В аргументах функции $R(u,s)$ под интегралом — дробно-рациональные функции переменной $t$. Используя описанные выше свойства дробно-рациональных функций, приходим к выводу, что все подинтегральное выражение представляет собой дробно-рациональную функцию переменной $t$. Таким образом, интеграл можно вычислить в явном виде как функцию переменной $t$, а затем вернуться к переменной $x$, подставляя $ t=tg(x/2)$.
Универсальная тригонометрическая подстановка иногда приводит к слишком громоздким вычислениям. Если функция $R(u,s)$ обладает дополнительными свойствами, можно их сократить, используя другие подстановки.
2. Если интеграл (16) можно свести к виду
\[ I=\int W(\sin x)\cos xdx, \]где $W(t)$ — дробно-рациональная функция переменной $t$, следует применять подстановку $t=\sin x$, так что $\cos xdx=dt$. Заметим, что если $R(u,s)$ нечетна по переменной $s$, то такое сведение возможно.
3. Аналогичным образом, если интеграл (16) можно свести к виду
где $W(t)$ — дробно-рациональная функция переменной $t$, следует применять подстановку $t=\cos x$, так что $\sin xdx=- dt$.
2x-1)}.
\]
11.
\[
\int \frac{dx}{5+3\cos x+4\sin x}.
\]
12.
\[
\int \frac{dx}{\cos x+3tg x}.
\]
Лекция по математике на тему: Неопределенный интеграл
Лекция №3.
Тема занятия: Первообразная. Неопределенный интеграл. Способы вычисления
неопределенного интеграла.
Цель занятия: Научить вычислять производные функции при данном значении аргумента;
исследовать функции с помощью производной и строить графики.
3.1. Понятие неопределенного интеграла.
Напомню, что: Дифференцирование – это действие, с помощью которого по данной
функции находиться ее производная или дифференциал.
В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции
)(xf
найти ее
производную (или дифференциал). Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти
функцию
)(xF
, зная ее производную
)(
xf
(или дифференциал). Искомую функцию
)(xF
называют первообразной функции
Определение. Функция
)(xF
)(
xF
)(xf
.
3. Таблица основных неопределенных интегралов.
.1
n
dx
dx
x
dx
x
x
e
dxa
dx
x
.2
.3
.4
.5
x
c
x
n
x
c
n
1
1
c
ln
e
x
a
ln
x
a
c
c
xdx
xdx
.8
.6
.7
cos
sin
dx
2
cos
dx
2
sin
x
.10
tgxdx
.9
x
sin
x
c
cos
x
c
tgx
c
ctgx
c
ln
cos
x
c
.11
.12
.13
.14
ctgx
dx
sin
x
dx
cos
x
dx
x
1
dx
x
2
.15
1
ln
sin
x
c
ln
tg
ln
tg
x
2
c
x
2
4
c
arcsin
x
c
2
arctgx
c
3.4. Основные методы интегрирования.
1. Непосредственное интегрирование.
Определение.
Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем
тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) применения свойств
непосредственного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам,
называется непосредственным интегрированием.
При сведении данного интеграла к табличному часто используются следующие
преобразования дифференциала:
число
dx
0
число
(
),
aaxd
1
a
dx
axd
),
a
(
2
d
x
x
(
)
xd
1
2
d
(sin
x
d
(cos
)
)
x
xdx
xdx
cos
sin
1
x
и другие.
)(
. Сделаем подстановку
x
(t
),
где
Тогда
dx
)(
t
dt
и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования
непосредственного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой
dxxf
)(
f
))((
t
t
)(
dt
Эта формула также называется формулой замены переменных в неопределенном
интеграле. После нахождения интеграла правой части этого равенства следует перейти от новой
переменной интегрирования t назад к переменной х. Иногда эту формулу можно применять
справа налево.
Для интегрирования методом подстановки можно использовать следующую схему:
1. часть подынтегральной функции надо заменить новой переменной
2. найти дифференциал от обеих частей замены
3. все подинтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего
должен получиться табличный интеграл)
4. найти полученный табличный интеграл
4 5. сделать обратную замену.
5 Встречаются еще и следующие формулы интегралов:
.1
e
kx
dx
e
1
k
kx
c
kx
dx
c
kxdx
cos
kx
c
kxdx
sin
kx
c
.
