Теорема умножения для независимых событий: Теорема умножения вероятностей: формула и примеры решений

Содержание

Теорема умножения вероятностей: формула и примеры решений

Содержание:

  • Формулировка теоремы умножения вероятностей
  • Примеры решения задач

Формулировка теоремы умножения вероятностей

Теорема

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место.

$P(A B)=P(A) \cdot P(B | A)$

Событие $A$ называется \lt strong>независимым от события \lt /strong>$B$, если вероятность события $A$ не зависит от того, произошло событие $B$ или нет. Событие $A$ называется зависимым от события $B$, если вероятность события $A$ меняется в зависимости от того, произошло событие $B$ или нет.

Вероятность события $A$, вычисленная при условии, что имело место другое событие $B$, называется \lt strong>условной вероятностью события \lt /strong> $A$ и обозначается $P(A | B)$ .

Условие независимости события $A$ от события $B$ можно записать в виде:

$$P(A | B)=P(A)$$

а условие зависимости — в виде:

$$P(A | B) \neq P(A)$$

Следствие 1. Если событие $A$ не зависит от события $B$, то и событие $B$ не зависит от события $A$ .

Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

$$P(A B)=P(A) \cdot P(B)$$

Теорема умножения вероятностей может быть обобщена на случай произвольного числа событий. В общем виде она формулируется так.

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:

$$P\left(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\right)=P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(A_{2} | A_{1}\right) \cdot P\left(A_{3} | A_{1} A_{2}\right) \cdots \cdots P\left(A_{n} | A_{1} A_{2} \ldots A_{n-1}\right)$$

В случае независимых событий теорема упрощается и принимает вид:

$$P\left(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\right)=P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(A_{2}\right) \cdot P\left(A_{3}\right) \cdot \ldots \cdot P\left(A_{n}\right)$$

то есть вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

$$P\left(\prod_{i=1}^{n} A_{i}\right)=\prod_{i=1}^{n} P\left(A_{i}\right)$$

Примеры решения задач

Пример

Задание. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два шара и назад не возвращаются. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение. Пусть событие $A$ — появление двух белых шаров. Это событие представляет собой произведение двух событий:

$$A=A_{1} A_{2}$$

где событие $A_1$ — появление белого шара при первом вынимании, $A_2$ — появление белого шара при втором вынимании. Тогда по теореме умножения вероятностей

$$P(A)=P\left(A_{1} A_{2}\right)=P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(A_{2} | A_{1}\right)=\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{10}=0,1$$

Ответ. $0,1$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. После первого вынимания шар возвращается в урну, и шары в урне перемешиваются. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение. В данном случае события $A_1$ и $A_2$ независимы, а тогда искомая вероятность

$$P(A)=P\left(A_{1} A_{2}\right)=P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(A_{2}\right)=\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5}=\frac{4}{25}=0,16$$

Ответ. $0,16$

Сформулируйте теорему умножения вероятностей для независимых событий.

* Вероятность одновременного появления в результате опыта двух и более независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

  1. В каких случаях применяется теорема умножения вероятностей для независимых событий?

*Когда требуется вычислить вероятность одновременного появления нескольких независимых событий

  1. Как записывается формула теоремы умножения вероятностей для зависимых событий?

* Р (А и В)=Р(В)*Р(А/В)

  1. В каких случаях применяется теорема умножения вероятностей для зависимых событий?

* Когда необходимо рассчитать вероятность одновременного появления нескольких зависимых событий

  1. Как записывается формула теоремы полной вероятности?

  1. В каких случаях применяется формула полной вероятности?

* Когда событие А наст только при усл появления одного из событий образующих полн группу

  1. В каких случаях применяется формула Байеса?

* Когда событие А появляющееся совместно с каким-либо из событий образующих полную группу произошло и требуется произвести количественную переоценку вероятностей гипотез В

1, В2, Вn.

Тема: Элементы теории вероятностей

Задачи

  1. Из 900 больных, поступивших в хирургическое отделение больницы, 150 человек имели травмы. Какова относительная частота поступления травмированных больных? (Ответ: 0,17.)

  2. В институт было подано 1250 заявлений о приеме от девушек и 1050 — от юношей. Какова относительная частота подачи заявлений от девушек? (Ответ: 0,54)

  3. Грани правильного тетраэдра пронумерованы: 1,2,3,4. Какова вероятность того, что при бросании тетраэдр станет на грань с цифрой 2? Предполагается, что тетраэдр сделан из однородного материала. (Ответ: 0,25)

  4. Студент подготовил к экзамену 25 билетов из 40. Какова вероятность того, что он «вытащит» выученный билет? (Ответ: 0,625)

  5. В урне находится 10 шаров: 3 белых, 5 черных и 2 красных. Из урны извлекается черный шар и в урну не возвращается. Какова вероятность извлечь после этого черный шар? (Ответ: 0,44)

  6. В коробке находятся 5 синих, 10 черных и 15 красных карандашей. Какова вероятность того, что первый наугад вынутый карандаш окажется синим или красным? (Ответ: 0,67)

  7. Стрелок стреляет по мишени, имеющей 3 области. Вероятность попасть в первую область равна 0,3, вероятности попасть во вторую и третью области равны, соответственно, 0,25 и 0,45. Найти вероятность того, что, выстрелив один раз, стрелок попадет в первую или во вторую область. (Ответ: 0,55)

  8. Вероятность того, что день будет дождливым, равна 0,6. Найти вероятность того, что день будет ясным. (Ответ: 0,4)

  9. Три врача независимо друг от друга осмотрели одного и того же больного. Вероятность того, что первый врач установит верный диагноз, равна 0,8. Для второго и третьего врачей эти вероятности соответственно, равны 0,7 и 0,9. Определить вероятность того, что все врачи поставят правильный диагноз. (Ответ: 0,5)

  10. Два врача независимо друг от друга осмотрели одного и того же больного. Вероятность того, что первый врач установит верный диагноз, равна 0,8. Для второго врача эта вероятность равна 0,7. Определить вероятность того, что оба врача поставят ошибочный диагноз. (Ответ: 0,06)

  11. Дальтоник воспринимает красный и зеленый цвет как серый. В корзине находятся два красных, 4 зеленых, 2 белых и 2 черных шара. Какова вероятность того, что наугад вытянутый дальтоником шар окажется для него «серым»? (Ответ: 0,6)

  12. На приеме у врача находятся 15 больных. Пятеро из них больны ветрянкой. Определить вероятность того, что два наугад вызванных пациента не больны ветрянкой? (Ответ: 0,43)

  13. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Определить вероятность того, что студент не знает предложенные экзаменатором два вопроса. (Ответ: 0,03)

  14. Для некоторой местности среднее число пасмурных дней в июле равно шести. Найти вероятность того, что первого и второго июля будет пасмурно.(Ответ: 0,032)

  15. Найдите вероятность того, что в семьях с двумя детьми оба ребенка — мальчики. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. (Ответ: 0,265)

Правило вероятности умножения | Теорема умножения о вероятности

Правило умножения вероятности определяет условие между двумя данными событиями. Для двух событий, A и B, связанных с пространством выборки S, A ∩ B обозначает события, в которых произошли оба события. Это также известно как теорема умножения в вероятности. Вероятности двух заданных событий перемножаются, чтобы получить вероятность того, что эти события произойдут одновременно.

1. Что такое правило умножения вероятности?
2. Правило умножения формулы вероятности
3. Правило умножения вероятностного доказательства
4. Правило умножения вероятности для n событий
5. Вероятностное правило умножения Примеры
6. Часто задаваемые вопросы о правиле умножения вероятности

Что такое правило умножения вероятности?

Правило вероятности умножения гласит, что всякий раз, когда событие является пересечением двух других событий, то есть события A и B должны произойти одновременно. Тогда P(A и B)=P(A)⋅P(B). Множество A ∩ B обозначает одновременное появление событий A и B, то есть множество, в котором произошли оба события A и событие B. Событие A∩B можно записать как AB. Вероятность события AB получается с использованием свойств условной вероятности, которая задается как P (A ∩ B) = P (A) P (B | A).

Правило умножения вероятности для зависимых событий

Если исход одного события влияет на исход другого, то такие события называются зависимыми событиями. Иногда возникновение первого события влияет на вероятность второго события. Из теоремы имеем P(A ∩ B) = P(A) P(B | A), где A и B — независимые события.

Правило умножения вероятности для независимых событий

Если исход одного события не влияет на исход другого, то такие события называются независимыми событиями. Правило умножения вероятности для зависимых событий может быть распространено на независимые события. Имеем P(A ∩ B) = P(A) P(B | A), поэтому, если события A и B независимы, то P(B | A) = P(B), и, таким образом, приведенное выше теорема сводится к P(A ∩ B) = P(A) P(B). Это означает, что вероятность того, что оба события произойдут одновременно, является произведением их соответствующих вероятностей.

Правило умножения формулы вероятности

Правило умножения вероятности гласит, что вероятность того, что события A и B произойдут вместе, равна вероятности того, что B произойдет, умноженной на условную вероятность того, что A произойдет при условии, что B произойдет.

  • Правило умножения можно записать как P(A∩B)=P(B)⋅P(A|B).
  • Общее правило умножения вероятности можно получить простым способом, просто умножив обе части уравнения условной вероятности на знаменатель.

Правило умножения вероятностного доказательства

Вероятность пересечения двух событий, А и В, получается с использованием свойств условной вероятности.

  • Мы знаем, что условная вероятность события A при условии, что произошло B, обозначается P(A|B) и определяется как: P(A|B) = P(A∩B)P(B), где , Р(В)≠0. P(A∩B) = P(B)×P(A|B) …….(1)
  • P(B|A) = P(B∩A)P(A), где P(A) ≠ 0. P(B∩A) = P(A)×P(B|A)
  • Так как P(A∩B) = P(B∩A), P(A∩B) = P(A)×P(B|A) ……..(2)
  • Из (1) и (2) P(A∩B) = P(B)×P(A|B) = P(A)×P(B|A), P(A) ≠ 0,P( Б) ≠ 0. Следовательно, полученный таким образом результат известен как правило умножения вероятности.
  • Для независимых событий A и B P(B|A) = P(B). Уравнение (2) можно изменить следующим образом: P(A∩B) = P(B) × P(A)

Правило умножения вероятности для n событий

Теперь, чтобы получить правило умножения вероятности для n событий, распространение теоремы умножения вероятности на n событий для n событий A 1 , A 2 , … , A n , имеем P(A 1 ∩ A 2 ∩ … ∩7 n ) = P(A 8 ) = P(A 1 ) | A 1 ) P (A 3 | A 1 ∩ A 2 )… × P (A N | 1 2 ∩… a N-1 )

Для n независимых событий теорема умножения сводится к виду0098 ) … P(A n ).

Связанные темы

Следующие связанные темы помогают лучше понять правило умножения вероятности.

  • Вероятность и статистика
  • Вероятностные правила
  • Взаимоисключающие события
  • Независимые события
  • Биномиальное распределение
  • Формула Байе
  • Формула распределения Пуассона

 

Правило вероятностей умножения Примеры

  1. Пример 1: Какова вероятность того, что на обычном шестигранном кубике выпадет 5, а затем 2?

    Решение:

    Пространство выборки = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

    Всего событий = 6

    Вероятность получения 5 = 1/6

    Вероятность получения 6 = 1 /6

    Применение правила умножения вероятности для независимых событий,

    P(получение 5, а затем 2 ) = (1/6).(1/6) = 1/36.

    Следовательно, вероятность выпадения 5, а затем 2 на обычном шестигранном кубике равна 1/36.

  2. Пример 2: Две карты выбираются без замены первой карты из колоды. Найти вероятность выбора короля, а затем выбора ферзя.

    Решение:

    Всего событий = 52

    Поскольку первая карта не заменена, события зависимы.

    Вероятность выбора короля = P(K) = 4/52

    Вероятность получения дамы = P(Q) = 4/51 (одна карта, взятая первой, не была заменена)

    P(король и тогда ферзь) = P(K).P(Q|K)

    =4/52 . 4/51 = 16/2652 = 1/166.

    Таким образом, вероятность выбора короля, а затем ферзя равна 1/166.

