Таблица знаков синуса косинуса тангенса котангенса: Please Wait… | Cloudflare

Содержание

«знаки синуса косинуса тангенса и котангенса »

МОУ Луговская СОШ

Урок алгебры в 9 классе по теме

«Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса .»

Учитель Коробенко И.В.

стаж работы 13 лет

2007 год

Цель:

- выяснить, какие знаки имеют синус, косинус и тангенс в

различных четвертях;

- формировать способность к использованию знаков

тригонометрических функций для упрощения выражений и

нахождения значений выражений.

- развивать умение классифицировать и устанавливать

взаимосвязи, формировать умение работать самостоятельно;

- тренировать способность к рефлексии собственной

деятельности.

Тип урока: изучение и первичное закрепление нового материала.

Организационные формы урока: парная, групповая, индивидуальная.

Методы: деятельностный.

Средства обучения: учебник, таблица значений тригонометрических

функций для углов 30, 45, 60, 90. Карточки с

дифференцированной самостоятельной работой для

работы в парах .

  1. Организационный момент.

  1. Актуализация знаний

У. Какую тему изучаем?

Д. Тригонометрические выражения.

У. Что узнали на прошлом уроке по теме «Тригонометрические выражения»?

Д. Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла α.

У. Дайте определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла α (Слайд 1)

Д.

Рассказывают определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла α..

У. Для какого значения α тангенс не определен? Почему?

Д. Для угла 90. Тангенс – это отношение синуса угла α к косинусу угла α, косинус 90 равен 0, а делить на 0 нельзя.

У. Для того, чтобы проверить свои знания по теме тригонометрические выражения, предлагаю вам сыграть в игру «Тригонометрические шахматы»

Д. Выполняют работу по вариантам с проверкой в парах.

У. Проверьте свои ответы.

Ответы первого и второго варианта равны.

У. Что помогло быстро найти значения тригонометрических выражений?

Д. Знание таблицы значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 0, 30, 45, 60, 90.

  1. Сообщение темы и целей урока.

У. На сколько групп можно разбить данные углы?

0, 30, 45, 90, 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315, 330, 360 (Слайд 2).

Д. На четыре группы по четвертям, в которых находятся углы.

У. Значениями тригонометрических функций для углов 0, 30, 45, 60, 90 вы уже владеете и умеете применять на практике, но для удобства нахождения значения тригонометрических выражений математики нашли значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для этих углов.

Слайд 3.

У. Проведем наблюдение. Рассмотрите таблицу. В чем отличие значений тригонометрических функций первой четверти от остальных значений?

Д. Появляются отрицательные значения (отличаются знаками).

У. Попробуйте сформулировать тему урока (Слайд 4).

Д. Формулируют тему урока.

У, Попробуйте сформулировать цель урока, используя слова узнать и учиться.

Д, Формулируют цель урока.

У. Как вы думаете, зачем надо знать какие знаки имеют тригонометрические функции в той или иной четверти?

Д. Высказывают свои мнения.

У. Где используются эти знания?

Д. Предлагают свои варианты.

У. С одним великим астрономом, математиком и физиком мне хотелось бы вас сегодня познакомить.

Гаусс Карл Фридрих (1777-1855) – немецкий математик, астроном и физик. Еще студентом написал «Арифметические исследования», определившие развитие теории чисел до нашего времени. Занимался геодезией и вычислительной астрономией.

«Не считать ничего сделанным, если еще кое – что осталось сделать». К.Ф. Гаусс

У. О чем заставляют задуматься эти слова?

Д. Высказывают свое мнение.

У. Любое дело начатое вами должно быть закончено.

У.Попробуйте сформулировать свое предположение. Отчего зависят знаки тригонометрических функций?

Д. Высказывают свои предположения.

У. Вы считаете, что зависят от четверти, тогда попробуйте определить знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла в каждой четверти. Работать будете в группах. Заполните карточку № 1 (приложение №1 ).

Д. Заполненную карточку крепят к доске.

У. Итак, вы считаете, что знаки тригонометрических функций зависят от четверти, в которой расположен угол, и знаки по четвертям распределяются следующим образом.

  1. Формирование новых знаний (работа в группах).

У. Это предположение вам предстоит проверить, работая в группах.

У. Прочитайте п.29 учебника. Ответьте на следующие вопросы (Слайд 5).

- Какие знаки имеют sinα, cosα, tgα и ctgα в каждой из координатных четвертей?

- Попробуйте объяснить распределение знаков тригонометрических функций по четвертям (слайд 4).

У. Если после чтения п. 29 вы изменили мнение о распределении знаков по четвертям, можете карточку №1 заменить на карточку № 2.

Д. Работаю в группах.

У. Проверим работу каждой группы.

Д. Отвечают на вопрос и поясняют знаки каждой тригонометрической функции по четвертям.

  1. Первичное закрепление (Физминутка).

У. Вы плодотворно потрудились, пришло время для физминутки.

1. Зарядка для глаз (слайд № 6).

У. на тригонометрическом круге найдите четверти в которых sinα положителен, cosα отрицателен, tgα и ctgα положительны.

2. Физминутка.

У. Пробуем применить полученные знания на практике. Какой знак имеют sinα, cosα, tgα и ctgα для углов. Если «+», то встаньте, а если «-«, то вставать не надо.

На доске таблица

Α

sinα,

cosα,

tgα

Ctgα

48

+

+

+

+

137

+

-

-

-

200

-

-

+

+

306

-

+

-

-

Знаки тригонометрических функций закрыты. Учитель показывает угол и функцию. Постепенно учитель открывает всю таблицу.

  1. Тренировочные упражнения. Дифференцированная самостоятельная работа в парах.

У. Теперь вы готовы выполнять тренировочные упражнения, работая в парах.

Карточка № 3 Приложение № 2)

Д. Работают самостоятельно, проверяя правильность выполнения заданий в парах.

  1. Итог урока.

У. Пришло время подвести итог урока.

У. Какова тема урока?

У. Что важно запомнить ?

У. Где можете применить знания, полученные на уроке?

У. Какие ошибки допустили? И почему?

- У вас на столах лежат карточки приготовьтесь выполнить задание с этими карточками. Распределитесь на пары. Каждая пара, выходя к доске, встает в нужную координатную четверть. Обоснуйте свой выбор.

Дети выполняют значение.

У. Вспомним слова Гаусса. Что еще надо сделать на этом уроке, чтобы урок считать законченным?

Д. Оценить свою работу.

  1. Рефлексия.

У. Оцените свою работу на уроке, оцените работу группы и оцените урок.

  1. Домашнее задание.

Приложение 1.

Карточка № 1, № 2.

у

у

х х

у

у

х х

Приложение 2.

Вариант I.

Вариант II.

А -1

А – 1

Выясните, какой знак имеет выражение, и выпишите только

со знаком «+» со знаком «-«

sin179, cos280, tg175, ctg359, cos410, tg500, sin(-75), cos(-116).

Проверка. Если у вас нет совпадений, то вы выполнили задание верно.

А-2

А-2

Определите знак выражения и выпишите только

положительные отрицательные

sin100 cos300, sin190 tg200, cos320ctg17, cos400 tg170.

Проверка. Если у вас нет совпадений, то вы выполнили задание верно.

Б – 1

Б – 2

Для каких значений аргумента α, заключенных в промежутке от 0ْْْْ до 360ْ, знаки

sinα и cosα

совпадают различны

Проверка. Если у вас нет совпадений, то вы выполнили задание верно.

Б - 2

Б - 2

Из каждой пары выражений выпишите

наибольшее наименьшее

Проверка. Если у вас нет совпадений, то вы выполнили задание верно.

В - 1

В – 1

В какой четверти находится точка, соответствующая числу α, если

sinα + cosα= -1,4

sinα - cosα= 1,4

Проверка учителем.

В - 2

В – 2

Пусть α, β и γ – углы треугольника. Какой знак имеет сумма:

sinα+ sin β + sin γ

cosα+ cos β + cos γ

tgα+ tg β + tg γ

Проверка учителем. °-a\). К счастью, учить наизусть формулы привидения вам не придется, потому что есть легкий и надежный способ вывести нужную за пару секунд.

Как быстро получить любую формулу приведения

Для начала обратите внимание, что все формулы имеют похожий вид:


Здесь нужно пояснить термин «кофункция» - это та же самая функция с добавлением или убиранием приставки «ко-». То есть, для синуса кофункцией будет косинус, а для косинусасинус. С тангенсом и котангенсом – аналогично.

Функция:                Кофункция:
\(sin⁡\) \(a\)          \(→\)            \(cos⁡\) \(a\)
\(cos⁡\) \(a\)          \(→\)             \(sin⁡\) \(a\)
\(tg⁡\) \(a\)            \(→\)            \(ctg\) \(a\)
\(ctg⁡\) \(a\)          \(→\)             \(tg\) \(a\)

Таким образом, например, синус при применении этих формул никогда не поменяется на тангенс или котангенс, он либо останется синусом, либо превратиться в косинус. °}}=\)

 

В числителе и знаменателе получились одинаковые косинусы. Сокращаем их.

\(= 18\)

 

Записываем ответ

Ответ:  \(18\)

Пример. Найдите значение выражения \(\frac{3 \sin{⁡(\pi-a)}-\cos(\frac{\pi}{2}+a) }{\cos⁡ {(\frac{3\pi}{2}-a)}}\)

Решение:

\(\frac{3 \sin{⁡(\pi-a)}-\cos(\frac{\pi}{2}+a) }{\cos⁡ {(\frac{3\pi}{2}-a)}}=\)

Рассмотрим первое слагаемое числителя: \(\sin⁡(π-a)\). Воспользуемся формулами приведения, выведя ее самостоятельно:
  • \((π-a)\) это вторая четверть, а синус во второй четверти положителен. Значит, знак будет плюс;
  • \(π\) это точка «горизонтальная», то есть мотаем головой, значит функция остается той же.

Таким образом, \(\sin⁡(π-a)=\sin⁡a\) 

\(=\frac{3 \sin{⁡a}-\cos(\frac{\pi}{2}+a) }{\cos⁡ {(\frac{3\pi}{2}-a)}}=\)

  Второе слагаемое числителя: \(\cos⁡{(\frac{π}{2} + a)}\):
  • \((\frac{π}{2} + a)\) это опять вторая четверть, а косинус во второй четверти отрицателен. Значит, знак будет минус.
  • \(\frac{π}{2}\) это точка «вертикальная», то есть киваем, значит, функция меняется на кофункцию – синус.

Таким образом, \(\cos{⁡(\frac{π}{2} + a)}=-\sin⁡a\)

\(=\frac{3 \sin{⁡a}-(-\sin{a}) }{\cos⁡ {(\frac{3\pi}{2}-a)}}=\)

 

Теперь знаменатель: \(\cos⁡(\frac{3π}{2} - a)\). Его мы разобрали выше, он равен минус синусу. \(\cos⁡(\frac{3π}{2} - a)=-\sin{⁡a}\)

\(=\frac{3 \sin{⁡a}-(-\sin{a}) }{-\sin⁡ {a}}=\)

 

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.

\(=\frac{3 \sin{⁡a}+\sin{a}}{-\sin⁡ {a}}=\frac{4\sin{a}}{-\sin{a}}\)

 

Сократив на \(\sin⁡{a}\), получаем ответ.

\(=\frac{4 }{-1}=\)\(-4\)

 

Ответ:  \(-4\)

Пример. Вычислить чему равен \(ctg(-a-\frac{7π}{2})\), если \(tg\) \(⁡a=2\)

Решение:

\(ctg(-a-\frac{7π}{2}) =\)

Здесь сразу формулу приведения применять нельзя, так как аргумент нестандартный. Что не так? Прежде всего, \(a\) стоит первой, хотя должна быть после «точки привязки». Поменяем местами слагаемые аргумента, сохраняя знаки.

\(= ctg(-\frac{7π}{2}-a) =\)

 

Уже лучше, но все еще есть проблемы – «точка привязки» с минусом, а такого аргумента у нас нет. Избавимся от минуса, вынеся его за скобку внутри аргумента.


\(= ctg(-(\frac{7π}{2}+a)) =\)

 

Теперь вспомним о том, что котангенс – функция нечетная, то есть
\(ctg\) \((-t)=- ctg\) \(t\). Преобразовываем наше выражение.

\(= - ctg(\frac{7π}{2}+a) =\)

 

Несмотря на то, что точка привязки \(\frac{7π}{2}\) мы все равно можем использовать формулы приведения, потому что \(\frac{7π}{2}\) лежит на пересечении одной из осей и числовой окружности (смотри пояснение ниже). \((\frac{7π}{2}+a)\) это четвертая четверть, и котангенс там отрицателен. «Точка привязки» - вертикальная, то есть функцию меняем. Окончательно имеем \(ctg(\frac{7π}{2}+a)=-tg a\) .

\(= - (- tg\) \(a) = tg\) \(a = 2\)

 

Готов ответ.

Ответ:  \(2\)

Еще раз проговорим этот важный момент: с точки зрения формулы приведения \(\frac{7π}{2}\) - это тоже самое, что и \(\frac{3π}{2}\). Почему? Потому что \(\frac{7π}{2}=\frac{3π+4π}{2}=\frac{3π}{2}+\frac{4π}{2}=\frac{3π}{2}+2π\). Иными словами, они отличаются ровно на один оборот \(2π\). А на значения тригонометрических функций количество оборотов никак не влияет:

\(cos\) \(⁡t=cos ⁡(t+2π)=cos ⁡(t+4π)=cos ⁡(t+6π)= ...=cos⁡ (t-2π)=cos ⁡(t-4π)=cos⁡ (t-6π)…\)
\(sin\) \(t=sin⁡ (t+2π)=sin ⁡(t+4π)=sin ⁡(t+6π)= . ..=sin⁡ (t-2π)=sin ⁡(t-4π)=sin ⁡(t-6π)…\)

Аналогично с тангенсом и котангенсом (только у них «оборот» равен \(π\)).
\(tg\) \(t=tg⁡(t+π)=tg⁡(t+2π)=tg⁡(t+3π)= ...=tg⁡(t-π)=tg⁡(t-2π)=tg⁡(t-3π)…\)
\(ctg\) \(t=ctg⁡(t+π)=ctg⁡(t+2π)=ctg⁡(t+3π)= ...=ctg⁡(t-π)=ctg⁡(t-2π)=ctg⁡(t-3π)…\)

Таким образом, \(-ctg(\frac{7π}{2}+a)=- ctg(\frac{3π}{2}+2π+a)=- ctg(\frac{3π}{2}+a)\).

То есть, для определения знака и необходимости смены функции важно лишь местоположение «точки привязки», а не её значение, поэтому так расписывать не обязательно (но можно если вы хотите впечатлить своими знаниями учительницу).

Ответы на часто задаваемые вопросы

Вопрос: Есть ли формулы приведения с аргументами \((\frac{π}{3}-a)\),\((\frac{π}{4}+a)\),\((\frac{7π}{6}+a)\) или тому подобное?
Ответ: К сожалению, нет. В таких ситуациях выгодно использовать формулы разности и суммы аргументов. Например, \(cos⁡(\frac{π}{3}-a)=cos⁡\frac{π}{3} cos⁡a+sin⁡\frac{π}{3} sin⁡a=\frac{1}{2}cos⁡a+\frac{\sqrt{3}}{2} sin⁡a\).

Смотрите также Как доказать тригонометрическое тождество?

Скачать статью

Показать таблицу по футболу. Предлагаемый математический аппарат является полным аналогом комплексного исчисления для n-мерных гиперкомплексных чисел с любым числом степеней свободы n и предназначен для математического моделирования нелинейных

В этой статье собраны таблицы синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов . Сначала мы приведем таблицу основных значений тригонометрических функций, то есть, таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусов (0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π радиан). После этого мы дадим таблицу синусов и косинусов, а также таблицу тангенсов и котангенсов В. М. Брадиса, и покажем, как использовать эти таблицы при нахождении значений тригонометрических функций.

Навигация по странице.

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для углов 0, 30, 45, 60, 90, … градусов

Список литературы.

  • Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
  • Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
  • Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
  • Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.
  • Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы: Для общеобразоват. учеб. заведений. - 2-е изд. - М.: Дрофа, 1999.- 96 с.: ил. ISBN 5-7107-2667-2

В статье, мы полностью разберемся, как выглядит таблица тригонометрических значений, синуса, косинуса, тангенса и котангенса . Рассмотрим основное значение тригонометрических функций, от угла в 0,30,45,60,90,...,360 градусов. И посмотрим как пользоваться данными таблицами в вычислении значения тригонометрических функций.
Первой рассмотрим таблицу косинуса, синуса, тангенса и котангенса от угла в 0, 30, 45, 60, 90,.. градусов. Определение данных величин дают определить значение функций углов в 0 и 90 градусов:

sin 0 0 =0, cos 0 0 = 1. tg 0 0 = 0, котангенс от 0 0 будет неопределенным
sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0,тангенс от 90 0 будет неопределенным

Если взять прямоугольные треугольники углы которых от 30 до 90 градусов. Получим:

sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tg 30 0 = √3/3, ctg 30 0 = √3
sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tg 45 0 = 1, ctg 45 0 = 1
sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3 , ctg 60 0 = √3/3

Изобразим все полученные значения в виде тригонометрической таблицы :

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов!

Если использовать формулу приведения, наша таблица увеличится, добавятся значения для углов до 360 градусов. Выглядеть она будет как:

Так же исходя из свойств периодичности таблицу можно увеличить, если заменим углы на 0 0 +360 0 *z .... 330 0 +360 0 *z, в котором z является целым числом. В данной таблице возможно вычислить значение всех углов, соответствующими точками в единой окружности.

Разберем наглядно как использовать таблицу в решении.
Все очень прост. Так как нужное нам значение лежит в точке пересечения нужных нам ячеек. К примеру возьмем cos угла 60 градусов, в таблице это будет выглядеть как:

В итоговой таблице основных значений тригонометрических функций, действуем так же. Но в данной таблице возможно узнать сколько составит тангенс от угла в 1020 градусов, он = -√3 Проверим 1020 0 = 300 0 +360 0 *2. Найдем по таблице.

