Таблица значений углов синуса и косинуса: синуса, косинуса, тангенса, котангенса. Как пользоваться

sin 25° ≈ 0,4226.

ОТВЕТ:  sin 25° ≈ 0,4226

Здесь и в подобных случаях следует ставить знак  ≈, так как таблицы дают вообще приближённые значения тригонометрических функций.

Так же просто находятся синусы углов, выражающихся целым числом градусов и числом минут, кратным  6.

ПРИМЕР:

Найти  sin 25°42‘.

РЕШЕНИЕ:

Это число находится на пересечении строки с пометкой  25°  слева и столбца с пометкой  42‘  сверху. ОТВЕТ:  sin 25°42‘ ≈ 0,4337

Из рассмотренной таблицы значений синусов следует, что функция  sin α  при изменении угла  α  изменяется неравномерно. Но если угол  α  изменяется не более чем на  6‘, то можно допустить, что приращение значения  sin α  пропорционально приращению значения угла 

Таким образом, по таблицам В. Брадиса мы можем вести вычисления с точностью до  4-го  знака, а при отыскании угла – с точностью до угла в  1‘.

Если нужна  большая точность, то приходится обращаться к другим таблицам.

ПРИМЕР:

Найти  sin 25°20‘.

РЕШЕНИЕ:

Находим в таблице синусы углов ближайшего  меньшего и ближайшего большего, чем данный угол. Имеем:

sin 25°18‘ ≈ 0,4274,

sin 25°24‘ ≈ 0,4289.

Приращению угла на  6‘  соответствует табличная разность в

0,0015 (0,4289 – 0,4274),

а приращению угла в  2‘  соответствует приращение синуса, равноеЭту поправку в  0,0005  надо прибавить к значению синуса угла  sin 25°18‘, так как большему углу, то есть углу  sin 25°20‘, соответствует больший синус.
Поэтому получим:

ОТВЕТ:  sin 25°20‘ ≈ 0,4279

В таблицах В. Брадиса имеются поправки для  sin α, когда  α  изменяется на  1‘, 2‘  и  3‘. Эти поправки даны числом единиц последнего разряда. Они помещены справа в последних трёх колонках таблицы.

В приведённом выше примере в колонке поправок под пометкой  2‘, в строке  25°, читаем 

ПРИМЕР:

Найти  sin 14°47‘.

РЕШЕНИЕ:

В данном случае следует взять из таблицы синус ближайшего большого угла, то есть угла  14°48‘.Тогда имеем:

ПРИМЕР:

Найдите

sin 70°36ʹ.

РЕШЕНИЕ:

Находим число градусов в крайнем левом столбике таблицы, число минут – в верхней части таблицы. На пересечении соответствующей строки и столбика находим искомое число  0,9432.ОТВЕТ:

sin 70°36ʹ = 0,9432.

ПРИМЕР:

Найдите

sin 74°55ʹ.

РЕШЕНИЕ:

В таблице находим синус угла, ближайшего к данному:

Потом в столбиках поправок (в правой части таблицы) находим поправку на  1ʹ. Эта поправка равняется  0,0001. Учитывая, что с ростом угла от  0°  до  90°  синус также растет, найденную поправку добавляем. Следовательно, имеем:

sin 74°55ʹ = 0,9655 + 0,0001 = 0,9656.

ОТВЕТ:

sin 74°55ʹ = 0,9656.

Точно также устроена таблица тангенсов углов от  0°  до  76°. (таблица  IX) и таков же порядок пользования ею.

В таблице тангенсов, начиная с  60°, число целых даётся для тангенса каждого угла.

Таблица значений косинусов углов от  0°  до  90°  (таблица  VIII) построена так: название <<косинусы>> помещено внизу страницы. К этому названию относятся правый (4-й от края) столбец с буквой 

ПРИМЕР:

Найти  cos 24°18‘.

РЕШЕНИЕ:

Это число находится на пересечении строки с пометкой  24°  справа и столбца с пометкой  18‘  снизу. ОТВЕТ:  cos 24°18‘ ≈ 0,9114

При отыскании косинусов углов, не содержащихся в таблице, вычисления ведутся несколько иначе, чем в случае нахождения синуса угла, так как косинус острого угла – функция убывающая. В силу этого при увеличении угла на  1‘, 2‘, 3‘  соответствующую поправку для косинуса следует вычитать из найденного в таблицах значения косинуса. Поясним это на примере.

ПРИМЕР:

Найти  cos 40°25‘.

РЕШЕНИЕ:   

Найти  cos 62°10‘.

РЕШЕНИЕ:

В данном случае берём из таблицы косинус ближайшего большего угла, то есть угла  62°12‘.Тогда имеем:

ПРИМЕР:

Найдите

соs 16°12ʹ.

РЕШЕНИЕ:

Число градусов ищем в правой части таблице (в столбике  А), число минут – в нижней части таблицы. На пересечении соответствующего рядка и столбика находим искомое число  0,9603.ОТВЕТ:

соs 16°12ʹ = 0,9603.

ПРИМЕР:

Найдите

соs 18°50ʹ.

РЕШЕНИЕ:

За таблицами находим значение косинуса угла, ближайшего к данному углу.

соs 18°48ʹ = 0,9466.

значения косинуса спадают, найденную поправку надо отнять. Следовательно, имеем

соs 18°50ʹ = 0,9466 – 0,0002 = 0,9464.

ОТВЕТ:

соs 18°50ʹ = 0,9464.

Точно так же, как таблица значений косинусов, построена таблица значений котангенсов углов  от  14°  до  90°  (таблица  IX). Таков же и порядок пользования ею.

Решение обратной задачи, то есть отыскание угла по заданному значению тригонометрической функции этого угла, производится с помощью тех же таблиц.

ПРИМЕР:

Найти угол  α, если дано, что

sin α = 0,9037.

РЕШЕНИЕ:

аходим по таблицам число, наиболее близкое к данному,и соответствующий этому числу угол:

sin 64°36‘ ≈ 0,9033.

Данный синус на  4  единицы последнего разряда больше найденного в таблицах. Против поправки  4, стоящей в последней колонке строки  64°, вверху читаем  3‘. На основании этого записываем:

Следовательно  α = 64°39‘.

ОТВЕТ:  α = 64°39‘

ПРИМЕР:

Найти угол  α, если дано, что

соs α = 0,4501.

РЕШЕНИЕ: Следовательно  α = 63°15‘.

ОТВЕТ:  α = 63°15‘

ПРИМЕР:

Найти угол  α, если дано, что

tg α = 1,4542.

РЕШЕНИЕ:

В таблице  IX  наиболее близко к данному значению тангенса число  1,4550, большее числа  1,4542.

В таком случае имеем:

Следовательно  α = 55°29‘.

ОТВЕТ:  α = 55°29‘

Таблица  X  позволяет находить значения тангенсов углов  от  76°  до  89°59‘  и котангенсов  от  0°1‘  до  14°  непосредственно, без интерполяции (при изменении угла в указанных пределах линейная интерполяция вносит ошибку уже в  4-й знак, вот почему необходимо в этих случаях пользоваться таблицей  X). Также с помощью этой таблицы решается и обратная задача – отыскание угла по заданному значению тангенса или котангенса этого угла.

ПРИМЕР:

Найти  sin 1,2610.

РЕШЕНИЕ:

Пользуясь таблицей, находим градусное выражение угла, содержащего  1,2610 радиана. Это угол  72°15‘.Тогда имеем:

sin 1,2610 = sin 72°15‘ = 0,9524.

ПРИМЕР:

Найти  sin 0,0419  и  tg 0,0419.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

sin 0,0419 = sin 2°24‘ = 0,0419,

tg 0,0419 = tg 2°24‘ = 0,0419,

Результаты показывают, что угол  2°24‘  настолько мал, что синус и тангенс этого угла имеют одинаковые первые четыре десятичных знака с радианной мерой этого угла.

ПРИМЕР:

Дано:

соs х = 0,7600.

Найти в радианах угол  х.

РЕШЕНИЕ:

Сначала находим по таблице, что  х = 40°32‘, а затем по таблице

х = 0,7075.

ПРИМЕР:

Вычислить 

sin 1.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

sin 1 ≈ 57°18‘ ≈ 0,8415.

ПРИМЕР:

ВычислитьРЕШЕНИЕ:
Имеем:

Задания к уроку 4

Формула Sin Cos Tan — значения, таблица, примеры и часто задаваемые вопросы

Sin, Cos и Tan — это основные отношения тригонометрии, которые используются для изучения отношений между углами и соответствующими сторонами треугольника. Эти отношения изначально определены для прямоугольного треугольника с использованием теоремы Пифагора.

Что такое Sin Cos Tan в тригонометрии?

Давайте разберемся с Sin, Cos и Tan в тригонометрии, используя формулы и примеры.

Треугольник, один из углов которого равен 90° называется прямоугольным треугольником. У него есть стороны, называемые основанием, перпендикуляром (высотой) и гипотенузой. Прямоугольный треугольник следует теореме Пифагора.

• Основание: Сторона, содержащая угол, называется основанием треугольника.
• Перпендикуляр (высота): Сторона, образующая 90° с основанием, называется перпендикуляром или высотой треугольника.
• Гипотенуза: Самая длинная сторона треугольника называется гипотенузой треугольника.

Sin, Cos и Tan — отношения сторон любого прямоугольного треугольника. В прямоугольном треугольнике ABC, приведенном выше для угла C, Sin, Cos и Tan составляют = Перпендикуляр / Основание = AB / BC

Значения Sin Cos Tan

Значения Sin, Cos и Tan представляют собой значения конкретных углов прямоугольного треугольника. В тригонометрии значения Sin, Cos и Tan различны для разных значений углов в треугольнике. Для каждого конкретного угла значения sin, cos и tan представляют собой фиксированное отношение сторон.

Далее в статье мы разберемся с формулами Sin Cos Tan.

Формулы Sin Cos Tan

Функции Sin, Cos и Tan определяются как отношения сторон (противоположная, прилежащая и гипотенуза) прямоугольного треугольника. Формулы для любого угла θ sin, cos и tan:

• sin θ = Противоположный/Гипотенуза
• cos θ = Прилегающий/Гипотенуза
• tan θ = Противоположный/Примыкающий

Есть еще три гонометрические функции, которые обратны sin, cos и tan, которые являются cosec, sec и cot соответственно, таким образом,

• cosec θ = 1 / sin θ = гипотенуза / противоположность
• сек θ = 1 / cos θ = гипотенуза / соседняя
• Cot θ / 1 / tan θ = соседний / противоположный

Тригонометрические функции

Тригонометрические функции

функции также называют тригонометрическими отношениями. Существуют три основные и важные тригонометрические функции: синус, косинус и тангенс.

• Тригонометрическая функция синуса записывается как sin , косинус как cos, и тангенс как tan в тригонометрии.
• Есть еще три тригонометрические функции: cosec , sec и cot , , которые являются обратными sin , cos , и2 .
• Эти функции можно вычислить для прямоугольного треугольника.

Пусть прямоугольный треугольник с основанием b, перпендикуляром p и гипотенузой h образует с основанием угол θ. Тогда тригонометрические функции задаются следующим образом:

9017

Sec.

Тригонометрические функции	Формула тригонометрических функций
sin θ	1117 stindul (P / H)
COS θ	COSθ = Base / Hypotenus0023
tan θ = sin θ/cos θ	tanθ = perpendicular/base  tanθ = p / b  or  θ = tan -1 ( p / b)
cosecθ = 1/sin θ	cosecθ = гипотенуза/перпендикулярный cosecθ = h/p или θ = cosec -1 (H/p)
сек θ = гипотенуза / основание   secθ = h / b  or θ = sec -1 (h / b)
cotθ = 1/tan θ	cotθ = base/perpendicular cotθ = b / p или θ = COT -1 ( B / P)

Трюк для запоминания SIN, COS, TAN CANTION

Запомните
. производить красоту
Некоторые люди имеют	sinθ (некоторые) = перпендикуляр(люди)/гипотенуза(есть)
вьющиеся черные волосы	производить красоту	tanθ (to)= перпендикуляр(производить)/основание(красота)

Тригонометрические функции для некоторых основных углов

В тригонометрии основные углы 0°, 30°, 45°, 60° и 90°. В приведенной ниже тригонометрической таблице приведены значения тригонометрических функций для основных углов:

θ	0 °	30 °	45 °	60 °	90 °
SIN
SIN
SIN. 3/2	1
cos	1	√3/2	1/√2	1/2	0
tan	0	1/√3	1	√3	∞
косек	∞	2	√2	2/√3	1
	1	2/√3	√2	2/√3	√2	2/√3	√2	2/√3	√2	2/√3	. ∞	√3	1	1/√3	0

SIN, COS, TAN Диаграмма

• . СИНА и COSECANT Функции являются положительными в первом и втором и втором и отрицательном в треть. четвертые квадранты.
• Функции косинуса и секанса положительны в первом и четвертом квадрантах и ​​отрицательны во втором и третьем квадрантах.
• Функции тангенса и котангенса положительны в первом и третьем квадрантах и ​​отрицательны во втором и четвертом квадрантах.

