Тригонометрические уравнения примеры с решениями: Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!

Содержание

Урок алгебры в 10-м классе. Тема: «Примеры решения тригонометрических уравнений»

Фомина Валентина Витальевна

Разделы: Математика

Цель урока:

Закрепить навыки решения простейших тригонометрических уравнений.
Сформировать понятие решения тригонометрических уравнений сводящихся к квадратным.
Развивать умения сравнивать, выявлять закономерности, обобщать.
Воспитывать ответственное отношение к труду.

Оборудование:

Карточки для повторения формул решения простейших тригонометрических уравнений.
Плакат с алгоритмом решения тригонометрических уравнений (большой на доску и каждому на стол).

Литература: Учебник Колмагорова “Алгебра и начала анализа, 10-11 класс”.

Ход урока.

I. Повторение

1. sin x = a, cos x = a, tg x = a

При каких значениях а эти уравнения имеют решения?
[sin x и cos x при /а/ 1 tg x при любом a]

2. Повторить формулы решения простейших тригонометрических уравнений (на карточках):

sin x = а х = (-1)^к arc sin a+ к, к z
sin x = 0
sin x = 1
sin x = -1

cos x = a x=± arc cos a + 2 , n z
cos x = 0
cos x = 1
cos x = -1

tg x = a x = arc tg a + n, n z

arc sin (-а) = — arc sin а
arc cos (-а) = — arc cos а
arc tg а (-а) = — arc tg а

II. Проверка домашнего задания.

Игра “Поле чудес”. Правила игры несколько изменены, а название оставлено.

Правила игры.

Учитель берет понравившееся ему высказывание или слова из песни, стихотворения, пословицу. По количеству букв в этом высказывании подбирается столько же примеров или задач так, чтобы одинаковым буквам соответствовали одинаковые ответы.
Каждому ученику учитель дает карточку с заданиями и ученик сразу начинает решать.
На доске записаны буквы, которые встречаются в высказывании, и под ними ответы, которые соответствуют этим буквам.
Ниже записаны числа по порядку (по количеству букв в высказывании).
Ученик, выполнявший задание, называет номер своей карточки и букву, под которой записан ответ.
Учитель под числом (…) ставит букву (…). И так далее. Ученики стараются быстрее решить, чтобы получить следующую карточку.

За правильно решенные 2-3 задания он может получить оценку. Поэтому желательно карточек иметь более чем число.

Ум хорошо, а два лучше
12 3 45 67 8 9 10 11 12 13 14 15 1 6 17

а	в	д
n z	, к z	, n z
е	л	м
, n z	, n z	, n z
о	р	у
, n z	, n z	, n z
x	ч	ш
, n z	, n z	, n z

Уравнение:

	, n z	у
cos x = -1	х = +2 n, n z	м
	, n z	x
	, n z	o
	, n z	p
	, n z	o
	, n z	ш
	, n z	o
	, n z	a
	, n z	д
	, k z	в
	, n x	a
	, n z	л
	, n z	у
	, n z	ч
	, n z	ш
	, n z	е

Дополнительные уравнения

	, n z
	, k z
	, n z
	, k z
	, n z
	, n z
	, n z
	, n z
	, n z
	, n z
	, k z
	, n z
	, k z
	, k z
	, n z
	, n z

III. Объяснение нового.

В предыдущих параграфах были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений: sin x=a, cos x=a, tg x=a
К этим уравнениям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства из них требуется применение формул преобразований тригонометрических выражений.
Сегодня на уроке мы рассмотрим уравнение, сводящиеся к квадратным.

На доске записаны уравнения:

а) 3х-8=х+6 (линейное уравнение)
б) х²+2х-15=0 (квадратное уравнение)
в) х⁴-5х²+4=0 (квадратное уравнение относительно х²).
г) 2 cos²x-cosx-1=0 (квадратное уравнение относительно cosx)

Какие из них являются квадратными?
Общий вид квадратного уравнения:

ax²+bx+c=0

Корни квадратного уравнения, приведенного, т. е. х²+рх+q=0 можно находить по теореме Виета:

Х₁+х₂=-р; х₁х₂=q

х⁴-5х²+4=0 – квадратное уравнение относительно х². Это уравнение назвали биквадратным. Общий вид ах⁴+вх²+с=0, где а± 0.
Его легко решить методом введения новой переменной, т.е. х²=а и уравнение принимает вид: а²-5а+4=0

3. Последнее уравнение тоже квадратное, относительно

cosx. Для его решения введем новую переменную. Пусть y=cosx, тогда уравнение можно записать виде: 2у²-у-1=0. Получили квадратное уравнение.

Д=1+8=9;

Следовательно:

а) cosx=1 б) cosx=

х=2p n, n z , n z

, n n

Ответ: 2 n, n z; , n z

4. Решим уравнение:

Надо привести уравнение к одной функции. Для этого заменим cos² x на 1-sin²x. Получим относительно xinx квадратное уравнение:

Пусть xinx=у, тогда 2у²+5у-3=0

Получили квадратное уравнение

Д=25+24=49

;

Следовательно:

а) б) xinx=-3 – решение не имеет

, к z

Ответ: , к z

tgx-2ctgx=-1. Функции разные. Используя тождество

tgx? ctgx=1, выразим , заменим ctgx через tgx.

пусть tgx=у, то у²+у-2=0 (дальше, как в предыдущем случае).

6. Для закрепления

4 xin²x- cosx-1=0
Заменим xin²x на 1- cos²x. Получим
4(1- cos²x)- cosx-1=0
4-4 cos²x- cosx-1=0
-4 cos²x- cosx+3=0
4 cos²x+ cosx-3=0

пусть cosx=у, то

4у²+у-3=0

Д=1-48=49 ;

Следовательно,

а) cosx=-1 б)

х= +2 n, n z , n z

Ответ: +2 n; , n z

7. №164 (в) — cамостоятельно

2 xin²x- xinx-1=0
пусть xinx=у, то
2у²-у-1=0

Д=1+8=9;

Следовательно,

а) xinx=1 б)

, n z , n z

,к z.

Ответ: , n z

, к z

№ 165(б)

2 xin²x+3 cosx=0

Заменим xin²x на 1- cos²x получим

2(1- cos²x)+3 cosx=0
2-2 cos²x+3 cosx=0
-2 cos²x+3 cosx+2=0, т.е.
2 cos²x-3 cosx-2=0

пусть cosx=у, то
2у²-3у=0

Д=9+16=25

;

Следовательно,

а) cosx=2 б)

решение не имеет , n z

, n z

Ответ: , n z

Итог урока

Алгоритм решения тригонометрических уравнений.

Привести уравнение к квадратному, относительно тригонометрических функций, применяя тригонометрические тождества.
Ввести новую переменную.
Записать данное уравнение, используя эту переменную.
Найти корни полученного квадратного уравнения.
Перейти от новой переменной к первоначальной.
Решить простейшие тригонометрические уравнения.
Записать ответ.

26.02.2008

Простейшие ⭐ тригонометрические уравнения: алгоритм решения, формулы, примеры

Основные понятия по теме

Определение 1

Тригонометрические уравнения — такие уравнения, в которых неизвестная заключена строго под знаком тригонометрической функции.

Пример 1

Примеры записей тригонометрических уравнений:

6cos2x+5sinx-7=0

sinπx=-1

35sinx+45cosx=1

Определение 2

Простейшими тригонометрическими уравнениями являются такие уравнения, которые записаны в виде:

sinfx=a

cosfx=a

tgfx=a

ctgfx=a

Здесь a представляет собой некое постоянное число.

Заметим, что fx является какой-то функцией, которая определяется искомой переменной x. К примеру:

fx=x

fx=2-x

fx=πx7

В дальнейшем при решении более сложных тригонометрических уравнений на уроках алгебры в десятом классе или на самостоятельных работах потребуется приводить их к виду простейших.

Формулы для решения

Существуют формулы, с помощью которых можно найти корни простейших тригонометрических уравнений. Прежде чем перейти к ним, запишем несколько важных условий.

Правило 1

В том случае, когда уравнения записаны в виде: sinfx=a, cosfx=a, они обладают смыслом при -1≤a≤1.

Правило 2

Если уравнения имеют вид: tg x= a, ctg x= a, то такие уравнения справедливы при любых значениях, которые принимает а.

В качестве примера рассмотрим несколько уравнений:

sin x= 1000

cos3x-sinx=2

sin2x2-2x+1=-3

Согласно правилу, такие уравнения не имеют решений. Причина заключается в том, что корни не соответствуют интервалу от -1 до +1.

В остальных случаях справедливы стандартные формулы.

Решения уравнения, которое имеет вид sin x = a:

Источник: www.resolventa.ru

Существуют частные случаи решения sin x = a. Перечислим их:

Источник: www.resolventa.ru

Решения уравнения, которое имеет вид cos x = a:

Источник: www.resolventa.ru

Существуют частные случаи решения cos x = a. Перечислим их:

Источник: www.resolventa.ru

Решения уравнения, которое имеет вид tg x = a:

Источник: www.resolventa.ru

Существуют частные случаи решения tg x = a. Перечислим их:

Источник: www.resolventa.ru

Решения уравнения, которое имеет вид сtg x = a:

Источник: www.resolventa.ru

Существуют частные случаи решения ctg x = a. Перечислим их:

Источник: www.resolventa.ru

Алгоритм решения простейших тригонометрических уравнений

Геометрический способ решения простейших тригонометрических уравнений заключается в применении тригонометрической окружности и выполнения ряда действий:

отметить корни на единичной окружности;
определить пересечения.

При решении арифметическим методом тригонометрические уравнения сводятся к простейшим. В этом случае пригодятся записанные ранее формулы. Разберем с их помощью поиск корней простейших тригонометрических уравнений.

Решим уравнение:

sinx=0,5

Согласно определению:

x=-1narcsin0,5+πn, n∈Z

Далее нужно упростить выражение путем вычисления значения арксинуса. Получаем синус угла π6. Определим угол, синус которого составляет 0,5. Запишем:

x=-1nπ6+πn, n∈Z

Ответ: x=-1nπ6+πn, n∈Z

Найдем решения уравнения:

sinx=-32

Исходя из определения, запишем:

x=-1narcsin-32+πn, n∈Z

Вынесем отрицательный знак из арксинуса:

x=-1n-arcsin32+πn, n∈Z

Знак минуса обозначает умножение на -1:

x=-1n-1arcsin32+πn, n∈Z

Применив правила умножения степеней, можно объединить пару -1:

x=-1n-1arcsin32+πn=-1n+1arcsin32+πn

Определим угол, синус которого составляет 32. Таковым является π3. Тогда:

x=-1n+1π3+πn, n∈Z

Ответ: x=-1n+1π3+πn, n∈Z

Примечание 1

При решении задач можно столкнуться с тригонометрическими уравнениями, правая часть в которых со знаком минуса. В таком случае следует избавиться от «отрицательности», преобразовав ее в степень -1.

В качестве тренировки решим уравнение:

sinx=-0,1

Согласно определению:

x=-1narcsin-0,1+πn, n∈Z

Можно вынести знак минуса, как в предыдущем примере:

x=-1n+1arcsin0,1+πn, n∈Z

Проверим наличие 0,1 в таблице значений для тригонометрических функций. Такое число отсутствует. Поэтому можно записать ответ.

Ответ: x=-1n+1arcsin0,1+πn, n∈Z

Найдем корни уравнения с подробными вычислениями:

cosx=1

Согласно определению:

x=±arccos1+2πn, n∈Z

Угол, косинус которого равен 1, составляет 0. Таким образом:

x=±0+2πn, n∈Z

Избавимся от нуля:

x=2πn, n∈Z

Данная формула присутствует в таблице значений для тригонометрических функций, поэтому можно записать ответ.

Ответ: x=2πn, n∈Z

Найдем решения уравнения:

cosx=-12

Исходя из определения:

x=±arccos-12+2πn, n∈Z

Избавимся от минуса, руководствуясь правилами для арккосинуса:

x=±π-arccos12+2πn, n∈Z

Используя табличное значение для 22, запишем:

12=22·2=22

Если единицу разделить на «квадратный корень из двух», то получим «корень из двух пополам». Угол с косинусом 12 равен π4. В таком случае:

x=±π- π4+2πn, n

x=±4π4- π4+2πn, n∈Z

x=±3π4+2πn, n∈Z

Ответ: x=±3π4+2πn, n∈Z

Решим уравнение:

cosx=π4

Заметим, что такое уравнение имеет корни, так как:

π4=3,144<1

Согласно определению:

x=±arccosπ4+2πn, n∈Z

Данная запись не дает право утверждать, что:

arccos π 4=22

Невозможно представить угол 22. Тогда оставим запись в неизменном виде.

Ответ: x=±arccosπ4+2πn, n∈Z

Определим корни уравнения:

cosx=-2

Заметим, что:

-2<-1

Вывод: уравнение не имеет корней.

Рассмотрим следующий пример:

tgx=2

Исходя из определения:

x=arctg2+πn, n∈Z

Заметим, что arctg2 не является табличным значением. По этой причине ответ следует записать без изменений.

Решим уравнение:

ctgx=-3

Согласно определению:

x=arсctg-3+πn, n∈Z

Избавимся от минуса:

x=π-arcctg3+πn, n∈Z

Угол, котангенс которого составляет 3, равен π6.

Ответ: x=π-π6+πn=5π6+πn, n∈Z.

Найдем корни уравнения:

ctgx=1

Воспользуемся формулой:

x=arcctg1+πn, n∈Z.

Угол, котангенс которого составляет 1, равен π4.

Ответ: x=π4+πn, n∈Z.

Заметим, что в процессе решения заданий, часто приходилось иметь дело с n. Это любое целое число, например: -1, 0, 1. Особенность тригонометрических уравнений заключается в том, что они обладают бесконечным числом решений. Такую бесконечность обозначают с помощью n. Запись: n∈Z говорит о том, что n является любым целым числом.

Обратные тригонометрические функции:

arcsinα представляет собой угол с синусом, равным α;
arccosα является углом, косинус которого составляет α;
αarctgαобозначает угол с тангенсом, равным α;
αarcctgα является углом, чей котангенс определяется как α.

Пример 2

arcsin0=0

arccos22=π4

arctg1=π4

arcsin0,5=π6

arccos32=π6

arctg3=π3

Составим последовательность действий для решения уравнений с обратными тригонометрическими функциями:

анализ выражения под знаком обратной тригонометрической функции;
определить знак обратной тригонометрической функции;
вычислить угол, для которого синус, косинус, тангенс, котангенс соответствует числу, находящемуся под знаком обратной тригонометрической функции;
записать ответ.

Рассмотрим алгоритм на примере:

arccos32

Заметим, что под знаком обратной тригонометрической функции число:

Здесь записана обратная функция в виде арккосинуса. Косинус угла составляет 32. Тогда угол равен π6 (или 30 градусов). В результате:

arccos32=π6

Полезными при решении тригонометрических уравнений с обратными функциями станут следующие формулы:

arcsin-α=-arcsinα

arctg-α=-arctgα

arcctg-α=π-arcctgα

arccos-α=π-arccosα

Примеры заданий с объяснениями

Задача 1

Требуется решить уравнение:

sinx=12

Решение

Определим на оси синусов точку 12. Начертим прямую линию, которая будет параллельна относительно оси Ox, до момента пересечения с кругом. В результате получилась пара точек на окружности, которым соответствуют любые углы с синусом 12.

Определим в этих точках по углу. Здесь проще выбирать углы из отрезка [-π;π]. Таким образом, искомыми углами являются π6 и 5π6. Для получения остальных углов можно увеличить полученные углы на величину 2π·n. При этом n является целым числом.

Источник: shkolkovo.net

В результате получим корни:

x1=π6+2πn, x2=5π6+2πn, n∈ℤ

Ответ: x1=π6+2πn, x2=5π6+2πn, n∈ℤ

Задача 2

Найти корни уравнения:

cosx=-22

Решение

Определим точку -22 на оси косинусов. Изобразим прямую линию, которая параллельна оси Oy, до пересечения с окружностью. Получилась пара точек, принадлежащих окружности. В точках находятся все углы с косинусом, равным -22.

Определим углы в этих точках, соответствующие интервалу [-π;π]. Таковыми являются 3π4 и -3π4. Для получения остальных углов следует прибавить к полученным углам выражение 2π·n. Здесь n определяется, как целое число.

Источник: shkolkovo.net

Корни уравнения:

x1=3π4+2πn, x2=-3π4+2πn, n∈ℤ

Ответ: x1=3π4+2πn, x2=-3π4+2πn, n∈ℤ

Задача 3

Необходимо найти решения уравнения:

tg x=33

Решение

Отметим на оси тангенсов точку 33. Проведем через нее прямую, соединяющую точку с центром круга до пересечения с окружностью. В итоге на окружности появилась пара точек. В данных точках расположены углы, тангенс для которых составляет 33.

Определим по одному углу для полученных точек из интервала [-π;π]. В результате получим углы π6 и -5π6. Другие углы образуются в результате сложения полученных углов и выражения 2π·n при n в виде целого числа, или с помощью прибавления к одному из этих углов πn.

Источник: shkolkovo.net

Результатом вычислений являются следующие корни:

x=π6+πn, n∈ℤ.

Ответ: x=π6+πn, n∈ℤ.

Задача 4

Дано уравнение, которое требуется решить:

ctg x=3

Решение

Отметим на оси котангенсов точку 3. Построим прямую линию через данную точку и центральную точку круга до пересечения с окружностью. Результатом построения является пара точек на окружности. В данных точках расположены любые углы с котангенсом 3.

Определим в каждой из точек один угол на отрезке [-π;π]. Искомые углы составят π6 и -5π6. Другие углы просто вычислить. Достаточно сложить полученные углы с 2π·n при n в виде целого числа, либо с помощью увеличения одного из углов на величину πn.

Источник: shkolkovo.net

В результате получены решения уравнения:

x=π6+πn, n∈ℤ.

Ответ: x=π6+πn, n∈ℤ.

Задача 5

Требуется решить уравнение и записать в ответ корень, который является наибольшим отрицательным:

cos8πx6=32

Решение

Выполним преобразования:

8πx6=±π6+2πn

Далее следует оставить в левой части лишь х. В первую очередь можно избавиться от знаменателя при х с помощью умножения обеих частей уравнения на 6:

6·8πx6=6·±π6+2πn

8πx=±6π6+12πn

8πx=±π+12πn

Далее исключим π путем деления на данную величину обеих частей равенства:

8x=±1+12n

Затем нужно сократить 8:

8×8=±18+12n8

x=±18+3n2

Получается пара вариантов решений:

x=18+3n2

x=-18+3n2

В первом варианте при n=0,1,2… результат будет являться числом со знаком плюс, что не подходит для решения конкретной задачи. По этой причине следует n определять, как отрицательное число. Предположим, что n=-1. В таком случае:

x=18-32=-118

Если n=-2, то корень можно записать таким образом:

x=18-3=- 238<-118

Так как требуется найти максимально возможный отрицательный корень, то дальнейшие вычисления можно не выполнять. Решением является frac118.

Второй вариант корней:

x=-18+3n2

Выполним подстановку. При n=1 получим:

x=-18+32=118>0

Данный корень не подходит. Можно сделать вывод о бесполезности дальнейшего увеличения n. Тогда рассмотрим вариант, когда n=0. В результате:

x=-18<0

Это решение удовлетворяет условиям задачи.

Предположим, что n=-1. В таком случае:

x=-18-32=-138<-18

Сделаем вывод о том, что наибольшим отрицательным корнем уравнения является:

x=-18

Ответ: -18

Задача 6

Дано уравнение, которое нужно решить:

tgπx4=-1

В ответе следует указать наибольший отрицательный корень.

Решение

Выполним стандартные преобразования:

πx4=arctg-1+πn

πx4=-arctg1+πn

πx4=-π4+πn

Выразим х слева:

4πx4=-4π4+4π n

πx=-π+4πn

πxπ=-ππ+4πnπ

x=-1+4n

Получен всего один вариант корней. Важно найти наибольший отрицательный из них. Представим, что n=0. Тогда решением является -1.

Ответ: -1

Руководство по решению простых тригонометрических уравнений

В уравнениях тригонометрии используются тригонометрические функции с углами в качестве переменных, поэтому для этих уравнений требуются тригонометрические функции. В тригонометрических уравнениях угол тригонометрических функций, таких как Sin, Cos и Tan, рассматривается как переменная и используется в расчетах. Тригонометрические уравнения, как и общие полиномиальные уравнения, имеют решения, которые можно разделить на две категории: первичные решения и общие решения. Основные решения — это самые простые ответы, а общие решения — самые полные.

Для решения тригонометрических уравнений воспользуемся тем фактом, что период sin x и cos x равен 2, а период tan x равен. Эта информация позволит нам определить решения уравнений. Для более глубокого понимания изложенной идеи продолжим изучение тригонометрических уравнений, метода их решения и решений этих уравнений с помощью нескольких ранее решенных примеров тригонометрических уравнений.

Что такое тригонометрические уравнения?

Уравнения в тригонометрии могут принимать форму линейных уравнений, квадратных уравнений или полиномиальных уравнений, как и алгебраические уравнения. Они очень похожи на алгебраические уравнения. В тригонометрических уравнениях вместо переменных представлены тригонометрические отношения Sin, Cos и Tan, подобно тому, как это делается в обычном полиномиальном уравнении. Sin, Cos и Tan — это тригонометрические отношения, которые используются при решении тригонометрического уравнения.

Линейное уравнение ax + b = 0 также может быть выражено как тригонометрическое уравнение как aSinθ + b = 0, которое также обычно записывается как Sinθ = Sinα. Обе эти формы уравнения эквивалентны друг другу. Тригонометрическое уравнение для квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 выражается как aCos ² θ + bCosθ + c = 0. Другим примером тригонометрического уравнения является квадратное уравнение. Однако, в отличие от типичных решений уравнений, это имеет бесконечное число решений. В тригонометрических уравнениях одно и то же значение решения встречается при разных значениях . Это потому, что степень переменной определяет, существует ли решение. Например, мы получаем Sinθ = 1/2 = Sinπ/6 = Sin5π/6 = Sin13π/6 и так далее, поскольку значения функции синуса повторяются через каждые 2π радиан.

Ниже приведены примеры тригонометрических уравнений, с которыми вы можете столкнуться.

Формулы для тригонометрических уравнений

Для решения других тригонометрических уравнений мы используем результаты и общие решения, полученные при решении основных тригонометрических уравнений. Вот каковы эти выводы:

Если sin x = sin y, то x должно равняться x = nπ + (-1) ⁿ y, где n ∈ Z.
Если cos x = cos y для любых действительных чисел x и y, то x = 2nπ ± y, где n ∈ Z.
Если x и y не являются нечетными кратными /2, то из уравнения tan x = tan y следует, что x = nπ + y, где n ∈ Z.

Решение тригонометрических уравнений

, которые имеют фиксированное число решений в зависимости от степени переменной, тригонометрические уравнения имеют два типа решений, каждое из которых основано на различных значениях угла для тригонометрической функции. Например, решение простого тригонометрического уравнения Cosθ = 1/2 есть Cosθ = 1/2, а значения равны π/3, 5π/3, 7π/3, 11π/3 и т. д., поскольку функция косинуса значения повторяются каждые 2 радиана, а cos x положителен в первом и четвертом квадрантах. Тригонометрические уравнения имеют два типа решений:

Основное решение: Для тригонометрических функций начальные значения углов называются главными решениями. Решения Sinx и Cosx повторяются через интервал 2π, а решения Tanx повторяются через интервал π. Основные решения являются ответами на эти тригонометрические уравнения, где x находится в диапазоне от 0 до 2.
Общее решение тригонометрической функции определяется как значения углов при одном и том же ответе тригонометрической функции. Все ответы тригонометрического уравнения за пределами 2 собираются и даются как решение общего тригонометрического уравнения. Ниже приведены общие решения для Sinθ, Cosθ, Tanθ.
Sinθ = Sinα. Общий ответ: θ = nπ + (-1)nα, где n ∈ Z
Cosθ = Cosα, и общее решение: θ = 2nπ + α, где n ∈ Z.
Tanθ = Tanα, и общий ответ таков: θ = nπ + α, где n ∈ Z. как алгебраические уравнения. Они очень похожи на алгебраические уравнения. В тригонометрических уравнениях вместо переменных представлены тригонометрические отношения Sin, Cos и Tan, подобно тому, как это делается в обычном полиномиальном уравнении. В нормальных решениях алгебраических уравнений количество решений зависит от степени переменной. Однако в тригонометрических уравнениях решения бывают двух разных типов, основанных на разных значениях угла для тригонометрической функции. Это отличается от количества решений, основанных на степени переменной в нормальных решениях алгебраических уравнений.
Решение тригонометрических уравнений
Сообщил:
Наша цель — решить уравнения, включающие тригонометрические функции.
1. 11-6Решение
11-6 Решение тригонометрических
Тригонометрических уравнений
Уравнения
Разминка
Презентация урока
Контрольная работа по уроку
HoltMcDougal
Алгебра Холта 2Алгебра 2
2. 11-6 Решение тригонометрических уравнений
Разминка
Решить.
1. х2 + 3х – 4 = 0 х = 1 или – 4
2. 3×2 + 7x = 6
Вычислить каждую обратную тригонометрическую функцию
.
3. Tan-1 1 45°
4. Sin-1 – 60
Алгебра Холта Макдугала 2
3. 11-6 Решение тригонометрических уравнений
Задача
Решение уравнений, включающих тригонометрические функции.
Алгебра Холта Макдугала 2
4. 11-6 Решение тригонометрических уравнений
В отличие от тригонометрических тождеств, большинство тригонометрических уравнений
верны только для определенных значений
.0077 переменная, называемая решениями. Для решения тригонометрических уравнений
применяются те же методы, что и для решения
алгебраических уравнений.
Алгебра Холта Макдугала 2
5. 11-6 Решение тригонометрических уравнений
Пример 1. Решение тригонометрических уравнений с
бесконечным числом решений
Найдите все решения sinθ = sinθ +
Метод 1 Используйте алгебру.
Найдите θ по главному значению синуса,
–90° ≤ θ ≤ 90°.
sinθ = sinθ +
sinθ sinθ = Вычесть sinθ с обеих сторон.
sinθ = Объединение одинаковых терминов.
Алгебра Холта Макдугала 2
6. 11-6 Решение тригонометрических уравнений
Пример 1. Продолжение
sinθ = умножить на 2.
θ = sin-1 Применить обратный синус θ.
θ = 30° Найти θ, когда sinθ =
Найти все действительные значения θ, где n — целое число
.
θ = 30° + 360°n Используйте период синусоидальной функции.
θ = 150° + 360°n Используйте эталонные углы, чтобы найти
других значений θ.
Алгебра Холта Макдугала 2
7. 11-6 Решение тригонометрических уравнений
Пример 1, продолжение
Метод 2 Используйте график.
1
График y = sinθ и
y = sinθ + в том же смотровом окне
–90 90
для –90° ≤ θ ≤ 90°.
Используйте функцию пересечения
вашего графического калькулятора, чтобы –1
найти точки пересечения
.
Графики пересекаются при θ = 30°. Таким образом,
θ = 30° + 1360°n, где n — целое число.
Алгебра Холта Макдугала 2
8. 11-6 Решение тригонометрических уравнений
Проверьте это! Пример 1
Найдите все решения уравнения 2cosθ + = 0.
Метод 1 Используйте алгебру.
Найдите θ по главному значению синуса, 0 ≤ θ ≤ .
2cosθ = вычесть с обеих сторон.
cosθ = разделить обе части на 2.
θ = cos-1 — применить арккосинус θ.
θ = 150° Найдите θ, когда косинус θ = .
Алгебра Холта Макдугала 2
9. 11-6 Решение тригонометрических уравнений
Проверьте это! Пример 1 (продолжение)
θ = 150° + 360°n. Используйте опорные углы, чтобы найти
210° +360°n. другие значения θ.
Метод 2 Используйте график. 2
График y = 2cosθ и
y= в том же –360
360
смотровом окне для
–360° ≤ θ ≤ 360°.
–2
Графики пересекаются при θ = 150°.
Таким образом, θ = 150° + 360°n, где n — целое число.
Алгебра Холта Макдугала 2
10. 11-6 Решение тригонометрических уравнений
Некоторые тригонометрические уравнения можно решить
, применяя те же методы, что и для
квадратных уравнений.
Алгебра Холта Макдугала 2
11. 11-6 Решение тригонометрических уравнений
Пример 2A: Решение тригонометрических уравнений в квадратичной форме

Решите каждое уравнение для заданной области.
4tan2θ – 7 tanθ + 3 = 0 для 0° ≤ θ ≤ 360°.
4tan2θ – 7 tanθ + 3 = 0 Умножьте квадратное выражение
на
, сравнивая его с
4×2 – 7x + 3 = 0.
(tanθ – 1)(4tanθ – 3) = 0 Примените свойство Zero Product
.
Алгебра Холта Макдугала 2
12. 11-6 Решение тригонометрических уравнений
Пример 2A (продолжение)
tanθ = 1 или tan θ =
Примените обратную
θ = tan-1(1) θ = tan-1 тангенс.
Используйте калькулятор.
= 45° или 225° ≈ 36,9° или 216,9° Найдите все углы
для 0°≤ θ ≤360°.
Алгебра Холта Макдугала 2
13. 11-6 Решение тригонометрических уравнений
Пример 2B: Решение тригонометрических уравнений в квадратичной форме

2cos2θ – cosθ = 1 для 0 ≤ θ ≤ .
2cos2θ – cosθ – 1 = 0 Вычесть 1 с обеих сторон.
(2cosθ + 1) (cosθ – 1) = 0 Разложите на множители квадратное выражение
, сравнив его
с 2×2 – x + 1 = 0.
cosθ = или cosθ = 1 Примените нулевой продукт
Недвижимость.
θ= или θ = 0 Найдите оба угла для
0 ≤ θ ≤ .
Алгебра Холта Макдугала 2
14. 11-6 Решение тригонометрических уравнений
Проверьте это! Пример 2a
Решите каждое уравнение относительно 0 ≤ θ ≤ 2.
cos2 θ + 2cosθ = 3
Вычесть 3 с обеих сторон.
cos2 θ + 2cosθ – 3 = 0 Разложите на множители квадратное выражение
, сравнив его
(cosθ – 1)(cosθ + 3) = 0
с x2 +2x – 3 = 0.
cosθ = 1 или cosθ = –3 Применить нулевой продукт
Недвижимость.
cosθ = – 3 не имеет решения, так как –3 ≤ cosθ ≤ 1.
cosθ = 2 или 0. Единственным решением будет
из cosθ = 1. 11-6 Решение тригонометрических уравнений
Проверьте это! Пример 2b
Решите каждое уравнение относительно 0 ≤ θ ≤ 2.
sin2θ + 5 sinθ – 2 = 0
Уравнение имеет квадратную форму, но не может быть легко
разложено на множители. Используйте квадратичную формулу.
sinθ =
Алгебра Холта Макдугала 2
16. 11-6 Решение тригонометрических уравнений
Проверьте это! Пример 2b (продолжение)
Примените арксинус.
Используйте калькулятор. Найдите оба угла
.
Алгебра Холта Макдугала 2
17. 11-6 Решение тригонометрических уравнений
Часто можно записать тригонометрические уравнения
, включающие более одной функции, как уравнения только одной функции, используя тригонометрические тождества.
Алгебра Холта Макдугала 2
18. 11-6 Решение тригонометрических уравнений
Пример 3A: Решение тригонометрических уравнений с
тригонометрическими тождествами
Используйте тригонометрические тождества для решения каждого уравнения
.
tan2θ + sec2θ = 3 для 0 ≤ θ ≤ 2π.
tan2θ + (1 + tan2θ) – 3 = 0 Замените 1 + tan θ на sec θ
2 2
на пифагорейское
2tan2θ – 2 = 0 тождество.
tan2θ – 1 = 0 Упростить. Разделите на 2.
(tanθ – 1)(tanθ + 1) = 0 Коэффициент.
tanθ = 1 или tanθ = – 1 Применить нулевой продукт
Недвижимость.
Алгебра Холта Макдугала 2
19. 11-6 Решение тригонометрических уравнений
Пример 3A Продолжение
Проверка Используйте функцию пересечения графического калькулятора
. График подтверждает ваш ответ.
Алгебра Холта Макдугала 2
20. 11-6 Решение тригонометрических уравнений
Пример 3B. Решение тригонометрических уравнений с
тригонометрическими тождествами
Используйте тригонометрические тождества для решения каждого уравнения.
cos2θ = 1 + sin2θ для 0° ≤ θ ≤ 360°
(1 – sin2θ) – 1– sin2θ = 0 Подставим 1 – sin2θ вместо cos2θ
по тождеству Пифагора.
–2sin2θ = 0 Упростить.
sin2θ = 0 Разделите обе части на – 2.
sinθ = 0 Извлеките квадратный корень из обеих сторон
.
θ = 0° или 180° или 360°
Алгебра Холта Макдугала 2
21. 11-6 Решение тригонометрических уравнений
Пример 3B (продолжение)
cos2θ = 1+sin2θ для 0° ≤ θ ≤ 360°
θ = 0° или 180° или 360°
Проверка Используйте функцию пересечения графического калькулятора
. График подтверждает ваш ответ.
Алгебра Холта Макдугала 2
22. 11-6 Решение тригонометрических уравнений
Проверьте это! Пример 3a
Используйте тригонометрические тождества для решения каждого уравнения
для заданной области.
4sin2θ + 4cosθ = 5
Замена 1 – cos 2
θ вместо sin 2
θ
4(1 – cos θ) + 4cosθ – 5 = 0 по тождеству Пифагора.
2
4cos2θ – 4cosθ + 1 = 0 Упростить.
(2cos2θ – 1)2 = 0 Коэффициент.
Извлеките квадратный корень из обеих сторон числа
и упростите.
Алгебра Холта Макдугала 2
23. 11-6 Решение тригонометрических уравнений
Проверьте это! Пример 3b
Используйте тригонометрические тождества для решения каждого уравнения
для заданной области.
sin2θ = – cosθ для 0 ≤ θ 2cosθsinθ + cosθ = 0 Замените 2cosθsinθ на sin2θ
тождеством двойного угла.
cosθ(2sinθ + 1) = 0 Коэффициент.
Применение нулевого продукта
Недвижимость.
Алгебра Холта Макдугала 2
24. 11-6 Решение тригонометрических уравнений
Пример 4. Приложение для решения задач
В какие дни солнце встает в
4 часа утра? на горе Кадиллак? Время
восхода солнца можно смоделировать с помощью
Алгебра Холта Макдугала 2
25. 11-6 Решение тригонометрических уравнений
1 Понимание задачи
Ответом будут конкретные даты в году.
Список важной информации:
• Функциональная модель:
t(m) = 1,665 (m + 3) + 5,485.
• Восход солнца в 4 часа утра, что представлено
как t = 4.
• m представляет количество месяцев после
1 января.
Алгебра Холта Макдугала 2
26. 11-6 Решение тригонометрических уравнений
2 Составьте план
Подставьте 4 вместо t в модели. Затем решите
уравнение для m с помощью алгебры.
3 Решите
4 = 1,665sin (m + 3) + 5,485 Подставьте 4 вместо t.
Изолировать синус
член.
sin-1(–0,8918) = (m + 3) Примените обратный синус
θ.
Алгебра Холта Макдугала 2
27. 11-6 Решение тригонометрических уравнений
Синус отрицателен в квадрантах lll и lV.
Вычислить оба значения.
Qlll: π + sin-1(0,8918) QlV: 2π + sin-1(0,8918)
Алгебра Холта Макдугала 2
28. 11-6 Решение тригонометрических уравнений
Используя в среднем 30 дней в месяц,
дата m = 5,10 соответствует 4 июня (5 месяцев
и 3 дня после 1 января), а m = 6,90
соответствует 28 июля (6 месяцев и 27 дней
после 1 января).
Алгебра Холта Макдугала 2
29. 11-6 Решение тригонометрических уравнений
4 Оглянитесь назад
Проверьте свой ответ с помощью графического калькулятора
.
Введите
y = 1,665sin (x + 3) + 5,485 и y = 4.
Нарисуйте графики функций в том же
окне просмотра и найдите точки пересечения.
Графики пересекаются в начале июня и в конце
июля.
Алгебра Холта Макдугала 2
30. 11-6 Решение тригонометрических уравнений
Проверьте это! Пример 4
Количество часов солнечного света в день
на горе Кадиллак можно смоделировать как
h(d) = 3,31sin (d – 85,25) + 12,22,
, где d — количество дней после января
1. Когда бывает 12 часов солнечного света.
1 Понять проблему
Ответом будут конкретные даты в году.
Алгебра Холта Макдугала 2
31. 11-6 Решение тригонометрических уравнений
1 Понимание задачи
Ответом будут конкретные даты в году.
Перечислите важную информацию:
• Функциональная модель
h(d) = 3,31sin (d – 85,25) + 12,22.
• Количество часов солнечного света в
сутках, которое представлено h = 12.
• d представляет количество дней после
1 января.
Алгебра Холта Макдугала 2
32. 11-6 Решение тригонометрических уравнений
2 Составьте план
Подставьте 12 вместо h в модели. Затем решите
уравнение для d с помощью алгебры.
3 Решите
12 = 3,31sin (d – 85,25) + 12,22
Подставьте 12 вместо h.
Изолировать синусоидальный член.
Применение обратного синуса θ.
Алгебра Холта Макдугала 2
33. 11-6 Решение тригонометрических уравнений
Синус отрицателен в квадрантах lll и lV.
No related posts.