перейти к слайдуперейти к слайду

Отличное обучение в старшей школе с использованием простых подсказок

Увлекаясь зубрежкой, вы, скорее всего, забудете понятия. С Cuemath вы будете учиться визуально и будете удивлены результатами.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по правилу умножения вероятности

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о правиле умножения вероятности

Что такое теорема умножения вероятности?

Согласно теореме умножения вероятности, вероятность одновременного возникновения двух событий A и B равна произведению вероятности другого события при условии, что произошло первое. Это называется теоремой умножения вероятности.

Почему мы используем правило умножения в вероятности?

Используя правило умножения, мы можем рассчитать вероятность того, что события A и B произойдут вместе, при условии, что события A и событие B происходят по отдельности.

Как найти вероятность 3 событий, используя правило умножения вероятности?

В случае трех событий, A, B и C, правило умножения задается как вероятность пересечения P(A и B и C) = P(A)P(B|A)P(C |А и Б).

Как использовать правило умножения вероятности?

В случае, если одновременно происходят два события, просто умножьте вероятность первого события на второе. Например, если вероятность события А равна 2/7, а вероятность события В равна 5/7, то вероятность того, что оба события произойдут одновременно, вычисляется с использованием правила умножения вероятности, т. е. (2/7) *(5/7) = 10/49.

Правило умножения используется для расчета вероятности какого типа?

Правило умножения вычисляет вероятность одновременного возникновения нескольких событий, используя известные вероятности отдельных событий.

Что такое правило умножения вероятности для зависимых событий?

В случае зависимых событий, применяя правило умножения вероятности, вероятность событий определяется как P(A и B)=P(A)⋅P(B | A), где A и B происходят одновременно

Что такое правило умножения вероятности для независимых событий?

Если A и B являются двумя независимыми событиями, то согласно правилу умножения вероятность того, что оба события произойдут одновременно, определяется как P(A и B)=P(A)⋅P(B)

Скачать учебные материалы БЕСПЛАТНО

Рабочий лист правила умножения

Теорема умножения о вероятности | Бесплатная помощь с домашними заданиями

Теорема умножения о вероятности https://schooltutoring.com/help/wp-content/themes/movedo/images/empty/thumbnail.jpg 150 150 ШколаРепетиторская Академия ШколаРепетиторская Академия https://secure.gravatar.com/avatar/983a20e95a059722e4981790f518b20b?s=96&d=mm&r=g

Вероятность наступления события легко найти с помощью определения вероятности. Но просто определение не может быть использовано для нахождения вероятности наступления обоих данных событий. Теорема, известная как «теорема умножения», решает такие проблемы. Формулировка и доказательство «теоремы умножения» и ее использование в различных случаях таковы.

Теорема умножения на вероятность:

Если A и B являются любыми двумя событиями выборочного пространства такими, что P(A) ≠0 и P(0,3) ≠ 90 и

P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = P(B) *P(A|B).

Пример:  Если P(A) = 1/5  P(B|A) = 1/3 , то что такое P(A ∩ B)?

Решение: P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = 1/5 * 1/3 = 1/15

Независимые события:

Два события A и B называются независимыми, если нет изменений в наступлении одного события при наступлении другого события.

т. е. два события A и B называются независимыми, если

P(A|B) = P(A), где P(B)≠0.

P(B|A) = P(B), где P(A)≠0.

т. е. два события A и B называются независимыми, если

P(A∩B) = P(A) * P(B).

Пример:

При раскладывании колоды пусть A будет событием вытягивания бубна, а B — событием вытягивания туза.

Тогда P(A) = 13/52 = 1/4 и P(B) = 4/52=1/13

Теперь A ∩ B = вытягивание карты короля из червей.

Тогда P(A∩B) =  1/52

Теперь P(A/B) = P(A∩B)/P(B) = (1/52)/(1/13) = 1/ 4 = Р(А).

Итак, A и B независимы.

[Здесь P(A∩B) = =    = P(A) * P(B)]

Примечание:

(1)    Если 3 события A,B и C независимы, то

P(A∩B∩C) = P(A)*P(B)*P(C).

(2)    Если A и B — любые два события, то P(AUB) = 1-P(A’)P(B’).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *