Тангенс и котангенс
Главная / i / t
Тангенс
Такие тригонометрические функции как тангенс и котангенс используется реже чем синус и косинус, но понимать, что они из себя представляют все же необходимо. Точное школьное определение гласит:
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему
Легче это будет понять на примере. Попробуем приблизительно вычислить тангенс 30-ти градусов. Для этого нам нужно начерить прямоугольный треугольник (т.е. такой треугольник, в котором один угол будет 90°), пусть прямым углом будет угол C. В нашем треугольнике АВС угол А=30°, сторона ВС=5,8 см (катет противолежащий углу А), а сторона АС=10 см (катет прилежащий углу А).
Тангенс угла А получится, если длину стороны, противолежащей углу А, разделить на длину стороны, прилежащей углу А. То есть, если 5,8 разделить на 10. После деления 5,8 на 10, получим 0.
Найдем tg 45° сначала через прямоугольный треугольник, а затем проверим полученный результат на калькуляторе. Начертим прямоугольный треугольник с углом 45°,измерим в нем катеты и разделим длину катета BC, противолежащего углу 45° на длину катета AC, прилежащего углу 45°, т.е. разделим 10 на 10 — получим 1, значит tg 45°=1.
Более точное (но все же обычно только приближенное) значение тангенса можно найти с помощью калькулятора.
В этот раз нам удалось абсолютно точно определить tg 45° и калькулятор также выдал абсолютно правильное значение tg 45°. Посмотрим удастся ли это нам и калькулятору в следующий раз.
Таким же способом определим tg 60° сначала с помощью прямоугольного треугольника.
Результаты наших вычислений и калькулятора близки, но не точны, на самом деле абсолютно точное значение tg 60° равно (квадратному корню из трех), это число невозможно написать абсолютно точно, потому что цифры после запятой в этом числе будут идти до бесконечности.
Можно только приближаться точному результату, добавляя цифры, но это все равно будет приближенное (хоть и очень похожее на истинное) значение tg 60°
Котангенс
Котангенс не меньше похож на тангенс, чем синус на косинус, между ними тоже наблюдается некая симетрия:
Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему
Котангенс отличается от тангенса тем, что делить надо наоборот — прилежащую углу А сторону AC на противолежащую BC.
Получается, что, например, котангенс 30° равен 17,3 деленому на 10, и таким образом котангенс 30° будет приблизительно равен 1,73.
Пример приближенного определения котангенса 45° изображен на следующем рисунке.
Должно быть совершенно очевидно, что tg 45° и сtg 45° оба равны единице, т.к. если противолежащий катет при делении на прилежащий равен единице, то и прилежащий катет при делении на противолежащий будет равен единице.
Котангенс на столько похож на тангенс, что его даже никогда нет на калькуляторе. Чтобы вычислить ctg 45° на калькуляторе надо единицу разделить на tg 45°.
Аналогичным способом приближенно вычисляем ctg 60°.
Все нужные точные значения тангенса и котангенса, которые надо знать, заключим в таблицу.
Этого достаточно, чтобы понять, что представляет из себя значение этих четырех тригонометрических функций для углов меньших 90°. В 10-11 классах понадобится умение быстро определять эти значения и для углов больше 90°, и для углов меньше нуля, да и измерять углы уже будут не в удобных градусах, а в радианах.
Есть простой способ научиться этому, если, конечно, нет желания зубрить эту таблицу и еще очень многое другое.
Синус и косинус — презентация онлайн
Похожие презентации:
Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)
Применение производной в науке и в жизни
Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»
Знакомство детей с математическими знаками и монетами
Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10
Методы обработки экспериментальных данных
Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ
Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии
Дифференциальные уравнения
Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи
1. Занимательная математика
2. Синус и косинус.
3. Синус и косинус.
Ребята, давайте отметим на числовой окружности точку Р, посмотрите рисунок,наша точка Р соответствует некоторому числу t числовой окружности,
тогда абсциссу точки Р будем называть косинусом числа t и обозначать cos(t),
а ординату точки Р назовем синусом числа t и обозначим sin(t).
А как будет выглядеть запись синуса и
косинуса на математическом языке?
Давайте посмотрим:
Наша точка Р(t) = Р(x,y)
тогда:
X = cos(t)
Y = sin(t)
4. Тангенс и котангенс.
Так же важно определить понятие тангенса и котангенса числа t числовой окружности,запишем определения:
Отношение синуса числа t к косинусу
называют тангенсом числа t и обозначают tg(t).
Отношение косинуса числа t к синусу
называют котангенсом числа t и обозначают ctg(t).
того
же
числа
того
же
числа
Стоит заметить, так как на 0 делить нельзя, то, для
тангенса cos(t) ≠ 0, а для котангенса sin(t) ≠ 0
5. Синус и косинус.
Давайте вспомним уравнение числовой окружности:нашему числу Х соответствует абсцисса координатной плоскости, а числу Y –
ордината, посмотрим определение синуса и косинуса на первом слайде и получим:
Важно, запомните!
Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса в четвертях окружности:
6.
Синус и косинус.не сущ. – не существует значение, т.к. на 0 делить нельзя7. Синус и косинус.
Для любого числа t справедливы равенства:sin(-t) = -sin(t)
cos(- t) = cos(t)
sin(t + 2π •k ) = sin(t)
cos(t +2π •k ) = cos(t)
tg(- t) = -tg(t)
ctg(- t) = -ctg(t)
sin(t + π ) = -sin(t)
cos(t +π ) = -cos(t)
sin(t + π/2 ) = cos(t)
cos(t +π/2 ) = -sin(t)
tg(t + π •k ) = tg(t)
ctg(t +π •k ) = ctg(t)
8. Синус и косинус.
Для чего нужны синусы и косинусы в обычной жизни?На практике синусы и косинусы применяются во всех инженерных специальностях,
особенно в строительных. Их используют моряки и летчики в расчетах курса
движения. Не обходятся без синусов и косинусов геодезисты, и даже
путешественники. В географии применяют для измерения расстояний между
объектами, а также в спутниковых навигационных системах.
9. Синус и косинус.
Вычислить синус и косинус t при: t=53π/4Решение:
Т.к. числам t и t+2π•k (k-целое число) соответствует одна и тоже точка числовой окружности:
53π/4 = (12 + 5/4) • π = 12π +5π/4 = 5π/4 + 2π•6
Воспользуемся свойством sin(t + 2π •k ) = sin(t), cos(t +2π •k ) = cos(t)
sin(5π/4 + 2π•6 ) = sin(5π/4 ) = sin(π/4 + π)
cos(5π/4 + 2π•6 ) = cos(5π/4 )= cos(π/4 + π)
Воспользуемся свойством sin(t + π ) = -sin(t), cos(t +π) = -cos(t)
sin(π/4 + π )=-sin(π/4 )
cos(π/4 + π)=-cos(π/4 )
Из таблицы значений синуса и косинуса получаем:
sin(53π/4 ) =
cos(53π/4 ) =
10.
Синус и косинус.Вычислить синус и косинус t при: t= -49π/3Решение:
Т.к. числам t и t+2π•k (k-целое число) соответствует одна и тоже точка числовой окружности то:
-49π/3 = -(16 + 1/3) • π = -16π +(-π/3) = (-π/3) + 2π•(-8)
Воспользуемся свойством sin(t + 2π •k ) = sin(t), cos(t +2π •k ) = cos(t)
sin(-π/3 + 2π•(-8) )=sin(-π/3 )
cos(-π/3 + 2π•(-8) )=cos(-π/3 )
Воспользуемся свойством sin(- t) = -sin(t), cos(- t) = cos(t)
sin(-π/3)=-sin(π/3 )
cos(-π/3)=cos(π/3 )
Из таблицы значений синуса и косинуса получаем:
sin(-49π/3 ) = cos(-49π/3)=
Решить уравнение a) sin(t)=
,
б) sin(t) >
Решение:
sin(t) – из определения, это ордината точки числовой окружности.
Значит на числовой окружности нужно найти точки с ординатой
и записать, каким числам t, они соответствуют — точки F и G на рисунке.
а) Точка F и G имееют координаты:
π/3 +2 π •k и 2π/3 +2 π •k
б) Уравнению y > ½ это дуга FG тогда:
π/3 +2 π •k <t<2π/3 +2 π •k
Ответ : a) t= π/3 +2 π •k и t= 2π/33 +2 π •k
б)π/3 +2 π •k <t<2π/3 +2 π •k
Решить уравнение а)cos(t)=1/2 б) cos(t)>1/2
cos(t) – из определения, это абсцисса точки числовой окружности.
Значит на числовой окружности нужно найти точки с абсциссой равной 1/2
и записать, каким числам t, они соответствуют –
точки F и G на рисунке
а) Точка F и G соответствуют координаты:
-π/3 +2 π •k и π/3 +2 π •k
б) Уравнению x >1/2
соответствует дуга FG тогда:
-π/3 +2 π •k <t< π/3 +2 π •k
Ответ : а) t= -π/3 +2 π •k и t=π/3 +2 π •k
б) –π/3 +2 π •k <t< π/3 +2 π •k
13. Синус и косинус.
Вычислить тангенс и котангенс t при: t= -7π/3Решение:
Т.к. числам t и t+2π•k (k-целое число) соответствует одна и тоже точка числовой окружности то:
-7π/3 = -(2 + 1/3) • π = -2π +(-π/3) = (-π/3) + 2π
Воспользуемся свойством tg(x+ π •k ) = tg(x), ctg(x+π •k ) = ctg(x)
tg((-π/3) + 2π ) = tg(- π/3)
сtg((-π/3) + 2π ) = сtg(- π/3)
Воспользуемся свойством tg(-x) = -tg(x), ctg(-x) = -ctg(x)
tg(-π/3)=-tg(π/3 )
сtg(-π/3)=-сtg(π/3 )
Из таблицы значений получаем:
tg(-7π/3) = -tg(π/3 ) =
сtg(-7π/3) = -сtg(π/3 ) = —
14.
Синус и косинус. 1) Вычислить синус и косинус t при: t=61π/6, t= -52π/32) Решить уравнение a) sin(t)= -½, б) sin(t) > -½ в) sin(t) < -½
3) Решить уравнение а) cos(t) = -½, б) cos(t) > -½, в) cos(t) < ½,
4) Вычислить тангенс и котангенс t при: а) t= 19π/6 б) t= 41π/4
English Русский Правила
, используя фундаментальные тождества, упрощают выражение cot t + tg t/sec (-t)
Вопрос
Пошаговый ответ
с помощью фундаментальных тождеств упростить выражение cot t + tg t/сек (-t)
с помощью фундаментальных тождеств упростить выражение cot t + tan t/ сек (-t)
Видеоответ:
Решено проверенным экспертом
Вопрос о наилучшем совпадении:
с помощью фундаментальных тождеств упростить выражение cot t + tan t/sec (-t)
Рекомендуемые видео
Расшифровка В этой задаче мы используем фундаментальные тождества для упрощения cot of t плюс тангенс t, деленный на секанс.
Минус t- и первое, что нужно сделать, это фактически использовать тождества для cot для t и tan для начала, чтобы тождества были. Детская кроватка t в основном имеет форму cos ansin, так что это будет cos of t. Таким образом, вы можете написать, что это cos t, деленный на синус t, так что это cos t, деленный на синус t, учитывая, что cot t в основном является обратным значением tan t или tan t является обратным cot t В любом случае вы можете выразить, что можете сказать, что tan of t — это ничто, но таковы здесь тождества. Tan от t — это ничто, но синус от t равен обратному отношению синуса от t, деленного на cos от t. Другое важное тождество, которое нужно понять, состоит в том, что секанс минус t, секанс t, будет равен 1, деленному на cos минус t 1. Более важным тождеством, которое вы, возможно, захотите реализовать, является cos of. T равно cos минус d, так что это тоже важная идентичность, поэтому любая положительная стоимость будет равна cos минус 3. Так, например, стоимость 30 градусов будет равна cos минус 30 градусов.
И затем я собираюсь сказать, что синус t делится на cos t как есть, а затем, если вы посмотрите на знаменатель здесь, он говорит: 1 разделить на cos минус t точки. Итак, если вы возьмете это в числитель, вы получите то, что вы получите, как косинус минус t, деленный на 1 балл, хорошо, так что это будет в основном обратное отношение к косинусу минус t, деленному на 1 балл. Итак, что тогда произойдет, так это то, что вы на самом деле теперь можете упростить его немного лучше, потому что t делится на синус t, поэтому мы можем сохранить все эти выражения как они есть, и плюс теперь вы можете видеть, что я могу написать этот термин. Это не что иное, как t? Причина довольно проста. Это потому, что cos t равен cos минус t. Следовательно, мы можем сказать, что мы можем сказать, что эти два члена могут сокращаться, как они есть, поэтому то, что у вас останется, это просто синус t. Хорошо. Поэтому я могу сказать, что это не что иное, как синус t и деленный на 1. Как и сейчас, если вы возьмете l c m, вы можете взять синус t как l c m, а затем вы умножите так, что получится cos t плюс квадрат синуса t, потому что это преобразование синуса t в синус t, так что это окончательное упрощение, которое будет окончательным упрощением с точки зрения того, как можно упростить выражение cot t плюс tan t, деленное на секунду минус t точки.
Поделиться вопросом
Добавить в плейлист
Хммм, похоже, у вас нет плейлистов. Пожалуйста, добавьте свой первый плейлист.
`
Свойства, химическая структура и применение
Тригонометрия, одна из наиболее важных областей математики, имеет множество применений. Тригонометрия — это раздел математики, который в основном фокусируется на отношениях между сторонами и углами прямоугольных треугольников. Таким образом, отсутствующие или неизвестные углы или стороны прямоугольного треугольника можно найти с помощью тригонометрических формул, функций или тождеств. Тригонометрия позволяет выражать углы как в градусах, так и в радианах. Наиболее часто в расчетах используются тригонометрические углы: 0°, 30°, 45°, 60° и 9°.
Существуют две другие подотрасли классификации тригонометрии. Две разновидности тригонометрии следующие:
- Плоская тригонометрия
- Сферическая тригонометрия
Тригонометрические формулы или тождества — это уравнения, которые верны в случае прямоугольных треугольников. Некоторые из специальных тригонометрических тождеств приведены ниже –
тождества Пифагора
- sin²θ + cos²θ = 1
- Tan2 θ + 1 = sec2θ
- Cot2 θ + 1 = cosec2θ
- Sin2 θ = 2 sin θ cos θ
- Cos2 θ = cos²θ – sin²θ
- Tan2 θ = 2 tan θ / (1 – tan²θ)
- Кот2 θ = (кот²θ – 1) / 2 кроватка θ
Тригонометрические углы 0°, 30°, 45°, 60° и 90° часто используются в задачах тригонометрии. Тригонометрические отношения этих углов, такие как синус, косинус и тангенс, легко запомнить.
Студенты также покажут таблицу, в которой перечислены все отношения и значения каждого угла. Учащиеся должны нарисовать прямоугольный треугольник, в котором один из острых углов соответствует углу тригонометрии, чтобы получить эти углы. Эти углы будут описаны по отношению к соответствующему соотношению. 9Описание состава 0069 Cot Tan Formula приведено ниже.
Например, в прямоугольном треугольнике
θ = tan-1 (Перпендикуляр/Основание)
Стороны прямоугольного треугольника делятся на шесть тригонометрических отношений. Tan — это отношение основания к высоте прямоугольного треугольника, а Cot Tan Formula — это отношение основания к высоте прямоугольного треугольника. Согласно Cot Tan Формула , Cotθ и Tanθ имеют обратную зависимость.
Два тригонометрических отношения котангенса и тангенса обратно связаны в этой формуле Кот Тангенса . Tanθ — отношение основания к высоте прямоугольного треугольника, а Cotθ — отношение высоты основания к высоте прямоугольного треугольника.
Cot Tan Formula полезен для студентов, которые решают вопросы по тригонометрии.
Cotθ = 1/Tanθ
Какая связь между Cotθ и Tanθ?Отношение угла Cot Tan Formula к cos угла в формуле тангенса известно как закон cot или тангенса, также известный как Cot Tan Formula или правило тангенса cot.
Tan Theta = Противоположная сторона / Смежная сторона
Cot Theta = Смежная сторона / Противоположная сторона
Cot – Tan x формула Тригонометрические отношения треугольника также называются тригонометрическими функциями. Сокращения sin, cos и tan обозначают три основные тригонометрические функции: синус, косинус и тангенс. Студенты будут изучать, как эти отношения или функции оцениваются при наличии прямоугольного треугольника. Для студентов, которые хотят правильно отвечать на вопросы, Cot Tan Formula и связанные с ним справочные материалы, размещенные на веб-сайте Extramarks, окажутся полезными.
Посмотрите на прямоугольный треугольник. Его самая длинная сторона называется гипотенузой, а смежные и противоположные стороны — смежными противоположными сторонами.
Соотношение между длинами сторон и углами прямоугольного треугольника находится в центре внимания основной математической области тригонометрии. Шесть тригонометрических отношений или функций: sin, cos, тангенс, cosec, sec и котангенс. где отношение сторон прямоугольного треугольника используется для представления тригонометрического отношения. Формула Cot Tan — важная формула, которую учащиеся могут использовать при решении вопросов.
- sin θ = противолежащая сторона/гипотенуза
- cos θ = смежная сторона/гипотенуза
- tan θ = противоположная сторона/прилегающая сторона
- cosec θ = 1/sin θ = гипотенуза/противоположная сторона
- с θ = 1/cos θ = гипотенуза/прилежащая сторона
- кроватка θ = 1/tan θ = соседняя сторона/противоположная сторона
Функция, обратная заданной функции тангенса, называется функцией котангенса.
Отношение длины стороны, следующей за заданным углом, к длине стороны, противоположной заданному углу, определяет значение котангенса угла в прямоугольном треугольнике. Функция котангенса обозначается аббревиатурой «кроватка».
Ниже приведены несколько примеров, которые были решены с помощью Cot Tan Formula . Студенты сочтут это полезным, когда они будут появляться на экзамене.
- Покажите, что (cosec A – sin A)(sec A – cos A) = 1/(tan A + cot A)
LHS = (cosec A – sin A)(sec A – cos A)
= [(1/sin A) – sin A][(1/cos A) – cos A] [(1 – sin2A)/ sin A] [(1 – cos2A)/cos A] = (cos2A/sin A) (sin2A/cos A)
= sin2A cos2A/sin A cos A
= sin A cos A
RHS = 1/(tan A + cot A)
= 1/[tan A + (1/tan A)] = tan A/ (tan2A + 1)
= tan A/sec2A
= tan A cos2A
= (sin A/cos A) cos2A
= sin A cos A
Следовательно, LHS = RHS
(cosec A – sin A)(sec A – cos A) = 1/ (tan A + cot A)
Есть несколько вопросов, которые упоминаются для студентов, чтобы помочь им понять концепцию тригонометрии.