2
3
dx
xx
x
t
t
3
tdt
3
2
2
x
dx
xx
3
dx
2
t
(
dt
)3
t
2
t
t
(2
4
2
)3
t
dt
2
t
4
dt
6
t
2
dt
c
6
2
5
t
5
3
t
3
5
2
(
x
)3
(2
x
)3
3
2
c
2
5
)2
100
dx
.3
x
x
x
(
x
t
2
t
2
dx
dt
xx
(
)2
100
dx
t
(
)2
t
100
dt
t
101
dt
2
t
100
dt
(
x
102
)2
102
101
(2
x
)2
101
c
2(.4
2
cos
x
cos
x
t
2
)
sin
xdx
102
t
102
2
101
t
101
c
sin
xdx
dt
2(
cos
x
)
2
sin
xdx
t
2
(
dt
)
t
2
dt
3
t
3
c
1
3
2(
cos
x
)
3
c
8
.5
cos
x
2
dx
x
2
1
2
t
dx
dt
dx
2
dt
cos
x
2
dx
cos
t
2
dt
2
cos
tdt
sin2
t
c
sin2
x
2
c
3. Примеры. Интегрирование тригонометрических функций.
dx
x
cos
x
.1
3
t
dx
sin
cos
tg
sin
x
2
dt
2
2
t
1
t
2
t
1
1
t
1
t
x
x
2
2
2
3
sin
dx
x
cos
x
td
t
1
2
2
1
2
2
7
arctg
7
4
t
7
1
2
2
dx
sin
2
x
1(
2
t
3)
c
2
7
arctg
2
1
dt
t
2
t
dt
2
t
t
2
2
1
1
t
t
2
2
x
2
c
21
tg
7
1
sin
2
x
1
1
sin
2
x
R
(sin
x
;
cos
x
)
2
t
1
2
1(
2
t
dx
1)
1
arctg
2(
tgx
)
c
2
t
2
t
t
2
dt
2
1
1
2
d
t
)2(
t
)2(
2
1
9
.
Привести к каноническому виду уравнение tg2x uxx-2y tg x uxy+yuyy+tg3x ux=0
Привести к каноническому виду уравнение tg2x uxx-2y tg x uxy+yuyy+tg3x ux=0
Замечание: в условии скорее всего опечатка и нужно так
tg2x uxx-2y tg x uxy+y2uyy+tg3x ux=0
Во-первых, если посмотреть окрестные задачи, то они примерно все одинакового уровня сложности. А ваша, если не исправить опечатку, становится совершенно не подъемной. Очень похожая – 29-я задача, и в ней стоит y2. А если решать Вашу задачу в изначальной постановке, то получится очень корявое и громоздкое решение. Вряд ли у преподавателя цель вас добить такими вычислениями. Потому решаю с исправленной опечаткой. В конце покажу, какие проблемы возникают в исходной постанове (если опечатку не исправлять).
Решение:
tg2x uxx-2y tg x uxy+y2uyy+tg3x ux=0
a=tg2x; b=-y tg x; c=y2.
Вычислим дискриминант D=b2-ac=-y tg x2-tg2x∙y2=0
Следовательно, уравнение параболического типа во всей плоскости Oxy.
Составим характеристическое уравнение
tg2x(dy)2+2y tg x dx dy+y2(dx)2=0
tg x dy+y dx2=0
tg x dy+y dx=0
dxtg x=-dyy, ⟹ dxtg x=-dyy
lnsinx=-lny+c1
sinx=ec1y, ⟹ sinx=c1y, где c1=±ec1
Получили уравнение характеристики
ysinx=c1
В качестве одной новой переменной возьмем эту характеристику, вторую переменную можно взять произвольно, только чтобы преобразование координат не было вырожденным.
Сделаем замену ux,y=vξ,η, где
ξ=ysinxη=x
Частные производные новых переменных
ξx=ycosx, ξy=sinx, ηx=1, ηy=0
Найдем вид уравнения в новых переменных (ξ,η), для этого вычислим частные производные функции u
ux=vξ⋅ξx+vη⋅ηx=ycosxvξ+vη;
uy=vξ⋅ξy+vη⋅ηy=sinxvξ;
uxx=uxx=ycosxvξ+vηx=
=ycosxycosxvξξ+vξη-ysinxvξ+ycosxvξη+vηη=
=y2cos2xvξξ+2ycosxvξη+vηη-ysinxvξ;
uyy=uyy=sinxvξy=sin2xvξξ;
uxy=uyx=sinxvξx=sinxycosxvξξ+vξη+cosxvξ=
=ysinxcosxvξξ+sinxvξη+cosxvξ;
Подставляем найденные частные производные в исходное уравнение
tg2x y2cos2xvξξ+2ycosxvξη+vηη-ysinxvξ-2y tg x ysinxcosxvξξ+sinxvξη+cosxvξ+y2sin2xvξξ+tg3x ycosxvξ+vη=0
Приводим подобные слагаемые, получим
tg2x vηη+tg3x vη=0
vηη+tg x vη=0
vηη+tg η vη=0
Ответ: уравнение параболического типа; канонический вид vηη+tg η vη=0, замена: ξ=ysinx, η=x.
Замечание 2 Если условие оставить, как было, то получится
tg2x uxx-2y tg x uxy+yuyy+tg3x ux=0
a=tg2x; b=-y tg x; c=y.
Вычислим дискриминант D=b2-ac=-y tg x2-tg2x∙y=tg2xy2-y.
Тогда надо рассматривать отдельно случаи в зависимости от знака y2-y, тип уравнения будет различный. Но это не самое страшное
Xхарактеристическое уравнение будет
tg2x(dy)2+2y tg x dx dy+y(dx)2=0
или в виде двух уравнений первого порядка
tg xdydx=-y± y2-y
Это уравнение проинтегрировать довольно сложно. Но даже если это и проделать, то, например, для знака “+” первый интеграл уравнения имеет вид
lnsinx+y-y2-y+12ln-12+y+y2-y=C1
Можно переписать в виде (что не упрощает дело)
lnsinx-12+y+y2-y+y-y2-y=C1
Следовательно, надо брать замену
ξ=lnsinx+y-y2-y+12ln-12+y+y2-y
Так же корявое выражение получится для новой переменной η. А ведь потом в новые переменные надо перейти в первых и вторых производных функции ux,y, что технически трудно осуществимо (по крайней мере, вряд ли это требуют от студента).
В общем, вам надо по этому поводу поговорить с преподавателем.
Данная работа не уникальна. Ее можно использовать, как базу для подготовки к вашему проекту.
| Формулы сокращенного умножения | |
| (a ± b)2 =a2 ± 2ab+b2 | (a-b)3 =a3 — b3 — 3ab(a-b) |
| (a ± b)3 =a3 ± 3a2b+3ab2 ± b3 | xn — an=(x — a)(xn-1+axn-2+a2xn-3+…+an-1) |
| a2 — b2 =(a+b )(a-b) | ax2+bx+c=a(x-x1)( x-x2) |
| a3 + b3=( a+b)(a2 — ab + b2) | где x1 и x2 — корни уравнения |
| a3 — b3=( a — b)(a2 + ab + b2) | ax 2 +bx+c=0 |
| (a + b )3 =a3 + b3 + 3ab(a + b) | |
| Квадратное уравнение | |
| ax2+bx+c=0; (a — не равно 0) | Приведенное кв. Уравнение: |
| x1,2 = (-b ± D)/2a; D=b2 -4ac | x2 + px+q =0 |
| D<0, корней нет. | x1+x2 = -p; x1× x2 = q |
| Теорема Виета: | Если p=2k (p-четн .) |
| x1 +x 2 = -b /a; x1 × x 2 = c /a | и x2+2kx+q=0, то x1,2 = -k ± (k 2 -q ) |
| Тригонометрия | |
| Ф-лы преобраз. суммы в произв: | Формулы преобр. произв.
в сумму: |
| sin x + sin y = 2sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2) | sin x sin y = ½(cos (x-y) — cos (x+y)) |
| sin x — sin y = 2cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2) | cos x cos y = ½(cos (x-y)+ cos (x+y)) |
| cos x + cos y = 2cos ((x+y)/2) cos ((x-y)/2) | sin x cos y = ½(sin (x-y)+ sin (x+y)) |
| cos x — cos y = -2sin ((x+y)/2) sin ((x-y)/2) | |
| Тригонометрия | |
| Соотнош. между ф-ями: | sin 3a = 3sin a — 4sin 3a = 3cos2a sina — sin 3a |
| sin x = (2 tg x/2)/(1+tg2x/2) | cos 3a = 4cos 3a — 3cos a = |
| cos x = (1-tg2x/2)/ (1+ tg2 x/2) | = cos 3a — 3cosa sin2a |
| sin2a = 1/(1+ctg2a) = tg2a/(1+tg2a) | tg3a = (3tga-tg3a)/(1-3tg2a) |
| cos2a = 1/(1+tg2a) = ctg2a / (1+ctg2a) | ctg3a = (ctg3a-3ctga)/(3ctg2a-1) |
| ctg 2a = (ctg 2a-1)/ 2ctg a | sin a/2 = ±((1-cos a)/2) |
| Производная | |
| Свойства: | уравнение к касат. к графику
в точке x0: |
| (u × v)’ = u’×v + u×v’ | 1. Найти производную |
| (u/v)’ = (u’v — uv’)/ v2 | 2. Угловой коофициент k = |
| Уравнение касательной к графику: | = производная в данной точке x |
| y = f(x0)+ f ‘(x0)(x-x0) | 3. Подставим x0, f(x0), f ‘(x0) |
| ГЕОМЕТРИЯ(планиметрия) | |
| Теорема косинусов: | S=abc/4R; S=pr |
| c2 = a2 + b2 — 2ab cos C | Трапеция: S = h×(a+b)/2 |
| Теорема синусов: | Круг: S= R2 |
| a/sin A = b/sin B = c/sin C | Sсектора=(A/360)×R2, |
| Формула Герона : | где величина угла А в градусах |
| p =½(a+b+c) | |
| S = (p(p-a)(p-b)(p-c)) | |
| S = ½(a×b×sin C) | |
заказ решений на аукционе за минимальную цену с максимальным качеством
Предлагаю идею сайта-аукциона по выполнению домашних заданий.
Он будет включать:
- решение задач по математике (сейчас доступен решебник Филиппова), физике, химии, экономике
- написание лабораторных, рефератов и курсовых
- выполнение заданий по литературе, русскому или иностранному языку.
Основное отличие от большинства сайтов, предлагающих выполнение работ на заказ – сайт рассчитан на две категории пользователей: заказчиков и решающих задания. Причем, по желанию (чтобы заработать, увеличить свой рейтинг, получить решение сложной задачи) пользователи могут играть любую из этих ролей.
Объединение сервисов в одну систему
Основой для идеи послужили несколько работающих систем, объединение которых позволит сделать сервис для решения задач на заказ. Эти системы:
- Форум, где посетители обмениваются идеями и помогают друг другу
- Система bugtracking, где обнаруженные проблемы проходят путь от публикации до принятия в исполнение и решения
- Аукцион, где цена за товар или услугу определяется в результате торгов
- Система рейтингов, где участники могут оценивать ответы друг друга.
Причем, чем больше рейтинг пользователя, тем более значимым становится его голос
Причем, чем больше рейтинг пользователя, тем более значимым становится его голосПринцип работы
Для удобства и проведения аналогий с реальной жизнью назовем заказчиков студентами, а решающих задания – репетиторами.
Итак, студенту необходимо решить несколько задач. Он заходит на сайт, выбирает раздел с соответствующей дисциплиной и создает новую тему (аналогия с форумом). Но при создании темы он также указывает стартовую (максимальную) цену, которую он готов заплатить за решение задач и крайний срок исполнения задания. Можно будет назначить и нулевую цену – если студенту нужно только бесплатное решение.
Как только тема создана, все пожелавшие подписаться на раздел репетиторы получают уведомление. Причем, условие получения уведомлений можно настроить. Например, уведомлять только о заказах со стартовой ценой более 500 р. и сроком решения не менее недели.
Заинтересовавшиеся репетиторы делают ставки. Причем студент (автор темы) видит ставки и может посмотреть информацию по каждому репетитору (его решения, рейтинг, дату начала участия в проекте).
Когда студент посчитает нужным, он может остановить аукцион и назначить задание одному из репетиторов, сделавшему ставку (не обязательно самую низкую, т.к. можно учитывать и другие факторы – см. выше).
Деньги блокируются на счете студента, и репетитор начинает решать задание. Он должен представить его к сроку, заданному изначально. Выполненное решение публикуется в свободном доступе и его может оценить как заказчик, так и другие репетиторы. На этих оценках и строится рейтинг. Если к решению нет претензий – деньги окончательно переводятся со счета студента на счет репетитора.
За счет чего будет развиваться сервис
Первое – положительная обратная связь. Чем больше условий задач и решений будет опубликовано на сайте, тем чаще его будут находить пользователи через поисковики, будет больше ссылок на готовые решения. Именно поэтому важно размещать решенные задачи в свободном доступе. Знаю это по опыту своего сайта exir.ru (ex irodov.nm.ru) – большая ссылочная база получена исключительно за счет благодарных пользователей.
Второе – удобный сервис для заказчиков и для желающих заработать на решениях.
Преимущества для заказчиков
Студентам и школьникам не нужно перебирать десятки сайтов для сравнения цен, а потом надеяться, что после оплаты они получат качественное решение (и, вообще, все не закончится перечислением денег). Заказчики создают аукцион на понижение цены и могут смотреть на рейтинги желающих решить задачи и ранее выполненные ими решения. Кроме того, деньги окончательно перечисляются исполнителю только после полного решения.
Преимущества для решающих задания
Не нужно создавать и продвигать свой сайт, размещать множество объявлений во всех доступных источниках информации. Заказчики сами придут к вам. Не нужно решать все присланные задания с целью поддержания репутации – можно выбирать те, которые будут интересны по уровню сложности, цене и срокам решения.
Преимущества для владельца сервиса
Если вы не понимаете, какую выгоду получит делающий вам какое-нибудь предложение – будьте осторожны! 🙂 У меня уже есть большой опыт работы с сайтом, предоставляющим бесплатные решения по физике.
И вариант с получением прибыли от размещения рекламы подходит и для нового сервиса. Кроме того, мне нравится помогать людям и довольно тяжело смотреть, как множество вопросов по задачам остаются на форуме без ответа. Предложенный аукцион решений сможет значительно сократить число вопросов без ответов.
В будущем возможен вариант и с получением некоторого небольшого процента от оплаты заказов. Но процент этот должен быть минимален и на начальном этапе он взиматься точно не будет.
Что необходимо для создания сервиса
- Самым важное сейчас – собрать команду, готовую принять участие в выполнении заданий. Если покупатели заходят в пустой магазин – они надолго забывают в него дорогу.
Поэтому я собираю предварительные заявки от посетителей, готовых заниматься решениями. Не нужно подписания никаких договоров о намерениях. Просто сообщите, на какие темы вы готовы решать задания, какой у вас опыт подобной работы (e-mail: [email protected]). Когда сервис заработает – я пришлю приглашение на регистрацию.
- Выбрать платежную систему.
- Сделать подходящий движок для сайта. Нужно решить – создавать его с нуля или изменить какой-нибудь существующий движок (например, форумный) с открытой лицензией.
- Привлечь посетителей. Учитывая посещаемость exir.ru и число публикуемых на форуме вопросов, думаю, это не будет большой проблемой.
y´tgx 2y = Symbolab калькулятора неявной производной
2017525 y´tgx2y = Symbolab калькулятора неявной производной https://www.symbolab.com/solver/implicitderivativecalculator/y%C2%B4tgx2y%3Da 1/3 Скрыть шаги Скрыть шаги Показать шаги Решение Шаги dx d y tan x - 2y = a Разделимое обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка Разделимое ОДУ первого порядка имеет вид N y dy = M x dx N y = a + 2y 1 , M x = детская кроватка x а + 2 года 1 dx d y = детская кроватка x а + 2 года 1 dx d y = детская кроватка x ∫ a + 2y 1 dy = ∫cot x dx Интегрируем каждую часть уравнения Детская кроватка x dx = ∫ грех х cos x dx = ∫ u 1 ду dx d y tan x - 2y = a: y = 2 c sin x −a () () 1 2 () () () () () Перепишем в виде отделимого ОДУ первого порядка: N y · y '= M x () () () () () () () Решить + 2г 1 dx d y = детская кроватка x: 2 1 ln a + 2y = ln sin x + c () () () (()) 1 () () Если N y dy = M x dx, то ∫N y dy = ∫M x dx, с точностью до константы () () () () () ∫кот x dx = ln sin x + c () (()) 1 () Используйте следующий идентификатор: cot x = грех х cos x () () () () () Примените интегральную замену: ∫f g x · g x dx = ∫f u du, u = g x u = sin x du = cos x dx (()) '() () () () () Symbolab 2017525 y´tgx2y = Символ калькулятора неявной производной https: // www.
symbolab.com/solver/implicitderivativecalculator/y%C2%B4tgx2y%3Da 2/3
Скрыть шаги
Показать шаги
Показать шаги
= ln u
Подставляем обратно u = sin x
= ln sin x
= ln sin x + c
∫ a + 2y
1
dy
= ∫2u
1
ду
= 2
1
· ∫ u
1
ду
= 2
1
в тебе
Подставляем обратно u = a + 2y
= 2
1
ln a + 2y
= 2
1
ln a + 2y + c
2
1
ln a + 2y + c = ln sin x + c
2
1
ln a + 2y = ln sin x + c
Используйте общий интеграл: ∫ u
1
du = ln u ()
()
()
(())
Добавьте к решению константу
(()) 1
∫ a + 2y
1
dy = 2
1
ln a + 2y + c () 2
Примените интегральную замену: ∫f g x · g x dx = ∫f u du, u = g x
и = а + 2у ду = 2ди
(()) '() () ()
Возьмите константу: ∫a · f x dx = a · ∫f x dx () ()
Используйте общий интеграл: ∫ u
1
du = ln u ()
()
()
Добавьте к решению константу
() 2
() 2 (()) 1
Объедините константы
() (()) 1
Изолировать y: y = 2
e sin x −a
2c1 2 ()
2017525 y´tgx2y = Символ калькулятора неявной производной
https: // www.symbolab.com/solver/implicitderivativecalculator/y%C2%B4tgx2y%3Da 3/3
у = 2
c sin x −a
Упростите константы
1
2 () Página1
CHEEFT Ремкомплект суппорта пневматического дискового тормоза
3128 Нажимная пластина (прорезанная — правая)
3129 Нажимная пластина (прорезанная — левая)
3131 Рычаг (со штифтом)
3134 Роликовые подшипники
3267 Крышка датчика (человек)
3256 Ремкомплект держателя колодки суппорта
3190 Крышка датчика (тип MB Arocs / Actros — новая модель)
3127 Опора регулировочного механизма (Man TGS — MB Arocs)
3130 Регулирующий механизм
3132 Опора регулировочного механизма (Man TGX)
3133 Ремкомплект шайбы и стопорного кольца
3135 Комплект для ремонта подшипников
3136 Комплект для ремонта уплотнения
3137 Комплект для ремонта вилки
3138 Ремкомплект крышки суппорта
3139 Комплект для ремонта уплотнения крышки
3140 Ремкомплект направляющих и сальников суппорта
3141 Узел регулировочного механизма (Man TGX)
3142 Узел регулировочного механизма (Man TGS — MB Arocs)
3126 Рычаг суппорта (со штифтом — MB Arocs)
ЧС3005 Набор Man TGX (справа)
ЧС3008 Комплект Man TGX (слева)
CHS3011 Комплект Man TGS (справа)
CHS3012 Комплект Man TGS (слева)
CHS3013 Набор MB Arocs (справа)
CHS3014 Набор MB Arocs (слева)
3100 Ремкомплект направляющих и сальников суппорта
3125 Комплект уплотнения крышки
3197 Комплект для ремонта вилки
FANALE ANTERIORE INC.
DX / SX MAN TGA TGX TGL (OLSA) — цена: + 0 руб.- ЧЕЛОВЕК TGA LX (2000 »2007)
- ЧЕЛОВЕК TGA XL (2000 »2007)
Кодекс SERMAT: 2.41.072.00
20 других продуктов делла стесса веттура:
