8.2. Теоремы о вычетах и их применение к вычислению контурных интегралов
Теорема 1. (Основная теорема Коши о вычетах). Если функция аналитична в области, за исключением изолированных особых точекто для любого замкнутого контура, охватывающего эти точки
. (8.8)
Основная теорема о вычетах имеет важное значение для приложений. Она позволяет вычислять интегралы по закнутому контуру от функции комплексного переменного, не прибегая к первообразным или криволинейным интегралам. С помощью вычетов вычисляются определенные и несобственные интегралы от функций действительного переменного. При вычислении некоторых интегралов удобно пользоваться теоремой о сумме вычетов.
Теорема 2. Если функция аналитична в расширенной плоскости (т.е. включающей точку ), за исключением конечного числа изолированных особых точек то
(8.9)
или
.
(8.10)
а) б)
в) г)
Решение. Особые точки данных функций и их характер определены в примере 97. Итак,
а) полюс 3-го порядка, поэтому по формуле (8.5) находим
б) простые полюсы, поэтому, воспользовавшись формулой (8.4), получаем
в) устранимая особая точка, следовательно,. Точкапростой полюс, согласно (8.3) имеем
.
Точки простые полюсы, тогда (8.4) получим
г) существенно особая точка. Для определения вычета относительно существенной точки надо получить разложение функции в окрестности этой точки. Как было показано в примере
97г) Согласно (8.2)
102. Вычислить вычеты относительно точки для функций:
а) б)
в)г)
Решение.
Вычет функции относительно бесконечной
удаленной точки можно определять по
формуле (8.7), для чего необходимо получить
лорановское разложение в окрестности
данной точки.
а) Так как устранимая особая точкато лорановское разложение не содержит положительных степеней (главную часть), но содержит правильную часть, поэтому найдем ряд Лорана для данной функции в окрестностиоткуда видно, чтоследовательно,
Из примера следует, что вычет функции относительно бесконечно удаленной устранимой особой точки может оказаться отличным от нуля.
б) Как показано в примере 98 в), ряд Лорана в окрестности для данной функции имеет вид.Так как в разложении слагаемоеотсутствует, то
в) Как показано в примере 98 г), откуда следует, что
г)
Разложить функцию в ряд Лорана с тем,
чтобы вычислить вычет по формуле (8.7)
трудно. Для вычисления вычета относительно
бесконечно удаленной точки удобнее
воспользоваться формулой (8.
10). В этом
случае нужно просто найти вычеты функции
относительно её конечных изолированных
особых точек
и.
Итак, по формуле (8.10) имеемУказанные точки являются полюсами 2-го
порядка. Тогда в силу (8.5) находим
Аналогично находим
Таким образом, .
103. Используя теоремы о вычетах, вычислить контурные интегралы:
а) ; б); в) , где квадрат, ограниченный прямыми ,
, ,;
г) ; д) .
Рис.8.1 | Решение. а) Подынтегральная функция имеет четыре простых полюса, из которых три :,,лежат в круге(рис.8.1). По основной теореме о вычетах (8.8) имеем |
Вычеты вычисляем по формуле (8.4) , значит,,. Следовательно,.
б)
Подынтегральная функция
имеет две особые точки, из которыхпростой полюс,полюс 3-го порядка; причемнаходится в круге.
Поэтому.
По формуле (8.5).
Таким образом,.
в) Подынтегральная функция имеет три особых
Рис.8.2 | точки ,,. Нолежит вне квадрата (рис.8.2). Вычеты функции относительно ее простых полюсовиопределяем по формуле (8.4), положив,. Тогда в силу (8.8) получаем |
.
г) Функция аналитична в кругевсюду, кроме точки. Для определения типа особенности и вычета необходимо разложить функцию в ряд Лорана в кольце. Предварительно найдем
.
Легко видеть, что разложение функции содержит бесконечно много членов с отрицательными степенями; значитсущественно особая точка. Так как вычет равен коэффициенту при, то получаем. Следовательно,
.
д) Подынтегральная функция имеет 3 особых точки: полюс 6-го порядка,простые полюсы, и все они принадлежат кругу. Можно применить основную теорему о вычетах, но удобнее вычислять, пользуясь вычетом относительно бесконечно удаленной точки:
.Разложение подынтегральной функции в ряд Лорана в окрестности точки можно получить, деля числитель на знаменатель по правилу деления многочленов. Здесь, значит,, следовательно,.
1.7.3. Вычисление определенных двойных интегралов с помощью вычетов.
| В. И. ЕЛИСЕЕВ ВВЕДЕНИЕ В МЕТОДЫ ТЕОРИИ
ФУНКЦИЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО |
|
|
1.7.3. Вычисление определенных двойных интегралов с помощью вычетов.
Теоремы о вычетах позволяют сводить вычисление интегралов от комплексных пространственных функций по замкнутой поверхности к нахождению вычетов подынтегральных функций внутри этой замкнутой поверхности . Тем же способом можно вычислить двойные интегралы от действительных переменных . Для этого достаточно подобрать пространственную функцию , проекция которой на плоскость Z , соответствовала бы вычисляемому интегралу. Наличие изолированного направления в пространстве вносит свои особенности в отыскание исходной пространственной функции.
Если функция имеет изолированные точки в
Z плоскости и изолированные точки в верхнем или нижнем полупространстве то возможны варианты. Изолированные точки в Z плоскости можно исключить из рассмотрения , заключив их в полусферы. В этом случае критическими точками становятся пространственные точки , определенные на основе существования делителей нуля и могут рассматриваться независимо друг от друга. Двойной интеграл в пространствепредставим последовательно следующим образом. Подынтегральную функцию представим в виде суммы действительной первой и первой мнимой частью.Элементарная площадка
.
Составим интеграл
.
Учитывая преобразования ,которые проводились в предыдущем разделе, по преобразованию элементарных проекционных площадок , определим проекцию этого интеграла на комплексную плоскость Z .
, где .
Интеграл имеет первые действительную и мнимую части ,как результат наличия в пространстве изолированного направления. Докажем одну из лемм. Предположим, дан двойной интеграл в плоскости Z.
, который сходится и подынтегральная функция имеет конечное число особых точек в комплексной плоскости Z .Теорему о вычетах применить к двойному интегралу нельзя, поэтому сведем вычисления в пространство вычетов. Плоскость Z замкнем поверхностью и рассмотрим интеграл , где.Пусть функция регулярна в комплексном верхнем пространстве , . Последнее не означает, что берется только , так как в пространстве существует изолированное направление , необходимо взять изолированное направление в верхнем пространстве
. Эта особенность диктует появление в проекции интеграла на плоскость Z первой мнимой части. Предположим , что функция имеет конечное число особых точек в верхней половине пространства.
По условию, если сходится , то сходится , где поверхность верней полусферы , включая и изолированное направление. Тогда по теореме Коши для многосвязных областей запишем равенство
, где первая сумма есть сумма вычетов особых точек, лежащих в плоскости Z, вторая сумма есть сумма вычетов функции по точкам изолированного направления , находящихся в верхнем полупространстве. Вторая сумма равна нулю, ибо имеем два эквивалентных разложения и второе эквивалентное разложение недопустимо , так как рассматривается только верхнее полупространство( нет сопряженного делителя для отыскания критических точек). Первая сумма в этом случае умножается на 2.
Доказательств. Область , охватываемая поверхностью , при бесконечном увеличении R, содержит все особые точки функции . По теореме Коши о вычетах имеем
.
Двойка перед суммами исчезает, так как она учитывается при разложении подынтегральной функции на два направления.
В силу условия
Пример1. Вычислить интеграл по плоскости Z от пространственной функции
,Рассмотрим подынтегральную функцию. В пространстве
функция имеет четыре не регулярные точки, которые являются корнями знаменателя : В верхнем полупространстве находятся три первых нерегулярных точек. Разложим функцию на сумму функций, для каждой из которой нерегулярной будет только одна точка. Для этого вначале представим функцию в виде. Первую дробь разложим на простейшие дроби по точкам , вторую дробь по точкам Последовательно проведем преобразования
. В этом разложении нас интересуют только дроби первые две , в которых нерегулярные точки являются полюсами второго порядка. Поэтому,
Аналогично вторая дробь примет вид
.
Таким образом , подынтегральная функция в пространстве разлагается на сумму четырех функций , обозначенных по порядку . По теореме Коши для многосвязных областей в пространстве составим интегральное соотношение
.
