Теория сложения и умножения вероятностей: Сложение вероятностей — урок. Алгебра, 11 класс.

Содержание

Лекция 1.4. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Тема 1.4. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

План лекции:

Полная группа событий и условная вероятность.
Формула умножения вероятностей.
Формула сложения вероятностей.

Список литературы:

Вентцель, Е.С. Теория вероятностей [Текст] / Е.С. Вентцель. – М.: Высшая школа, 2006. – 575 с.
Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] / В.Е. Гмурман. — М.: Высшая школа, 2007. — 480 с.
Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] / Н.Ш. Кремер — М: ЮНИТИ, 2002. – 543 с.

п.1. Полная группа событий и условная вероятность

Множество попарно несовместных событий называют полной группой событий, если при любом исходе случайного эксперимента непременно наступает одно из событий, входящих в это множество.

Другими словами, для полной группы событий выполнены следующие условия:

появление одного из событий данного множества в результате испытания является достоверным событием, т.е. событие ;
события и () попарно несовместимы и – событие невозможное при любых , т.е. .

Простейшим примером полной группы событий является пара противоположных событий и .

Теорема. Сумма вероятностей событий полной группы равна единице:

Во многих случаях вероятности появления одних событий зависят от того, произошло другое событие или нет.

Вероятность события , вычисленная при условии, что произошло другое событие , называется условной вероятностью события и обозначается .

Вероятность каждого события в данном испытании связана с наличием известного комплекса условий. При определении условной вероятности мы полагаем, что в этот комплекс условий обязательно входит событие .

Таким образом, мы имеем другой, более обременительный комплекс условий, соответствующий испытанию в новой обстановке. Вероятность появления события при этих новых условиях называется его условной вероятностью в отличие от вероятности , которая может быть названа безусловной вероятностью события .

В тех случаях, когда вероятность события рассматривается при условии, что имели место два других события и , используется условная вероятность относительно произведения событий и : .

п.2. Формула умножения вероятностей

Теорема: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие имело место:

Доказательство: Предположим, что из возможных элементарных исходов событию благоприятствуют исходов, из которых исходов благоприятствуют событию . Тогда вероятность события будет , условная вероятность события относительно события будет .

Произведению событий и благоприятствуют только те исходы, которые благоприятствуют и событию , и событию одновременно, т.е. исходов. Поэтому вероятность произведения событий и .

Умножив числитель и знаменатель этой дроби на , получим:

Аналогично доказывается и формула .

Теорему умножения вероятностей легко обобщить на любое конечное число событий.

Теорема: Вероятность произведения конечного числа событий равна произведению их условных вероятностей относительно произведения предшествующих событий:

Для доказательства этой теоремы можно использовать метод математической индукции.

п.3. Формула сложения вероятностей

Теорема: Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Доказательство: Докажем эту теорему для случая суммы двух несовместных событий и .

Пусть событию благоприятствуют элементарных исходов, а событию – соответственно исходов. Так как события и по условию теоремы несовместны, то событию + благоприятствуют + элементарных исходов из общего числа исходов. Следовательно:

где – вероятность события ;

– вероятность события.

Теорема: Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

Доказательство: Событие наступит, если наступит одно из несовместных событий , , . По теореме сложения вероятностей несовместных событий:

Событие произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: , . Вновь применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получаем: . Следовательно, .

Аналогично для события получаем . Откуда .

Следовательно .

4.

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий

Р(А + В) = Р(А) +Р(В).

Следствие 1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1

Пример 4.1.

Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов только 24. Преподаватель задает три вопроса. Зачет будет сдан, если студент ответит хотя бы на два из трех вопросов. Какова вероятность того, что этот студент сдаст зачет.

Решение. Пусть — событие, состоящее в том, что студент ответит на два из заданных трех вопросов, — он ответит на все три вопроса. Тогда, если А — студент сдаст зачет, то . События и Несовместны. По классическому определению вероятности

По теореме сложения для несовместных событий

Ответ: Р = 0,907.

Пример 4.2. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем пять из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу четыре учебника. Найти вероятность того, что по крайней мере два из них в переплете.

Решение. Пусть А

— событие, состоящее в том, что по крайней мере два из четырех взятых учебников будут в переплете. Это событие можно представить как сумму трех несовместных событий , где — два учебника в переплете, — три учебника, — четыре учебника в переплете. Найдем вероятности этих событий. Число всех возможных исходов этого опыта

Для события Число благоприятных исходов 450,

Для события , для . Следовательно,

, , .

По теореме сложения для несовместных событий

Ответ:

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

Р(А + В) = Р(А) +Р(В) – Р(АВ).

Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий

Определение 1. Условной вероятностью события А называется вероятность события А, вычисленная при условии, что произошло событие В. (Условную вероятность будем рассматривать лишь для таких событий В, вероятность наступления которых отлична от нуля).

Условная вероятность события А при условии, что событие В произошло обозначается символами или .

Определение 2. Условной вероятностью события А при условии, что произошло событие В с , называется число , которое определяется формулой

< Предыдущая		Следующая >

Что такое теоремы сложения и умножения на вероятности?

11 декабря 2020 г. от Prasanna

.

Теорема с добавлением и умножением вероятности

Состояние и докажите теорему добавления и умножения.

P(A + B) или P(A∪B) = вероятность наступления события A или B
= вероятность наступления события A или B или обоих
= Вероятность возникновения хотя бы одного события A или B
P(AB) или P(A∩B) = Вероятность одновременного возникновения событий A и B.

(1) Когда события не исключают друг друга:
Если А и В два события, которые не исключают друг друга, то
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P( A∩B)
или P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB)
Для любых трех событий A, B, C
P(A∪B∪C) = P(A ) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(B∩C) – P(C∩A) + P(A∩B∩C)
или P(A + B + C ) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(BC) – P(CA) + P(ABC)

(2) Когда события являются взаимоисключающими:
Если A и B являются взаимоисключающими событиями, то
n(A∩B) = 0 ⇒ P(A∩B) = 0
∴ P( А∪В) = Р(А) + Р(В).
Для любых трех взаимоисключающих событий A, B, C
P(A∩B) = P(B∩C) = P(C∩A) = P(A∩B∩C) = 0
∴ P (А∪В∪С) = Р(А) + Р(В) + Р(С).
Вероятность наступления любого из нескольких взаимоисключающих событий равна сумме их вероятностей, т. е. , если А ₁ , А ₂ ……… А _n являются взаимоисключающими событиями, тогда
P(A ₁ + A ₂ + … + A _n ) = P(A _{1 P(A ₂ ) + …… + P(A _n )
т. е. P(Σ A _i ) = Σ P(A _i ).}

(3) Когда события независимы:
= П(А) + П(В) – П(А).П(В)

(4) Некоторые другие теоремы

Пусть A и B два события, связанные со случайным экспериментом, тогда
Обобщение теоремы сложения:
Если A _{1 5} , A 29005 … A _n — n событий, связанных со случайным экспериментом, тогда
Неравенство Були : Если A ₁ , A ₂ ……… A _n — n событий, связанных со случайным экспериментом, тогда

Эти результаты могут быть легко установлены с помощью принципа математической индукции.

Условная вероятность

Пусть A и B — два события, связанные со случайным экспериментом. Тогда вероятность появления А при условии, что В уже произошло и Р(В) ≠ 0, называется условной вероятностью и обозначается Р(А/В).
Таким образом, P(A/B) = Вероятность появления A при условии, что B уже произошло.

Аналогично, P(B/A) = Вероятность появления B при условии, что A уже произошло.

Иногда P(A/B) также используется для обозначения вероятности появления A при возникновении B. Точно так же P(B/A) используется для обозначения вероятности появления B, когда происходит A.

Теорема умножения вероятности

Если A и B — два события, связанные со случайным экспериментом, то P(A∩B) = P(A).P(B/A), если P ( A ) ≠ 0 или P(A∩B) = P(B).P(A/B), если P(B) ≠ 0.
Расширение теоремы умножения:
Если A ₁ , A ₂ ……… A _n — n событий, связанных со случайным экспериментом, тогда
P(A ₁ ∩A ₂ ∩A ₃ ∩ … ∩A _n ) = P(A ₁ ) P(A ₂ /A ₁ ) P(A ₃ /A ₁ ∩A _{5 9} )…0…0…P A ₁ ∩A ₂ ∩…∩A _n−1 ),
где P(A _i /A ₁ ∩A ₂ ∩5−1A 4 ), i09…∩5 0 представляет условная вероятность события , учитывая, что события A ₁ , A ₂ ……… A _i ₋ ₁ уже произошли.
Теоремы умножения для независимых событий:
Если A и B — независимые события, связанные со случайным экспериментом, то P(A ∩ B) = P(A).P(B) , т. е. вероятность одновременного появления двух независимых событий равна равны произведению их вероятностей. По теореме умножения имеем P(A∩B) = P(A).P(B/A). Поскольку A и B — независимые события, то P(B/A) = P(B). Следовательно, P(A∩B) = P(A).P(B).
Расширение теоремы умножения для независимых событий:
Если A ₁ , A ₂ ……… A _n – независимые события, связанные со случайным экспериментом, то
P(A ₁ ∩A ₂ ∩A 5 ∩A _{3 _n ) = P(A ₁ ) P(A ₂ )..… P(A _n ).
По теореме умножения имеем
P(A ₁ ∩A ₂ ∩A ₃ ∩ … ∩A _n ) = P(A _{1 9005/5} ) P(4A _{1 9005 / 5} 5 900} ) Р(А ₃ /А ₁ ∩А ₂ )……P(A _n /A ₁ ∩A ₂ ∩…∩A _n−1 )
Поскольку A ₁ , A 29004 5 , A 29004 1 , A _n независимые события, поэтому
P(A ₂ /A ₁ ) = P(A ₂ ), P(A ₃ /A ₁ 0 5 04 A 520 0 ) = P(A ₃ ),……, P(A _n /A ₁ ∩A ₂ ∩…∩A _n−1 ) = P(A _{n ) , 900 Р(А ₁ ∩А ₂ ∩А ₃ ∩ … ∩A _n ) = P(A ₁ ) P(A ₂ ). .… P(A _n ).}

Вероятность по крайней мере одного из n независимых событий:
If p ₁ , p ₂ ……… p _n быть вероятностями независимых событий 059 1 0 3 n , A ₂ ……… A _n соответственно, затем

Суммарная вероятность и правило Байе

(1) Закон полной вероятности:
Пусть S будет пространством выборки и пусть E ₁ , E ₂ ……… E _n будут n взаимоисключающими и исчерпывающими событиями, связанными со случайным экспериментом. Если A — любое событие, которое происходит с E ₁ или E ₂ или … или E _n , то
P(A) = P(E ₁ ) P(A/E ₁ ) + P(E ₂ ) P(A/E ₂ ) + ….. P(E _n )P(A/E _n).

(2) Правило Байя:
Пусть S будет выборочным пространством, а E ₁ , E ₂ ……… E _n будут n взаимоисключающими событиями, такими что мы можем думать о
E 900 _и как причины, приводящие к результату эксперимента. Вероятности P(E _i ), i = 1, 2, ….., n называются априорными вероятностями. Предположим, что результатом эксперимента является исход события A , где P(A) > 0. Нам нужно найти вероятность того, что наблюдаемое событие A было обусловлено причиной E _i , то есть мы ищем условную вероятность P(E _i /A). Эти вероятности называются апостериорными вероятностями и задаются правилом Байя как

Рубрики: Математика С тегами: Теоремы сложения для вероятности, Условная вероятность, Теоремы умножения для вероятности, Полная вероятность и правило Байя

вероятность — Нужны советы /предложения, когда складывать или умножать вероятности

спросил 10 лет, 4 месяца назад

Изменено 1 год, 8 месяцев назад

Просмотрено 127 тысяч раз

$\begingroup$

Я не могу решить, когда складывать или когда умножать вероятности, как в следующем примере. Я знаю, что, построив диаграммы дерева вероятностей, мы могли бы умножать по ветвям и складывать по вертикали. Однако я определенно мог бы использовать больше предложений / советов, которые может помочь мне решить, когда умножать и когда добавлять вероятности.

В банке лежат черные шарики по 4$ и белые по 3$. Если вы засунете руку в банку и вытащите два шара одновременно, какова вероятность того, что один из них черный, а другой белый?

Вот как я решаю вышеизложенное: Pr(черные из 7 шаров)=$\frac{4}{7}$

Pr(белые из оставшихся 6 шаров после выбора черного шара) $= \ frac{3}{6}$

Итак, Ans = $\frac{4}{7} \times \frac{3}{6} = \frac{2}{7}$

вероятность
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Вы добавляете вероятности, когда события, о которых вы думаете, являются альтернативными [Чтение счета 0 голов или 1 гол или 2 гола в их матче] — вы ищете «взаимоисключающие» события — вещи, которые не могут произойти одновременно ( в том же матче).
Вы умножаете вероятности, когда хотите, чтобы два или более разных события произошли «одновременно» или «последовательно» [1 балл по чтению и 1 балл по Лидсу и 2 балл по Арсеналу]. Ключевое здесь то, что события независимы — они не влияют друг на друга, или второе не влияет на первое (и т.д.).
В вашем примере, чтобы получить черный шар и белый шар, у вас есть две «взаимоисключающие» возможности: $1.$ сначала белый, затем черный; $2.$ сначала черный, потом белый.

Возможность $1$. Вы можете сначала выбрать белый с вероятностью $\frac 3 7$ — и тогда у вас останется 6 шаров, четыре из которых черные, поэтому $\frac 4 6$ выбора черного. Это независимые события, поэтому умножьте их, чтобы получить $\frac 3 7 \times \frac 4 6 = \frac 2 7$.
Возможность $2$. Выбор сначала черного, а затем белого дает $\frac 4 7 \times \frac 3 6 = \frac 2 7$.
Сложение двух дает $\frac 4 7$.
Требуются определенные навыки и практика, чтобы все время делать все правильно. Время, потраченное на проработку и понимание ключевых примеров, потрачено с пользой.
$\endgroup$
3
$\begingroup$
Всегда начинайте с разделения вероятностей каждого события, Затем:
Если все события произойдут («и вопрос») Умножьте вероятности вместе.
Если происходит только одно из событий («или вопрос») Сложить вероятности вместе
Пример:
Вы покупаете новый автомобиль со следующими опциями на выбор:
4-цилиндровый или 6-цилиндровый
Зеленый, красный, синий, белый
какова вероятность получить 6 цилиндровый И белый автомобиль со случайным выбором?
Как вы можете видеть на листе предыдущего дерева, есть 8 разных цветов на выбор, поэтому ваша вероятность получить машину из 8 различных вариантов, в этом случае, вы умножаете вероятность выбора 1 автомобиль из двух размеров двигателя и 1 из 4 разных цветов
$$ \frac{1}{2} * \frac{1}{4} = \frac{1}{8} $$
$\endgroup$
$\begingroup$
Вместо того, чтобы брать шары одновременно, вы можете брать их по одному, и в этом случае вам нужно учитывать все возможные порядки. Ваш расчет учитывает только выбор черного, а затем белого. Вероятность выбора белого и черного равна $\frac{3}{7} \times \frac{4}{6}$, что также дает $\frac{2}{7}$.
Следовательно, вероятность выбора белых и черных в любом порядке (то есть одновременно) равна $\frac{2}{7} + \frac{2}{7} = \frac{4}{7 }$.
$\endgroup$
$\begingroup$
Мы можем решить эту задачу, используя комбинаторику и вероятность. В банке 4 черных шара. Итак, у вас есть $\binom{4}{1}$ способов выбрать один черный шар. Точно так же у вас есть $\binom{3}{1}$ способов выбрать один белый шар. Вы можете выбрать любые два шара из банки $\binom{7}{2}$ способами.
Итак, окончательный ответ будет $$\frac{\binom{4}{1} * \binom{3}{1}}{\binom{7}{2}}$$ Упрощая это, вы получите $\frac{4}{7}$.
В вашем методе вы намеренно сначала выбрали черный шар. Итак, вам придется умножить свой ответ на $2!$, так как белый шар тоже может быть выбран первым.
No related posts.