ВригономСтричСский Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³: ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности. Бинус ΠΈ косинус β€” ΡƒΡ€ΠΎΠΊ. АлгСбра, 10 класс.

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ 3

Бвойства тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности 4

Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ 5

Π Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠ° внСшнСго интСрфСйса ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ 5

ΠžΡ‚Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠ° основных элСмСнтов ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ 6

ΠžΠ±Π΅ΡΠΏΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΡƒΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΠΈ 7

ΠžΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΡ пСрСсчСта Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ 8

ВСстированиС ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠ΅ΠΉΡΡ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ 9

Π—Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ 11

Бписок Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Ρ‹ 12

ΠŸΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 13

Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠžΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ процСсс Π² ΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… учрСТдСниях Π½Π΅ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π΅Π½, ΡƒΡΠ²ΠΎΡΠ΅ΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄Π΅Ρ‚ΡŒΠΌΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π° зависит Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΡ‚ ΠΈΡ… умствСнных способностСй, Π½ΠΎ ΠΎΡ‚ качСства ΠΈ способов ΠΏΠΎΠ΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°. На занятиях ΠΎΡ‚ ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ° трСбуСтся ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ концСнтрация внимания, ΡƒΠΏΡƒΡ‰Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ Π΄ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° понятый ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΎΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π΅ΠΏΡΡ‚ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π°Π»ΡŒΠ½Π΅ΠΉΡˆΠ΅ΠΌΡƒ освоСнию установлСнной ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹.

Для наглядности, большСй усвояСмости ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ обучСния.

ΠŸΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ½Π°Ρ срСда Stratum 2000 позволяСт Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ тСстовыС задания для ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ°, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π΅ΠΌΠΎΠ½ΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ учащимся ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» Π² понятной ΠΈ интСрСсной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅.

Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ поставлСна Ρ†Π΅Π»ΡŒ: Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΡƒΡŽ модСль Π² срСдС Stratum, Π΄Π΅ΠΌΠΎΠ½ΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ (синуса, косинуса, тангСнса ΠΈ котангСнса) Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΌ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅.

Для достиТСния Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ†Π΅Π»ΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ ряд Π·Π°Π΄Π°Ρ‡:

1. ΠžΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ со срСдой модСлирования ΠΈ проСктирования Stratum;

2. ΠžΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с тСорСтичСской основой ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚Π°;

3. Π Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ модСль Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°, Ρ€Π΅Π°Π»ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ вычислСниС ΠΈ Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΡŽ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:

  • ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ ΠΈ радиус-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€;

  • Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ элСмСнты управлСния, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΈ Π²ΠΈΠ΄ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠ°;

  • ΠΎΠ±Π΅ΡΠΏΠ΅Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° радиус-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°;

  • ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ пСрСсчСта Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ полоТСнию радиус-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°;

  • ΠΏΡ€ΠΎΡ‚Π΅ΡΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½Π½ΡƒΡŽ модСль.

Бвойства тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности

ВригономСтричСский ΠΊΡ€ΡƒΠ³ – основа Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ. Он прСдставляСт собой ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ радиусом 1 с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. ВригономСтричСский ΠΊΡ€ΡƒΠ³ позволяСт Π½Π°ΠΌ:

  • ΠΏΡ€ΠΎΠ½Π°Π±Π»ΡŽΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ градусов Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹ ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚;

  • Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ синуса ΠΈ косинуса;

  • ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ синус ΠΈ косинус ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ значСния ΠΎΡ‚ -1 Π΄ΠΎ 1;

  • ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ синус ΠΈ косинус – пСриодичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ 2Ο€

  • Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ тангСнс ΠΈ котангСнс

  • ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ Ρƒ синуса ΠΈ косинуса, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ тангСнса ΠΈ котангСнса

ΠžΡ‚ΡΡ‡Π΅Ρ‚ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² начинаСтся ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ направлСния оси OX ΠΈ ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки. ΠŸΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ составляСт 360Β°. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ (1;0) соотвСтствуСт ΡƒΠ³Π»Ρƒ 0Β°. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ (-1;0) соотвСтствуСт ΡƒΠ³Π»Ρƒ Π² 180Β°, Ρ‚ΠΎΠΊΠ° с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ (0;1) – ΡƒΠ³ΠΎΠ» 90Β°, Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ (0; -1) — 270Β°.

Бинусом ΡƒΠ³Π»Π° называСтся ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° (Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° оси OY, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΠ³Π»Ρƒ Ξ±). Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ синус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ y ΠΊ радиусу Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности.

ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΌ ΡƒΠ³Π»Π° называСтся абсцисса (Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° оси OX, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΠ³Π»Ρƒ Ξ±). Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ косинус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ х ΠΊ радиусу Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности.

Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊ синуса ΠΈΠ»ΠΈ косинуса Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ лишь ΠΏΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π½Π° окруТности, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΠ³Π»Ρƒ ΠΈ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ Ρƒ этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹.

ВангСнс – ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ синуса ΠΊ косинусу. ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ окруТности Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (1;0) называСтся осью тангСнса. Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ графичСски ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ тангСнс, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ провСсти Π»ΡƒΡ‡ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΠ³Π»Ρƒ, Π΄ΠΎ пСрСсСчСния с осью тангСнса. Y – ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠ²Π»ΡΡ‚ΡŒΡΡ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ тангСнса.

ΠšΠΎΡ‚Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ – ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ косинуса ΠΊ синусу. ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ окруТности Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (0;1) называСтся осью котангСнса. Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ графичСски ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ котангСнс, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ провСсти Π»ΡƒΡ‡ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΠ³Π»Ρƒ, Π΄ΠΎ пСрСсСчСния с осью котангСнса. X – ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠ²Π»ΡΡ‚ΡŒΡΡ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ котангСнса.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ тангСнса ΠΈΠ»ΠΈ котангСнса, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ синуса ΠΈ косинуса Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… (для тангСнса – синус Π½Π° косинус, для котангСнса – косинус Π½Π° синус).

Mathway | ΠŸΠΎΠΏΡƒΠ»ΡΡ€Π½Ρ‹Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ

1Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅sin(30)
2Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅sin(45)
3Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅sin(30 Π³Ρ€Π°Π΄. )
4Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅sin(60 Π³Ρ€Π°Π΄.
)
5Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅tan(30 Π³Ρ€Π°Π΄. )
6Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅arcsin(-1)
7Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅sin(pi/6)
8Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅cos(pi/4)
9Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅sin(45 Π³Ρ€Π°Π΄. )
10Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅sin(pi/3)
11Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅arctan(-1)
12Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅cos(45 Π³Ρ€Π°Π΄. )
13Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅cos(30 Π³Ρ€Π°Π΄. )
14Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅tan(60)
15Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅csc(45 Π³Ρ€Π°Π΄. )
16Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅tan(60 Π³Ρ€Π°Π΄. )
17Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅sec(30 Π³Ρ€Π°Π΄. )
18Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅cos(60 Π³Ρ€Π°Π΄. )
19Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅cos(150)
20Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅sin(60)
21Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅cos(pi/2)
22Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅tan(45 Π³Ρ€Π°Π΄. )
23Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅arctan(- ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 3)
24
Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅csc(60 Π³Ρ€Π°Π΄. )
25Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅sec(45 Π³Ρ€Π°Π΄. )
26Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅csc(30 Π³Ρ€Π°Π΄. )
27Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅sin(0)
28Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅sin(120)
29Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅cos(90)
30ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² градусыpi/3
31
Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅
tan(30)
32ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· градусов Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹45
33Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅cos(45)
34Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒsin(theta)^2+cos(theta)^2
35ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² градусыpi/6
36Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅cot(30 Π³Ρ€Π°Π΄. )
37Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅arccos(-1)
38Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅arctan(0)
39Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅cot(60 Π³Ρ€Π°Π΄. )
40ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· градусов Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹30
41ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² градусы(2pi)/3
42Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅sin((5pi)/3)
43Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅sin((3pi)/4)
44Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅tan(pi/2)
45Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅sin(300)
46Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅cos(30)
47Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅cos(60)
48Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅cos(0)
49Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅cos(135)
50Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅cos((5pi)/3)
51Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅cos(210)
52Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅sec(60 Π³Ρ€Π°Π΄. )
53Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅sin(300 Π³Ρ€Π°Π΄. )
54ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· градусов Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹135
55ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· градусов Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹150
56ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² градусы(5pi)/6
57ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² градусы(5pi)/3
58ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· градусов Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹89 Π³Ρ€Π°Π΄.
59ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· градусов Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹60
60Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅sin(135 Π³Ρ€Π°Π΄. )
61Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅sin(150)
62Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅sin(240 Π³Ρ€Π°Π΄. )
63Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅cot(45 Π³Ρ€Π°Π΄. )
64ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² градусы(5pi)/4
65Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅sin(225)
66Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅sin(240)
67Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅cos(150 Π³Ρ€Π°Π΄. )
68Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅tan(45)
69Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒsin(30 Π³Ρ€Π°Π΄. )
70Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅sec(0)
71Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅cos((5pi)/6)
72Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅csc(30)
73Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅arcsin(( ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 2)/2)
74Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅tan((5pi)/3)
75Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅tan(0)
76Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒsin(60 Π³Ρ€Π°Π΄. )
77Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅arctan(-( ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 3)/3)
78ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² градусы(3pi)/4
79Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅sin((7pi)/4)
80Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅arcsin(-1/2)
81Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅sin((4pi)/3)
82Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅csc(45)
83Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒarctan( ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 3)
84Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅sin(135)
85Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅sin(105)
86Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅sin(150 Π³Ρ€Π°Π΄. )
87Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅sin((2pi)/3)
88Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅tan((2pi)/3)
89ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² градусыpi/4
90Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅sin(pi/2)
91Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅sec(45)
92Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅cos((5pi)/4)
93Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅cos((7pi)/6)
94Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅arcsin(0)
95Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅sin(120 Π³Ρ€Π°Π΄. )
96Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅tan((7pi)/6)
97Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅cos(270)
98Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅sin((7pi)/6)
99Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅arcsin(-( ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 2)/2)
100ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· градусов Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹88 Π³Ρ€Π°Π΄.

ОбъяснСниС ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°: ВригономСтричСскиС ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности

Π’ этом объяснСнии ΠΌΡ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ²ΡΠ·Π°Ρ‚ΡŒ π‘₯- ΠΈ 𝑦-ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности с тригономСтричСскими функциями.

Единичная ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ β€” это ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ радиусом 1, Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ плоскости. Для любой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ (π‘₯,𝑦) Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ΅. Π“ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° этого ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ ΡƒΠ³ΠΎΠ» πœƒ с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ осью π‘₯.

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности: sinoppositehypotenuseosincosadjacenthypotenusesocostanoppositeadjacentsotan

ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ tanπœƒ Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° π‘₯=0. ΠœΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, хотя ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ эти опрСдСлСния для ΡƒΠ³Π»Π° πœƒ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅ 1, ΠΎΠ½ΠΈ справСдливы для ΡƒΠ³Π»Π° Π² любом ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°: тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Сдиничная ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

π‘₯- ΠΈ 𝑦-ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ πœƒ, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ0003

Π’ нашСм ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ эти опрСдСлСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΌ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ значСния, учитывая ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ сторонС ΡƒΠ³Π»Π°.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. НахоТдСниС значСния тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ стороны ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности

Найти sinπœƒ, Ссли πœƒ находится Π² стандартном Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ο€Ό35,βˆ’45.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚

Говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ» находится Π² стандартном ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, Ссли Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° находится Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, Π° Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ сторона Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси π‘₯. Π£Π³ΠΎΠ» измСряСтся Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ стороны ΠΊ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ сторонС. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΡƒΠ³ΠΎΠ» πœƒ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ.

ΠœΡ‹ рисуСм ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ со сторонами 35 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† ΠΈ 45 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° для вычислСния значСния Π½Π΅Π΄ΠΎΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ измСрСния Π² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅: ο€Ό35+ο€Ό45=𝑐,925+1625=𝑐,2525=𝑐.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ 𝑐=1, 𝑐=1. Π­Ρ‚ΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΌ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ο€Ό35,βˆ’45 Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности. Напомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ π‘₯- ΠΈ 𝑦-ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ πœƒ, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ βˆ’45: sinπœƒ=βˆ’45

Π’ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ стандартным тригономСтричСским функциям Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (обратная Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° число π‘₯ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1π‘₯). ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Для ΡƒΠ³Π»Π° πœƒβˆˆβ„ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅:

  • Ѐункция косСканса: cosπœƒβ‰ 0
  • Ѐункция котангСнса: cottanπœƒ=1πœƒ, for tanπœƒβ‰ 0

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΡΡ‚Π°Π½Π΄Π°Ρ€Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°, ΠΌΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π΅Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π· рассмотрим Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ (π‘₯,𝑦) Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности, ΠΏΠΎΠ΄ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ πœƒ ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ π‘₯-оси.

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: cscsinforseccosforcottanforπœƒ=1πœƒ=1𝑦,𝑦≠0,πœƒ=1πœƒ=1π‘₯,π‘₯β‰ 0,πœƒ=1πœƒ=π‘₯𝑦,𝑦≠0.

Рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΌΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ сСканса.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. НахоТдСниС значСния тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ стороны ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности

Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ο€Ό45,35.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚

Говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ» находится Π² стандартном ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, Ссли Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° находится Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, Π° Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ сторона Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси π‘₯. Π£Π³ΠΎΠ» измСряСтся Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ стороны ΠΊ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ сторонС. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΡƒΠ³ΠΎΠ» πœƒ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ secπœƒ, ΠΌΡ‹ Π½Π°Ρ‡Π½Π΅ΠΌ с опрСдСлСния Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, являСтся Π»ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ ο€Ό45,35 Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности. Для этого рассмотрим ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ со сторонами 45 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† ΠΈ 35 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅.

Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹ 𝑐, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°: ο€Ό45+ο€Ό35=𝑐,1625+95=𝑐,2525=𝑐.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, 𝑐=1, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ 𝑐=1. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ο€Ό45,35 Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности.

π‘₯- ΠΈ 𝑦-ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ πœƒ, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ π‘₯=πœƒπ‘¦=πœƒ.cosandsin

Напомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ seccosπœƒ=1πœƒ. Π’ случаС Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° secπœƒ=1π‘₯. secπœƒ=1=54.οŠͺ

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»Π°, крайняя сторона ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π½Π° оси π‘₯, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π½Π° оси 𝑦.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3. НахоТдСниС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ косинуса ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²

НайдитС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos0.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚

π‘₯- ΠΈ 𝑦-ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ πœƒ, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ π‘₯=πœƒπ‘¦=πœƒ.cosandsin

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos0 Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Π³Π΄Π΅ крайняя сторона для πœƒ=0 Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ пСрСсСкаСт ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ΅.

ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Π°Ρ сторона ΡƒΠ³Π»Π° πœƒ=0 Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° оси π‘₯, поэтому Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΎΠ½ пСрСсСкаСт Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Ρ€Π°Π²Π½Π° (1,0). π‘₯-ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos0 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1,9.0003

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos0 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1.

Π’ Π½Π°ΡˆΠΈΡ… ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ… ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° для нахоТдСния Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π’ нашСм ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΌΡ‹ продСмонстрируСм, ΠΊΠ°ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ ΠΏΠΎΠ΄Ρ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4. Π˜Π·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ 0 ΠΈ 2πœ‹, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡƒΡŽ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, 𝑃 β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ ΡƒΠ³Π»Ρƒ 4πœ‹3. Π•ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности другая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π°Ρ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ [0,2πœ‹[ с Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ тангСнса? Если Π΄Π°, ΡƒΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΠ³ΠΎΠ».

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚

ΠœΡ‹ Π½Π°Ρ‡Π½Π΅ΠΌ с рисования Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ 𝑃, которая ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ ΡƒΠ³ΠΎΠ» 4πœ‹3 Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π° с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ осью π‘₯, ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ 4πœ‹3 находится ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ πœ‹ ΠΈ 3πœ‹2, ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ эта Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΈ π‘₯-, ΠΈ 𝑦-ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹, ΠΌΡ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π΅Π΅ ΠΊΠ°ΠΊ 𝑃(βˆ’π‘Ž,βˆ’π‘) для Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… констант π‘Ž ΠΈ 𝑏.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ вспомним ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности. Π”Π°Π½ ΡƒΠ³ΠΎΠ» πœƒ Π² стандартном ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, Π³Π΄Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ стороны с Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ (π‘₯,𝑦) ΠΈ π‘₯β‰ 0, 𝑦π‘₯=πœƒ.tan

Для Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ 𝑃, Π·Π°Π³Π°Ρ€4πœ‹3=βˆ’π‘βˆ’π‘Ž=π‘π‘Ž.

ЧастноС этих π‘₯- ΠΈ 𝑦-ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ вторая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ это ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ (π‘Ž,𝑏), которая Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅.

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΎΠΏΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ 𝑃 с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ 𝑄, Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠ² ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ Π½Π° πœ‹ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½. Найти Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ 𝛼 Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ tan𝛼=π‘π‘Ž, 4πœ‹3βˆ’πœ‹=πœ‹3.

Π”Π°, Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, которая Π΄Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» 4πœ‹3. Π£Π³ΠΎΠ» Ρ€Π°Π²Π΅Π½ πœ‹3.

Π’ нашСм послСднСм ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ для вычислСния простой тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5. НахоТдСниС значСния тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности с ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ стороной ΡƒΠ³Π»Π° Π² стандартном ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ

ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Π°Ρ сторона βˆ π΄π‘‚π΅ Π² стандартном ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ пСрСсСкаСт Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ 𝑂 Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ 𝐡 с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ ο€Ώ3√10,𝑦, Π³Π΄Π΅ 𝑦>0. НайдитС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin𝐴𝑂𝐡.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚

Говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ» находится Π² стандартном ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, Ссли Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° находится Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, Π° Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ сторона Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси π‘₯. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ βˆ π΄π‘‚π΅ находится Π² стандартном ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, Π° 𝐡 Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° оси π‘₯, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° 𝐴 Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси π‘₯. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ βˆ π΄π‘‚π΅=πœƒ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΈ π‘₯-, ΠΈ 𝑦-ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° 𝐡 Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅.

ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ π‘₯- ΠΈ 𝑦-ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ πœƒ, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ π‘₯=πœƒπ‘¦=πœƒ.cosandsin

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin𝐴𝑂𝐡 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ 𝑦-ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ 𝐡. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠ² △𝐴𝑂𝐡 Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ 𝑦, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°.

ИмССм 1=𝑦+ο€Ώ3√101=𝑦+910𝑦=110.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π² этом ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ 𝑦>0, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ 𝑦=1√10 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†.

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin𝐴𝑂𝐡 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1√10.

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‡ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Ρ… понятий ΠΈΠ· этого объяснСния.

ΠšΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ

  • Единичная ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ прСдставляСт собой ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ радиусом 1 с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ плоскости.
  • π‘₯- ΠΈ 𝑦-ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ πœƒ, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ), Π³Π΄Π΅ π‘₯β‰ 0: tanπœƒ=𝑦π‘₯.
  • Π”ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒ CAST ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ для опрСдСлСния Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ для ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅.

Как ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ Π² Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ?

Единичная ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, радиус ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 1 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅, Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ находится Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Π° окруТности Ρ€Π°Π²Π½Π° 2Ο€, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ r = 1. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π΄ΡƒΠ³ΠΈ эквивалСнтна Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π΄ΡƒΠ³Π°. ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, синус ΠΈ косинус, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ особоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ рассмотрСнии Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°. НапримСр, для любой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ окруТности ΡƒΠ³Π»Π° Π² стандартном ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ свойства синуса Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° эквивалСнтно ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π΅ y Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, косинус Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° эквивалСнтСн ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π΅ x этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ соотвСтствСнно.

Π•Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° окруТности Π² Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности

НиТС приводится ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ для окруТности:

(x – h) 2 + (y – k) 5 r 905 95 6 2 90 90

Π³Π΄Π΅,

  • r β€” радиус окруТности
  • (h, k) β€” ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ для понимания тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Для этого рассмотрим ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° Π² Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости. Если ΠΌΡ‹ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, радиус этой окруТности ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρƒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Радиус окруТности ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡŽ ΡƒΠ³Π»Π°, скаТСм, ΞΈ с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ осью x. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ x β€” Π΄Π»ΠΈΠ½Π° основания, Π° y β€” Π΄Π»ΠΈΠ½Π° высоты ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° соотвСтствСнно. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ радиус-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ (x, y) соотвСтствСнно.

    ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ содСрТит стороны 1, x ΠΈ y соотвСтствСнно. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ тригономСтричСскоС ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

    Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ,

    sin ΞΈ = y,Β 

    cos ΞΈ = x

    ВычислСния, tan ΞΈ = sin ΞΈ /cos ΞΈ = y/x.

    ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ значСния ΞΈ, ΠΌΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ значСния. Аналогично Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡŽΡ‚ΡΡ значСния всСх ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

    ВригономСтричСскоС прСдставлСниС Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности

    Единичная ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ с ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ Sin, Cos ΠΈ Tan

    Π›ΡŽΠ±Π°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ (x, y), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ тригономСтричСским тоТдСствам (cosΞΈ, sinΞΈ). ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² радиуса ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой косинус ΠΈ синус Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΞΈ для ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния ΞΈ ΠΈ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ радиуса. ИмССм cos ΞΈ = x, Π° sin ΞΈ = y. Π•ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ части ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°, каТдая ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅, образуя ΡƒΠ³Π»Ρ‹ 90Β°, 180Β°, 270Β° ΠΈ 360Β°. ЗначСния радиуса находятся Π² Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅ ΠΎΡ‚ -1 Π΄ΠΎ 1 соотвСтствСнно. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, значСния sinΞΈ ΠΈ cosΞΈ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ 1 ΠΈ -1 соотвСтствСнно.

    Π•Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ окруТности ΠΈ тригономСтричСскиС тоТдСства

    ВригономСтричСскиС тоТдСства Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… окруТностСй для котангСнса, сСканса ΠΈ косСканса ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ тоТдСства для sin, cos ΠΈ tan. Π’ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ со сторонами 1, x ΠΈ y соотвСтствСнно. ВычислСниС тоТдСств Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ

    sin ΞΈ =

    cos ΞΈ =

    tan ΞΈ =

    sec ΞΈ =

    cosec ΞΈ =

    9ΞΈ0002 cot0003

    Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… окруТностСй

    ВригономСтричСскиС ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… окруТностСй, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ для пСрСчислСния ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΌ ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌ.

    7

    Angles in Degree

    0 o

    30 o

    45 o

    60 o

    90 o

    sin

    0

    1

    cos

    1

    0

    9000 2

    0236

    0

    1

    Not Defined

    csc

    Not Defined

    2

    1

    sec

    1

    \

    2

    Not Defined

    cot

    Not Defined

    1

    0

    We can find the secant, cosecant , ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ котангСнса, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ эти Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹:

    secΞΈ =

    cosecΞΈ =

    cotΞΈ =

    ΠœΡ‹ обсудили Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ для ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π°. Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹ для всСх ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности. Числа 1/2, 1/√2, √3/2, 0 ΠΈ 1 ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ΡΡ вмСстС со Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ Π²ΠΎ всСх 4 ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π°Ρ….

    Π Π΅ΡˆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ для Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности

    Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 1. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Q Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности.

    РСшСниС:

    Π’ соотвСтствии с ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅:

    ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Q Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности.

    Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 2: Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ tan 30 o , ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ значСния sin ΠΈ cos Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°.

    РСшСниС:

    ВычислСниС TAN 30 O ИспользованиС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ SIN ΠΈ COS,

    Π‘.

    ,

    ,

    SIN 30 O =

    9000 2

    9000 2 9000 2

    o =

    Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

    Π˜Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ,

    Tan 30 o =

    Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 3. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ, Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π»ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° P(2/3, 3/2) Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности.

    РСшСниС:

    Π’ соотвСтствии с ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ:

    x 2 + y 2 = 1

    Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ

    ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ x ΠΈ y Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (4*4)+(9*4))/36 = 1

    = (16 +36)/36 = 1

    = 52/36 = 1

    = 13/9 = 1

    Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, 13/ 9β‰  1

    Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° P Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности.

    Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 4. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ, Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π»ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Q(1/3, 1) Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности.

    РСшСниС:

    Богласно ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ:

    x 2 + y 2 = 1

    Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ

    x = 1/3

    Y = 10003 Y = 10003 Y = 10003 Y = 10003 Y = 10003 Y = 10003 Y = 10003

    .

    Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ,

    ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ x ΠΈ y Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

    => (1/3) 2 + (1) 2 = 1

    => 1/9 + 1 = 1

    => 10/9 = 1

    Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, 10/9 β‰  1.

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *