(\theta)}{-\cos(\theta)}\\ & = \ гидроразрыва {\ грех (\ тета)} {\ соз (\ тета)} \\ &= \загар (\тета). \end{align}tan(θ+π)=cos(θ+π)sin(θ+π)=−cos(θ)−sin(θ)=cos(θ)sin(θ)=tan (θ).
Следовательно, tan⁡(θ+π)=tan⁡(θ).\tan (\theta + \pi) = \tan (\theta ).tan(θ+π)=tan(θ).
Решение 2: У нас есть
tan⁡(x+π)=tan⁡(x)+tan⁡(π)1−tan⁡(x)tan⁡(π)=tan⁡(x)+01−tan⁡(x)⋅0=tan ⁡(x).\tan(x + \pi) = \frac{\tan(x) + \tan(\pi)}{ 1 — \tan(x) \tan(\pi)} = \frac{\ tan(x) + 0}{ 1 — \tan(x) \cdot 0} = \tan(x). tan(x+π)=1−tan(x)tan(π)tan(x)+tan( π)=1−tan(x)⋅0tan(x)+0=tan(x).
Это показывает, что период касательной функции не превосходит π\piπ. □_\квадрат□

Поскольку функция косинуса удовлетворяет условию cos⁡(−θ)=cos⁡(θ)\cos(-\theta) = \cos(\theta) cos(−θ)=cos(θ), график функции cos⁡( x)\cos(x)cos(x) симметричен относительно оси yyy. Какой симметрии удовлетворяет график функции sin⁡(x)?\sin(x)?sin(x)?
Поскольку функция sin⁡(x)\sin(x)sin(x) удовлетворяет условию sin⁡(−x)=sin⁡(x)\sin(-x) = \sin(x)sin(−x)= sin(x), график sin⁡(x)\sin(x)sin(x) симметричен относительно начала координат. □_\квадрат□
В общем, для любой четной функции f(x)f(x)f(x) график f(x)f(x)f(x) симметричен относительно оси yyy; для любой нечетной функции g(x)g(x)g(x) график g(x)g(x)g(x) симметричен относительно начала координат.
Дополнительные свойства синусоидальных и косинусоидальных графиков см. в разделе Графики синуса и косинуса.

Процитировать как: Симметрия в тригонометрических графах. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/symmetry-in-trigonometric-graphs/

Свойство функции синуса и функции косинуса?

Функция Косинус Синус Тета

Эдди С.

спросил 24.10.14

Мой учитель писал, что если тэта-единица — это любое острое значение, такое что грех тета = k, то другое значение тета, удовлетворяющее этому, — это тета-2 = пи-тэта-единица.

А для косинуса это тета2=2пи-тета единица.

Что это значит?

Подписаться І 3

Подробнее

Отчет

2 ответа от опытных наставников

Лучший Новейшие Самый старый

Автор: ЛучшиеНовыеСамыеСтарые

Расс П. ответил 25.10.14

Репетитор

4. 9 (135)

Выпускник Массачусетского технологического института по репетиторству по математике и естественным наукам

См. таких репетиторов

Смотрите таких репетиторов

Edward, Θ

Обратите внимание, что углы тета указаны в радианах, а не в градусах. Один π (пи) радиан на самом деле равен 180 ^o и 2π радиан — это полный круг или 360 ^o .

Представьте себе острый угол Θ ₁ в квадранте I, опустите перпендикуляр к оси x через x=1, и вы получите прямоугольный треугольник, высота которого равна sin(Θ1) = k, а основание равно 1. Теперь поверните этот треугольник вокруг оси Y в квадрант II. Ни один из углов или длин внутри этого треугольника не изменился. Θ ₂ теперь представляет собой угол, измеренный от оси +x до гипотенузы этого повернутого треугольника. Итак, Θ ₂ = ( π — Θ ₁ ) радиан. И sin(Θ ₂ ) = sin(Θ ₁ ) = k по построению.

Чтобы доказать это аналитически, начните с известного соотношения:

sin (x — y) = sin (x) cos (y) — cos(x) sin(y), подставьте в x = π и y = +Θ ₁

sin (π — Θ ₁ ) = sin (π) cos (Θ ₁ ) — cos(π) sin(Θ ₁ ), и обратите внимание, что sin (π) = 0 и cos(π) = -1 в квадранте II

Таким образом, sin (π — Θ ₁ ) = — (-1) sin(Θ ₁ ) = sin(Θ ₁ ) = k

Во второй части поверните треугольник из квадранта I вокруг оси x в квадрант IV.

Теперь Θ ₂ = ( 2π — Θ ₁ ), потому что это угол, который начинается на оси +x, проходит через квадранты I, II, III в IV и заканчивается Θ ₁ радиан меньше x -ось или 2π. И cos (Θ ₁ ) = 1 по построению в квадрантах I и IV.

Чтобы доказать это аналитически, начнем с другого известного соотношения:
cos (x — y) = cos (x) cos (y) — sin (x) sin (y), подставить в x = 2π и y = +Θ ₁
cos (2π — Θ ₁ ) = cos (2π) cos (Θ ₁ ) — sin (2π) sin(Θ ₁ ), и обратите внимание, что sin (2π) = 0 и cos(2π) = +1 в квадранте IV
Таким образом, cos (2π — Θ1) = (+1) cos (Θ ₁ ) = cos (Θ1) = 1

Голосовать за 0 Понизить голос

Подробнее

Отчет

Филип Н. ответил 25.10.14

Репетитор

Новое в Византе

Сертифицированный учитель математики 5-12 лет

Об этом репетиторе ›

Рассмотрим любое значение θ в области 0 ≤ θ ₁ ≤ ^π ⁄ ₂ (где θ ₁ острое или правое). Если мы возьмем расстояние от θ 9От 0895 1 до ^π ⁄ ₂, добавьте эту разницу в ^π ⁄ ₂ и назовите, что θ ₂, тогда SIN (θ ₁) = SIN (θ ₂).

Это просто способ сказать, что синусоидальная функция симметрична относительно θ = ^π ⁄ ₂ в области 0 ≤ θ ₁ ≤ π. Чтобы проверить это, проведите вертикальную линию через график функции синуса в точке θ = ^π ⁄ ₂ и согните страницу по этой линии; там функция отражена.

Добавить комментарий Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Комментарий *

Имя *

Email *

Сайт

Синус Градусы

Синус Радианы

Значение функции синуса (sin x)

sin 0°

грех 0

sin 30°

грех π/6

1/2

sin 45°

грех π/4

1/√2

sin 60°

грех π/3

√3/2

sin 90°

грех π/2

sin 120°

грех 2π/3

√3/2

sin 150°

грех 5π/6

1/2

sin 180°

грех π

sin 270°

грех 3π/2

-1

sin 360°

грех 2π

0 9{2n+1}}{(2n+1)!}\)

Функция синуса является нечетной функцией, поскольку sin(−x) = −sin x.

Обратная величина sin x равна cosec x.

Областью определения синуса являются все действительные числа в диапазоне [-1,1].

Синусоидальные тождества

В тригонометрии есть несколько тождеств, связанных с функцией синуса. Эти тождества очень полезны при решении различных математических задач. Некоторые из них перечислены ниже:

sin x = 1/cosec x
Инверсия синуса равна sin ^-1 x = arcsin x, где x лежит в [-1, 1]
sin ² х + cos ² х = 1
sin (x + y) = sin x cos y + sin y cos x
sin (x — y) = sin x cos y — sin y cos x
sin 2x = 2 sin x cos x
Производная sin x: d(sin x)/dx = cos x
Интеграл от sin x: ∫sin x dx = -cos x + C, где C — постоянная интегрирования

☛ Связанные темы:

Функция косинуса
Обратные тригонометрические соотношения
Тригонометрические соотношения

Важные примечания о функции синуса:

Синус может быть математически записан как:
sin x = Противоположная сторона/Гипотенуза = Перпендикуляр/Гипотенуза
f(x) = sin x — периодическая функция, а период синусоидальной функции равен 2π.
Область определения и область значений синуса равны (−∞, ∞) и [−1,1] соответственно.

Часто задаваемые вопросы о синусоидальной функции

Что такое синус в тригонометрии?

синус угла является тригонометрической функцией, также известной как функция синуса. Отношение длин стороны, противоположной углу, и гипотенузы прямоугольного треугольника называется синусоидальной функцией, которая изменяется при изменении угла, и обозначается как sin x, где x — острый угол между основанием и гипотенуза.

Как найти период синуса?

Чтобы найти период синусоидальной функции f(x) = Asin Bx + C, мы используем формулу Period = 2π/|B|. Для синусоидальной функции f(x) = sin x мы имеем A = 1, B = 1, C = 0. Мы подставляем это значение B в формулу, чтобы найти период синусоидальной функции. Следовательно, период sin x определяется выражением Period = 2π/|1| = 2π.

Что такое диапазон функции синуса?

Диапазон функции синуса составляет [-1, 1], так как график sin x колеблется только между -1 и 1. Значение функции синуса не выходит за пределы -1 и 1.

Как найти амплитуду синуса?

Амплитуда синусоидальной функции f(x) = Asin Bx + C определяется значением A. Для f(x) = sin x имеем A = 1, B = 1 , C = 0. Следовательно, амплитуда синусоидальной функции sin x равна 1.

Является ли синусоидальная функция биективной?

Синус Функция, определенная для всех действительных чисел, не является биективной. Однако, если мы ограничим область определения sin x значением [-π/2, π/2] и переопределим функцию как f(x) = sin x, f: [-π/2, π/2] → [-1 , 1], то функция синуса становится биективной.

Что такое арксинус?

Функция, обратная синусу, задается как sin ^-1 x = arcsin x, где x лежит в [-1, 1]. Функция, обратная синусу, читается как «арксинус x» или «синус, обратный x».

Что такое формула функции синуса?

Формула функции синуса задается как sin x = Противоположная сторона/Гипотенуза = Перпендикуляр/Гипотенуза. Эта формула помогает определить значение функции синуса sin x, которое можно определить, используя длины сторон треугольника или угол x.

Синус непрерывен?

Синусоидальная диаграмма является непрерывной, так как на ней нет разрывов или пробелов, и ее можно рисовать, не отрывая пера. Кроме того, синусоидальная функция определена для всех действительных чисел, поэтому график не прерывается и его можно рисовать непрерывно. Отсюда можно сделать вывод, что функция синуса непрерывна.

Что такое период синуса?

Период функции синуса равен 2π, так как значения sin x повторяются через каждые 2π радиан. Это также можно увидеть на графике синусоидальной функции, поскольку значения sin x колеблются между -1 и 1 и повторяются через каждые 2π радиан. Следовательно, период синусоидальной функции равен 2π.

Функция синуса четная или нечетная?

Функция синуса является нечетной функцией, она удовлетворяет определению нечетной функции, то есть f(-x) = -f(x) для всех x. Имеем f(-x) = sin(-x) = -sinx = -f(x). Следовательно, sin x — нечетная функция.

Каково значение синуса?

Значение синуса изменяется при изменении угла между основанием и гипотенузой прямоугольного треугольника. Обычно используемые значения синуса: sin 0 = 0, sin π/6 = 1/2, sin π/4 = 1/√2, sin π/3 = √3/2 и sin π/2 = 1. , Мы можем определить эти значения, используя формулу синуса: sin x = Perpendicular/Hypotenuse.

9.1 Свойства синуса и косинуса

9.1 Свойства синуса и косинуса
Следующий: 9.2 Расчет Up: 9. Тригонометрические функции Предыдущий: 9. Тригонометрические функции &nbsp Индекс

9.1 Определение () Мы определяем функцию

следующим образом.

Если , то точка на единичной окружности такая, что длина из дуга, соединяющаяся с (измеряется против часовой стрелки) является равно . (Есть оптическая иллюзия на рисунке. Длина отрезка равна длине дуга.)

Таким образом, чтобы найти , вы должны начать с и двигаться дальше в двигайтесь по кругу против часовой стрелки, пока не пройдете расстояние. Поскольку длина окружности равна , мы видим, что . (Здесь мы предполагаем, что Архимеда результат, что площадь круга равна половине длины окружности, умноженной на радиус.) Если , мы определяем

(9.2)

где – отражение относительно горизонтальной оси. Таким образом, если , то является в точка, полученная путем старта и движения по единичной окружности в в по часовой стрелке.

Замечание . Определение зависит от нескольких идей, которых у нас нет. определенный или заявленные предположения о, например, длине дуги и против часовой стрелки направление . Я считаю, что объем работы, необходимый для формализации этих идеи в этом точка не стоит усилий, так что я надеюсь, что ваша геометрическая интуиция поможет ты через эту главу. (В этой главе мы будем допускать довольно много евклидовой геометрии и некоторые свойства площади, которые не следуют из наших предположений, изложенных в главе 5. )

Более автономное рассмотрение тригонометрических функций можно найти в [44, глава 15], но трактовка, данная используются идеи, которые мы рассмотрим позже (например, производные, обратные функции, теорема о промежуточном значении и основная теорема исчисления) чтобы определить тригонометрические функции.

У нас есть следующие значения для:

			(9.3)
			(9.4)
			(9.5)
			(9. 6)
			(9.7)

В целом

(9.8)

9,9 Определение (Синус и косинус.) В координатах пишем

(Мы читаем «» как « косинус от ‘, а «’ читаем как « синус «.)

Так как находится на единичной окружности, мы имеем

а также

Уравнения (9.3) — (9.8) показывают, что

а также

В уравнении (9.2) мы определили

Таким образом, для ,

и отсюда следует, что

С точки зрения компонентов

и следовательно 903:00
Пусть — произвольные действительные числа.

Тогда существуют целые числа и такой, что а также . Позволять

затем , так

Предполагать (см. рисунок). Тогда длина дуги, соединяющей это что то же самое, что и длина дуга, соединяющаяся с . Поскольку равные дуги в окружность равные хорды, мы имеем

и, следовательно

(9.10)

Вы можете убедиться, что это же соотношение выполняется, когда .

9.11 Теорема (Законы сложения для синуса и косинуса.) Для всех действительных чисел и ,

			(9.12)
			(9. 13)
			(9.14)
			(9.15)

Доказательство: Из (9.10) мы знаем

то есть,

Следовательно

Раскладывая квадраты и используя тот факт, что за все , мы заключаем, что

(9.16)

Это уравнение (9.13). Чтобы получить уравнение (9.12), замените на в (9.16). Если мы возьмем в уравнении (9.16) мы получить

или же

Если мы заменим на в этом уравнении получаем

Теперь в уравнении (9.

16) заменить на и получить

или же

которое представляет собой уравнение (9.14). Наконец, замените на в этом последнем уравнение к получить (9.15).

В процессе доказательства последней теоремы мы доказали следующее:

9.17 Теорема (Закон отражения для sin и cos.) Для всех ,

(9.18)

9.19 Теорема (Формулы двойного угла и половинного угла.) Для всех у нас есть

9,20 Упражнение. А Докажите четыре формулы теоремы 9.19.

9.21 Теорема (Произведения и разности sin и cos.) Для всех в ,

			(9. 22)
			(9.23)
			(9.24)
			(9.25)
			(9.26)

Доказательство: у нас есть

а также

Складывая эти уравнения, получаем (9.22). Вычитая первое из второй, получаем (9.24).

В уравнении (9.24) заменить на и заменить на получить

или же

Это дает уравнение (9.

25).

9,27 Упражнение. Докажите уравнения (9.23) и (9.26).

Из геометрического описания синуса и косинуса следует, что как увеличивается для , увеличивается от до и уменьшается от до . Тождества

указывают на то, что отражение относительно вертикальной линии через несет график sin на график cos и наоборот. Состояние указывает на то, что отражение о вертикальная ось несет график на себя.

Отношение показывает, что

т. е. граф переносится на себя поворотом на о происхождении.

У нас есть

а также , так а также
(примерно).

Имея эту информацию, мы можем сделать разумный набросок графика а также (см. рисунок выше)

9,28 Упражнение. Показать, что

9,29 Упражнение. А Заполните следующую таблицу синусов и косинусов:

Включите объяснение того, как вы нашли а также (или же а также ). Для оставшиеся значения вам не нужно включать объяснение.

Большая часть материала из этого раздела обсуждался Клавдием Птолемеем (фл. 127-151 ОБЪЯВЛЕНИЕ). Функциями, рассматриваемыми Птолемеем, были не синус и косинус, а хорда , где хорда дуги — это длина отрезка, соединяющего это конечные точки.

(9.30)

Аккорды Птолемея являются функциями дуг (измеряемых в градусах), а не чисел. Птолемея закон сложения для was (грубо)

где диаметр окружности, а Птолемей составил таблицы, эквивалентные таблицам для в интервалах . Все расчеты производились с точностью до 3-х шестидесятеричных (базовых) знаков.

Этимология слова синус такова. довольно любопытно[42, с. 615-616]. Функция, которую мы называем синусом, была первой имя, данное Арьябхатой в начале шестого века нашей эры. Название означало «половина аккорда». и позже был сокращен до jya означает «аккорд». Индус слово было переведено на арабский как джиба , что было бессмысленным слово фонетически происходит от jya , но (поскольку гласные по-арабски не писались) было написано так же, как jaib , что означает грудь. Когда араб был в переводе на латынь это стало sinus . ( Jaib означает грудь, залив, или грудь: sinus означает грудь, залив или складку тоги вокруг грудь.) Английское слово синус фонетически происходит от синус .

9,31 Развлечения (Вычисление синусов.) Разработайте компьютерную программу, которая будет принимать введите а число между и , и рассчитает . (Я выбираю вместо того чтобы делать а не нужно знать значение сделать это.)

Следующий: 9.2 Расчет Up: 9. Тригонометрические функции Предыдущий: 9. Тригонометрические функции Индекс

Рэй Майер 2007-09-07

Свойства синуса и косинуса « Неизвиняющийся математик

Блейз получил большую часть классических свойств синуса и косинуса в комментариях к последнему сообщению, так что я буду щедро копировать из его работы. В качестве примечания: я знаю, что многие люди пишут степени функций синуса и косинуса как (например) вместо . Как я каждый год говорю своим студентам, изучающим математику, я отказываюсь делать это сам, потому что это должно означать, и я гарантирую, что люди запутаются между 9 и 9.0005

Сначала рассмотрим функцию . Мы можем взять ее производную, используя правила для производных тригонометрических функций прошлого времени:

Итак, эта функция является константой. Мы это легко проверяем, и так далее.

Что это значит? Это говорит нам, что если и длины катетов прямоугольного треугольника, гипотенуза будет иметь длину . С другой стороны, точка с координатами в стандартной координатной плоскости будет лежать на единичной окружности. Мы еще не говорили об использовании интегрирования для вычисления длины пути на плоскости, но когда мы это сделаем, мы увидим, что длина дуги на окружности от до точно равна .

Это дает нам другое определение функций синуса и косинуса — более близкое к обычному, которое люди видят в классе тригонометрии. Учитывая входное значение , пройти это расстояние по единичному кругу, начиная с точки . Координаты точки, в которой вы оказались, представляют собой синус и косинус . И это дает нам наши «исходные» определения: данный прямоугольный треугольник подобен прямоугольному треугольнику, гипотенуза которого имеет длину , а синус и косинус — длины двух катетов.

Теперь, поскольку и оба неотрицательны, каждый из них должен быть ограничен сверху . Таким образом и . Точнее, в любое время, когда мы должны иметь .

Мы знаем, что и , поэтому, если у нас когда-либо будет другая точка, где и у нас есть точка. Это связано с тем, что дифференциальное уравнение будет определять будущее поведение точно так же, как оно определяло поведение . На самом деле, если и , то будущее поведение будет точно отрицательным по отношению к поведению , и так со временем снова и снова.

Признаться, я тут как бы размахиваю руками без доказательства существования/единственности решения дифференциальных уравнений. Но геометрической интуиции должно быть достаточно, чтобы понять, что, поскольку значения функции и первой производной в достаточно для определения функции, то конкретная точка, в которой мы их знаем, не должна иметь значения.

Итак, есть ли у синуса положительный нуль? То есть есть такие, что ? Если да, то наименьшее из таких должно быть (потому что положительные числа рядом имеют положительные синусы). Затем следующий будет с , и все повторится с точкой .

Функция сначала возрастает, а затем уменьшается (поскольку . Если имеет максимум, то (ее производная) должна пересечь ноль. Затем она убывает, и она не может снова возрастать, пока снова не пересечет ноль. Но если снова пересечет ноль, она должна иметь прошел через локальный экстремум (Ролле) и, таким образом, не может снова возрастать до того, как сам пересечет нуль. уменьшится до некоторой асимптоты ниже Но для того, чтобы функция имела асимптоту, она должна приближаться к горизонтальная линия , а ее производная должна приближаться к . То есть, мы можем только приближаться к асимптоте при , а подходит к асимптоте при .

Но если приближается к асимптоте, то его производная также должна асимптотически приближаться к . Но эта производная есть то, что мы предполагаем приближается! Итак, ни одна из этих асимптот невозможна!

Итак, функция синуса должна иметь положительный нуль: . Таким образом, синус и косинус (и все другие решения этого дифференциального уравнения) будут иметь период .

Наконец, что это за значение? На самом деле, мы не можем сказать . Но это может пригодиться, поэтому мы определим этот номер и дадим ему новое имя: . Всякий раз, когда мы говорим, мы имеем в виду «первый положительный нуль синусоидальной функции».

Здесь я хочу отметить, что несколько месяцев назад я оправдал свою похвальбу в другом блоге. В своих неустанных разглагольствованиях против -фетишизма, заполонившего гик-сообщество, я сказал кому-то, что в конечном счете его можно вывести исключительно из свойств реальной системы счисления. Изучение этой области — само по себе однозначно определенной на алгебраических и топологических основаниях — приводит нас как к дифференциальному исчислению, так и к степенным рядам, а оттуда — к рядовым решениям дифференциальных уравнений. Таким образом, одно из самых естественных дифференциальных уравнений в мире порождает тригонометрические функции, и определение следует из их свойств. Есть никоим образом не может быть чем-то иным, кроме того, чем является , если смотреть на него с этой стороны, в то время как геометрическое определение зависит от некоторых очень глубоких предположений о геометрии пространства-времени.

Нравится:

Нравится Загрузка…

14 октября 2008 г. — Автор: Джон Армстронг | Анализ, Исчисление

Базисные свойства p, q-синусоидальных функций

Список журналов
Proc Math Phys Eng Sci
PMC4309129

Proc Math Phys Eng Sci. 2015 г., 8 февраля; 471(2174): 20140642.

doi: 10.1098/rspa.2014.0642

Информация об авторе Примечания к статье Информация об авторских правах и лицензиях Отказ от ответственности

Заявление о доступности данных

Мы улучшаем известные в настоящее время пороги базисности семейства периодически расширенных p , q -синусоидальных функций. Наши результаты основаны на разложении Берлинга соответствующей замены координат в терминах операторов сдвига бесконечной кратности. Мы также определяем уточненные оценки константы Рисса, связанной с этим семейством. Эти результаты заполняют математические пробелы в существующей литературе по этому вопросу.

Ключевые слова: базис Рисса, базис Шаудера, обобщенные тригонометрические функции

Пусть p , q >1. Пусть F _{p , q} :[0,1]→[0, π _{p , q} /2] — интеграл

Fp,q(y)=∫0ydx(1−xq)1/p,

где π _{p , q} = 2 F _{p , q} (1). P , Q — Синусоидальные функции , SIN _{P , Q}: ℝ ⟶ [-1, 1], определяются, чтобы быть невзгодами F

040404045

045

0404045

04040404040404040404045

5. ,

sinp,q⁡(x)=Fp,q−1(x)для всех x∈[0,πp,q2]

продлен до ℝ по правилам

sinp,q⁡(−x)=−sinp,q⁡(x)andsinp,q(πp,q2−x)=sinp,q(πp,q2+x),

которые делают их периодическими, непрерывными, нечетными относительно 0 и четными относительно π _{р , q} /2. Это естественные обобщения функции синуса, действительно,

sin _2,2 ⁡( x ) = sin⁡( x ) и π _2,2 = π ,

известно, что они обладают рядом замечательных свойств со своими классическими аналогами [1,2].

Среди этих свойств лежит фундаментальный вопрос о полноте и линейной независимости семейства S={sn}n=1∞, где s _n ( x ) = sin _{p , q} ⁡( π _{p , q} n x ). В последнее время этому вопросу уделялось некоторое внимание [2–5], при этом особое внимание уделялось случаю p = q . В последнем случае 𝒮 представляет собой набор собственных функций обобщенной задачи на собственные значения для одномерного p -лапласиана с краевыми условиями Дирихле [6,7], который, как известно, имеет значение в теории медленных/ быстрые диффузионные процессы, [8]. См. также соответствующие статьи [9,10].

Положим en(x)=2sin⁡(nπx), так что {en}n=1∞ является базисом Шаудера банахова пространства ,1) для всех r >1. The family 𝒮 is also a Schauder basis of L ^r if and only if the corresponding change of coordinates map , A : e _n ↦ s _n , продолжается до линейного гомеоморфизма 91(j)ejn=(∑j=1∞ajMj)en,

так что замена координат принимает вид

А=∑j=1∞ajMj.

1.1

Известно, что понятия «близости» между базисами банаховых пространств играют фундаментальную роль в классическом математическом анализе [11], с. 265–266, [12], §I.9 или [13], с. . 71. К сожалению, разложение (1.1) убедительно свидетельствует о том, что 𝒮 не является глобально «близким» {en}n=1∞, например, в смысле Крейна–Люстерника или Пэли–Винера [12], с. 106. Таким образом, классические аргументы, такие как те, которые включают теорему об устойчивости Пэли–Винера, вряд ли будут напрямую применимы в данном контексте.

На самом деле можно вызвать более элементарные методы, чтобы проверить обратимость изменения карты координат. Из (1.1) следует, что

∑j=3∞|aj|<|a1|⇒{A,A−1∈B(Lr)∥A∥ ∥A−1∥≤∑j=1∞|aj||a1|−∑j= 3∞|а|.

1,2

В Binding и др. [5] утверждалось, что левая часть (1.2) верна для всех сегмент (1,1211). Следовательно, 𝒮 будет базисом Шаудера всякий раз, когда p = q ∈ ( p ₁ , ∞).

О дальнейших разработках в этом отношении недавно сообщили Бушелл и Эдмундс [4]. Эти авторы ловко устранили пробел, первоначально опубликованный в [5, лемма 5], и заметили, что, поскольку левая часть (1. 2) перестает выполняться всякий раз, когда

а1=∑j=3∞aj,

1,3

аргумент сломается для p = q рядом с p ₂ ≈1,043989. Поэтому вопрос базисности для 𝒮 в режиме 9 следует решать разными способами.0402 p , q →1.

Совсем недавно Edmunds et al. [3] использовал (1.2), чтобы показать обратимость A для общих пар ( p , q ), пока

πp,q<16π2−8.

1,4

Поскольку (1.4) гарантируется всякий раз, когда

pq(p−1)<4π2−8,

1,5

это позволяет q → 1 для p > 4/(12− π ² ). Однако обратите внимание, что прямая замена p = q в (1.5) приводит только к субоптимальному условию p > π ² /4−1≈1,467401.

В §2 показано, что семейство 𝒮 является ω — линейно независимым для всех p , q >1, см. теорему 2.1. В § 5 устанавливаются условия, при которых A является гомеоморфизмом L ² в окрестности области в ( p , q )-плоскости, где

∑j=3∞|aj|=a1,

см. теорему 5.1, а также следствие 6.2. Для этого в § 4 мы находим еще два критерия, обобщающих (1.2) в условиях гильбертова пространства, см. следствия 4.3 и 4.4. В этом случае постоянная Рисса ,

r (𝒮) = ∥ А ∥ ∥ А ⁻¹ ∥ ,

5

характеризует, как 𝒮 отклоняется от ортонормированного базиса. Эти новые утверждения дают верхние оценки для r (𝒮), которые улучшают оценки, полученные из правой части (1.2), даже когда последняя применима.

Формулировка представленных ниже альтернатив (1.2) в решающей степени зависит от работы, развитой в §3. Из леммы 3.1 вычисляем явно разложение Вольда изометрий M _j : они оказываются сдвигами бесконечной кратности. Следовательно, из разложения (1.1) можно выделить подходящие компоненты, являющиеся теплицевыми операторами скалярного типа, действующими на подходящих пространствах Харди. Поскольку теория становится довольно технической для случая r ≠2 и все оценки, аналогичные приводимым ниже, будут зависеть от параметра r , мы решили ограничить наше внимание в отношении этих улучшений только уже интересной обстановкой гильбертова пространства.

Раздел 6 касается конкретных деталей случая равных индексов p = q и включает результаты как для общего случая r >1, так и для частного случая r =2. Довольно любопытно, что мы обнаружили еще один пробел, который делает доказательство обратимости 9 неполным.0402 A for p ₁ < p <2 первоначально опубликовано в [5]. См. примечание 6.3. Более того, применение Бушелла и Эдмундса [4], теорема 4.5, достигает порога базисности 90 402 90 403 при p~1≈1,198236>1211, где p~1 определяется тождеством

πp~1,p~1=2π2π2−8.

1,6

См. также [2], примечание 2.1. В теореме 6.5 мы показываем, что 𝒮 действительно является базисом Шаудера L ^r для p=q∈(p3,65), где p3≈1,087063<1211, см. [14], задача 1. Так как 65 >p~1, базисность теперь гарантируется для всех p = q > p ₃ ().

Открыть в отдельном окне

Связь между различными утверждениями этой статьи с утверждениями ссылок [4,5], для случая p = q . Положения p ₁ , p~2 и значение ε заданы только для иллюстрации, так как мы уверены только в том, что p2

В §7 мы сообщаем о наших текущих знаниях о различных порогах обратимости карты изменения координат как в случае равных индексов, так и в других случаях. На основе новых критериев, найденных в § 4, мы формулируем общий признак обратимости для A , который поддается аналитическому и численному исследованию. Этот тест включает в себя нахождение точных границ первых нескольких коэффициентов a _k ( p , q ). См. предложение 7.1. For the case of equal indices, this test indicates that 𝒮 is a Riesz basis of L ² for p = q > p ₆ , where p ₆ ≈1.043917< стр ₂ .

Все числовые величины, приведенные в этом документе, точны до последней цифры, которая округляется до ближайшего целого числа. В онлайн-версию этой рукописи, ^¹, мы включили полностью воспроизводимые компьютерные коды, которые можно использовать для проверки представленных расчетов.

Семейство {s~n}n=1∞ в банаховом пространстве называется ω -линейно независимым [12], с. 50, если

∑n=1∞fns~n=0 ⇒ fn=0 для всех n.

Следовательно, 𝒮 является базисом Рисса L ² тогда и только тогда, когда A ∈ ℬ( L ² ) и RanA = L ² . Простой пример иллюстрирует, как семейство расширенных периодических функций может нарушить свое свойство быть базисом Рисса.

Фундаментальное разложение A , данное в (1.1), позволяет выделить подходящие компоненты, образованные операторами Теплица скалярного типа [15]. Чтобы идентифицировать эти компоненты, начнем с определения разложения Вольда изометрий М _j , [15,16]. См. примечание 3.4.

Пусть 𝔻 = {| з | < 1}. Пространства Харди функций из 𝔻 со значениями в банаховом пространстве 𝒞 обозначаются ниже как H ^γ (𝔻; 𝒞). Позволять

б~(г)=∑k=0∞bkzk

— голоморфная функция на D¯ и зафиксируйте j ∈ ℕ∖{1}. Позволять

B~∈H∞(D;B(L0j)) определяется формулой B~(z)=b~(z)I.

Пусть соответствующий оператор Теплица [15], (5-1)

T(B~)∈B(h3(D;L0j)) задается формулой T(B~):f(z)↦B~(z)f(z).

Позволять

B=∑k=0∞bkMjk:L2⟶L2.

3. 1

В силу леммы 3.1 (см. [15], §3.2 и 5.2) существует обратимая изометрия

U:L2⟶h3(D;L0j)

такой, что UB=T(B~)U. Ниже мы пишем

M(b~)=maxz∈D¯|b~(z)|и m(b~)=minz∈D¯|b~(z)|.

Доказательство (1.2) можно получить, применив следствие 3.3, предполагая, что

Б = а ₁ М ₁ = a ₁ I .

Наша следующая цель — сформулировать конкретное достаточное условие обратимости A и соответствующие оценки на r (𝒮), улучшающие (1.2), когда r = 2. Для этой цели мы применяем следствие 3.3, предполагая, что B теперь имеет трехчленное разложение

B = a ₁ M ₁ + a ₃ M ₃ + a ₉ M ₉ .

Пусть

T = { β < 1, β − α + 1 > 0, β + α + 1 > 0}.

Позволять

R1={|α(β+1)|<|4β|}∩{β>0}R3={|α(β+1)|<|4β|}∩{β<0}R2={| α(β+1)|≥|4β|}=R2∖(R1∪R3).

Видеть .

Открыть в отдельном окне

Оптимальная область обратимости в лемме 4.1. Горизонтальная ось равна α и вертикальная ось β .

Потому что SIN _{P , Q} ⁡ ( x )> 0 для всех x ∈ (0, π _{P ,}

04040404040404040404040404040404040404040404040404040404040404040404040404040404040404040404040н. >0. Below, we substitute α = a ₃ / a ₁ and β = a ₉ / a ₁ , then apply lemma 4.1 appropriately in order to determine the обратимость A всякий раз, когда пары ( p , q ) лежат в разных областях плоскости ( p , q ). Для этого установим следующую иерархию между ₁ и _j для j =3,9, если последние неотрицательны.

Следствия 4.3 и 4.4 являются следствием следствия 3.3 и леммы 4.1 и относятся к основным результатам этой статьи.

Потому что а ₁ >0, (4.1) заменяет (1.2) только тогда, когда пара ( p , q ) такова, что a ₉ >0. Из этого следствия ниже мы видим, что замена координат обратима в окрестности порога, заданного условием (1.3). См. предложение 7.1 и и ].

Открыть в отдельном окне

( a – e ) Различные отношения и границы между областями ( p , q )-плоскость, где применимы теоремы 5.2(a) и (b), а также предложение 7.1 (с разными значениями k ). На всех графиках p соответствует горизонтальной оси, q — вертикальной оси, а пунктирная линия показывает p = q . (Онлайн-версия в цвете.)

Далее мы видим, что следствие 4.3 немного полезнее, чем следствие 4.4, в контексте расширенных p , q -синусоидальных функций. Однако последнее необходимо для доказательства основной теоремы 5.1.

Конечно, естественно спросить, какие следствия можно вывести из другого утверждения леммы 4.1. За

(a3a1,a9a1)∈R3∩T,

имеем ∥ B ⁻¹ ∥ ⁻¹ = a ₁ −| а ₃ |−| и ₉ |. Следовательно, то же рассуждение, что и в доказательствах следствий 4.3 и 4.4, сводится к (1.2), и в этом случае улучшения нет.

Наша первая цель в этом разделе — установить, что отображение замены координат, связанное с семейством 𝒮, обратимо вне области применимости (1.2). Мы начнем с напоминания о вычислении, которое было выполнено при доказательстве [3, предложение 4.1] и которое будет использовано несколько раз ниже. Пусть a ( t ) — функция, обратная sinp,q′⁡(πp,qt). Затем,

aj(p,q)=−22πp,qj2π2∫01sin(jππp,qa(t))dt.

5.1

Действительно, дважды проинтегрировав по частям и заменив переменную интегрирования на

t=sinp,q′⁡(πp,qx)

урожаи

aj(p,q)=2∫01sinp,q⁡(πp,qx)sin⁡(jπx) dx=22∫01/2sinp,q⁡(πp,qx)sin⁡(jπx) dx=22πp,qjπ ∫01/2sinp,q′⁡(πp,qx)cos⁡(jπx) dx=−22πp,qj2π2∫01/2[sinp,q′⁡(πp,qx)]′sin⁡(jπx) dx=−22πp ,qj2π2∫01sin(jππp,qa(t))dt.

Теперь рассмотрим другие дальнейшие следствия следствий 4.3 и 4.4.

Мы восстанавливаем [3], следствие 4.3 из части (a) этой теоремы, заметив, что для всех p , q >1,

a1≥22∫01/22xsin⁡(πx) dx=42π2.

На самом деле, для ( p , q )∈(1,2) ² лучшая оценка

a1≥22∫01sin2⁡(πx) dx=22,

обеспечивает обратимость A для всех r >1 всякий раз, когда

πp,q<2π2π2−8.

5,8

Смотрите и .

Открыть в отдельном окне

Область ( p , q )-плоскости, где применяется теорема 5.2(c). Даже когда мы знаем, что A обратимо в этой области вследствие теоремы 5.2(a), верхняя граница константы Рисса, обеспечиваемая (4.2), улучшает оценку, обеспечиваемую (1.2) (случай r = 2) . На этом графике p соответствует горизонтальной оси, а q относительно вертикальной оси, а пунктирная линия показывает p = q . (Онлайн-версия в цвете.)

Теперь рассмотрим более подробно частный случай p = q <2. Наш анализ требует установки различных точных верхних и нижних границ коэффициентов a _j ( p , p ) для j =1,3,5,7,9. Это наша первая цель.

Доказательство. —

Все указанные границы определяются путем интегрирования подходящей аппроксимации sin _{p , p} ⁡( π _{p , p} x ). Для каждого из них требуется свой набор точек квадратуры, но общая структура аргументов во всех случаях одинакова. Без дальнейшего упоминания в дальнейшем мы неоднократно используем тот факт, что в терминах гипергеометрических функций

sinp,q−1⁡(y)=∫0ydx(1−xq)1/p=y 2F 1(1p,1q;1q+1;yq)∀ y∈[0,1].

Связанный (а). Позволять

{xj}j=03={0,16,13,12}и{yj}j=03={0,34,32,1}.

Пусть

ℓj(x)=yj+1−yjxj+1−xj(x−xj)+yj для j=0,1andℓ2(x)=1

(). Потому что

sin4/3,4/3−1⁡(y1)=(34) 2F 1(34,34;74;(34)4/3)<105100<110100<π24=π4/3,4/36

и sin _{p , p} ⁡( t ) является возрастающей функцией t ∈(0, π _{p , p , p09:00/2), затем}

sin _4/3,4/3 ⁡( π _4/3,4/3 x ₁ ) > y 1 .

Открыть в отдельном окне

Аппроксимации ℓ _j ( x ) используются для демонстрации границы (a) в лемме 6.1. Для справки, мы также показываем SIN _{P ₆, P ₆} ⁡ ( π _{P ₆, P 903 903 903 903 903 903 903 903 903 903 903 903 903 903 903 903 903 903 903 903 903 903 903 903 903 903 903 903 903 903 903 903 903 903 903 903 903 903 903 903
3 .00} x ), sin⁡(3 π x ), sin _4/3,4/3 ⁡( π _4/3,4/3 x 9 5 9000 x 9 2,2 ⁡( π x ) = sin⁡( π x ).

Согласно Бушеллу и Эдмундсу [4], следствие 4.4, ^² sin _{p , p} ⁡( π _{p , p} x ) увеличивается при любом фиксированном p