Трапеция все формулы: Все формулы сторон трапеции

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Навигация по странице: Определение трапеции Элементы трапеции Виды трапеций Основные свойства трапеции Стороны трапеции Средняя линия трапеции Высота трапеции Диагонали трапеции Площадь трапеции Периметр трапеции Окружность описанная вокруг трапеции Окружность вписанная в трапецию Другие отрезки трапеции

Определение.

Трапеция — это четыреугольник у котрого две стороны паралельны, а две другие стороны не паралельны.

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Так же, трапецией называется четыреугольник у которого одна пара противоположных сторон паралельна и стороны не равны между собой.

Элементы трапеции:

• Основы трапеции — параллельные стороны
• Боковые стороны — две другие строрны
• Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Виды трапеций:

• Равнобедренная трапеция — трапеция у которой боковые стороны равны
• Прямоугольная трапеция — трапеция у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам

Рис. 1		Рис.2

Основные свойства трапеции

1. В трапецию можна вписать окружность если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

AB + CD = BC + AD

2. Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок который соединяет основы, так же делит диагонали пополам:

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции паралельна основаниям и равна их полусумме:

m =	a + b
	2

4. Точка пересечения диагоналей трапеции и середины оснований лежат на одной прямой.

5. В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.

6. Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины как сотношение между основаниями:

BC : AD = OC : AO = OB : DO

7. Диагонали трапеции d₁ и d₂ связаны со сторонами соотношением:

d₁² + d₂² = 2ab + c² + d²

Сторона трапеции

Формулы определения длин сторон трапеции:

1. Формула длины оснований трапеции через середнюю линию и другую основу:

a = 2m — b

b = 2m — a

2. Формулы длины основ через высоту и углы при нижнем основании:

a = b + h · (ctg α + ctg β)

b = a — h · (ctg α + ctg β)

3. Формулы длины основ через боковые стороны и углы при нижнем основании:

a = b + c·cos α + d·cos β

b = a — c·cos α — d·cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

с =	h	d =	h
	sin α		sin β

Средняя линия трапеции

Определение.

Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Формулы определения длины средней линии трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:

m =	a + b
	2

2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

m =	S
	h

Высота трапеции

Формулы определения длины высоты трапеции:

1. Формула высоты через сторону и прилегающий угол при основании:

h = c·sin α = d·sin β

2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:

h =	sin γ ·	d1 d2	=	sin δ ·	d1 d2
		a + b			a + b

3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

h =	sin γ ·	d1 d2	=	sin δ ·	d1 d2
		2m			2m

4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

h =	2S
	a + b

5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

h =	2S
	m

Диагонали трапеции

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

1. Формулы диагоналей по теореме косинусов:

d₁ = √a² + d² — 2ad·cos β

d₂ = √a² + c² — 2ac·cos β

2. Формулы диагоналей через четыре стороны:

d1 =	√	d 2 + ab —	a(d 2 — c2)	d2 =	√	c2 + ab —	a(c2 — d 2)
			a — b				a — b

3. Формула длины диагоналей через высоту:

d₁ = √h² + (a — h · ctg β)² = √h² + (b + h · ctg α)²

d₂ = √h² + (a — h · ctg α)² = √h² + (b + h · ctg β)²

4. Формулы длины диагонали через сумму квадратов диагоналей:

d₁ = √c² + d ² + 2ab — d₂²

d₂ = √c² + d ² + 2ab — d₁²

Площадь трапеции

Формулы определения площади трапеции:

1. Формула площади через основания и высоту:

S =	(a + b)	· h
	2

2. Формула площади через среднюю линию и высоту:

S = m · h

3. Формула площади через через диагонали и угол между ними:

S =	d1d2	· sin γ	=	d1d2	· sin δ
	2			2

4. Формула площади через четыре стороны:

S =	a + b	√	c2 —	(	(a — b)2 + c2 — d 2	)	2
	2				2(a — b)

5. Формула Герона для трапеции

S =	a + b	√(p — a)(p — b)(p — a — c)(p — a — d)
	|a — b|

где

p =	a + b + c + d	— полупериметр трапеции.
	2

Периметр трапеции

Формула определения периметра трапеции:

1. Формула периметра через основания:

P = a + b + c + d

Окружность описанная вокруг трапеции

Окружность можно описать только вокруг равнобедренной трапеции!!!

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =	a·c·d1
	4√p(p — a)(p — c)(p — d1)

где

p =	a + c + d1
	2

a — большее основание

Окружность вписанная в трапецию

В трапецию можна вписать окружность если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

a + b = c + d

Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности

1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:

r =	h
	2

Другие отрезки разносторонней трапеции

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

KM = NL =	b	KN = ML =	a	TO = OQ =	a · b
	2		2		a + b

Формулы по геометрии Квадрат. Формулы и свойства квадрата Прямоугольник. Формулы и свойства прямоугольника Параллелограмм. Формулы и свойства параллелограмма Ромб. Формулы и свойства ромба Трапеция. Формулы и свойства трапеции — Равнобедренная трапеция. Формулы и свойства равнобедренной трапеции — Прямоугольная трапеция. Формулы и свойства прямоугольной трапеции Формулы площади геометрических фигур Формулы периметра геометрических фигур Формулы объема геометрических фигур Формулы площади поверхности геометрических фигур

Все таблицы и формулы

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Трапеция, ее свойства, формулы площади, высоты, сторон

Трапеция, ее свойства, формулы площади, высоты, сторон.

 

 

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна.

 

Трапеция (понятие, определение)

Видеоурок “Трапеция”

Виды трапеций

Элементы трапеции: основания, боковые стороны, средняя линия и высота

Свойства трапеции

Свойства равнобедренной трапеции

Формулы трапеции

 

Трапеция (понятие, определение):

Трапеция (от др. -греч. τραπέζιον – «столик» от τράπεζα – «стол») – это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а другие две стороны не параллельны.

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна.

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, и стороны не равны между собой.

Рис. 1. Трапеция

Выпуклым четырёхугольником называется четырёхугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

@ https://youtu.be/Q4EpXexoMrM

 

 

Виды трапеций:

Равнобедренная трапеция или равнобокая трапеция – это трапеция, у которой боковые стороны равны.

Рис. 2. Равнобедренная трапеция

Прямоугольная трапеция – это трапеция, один из углов при боковой стороне которой прямой.

Прямоугольная трапеция – это трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне.

Рис. 3. Прямоугольная трапеция

 

Элементы трапеции: основания, боковые стороны, средняя линия и высота:

Параллельные стороны трапеции называются основаниями трапеции, а две другие – непараллельные – боковыми сторонами.

Рис. 4. Трапеция 

AD и BC – основания трапеции, AB и CD – боковые стороны трапеции.

AD – большее основание трапеции, BC – меньшее основание трапеции.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средняя линия.

Рис. 5. Трапеция и срединная линия

Расстояние между основаниями трапеции называется высотой трапеции.

Рис. 6. Трапеция

Высота трапеции (h) определяется формулой:

где b – большее основание трапеции, a – меньшее основание трапеции, c и d – боковые стороны трапеции.

 

Свойства трапеции:

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Рис. 7. Трапеция и срединная линия

MN || BC, MN || AD,

l = (a + b) / 2 

2. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований и лежит на средней линии. 

Рис. 8. Трапеция

MN = (b – a) / 2 

3. Сумма внутренних углов трапеции (и любого другого четырёхугольника) равна 360° .

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна  180° .  

Рис. 9. Трапеция 

4. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Рис. 9. Трапеция

5. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

 Рис. 10. Трапеция

AB = BK

6. Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Рис. 11. Трапеция

∠BAD + ∠CDA = 90°, MN = (AD – DC) / 2 

7. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.

Рис. 12. Трапеция

AB + CD = AD + BC 

В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.

Рис. 13. Трапеция 

Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).

Рис. 14. Трапеция

MN = (AB + CD) / 2,

MN = (AD + BC) / 2

8. Диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника.

Два из них, прилежащие к основаниям, подобны.

Два других, прилежащие к боковым сторонам, имеют одинаковую площадь.

Рис. 15. Трапеция

Треугольники BCO и AOD подобны. Коэффициент подобия треугольников (k) находится как отношение оснований трапеции.  k = AD / BC. Отношение площадей этих подобных треугольников есть k².

Треугольники ABO и CDO имеют одинаковую площадь.

9. Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины, как соотношение между основаниями.

Рис. 16. Трапеция

BC : AD = OC : AO = OB : DO

10. Диагонали трапеции d₁и d₂ связаны со сторонами соотношением:

d₁² + d₂² = 2ab + c ² + d ²    

где b – большее основание трапеции, a – меньшее основание трапеции, c и d – боковые стороны трапеции.

11. Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок, который соединяет основания трапеции, так же делит диагонали пополам.

Рис. 17. Трапеция

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD,

KL – средняя линия

Рис. 17. Трапеция

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD,

KL – средняя линия, UV – отрезок, который соединяет основания трапеции

12. Средняя линия разбивает трапецию на две трапеции, площади которых соотносятся как:

где b – большее основание трапеции, a – меньшее основание трапеции, S₁ и S₂ – площади образованных трапеций, в результате разделения средней линией.

Рис. 18. Трапеция

S₁ – площадь трапеции MBCN,

S₂ – площадь трапеции AMND

 

Свойства равнобедренной трапеции:

1. Прямая, которая проходит через середины оснований, перпендикулярна основаниям, тем самым, является осью симметрии равнобедренной трапеции.

2. Высота, опущенная из вершины на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, а другой — полуразности оснований.

3. Углы при любом основании равнобедренной трапеции равны.

4. Сумма противоположных углов равнобедренной трапеции равна 180°.

5. Длины диагоналей равнобедренной трапеции равны.

6. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.

7. При перпендикулярности диагоналей в равнобедренной трапеции ее высота равна полусумме оснований.

 

Формулы трапеции:

Пусть a – большее основание трапеции, b – меньшее основание трапеции, c – левая сторона трапеции, d – правая сторона трапеции, α и β – углы при нижнем основании трапеции, d₁ и d₂ – диагонали трапеции, m – средняя линия трапеции, h – высота трапеции, γ и δ – углы между диагоналями трапеции, S – площадь трапеции, P – периметр трапеции.

 

Формулы для определения сторон трапеции:

Через среднюю линию и одно из оснований трапеции:

a = 2m – b

b = 2m – a

Через высоту и углы при нижнем основании трапеции:

a = b + h · (ctg α + ctg β)

b = a – h · (ctg α + ctg β)

Через боковые стороны и углы при нижнем основании:

a = b + c·cos α + d·cos β

b = a – c·cos α – d·cos β

Через высоту и углы при нижнем основании трапеции:

 

Формулы для определения средней линии трапеции:

Через длины оснований трапеции:

Через площадь и высоту трапеции:

 

Формулы для определения высоты трапеции:

Через сторону и прилегающий угол при нижнем основании трапеции:

h = c·sin α = d·sin β

Через диагонали трапеции и углы между ними:

Через диагонали трапеции, углы между ними и среднюю линию трапеции:

Через площадь и длины оснований трапеции:

Через площадь и длину средней линии трапеции:

 

Формула для определения периметра трапеции:

P = a + b + c + d

 

Формулы для определения площади трапеции:

Через основания и высоту трапеции:

Через среднюю линию и высоту трапеции:

S = m · h

Через диагонали трапеции и угол между ними:

Через все стороны трапеции:

С помощью формулы Герона для трапеции:

 

Как называется объемная трапеция?

Если трапецию изобразить в объеме, то такая фигура будет напоминать усеченную пирамиду.

В правильной усеченной пирамиде боковые грани являются равнобокими трапециями.

 

Квадрат

Овал

Полукруг

Прямой угол

Прямоугольник

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Ромб

Трапеция

Тупой угол

Шестиугольник

 

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

Видео https://youtu.be/Q4EpXexoMrM

 

 

Коэффициент востребованности 4 047

Формула трапеции — Что такое формула трапеции? Примеры

Трапеция, также известная как трапеция, представляет собой четырехугольник или четырехугольник. Он имеет один набор противоположных сторон, которые параллельны, и набор непараллельных сторон. Параллельные стороны известны как основания, а непараллельные стороны известны как катеты трапеции.

Существуют различные типы трапеций: равнобедренная трапеция, правильная трапеция и разносторонняя трапеция.

•  Трапеция с двумя непараллельными сторонами одинаковой длины называется равнобедренной трапецией.
• Прямой трапецией называется трапеция, имеющая не менее двух прямых углов.
• Прямоугольная равнобедренная трапеция — это трапеция, которая одновременно является прямой и равнобедренной трапецией. В евклидовой геометрии такие трапеции автоматически являются прямоугольниками.
• У разносторонней трапеции нет ни сторон, ни углов равной меры.

Рассмотрим подробнее формулы трапеции.

Что такое формула трапеции?

Мы будем изучать следующую формулу трапеции

• Периметр трапеции
• Площадь трапеции

Формула для расчета периметра трапеции

Периметр трапеции определяется как сумма всех ее сторон или полная граница трапеции. Рассмотрим трапецию ABCD, как показано ниже, с размерами сторон a, b, c и d. Давайте рассмотрим формулу трапеции

Периметр формулы трапеции вычисляется путем нахождения суммы всех сторон, т. е. AB + BC + CD + DA

Периметр трапеции = сумма всех сторон = a + b + c + d

, где a, b, c и d — стороны трапеции.

Формула для расчета площади трапеции

Площадь определяется как площадь или область, занимаемая трапецией. Это половина произведения суммы его оснований и расстояния между ними. Это трапеция ABCD, как показано ниже.

Площадь трапеции определяется как:

Площадь трапеции  = (1/2) × h × (a + b)

где,

• а = короткая база
• b = удлиненная база
• h = высота или расстояние между двумя основаниями

Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы. С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.

Закажите бесплатный пробный урок

Давайте посмотрим на применение формулы трапеции в следующих решенных примерах.

Примеры использования формулы трапеции

Пример 1: Если периметр трапеции равен 60 единицам, а три ее стороны равны 15 единицам, 20 единицам и 16 единицам соответственно, найдите размер четвертой стороны, используя формулу трапеции. .
Решение:  

Дано: периметр = 60 единиц, a = 15 единиц, b = 20 единиц, c = 16 единиц, d = ?

Мы знаем, что согласно формуле трапеции

Периметр трапеции = Сумма всех сторон

⇒ a + b + c + d = 60

⇒ 15 + 20 + 16 + d = 60

⇒ d = 9 единиц

Ответ: Таким образом, четвертая сторона равна 9 единицам.

Пример 2: Используя формулу площади трапеции, найдите площадь трапеции, у которой основания равны 19 единицам и 15 единицам, а высота равна 8 единицам.
Решение:

Дано:

a = 17 единиц

b = 19 единиц

h = 8 единиц

Мы знаем, что согласно формуле трапеции,

Площадь трапеции = h(a + b) / 2

= 8 (15 + 19) / 2

= 4 × 34

= 136 единиц ²

Ответ: Таким образом, площадь трапеции равна 136 единицам площадь трапеции 120 дм, а длины оснований 12 дм и 20 дм, найдите высоту трапеции по формуле трапеции?

Решение: 

Предположим, что основания равны a и b, а высота трапеции равна h. Используя данную информацию, мы должны найти высоту, которая является расстоянием между основаниями. Подставим все эти значения в площадь трапеции по формуле:

Площадь трапеции, A = [(a + b)/2] × h

120 = [(20 + 12)/2] × h

120 = 16 × h

h = 7,5 дюйма

Следовательно, высота трапеции равна 7,5 дюйма.

Ответ: Высота трапеции 7,5 дюймов.

Часто задаваемые вопросы о формуле трапеции

Что такое периметр формулы трапеции?

Периметр трапеции равен сумме всех сторон. Он выражается как P = a + b + c + d. Где a, b, c и d — стороны трапеции.

Какова площадь формулы трапеции?

Формула площади трапеции выражается как A = (1/2) × h × (a + b). Где «а» — более короткое основание, «b» — более длинное основание, а «h» — расстояние между двумя основаниями

Как рассчитать высоту трапеции с помощью формулы трапеции?

Формула площади трапеции, A = [(a + b)/2] × h
Чтобы вычислить высоту трапеции, мы можем вычислить площадь трапеции по формуле
. h = 2А/(а+b). Где «а» — более короткое основание, «b» — более длинное основание, «h» — расстояние между двумя основаниями, а A — площадь трапеции.

Каковы две основные формулы трапеций?

Две основные формулы трапеций:
Периметр трапеции равен сумме всех сторон. Выражается как P = a + b + c + d. Где a, b, c и d — стороны трапеции.
Формула площади трапеции, A = [(a + b)/2] × h.

Определение, Форма, Площадь, Формулы, Свойства, Факты

Трапеция, также известная как трапеция, представляет собой плоскую замкнутую форму, имеющую 4 прямые стороны, с одной парой параллельных сторон.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а ее непараллельные стороны называются катетами. Трапеция также может иметь параллельные стороны. Параллельные стороны могут быть горизонтальными, вертикальными или наклонными.

2.  Равнобедренная трапеция : Имеет одинаковую длину непараллельных сторон. На изображении стороны AD и BC равны.

Медиана трапеции — это отрезок, соединяющий середины двух непараллельных сторон трапеции.

Площадь трапеции = $\frac{1}{2}$ × (сумма параллельных сторон) × (расстояние между ними)

Следовательно, для показанной выше трапеции со сторонами AB, BC, CD и DA периметр можно записать как

Мы можем найти трапеции во многих реальных объектах, например, в лампе, коробке из-под попкорна, сумочке и т. д. .

Медиана = $\frac{1}{2}\times (\text{сумма базиса}) = \frac{AD + BC}{2} = \frac{8 + 30}{2} см = 19 см$

Площадь = $\frac{1}{2}\times (\text{сумма параллельных сторон})\times (\text{высота})$

Высота Ширина Угол Диагональ Правильный ответ: Высота Высота трапеции называется высотой. Один Два Три Четыре Правильный ответ: Два Прямоугольная трапеция — это трапеция с парой прямых углов. Трапеция имеет 2 пары параллельных сторон, а параллелограмм имеет 1 пару параллельных сторон. Трапеция имеет 1 пару параллельных сторон, а параллелограмм имеет 2 пары параллельных сторон. У трапеции 2 стороны, а у параллелограмма 4 стороны. У трапеции 4 равных угла, а у параллелограмма все 4 неравных угла. Правильный ответ: Трапеция имеет 1 пару параллельных сторон, а параллелограмм имеет 2 пары параллельных сторон. Трапеция имеет 1 пару параллельных сторон, а параллелограмм имеет 2 пары параллельных сторон. И трапеция, и параллелограмм являются четырехугольниками. Разница заключается в количестве параллельных сторон, которые у них есть. Диагонали трапеции Основания трапеции Катеты трапеции Высота трапеции Правильный ответ: Катеты трапеции Две параллельные стороны трапеции называются основаниями трапеции; две другие стороны называются катетами трапеции.

Все ли трапеции четырехугольники?

Так как трапеции являются замкнутыми фигурами с 4 сторонами, мы также можем называть их четырехугольниками.