Для более поиска тригонометрических значений углов с точностью до минут используются . Подробная инструкция как ими пользоваться на странице

Таблица Брадиса. Для синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Таблицы Брадиса поделены на несколько частей, состоят из таблиц косинуса и синуса, тангенса и котангенса - которая поделена на две части (tg угла до 90 градусов и ctg малых углов).

Синус и косинус

tg угла начиная с 0 0 заканчивая 76 0 , ctg угла начиная с 14 0 заканчивая 90 0 .

tg до 90 0 и ctg малых углов.

Разберемся как пользоваться таблицами Брадиса в решении задач.

Найдем обозначение sin (обозначение в столбце с левого края) 42 минут (обозначение находится на верхней строчке). Путем пересечения ищем обозначение, оно = 0,3040.

Величины минут указаны с промежутком в шесть минут, как быть если нужное нам значение попадет именно в этот промежуток. Возьмем 44 минуты, а в таблице есть только 42. Берем за основу 42 и воспользуемся добавочными столбцами в правой стороне, берем 2 поправку и добавляем к 0,3040 + 0,0006 получаем 0,3046.

При sin 47 мин, берем за основу 48 мин и отнимаем от нее 1 поправку, т.е 0,3057 - 0,0003 = 0,3054

При вычислении cos работаем аналогично sin только за основу берем нижнюю строку таблицы. К примеру cos 20 0 = 0.9397

Значения tg угла до 90 0 и cot малого угла, верны и поправок в них нет. К примеру, найти tg 78 0 37мин = 4,967


а ctg 20 0 13мин = 25,83

Ну вот мы и рассмотрели основные тригонометрические таблицы. Надеемся это информация была для вас крайне полезной. Свои вопросы по таблицам, если они появились, обязательно пишите в комментариях!

Заметка: Стеновые отбойники - отбойная доска для защиты стен (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/)

ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Таблица значений тригонометрических функций составлена для углов в 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 и 360 градусов и соответствующих им значений углов врадианах. Из тригонометрических функций в таблице приведены синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс. Для удобства решения школьных примеров значения тригонометрических функций в таблице записаны в виде дроби с сохранением знаков извлечения корня квадратного из чисел, что очень часто помогает сокращать сложные математические выражения. Для тангенса и котангенса значения некоторых углов не могут быть определены. Для значений тангенса и котангенса таких углов в таблице значений тригонометрических функций стоит прочерк. Принято считать, что тангенс и котангенс таких углов равняется бесконечности. На отдельной странице находятся формулы приведения тригонометрических функций.

В таблице значений для тригонометрической функции синус приведены значения для следующих углов: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 в градусной мере, что соответствует sin 0 пи, sin пи/6, sin пи/4, sin пи/3, sin пи/2, sin пи, sin 3 пи/2, sin 2 пи в радианной мере углов. Школьная таблица синусов.

Для тригонометрической функции косинус в таблице приведены значения для следующих углов: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 в градусной мере, что соответствует cos 0 пи, cos пи на 6, cos пи на 4, cos пи на 3, cos пи на 2, cos пи, cos 3 пи на 2, cos 2 пи в радианной мере углов. Школьная таблица косинусов.

Тригонометрическая таблица для тригонометрической функции тангенс приводит значения для следующих углов: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 в градусной мере, что соответствует tg 0 пи, tg пи/6, tg пи/4, tg пи/3, tg пи, tg 2 пи в радианной мере углов. Следующие значения тригонометрических функций тангенса не определены tg 90, tg 270, tg пи/2, tg 3 пи/2 и считаются равными бесконечности.

Для тригонометрической функции котангенс в тригонометрической таблице даны значения следующих углов: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 в градусной мере, что соответствует ctg пи/6, ctg пи/4, ctg пи/3, tg пи/2, tg 3 пи/2 в радианной мере углов. Следующие значения тригонометрических функций котангенса не определены ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 пи, ctg пи, ctg 2 пи и считаются равными бесконечности.

Значения тригонометрических функций секанс и косеканс приведены для таких же углов в градусах и радианах, что и синус, косинус, тангенс, котангенс.

В таблице значений тригонометрических функций нестандартных углов приводятся значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов в градусах 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 градусов и в радианах пи/12, пи/10, пи/8, пи/5, 3пи/8, 2пи/5 радиан. Значения тригонометрических функций выражены через дроби и корни квадратные для упрощения сокращения дробей в школьных примерах.

Еще три монстра тригонометрии. Первый - это тангенс 1,5 полутора градусов или пи деленное на 120. Второй - косинус пи деленное на 240, пи/240. Самый длинный - косинус пи деленное на 17, пи/17.

Тригонометрический круг значений функций синус и косинус наглядно представляет знаки синуса и косинуса в зависимости от величины угла. Специально для блондинок значения косинуса подчеркнуты зелененькой черточкой,чтоб меньше путаться. Так же очень наглядно представлен перевод градусов в радианы, когда радианы выражены через пи.

Эта тригонометрическая таблица представляет значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов от 0 нуля до 90 девяносто градусов с интервалом через один градус. Для первых сорока пяти градусов названия тригонометрических функций необходимо смотреть в верхней части таблицы. В первом столбце указаны градусы, значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов записаны в следующих четырех столбцах.

Для углов от сорока пяти градусов до девяноста градусов названия тригонометрических функций записаны в нижней части таблицы. В последнем столбце указаны градусы, значения косинусов, синусов, котангенсов и тангенсов записаны в предыдущих четырех столбцах. Следует быть внимательными, поскольку в нижней части тригонометрической таблицы названия тригонометрических функций отличаются от названий в верхней части таблицы. Синусы и косинусы меняются местами, точно так же, как тангенс и котангенс. Это связано с симметричностью значений тригонометрических функций.

Знаки тригонометрических функций представлены на рисунке выше. Синус имеет положительные значения от 0 до 180 градусов или от 0 до пи. Отрицательные значения синус имеет от 180 до 360 градусов или от пи до 2 пи. Значения косинуса положительны от 0 до 90 и от 270 до 360 градусов или от 0 до 1/2 пи и от 3/2 до 2 пи. Тангенс и котангенс имеют положительные значения от 0 до 90 градусов и от 180 до 270 градусов, что соответствует значениям от 0 до 1/2 пи и от пи до 3/2 пи. Отрицательные значения тангенс и котангенс имеют от 90 до 180 градусов и от 270 до 360 градусов или от 1/2 пи до пи и от 3/2 пи до 2 пи. При определении знаков тригонометрических функций для углов больше 360 градусов или 2 пи следует использовать свойства периодичности этих функций.

Тригонометрические функции синус, тангенс и котангенс являются нечетными функциями. Значения этих функций для отрицательных углов будут отрицательными. Косинус является четной тригонометрической функцией - значение косинуса для отрицательного угла будет положительным. При умножении и делении тригонометрических функций необходимо соблюдать правила знаков.

  1. В таблице значений для тригонометрической функции синус приведены значения для следующих углов

    Документ

    Отдельной странице находятся формулы приведения тригонометрических функций . В таблице значений для тригонометрической функции синус приведены значения для следующих углов : sin 0, sin 30, sin 45 ...

  2. Предлагаемый математический аппарат является полным аналогом комплексного исчисления для n-мерных гиперкомплексных чисел с любым числом степеней свободы n и предназначен для математического моделирования нелинейных

    Документ

    ... функции равно функции изображения. Из этой теоремы сле­дует , что для нахождения координат U, V достаточно вычислить функцию ... геометрии; полинарные функции (многомерные аналоги двухмерных тригонометрических функций ), их свойства, таблицы и применение; ...

Примечание . В данной таблице значений тригонометрических функций используется знак √ для обозначения квадратного корня. Для обозначения дроби - символ "/".

См. также полезные материалы:

Для определения значения тригонометрической функции , найдите его на пересечении строки с указанием тригонометрической функции. Например, синус 30 градусов - ищем колонку с заголовком sin (синус) и находим пересечение этой колонки таблицы со строкой "30 градусов", на их пересечении считываем результат - одна вторая. Аналогично находим косинус 60 градусов, синус 60 градусов (еще раз, в пересечении колонки sin (синус) и строки 60 градусов находим значение sin 60 = √3/2) и т.д. Точно так же находятся значения синусов, косинусов и тангенсов других "популярных" углов.

Синус пи, косинус пи, тангенс пи и других углов в радианах

Приведенная ниже таблица косинусов, синусов и тангенсов также подходит для нахождения значения тригонометрических функций, аргумент которых задан в радианах . Для этого воспользуйтесь второй колонкой значений угла. Благодаря этому можно перевести значение популярных углов из градусов в радианы. Например, найдем угол 60 градусов в первой строке и под ним прочитаем его значение в радианах. 60 градусов равно π/3 радиан.

Число пи однозначно выражает зависимость длины окружности от градусной меры угла. Таким образом, пи радиан равны 180 градусам.

Любое число, выраженное через пи (радиан) можно легко перевести в градусную меру, заменив число пи (π) на 180 .

Примеры :
1. Синус пи .
sin π = sin 180 = 0
таким образом, синус пи - это тоже самое, что синус 180 градусов и он равен нулю.

2. Косинус пи .
cos π = cos 180 = -1
таким образом, косинус пи - это тоже самое, что косинус 180 градусов и он равен минус единице.

3. Тангенс пи
tg π = tg 180 = 0
таким образом, тангенс пи - это тоже самое, что тангенс 180 градусов и он равен нулю.

Таблица значений синуса, косинуса, тангенса для углов 0 - 360 градусов (часто встречающиеся значения)


значение угла α
(градусов)

значение угла α
в радианах

(через число пи)

sin
(синус)
cos
(косинус)
tg
(тангенс)
ctg
(котангенс)
sec
(секанс)
cosec
(косеканс)
0 0 0 1 0 - 1 -
15 π/12 2 - √3 2 + √3
30 π/6 1/2 √3/2 1/√3 √3 2/√3 2
45 π/4 √2/2 √2/2 1 1 √2 √2
60 π/3 √3/2 1/2 √3 1/√3 2 2/√3
75 5π/12 2 + √3 2 - √3
90 π/2 1 0 - 0 - 1
105 7π/12 -
- 2 - √3 √3 - 2
120 2π/3 √3/2 -1/2 -√3 -√3/3
135 3π/4 √2/2 -√2/2 -1 -1 -√2 √2
150 5π/6 1/2 -√3/2 -√3/3 -√3
180 π 0 -1 0 - -1 -
210 7π/6 -1/2 -√3/2 √3/3 √3
240 4π/3 -√3/2 -1/2 √3 √3/3
270 3π/2 -1 0 - 0 - -1
360 0 1 0 - 1 -

Если в таблице значений тригонометрических функций вместо значения функции указан прочерк (тангенс (tg) 90 градусов, котангенс (ctg) 180 градусов) значит при данном значении градусной меры угла функция не имеет определенного значения. Если же прочерка нет - клетка пуста, значит мы еще не внесли нужное значение. Мы интересуемся, по каким запросам к нам приходят пользователи и дополняем таблицу новыми значениями, несмотря на то, что текущих данных о значениях косинусов, синусов и тангенсов самых часто встречающихся значений углов вполне достаточно для решения большинства задач.

Таблица значений тригонометрических функций sin, cos, tg для наиболее популярных углов


0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 градусов
(цифровые значения "как по таблицам Брадиса")
значение угла α (градусов) значение угла α в радианах sin (синус) cos (косинус) tg (тангенс) ctg (котангенс)
0 0
15

0,2588

0,9659

0,2679

30

0,5000

0,5774

45

0,7071

0,7660

60

0,8660

0,5000

1,7321

7π/18

Тригонометрическая таблица. Cинус, косинус, тангенс и котангенс

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Прежде всего напомню простой, но очень полезный вывод из урока "Что такое синус и косинус? Что такое тангенс и котангенс?"

Вот этот вывод:

Синус, косинус, тангенс и котангенс накрепко связаны со своими углами. Знаем одно - значит, знаем и другое.

Другими словами, у каждого угла есть свой неизменный синус и косинус. И почти у каждого - свой тангенс и котангенс. Почему почти? Об этом ниже.

Это знание здорово помогает в учёбе! Существует масса заданий, где требуется перейти от синусов к углам и наоборот. Для этого существует таблица синусов. Аналогично, для заданий с косинусом - таблица косинусов. И, как вы уже догадались, существует таблица тангенсов и таблица котангенсов. )

Таблицы бывают разные. Длинные, где можно посмотреть, чему равен, скажем, sin37°6’. Раскрываем таблицы Брадиса, ищем угол тридцать семь градусов шесть минут и видим значение 0,6032. Понятное дело, запоминать это число (и тысячи других табличных значений) совершенно не требуется.

В сущности, в наше время длинные таблицы косинусов синусов тангенсов котангенсов не особо-то и нужны. Один хороший калькулятор заменяет их полностью. Но знать о существовании таких таблиц не мешает. Для общей эрудиции.)

И зачем тогда этот урок?! - спросите вы.

А вот зачем. Среди бесконечного количества углов существуют особые, о которых вы должны знать всё . На этих углах построена вся школьная геометрия и тригонометрия. Это, своего рода, "таблица умножения" тригонометрии. Если вы не знаете, чему равен, например, sin50°, никто вас не осудит.) Но если вы не знаете, чему равен sin30°, будьте готовы получить заслуженную двойку...

Таких особых углов тоже прилично набирается. Школьные учебники обычно любезно предлагают к запоминанию таблицу синусов и таблицу косинусов для семнадцати углов. Ну и, разумеется, таблицу тангенсов и таблицу котангенсов для тех же семнадцати углов... Т.е. предлагается запомнить 68 значений. Которые, между прочим, очень похожи между собой, то и дело повторяются и меняют знаки. Для человека без идеальной зрительной памяти - та ещё задачка...)

Мы пойдём другим путём. Заменим механическое запоминание на логику и смекалку. Тогда нам придётся зазубрить 3 (три!) значения для таблицы синусов и таблицы косинусов. И 3 (три!) значения для таблицы тангенсов и таблицы котангенсов. И всё. Шесть значений запомнить легче, чем 68, мне кажется...)

Все остальные необходимые значения мы будем получать из этих шести с помощью мощной законной шпаргалки - тригонометрического круга. Если вы не изучали эту тему, сходите по ссылочке, не ленитесь. Этот круг не только для этого урока нужен. Он незаменим для всей тригонометрии сразу . Не пользоваться таким инструментом просто грех! Не хотите? Дело ваше. Заучивайте таблицу синусов. Таблицу косинусов. Таблицу тангенсов. Таблицу котангенсов. Все 68 значений для разнообразных углов.)

Итак, начнём. Для начала разобьём все эти особые углы на три группы.

Первая группа углов.

Рассмотрим первую группа углов из семнадцати особых . Это 5 углов: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.

Вот так выглядит таблица синусов косинусов тангенсов котангенсов для этих углов:

Угол х


(в градусах)

0

90

180

270

360

Угол х


(в радианах)

0

sin x

0

1

0

-1

0

cos x

1

0

-1

0

1

tg x

0

не сущ.

0

не сущ.

0

ctg x

не сущ.

0

не сущ.

0

не сущ.

Желающие запомнить - запоминайте. Но сразу скажу, что все эти единички и нолики очень путаются в голове. Гораздо сильнее, чем хочется.) Поэтому включаем логику и тригонометрический круг.

Рисуем круг и отмечаем на нём эти самые углы: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°. Я эти углы отметил красными точками:

Сразу видно, в чём особенность этих углов. Да! Это углы, которые попадают точно на оси координат! Собственно, поэтому-то и путается народ... Но мы путаться не будем. Разберёмся, как находить тригонометрические функции этих углов без особого запоминания.

Кстати, положение угла в 0 градусов полностью совпадает с положением угла в 360 градусов. Это значит, что синусы, косинусы, тангенсы у этих углов совершенно одинаковы. Угол в 360 градусов я отметил, чтобы замкнуть круг.

Предположим, в сложной стрессовой обстановке ЕГЭ вы как-то засомневались... Чему равен синус 0 градусов? Вроде ноль... А вдруг единица?! Механическое запоминание такая штука. В суровых условиях сомнения грызть начинают...)

Спокойствие, только спокойствие!) Я подскажу вам практический приём, который выдаст стопроцентно правильный ответ и начисто уберёт все сомнения.

В качестве примера разберёмся, как чётко и надёжно определить, скажем, синус 0 градусов. А заодно, и косинус 0. Именно в этих значениях, как ни странно, частенько люди путаются.

Для этого на круге нарисуем произвольный угол х . В первой четверти, чтобы недалеко от 0 градусов было. Отметим на осях синус и косинус этого угла х, всё чин-чинарём. Вот так:

А теперь - внимание! Уменьшим угол х , приблизим подвижную сторону к оси ОХ. Наведите курсор на картинку (или коснитесь картинки на планшете) и всё увидите.

Теперь включаем элементарную логику!. Смотрим и размышляем: как ведёт себя sinx при уменьшении угла х? При приближении угла к нулю? Он уменьшается! А cosx - увеличивается! Остаётся сообразить, что станет с синусом, когда угол схлопнется совсем? Когда подвижная сторона угла (точка А) уляжется на ось ОХ и угол станет равным нулю? Очевидно, и синус угла уйдёт в ноль. А косинус увеличится до... до... Чему равна длина подвижной стороны угла (радиус тригонометрического круга)? Единице!

Вот и ответ. Синус 0 градусов равен 0. Косинус 0 градусов равен 1. Совершенно железно и безо всяких сомнений!) Просто потому, что иначе быть не может.

Совершенно аналогично можно узнать (или уточнить) синус 270 градусов, например. Или косинус 180. Нарисовать круг, произвольный угол в четверти рядышком с интересующей нас осью координат, мысленно подвигать сторону угла и уловить, чем станет синус и косинус, когда сторона угла уляжется на ось. Вот и всё.