В этом интегральном равенстве имеем одну критическую точку
вне зависимости от способа ее определения. Критические точки исключены из области рассмотрения полусферами. Это как раз тот случай когда критические точки, определенные из условия существования в пространстве делителей нуля становятся обычными критическим точками независимыми друг от друга и могут быть разделены областью определения.Рассмотрим по порядку каждый из интегралов. Подынтегральная функция первого интеграла в соответствии с леммой представляет сумму проекций действительной и мнимой первой части от функций
,где к=1,2,3, так как рассматривается верхнее полупространство. Произведем выделение действительных и мнимых частей этих функций.
.
Для функции
получим:Рассмотрим функцию
.. Откуда имеем также действительную и мнимую части.. В результате подынтегральная функция в проекции на плоскость Z в соответствии с формулой , выведенной в (1.8.1), равна
[Следующий параграф]
Мини оглавление:
[0], [1.1.1, 1.1.2, 1.1.3,
1.1.4, 1.1.5, 1.1.6,
1.1.7, 1.1.8, 1.2,
1.2.1, 1.2.2, 1.2.2.a,
1.2.2.b, 1.2.2.c, 1.2.2.d, 1.2.2.e, 1.2.2.f, 1.2.2.g, 1.2.2.h, 1.2.3, 1.3.1,
1.3.2, 1.3.3, 1.3.4,
1.3.5, 1.3.6, 1.4.1,
1.4.2, 1.5, 1.6, 1.7.1, 1.7.2,
1.7.3.1, 1.7.3.2, 1.7.3.3,
1.7.4.1, 1.7.4.2, 1.8.1], [2.1, 2.2],[3.1, 3.2, 3.3,
3.4.1, 3.4.2, 3.
4.3,
3.4.4, 3.4.5],[4.1, 4.2, 4.3, 4.4],[5.1, 5.1.Рис.52, 5.2, 5.3,
5.4, 5.4.Т1, 5.4.Т2,
5.4.Т3, 5.5.1, 5.5.2,
5.5.3, 5.5.4],[6.1.1,
6.1.2, 6.2.1, 6.2.2,
6.2.3, 6.2.4, 6.2.5,
6.3, 6.4.1, 6.4.2,
6.5.1, 6.5.2],[7.1,
7.2, 7.3, 7.4,
7.5, 7.6, 7.7.1,
7.7.2, 7.8.1, 7.8.2,
7.8.3, 7.9],[8.1,
8.2.1, 8.2.2, 8.3,
8.4, 8.5, 8.6,
8.6.T1, 8.7, 8.8.1,
8.8.2, 8.8.3, 8.9.1,
8.9.2, 8.9.3, 8.10,
8.10.T2, 8.10.T3],[9.1,
9.2, 9.3, Рис.88,
89, 90, 91,
92, 93, 94,
95, 96, 97,
98, 99, 100],[10.1,
10.2, 10.3, 10.4,
10.5, 10.6, 10.7,
10.8, 10.9, 10.10,
10.11, 10.12, 10.13,
10.14, 10.15.1, 10.15.2,
10.16.1, 10.16.2, 10.17,
10.18],[11]
Размещенный материал является
электронной версией книги: ©
В.И.Елисеев, «Введение в методы теории функций
пространственного комплексного переменного»,
изданной Центром научно-технического
творчества молодежи Алгоритм.
3\): 92}\mathrm{d}x = \pi/e \simeq 1.156\]
Относительная ошибка: \(\sim 2.16\%\). Это совсем неплохо, учитывая, сколько вещей мы упустили в своих предположениях! Уродливый? Возможно. Аккуратный? Определенно!
комплексное интегрирование — Как вычислить интеграл по теореме Коши?
Задавать вопрос
спросил
9{i3\pi/4}}{4}\справа)\\\\ & = \ frac {\ pi} {\ sqrt 2} \end{align}$$$\endgroup$
4
$\begingroup$
Вам не нужен Wolfram Alpha, чтобы сказать вам, что ответ не равен нулю. Подынтегральная функция положительна, поэтому интеграл положителен и, конечно, отличен от нуля.
Вы подсчитали остатки на всех полюсах.