4

градусов	Quadrant	Знак греха	Знак COS	Знак TAN	Знак COSEC	Знак SEC	Знак из COT	Знак	Знаки COT	0108
0 ° до 90 °	1 ST Квадрант	+(положительный)	+(положительный)	+(положительный)	+(положительный)	+(положительный)	+(положительный)	(положительный)	(положительный)	+	(положительный)	+(положительный)	+	(положительный +(положительный)
90 ° до 180 °	2 ND Квадрант	+(положительный)	-(отрицательный)	-(отрицательный)	+(положительный)	-негатив) (негатив)	+(положительный)	-негатив)	+(положительный	-(отрицательный)
180° до 270°	3 RD Квадрант	-(отрицательный)	-(отрицательный)	+(положительный)	-(отрицательный)	-(отрицательный)	+(положительный)
777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777 27 27 2777777777777 27 27777777777 27 27777777777 2777 360°	4 th quadrant	–(negative)	+(positive)	-(negative)	-(negative)	+(positive)	-(negative)

Взаимные тождества

Функция косеканса является обратной функцией функции синуса и наоборот. Точно так же функция секанса является обратной функцией функции косинуса, а функция котангенса является обратной функцией функции тангенса.

• sin θ = 1/cosec θ
• cos θ = 1/sec θ
• tan θ = 1/cot θ
• cosec θ = 1/sin θ
1 0 9 0 9 0 9 cts θ = 1/cos = 1/tan θ

Pythagorean Identities

Pythagoras Идентификации тригонометрических функций:

• SIN ² θ + COS ² θ = 1
• SEC ^{2 2 θ = 1}
• SEC ^{2 2 θ = 1}
• SEC ² 2 .
• cosec ² θ – cot ² θ = 1

Идентификация отрицательного угла

Отрицательный угол функции косинуса всегда равен положительному косинусу угла, тогда как отрицательный угол функции синуса и тангенса равен отрицательному синусу и тангенсу угла.

• sin ( — θ) = — sin θ
• cos ( — θ) = cos θ
• tan ( — θ) = — tan θ

Также, проверьте

• Тригонометрические уровни
• ТРИДЕРИЧЕСКИЙ

Решенные примеры для формулы синуса косинуса тангенса

Пример 1: Стороны прямоугольного треугольника: основание = 3 см, перпендикуляр = 4 см, гипотенуза = 5 см. Найдите значение sin θ, cos θ и tan θ.

Решение:  

Учитывая, что

Основание (B) = 3 см,

Перпендикуляр (P) = 4 см

Гипотенуза (H) = 3 см

sinθ = P/H = 4/5

cosθ = B/H = 3/5

tanθ = P/H = 4/3

Пример 2. Стороны прямоугольного треугольника равны основанию = 3 см, перпендикуляру = 4 см и гипотенузе = 5 см. Найдите значение cosecθ, secθ и cotθ.

Решение: 

Учитывая, что основание (b) = 3 см, перпендикуляр (p) = 4 см и гипотенуза (h) = 5 см

Из формулы тригонометрических функций: sinθ = H / P = 5/4

secθ = 1/cosθ = H / B= 5/3

cotθ = 1/tanθ = B / P = 3/4

Пример 3. Найдите θ, если основание = √3 и перпендикуляр = 1 прямоугольного треугольника.

Решение: 

Поскольку перпендикуляр и основание прямоугольного треугольника заданы, используется тангенс θ.

tan θ = perpendicular/base

tan θ = 1/√3

θ = tan ^-1 (1/√3) [Из тригонометрической таблицы]

θ = 30 °

θ = 30 °

θ = 30 °

θ = 30 °