Как видите, для этой группы углов ничего заучивать не надо. Не нужна здесь таблица синусов... Да и таблица косинусов - тоже.) Кстати, после нескольких применений тригонометрического круга все эти значения запомнятся сами по себе. А если забудутся - нарисовал за 5 секунд круг и уточнил. Куда проще, чем звонить другу из туалета с риском для аттестата, правда?)

Что касается тангенса и котангенса - всё то же самое. Рисуем на круге линию тангенса (котангенса) - и всё сразу видно. Где они равны нулю, а где - не существуют. Что, не знаете про линии тангенса и котангенса? Это печально, но поправимо.) Посетили Раздел 555 Тангенс и котангенс на тригонометрическом круге - и нет проблем!

Если вы поняли, как чётко определить синус, косинус, тангенс и котангенс для этих пяти углов - я вас поздравляю! На всякий случай сообщаю, что вы теперь можете определять функции любых углов, попадающих на оси. А это и 450°, и 540°, и 1800°, и ещё бесконечное количество...) Отсчитал (правильно!) угол на круге - и нет проблем с функциями.

Но, как раз, с отсчётом углов и случаются проблемы да ошибки... Как их избежать, написано в уроке: Как нарисовать (отсчитать) любой угол на тригонометрическом круге в градусах. Элементарно, но очень помогает в борьбе с ошибками.)

А вот урок: Как нарисовать (отсчитать) любой угол на тригонометрическом круге в радианах - покруче будет. В смысле возможностей. Скажем, определить на какую из четырёх полуосей попадает угол

вы сможете за пару секунд. Я не шучу! Именно за пару секунд. Ну конечно, не только 345 "пи"...) И 121, и 16, и -1345. Любой целый коэффициент годится для мгновенного ответа.

А если угол

Подумаешь! Верный ответ получается секунд за 10. Для любого дробного значения радианов с двойкой в знаменателе.

Собственно, этим и хорош тригонометрический круг. Тем, что умение работать с некоторыми углами он автоматически расширяет на бесконечное множество углов.

Итак, с пятью углами из семнадцати - разобрались.

Вторая группа углов.

Следующая группа углов - это углы 30°, 45° и 60°. Почему именно эти, а не, к примеру, 20, 50 и 80? Да как-то сложилось так... Исторически.) Дальше будет видно, чем хороши эти углы.

Таблица синусов косинусов тангенсов котангенсов для этих углов выглядит так:

Угол х


(в градусах)

0

30

45

60

90

Угол х


(в радианах)

0

sin x

0

1

cos x

1

0

tg x

0

1

не сущ.

ctg x

не сущ.

1

0

Я оставил значения для 0° и 90° из предыдущей таблицы для завершённости картины.) Чтобы было видно, что эти углы лежат в первой четверти и возрастают. От 0 до 90. Это пригодится нам дальше.

Значения таблицы для углов 30°, 45° и 60° надо запомнить. Зазубрить, если хотите. Но и здесь есть возможность облегчить себе жизнь.) Обратите внимание на значения таблицы синусов этих углов. И сравните со значениями таблицы косинусов...

Да! Они одни и те же! Только расположены в обратном порядке. Углы возрастают (0, 30, 45, 60, 90) - и значения синуса возрастают от 0 до 1. Можете убедиться с калькулятором. А значения косинуса - убывают от 1 до нуля. Причём, сами значения одни и те же. Для углов 20, 50, 80 так бы не получилось...

Отсюда полезный вывод. Достаточно выучить три значения для углов 30, 45, 60 градусов. И помнить, что у синуса они возрастают, а у косинуса - убывают. Навстречу синусу.) На половине пути (45°) они встречаются, т.е синус 45 градусов равен косинусу 45 градусов. А дальше опять расходятся... Три значения можно выучить, правда?

С тангенсами - котангенсами картина исключительно та же самая. Один в один. Только значения другие. Эти значения (ещё три!) тоже надо выучить.

Ну вот, практически всё запоминание и закончилось. Вы поняли (надеюсь), как определять значения для пяти углов попадающих на оси и выучили значения для углов 30, 45, 60 градусов. Всего 8.

Осталось разобраться с последней группой из 9 углов.

Вот эти углы:
120°; 135°; 150°; 210°; 225°; 240°; 300°; 315°; 330°. Для этих углов надо железно знать таблицу синусов, таблицу косинусов и т.д.

Кошмар, правда?)

А если добавить сюда углы, типа: 405°, 600°, или 3000° и много-много такого же красивого?)

Или углы в радианах? Например, про углы:

и многие другие, вы должны знать всё .

Самое забавное, что знать это всё - невозможно в принципе. Если использовать механическую память.

И очень легко, фактически элементарно - если использовать тригонометрический круг. Если вы освоите практическую работу с тригонометрическим кругом, все эти ужасные углы в градусах будут легко и элегантно сводиться к старым добрым:

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

1. Тригонометрические функции представляют собой элементарные функции, аргументом которых является угол . С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике. Области применения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Так, например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций (ряда Фурье). Данные функции часто появляются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.

2. К тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синус , косинус , тангенс ,котангенс , секанс и косеканс . Для каждой из указанных функций существует обратная тригонометрическая функция.

3. Геометрическое определение тригонометрических функций удобно ввести с помощью единичного круга . На приведенном ниже рисунке изображен круг радиусом r=1. На окружности обозначена точка M(x,y). Угол между радиус-вектором OM и положительным направлением оси Ox равен α.

4. Синусом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к радиусу r:
sinα=y/r.
Поскольку r=1, то синус равен ординате точки M(x,y).

5. Косинусом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к радиусу r:
cosα=x/r

6. Тангенсом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к ee абсциссе x:
tanα=y/x,x≠0

7. Котангенсом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к ее ординате y:
cotα=x/y,y≠0

8. Секанс угла α − это отношение радиуса r к абсциссе x точки M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0

9. Косеканс угла α − это отношение радиуса r к ординате y точки M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. В единичном круге проекции x, y точки M(x,y) и радиус r образуют прямоугольный треугольник, в котором x,y являются катетами, а r − гипотенузой. Поэтому, приведенные выше определения тригонометрических функций в приложении к прямоугольному треугольнику формулируются таким образом:
Синусом угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом угла α называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом угла α называется противолежащего катета к прилежащему.
Котангенсом угла α называется прилежащего катета к противолежащему.
Секанс угла α представляет собой отношение гипотенузы к прилежащему катету.
Косеканс угла α представляет собой отношение гипотенузы к противолежащему катету.

11. График функции синус
y=sinx, область определения: x∈R, область значений: −1≤sinx≤1

12. График функции косинус
y=cosx, область определения: x∈R, область значений: −1≤cosx≤1

13. График функции тангенс
y=tanx, область определения: x∈R,x≠(2k+1)π/2, область значений: −∞

14. График функции котангенс
y=cotx, область определения: x∈R,x≠kπ, область значений: −∞

15. График функции секанс
y=secx, область определения: x∈R,x≠(2k+1)π/2, область значений:secx∈(−∞,−1]∪∪}

 

Статьи по теме:

Вклады чрезвычайно популярны в России, поскольку для их открытия не нужно соблюдать кучу условий, главное — располагать минимально необходимой суммой.Дорогие читатели! Статья рассказывает о типовых способах решения юридических вопросов, но каждый случай и

Врач – весьма востребованная профессия на территории Российской Федерации. Во всём мире представители медицинской отрасли очень ценятся и получают за свой труд немалые деньги. Но, к сожалению, этого нельзя сказать о России. Несмотря на всю престижность

Я положила деньги под проценты в банк. Нужно ли потом платить НДФЛ ?Спасибо большое,Ира, Москва.Налоговый кодекс предусматривает ситуации, в которых с дохода по вкладу надо заплатить НДФЛ . Однако подобные ситуации были возможны несколько лет назад. Сейча

Хранение денег в иностранном банке – вариант того, как обезопасить свои средства от неожиданностей отечественной экономики. Причины, по которым стоит открыть вклад в иностранном банке Основная цель вклада за рубежом – это надежное сохранение средств. Ст

 

Синус 210 градусов. Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Линии синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

Каждой тригонометрической функции для данного угла (или числа) α соответствует определенное значение этой функции. Из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса ясно, что значением синуса угла α является ордината точки, в которую переходит начальная точка единичной окружности после ее поворота на угол α , значением косинуса – абсцисса этой точки, значением тангенса – отношение ординаты к абсциссе, а значением котангенса – отношение абсциссы к ординате.

Достаточно часто при решении задач возникает необходимость в нахождении значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов указанных углов. Для некоторых углов, например в 0, 30, 45, 60, 90, … градусов, есть возможность найти точные значения тригонометрических функций, для других углов нахождение точных значений оказывается проблематичным и приходится довольствоваться приближенными значениями.

В этой статье мы разберемся, какими принципами следует руководствоваться при вычислении значения синуса, косинуса, тангенса или котангенса. Перечислим их по порядку.

  • Приближенное значение указанной тригонометрической функции можно найти по определению. А для углов 0, ±90, ±180 и т.д. градусов определение тригонометрических функций позволяет указать точные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
  • Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике позволяют найти значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «основных» углов 30 , 45 , 60 градусов.
  • Если угол выходит за пределы от 0 до 90 градусов, то сначала следует воспользоваться формулами приведения , что позволит перейти к вычислению значения тригонометрических функций с аргументом от 0 до 90 градусов.
  • Если известно значение одной из тригонометрических функций для данного угла α , то мы всегда можем вычислить значение любой другой тригонометрической функции этого же угла. Это нам позволяют сделать основные тригонометрические тождества .
  • Иногда возможно вычислить значение данной тригонометрической функции для данного угла, отталкиваясь от значений функций для основных углов и используя подходящие формулы тригонометрии . Например, по известному значению синуса 30 градусов и формуле половинного угла для синуса можно найти значение синуса 15 градусов.
  • Наконец, всегда можно найти приближенное значение данной тригонометрической функции для данного угла, обратившись к нужной из таблиц синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов .

Теперь рассмотрим каждый из перечисленных принципов вычисления значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов подробно.

Навигация по странице.

Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса по определению

Отталкиваясь от определения синуса и косинуса, можно найти значения синуса и косинуса данного угла α . Для этого нужно взять единичную окружность, повернуть начальную точку А(1, 0) на угол α , после чего она перейдет в точку А 1 . Тогда координаты точки А 1 дадут соответственно косинус и синус данного угла α . После этого можно вычислить тангенс и котангенс угла α , вычислив отношения ординаты к абсциссе и абсциссы к ординате соответственно.

По определению мы можем вычислить точные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … градусов (0, ±π/2, ±π, ±3π/2, ±2π, … радианов). Разобьем эти углы на четыре группы: 360·z градусов (2π·z рад), 90+360·z градусов (π/2+2π·z рад), 180+360·z градусов (π+2π·z рад) и 270+360·z градусов (3π/2+2π·z рад), где z – любое . Изобразим на рисунках, где будет располагаться точка А 1 , получающаяся при повороте начальной точки А на эти углы (при необходимости изучите материал статьи угол поворота).

Для каждой из этих групп углов найдем значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, используя определения.

Что касается остальных углов, отличных от 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … градусов, то по определению мы можем найти лишь приближенные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Для примера найдем синус, косинус, тангенс и котангенс угла −52 градуса.

Выполним построения.

По чертежу находим, что абсцисса точки А 1 приближенно равна 0,62 , а ордината приближенно равна −0,78 . Таким образом, и . Остается вычислить значения тангенса и котангенса, имеем и .

Понятно, что чем точнее будут выполнены построения, тем точнее будут найдены приближенные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса данного угла. Также понятно, что нахождение значений тригонометрических функций по определению не удобно на практике, так как неудобно выполнять описанные построения.

Линии синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

Вкратце стоит остановиться на так называемых линиях синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов . Линиями синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов называют линии, изображаемые совместно с единичной окружностью, имеющие начало отсчета и единицу измерения, равную единице во введенной прямоугольной системе координат, на них наглядно представляются все возможные значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Изобразим их на чертеже ниже.

Значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов 30, 45 и 60 градусов

Для углов 30 , 45 и 60 градусов известны точные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Они могут быть получены по определениям синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике с использованием теоремы Пифагора .

Чтобы получить значения тригонометрических функций для углов 30 и 60 градусов рассмотрим прямоугольный треугольник с этими углами, причем его возьмем таким, чтобы длина гипотенузы равнялась единице. Известно, что катет, лежащий напротив угла 30 градусов вдвое меньше гипотенузы, следовательно, его длина равна 1/2 . Длину другого катета находим по теореме Пифагора: .

Так как синус угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, то и . В свою очередь косинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе, тогда и . Тангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему, а котангенс – это отношение прилежащего катета к противолежащему, следовательно, и , а также и .

Осталось получить значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для угла 45 градусов. Обратимся к прямоугольному треугольнику с углами 45 градусов (он будет равнобедренным) и гипотенузой, равной единице. Тогда по теореме Пифагора несложно проверить, что длины катетов равны . Теперь мы можем вычислить значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса как отношение длин соответствующих сторон рассматриваемого прямоугольного треугольника. Имеем и .

Полученные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 30 , 45 и 60 градусов будут очень часто использоваться при решении различных геометрических и тригонометрических задач, так что рекомендуем их запомнить. Для удобства занесем их в таблицу основных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса .

В заключение этого пункта приведем иллюстрацию значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 30 , 45 и 60 с использованием единичной окружности и линий синуса, косинуса, тангенса и котангенса.


Сведение к углу из интервала от 0 до 90 градусов

Сразу заметим, что удобно находить значения тригонометрических функций, когда угол находится в интервале от 0 до 90 градусов (от нуля до пи пополам рад). Если же аргумент тригонометрической функции, значение которой нам нужно найти, выходит за пределы от 0 до 9 0 градусов, то мы всегда при помощи формул приведения можем перейти к нахождению значения тригонометрической функции, аргумент которой будет в указанных пределах.

Для примера найдем значение синуса 210 градусов. Представив 210 как 180+30 или как 270−60 , соответствующие формулы приведения сводят нашу задачу от нахождения синуса 210 градусов к нахождению значения синуса 30 градусов , или косинуса 60 градусов .

Давайте на будущее условимся при нахождении значений тригонометрических функций всегда с помощью формул приведения переходить к углам из интервала от 0 до 90 градусов, если конечно угол уже не находится в этих пределах.

Достаточно знать значение одной из тригонометрических функций

Основные тригонометрические тождества устанавливают связи между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла. Таким образом, с их помощью мы можем по известному значению одной из тригонометрических функций найти значение любой другой функции этого же угла.

Рассмотрим решение примера.

Пример.

Определите, чему равен синус угла пи на восемь, если .

Решение.

Сначала найдем чему равен котангенс этого угла:

Теперь, используя формулу , мы можем вычислить, чему равен квадрат синуса угла пи на восемь, а следовательно, и искомое значение синуса. Имеем

Осталось лишь найти значение синуса. Так как угол пи на восемь является углом первой координатной четверти, то синус этого угла положителен (при необходимости смотрите раздел теории знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям). Таким образом, .

Ответ:

.

Нахождение значений с помощью тригонометрических формул

В двух предыдущих пунктах мы уже начали освещение вопроса по нахождению значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса с использованием формул тригонометрии. Здесь мы лишь хотим сказать, что иногда возможно вычислить требуемое значение тригонометрической функции, используя тригонометрические формулы и известные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса (например, для углов 30 , 45 и 60 градусов).

Для примера, используя тригонометрические формулы, вычислим значение тангенса угла пи на восемь, которое мы использовали в предыдущем пункте для нахождения значения синуса.

11 градусов? Вопрос очень непростой.

Однако точные значения тригонометрических функций на практике частенько не так уж и нужны. Обычно достаточно приближенных значений с некоторой требуемой степенью точности. Существуют таблицы значений тригонометрических функций, откуда мы всегда можем найти нужное нам приближенное значение синуса, косинуса, тангенса или котангенса данного угла. Примерами таких таблиц являются таблицы синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов В. М. Брадиса . Эти таблицы содержат значения тригонометрических функций с точностью до четырех знаков после запятой.

Список литературы.

  • Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
  • Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
  • Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
  • Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Если говорить просто, то это овощи, приготовленные в воде по специальному рецепту. Я буду рассматривать два исходных компонента (овощной салат и воду) и готовый результат - борщ. Геометрически это можно представить как прямоугольник, в котором одна сторона обозначает салат, вторая сторона обозначает воду. Сумма этих двух сторон будет обозначать борщ. Диагональ и площадь такого "борщевого" прямоугольника являются чисто математическими понятиями и никогда не используются в рецептах приготовления борща.


Как салат и вода превращаются в борщ с точки зрения математики? Как сумма двух отрезков может превратиться в тригонометрию? Чтобы понять это, нам понадобятся линейные угловые функции.


В учебниках математики вы ничего не найдете о линейных угловых функциях. А ведь без них не может быть математики. Законы математики, как и законы природы, работают независимо от того, знаем мы о их существовании или нет.

Линейные угловые функции - это законы сложения. Посмотрите, как алгебра превращается в геометрию, а геометрия превращается в тригонометрию.

Можно ли обойтись без линейных угловых функций? Можно, ведь математики до сих пор без них обходятся. Хитрость математиков заключается в том, что они всегда рассказывают нам только о тех задачах, которые они сами умеют решать, и никогда не рассказывают о тех задачах, которые они решать не умеют. Смотрите. Если нам известен результат сложения и одно слагаемое, для поиска другого слагаемого мы используем вычитание. Всё. Других задач мы не знаем и решать не умеем. Что делать в том случае, если нам известен только результат сложения и не известны оба слагаемые? В этом случае результат сложения нужно разложить на два слагаемых при помощи линейных угловых функций. Дальше мы уже сами выбираем, каким может быть одно слагаемое, а линейные угловые функции показывают, каким должно быть второе слагаемое, чтобы результат сложения был именно таким, какой нам нужен. Таких пар слагаемых может быть бесконечное множество. В повседневной жизни мы прекрасно обходимся без разложения суммы, нам достаточно вычитания. А вот при научных исследованиях законов природы разложение суммы на слагаемые очень может пригодиться.

Ещё один закон сложения, о котором математики не любят говорить (ещё одна их хитрость), требует, чтобы слагаемые имели одинаковые единицы измерения. Для салата, воды и борща это могут быть единицы измерения веса, объема, стоимости или единицы измерения.

На рисунке показаны два уровня различий для математических . Первый уровень - это различия в области чисел, которые обозначены a , b , c . Это то, чем занимаются математики. Второй уровень - это различия в области единиц измерения, которые показаны в квадратных скобках и обозначены буквой U . Этим занимаются физики. Мы же можем понимать третий уровень - различия в области описываемых объектов. Разные объекты могут иметь одинаковое количество одинаковых единиц измерения. Насколько это важно, мы можем увидеть на примере тригонометрии борща. Если мы добавим нижние индексы к одинаковому обозначению единиц измерения разных объектов, мы сможем точно говорить, какая математическая величина описывает конкретный объект и как она изменяется с течением времени или в связи с нашими действиями. Буквой W я обозначу воду, буквой S обозначу салат и буквой B - борщ. Вот как будут выглядеть линейные угловые функции для борща.

Если мы возьмем какую-то часть воды и какую-то часть салата, вместе они превратятся в одну порцию борща. Здесь я предлагаю вам немного отвлечься от борща и вспомнить далекое детство. Помните, как нас учили складывать вместе зайчиков и уточек? Нужно было найти, сколько всего зверушек получится. Что же нас тогда учили делать? Нас учили отрывать единицы измерения от чисел и складывать числа. Да, одно любое число можно сложить с другим любым числом. Это прямой путь к аутизму современной математики - мы делаем непонятно что, непонятно зачем и очень плохо понимаем, как это относится к реальности, ведь из трех уровней различия математики оперируют только одним. Более правильно будет научиться переходить от одних единиц измерения к другим.

И зайчиков, и уточек, и зверушек можно посчитать в штуках. Одна общая единица измерения для разных объектов позволяет нам сложить их вместе. Это детский вариант задачи. Давайте посмотрим на похожую задачу для взрослых. Что получится, если сложить зайчиков и деньги? Здесь можно предложить два варианта решения.

Первый вариант . Определяем рыночную стоимость зайчиков и складываем её с имеющейся денежной суммой. Мы получили общую стоимость нашего богатства в денежном эквиваленте.

Второй вариант . Можно количество зайчиков сложить с количеством имеющихся у нас денежных купюр. Мы получим количество движимого имущества в штуках.

Как видите, один и тот же закон сложения позволяет получить разные результаты. Всё зависит от того, что именно мы хотим знать.

Но вернемся к нашему борщу. Теперь мы можем посмотреть, что будет происходить при разных значениях угла линейных угловых функций.

Угол равен нулю. У нас есть салат, но нет воды. Мы не можем приготовить борщ. Количество борща также равно нулю. Это совсем не значит, что ноль борща равен нулю воды. Ноль борща может быть и при нуле салата (прямой угол).


Лично для меня, это основное математическое доказательство того факта, что . Ноль не изменяет число при сложении. Это происходит потому, что само сложение невозможно, если есть только одно слагаемое и отсутствует второе слагаемое. Вы к этому можете относиться как угодно, но помните - все математические операции с нулем придумали сами математики, поэтому отбрасывайте свою логику и тупо зубрите определения, придуманные математиками: "деление на ноль невозможно", "любое число, умноженное на ноль, равняется нулю", "за выколом точки ноль" и прочий бред. Достаточно один раз запомнить, что ноль не является числом, и у вас уже никогда не возникнет вопрос, является ноль натуральным числом или нет, потому что такой вопрос вообще лишается всякого смысла: как можно считать числом то, что числом не является. Это всё равно, что спрашивать, к какому цвету отнести невидимый цвет. Прибавлять ноль к числу - это то же самое, что красить краской, которой нет. Сухой кисточкой помахали и говорим всем, что " мы покрасили". Но я немного отвлекся.

Угол больше нуля, но меньше сорока пяти градусов. У нас много салата, но мало воды. В результате мы получим густой борщ.

Угол равен сорок пять градусов. Мы имеем в равных количествах воду и салат. Это идеальный борщ (да простят меня повара, это просто математика).

Угол больше сорока пяти градусов, но меньше девяноста градусов. У нас много воды и мало салата. Получится жидкий борщ.

Прямой угол. У нас есть вода. От салата остались только воспоминания, поскольку угол мы продолжаем измерять от линии, которая когда-то обозначала салат. Мы не можем приготовить борщ. Количество борща равно нулю. В таком случае, держитесь и пейте воду, пока она есть)))

Вот. Как-то так. Я могу здесь рассказать и другие истории, которые будут здесь более чем уместны.

Два друга имели свои доли в общем бизнесе. После убийства одного из них, всё досталось другому.

Появление математики на нашей планете.

Все эти истории на языке математики рассказаны при помощи линейных угловых функций. Как-нибудь в другой раз я покажу вам реальное место этих функций в структуре математики. А пока, вернемся к тригонометрии борща и рассмотрим проекции.

суббота, 26 октября 2019 г.

Просмотрел интересное видио про ряд Гранди Один минус один плюс один минус один - Numberphile . Математики врут. Они не выполнили проверку равенства в ходе своих рассуждений.

Это перекликается с моими рассуждениями о .

Давайте более детально рассмотрим признаки обмана нас математиками. В самом начале рассуждений, математики говорят, что сумма последовательности ЗАВИСИТ от того, четное количество элементов в ней или нет. Это ОБЪЕКТИВНО УСТАНОВЛЕННЫЙ ФАКТ. Что происходит дальше?

Дальше математики из единицы вычитают последовательность. К чему это приводит? Это приводит к изменению количества элементов последовательности - четное количество изменяется на нечетное, нечетное изменяется на четное. Ведь мы добавили к последовательности один элемент, равный единице. Несмотря на всю внешнюю схожесть, последовательность до преобразования не равна последовательности после преобразования. Даже если мы рассуждаем о бесконечной последовательности, необходимо помнить, что бесконечная последовательность с нечетным количеством элементов не равна бесконечной последовательности с четным количеством элементов.

Ставя знак равенства между двумя разными по количеству элементов последовательностями, математики утверждают, что сумма последовательности НЕ ЗАВИСИТ от количества элементов в последовательности, что противоречит ОБЪЕКТИВНО УСТАНОВЛЕННОМУ ФАКТУ. Дальнейшие рассуждения о сумме бесконечной последовательности являются ложными, поскольку основаны на ложном равенстве.

Если вы видите, что математики в ходе доказательств расставляют скобки, переставляют местами элементы математического выражения, что-нибудь добавляют или убирают, будьте очень внимательны, скорее всего вас пытаются обмануть. Как карточные фокусники, математики различными манипуляциями с выражением отвлекают ваше внимание, чтобы в итоге подсунуть вам ложный результат. Если карточный фокус вы не можете повторить, не зная секрета обмана, то в математике всё гораздо проще: вы даже ничего не подозреваете об обмане, но повторение всех манипуляций с математическим выражением позволяет вам убедить других в правильности полученного результата, точно так же, как когда-то убедили вас.

Вопрос из зала: А бесконечность (как количество элементов в последовательности S), она четная или нечётная? Как можно поменять четность у того, что четности не имеет?

Бесконечность для математиков, как Царство Небесное для попов - никто никогда там не был, но все точно знают, как там всё устроено))) Согласен, после смерти вам будет абсолютно безразлично, четное или нечетное количество дней вы прожили, но... Добавив всего один день в начало вашей жизни, мы получим совсем другого человека: фамилия, имя и отчество у него точно такие же, только дата рождения совсем другая - он родился за один день до вас.

А теперь по существу))) Допустим, конечная последовательность, имеющая четность, теряет эту четность при переходе к бесконечности. Тогда и любой конечный отрезок бесконечной последовательности должен потерять четность. Мы этого не наблюдаем. То, что мы не можем точно сказать, четное или нечетное количество элементов у бесконечной последовательности, совсем не означает, что четность исчезла. Не может четность, если она есть, бесследно исчезнуть в бесконечности, как в рукаве шулера. Для этого случая есть очень хорошая аналогия.

Вы никогда не спрашивали у кукушки, сидящей в часах, в каком направлении вращается стрелка часов? Для неё стрелка вращается в обратном направлении тому, которое мы называем "по часовой стрелке". Как это не парадоксально звучит, но направление вращения зависит исключительно от того, с какой стороны мы вращение наблюдаем. И так, у нас есть одно колесо, которое вращается. Мы не можем сказать, в каком направлении происходит вращение, поскольку мы его можем наблюдать как с одной стороны плоскости вращения, так и с другой. Мы можем только засвидетельствовать факт, что вращение есть. Полная аналогия с четностью бесконечной последовательности S .

Теперь добавим второе вращающееся колесо, плоскость вращения которого параллельна плоскости вращения первого вращающегося колеса. Мы по прежнему не можем точно сказать, в каком направлении вращаются эти колеса, но мы абсолютно точно можем сказать, вращаются оба колеса в одну сторону или в противоположные. Сравнивая две бесконечные последовательности S и 1-S , я при помощи математики показал, что у этих последовательностей разная четность и ставить знак равенства между ними - это ошибка. Лично я верю математике, я не доверяю математикам))) Кстати, для полного понимания геометрии преобразований бесконечных последовательностей, необходимо вводить понятие "одновременность" . Это нужно будет нарисовать.

среда, 7 августа 2019 г.

Завершая разговор о , нужно рассмотреть бесконечное множество. Дало в том, что понятие "бесконечность" действует на математиков, как удав на кролика. Трепетный ужас перед бесконечностью лишает математиков здравого смысла. Вот пример:

Первоисточник находится . Альфа обозначает действительное число. Знак равенства в приведенных выражениях свидетельствует о том, что если к бесконечности прибавить число или бесконечность, ничего не изменится, в результате получится такая же бесконечность. Если в качестве примера взять бесконечное множество натуральных чисел, то рассмотренные примеры можно представить в таком виде:

Для наглядного доказательства своей правоты математики придумали много разных методов . Лично я смотрю на все эти методы, как на пляски шаманов с бубнами. По существу, все они сводятся к тому, что либо часть номеров не занята и в них заселяются новые гости, либо к тому, что часть посетителей вышвыривают в коридор, чтобы освободить место для гостей (очень даже по-человечески). Свой взгляд на подобные решения я изложил в форме фантастического рассказа о Блондинке. На чем основываются мои рассуждения? Переселение бесконечного количества посетителей требует бесконечно много времени. После того, как мы освободили первую комнату для гостя, один из посетителей всегда будет идти по коридору из своего номера в соседний до скончания века. Конечно, фактор времени можно тупо игнорировать, но это уже будет из разряда "дуракам закон не писан". Всё зависит от того, чем мы занимаемся: подгоняем реальность под математические теории или наоборот.

Что же такое "бесконечная гостиница"? Бесконечная гостиница - это гостиница, в которой всегда есть любое количество свободных мест, независимо от того, сколько номеров занято. Если все номера в бесконечном коридоре "для посетителей" заняты, есть другой бесконечный коридор с номерами "для гостей". Таких коридоров будет бесконечное множество. При этом у "бесконечной гостиницы" бесконечное количество этажей в бесконечном количестве корпусов на бесконечном количестве планет в бесконечном количестве вселенных, созданных бесконечным количеством Богов. Математики же не способны отстраниться от банальных бытовых проблем: Бог-Аллах-Будда - всегда только один, гостиница - она одна, коридор - только один. Вот математики и пытаются подтасовывать порядковые номера гостиничных номеров, убеждая нас в том, что можно "впихнуть невпихуемое".

Логику своих рассуждений я вам продемонстрирую на примере бесконечного множества натуральных чисел. Для начала нужно ответить на очень простой вопрос: сколько множеств натуральных чисел существует - одно или много? Правильного ответа на это вопрос не существует, поскольку числа придумали мы сами, в Природе чисел не существует. Да, Природа отлично умеет считать, но для этого она использует другие математические инструменты, не привычные для нас. Как Природа считает, я вам расскажу в другой раз. Поскольку числа придумали мы, то мы сами будем решать, сколько множеств натуральных чисел существует. Рассмотрим оба варианта, как и подобает настоящим ученым.

Вариант первый. "Пусть нам дано" одно-единственное множество натуральных чисел, которое безмятежно лежит на полочке. Берем с полочки это множество. Всё, других натуральных чисел на полочке не осталось и взять их негде. Мы не можем к этому множеству прибавить единицу, поскольку она у нас уже есть. А если очень хочется? Без проблем. Мы можем взять единицу из уже взятого нами множества и вернуть её на полочку. После этого мы можем взять с полочки единицу и прибавить её к тому, что у нас осталось. В результате мы снова получим бесконечное множество натуральных чисел. Записать все наши манипуляции можно так:

Я записал действия в алгебраической системе обозначений и в системе обозначений, принятой в теории множеств, с детальным перечислением элементов множества. Нижний индекс указывает на то, что множество натуральных чисел у нас одно и единственное. Получается, что множество натуральных чисел останется неизменным только в том случае, если из него вычесть единицу и прибавить эту же единицу.

Вариант второй. У нас на полочке лежит много разных бесконечных множеств натуральных чисел. Подчеркиваю - РАЗНЫХ, не смотря на то, что они практически не отличимы. Берем одно из этих множеств. Потом из другого множества натуральных чисел берем единицу и прибавляем к уже взятому нами множеству. Мы можем даже сложить два множества натуральных чисел. Вот что у нас получится:

Нижние индексы "один" и "два" указывают на то, что эти элементы принадлежали разным множествам. Да, если к бесконечному множеству прибавить единицу, в результате получится тоже бесконечное множество, но оно не будет таким же, как первоначальное множество. Если к одному бесконечному множеству прибавить другое бесконечное множество, в результате получится новое бесконечное множество, состоящее из элементов первых двух множеств.

Множество натуральных чисел используется для счета так же, как линейка для измерений. Теперь представьте, что к линейке вы добавили один сантиметр. Это уже будет другая линейка, не равная первоначальной.

Вы можете принимать или не принимать мои рассуждения - это ваше личное дело. Но если когда-то вы столкнетесь с математическими проблемами, задумайтесь, не идете ли вы по тропе ложных рассуждений, протоптанной поколениями математиков. Ведь занятия математикой, прежде всего, формируют у нас устойчивый стереотип мышления, а уже потом добавляют нам умственных способностей (или наоборот, лишают нас свободомыслия).

pozg.ru

воскресенье, 4 августа 2019 г.

Дописывал постскриптум к статье о и увидел в Википедии этот замечательный текст:

Читаем: "... богатая теоретическая основа математики Вавилона не имела целостного характера и сводилась к набору разрозненных приемов, лишенных общей системы и доказательной базы."

Вау! Какие мы умные и как хорошо можем видеть недостатки других. А слабо нам посмотреть на современную математику в таком же разрезе? Слегка перефразируя приведенный текст, лично у меня получилось следующее:

Богатая теоретическая основа современной математики не имеет целостного характера и сводится к набору разрозненных разделов, лишенных общей системы и доказательной базы.

За подтверждением своих слов я далеко ходить не буду - имеет язык и условные обозначения, отличные от языка и условных обозначений многих других разделов математики. Одни и те же названия в разных разделах математики могут иметь разный смысл. Наиболее очевидным ляпам современной математики я хочу посвятить целый цикл публикаций. До скорой встречи.

суббота, 3 августа 2019 г.

Как разделить множество на подмножества? Для этого необходимо ввести новую единицу измерения, присутствующую у части элементов выбранного множества. Рассмотрим пример.

Пусть у нас есть множество А , состоящее из четырех человек. Сформировано это множество по признаку "люди" Обозначим элементы этого множества через букву а , нижний индекс с цифрой будет указывать на порядковый номер каждого человека в этом множестве. Введем новую единицу измерения "половой признак" и обозначим её буквой b . Поскольку половые признаки присущи всем людям, умножаем каждый элемент множества А на половой признак b . Обратите внимание, что теперь наше множество "люди" превратилось в множество "люди с половыми признаками". После этого мы можем разделить половые признаки на мужские bm и женские bw половые признаки. Вот теперь мы можем применить математический фильтр: выбираем один из этих половых признаков, безразлично какой - мужской или женский. Если он присутствует у человека, тогда умножаем его на единицу, если такого признака нет - умножаем его на ноль. А дальше применяем обычную школьную математику. Смотрите, что получилось.

После умножения, сокращений и перегруппировок, мы получили два подмножества: подмножество мужчин Bm и подмножество женщин Bw . Приблизительно так же рассуждают математики, когда применяют теорию множеств на практике. Но в детали они нас не посвящают, а выдают готовый результат - "множество людей состоит из подмножества мужчин и подмножества женщин". Естественно, у вас может возникнуть вопрос, насколько правильно применена математика в изложенных выше преобразованиях? Смею вас заверить, по сути преобразований сделано всё правильно, достаточно знать математическое обоснование арифметики, булевой алгебры и других разделов математики. Что это такое? Как-нибудь в другой раз я вам об этом расскажу.

Что касается надмножеств, то объединить два множества в одно надмножество можно, подобрав единицу измерения, присутствующую у элементов этих двух множеств.

Как видите, единицы измерения и обычная математика превращают теорию множеств в пережиток прошлого. Признаком того, что с теорией множеств не всё в порядке, является то, что для теории множеств математики придумали собственный язык и собственные обозначения. Математики поступили так, как когда-то поступали шаманы. Только шаманы знают, как "правильно" применять их "знания". Этим "знаниям" они обучают нас.

В заключение, я хочу показать вам, как математики манипулируют с
Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что "... дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось... к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса... " [Википедия, " Апории Зенона "]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие "бесконечность" в этой ситуации, то правильно будет говорить "Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху".

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию "Ахиллес и черепаха" очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто - достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве - это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.
Покажу процесс на примере. Отбираем "красное твердое в пупырышку" - это наше "целое". При этом мы видим, что эти штучки есть с бантиком, а есть без бантика. После этого мы отбираем часть "целого" и формируем множество "с бантиком". Вот так шаманы добывают себе корм, привязывая свою теорию множеств к реальности.

А теперь сделаем маленькую пакость. Возьмем "твердое в пупырышку с бантиком" и объединим эти "целые" по цветовому признаку, отобрав красные элементы. Мы получили множество "красное". Теперь вопрос на засыпку: полученные множества "с бантиком" и "красное" - это одно и то же множество или два разных множества? Ответ знают только шаманы. Точнее, сами они ничего не знают, но как скажут, так и будет.

Этот простой пример показывает, что теория множеств совершенно бесполезна, когда речь заходит о реальности. В чем секрет? Мы сформировали множество "красное твердое в пупырышку с бантиком". Формирование происходило по четырем разным единицам измерения: цвет (красное), прочность (твердое), шероховатость (в пупырышку), украшения (с бантиком). Только совокупность единиц измерения позволяет адекватно описывать реальные объекты на языке математики . Вот как это выглядит.

Буква "а" с разными индексами обозначает разные единицы измерения. В скобках выделены единицы измерения, по которым выделяется "целое" на предварительном этапе. За скобки вынесена единица измерения, по которой формируется множество. Последняя строчка показывает окончательный результат - элемент множества. Как видите, если применять единицы измерения для формирования множества, тогда результат не зависит от порядка наших действий. А это уже математика, а не пляски шаманов с бубнами. Шаманы могут "интуитивно" придти к такому же результату, аргументируя его "очевидностью", ведь единицы измерения не входят в их "научный" арсенал.

При помощи единиц измерения очень легко разбить одно или объединить несколько множеств в одно надмножество. Давайте более внимательно рассмотрим алгебру этого процесса.

Примечание . В данной таблице значений тригонометрических функций используется знак √ для обозначения квадратного корня. Для обозначения дроби - символ "/".

См. также полезные материалы:

Для определения значения тригонометрической функции , найдите его на пересечении строки с указанием тригонометрической функции. Например, синус 30 градусов - ищем колонку с заголовком sin (синус) и находим пересечение этой колонки таблицы со строкой "30 градусов", на их пересечении считываем результат - одна вторая. Аналогично находим косинус 60 градусов, синус 60 градусов (еще раз, в пересечении колонки sin (синус) и строки 60 градусов находим значение sin 60 = √3/2) и т.д. Точно так же находятся значения синусов, косинусов и тангенсов других "популярных" углов.

Синус пи, косинус пи, тангенс пи и других углов в радианах

Приведенная ниже таблица косинусов, синусов и тангенсов также подходит для нахождения значения тригонометрических функций, аргумент которых задан в радианах . Для этого воспользуйтесь второй колонкой значений угла. Благодаря этому можно перевести значение популярных углов из градусов в радианы. Например, найдем угол 60 градусов в первой строке и под ним прочитаем его значение в радианах. 60 градусов равно π/3 радиан.

Число пи однозначно выражает зависимость длины окружности от градусной меры угла. Таким образом, пи радиан равны 180 градусам.

Любое число, выраженное через пи (радиан) можно легко перевести в градусную меру, заменив число пи (π) на 180 .

Примеры :
1. Синус пи .
sin π = sin 180 = 0
таким образом, синус пи - это тоже самое, что синус 180 градусов и он равен нулю.

2. Косинус пи .
cos π = cos 180 = -1
таким образом, косинус пи - это тоже самое, что косинус 180 градусов и он равен минус единице.

3. Тангенс пи
tg π = tg 180 = 0
таким образом, тангенс пи - это тоже самое, что тангенс 180 градусов и он равен нулю.

Таблица значений синуса, косинуса, тангенса для углов 0 - 360 градусов (часто встречающиеся значения)


значение угла α
(градусов)

значение угла α
в радианах

(через число пи)

sin
(синус)
cos
(косинус)
tg
(тангенс)
ctg
(котангенс)
sec
(секанс)
cosec
(косеканс)
0 0 0 1 0 - 1 -
15 π/12 2 - √3 2 + √3
30 π/6 1/2 √3/2 1/√3 √3 2/√3 2
45 π/4 √2/2 √2/2 1 1 √2 √2
60 π/3 √3/2 1/2 √3 1/√3 2 2/√3
75 5π/12 2 + √3 2 - √3
90 π/2 1 0 - 0 - 1
105 7π/12 -
- 2 - √3 √3 - 2
120 2π/3 √3/2 -1/2 -√3 -√3/3
135 3π/4 √2/2 -√2/2 -1 -1 -√2 √2
150 5π/6 1/2 -√3/2 -√3/3 -√3
180 π 0 -1 0 - -1 -
210 7π/6 -1/2 -√3/2 √3/3 √3
240 4π/3 -√3/2 -1/2 √3 √3/3
270 3π/2 -1 0 - 0 - -1
360 0 1 0 - 1 -

Если в таблице значений тригонометрических функций вместо значения функции указан прочерк (тангенс (tg) 90 градусов, котангенс (ctg) 180 градусов) значит при данном значении градусной меры угла функция не имеет определенного значения. Если же прочерка нет - клетка пуста, значит мы еще не внесли нужное значение. Мы интересуемся, по каким запросам к нам приходят пользователи и дополняем таблицу новыми значениями, несмотря на то, что текущих данных о значениях косинусов, синусов и тангенсов самых часто встречающихся значений углов вполне достаточно для решения большинства задач.

Таблица значений тригонометрических функций sin, cos, tg для наиболее популярных углов


0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 градусов
(цифровые значения "как по таблицам Брадиса")
значение угла α (градусов) значение угла α в радианах sin (синус) cos (косинус) tg (тангенс) ctg (котангенс)
0 0
15

0,2588

0,9659

0,2679

30

0,5000

0,5774

45

0,7071

0,7660

60

0,8660

0,5000

1,7321

7π/18

Тригонометрические формулы. Таблица углов. Формулы приведения

Факт 1.
\(\bullet\) Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов из первой четверти:


 

Факт 2.
\(\bullet\) Знаки синуса, косинуса:

Так как \(\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) и \(\mathrm{ctg}\,\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\), то тангенс и котангенс положительны в \(I\) и \(III\) четвертях и отрицательны во \(II\) и \(IV\) четвертях.  

Факт 3.
Формулы приведения.
\(\bullet\) Случай 1. Если угол можно представить в виде \(n\cdot \pi\pm \alpha\), где \(n\in\mathbb{N}\), то \[\sin(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \sin\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак синуса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\). \[\cos(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \cos\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак косинуса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\).
Знак угла можно найти, определив, в какой четверти он находится. Пользуясь таким правилом, предполагаем, что угол \(\alpha\) находится в \(I\) четверти.   \(\bullet\) Случай 2. Если угол можно представить в виде \(n\cdot \pi+\dfrac{\pi}2\pm\alpha\), где \(n\in\mathbb{N}\), то \[\sin\left(n\cdot \pi+\dfrac{\pi}2\pm \alpha\right)=\bigodot \cos\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак синуса угла \(n\cdot \pi+\dfrac{\pi}2\pm \alpha\). \[\cos\left(n\cdot \pi+\dfrac{\pi}2\pm \alpha\right)=\bigodot \sin\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак косинуса угла \(n\cdot \pi+\dfrac{\pi}2\pm \alpha\).
Знак определяется таким же образом, как и в случае \(1\).

 

Заметим, что в первом случае функция остается неизменной, а во втором случае — меняется (говорят, что функция меняется на кофункцию).
Алгоритм применения формул приведения для тангенса и котангенса полностью аналогичен.  

Пример 1. Найти \(\cos \dfrac{13\pi}{3}\).  

Преобразуем угол: \(\dfrac{13\pi}{3}=\dfrac{12\pi+\pi}{3}=4\pi+\dfrac{\pi}3\), следовательно, \(\cos \dfrac{13\pi}{3}=\cos \left(4\pi+\dfrac{\pi}3\right)=\cos\dfrac{\pi}3=\dfrac12\)

 

Пример 2. Найти \(\sin \dfrac{17\pi}{6}\).  

Преобразуем угол: \(\dfrac{17\pi}{6}=\dfrac{18\pi-\pi}{6}=3\pi-\dfrac{\pi}6\), следовательно, \(\sin \dfrac{17\pi}{6}=\sin \left(3\pi-\dfrac{\pi}6\right)=\sin\dfrac{\pi}6=\dfrac12\)

 

Пример 3. Найти \(\mathrm{tg}\,\dfrac{15\pi}4\).  

Преобразуем угол: \(\dfrac{15\pi}4=\dfrac{16\pi-\pi}4=4\pi-\dfrac{\pi}4\), следовательно, \(\mathrm{tg}\,\dfrac{15\pi}4=\mathrm{tg}\left(4\pi-\dfrac{\pi}4\right)= -\mathrm{tg}\,\dfrac{\pi}4=-1\)

 

Пример 4. Найти \(\mathrm{ctg}\,\dfrac{19\pi}3\).  

Преобразуем угол: \(\dfrac{19\pi}3=\dfrac{18\pi+\pi}3=6\pi+\dfrac{\pi}3\), следовательно, \(\mathrm{ctg}\,\dfrac{19\pi}3=\mathrm{ctg}\left(6\pi+\dfrac{\pi}3\right)= \mathrm{ctg}\,\dfrac{\pi}3=\dfrac{\sqrt3}3\)

Таблица точных значений тригонометрических функций

В этой статье собраны таблицы синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Сначала мы приведем таблицу основных значений тригонометрических функций, то есть, таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусов ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π радиан). После этого мы дадим таблицу синусов и косинусов, а также таблицу тангенсов и котангенсов В. М. Брадиса, и покажем, как использовать эти таблицы при нахождении значений тригонометрических функций.

Навигация по странице.

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для углов 0, 30, 45, 60, 90, … градусов

Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют указать значения тригонометрических функций для углов 0 и 90 градусов:
, а котангенс нуля градусов не определен, и
, а тангенс 90 градусов не определен.

В курсе геометрии из прямоугольных треугольников с углами 30 , 60 и 90 градусов, а также 45 , 45 и 90 градусов находятся значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 30, 45 и 60 градусов:
,
и
.

Занесем указанные значения тригонометрических функций для углов 0 , 30 , 45 , 60 и 90 градусов ( 0 , π/6 , π/4 , π/3 , π/2 радиан) в таблицу, назовем ее таблицей основных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Используя формулы приведения, только что составленную таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов можно расширить, дополнив значениями тригонометрических функций для углов 120 , 135 , 150 , 180 , 210 , 225 , 240 , 270 , 300 , 315 , 330 и 360 градусов ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π радиан). При этом она принимает следующий вид.

Опираясь на свойство периодичности синуса, косинуса, тангенса и котангенса, таблицу основных значений тригонометрических функций можно расширить еще, заменив углы 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусов соответственно на , где z – любое целое число. Из такой таблицы можно найти значения для всех углов, которым соответствуют точки единичной окружности, указанные на чертеже ниже.

Основные значения тригонометрических функций, собранные в заполненной выше таблице, желательно знать наизусть, так как они очень часто используются при решении задач.

Как пользоваться таблицей синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов?

Использовать таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов основных углов 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусов очень просто – она дает непосредственные значения тригонометрических функций, находящиеся на пересечении соответствующей строки, указывающей название тригонометрической функции, и столбца, указывающего данное значение угла.

Например, значение косинуса угла 60 градусов находится на пересечении строки, в крайней левой ячейке которой находится запись cos , и столбца, в верхней ячейке которого записан угол 60 градусов. Так из таблицы находим, что значение косинуса 60 градусов равно одной второй. Для разъяснения приведем графическую иллюстрацию.

Расширенная таблица основных значений тригонометрических функций используется аналогично. С помощью расширенной таблицы основных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса можно сразу указать, например, чему равен тангенс угла 1 020 градусов. Он равен минус корню из трех, так как . Проиллюстрируем это.

Таблицы синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

Таблицы синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса разделены на таблицу синусов и косинусов, а также на таблицу тангенсов и котангенсов. Причем таблица тангенсов и котангенсов состоит из двух частей – тангенсы углов, близких к 90 градусов, и котангенсы малых углов вынесены в отдельную таблицу.

В таблицах Брадиса с точностью до четырех знаков после десятичной запятой приведены приближенные значения синусов и косинусов, а также четыре цифры приближенных значений тангенсов и котангенсов острых углов, содержащих целое число градусов и целое число минут.

Сначала дадим таблицу Брадиса, имеющую название таблица Брадиса: синусы и косинусы.

Теперь приведем таблицу тангенсов углов от 0 до 76 градусов и котангенсов углов от 14 до 90 градусов.

Наконец, осталось заполнить таблицу Брадиса тангенсов углов, близких к 90 градусам, и котангенсов малых углов. Она содержит непосредственные приближенные значения тангенсов углов от 76 до 90 градусов и котангенсов углов от 0 до 14 градусов.

Как пользоваться таблицами синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса?

Осталось разобраться, как пользоваться таблицей синусов и косинусов, а также таблицами тангенсов и котангенсов Брадиса.

Значение синуса угла находится в таблице синусов на пересечении строки, содержащей в крайней левой ячейке нужное число градусов, и столбца, содержащего в верхней ячейке нужное число минут. Например, из таблицы синусов Брадиса можно определить, что синус 17 градусов 42 минут приближенно равен 0,3040 , вот иллюстрация тому, как это значение было найдено.

Несложно заметить, что в верхней строке минуты идут по порядку через шесть. А как определять значения, если количество минут имеет промежуточное значение, например 44 ? Для этого нужно внести соответствующую поправку, которую дают три крайних правых столбца таблицы. Например, синус 17 градусов 44 минут равен 0,3046 , так как синус 17 градусов 42 минут равен 0,3040 , и требуется еще поправка на 2 минуты в плюс, равна 0,0006 . Поправки содержатся в трех крайних правых столбцах таблицы синусов и косинусов Брадиса.

Если бы нам нужно было найти синус 17 градусов 47 минут, то от значения синуса 17 градусов 48 минут 0,3057 мы бы отняли поправку на 1 минуту, равную 0,0003 . В итоге мы получим искомое значение, равное 0,3054 .

Для нахождения значений косинусов используется та же таблица синусов и косинусов Брадиса. Однако следует ориентироваться на нижнюю строку при выборе соответствующего значения градуса и на четвертую справа строку при выборе нужного числа минут.

Например, косинус 20 градусов равен 0,9397 .

Другой пример: значение косинуса 20 градусов 2 минут равно 0,9397−0,0002=0,9395 , а значение косинуса 20 градусов 5 минут равно 0,9391+0,0001=0,9392 (обратите внимание: что нужно быть внимательным со знаками поправок, нужно помнить, что при возрастании острого угла его косинус убывает).

Таблица тангенсов и котангенсов Брадиса углов от 0 до 76 градусов и котангенсов углов от 14 до 90 градусов используется абсолютно аналогично таблице синусов и косинусов.

К примеру, тангенс 75 градусов 44 минут равен 3,923+0,010=3,933 , а котангенс 32 градусов 50 минут равен 1,5517−0,0020=1,5497 . Вот тому графические иллюстрации.

Таблица тангенсов углов, близких к 90 градусов, и котангенсов малых углов содержит значения тангенсов и котангенсов, не нуждающиеся в поправках. Для примера найдем значение тангенса угла 78 градусов 37 минут, оно равно 4,967 .

А котангенс угла 2 градуса 13 минут равен 25,83 .

Если угол выходит за пределы от 0 до 90 градусов, то сначала следует использовать формулы приведения и перейти к вычислению значения тригонометрической функции, аргумент которой заключен между 0 и 90 градусами. А если угол выражен в радианах, то прежде чем использовать таблицы Брадиса для нахождения синуса, косинуса, тангенса или котангенса данного угла, его нужно перевести в градусы (этому вопросу посвящен материал статьи перевод градусов в радианы и обратно).

В статье, мы полностью разберемся, как выглядит таблица тригонометрических значений, синуса, косинуса, тангенса и котангенса . Рассмотрим основное значение тригонометрических функций, от угла в 0,30,45,60,90. 360 градусов. И посмотрим как пользоваться данными таблицами в вычислении значения тригонометрических функций.
Первой рассмотрим таблицу косинуса, синуса, тангенса и котангенса от угла в 0, 30, 45, 60, 90. градусов. Определение данных величин дают определить значение функций углов в 0 и 90 градусов:

sin 0 0 =0, cos 0 0 = 1. tg 0 0 = 0, котангенс от 0 0 будет неопределенным
sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0,тангенс от 90 0 будет неопределенным

Если взять прямоугольные треугольники углы которых от 30 до 90 градусов. Получим:

sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tg 30 0 = √3/3, ctg 30 0 = √3
sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tg 45 0 = 1, ctg 45 0 = 1
sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3 , ctg 60 0 = √3/3

Изобразим все полученные значения в виде тригонометрической таблицы:

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов!

Если использовать формулу приведения, наша таблица увеличится, добавятся значения для углов до 360 градусов. Выглядеть она будет как:

Так же исходя из свойств периодичности таблицу можно увеличить, если заменим углы на 0 0 +360 0 *z . 330 0 +360 0 *z, в котором z является целым числом. В данной таблице возможно вычислить значение всех углов, соответствующими точками в единой окружности.

Разберем наглядно как использовать таблицу в решении.
Все очень прост. Так как нужное нам значение лежит в точке пересечения нужных нам ячеек. К примеру возьмем cos угла 60 градусов, в таблице это будет выглядеть как:

В итоговой таблице основных значений тригонометрических функций, действуем так же. Но в данной таблице возможно узнать сколько составит тангенс от угла в 1020 градусов, он = -√3 Проверим 1020 0 = 300 0 +360 0 *2. Найдем по таблице.

Для более поиска тригонометрических значений углов с точностью до минут используются таблицы Брадиса. Подробная инструкция как ими пользоваться на странице по ссылке.

Таблица Брадиса. Для синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Таблицы Брадиса поделены на несколько частей, состоят из таблиц косинуса и синуса, тангенса и котангенса – которая поделена на две части (tg угла до 90 градусов и ctg малых углов).

Синус и косинус

tg угла начиная с 0 0 заканчивая 76 0 , ctg угла начиная с 14 0 заканчивая 90 0 .

tg до 90 0 и ctg малых углов.

Разберемся как пользоваться таблицами Брадиса в решении задач.

Найдем обозначение sin (обозначение в столбце с левого края) 42 минут (обозначение находится на верхней строчке). Путем пересечения ищем обозначение, оно = 0,3040.

Величины минут указаны с промежутком в шесть минут, как быть если нужное нам значение попадет именно в этот промежуток. Возьмем 44 минуты, а в таблице есть только 42. Берем за основу 42 и воспользуемся добавочными столбцами в правой стороне, берем 2 поправку и добавляем к 0,3040 + 0,0006 получаем 0,3046.

При sin 47 мин, берем за основу 48 мин и отнимаем от нее 1 поправку, т.е 0,3057 – 0,0003 = 0,3054

При вычислении cos работаем аналогично sin только за основу берем нижнюю строку таблицы. К примеру cos 20 0 = 0.9397

Значения tg угла до 90 0 и cot малого угла, верны и поправок в них нет. К примеру, найти tg 78 0 37мин = 4,967

а ctg 20 0 13мин = 25,83

Ну вот мы и рассмотрели основные тригонометрические таблицы. Надеемся это информация была для вас крайне полезной. Свои вопросы по таблицам, если они появились, обязательно пишите в комментариях!

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

При решении математических задач часто используются тригонометрические функции, поэтому знание значений этих функций для часто используемых углов просто необходимо.

В приведенной ниже таблице записаны значения тригонометрических функций аргумент которых задан в градусах (в первой строке) и в радианах (во второй строке). Это позволяет перевести значение популярных углов из градусов в радианы. Значения тригонометрических функций стоят на пересечении строки функции и столбца искомого угла.

Значения тригонометрических функций чаще всего требуются при решении геометрических задач.

знаков тригонометрических функций

Признаки тригонометрических функций в каждом квадранте

Мы знаем, что \ (\ cos \ alpha = \ large {\ frac {x} {r}} \ normalsize. \) Поскольку \ (r \ gt 0, \) знак функции косинуса зависит только от знака \ (x. \) Следовательно, косинус положительный в квадрантах \ (1 \ text {st} \) и \ (4 \ text {th} \) и отрицательный в \ (2 \ text {nd} \) ) и \ (3 \ text {rd} \) квадранты.

Рисунок 1.

Рассмотрим функцию синуса \ (\ sin \ alpha = \ large {\ frac {y} {r}} \ normalsize.\) Его знак определяется знаком \ (y. \) Следовательно, синус положительный в квадрантах \ (1 \ text {st} \) и \ (2 \ text {nd} \) и отрицательный в квадранты \ (3 \ text {rd} \) и \ (4 \ text {th} \).

Рисунок 2.

Ясно, что взаимные функции \ (\ sec \ alpha = \ large {\ frac {1} {{\ cos \ alpha}}} \ normalsize \) и \ (\ csc \ alpha = \ large { \ frac {1} {{\ sin \ alpha}}} \ normalsize \) имеют те же знаки, что и \ (\ cos \ alpha \) и \ (\ sin \ alpha, \) соответственно.

Знаки тангенса и котангенса зависят от знаков синуса и косинуса.Касательная и котангенс положительны, когда \ (x \) и \ (y \) оба положительны или оба отрицательны. \ prime = \ alpha - \ pi} = {\ frac {{7 \ pi}} {6} - \ pi} = {\ frac {\ pi} {6}.2} \ alpha = 1. \]

Если мы знаем одну из тригонометрических функций угла и квадрант, в котором находится угол, мы можем определить все остальные тригонометрические функции этого угла. Это можно сделать, используя тождества, перечисленные выше, и определения тригонометрических функций. Обратите внимание, что если тригонометрическое выражение содержит частное, оно действительно только для тех углов, при которых знаменатель не равен нулю.


Решенные проблемы

Щелкните или коснитесь проблемы, чтобы увидеть решение.

Пример 1

Вычислить \ (\ sin \ alpha \) и \ (\ cot \ alpha \), если \ (\ cos \ alpha = \ large {\ frac {5} {{13}}} \ normalsize \) и угол \ (\ alpha \) лежит в квадранте \ (4 \ text {th} \).

Пример 2

Вычислить \ (\ cos \ theta \) и \ (\ tan \ theta \), если \ (\ sin \ theta = - \ large {\ frac {24} {{25}}} \ normalsize \) и угол \ ( \ theta \) лежит в квадранте \ (3 \ text {rd} \).

Пример 3

Найдите \ (\ cos \ alpha \), если \ (\ tan \ alpha = 5 \) и угол \ (\ alpha \) лежит в квадранте \ (3 \ text {rd} \).

Пример 4

Найдите \ (\ sin \ beta \), если \ (\ cot \ beta = -3 \) и угол \ (\ beta \) лежит в квадранте \ (2 \ text {nd} \).

Пример 5

Найдите значения шести тригонометрических функций \ (\ alpha = \ large {\ frac {{2 \ pi}} {3}} \ normalsize. \)

Пример 6

Найдите значения шести тригонометрических функций \ (\ beta = \ large {\ frac {{5 \ pi}} {4}} \ normalsize. \)

Пример 7

Определите знак выражения \ [\ sin \ frac {{13 \ pi}} {6} \ cos \ frac {{11 \ pi}} {7} \ tan \ frac {{9 \ pi}} {8}.\]

Пример 8

Определите знак выражения \ [\ tan \ left ({- \ frac {{2 \ pi}} {5}} \ right) \ cot \ left ({- \ frac {{5 \ pi}} {7}} \ right) \ sec \ left ({- \ frac {{8 \ pi}} {9}} \ right). \]

Пример 1.

Вычислить \ (\ sin \ alpha \) и \ (\ cot \ alpha \), если \ (\ cos \ alpha = \ large {\ frac {5} {{13}}} \ normalsize \) и угол \ (\ alpha \) лежит в квадранте \ (4 \ text {th} \).

Решение.

Функция синуса отрицательна в квадранте \ (IV.2}}} = {- \ sqrt {1 - \ frac {{25}} {{169}}}} = {- \ sqrt {\ frac {{144}} {{169}}}} = {- \ гидроразрыв {{12}} {{13}}.} \]

Функция котангенса определяется как

.

\ [{\ cot \ alpha = \ frac {{\ cos \ alpha}} {{\ sin \ alpha}}} = {\ frac {{\ frac {5} {{13}}}} {{- \ frac {{12}} {{13}}}}} = {- \ frac {5} {{12}}.} \]

Пример 2.

Вычислить \ (\ cos \ theta \) и \ (\ tan \ theta \), если \ (\ sin \ theta = - \ large {\ frac {24} {{25}}} \ normalsize \) и угол \ ( \ theta \) лежит в квадранте \ (3 \ text {rd} \).2}}} = {- \ sqrt {1 - \ frac {{576}} {{625}}}} = {- \ sqrt {\ frac {{49}} {{169}}}} = {- \ гидроразрыв {7} {{25}}.} \]

Используя определение тангенса, имеем

\ [{\ tan \ theta = \ frac {{\ sin \ theta}} {{\ cos \ theta}}} = {\ frac {{- \ frac {{24}} {{25}}}} { {- \ frac {7} {{25}}}}} = {\ frac {{24}} {7}.} \]

Пример 3.

Найдите \ (\ cos \ alpha \), если \ (\ tan \ alpha = 5 \) и угол \ (\ alpha \) лежит в квадранте \ (3 \ text {rd} \). 2} \ alpha}.\ prime \) - это особый угол. Для него легко найти значения триггерных функций:

\ [{\ sin \ frac {\ pi} {3} = \ frac {{\ sqrt 3}} {2}, \; \;} \ kern0pt {\ cos \ frac {\ pi} {3} = \ frac {1} {2}, \; \;} \ kern0pt {\ tan \ frac {\ pi} {3} = \ sqrt 3, \; \;} \ kern0pt {\ cot \ frac {\ pi} {3 } = \ frac {1} {{\ sqrt 3}}, \; \;} \ kern0pt {\ sec \ frac {\ pi} {3} = 2, \; \;} \ kern0pt {\ csc \ frac { \ pi} {3} = \ frac {2} {{\ sqrt 3}}.} \]

В квадранте \ (2 \ text {nd} \) синус и косеканс положительны, а косинус, секанс, тангенс и котангенс отрицательны.Следовательно,

\ [{\ sin \ frac {{2 \ pi}} {3} = \ frac {{\ sqrt 3}} {2}, \; \;} \ kern0pt {\ cos \ frac {{2 \ pi}} } {3} = - \ frac {1} {2}, \; \;} \ kern0pt {\ tan \ frac {{2 \ pi}} {3} = - \ sqrt 3, \; \;} \ kern0pt {\ cot \ frac {{2 \ pi}} {3} = - \ frac {1} {{\ sqrt 3}}, \; \;} \ kern0pt {\ sec \ frac {{2 \ pi}} { 3} = - 2, \; \;} \ kern0pt {\ csc \ frac {{2 \ pi}} {3} = \ frac {2} {{\ sqrt 3}}.} \]

Пример 6.

Найдите значения шести тригонометрических функций \ (\ beta = \ large {\ frac {{5 \ pi}} {4}} \ normalsize. \)

Решение.\ prime: \)

\ [{\ sin \ frac {\ pi} {4} = \ frac {{\ sqrt 2}} {2}, \; \;} \ kern0pt {\ cos \ frac {\ pi} {4} = \ frac {{\ sqrt 2}} {2}, \; \;} \ kern0pt {\ tan \ frac {\ pi} {4} = 1, \; \;} \ kern0pt {\ cot \ frac {\ pi} {4} = 1, \; \;} \ kern0pt {\ sec \ frac {\ pi} {4} = \ sqrt 2, \; \;} \ kern0pt {\ csc \ frac {\ pi} {4} = \ sqrt 2.} \]

В квадранте \ (3 \ text {rd} \) тангенс и котангенс положительны, а все остальные тригонометрические функции отрицательны. Следовательно,

\ [{\ sin \ frac {{5 \ pi}} {4} = - \ frac {{\ sqrt 2}} {2}, \; \;} \ kern0pt {\ cos \ frac {{5 \ pi }} {4} = - \ frac {{\ sqrt 2}} {2}, \; \;} \ kern0pt {\ tan \ frac {{5 \ pi}} {4} = 1, \; \;} \ kern0pt {\ cot \ frac {{5 \ pi}} {4} = 1, \; \;} \ kern0pt {\ sec \ frac {{5 \ pi}} {4} = - \ sqrt 2, \; \;} \ kern0pt {\ csc \ frac {{5 \ pi}} {4} = - \ sqrt 2.} \]

Пример 7.

Определите знак выражения \ [\ sin \ frac {{13 \ pi}} {6} \ cos \ frac {{11 \ pi}} {7} \ tan \ frac {{9 \ pi}} {8}. \]

Решение.

Угол \ (\ large {\ frac {{13 \ pi}} {6}} \ normalsize \) лежит в квадранте \ (1 \ text {st} \):

\ [{\ frac {{12 \ pi}} {6} \ lt \ frac {{13 \ pi}} {6} \ lt \ frac {{15 \ pi}} {6},} \; \; \ Rightarrow {2 \ pi \ lt \ frac {{13 \ pi}} {6} \ lt 2 \ pi + \ frac {\ pi} {2}.} \]

Следовательно, \ (\ sin \ kern-2pt \ large {\ frac {{13 \ pi}} {6}} \ normalsize \) имеет положительный знак.

Угол \ (\ large {\ frac {{11 \ pi}} {7}} \ normalsize \) находится в квадранте \ (4 \ text {th} \):

\ [{\ frac {{21 \ pi}} {{14}} \ lt \ frac {{22 \ pi}} {{14}} \ lt \ frac {{28 \ pi}} {{14}}] ,} \; \; \ Rightarrow {\ frac {{3 \ pi}} {2} \ lt \ frac {{22 \ pi}} {{14}} \ lt 2 \ pi,} \; \; \ Rightarrow {\ frac {{3 \ pi}} {2} \ lt \ frac {{11 \ pi}} {7} \ lt 2 \ pi.} \]

Следовательно, \ (\ cos \ large {\ frac {{11 \ pi}} {7}} \ normalsize \) имеет положительный знак.

Угол \ (\ large {\ frac {{9 \ pi}} {8}} \ normalsize \), очевидно, находится в квадранте \ (3 \ text {rd} \), поэтому \ (\ tan \ kern-2pt \ large {\ frac {{9 \ pi}} {8}} \ normalsize \) имеет положительный знак.

Поскольку все три компонента положительны, их произведение также положительно:

\ [\ sin \ frac {{13 \ pi}} {6} \ cos \ frac {{11 \ pi}} {7} \ tan \ frac {{9 \ pi}} {8} \ gt 0. \ ]

Пример 8.

Определите знак выражения \ [\ tan \ left ({- \ frac {{2 \ pi}} {5}} \ right) \ cot \ left ({- \ frac {{5 \ pi}} {7}} \ right) \ sec \ left ({- \ frac {{8 \ pi}} {9}} \ right). \]

Решение.

Угол \ ({- \ large {\ frac {{2 \ pi}} {5}} \ normalsize} \) лежит в квадранте \ (4 \ text {th} \), где касательная отрицательна.Действительно,

\ [{- \ frac {{5 \ pi}} {{10}} \ lt - \ frac {{4 \ pi}} {{10}} \ lt 0,} \; \; \ Rightarrow {- \ frac {\ pi} {2} \ lt - \ frac {{4 \ pi}} {{10}} \ lt 0,} \; \; \ Rightarrow {- \ frac {\ pi} {2} \ lt - \ frac {{2 \ pi}} {5} \ lt 0.} \]

Угол \ ({- \ large {\ frac {{5 \ pi}} {7}} \ normalsize} \) находится в квадранте \ (3 \ text {rd} \), где котангенс положительный:

\ [{- \ frac {{14 \ pi}} {{14}} \ lt - \ frac {{10 \ pi}} {{14}} \ lt - \ frac {{7 \ pi}} {{ 14}},} \; \; \ Rightarrow {- \ pi \ lt - \ frac {{5 \ pi}} {7} \ lt - \ frac {\ pi} {2}.} \]

Угол \ ({- \ large {\ frac {{8 \ pi}} {9}} \ normalsize} \) также принадлежит квадранту \ (3 \ text {rd} \), где секущая отрицательна:

\ [{- \ frac {{18 \ pi}} {{18}} \ lt - \ frac {{16 \ pi}} {{18}} \ lt - \ frac {{9 \ pi}} {{ 18}},} \; \; \ Rightarrow {- \ pi \ lt - \ frac {{8 \ pi}} {9} \ lt - \ frac {\ pi} {2}.} \]

Итак, \ (2 \) из \ (3 \) множителей отрицательны, а один положителен. Понятно, что их товар положительный:

\ [{\ tan \ left ({- \ frac {{2 \ pi}} {5}} \ right) \ cot \ left ({- \ frac {{5 \ pi}} {7}} \ right) \ sec \ left ({- \ frac {{8 \ pi}} {9}} \ right)} \ gt {0.} \]

Тригонометрических идентичностей

Вы могли бы сначала прочитать о тригонометрии!

Прямой треугольник

Тригонометрические тождества - это уравнения, которые верны для прямоугольных треугольников. (Если это не прямоугольный треугольник, перейдите на страницу «Треугольники».)

Каждая сторона прямоугольного треугольника имеет имя:


Соседний всегда находится рядом с углом

И Напротив находится напротив угла

Мы скоро будем играть со всеми видами функций, но помните, что все возвращается к этому простому треугольнику с:

  • Угол θ
  • Гипотенуза
  • Соседний
  • Напротив

Синус, косинус и тангенс

Три основных функции в тригонометрии - это синус, косинус и тангенс.

Это всего лишь длины одной стороны делится на другой

Для прямоугольного треугольника с углом θ :

Функция синуса:

sin ( θ ) = Противоположность / Гипотенуза

Функция косинуса:

cos ( θ ) = Соседний / Гипотенуза

Касательная функция:

tan ( θ ) = противоположный / смежный

Для данного угла θ каждое отношение остается неизменным
независимо от того, насколько большой или маленький треугольник

Когда мы разделим синус на косинус, получим:

sin (θ) cos (θ) = Противоположно / Гипотенуза Соседний / Гипотенуза = Противоположно Соседний = tan (θ)

Итак, мы можем сказать:

Это наш первый Тригонометрический идентификатор .

Косеканс, секанс и котангенс

Мы также можем разделить «наоборот» (например, Соседний / Противоположный вместо Противоположный / Соседний ):

Косекансная функция:

csc ( θ ) = Гипотенуза / Напротив

Секущая функция:

сек ( θ ) = Гипотенуза / Соседний

Котангенс Функция:

детская кроватка ( θ ) = рядом / напротив

Пример: когда Противоположность = 2 и Гипотенуза = 4, тогда

sin (θ) = 2/4 и csc (θ) = 4/2

На основании всего, что мы можем сказать:

грех (θ) = 1 / csc (θ)

cos (θ) = 1 / сек (θ)

загар (θ) = 1 / детская кроватка (θ)

И наоборот:

csc (θ) = 1 / sin (θ)

сек (θ) = 1 / cos (θ)

детская кроватка (θ) = 1 / tan (θ)

А еще у нас есть:

детская кроватка (θ) = cos (θ) / sin (θ)

Теорема Пифагора

Следующие тригонометрические тождества мы начнем с теоремы Пифагора:

Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат a плюс квадрат b равен квадрату c:

a 2 + b 2 = c 2

Деление на c 2 дает

a 2 с 2 + б 2 с 2 знак равно с 2 с 2

Это можно упростить до:

( a c ) 2 + ( б c ) 2 = 1

Итак, a / c - это Противоположность / Гипотенуза , что составляет sin (θ)

И b / c - это Соседний / Гипотенуза , что составляет cos (θ)

Так (a / c) 2 + (b / c) 2 = 1 также можно записать:

Примечание:
  • sin 2 θ означает найти синус θ, , затем возвести результат в квадрат и
  • sin θ 2 означает возвести θ в квадрат, затем выполнить синусоидальную функцию

Пример: 32 °

Использование только 4 десятичных разряда :

  • sin (32 °) = 0.5299 ...
  • cos (32 °) = 0,8480 ...

Теперь посчитаем sin 2 θ + cos 2 θ :

0,5299 2 + 0,8480 2
= 0,2808 ... + 0,7191 ...
= 0,9999 ...

Мы очень близки к 1, используя всего 4 десятичных знака. Попробуйте использовать на своем калькуляторе , возможно, вы получите лучшие результаты!

Связанные идентификационные данные включают:

sin 2 θ = 1 - cos 2 θ
cos 2 θ = 1 - sin 2 θ
tan 2 θ + 1 = sec 2 θ
tan 2 θ = sec 2 θ - 1
детская кроватка 2 θ + 1 = csc 2 θ
детская кроватка 2 θ = csc 2 θ - 1

Как вы их помните?

Упомянутые до сих пор личности можно запомнить
с помощью одной хитрой диаграммы, которая называется Волшебный шестиугольник:

Но подождите... Это еще не все!

Есть еще много идентификаторов ... вот некоторые из наиболее полезных:

Идентичности с противоположным углом

грех (-θ) = -sin (θ)

cos (−θ) = cos (θ)

тангенс (-θ) = -тан (θ)

Двойные углы идентификации

Идентификаторы с половинным углом

Обратите внимание, что "±" означает, что это может быть или один , в зависимости от значения θ / 2


Тождества суммы углов и разностей

Обратите внимание, что это означает, что вы можете использовать плюс или минус, а средство - использовать противоположный знак.

sin (A B) = sin (A) cos (B) cos (A) sin (B)

cos (A B) = cos (A) cos (B) sin (A) sin (B)

загар (A B) = загар (A) загар (B) 1 загар (A) загар (B)

детская кроватка (A B) = детская кроватка (A) детская кроватка (B) 1 детская кроватка (B) детская кроватка (A)

Треугольники

Существуют также идентичности треугольников, которые применяются ко всем треугольникам (а не только к прямоугольным треугольникам).

7.4. Другие тригонометрические функции

Мы исследовали ряд свойств тригонометрических функций. Теперь мы можем продвинуться дальше в отношениях и получить некоторые фундаментальные идентичности. Идентичности - это утверждения, которые верны для всех значений входных данных, на которых они определены. Обычно идентичность можно вывести из уже известных нам определений и отношений. Например, тождество Пифагора, которое мы узнали ранее, было получено из теоремы Пифагора и определений синуса и косинуса.

Пример \ (\ PageIndex {6} \): Использование идентичностей для упрощения тригонометрических выражений

Упростить \ (\ frac {\ sec t} {\ tan t}. \)

Решение

Мы можем упростить это, переписав обе функции в терминах синуса и косинуса.

\ [\ begin {array} {lll} \ dfrac {\ sec t} {\ tan t} & = \ dfrac {1 / \ cos t} {\ sin t / \ cos t} & \ text {Чтобы разделить функции, мы умножаем на обратную. 2 t = 1 \).2 t & = \ dfrac {25} {169} \\ \ sin t & = ± \ sqrt {\ dfrac {25} {169}} \\ \ sin t & = ± \ dfrac {\ sqrt {25}} { \ sqrt {169}} \\ \ sin t & = ± \ dfrac {5} {13} \ end {align} \]

Знак синуса зависит от значений y в квадранте, где расположен угол. Поскольку угол находится в квадранте IV, где значения y отрицательны, его синус отрицательный, \ (- \ frac {5} {13} \).

Остальные функции можно вычислить с помощью тождеств, связывающих их с синусом и косинусом.

\ [\ begin {align} \ tan t & = \ dfrac {\ sin t} {\ cos t} = \ dfrac {- \ frac {5} {13}} {\ frac {12} {13}} = - \ dfrac {5} {12} \\ \ sec t & = \ dfrac {1} {\ cos t} = \ dfrac {1} {\ frac {12} {13}} = \ dfrac {13} {12 } \\ \ csc t & = \ dfrac {1} {\ sin t} = \ dfrac {1} {- \ frac {5} {13}} = - \ dfrac {13} {5} \\ \ cot t & = \ dfrac {1} {\ tan t} = \ dfrac {1} {- \ frac {5} {12}} = - \ dfrac {12} {5} \ end {align} \]

Упражнение \ (\ PageIndex {7} \):

Если \ (\ sec (t) = - \ frac {17} {8} \) и \ (0

Решение

\ (\ cos t = - \ frac {8} {17}, \ sin t = \ frac {15} {17}, \ tan t = - \ frac {15} {8} \)

\ (\ csc t = \ frac {17} {15}, \ cot t = - \ frac {8} {15} \)

Как мы обсуждали в начале главы, функция, которая повторяет свои значения через равные промежутки времени, известна как периодическая функция . Тригонометрические функции периодические. Для четырех тригонометрических функций, синуса, косинуса, косеканса и секанса, оборот одного круга или \ (2π \) приведет к одинаковым результатам для этих функций.А для тангенса и котангенса только половина оборота даст одинаковые результаты.

Другие функции также могут быть периодическими. Например, продолжительность месяцев повторяется каждые четыре года. Если x x представляет собой продолжительность, измеряемую в годах, а \ (f (x) \) представляет количество дней в феврале, тогда \ (f (x + 4) = f (x) \). Этот образец повторяется снова и снова во времени. Другими словами, каждые четыре года в феврале гарантированно будет такое же количество дней, как и 4 годами ранее. Положительное число 4 - это наименьшее положительное число, которое удовлетворяет этому условию и называется периодом.Период - это самый короткий интервал, в течение которого функция выполняет один полный цикл - в этом примере период равен 4 и представляет время, необходимое нам, чтобы убедиться, что в феврале такое же количество дней.

СРОК ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ

Период \ (P \) повторяющейся функции f f - это число, представляющее интервал, такой что \ (f (x + P) = f (x) \) для любого значения \ (x \).

Период функций косинуса, синуса, секанса и косеканса равен \ (2π \).

Период функций касательной и котангенса равен \ (π \).

Пример \ (\ PageIndex {8} \): поиск значений тригонометрических функций

Найдите значения шести тригонометрических функций угла \ (t \) на основе рисунка \ (\ PageIndex {9} \) .

Рисунок \ (\ PageIndex {9} \)

Решение

\ [\ begin {align *} \ sin t & = y = - \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} \\ \ cos t & = x = - \ dfrac {1} {2} \\ \ tan t & = \ dfrac {\ sin t} {\ cos t} = \ dfrac {- \ frac {\ sqrt {3}} {2}} {- \ frac {1} {2}} = \ sqrt {3 } \\ \ sec t & = \ dfrac {1} {\ cos t} = \ dfrac {1} {- \ frac {1} {2}} = - 2 \\ \ csc t & = \ dfrac {1} {\ sin t} = \ dfrac {1} {- \ frac {\ sqrt {3}} {2}} = - \ dfrac {2 \ sqrt {3}} {3} \\ \ cot t & = \ dfrac {1} {\ tan t} = \ dfrac {1} {\ sqrt {3}} = \ dfrac {\ sqrt {3}} {3} \ end {align *} \]

Упражнение \ (\ PageIndex {8} \)

Найдите значения шести тригонометрических функций угла \ (t \) на основе рисунка \ (\ PageIndex {10} \) .

Рисунок \ (\ PageIndex {10} \)

Решение

\ (\ begin {align} \ sin t & = - 1, \ cos t = 0, \ tan t = \ text {Undefined} \\ \\ sec t & = \ text {Undefined}, \ csc t = - 1, \ cot t = 0 \ end {align} \)

Пример \ (\ PageIndex {9} \): поиск значения тригонометрических функций

Если \ (\ sin (t) = - \ frac {\ sqrt {3}} {2} \) и \ (\ cos (t) = \ frac {1} {2} \), найдите \ (\ sec (t), \ csc (t), \ tan (t), \ cot (t). \)

Решение

\ [\ begin {align} \ sec t & = \ dfrac {1} {\ cos t} = \ dfrac {1} {\ frac {1} {2}} = 2 \\ \ csc t & = \ dfrac {1} {\ sin t} = \ dfrac {1} {- \ frac {\ sqrt {3}} {2}} - \ dfrac {2 \ sqrt {3}} {3} \\ \ tan t & = \ dfrac {\ sin t} {\ cos t} = \ dfrac {- \ frac {\ sqrt {3}} {2}} {\ frac {1} {2}} = - \ sqrt {3} \\ \ cot t & = \ dfrac {1} {\ tan t} = \ dfrac {1} {- \ sqrt {3}} = - \ dfrac {\ sqrt {3}} {3} \ end {align} \]

Упражнение \ (\ PageIndex {9} \):

Если \ (\ sin (t) = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \) и \ (\ cos (t) = \ frac {\ sqrt {2}} {2}, \) find \ (\ sec (t), \ csc (t), \ tan (t), \) и \ (\ cot (t) \).

Решение

\ (\ sec t = \ sqrt {2}, \ csc t = \ sqrt {2}, \ tan t = 1, \ cot t = 1 \)

2. Синус, косинус, тангенс и обратные отношения

М. Борна

Для угла θ в прямоугольном треугольнике, как показано, мы назовем стороны как:

  • гипотенуза (сторона, противоположная прямому углу)
  • рядом (сторона "рядом" θ )
  • напротив (сторона, наиболее удаленная от угла θ )

Мы, , определяем три тригонометрических отношения синус θ , косинус θ и тангенс θ следующим образом (мы обычно записываем их в сокращенной форме sin θ cos θ и tan θ ):

`sin theta = текст (напротив) / текст (гипотенуза)` cos \ theta = text (смежный) / text (гипотенуза) `tan theta = text (напротив) / text (смежный)`

Чтобы запомнить это, многие люди используют SOH CAH TOA, то есть:

S дюйм θ = O pposite / H ypotenuse,

C os θ = A djacent / H ypotenuse и

T an θ = O pposite / A djacent

Взаимные тригонометрические отношения

Часто бывает полезно использовать обратные отношения, в зависимости от проблемы.(Говоря простым языком, величина, обратная дроби, находится путем переворачивания дроби.)

"косеканс" \ θ` является обратной величиной "синуса" \ θ`,

"секанс" \ θ` является обратной величиной "косинус" \ θ`, и

«Котангенс» \ θ` является обратной величиной «тангенса» \ θ`

Обычно мы записываем их в краткой форме как `csc \ θ`,` sec \ θ` и `cot \ θ` . (В некоторых учебниках « csc » пишется как « cosec ». Это то же самое.)

`csc \ theta = text (гипотенуза) / текст (напротив)` sec \ theta = text (гипотенуза) / текст (рядом) `cot \ theta = text (смежный) / text (напротив)`

Важное примечание: Существует большая разница между csc θ и sin -1 θ .

  • Первый является обратным: `csc \ theta = 1 / (sin \ theta)`.
  • Второй включает поиск угла , синус которого равен θ .

Итак, на вашем калькуляторе не используйте кнопку sin -1 , чтобы найти csc θ .

Мы познакомимся с идеей sin -1 θ в следующем разделе, Значения тригонометрических функций.

Тригонометрические функции на плоскости

x-y

Для угла в стандартном положении мы определяем тригонометрические отношения в виде x , y и r :

`sin theta = y / r`` cos theta = x / r` `tan theta = y / x`

Обратите внимание, что мы все еще определяем

sin θ as «opp» / «hyp» `;

cos θ как "adj" / "hyp" `и

tan θ as «opp» / «adj» `,

, но мы используем конкретные значения x -, y - и r , определяемые точкой ( x , y ), через которую проходит терминальная сторона.2) `

Неудивительно, что обратные отношения определяются аналогичным образом в терминах значений x -, y - и r - следующим образом:

`csc \ theta = r / y`` sec \ theta = r / x` `детская кроватка \ theta = x / y`

Мы увидим несколько примеров нахождения точных значений в следующем разделе «Значения тригонометрических функций».

Таблицы тригонометрических функций

Таблицы тригонометрических функций

Калькуляторы и таблицы используются для определения значений тригонометрических функций.В большинстве научных калькуляторов есть функциональные кнопки для определения синуса, косинуса и тангенса углов. Размер угла вводится в градусах или радианах, в зависимости от настройки калькулятора. Здесь будет использоваться градусная мера, если специально не указано иное. При решении задач с использованием тригонометрических функций либо известен угол и необходимо найти значение тригонометрической функции, либо известно значение тригонометрической функции и необходимо найти угол. Эти два процесса противоположны друг другу.Обратные обозначения используются для выражения угла через значение тригонометрической функции. Выражение sin θ = 0,4295 может быть записано как θ = Sin -1 0,4295 или θ = Arcsin0,4295, и оба эти уравнения читаются как «тета равно Arcsin 0,4295». Иногда используется выражение «обратный синус 0,4295». В некоторых калькуляторах есть кнопка с пометкой «дуга», которая нажимается перед функциональной клавишей для выражения функций «дуги». Функции дуги используются для определения меры угла, если известно значение тригонометрической функции.Если вместо калькулятора используются таблицы, для обоих процессов используется одна и та же таблица. Примечание: использование калькуляторов или таблиц дает только приблизительные ответы. Даже в этом случае знак равенства (=) иногда используется вместо приблизительного знака (≈ или ≅).

Пример 1: Что такое синус 48 °?


Пример 2:
Какой угол имеет косинус 0,3912?


Хотя калькулятор может легко найти тригонометрические функции дробной угловой меры, это может быть неверно, если вам нужно использовать таблицу для поиска значений.Таблицы не могут перечислить всех углов. Поэтому для нахождения значений между перечисленными в таблице значениями необходимо использовать приближение. Этот метод известен как линейная интерполяция . Предполагается, что различия в значениях функций прямо пропорциональны разнице размеров углов на малых интервалах . Это не совсем так, но дает лучший ответ, чем просто использование ближайшего значения в таблице. Этот метод проиллюстрирован в следующих примерах.

Пример 3 : Используя линейную интерполяцию, найдите tan 28,43 °, учитывая, что tan 28,40 ° = 0,5407 и tan 28,50 ° = 0,5430.

Задайте пропорцию с помощью переменной x .

Поскольку x - это разница между tan 28,40 ° и tan 28,43 °,

Пример 4: Найдите угол первого квадранта α, где cos α ≈ 0,2622, учитывая, что cos 74 ° ≈ 0,275 и стоимость 75 ° ≈ 0,2588.

Задайте пропорцию с помощью переменной x .

Следовательно, α ≈ 74,0 ° + 0,8 ° ≈ 74,8 °

Существует интересная техника аппроксимации для нахождения синуса и тангенса углов, которые меньше 0,4 радиана (приблизительно 23 °). Синус и тангенс углов меньше 0,4 радиана примерно равны угловой мере. Например, используя радиан, sin0,15 ≈ 0,149 и tan 0,15 ≈ 0,151.

Пример 5: Найдите θ на рисунке без использования таблиц тригонометрии или калькулятора для определения значений любых тригонометрических функций.

Рисунок 1
Чертеж для примера 5.


Поскольку sin θ = 5/23 ≈ 0,21739, размер угла может быть приблизительно равен 0,217 радиан, что составляет примерно 12,46 °. На самом деле ответ ближе к 0,219 радиан, или 12,56 ° - довольно близко для приближения. Если использовать теорему Пифагора для нахождения третьей стороны треугольника, этот процесс также можно использовать для касательной.

Пример 6: Найдите величину острого угла α с точностью до минуты, если tan α = 0,8884.

С помощью калькулятора

Изучите формулы с легкостью на сайте embibe.com.

Таблица тригонометрии: Таблица тригонометрии содержит значения различных тригонометрических соотношений для стандартных углов, например 0 °, 30 °, 45 °, 60 ° и 90 °. Синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс - это шесть тригонометрических отношений.Таблица тригонометрии показывает значения этих тригонометрических соотношений для разных углов. Знание этих значений может облегчить решение различных тригонометрических задач.

Тригонометрия - это раздел математики, который занимается соотношением сторон и углов треугольника. Обычно это связано с прямоугольными треугольниками, при этом один из трех углов треугольника является прямым углом. Это помогает упростить вычисления и решить широкий спектр геометрических задач.

Например, если вы находитесь на террасе высокого здания известной высоты и на другой стороне дороги, напротив здания, есть почтовый ящик, ваше положение на крыше здания (точка A), подножие здания (точка B) и расположение почтового ящика (точка C) образуют прямоугольный треугольник. Вы можете легко рассчитать ширину дороги с помощью тригонометрии. Существуют различные применения тригонометрии в области строительства, летной техники, криминологии, морской биологии, инженерии и т. Д.

Эта статья предоставит вам таблицу тригонометрических соотношений и приемы для запоминания формул таблицы тригонометрии, чтобы вы могли напрямую использовать их для решения задач.

Таблица тригонометрии: тригонометрическая формула, отношение и угол | Формула таблицы тригонометрии

Как упоминалось выше, таблица тригонометрии содержит значения тригонометрических отношений (синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс) стандартных углов. Давайте посмотрим на таблицу тригонометрических соотношений:

9018 9018 Углы 9018 0 ° 2
Углы в градусах 0 ° 30 ° 45 ° 60 °

903
π / 6 π / 4 π / 3 π / 2
sin 0 0 √3 / 2 0
cos 1 √3 / 2 1 / √2 1/2 0
tan 0 0 0 90 √3 1 √3 Не определено
Детская кроватка Не определено √3 1 1 / √3 0 2 903 √2 2 Неопределенный
кодексов Неопределенный 2 √2 2 / √3 1

Таблица тригонометрии, 360 °, 360 °, 360 °

Давайте также посмотрим на значения этих тригонометрических отношений для 180 °, 270 ° и 360 °.

902 Изучение таблицы тригонометрии: уловка для изучения таблицы тригонометрических соотношений | Трюк с тригонометрическим столом

Запоминание таблицы тригонометрических соотношений поможет вам легко решать различные проблемы.Итак, если вы ищете уловки с таблицами тригонометрии, вы попали в нужное место. Здесь мы расскажем, как легко выучить формулы тригонометрии для таблиц.

Если вы уже знаете формулы тригонометрии , вам будет очень легко запомнить таблицу тригонометрических соотношений. Кроме того, с формулами у вас под рукой, вы можете рассчитать значения самостоятельно в любой момент, даже если вы забудете.

Давайте сначала вспомним и запомним формулы тригонометрии, перечисленные ниже:

  1. sin x = cos (90 ° -x)
  2. cos x = sin (90 ° -x)
  3. tan x = детская кроватка (90 ° -x)
  4. детская кроватка x = tan (90 ° -x)
  5. sec x = cosec (90 ° -x)
  6. cosec x = sec (90 ° -x)
  7. 1 / sin x = cosec x
  8. 1 / cos x = sec x
  9. 1 / tan x = cot x

Таблица тригонометрических соотношений: определение значений синуса стандартных углов

Присвоим номера начиная с 0 каждому из стандартных углов от 0 ° до 90 ° :

Углы в градусах 180 ° 270 ° 360 °
Углы в 903 90π2 /2
sin 0 -1 0
cos -1 0 1
0321 903
колыбель Не определено 0 Не определено
сек -1 Не определено 1
cosec Не определено 9329 Не определено
3 найдите значения синуса углов , разделите число, соответствующее углу, на 4, а затем возьмите квадрат.

0 ° → 0

30 ° → 1

45 ° → 2

60 ° → 3

90 ° → 4

sin0 ° \ (\ sqrt {\ frac {0} {4}} = 0 \)
sin30 ° \ (\ sqrt {\ frac {1} {4}} = 1/2 \)
sin 45 ° \ (\ sqrt {\ frac {2} {4}} = 1 / √2 \)
sin60 ° \ (\ sqrt {\ frac {3} {4}} = √3 / 2 \)
sin 90 ° \ (\ sqrt {\ frac {4} {4}} = 1 \)

Теперь мы знаем следующие формулы тригонометрии :

sin (π - \ (\ theta \)) = \ (\ sin \ theta \) ↠ Формула 1

sin (π + \ (\ theta \)) = - \ (\ sin \ theta \) ↠ Формула 2

sin (2π - \ (\ theta \)) = - \ (\ sin \ theta \) ↠ Формула 3

Используя эти формулы, давайте теперь найдем значения синуса углов 180 ° ( π ), 270 ° ( 3π / 2 ) и 360 ° (), которые находятся во 2-м, третьем и 4-й квадрант соответственно:

sin180 ° = sinπ = sin (π - 0 °) = sin0 ° = 0 (по формуле 1)

sin270 ° = sin (3π / 2) = sin (π + 90 °) = -sin90 ° = -1 (по формуле 2)

sin360 ° = sin2π = sin (2π - 0 °) = -sin0 ° = 0 (по формуле 3)

Таблица Trigo: определение значений косинуса стандартных углов

Чтобы определить значения косинуса стандартных углов от 0 ° до 90 °, мы просто присваиваем в обратном порядке, т.е.э .:

0 ° → 4

30 ° → 3

45 ° → 2

60 ° → 1

90 ° → 0

Теперь мы разделим число, соответствующее углам, на 4 и возьмем квадрат.

cos0 ° \ (\ sqrt {\ frac {4} {4}} = 1 \)
cos30 ° \ (\ sqrt {\ frac {3} {4}} = √3 / 2 \)
cos45 ° \ (\ sqrt {\ frac {2} {4}} = 1 / √2 \)
cos60 ° \ (\ sqrt {\ frac {1} {4}} = 1/2 \)
cos90 ° \ (\ sqrt {\ frac {0} {4}} = 0 \)

Теперь мы знаем следующие формулы тригонометрии :

cos (π - \ (\ theta \)) = - \ (\ cos \ theta \) ↠ Формула 4

cos (π + \ (\ theta \)) = - \ (\ cos \ theta \) ↠ Формула 5

cos (2π - \ (\ theta \)) = \ (\ cos \ theta \) ↠ Формула 6

Теперь найдем значения косинуса углов 180 ° ( π ), 270 ° ( 3π / 2 ) и 360 ° () по этим формулам:

cos180 ° = cosπ = cos (π - 0 °) = -cos0 ° = -1 (с использованием формулы 4)

cos270 ° = cos (3π / 2) = cos (π + 90 °) = -cos90 ° = 0 (по формуле 5)

cos360 ° = cos2π = cos (2π - 0 °) = cos0 ° = 1 (по формуле 6)

Определение значений тангенса стандартных углов

Мы знаем, что:

\ (\ tan \ theta \) = \ (\ frac {1} {\ cot \ theta} \) = \ (\ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta} \) ↠ Формула 7

Нам уже известны значения синуса и косинуса стандартных углов.Подставляя эти значения в приведенную выше формулу (Формула 7), теперь мы можем легко вычислить значения тангенса этих углов.

903 903 903 9032
tan0 ° 0
tan30 ° 1 / √3
tan45 ° 1

03
903
tan90 ° Неопределенный
tan180 ° 0
tan270 ° Неопределенный
9322
Котангенс стандартных углов

Мы знаем, что:

\ (\ cot \ theta \) = \ (\ frac {1} {\ tan \ theta} \) = \ (\ frac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta} \) ↠ Формула 8

Нам известны значения синуса и косинуса стандартных углов.Подставляя эти значения в приведенную выше формулу (Формула 8), теперь мы можем легко вычислить значения котангенса этих углов.

cot0 ° Не определено
cot30 ° √3
cot45 ° 1
cot90 ° 0
cot180 ° Не определен
cot270 ° 0
0
0
0 Секанс стандартных углов

Мы знаем:

\ (\ sec \ theta \) = \ (\ frac {1} {\ cos \ theta} \) ↠ Формула 9

Используя значения косинуса стандартных углов, определенных выше, и подставив эти значения в приведенную выше формулу (Формула 9), мы теперь можем легко вычислить значения секанса этих углов.

2 2
сек0 ° 1
сек30 ° 2 / √3
сек45 ° √3
√2
√2 903
сек 90 ° Не определено
сек 180 ° -1
сек 270 ° Не определено

Косеканса стандартных углов

Мы знаем, что:

\ (cosec \ theta \) = \ (\ frac {1} {\ sin \ theta} \) ↠ Формула 10

Используя значения синуса стандартных углов, определенных выше, и подставив эти значения в приведенную выше формулу (Формула 9), мы теперь можем легко вычислить значения косеканса этих углов.

2 2
сек0 ° Не определено
сек30 ° 2
сек45 ° √2
√2
√2 2 √2 2 √2 2 √2 2 √2 903
cosec90 ° 1
cosec180 ° Undefined
cosec270 ° -1
-1
Вопросы по тригонометрии

Некоторые важные вопросы по тригонометрии приведены в таблице ниже:

1.Найдите значение tan30 ° / cot60 °.
2. Дан разносторонний треугольник ABC со стороной AB размером 10 см и стороной BC размером 5 см. Если угол C равен 59 °, найдите длину стороны AC.
3. Дан треугольник ABC. Найдите значение a + c√2, если ∠A = 45 °, ∠B = 75 °.
4. Когда угол наклона солнечных лучей уменьшается с 60 ° до 50 °, тень от здания увеличивается на 10 метров. Рассчитайте высоту здания.
5.Вертикальный столб состоит из двух частей. Нижняя часть составляет 1/3 всей длины. В точке в горизонтальной плоскости, проходящей через основание шеста, на расстоянии 20 метров, верхняя часть шеста образует угол, касательная которого равна 1/2. Рассчитайте возможную высоту столба.
6. Решите уравнение: tan -1 3x + tan -1 2x = π / 4
7. Вычислите значение: tan -1 √6 - сек -1 (–3)
8.Вычислите значение радиана, соответствующее 320 °.
9. Вычислите значения тригонометрической функции cos 457 °
10. Докажите уравнение: (sin 3 x + sin x ) sin x + (cos 3 x - cos x ) cos x = 0

Преимущества решений NCERT для математики от Embibe

Многие студенты боятся математики. Им трудно их понять.Это влияет на их успеваемость на экзаменах. Чтобы помочь студентам, специалисты Embibe подготовили решения NCERT. Мы советуем студентам использовать эти решения наилучшим образом. Ниже приведены некоторые из преимуществ решений Embibe NCERT:

  1. Решения были подготовлены детально и тщательно. На все вопросы даны пошаговые ответы.
  2. Все ответы, представленные в решениях, объясняются максимально просто.
  3. Эти решения охватывают все вопросы и упражнения, приведенные в книгах NCERT.
  4. Студенты могут использовать эти решения не только для регулярной практики, но и для быстрой проверки перед экзаменами.
  5. Решения NCERT от Embibe доступны в форме PDF-файлов. К ним можно легко получить доступ в любое время и в любом месте.
  6. Эти решения также можно использовать при подготовке к конкурсным экзаменам, государственным приемным экзаменам и олимпиадам.
  7. Все решения NCERT, предоставляемые Embibe, обновлены в соответствии с последними рекомендациями и учебными программами CBSE NCERT.

Ознакомьтесь с нашими математическими решениями NCERT для классов 10, 11 и 12:

Задайте свои запросы на Embibe Спросите

Embibe имеет уникальную платформу, где вы можете получить ответы на все ваши академические вопросы. На Embibe Ask вы можете разместить свои запросы или загрузить изображение. Наши специалисты решат ваши вопросы в кратчайшие сроки. Вы можете искать решения, просматривая запросы, отправленные другими. Вы можете получить доступ к Embibe Ask бесплатно.

Тригонометрическая таблица: часто задаваемые вопросы по тригонометрической таблице

Здесь мы предоставили несколько вопросов, которые студенты ищут при поиске тригонометрических таблиц:

Вопрос: Что такое тригонометрия?
A: Раздел математики, посвященный треугольникам, их сторонам и различным отношениям между ними, называется тригонометрией.

Вопрос: Какие тригонометрические функции и их типы?
A: Тригонометрические функции, также известные как круговые функции, представляют собой функции треугольника, один из углов которого равен 90 градусам. Шесть основных тригонометрических функций:
1) Sine
2) Cos
3) Tan
4) Cot
5) Cosec
6) Sec

Вопрос: Как найти значение тригонометрической функции?
A: Чтобы найти значения различных тригонометрических функций, вы можете использовать следующие формулы:
i) Синус = Перпендикуляр / Гипотенуза
ii) Cos = Основание / Гипотенуза
iii) Загар = Перпендикуляр / Основание
iv ) Cosec = 1 / Sin
v) Sec = 1 / Cos
vi) Cot = 1 / Tan

Вопрос: Какое значение sin 30 в тригонометрии?
A: Значение Sin 30 равно 1/2.

Итак, теперь вы знаете значения тригонометрических функций стандартных углов от 0 ° до 360 °. Вы также умеете составлять и запоминать таблицу тригонометрии.

Пройдите пробный тест тригонометрических соотношений и функций сейчас

Прочтите эту статью и запомните необходимые формулы тригонометрии. Затем самостоятельно создайте таблицу тригонометрии.

Мы надеемся, что эта подробная статья о таблице тригонометрии вам поможет.Если у вас есть какие-либо вопросы, не стесняйтесь спрашивать в разделе комментариев ниже. Мы свяжемся с вами в ближайшее время.

2269 Представления

Функции Acos, Acot, Asin, Atan, Atan2, Cos, Cot, Degrees, Pi, Radians, Sin и Tan - Power Apps

  • 2 минуты на чтение

В этой статье

Вычисляет тригонометрические значения.

Описание

Основные функции

Функция Cos возвращает косинус своего аргумента, угол, указанный в радианах.

Функция Cot возвращает котангенс своего аргумента, угол, указанный в радианах.

Функция Sin возвращает синус своего аргумента, угол, указанный в радианах.

Функция Tan возвращает тангенс своего аргумента, угол, указанный в радианах.

Обратные функции

Функция Acos возвращает арккосинус или обратный косинус своего аргумента. Арккосинус - это угол, косинус которого является аргументом. Возвращаемый угол указывается в радианах в диапазоне от 0 (ноль) до π.

Функция Acot возвращает главное значение аркотангенса или обратного котангенса своего аргумента. Возвращаемый угол указывается в радианах в диапазоне от 0 (ноль) до π.

Функция Asin возвращает арксинус или обратный синус своего аргумента.Арксинус - это угол, синус которого является аргументом. Возвращаемый угол указывается в радианах в диапазоне от -π / 2 до π / 2.

Функция Atan возвращает арктангенс или арктангенс своего аргумента. Арктангенс - это угол, тангенс которого является аргументом. Возвращаемый угол указывается в радианах в диапазоне от -π / 2 до π / 2.

Функция Atan2 возвращает арктангенс или арктангенс заданных координат x и y в качестве аргументов.Арктангенс - это угол от оси x до линии, которая содержит начало координат (0, 0) и точку с координатами ( x , y ). Угол указывается в радианах между -π и π, исключая -π. Положительный результат представляет собой угол против часовой стрелки от оси x ; отрицательный результат представляет собой угол по часовой стрелке. Atan2 ( a , b ) равно Atan ( b / a ) , за исключением того, что a может быть равно 0 (нулю) с функцией Atan2 .

Вспомогательные функции

Функция градусов преобразует радианы в градусы. π радиан равняется 180 градусам.

Функция Pi возвращает трансцендентное число π, которое начинается с 3,141592 ...

Функция Radians конвертирует градусы в радианы.

Банкноты

Если вы передадите в эти функции одно число, возвращаемое значение будет единственным результатом. Если вы передаете таблицу с одним столбцом, содержащую числа, возвращаемое значение представляет собой таблицу результатов с одним столбцом, по одному результату для каждой записи в таблице аргументов.Если у вас есть таблица с несколькими столбцами, вы можете преобразовать ее в таблицу с одним столбцом, как описано в работе с таблицами.

Если аргумент приведет к неопределенному значению, результатом будет пустое значение . Это может произойти, например, при использовании обратных функций с аргументами, выходящими за пределы допустимого диапазона.

Синтаксис

Основные функции

Cos ( радиан )
Детская кроватка ( радиан )
Sin ( радиан )
Tan ( радиан )

  • Радианы - Обязательно.Угол действия.

Cos ( SingleColumnTable )
Cot ( SingleColumnTable )
Sin ( SingleColumnTable )
Tan ( SingleColumnTable)

  • SingleColumnTable - Обязательно. Одноколоночная таблица углов для работы.

Обратные функции

Acos ( номер )
Acot ( номер )
Asin ( номер )
Atan ( номер )

  • Номер - Обязательно.Номер для работы.

Acos ( SingleColumnTable )
Acot ( SingleColumnTable )
Asin ( SingleColumnTable )
Atan ( SingleColumn)

  • SingleColumnTable - Обязательно. Таблица чисел, состоящая из одного столбца.

Атан2 ( X , Y )

  • X - Обязательно. X - координата оси.
  • Y - Обязательно. Y - координата оси.

Вспомогательные функции

градусов ( радиан )

  • Радианы - Обязательно. Угол в радианах для преобразования в градусы.

Pi ()

Радианы ( градусов, )

  • Градусов - Обязательно. Угол в градусах для преобразования в радианы.

Примеры

Единый номер

Формула Описание Результат
Cos (1,047197) Возвращает косинус 1,047197 радиан или 60 градусов. 0,5
Детская кроватка (Pi () / 4) Возвращает котангенс 0,785398 ... радиан или 45 градусов. 1
Sin (Pi () / 2) Возвращает синус 1.570796 ... радиан или 90 градусов. 1
Желто-коричневый (радианы (60)) Возвращает тангенс 1,047197 ... радиан или 60 градусов. 1.732050 ...
Acos (0,5) Возвращает арккосинус 0,5 в радианах. 1,047197 ...
Acot (1) Возвращает арккотангенс 1 в радианах. 0,785398 ...
Асин (1) Возвращает арксинус 1 в радианах. 1,570796 ...
Атан (1.732050) Возвращает арктангенс 1,732050 в радианах. 1,047197 ...
Атан2 (5, 3) Возвращает арктангенс угла от оси x линии, содержащей начало координат (0,0) и координату (5,3), что составляет приблизительно 31 градус. 0,540419 ...
Атан2 (4, 4) Возвращает арктангенс угла от оси x линии, содержащей начало координат (0,0) и координату (4,4), что составляет точно π / 4 радиан или 45 градусов. 0,785398 ...
градусов (1.047197) Возвращает эквивалентное количество градусов для 1,047197 радиана. 60
Пи () Возвращает трансцендентное число π. 3,141592 ...
Радианы (15) Возвращает эквивалентное количество радианов для 15 градусов. 0,261799 ...

Одноколоночная таблица

В примерах в этом разделе используется источник данных с именем ValueTable и содержащий следующие данные.Последняя запись в таблице - π / 2 радиан или 90 градусов.

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

© 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

Карта сайта