Три признака подобия треугольников: Три признака подобия треугольников

Содержание

Три признака подобия треугольников

Теорема 1. Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого.

Пусть в треугольниках ABC и А’В’С ∠A = ∠А’ ∠В = ∠B’ (в подобных треугольниках вершины соответственно равных углов часто обозначают одинаковыми буквами).

Доказать, что \(\Delta\)ABС \(\sim\) \(\Delta\)А’В’С (рис. 367).

Прежде всего отметим, что из равенства двух углов данных треугольников следует, что и третьи углы их равны, т. е. ∠C = ∠С’.

Отложим от вершины В, например, на стороне AB треугольника ABC отрезок ВМ, равный отрезку А’В’. Из точки М проведём прямую MN || АС. Мы получили \(\Delta\)MBN, который подобен \(\Delta\)ABC. Но \(\Delta\)MBN = \(\Delta\)А’В’С’, так как ∠В = ∠В’ по условию теоремы; сторона MB = A’B’ по построению; ∠BMN = ∠A’ (∠BMN и ∠А’ порознь равны одному и тому же ∠А).

Если \(\Delta\)MBN \(\sim\) \(\Delta\)AВС, то \(\Delta\)А’В’С’ \(\sim\) \(\Delta\)ABC. Эта теорема выражает 1-й признак подобия треугольников.

Следствия. 1. Равносторонние треугольники подобны.

2. Равнобедренные треугольники подобны, если они имеют по равному углу при вершине или при основании.

3. Два прямоугольных треугольника подобны, если она имеют по равному острому углу.

4. Равнобедренные прямоугольные треугольники подобны.

Теорема 2. Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, лежащие между ними, равны.

Пусть в треугольниках ABC и А’В’С’ \(\frac{AB}{A’B’} = \frac{BC}{B’C’}\) и ∠В = ∠В’

Требуется доказать, что \(\Delta\)ABC \(\sim\) \(\Delta\)А’В’С’ (рис. 368).

Для доказательства отложим, например, на стороне AB треугольника ABC от вершины В отрезок ВМ, равный отрезку А’В’. Через точку М проведём прямую MN || АС. Полученный треугольник MBN подобен треугольнику ABC.

Докажем, что \(\Delta\)MBN = \(\Delta\)А’В’С’. В этих треугольниках ∠В = ∠В’ по условию теоремы, MB = А’В’ по построению. Чтобы убедиться в равенстве сторон BN и В’С, составим пропорцию AB/MB = BC/BN (она вытекает из параллельности АС и MN) и сравним её с пропорцией, которая дана в условии теоремы: \(\frac{AB}{A’B’} = \frac{BC}{B’C’}\). В этих двух пропорциях имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые их члены,

т. е. В’С’ = BN. Отсюда следует равенство треугольников MBN и А’В’С’.

Так как \(\Delta\)MBN \(\sim\) \(\Delta\)А’В’С’, то, следовательно, и \(\Delta\)А’В’С’ \(\sim\) \(\Delta\)ABС.

Эта теорема выражает 2-й признак подобия треугольников.

Следствие. Прямоугольные треугольники подобны, если катеты одного из них пропорциональны катетам другого.

Теорема 3. Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника.

Пусть в треугольниках ABC и А’В’С’ \(\frac{AB}{A’B’} = \frac{BC}{B’C’} = \frac{AC}{A’C’}\) (рис. 369).

Требуется доказать, что \(\Delta\)ABC \(\sim\) \(\Delta\)А’В’С’

Для доказательства отложим на стороне AB треугольника ABC от вершины В отрезок BM = А’В’. Из точки M проведём прямую MN || АС. Полученный треугольник MBN подобен треугольнику ABC. Следовательно, \(\frac{AB}{MB} = \frac{BC}{BN} = \frac{AC}{MN}\).

Докажем, что \(\Delta\)MBN = \(\Delta\)А’В’С’. Для доказательства сравним две пропорции

\(\frac{AB}{MB} = \frac{BC}{NB}\) и \(\frac{AB}{A’B’} = \frac{BC}{B’C’}\).
В этих пропорциях имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые их члены, т.е. BN = В’С’.

Сравним ещё две пропорции: \(\frac{AB}{MB} = \frac{AC}{MN}\) и \(\frac{AB}{A’B’} = \frac{AC}{A’C’}\) . В этих пропорциях также имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые члены их, т. е. MN =А’С’.

Оказалось, что три стороны \(\Delta\)BMN равны трём сторонам \(\Delta\)А’В’С’, а именно:

MB = А’В’, BN = В’С’ и MN = А’С’.

Следовательно, \(\Delta\)MBN = \(\Delta\)А’В’С’, а \(\Delta\)ABC \(\sim\) \(\Delta\)А’В’С’.

Эта теорема выражает 3-й признак подобия треугольников.

Признаки подобных треугольников | Треугольники

Признаки подобия треугольников позволяют доказать, что треугольники являются подобными, на основании 2-3 равенств (вместо 6 по определению).

В школьном курсе геометрии, как правило, изучают три признака подобия произвольных треугольников.

1-й признак подобия треугольников

( подобие треугольников по двум углам)

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

   

2-й признак подобия треугольников

( подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие  треугольники подобны.

   

3-й признак подобия треугольников

( подобие треугольников по трём сторонам)

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

   

   

Есть еще 4-й признак подобия треугольников —

( подобие треугольников по двум сторонам и наибольшему углу)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а наибольший угол одного равен наибольшему углу другого, то такие треугольники подобны.

Доказав, что треугольники подобны, можно использовать свойства подобных треугольников.

Для доказательства подобия прямоугольных треугольников используют другие признаки. Их мы запишем в следующий раз.

Подобие правильных и подобие равнобедренных треугольников рассмотрим позже.

Признаки подобия треугольников широко используются при решении задач как в курсе планиметрии, так и в курсе стереометрии. Например, на основании подобия прямоугольных треугольников доказывается свойство биссектрисы треугольника.

Признаки подобия треугольников

Напомним для начала определение подобных треугольников.

Определение 1

Два треугольника называются подобными, если углы все углы одного треугольника соответственно равны углам другого и треугольника, и все сходственные стороны этих треугольников пропорциональны.

Для определения подобия треугольников существуют три признака подобия треугольников. Рассмотрим и докажем их.

Первый признак подобия треугольников

Теорема 1

Теорема 1: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам второго треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1$. (рис. 1).

Иллюстрация теоремы 1

Рисунок 1. Иллюстрация теоремы 1

Нам нужно доказать, что $\angle C=\angle C_1,$ и что $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$.

По теореме о сумме углов треугольника, имеем:

Далее будем пользоваться следующей теоремой:

Теорема 2

Теорема 0: Если угол одного треугольника равен углу второго треугольника, то их площади относятся как произведения сторон, прилегающих к этому углу.

Готовые работы на аналогичную тему

По теореме 0, получим

Из этих равенств, получим

Теорема доказана.

Второй признак подобия треугольников

Теорема 3

Теорема 2: Если две стороны одного треугольника пропорциональны соответствующим сторонам второго треугольника и углы между этими сторонами равны, то данные треугольники подобны.

Доказательство.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $\angle A=\angle A_1$ и$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k$ (рис. 2).

Иллюстрация теоремы 2

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 2

Используя теорему 1, видим, что для доказательства этой теоремы, достаточно доказать, что $\angle C=\angle C_1$. Построим треугольник $ACB_2$, так, что $\angle CAB_2=\angle A_1$, а $\angle B_2CA=\angle C_1$ (рис. 2).

Дополнительное построение

Рисунок 3. Дополнительное построение

Треугольник $ACB_2$ подобен треугольнику $ABC$ (по теореме 1), следовательно,$\ \frac{AC}{A_1C_1}$ $=\frac{AB_2}{A_1B_1}$. По условию $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$, следовательно, $AB=AB_2$. Тогда треугольник $ACB_2$ равен треугольнику $ABC$ по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, $\angle B_2CA=\angle C$, а так как $\angle B_2CA=\angle C_1,\ то\ \angle C=\angle C_1.$

По первому признаку подобия треугольника получаем доказательство теоремы.

Третий признак подобия треугольников

Теорема 4

Теорема 3: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем соответствующим сторонам второго треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k$.

Используя теорему 2, видим, что для доказательства этой теоремы, достаточно доказать, что $\angle A=\angle A_1$. Построим треугольник $ACB_2$, так, что $\angle CAB_2=\angle A_1$, а $\angle B_2CA=\angle C_1$ (рис. 3).

Дополнительное построение

Рисунок 4. Дополнительное построение

Треугольник $ACB_2$ подобен треугольнику $ABC$ (по теореме 1), следовательно,$\ \frac{AC}{A_1C_1}$ $=\frac{AB_2}{A_1B_1}=\frac{CB_2}{C_1B_1}$. Принимая во внимание равенства$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$, получим, что $CB_2=CB,\ AB_2=AB$. Тогда треугольник $ACB_2$ равен треугольнику $ABC$ по трем сторонам. Следовательно, $\angle A=\angle A_1$.

Теорема доказана.

Пример задачи на использование признаков подобия

Пример 1

Доказать, что любые два равнобедренных треугольника, у которых углы между равными сторонами равны, являются подобными.

Решение.

Пусть даны равнобедренные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ с $\angle A=\angle A_1.$ Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то

\[\angle B=\angle C=\frac{180-\angle A}{2}\]

Так как треугольник $A_1B_1C_1$ равнобедренный, то

\[\angle B_1=\angle C_1=\frac{180-A_1}{2}=\frac{180-\angle A}{2}=\angle B=\angle C\]

То есть $\angle B=\angle B_1,\ \ \angle C=\angle C_1$. По теореме 1, получаем, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны.

ч. т. д.

Признаки подобия треугольников [wiki.eduVdom.com]

Теорема 1. Первый признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Пусть ABC и $А_1В_1С_1$ — треугольники, у которых $\angle A = \angle A_1 ; \angle B = \angle B_1$ , и, следовательно, $\angle C = \angle C_1$ . Докажем, что $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ (рис.1).

Рис.1

Отложим на ВА от точки В отрезок $ВА_2$, равный отрезку $A_1B_1$ , и через точку $А_2$ проведем прямую, параллельную прямой АС. Эта прямая пересечет ВС в некоторой точке $С_2$ . Треугольники $А_1В_1С_1\text{ и }А_2ВС_2$ равны: $А_1В_1 = А_2В$ по построению, $\angle В = \angle В_1$ по условию и $\angle А_1 = \angle А_2$ , так как $\angle А_1 = \angle А$ по условию и $\angle А = \angle А_2$ как соответственные углы. По лемме 1 о подобных треугольниках имеем: $\triangle A_2BC_2 \sim \triangle ABC$ , и значит, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ . Теорема доказана.

По аналогичной схеме устанавливаются теоремы 2 и 3.

Теорема 2. Второй признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.

Теорема 3. Третий признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Из теоремы 1 вытекает следующее.

Следствие 1. В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны сходственным высотам, т. е. тем высотам, которые опущены на сходственные стороны.



Пример 1. Подобны ли два равносторонних треугольника?

Решение. Так как в равностороннем треугольнике каждый внутренний угол равен 60° (следствие 3), то два равносторонних треугольника подобны по первому признаку.


Пример 2. В треугольниках ABC и $А_1В_1С_1$ известно, что $\angle A = \angle A_1 ; \angle B = \angle B_1 ; АВ = 5 м, ВС = 7 м, А_1В_1 = 10 м, А_1С_1 = 8 м.$ Найти неизвестные стороны треугольников.

Решение. Треугольники, определенные условием задачи, подобны по первому признаку подобия. Из подобия треугольников следует: $$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} \,\,\, (1) $$ Подставив в равенство (1) данные из условия задачи, получим: $$ \frac{5}{10} = \frac{7}{B_1C_1} = \frac{AC}{8} \,\,\, (2) $$ Из равенства (2) составим две пропорции $$ \frac{5}{10} = \frac{7}{B_1C_1} \\ \frac{5}{10} = \frac{AC}{8} \\ \text{ откуда }В_1С_1 = 14 (м), АС = 4 (м). $$


Пример 3. Углы В и $В_1$ треугольников ABC и $А_1В_1С_1$ равны. Стороны АВ и ВС треугольника ABC в 2,5 раза больше сторон $A_1B_1$ и $B_1C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$. Найти АС и $A_1C_1$ , если их сумма равна 4,2 м.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 2.

Рис.2

Из условия задачи: $$ 1) \angle B = \angle B_1 ; \\ 2) \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = 2,5 \\ 3) AC + A_1C_1 = 4,2 м. $$ Следовательно, $\triangle ABC \sim \triangle А_1В_1С_1$. Из подобия этих треугольников следует $$ \frac{AC}{A_1C_1} = 2,5\text{ , или }АС = 2,5\bullet А_1С_1 $$ Так как АС = 2,5 • А1С1, то АС + А1C1 = 2,5 • А1С1 + A1C1 = 4,2, откуда A1C1 = 1,2 (м), АС = 3 (м).


Пример 4. Подобны ли треугольники ABC и А1В1С1, если АВ = 3 см, ВС = 5 см, АС = 7 см, А1В1 = 4,5 см, B1C1 = 7,5 см, A1C1 = 10,5 см?

Решение. Имеем: $$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{3}{4,5} = \frac{1}{1,5} \\ \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{5}{7,5} = \frac{1}{1,5} \\ \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{7}{10,5} = \frac{1}{1,5} $$ Следовательно, треугольники подобны по третьему признаку.


Пример 5. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Решение. Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Обозначим буквой О точку пересечения его медиан $АА_1\text{ и }ВВ_1$ и проведем среднюю линию $A_1B_1$ этого треугольника (рис.3).

Рис.3

Отрезок $A_1B_1$ параллелен стороне АВ, поэтому $\angle 1 = \angle2 \text{ и } \angle 3 = \angle 4 $. Следовательно, треугольники АОВ и $A_1OB_1$ подобны по двум углам, и, значит, их стороны пропорциональны: $$ \frac{AO}{A_1O} = \frac{BO}{B_1O} = \frac{AB}{A_1B_1} $$

Но $AB = 2A_1B_1$ , поэтому $AO = 2A_1O$ и $BO = 2B_1O$ .

Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан $BB_1\text{ и }CC_1} делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой О.

Итак, все три медианы треугольника ABC пересекаются в точке О и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

Замечание. Ранее отмечалось, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. На основе последнего утверждения устанавливается, что и высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Эти три точки и точка пересечения медиан называются замечательными точками треугольника.


Пример 6. Проектор полностью освещает экран А высотой 90 см, расположенный на расстоянии 240 см. На каком наименьшем расстоянии в см. от проектора нужно расположить экран Б, высотой 150 см, так, что бы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными.

Видео-решение.



Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — ПланиметрияПодобие треугольников коэффициент подобия признаки подобия треугольников признаки подобия прямоугольных треугольников

Подобные треугольники

      Рассмотрим два треугольника KLM и TRP (рис.1) и введём следующие обозначения.

Подобные треугольникиПодобные треугольники

Рис.1

      Обозначим

a1 ,   b1 ,   c1

длины сторон треугольника   KLM,   расположенные в порядке возрастания.

      Обозначим

a2 ,   b2 ,   c2

длины сторон треугольника   TRP,   расположенные в порядке возрастания.

      Переобозначим вершины треугольников   KLM   и   TRP   так, как показано на рисунке 2.

Подобные треугольникиПодобные треугольники

Рис.2

      На рисунке 2 треугольник   KLM   обозначается как треугольник   A1B1C1,   а треугольник   TRP   обозначается как треугольник   A2B2C2.

      Определение 1. В треугольниках   A1B1C1   и   A2B2C2,   изображённых на рисунке 2,

  • вершины   A1   и   A2,   B1   и   B2,   C1   и   C2   называют сходственными вершинами,
  • стороны   A1B1   и   A2B2,   A1C1   и   A2C2,   B1C1   и   B2C2   называют сходственными сторонами,
  • углы   A1   и   A2,   B1   и   B2,   C1   и   C2   называют сходственными углами

      Определение 2. Треугольники   A1B1C1   и   A2B2C2   называют подобными треугольниками, если их сходственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

      Другими словами, треугольники   A1B1C1   и   A2B2C2   подобны, если, во-первых,

Признаки подобия треугольниковПризнаки подобия треугольников

а, во-вторых, существует положительное число k, такое, что справедливы равенства:

a1 = k a2 ,   b1 = k b2 ,   c1 = k c2 .(1)

      Определение 3. В случае, когда треугольники   A1B1C1   и   A2B2C2   подобны, число k, заданное формулами (1), называют коэффициентом подобия треугольников   A1B1C1   и   A2B2C2 .

Признаки подобия треугольников

Название признакаРисунокФормулировка признака

Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними

Признаки подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

Признак подобия треугольников по двум углам

Признаки подобия треугольников

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Признак подобия треугольников по трём сторонам

Признаки подобия треугольников

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними

Формулировка признака подобия:

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

Признаки подобия треугольниковПризнаки подобия треугольников
Признак подобия треугольников по двум углам

Формулировка признака подобия:

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Признаки подобия треугольниковПризнаки подобия треугольников
Признак подобия треугольников по трём сторонам

Формулировка признака подобия:

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Признаки подобия треугольниковПризнаки подобия треугольников

Признаки подобия прямоугольных треугольников

Название признакаРисунокФормулировка признака

Признак подобияпрямоугольных треугольников по двум катетам

Признаки подобия прямоугольных треугольников

Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Признак подобия прямоугольных треугольников по острому углу

Признаки подобия прямоугольных треугольников

Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Признак подобия прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету

Признаки подобия прямоугольных треугольников

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Признак подобия прямоугольных треугольников по двум катетам

Формулировка признака подобия прямоугольных треугольников:

Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Признаки подобия прямоугольных треугольниковПризнаки подобия прямоугольных треугольников
Признак подобия прямоугольных треугольников по острому углу

Формулировка признака подобия прямоугольных треугольников:

Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Признаки подобия прямоугольных треугольниковПризнаки подобия прямоугольных треугольников
Признак подобия прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету

Формулировка признака подобия прямоугольных треугольников:

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Признаки подобия прямоугольных треугольниковПризнаки подобия прямоугольных треугольников

      Следствие 1. Прямая, пересекающая треугольник и параллельная стороне треугольника, отсекает от этого треугольника подобный треугольник (рис. 3).

Подобные треугольники

Рис.3

      Следствие 2. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия (рис. 4)

Подобные треугольники отношение площадейПодобные треугольники отношение площадей

Рис.4

     

Признаки подобия треугольников

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Признаки подобия треугольников

Прежде чем разобрать задачи, повторим признаки подобия треугольников и свойства подобных треугольников.

Для доказательства подобия произвольных треугольников в школьном курсе используют три признака.

I. Признак подобия треугольников по двум углам.

 

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

II. Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

III. Признак подобия треугольников по трем сторонам.

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Признак подобия прямоугольных треугольников

Для подобия прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по одному острому углу.

Из подобия треугольников следует равенство соответствующих углов и пропорциональность сторон:

Периметры подобных треугольников пропорциональны:

   

k — коэффициент подобия.

Все линейные размеры подобных треугольников также пропорциональны, то есть отношение соответствующих биссектрис, высот, медиан также равно k.

Углы между соответствующими линиями подобных треугольников равны.

Площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров:

   

 

 

 

 

Подобные треугольники. Признаки подобия | Геометрия

Подобные треугольники — это треугольники, у которых все три угла равны, а все стороны одного треугольника в одно и то же число раз длиннее (или короче) сторон другого треугольника, то есть треугольники подобны если их углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Сходственные стороны — это стороны двух треугольников, лежащие против равных углов.

Рассмотрим два треугольника  ABC  и  A1B1C1,  у которых  ∠A = ∠A1∠B = ∠B1∠C = ∠C1:

подобные треугольники

Стороны  AB  и  A1B1BC  и  B1C1CA  и  C1A1,  лежащие напротив равных углов, называются сходственными сторонами. Следовательно, отношения сходственных сторон равны:

AB = BC = AC = k,
A1B1B1C1A1C1

k  — это коэффициент подобия ( число, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников). Если  k = 1,  то треугольники равны, то есть равенство треугольников – это частный случай подобия.

Подобие треугольников обозначается знаком  ~ABC ~ A1B1C1.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Если обозначить площади двух подобных треугольников буквами  S  и  S1,  то:

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники подобны.

Первый признак подобия треугольников

Если  ∠A = ∠A1∠C = ∠C1,

то  ABC ~ A1B1C1.

Второй признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников

Если  AB = AC,  ∠A = ∠A1,
A1B1A1C1

то  ABC ~ A1B1C1.

Третий признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников

Если  AB = BC = AC,
A1B1B1C1A1C1

то  ABC ~ A1B1C1.

Как найти, если треугольники похожи

Два треугольника похожи, если они имеют:

  • все их углы равны
  • соответствующие стороны в том же соотношении

Но нам не нужно знать все три стороны и все три угла … двух или трех из шести обычно достаточно.

Существует три способа определения схожести двух треугольников: AA , SAS и SSS :

AA

AA означает «угол, угол» и означает, что треугольники имеют два равных угла.

Если два треугольника имеют два равных угла, треугольники похожи.

Пример: эти два треугольника похожи:

Если два их угла равны, то третий угол также должен быть равен, потому что углы треугольника всегда складываются, чтобы составить 180 °.

В этом случае угол пропуска составляет 180 ° — (72 ° + 35 °) = 73 °

Таким образом, AA также можно назвать AAA (потому что, когда два угла равны, все три угла должны быть равны).

SAS

SAS означает «сторона, угол, сторона» и означает, что у нас есть два треугольника, где:

  • соотношение между двумя сторонами такое же, как соотношение между двумя другими сторонами
  • и мы также знаем, что включенные углы равны.

Если два треугольника имеют две пары сторон в одинаковом соотношении и включенные углы также равны, то треугольники аналогичны.

Пример:

В этом примере мы видим, что:

  • одна пара сторон находится в соотношении 21: 14 = 3: 2
  • другая пара сторон находится в соотношении 15: 10 = 3: 2
  • между ними имеется угол в 75 °

Итак, достаточно информации, чтобы сказать нам, что два треугольника похожи на .

с использованием тригонометрии

Мы также могли бы использовать тригонометрию для вычисления двух других сторон, используя закон косинусов:

Пример продолжения

в треугольнике ABC:

  • a 2 = b 2 + c 2 — 2 млрд. Долл. США cos A
  • a 2 = 21 2 + 15 2 — 2 × 21 × 15 × Cos75 °
  • a 2 = 441 + 225 — 630 × 0,2588 …
  • а 2 = 666 — 163.055 …
  • a 2 = 502.944 …
  • So a = √502,94 = 22,426 …

в треугольнике XYZ:

  • x 2 = y 2 + z 2 — 2yz cos X
  • x 2 = 14 2 + 10 2 — 2 × 14 × 10 × Cos75 °
  • x 2 = 196 + 100 — 280 × 0,2588 …
  • x 2 = 296 — 72,469 …
  • x 2 = 223,530 …
  • Итак, х = √223.530 … = 14,950 …

Теперь давайте проверим соотношение этих двух сторон:

: х = 22,426 …: 14,950 … = 3: 2

такое же соотношение, как и раньше!

Примечание: мы также можем использовать закон синусов, чтобы показать, что два других угла равны.

SSS

SSS означает «сторона, сторона, сторона» и означает, что у нас есть два треугольника со всеми тремя парами соответствующих сторон в одинаковом соотношении.

Если два треугольника имеют три пары сторон в одинаковом соотношении, то треугольники похожи.

Пример:

В этом примере соотношения сторон:

  • а: х = 6: 7,5 = 12: 15 = 4: 5
  • b: y = 8: 10 = 4: 5
  • c: z = 4: 5

Все эти соотношения равны, поэтому два треугольника похожи.

с использованием тригонометрии

Используя тригонометрию, мы можем показать, что два треугольника имеют равные углы, используя закон косинусов в каждом треугольнике:

в треугольнике ABC:

  • cos A = (b 2 + c 2 — a 2 ) / 2bc
  • cos A = (8 2 + 4 2 — 6 2 ) / (2 × 8 × 4)
  • cos A = (64 + 16 — 36) / 64
  • cos A = 44/64
  • cos A = 0.6875
  • So Angle A = 46,6 °

в треугольнике XYZ:

  • cos X = (y 2 + z 2 — x 2 ) / 2yz
  • cos X = (10 2 + 5 2 — 7,5 2 ) / (2 × 10 × 5)
  • cos X = (100 + 25 — 56,25) / 100
  • cos X = 68,75 / 100
  • cos X = 0,6875
  • So Angle X = 46,6 °

Так что углы А и Х равны!

Аналогичным образом мы можем показать, что углы B и Y равны, а углы C и Z равны.

,

Сходство в треугольниках | Shmoop


Вы устали слышать, что подобные треугольники имеют совпадающие углы и пропорциональные стороны? Мы говорим это только потому, что это важно. И правда. И важно.

Если мы знаем, что два треугольника имеют конгруэнтные углы и пропорциональные стороны, то мы знаем, что они похожи. На самом деле, если мы знаем, что два треугольника имеют совпадающие углы и / или пропорциональные стороны, то мы знаем, что они похожи. Нам не нужно знать и то и другое, хотя хорошо, когда у вас есть все базы.

Проверьте эти треугольники.

Они, конечно, похожи, но иногда рисунки могут бросить нам кривая. К счастью, нам даны длины сторон треугольников, что очень удобно, потому что мы не можем просто определить, совпадают ли углы.

Давайте настроим соотношения и сравним. Они равны?

Да, действительно, длины сторон пропорциональны, поэтому мы можем быть уверены, что ∆ OAK ~ ∆ MIL .

Пример задачи

PIT имеет длины сторон 4, 5 и 8, а ∆ KAN имеет длины сторон 12, 15 и 22. Они похожи?

Давайте установим некоторые соотношения и посмотрим.

Нет. Так что они не похожи.

Это целая игра в мяч, когда мы имеем дело с углами. В то время как длина сторон пропорциональна в подобных треугольниках, углы должны быть конгруэнтными. Если мы вырежем любые два одинаковых треугольника (которые мы не рекомендуем делать на вашем экране, но не стесняемся распечатать страницу, а затем приступить к работе) и поместим их друг на друга, мы могли бы выстроить в ряд каждый набор соответствующие углы и видим, что углы точно такого же размера.

Треугольники ∆ TEX и ∆ WAS похожи, потому что их углы совпадают. В частности, Т , Вт , Е , А и X , S .

Пример задачи

NYM имеет углы, которые составляют 50 °, 87 ° и 43 °. ∆ PHI имеет углы, которые составляют 87 °, 50 ° и 43 °. Они похожи?

Да. Запишите это: тройная игра с тремя парами конгруэнтных углов.Это делает треугольники похожими.

Напрашивается интересный вопрос. Должны ли мы знать меры всех углов, чтобы решить, похожи ли два треугольника?

Короче, нет.

Длинный ответ основан на том факте, что три угла внутри каждого треугольника всегда складываются до 180 ° (помните теорему об угле сумме для треугольников?). Это означает, что если мы знаем только меру двух углов, мы можем вычислить меру третьего.Тем не менее, приблизительные цифры не помогут.

Так что насчет этих двух треугольников? Они похожи?

В первом треугольнике мы знаем 20 P = 48 ° и ∠ I = 79 °. Поскольку m∠ P + m∠ I + m∠ T = 180, мы можем рассчитать, что m∠ T = 53 °. Во втором треугольнике m∠ L = 48 ° и m∠ A = 79 °. Опять же, поскольку m∠ L + m∠ A + m∠ D = 180, мы знаем, что ∠ D также должно быть 53 °.Оба треугольника имеют три равных угла, что означает, что они должны быть похожими.

Чтобы написать утверждение сходства, мы должны получить наши письма в правильном порядке. Конгруэнтные углы должны быть в одном и том же месте в названии каждого треугольника: ∠ P , ≅ L , ∠ I , ∠ A и ∠ T , 20 D , поэтому мы пишем ∆ PIT ~ LAD .

Но нам действительно не нужно было вычислять размер этих третьих углов. И вот почему:

Заявления Причины
1.m∠ P + m∠ I + m∠ T = 180 Теорема об углах сумм для треугольников
2. m∠ L + m∠ A + m∠ D = 180 Теорема об углах суммы для треугольников
3. m∠ P = m∠ L , m∠ I = m∠ A Данные (на рисунке)
4. m∠ T = 180 — (m∠ P + m∠ I ) Перегруппировка (1)
5.m∠ D = 180 — (m∠ L + m∠ A ) Перегруппировка (2)
6. m∠ T = 180 — (m∠ L + m∠ A ) Замена (3, 4)
7. m∠ D = m∠ T Замена (5, 6)
8. 9009 D ∠ T Определение конгруэнтных углов (7)


Даже без необходимости точных измерений любого из углов мы знаем, что ∠ T и ∠ D равны по величине, что означает, что они также конгруэнтны.

И мы только что обнаружили нечто, называемое «Угловой постулат-угол» , в котором говорится, что если два треугольника имеют две пары конгруэнтных углов, то треугольники похожи. Видишь, разве это не приятно?

Пример задачи

Два угла в ∆ BOS измеряют 22 ° и 108 °, а два угла в ∆ CLE измеряют 108 ° и 48 °. Треугольники похожи?

Мы знаем из задачи, что у них есть хотя бы один конгруэнтный угол (108 °).Но у них есть другой набор? Чтобы найти отсутствующий угол в ∆ BOS , мы решим 180 ° — (108 ° + 22 °) = x или x = 50 °. Три угла в BOS составляют 22 °, 50 ° и 108 °. Ни один из них не равен 48 °, поэтому мы уже знаем (не вычисляя размер третьего угла ∆ CLE ), что наши два треугольника не имеют по крайней мере два равных угла. Они не совпадают, поэтому два треугольника не похожи. Качели и мисс.

Похожие треугольники

Два треугольника похожи, если единственное отличие — это размер (и, возможно, необходимость повернуть или перевернуть один).

Все эти треугольники похожи:

(Равные углы отмечены одинаковым количеством дуг)

Некоторые из них имеют разные размеры, а некоторые повернуты или перевернуты.

Для похожих треугольников:


Все соответствующие углы равны

и


Все соответствующие стороны имеют одинаковое соотношение

Также обратите внимание, что соответствующие стороны обращены к соответствующим углам.Например, стороны, которые обращены к углам с двумя дугами, соответствуют.

Соответствующие стороны

В похожих треугольниках соответствующие стороны всегда находятся в одинаковом соотношении.

Например:

Треугольники R и S аналогичны. Равные углы обозначены одинаковыми номерами дуг.

Какие длины соответствуют?

  • Длина 7 и a соответствуют (они обращены к углу, отмеченному одной дугой)
  • Длина 8 и 6.4 соответствуют (они обращены к углу, обозначенному двумя дугами)
  • Соответствуют длины 6 и b (они обращены к углу, обозначенному тремя дугами)

Расчет длины соответствующих сторон

Иногда мы можем вычислить длины, которые мы еще не знаем.

  • Шаг 1: Найти отношение соответствующих сторон
  • Шаг 2: Используйте это соотношение, чтобы найти неизвестные длины

Пример: Найти длины a и b треугольника S

Шаг 1: Найти соотношение

Мы знаем все стороны в Треугольнике R , и
Мы знаем сторону 6.4 в треугольнике S

Элемент 6.4 обращен к углу, обозначенному двумя дугами, а также стороне длины 8 в треугольнике R .

Таким образом, мы можем сопоставить 6,4 с 8 , и поэтому соотношение сторон в треугольнике S к треугольнику R равно:

от 6,4 до 8

Теперь мы знаем, что длины сторон в треугольнике S равны 6,4 / 8 раз длины сторон в треугольнике R .

Шаг 2: используйте соотношение

a обращен к углу одной дугой, как и сторона длины 7 в треугольнике R .

a = (6,4 / 8) × 7 = 5,6

b обращены к углу с тремя дугами, как и сторона длины 6 в треугольнике R .

b = (6,4 / 8) × 6 = 4,8

Готово!

,
Сходство треугольников — теоремы, свойства, примеры и доказательства
    • Классы
      • Класс 1 — 3
      • Класс 4 — 5
      • Класс 6 — 10
      • Класс 11 — 12
    • КОНКУРСЫ
      • BBS
      • 000000000 Книги
        • NCERT Книги для 5 класса
        • NCERT Книги Класс 6
        • NCERT Книги для 7 класса
        • NCERT Книги для 8 класса
        • NCERT Книги для 9 класса
        • NCERT Книги для 10 класса
        • NCERT Книги для 11 класса
        • NCERT Книги для 12-го класса
      • NCERT Exemplar
        • NCERT Exemplar Class 8
        • NCERT Exemplar Class 9
        • NCERT Exemplar Class 10
        • NCERT Exemplar Class 11
        • NCERT Exemplar Class 12
        • 9000al Aggar Agaris Agard Agard Agard Agard Agard 2000 12000000
          • Решения RS Aggarwal класса 10
          • Решения RS Aggarwal класса 11
          • Решения RS Aggarwal класса 10
          • 90 003 Решения RS Aggarwal класса 9
          • Решения RS Aggarwal класса 8
          • Решения RS Aggarwal класса 7
          • Решения RS Aggarwal класса 6
        • Решения RD Sharma
          • Решения класса RD Sharma
          • Решения класса 9 Шарма 7 Решения RD Sharma Class 8
          • Решения RD Sharma Class 9
          • Решения RD Sharma Class 10
          • Решения RD Sharma Class 11
          • Решения RD Sharma Class 12
        • ФИЗИКА
          • Механика
          • 000000 Электромагнетизм
        • ХИМИЯ
          • Органическая химия
          • Неорганическая химия
          • Периодическая таблица
        • МАТС
          • Теорема Пифагора
          • Отношения и функции
          • Последовательности и серии
          • Таблицы умножения
          • Детерминанты и матрицы
          • Прибыль и убыток
          • Полиномиальные уравнения
          • Делительные дроби
        • 000 ФОРМУЛЫ
          • Математические формулы
          • Алгебровые формулы
          • Тригонометрические формулы
          • Геометрические формулы
        • КАЛЬКУЛЯТОРЫ
          • Математические калькуляторы
          • S000
          • S0003
          • Pегипс Класс 6
          • Образцы документов CBSE для класса 7
          • Образцы документов CBSE для класса 8
          • Образцы документов CBSE для класса 9
          • Образцы документов CBSE для класса 10
          • Образцы документов CBSE для класса 11
          • Образец образца CBSE pers for Class 12
        • CBSE Документ с вопросами о предыдущем году
          • CBSE Документы за предыдущий год Class 10
          • CBSE Вопросы за предыдущий год Class 12
        • HC Verma Solutions
          • HC Verma Solutions Класс 11 Физика
          • Решения HC Verma Class 12 Physics
        • Решения Lakhmir Singh
          • Решения Lakhmir Singh Class 9
          • Решения Lakhmir Singh Class 10
          • Решения Lakhmir Singh Class 8
        • Примечания
        • CBSE
        • Notes
            CBSE Класс 7 Примечания CBSE
          • Класс 8 Примечания CBSE
          • Класс 9 Примечания CBSE
          • Класс 10 Примечания CBSE
          • Класс 11 Примечания CBSE
          • Класс 12 Примечания CBSE
        • Примечания пересмотра
        • CBSE Редакция
        • CBSE
        • CBSE Class 10 Примечания к пересмотру
        • CBSE Class 11 Примечания к пересмотру 9000 4
        • Замечания по пересмотру CBSE класса 12
      • Дополнительные вопросы CBSE
        • Дополнительные вопросы CBSE 8 класса
        • Дополнительные вопросы CBSE 8 по естественным наукам
        • CBSE 9 класса Дополнительные вопросы
        • CBSE 9 дополнительных вопросов по науке CBSE
        • 9000 Класс 10 Дополнительные вопросы по математике
        • CBSE Класс 10 Дополнительные вопросы по науке
      • Класс CBSE
        • Класс 3
        • Класс 4
        • Класс 5
        • Класс 6
        • Класс 7
        • Класс 8
        • Класс 9
        • Класс 10
        • Класс 11
        • Класс 12
      • Решения для учебников
    • Решения NCERT
      • Решения NCERT для класса 11
          Решения NCERT для физики класса 11
        • Решения NCERT для класса 11 Химия
        • Решения для класса 11 Биология
        • NCERT Решения для класса 11 Математика
        • 9 0003 NCERT Solutions Class 11 Бухгалтерия
        • NCERT Solutions Class 11 Бизнес исследования
        • NCERT Solutions Class 11 Экономика
        • NCERT Solutions Class 11 Статистика
        • NCERT Solutions Class 11 Коммерция
      • NCERT Solutions для класса 12
        • NCERT Solutions для Класс 12 Физика
        • Решения NCERT для 12 класса Химия
        • Решения NCERT для 12 класса Биология
        • Решения NCERT для 12 класса Математика
        • Решения NCERT Класс 12 Бухгалтерский учет
        • Решения NCERT Класс 12 Бизнес исследования
        • Решения NCERT Класс 12 Экономика
        • NCERT Solutions Class 12 Бухгалтерский учет Часть 1
        • NCERT Solutions Class 12 Бухгалтерский учет Часть 2
        • NCERT Solutions Class 12 Микроэкономика
        • NCERT Solutions Class 12 Коммерция
        • NCERT Solutions Class 12 Макроэкономика
      • NCERT Solutions Для Класс 4
        • Решения NCERT для математики класса 4
        • Решения NCERT для класса 4 EVS
      • Решения NCERT для класса 5
        • Решения NCERT для математики класса 5
        • Решения NCERT для класса 5 EVS
      • Решения NCERT для класса 6
        • Решения NCERT для класса 6 Maths
        • Решения NCERT для класса 6 Science
        • Решения NCERT для класса 6 Общественные науки
        • Решения NCERT для класса 6 Английский
      • Решения NCERT для класса 7
        • Решения NCERT для класса 7 Математика
        • Решения NCERT для 7 класса Science
        • Решения NCERT для 7 класса Общественные науки
        • Решения NCERT для 7 класса Английский
      • Решения NCERT для 8 класса Математические решения
        • для 8 класса Математика
        • Решения NCERT для класса 8 Science
        • Решения NCERT для класса 8 Общественные науки
        • NCERT Solutio ns для класса 8 Английский
      • Решения NCERT для класса 9
        • Решения NCERT для класса 9 Общественные науки
      • Решения NCERT для класса 9 Математика
        • Решения NCERT для класса 9 Математика Глава 1
        • Решения NCERT Для класса 9 Математика 9 класса Глава 2
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 3
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 4
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 5
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 6
        • Решения NCERT для Математика 9 класса Глава 7
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 8
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 9
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 10
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 11
        • Решения NCERT для Математика 9 класса Глава 12
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 13
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 14
        • Решения NCERT для математики класса 9 Глава 15
      • Решения NCERT для науки 9 класса
        • Решения NCERT для науки 9 класса Глава 1
        • Решения NCERT для науки 9 класса Глава 2
        • Решения NCERT для класса 9 Наука Глава 3
        • Решения NCERT для 9 класса Наука Глава 4
        • Решения NCERT для 9 класса Наука Глава 5
        • Решения NCERT для 9 класса Наука Глава 6
        • Решения NCERT для 9 класса Наука Глава 7
        • Решения NCERT для 9 класса Научная глава 8
        • Решения NCERT для 9 класса Научная глава
        • Научные решения NCERT для 9 класса Научная глава 10
        • Научные решения NCERT для 9 класса Научная глава 12
        • Научные решения NCERT для 9 класса Научная глава 11
        • Решения NCERT для 9 класса Научная глава 13
        • Решения NCERT для 9 класса Научная глава 14
        • Решения NCERT для класса 9 Science Глава 15
      • Решения NCERT для класса 10
        • Решения NCERT для класса 10 Общественные науки
      • Решения NCERT для математики класса 10
        • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 1
        • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 2
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 3
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 4
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 5
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 6
        • решения NCERT для математики класса 10 Глава 7
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 8
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 9
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 10
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 11
        • решения NCERT для математики класса 10, глава 12
        • Решения NCERT для математики класса 10, глава 13
        • соль NCERT Решения для математики класса 10 Глава 14
        • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 15
      • Решения NCERT для науки 10 класса
        • Решения NCERT для науки 10 класса Глава 1
        • Решения NCERT для науки 10 класса Глава 2
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 3
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 4
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 5
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 6
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 7
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 8
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 9
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 10
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 11
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 12
        • Решения NCERT для 10 класса Science Глава 9
        • Решения NCERT для 10 класса Science Глава 14
        • Решения NCERT для науки 10 класса Глава 15
        • Решения NCERT для науки 10 класса Глава 16
      • Программа NCERT
      • NCERT
    • Коммерция
      • Класс 11 Коммерческая программа Syllabus
      • Учебный курс по бизнес-классу 11000
      • Учебная программа по экономическому классу
    • Учебная программа по коммерческому классу
      • Учебная программа по 12 классу
      • Учебная программа по 12 классу
      • Учебная программа по экономическому классу
          000000 000000 000000
        • Образцы коммерческих документов класса 11
        • Образцы коммерческих документов класса 12
      • Решения TS Grewal
        • Решения TS Grewal Класс 12 Бухгалтерский учет
        • Решения TS Grewal Класс 11 Бухгалтерский учет
      • Отчет о движении денежных средств
      • eurship
      • Защита потребителей
      • Что такое фиксированный актив
      • Что такое баланс
      • Формат баланса
      • Что такое акции
      • Разница между продажами и маркетингом
    • P000S Документы ICSE
    • ML Решения Aggarwal
      • ML Решения Aggarwal Class 10 Maths
      • ML Решения Aggarwal Class 9 Математика
      • ML Решения Aggarwal Class 8 Maths
      • ML Решения Aggarwal Class 7 Математические решения
      • ML 6 0004
      • ML 6
    • Selina Solutions
      • Selina Solution для 8 класса
      • Selina Solutions для 10 класса
      • Selina Solution для 9 класса 9
    • Frank Solutions
      • Frank Solutions для класса 10 Maths
      • Frank Solutions для класса 9 Maths
    • ICSE Class 9000 2
    • ICSE Class 6
    • ICSE Class 7
    • ICSE Class 8
    • ICSE Class 9
    • ICSE Class 10
    • ISC Class 11
    • ISC Class 12
  • IAS
  • Сервисный экзамен
  • UPSC Syllabus
  • Бесплатно IAS Prep
  • Текущая информация
  • Список статей IAS
  • IAS 2019 Mock Test
    • IAS 2019 Mock Test 1
    • IAS 2019 Mock Test 2
    • KPSC KAS экзамен
    • UPPSC PCS экзамен
    • MPSC экзамен
    • RPSC RAS ​​экзамен
    • TNPSC группа 1
    • APPSC группа 1
    • BPSC экзамен
    • экзамен
    • JPS
    • экзамен
    • экзамен
    • WPSS
    • экзамен
    • JPS
    • экзамен
    • экзамен
    • экзамен
    • экзамен
    • экзамен
    • экзамен
    • экзамен
    • экзамен
    • экзамен
  • Вопросник UPSC 2019
    • Ключ ответа UPSC 2019
  • Коучинг IAS
    • IA S Коучинг Бангалор
    • IAS Коучинг Дели
    • IAS Коучинг Ченнаи
    • IAS Коучинг Хайдарабад
    • IAS Коучинг Мумбаи
  • JEE
    • Бумага
    • JEE JEE 9000
    • JEE
    • JEE-код
    • JEE
    • J0003 S0004000
    • JEE Вопрос
    • Биноминальная теорема
    • JEE Статьи
    • Квадратичное уравнение
  • NEET
    • Программа Бьюя NEET
    • NEET 2020
    • NEET Подготовка к экзамену NEET
    • S0003
    • образца
    • Поддержка
      • Жалоба Разрешение
      • Customer Care
      • Поддержка центр
  • Государственные платы
    • GSEB
      • GSEB Силабус
      • GSEB Вопрос бумаги
      • GSEB образец бумаги
      • GSEB Книги
      90 004
    • MSBSHSE
      • MSBSHSE Syllabus
      • MSBSHSE Учебники
      • MSBSHSE Образцы документов
      • MSBSHSE Вопросные записки
    • AP Board
      • -й год APSERT
      • -й год SBSUS
      • -й год
      • SUBSUS
      • SUBSUS
      • SUBSUS
      • SUBSUS
      • SUBSUS
      • SUBSUS
      • SUBSUS
      • SUBSUS
      • SUBSUS
      • SUBSUS
      • SUBSUS
      • SUBSUS SUBSUS SUBSUS SUBSUS SUBSUS
      • SUBSUS
      • SUBSUS
      • SUBSUS
      • SUBSUS SUBSUS
      • SUBSUS
      • Всеобщая справка
    • MP Board
      • MP Board Syllabus
      • MP Board Образцы документов
      • MP Board Учебники
    • Assam Board
      • Assam Board Syllabus
      • Assam Board Учебники
      • Sample Board Paperss Sample3 P0003 BSEB
        • Бихарская доска Syllabus
        • Бихарская доска Учебники
        • Бихарская доска Вопросные бумаги
        • Бихарская модель Бумажные макеты
      • БСЭ Одиша
        • доска
        • Sislabus
        • Совет 9408 S0008
        • Sisplus
        • S0008
        • Sample P000S
        • Sample
        • S000S PSEB Syllabus
        • Учебники PSEB
        • Документы PSEB
      • RBSE
        • Учебное пособие Раджастхана Syllabus
        • Учебники RBSE
        • Документы RBSE
      • PCB
      • HPE HPSBE
      • JKBOSE
        • JKBOSE Syllabus
        • JKBOSE Образцы документов
        • JKBOSE Образец экзамена
      • TN Board
        • TN Board Syllabus
        • Board 931 JAC
          • JAC Силабус
          • JAC учебники
          • JAC Вопрос Papers
        • Telangana Совет
          • Telangana Совет Силабус
          • Telangana совет учебники
          • Telangana Совет Вопрос Papers
          • KSEEB KSEEB Силабус
          • KSEEB Модель Вопрос Papers
        • KBPE
          • KBPE Силабус
          • KBPE Учебники
          • KBPE Вопрос Papers
        • UPMSP
          • UP Совет Силабус
          • UP Совет Книги
          • UP Совет Вопрос Papers
        • Западная Бенгалия Совет
          • Западная Бенгалия Совет Силабус
          • Западная Бенгалия Совет учебниками
          • West Bengal совет Вопрос документы
        • UBSE
        • TBSE
        • Goa Board
        • NbSe
        • CGBSE
        • MBSE
        • Meghalaya Совет
        • Manipur Совет
        • Харьяны Совет
      • Государственные экзамены
        • Банк экзаменов
          • SBI Exams
          • PIL, Exams
          • RBI Exams
          • PIL, РРБ экзамен
        • SSC Exams
          • SSC JE
          • SSC GD
          • SSC CPO 900 04
          • SSC CHSL
          • SSC CGL
        • RRB экзаменов
          • RRB JE
          • RRB NTPC
          • RRB ALP
        • L0003000000 L0003000000000000 UPSC CAPF
        • Список государственных экзаменов Статьи
      • Обучающие дети
        • Класс 1
        • Класс 2
        • Класс 3
      • Академические вопросы
        • Вопросы физики
        • Вопросы химии
        • Химические вопросы
        • Химические вопросы
        • Вопросы химии
        • Биология
        • Вопросы
        • Вопросы по науке
        • Вопросы ГК
      • Обучение онлайн
        • Обучение на дому
      • Полные формы
      • CAT
        • Программа CAT BYJU’S
        • CAT
        • CAT
        • CAT
        • CAT
        • CAT
        • CAT
        • CAT
        • CAT
        • FreeBS
        • 40004 CAT 2020 Exam Pattern
        • Обзор приложения Byju на CAT
    • КУПИТЬ КУРС
    • +919243500460
  • .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *