Тройной угол тригонометрия: Ошибка 403 — доступ запрещён

Содержание

формулы / Справочник :: Бингоскул

Синус, косинус, тангенс, котангенс – отношения между выражениями в тригонометрии. Для каждого из них предусмотрена отдельная методика, которая используется при расчете значения. Все функции плотно связаны между собой. Это обуславливает большое количество математических структур. Основные из них обеспечивают:

Связь функционалов одинаковых углов;

Взаимозависимость кратных углов;

Возможность снизить степень. Это достигается за счет вынесения переменной или группы переменных, других действий;

Выражение одного функционала через другие доступные функции: двойной, тройной, половинный аргумент тригонометрия применяет для решения ряда заданий.

Формулы половинного аргумента – тригонометрия

Формула половинного аргумента – косинуса или других примеров тригонометрии – это противоположенная конструкциям двойных углов методика. Она основана на использовании угла α для выражения \frac {\alpha}{2}. 2 \frac {\alpha}{2} = \frac { 1 + \cos \alpha } { 1 — \cos \alpha }

Формула половинного аргумента синуса и косинуса

Для выведения уравнения косинусов и синусов половинных углов используется косинус двойных углов:

cos2α=1-2sin2αcos2α=1-2sin2α
cos2α=2cos2α-1cos2α=2cos2α-1

Для этого необходимо записать их в следующей форме: cos = 1-2 sinα2cosα = 1-2 Sin2α2 cosα=2
Кос2α2-1cosα=2 кос2α2-1

Первое равенство sinα2sinα2 позволяет предположить: \sin \alpha 2 = \pm \sqrt { 1 — \cos \propto 2 sin \propto 2 = \pm 1 — \cos \propto 2}

По аналогии решается второй пример: cosα2cosα2
Косα2 = \pm \sqrt { 1 + \cos \propto 2 }

Формулы половинного аргумента тангенса и котангенса

Для выведения выражений тангенса половинных углов используется стандартная функция: tgα2 = sinα2cosα2tgα2 = sinα2cosα2. Чтобы вывести котангенс, понадобится ctgα2 = cosα2sinα2ctgα2 = cosα2sinα2. Рекомендуется использовать также выражения синуса, косинуса, доказанные ранее.

Формулы половинного аргумента тригонометрических функций: примеры задач

Рассмотрим примеры задач:

1. Необходимо решить пример:

4 кос∝2 + 2 кос∝ + 54 кос∝2 + 5

кос∝ = 18 кос∝ = 18

Для решения задачи используется следующее выражение:

Необходимо упростить пример, для этого действуем:

В итоге получаем: 4 кос∝2 + 2 кос∝ + 5 = 8144 кос∝2 + 2 кос∝ + 5 = 814

2. Необходимо найти решение

кос15°кос15°

кос30°= \sqrt 3 *2кос30°=32

Следует рассчитать половинный угол для тригонометрического функционала косинуса. Для этого:

кос2∝2 = 1 + кос∝2кос2∝2 = 1 + кос∝2

Подставляем существующие данные:

кос2 15°=1 + кос30° 2 = кос 215° = 1 + кос30° 2 = 1+ \sqrt 32 2 = \sqrt 341 + 322 = 2 + 34

В условии заданы параметры кос2 15°кос215°, необходимо вычислить кос15°кос15°.

Место расположения угла в пятнадцать градусов – первая координатная четверть, значение косинуса положительное. Отсюда следует:

кос15°= \sqrt 2 + \sqrt 3 * 4 = кос15°= 2 + 34 = \sqrt 2 + \sqrt 3 * 22 + 32

Решение: кос15°= \sqrt 2 + \sqrt 3 2 кос15° = 2 + 32

Тригонометрические формулы тройного аргумента

Все тригонометрические выражения для двойных, тройных углов называются также формулой для кратных углов. Они используются для выявления тригонометрического функционала углов двойного, тройного типа, через одинарный угол α. В основе операций – сложение. Рассмотрим основные четыре формулы:

Формула синуса тройного аргумента – доказательство

Для доказательства формулы синуса тройных углов применяется сумма и разность между ними. Рекомендуется использование формул для двойных углов. Получаем доказательство:
sin3∝ = sin 2∝ + ∝ = sin3∝ = sin 2∝ + ∝ = sin2∝cos∝ + cos2∝sin∝ = sin2∝ + cos2∝sin∝ = 2sincoscos + cos2∝ — sin2∝*sin∝ = 2sin∝cos∝ + cos2∝ — sin2sin∝ = 3sin∝cos∝ — sin3∝3sin∝cos2∝ — sin3∝

В полученном выражении проводится замена: sin3∝ = 3sin∝cos∝ -sin3∝sin3∝ = 3sin∝cos2∝ — sin3∝cos2∝cos2

Заменяем на выражение 1-sin2∝1-sin2∝

Результат: — sin3∝ = 3sin∝ — 4sin3∝sin3∝ = 3sin∝ — 4sin3∝

Косинус тройного аргумента – доказательство

Доказательство формулы косинуса тройных углов выглядит следующим образом:

cos3∝ = cos 2∝ + ∝ = cos 2∝ + ∝ = cos2∝cos∝ — sin2sin∝ = cos2∝cos∝ — sin2∝sin∝ = (cos2∝ — sin2∝) cos∝ — 2sin∝cos∝sin∝ + = (cos2∝ — sin2∝ )*cos∝ — 2sin∝cos∝sin∝ + = cos3∝ — 3sin2∝cos∝cos3∝ — 3sin2∝cos∝.

Проводится замена аргумента. Вместо 3α = cos3α − 3sin2αcosαcos 3α = cos3α — 3sin2αcosα sin2αsin2α вставляем 1 — cos2∝1 — cos2

Итоговое решение: cos3∝ = 4cos3∝ — 3cos∝cos3∝ = 4cos3∝ — 3cos∝

Формулы двойного и тройного угла тригонометрических функций

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel.ru Математика Кратные углы тригонометрических функций: двойные и тройные

В таблицах ниже представлены формулы двойного и тройного угла тригонометрических функций: синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) и котангенса (ctg).

Содержание

Формулы двойного угла
Формулы тройного угла

Формулы двойного угла

00%» data-date-format=»DD.MM.YYYY» data-time-format=»HH:mm» data-features=»["after_table_loaded_script"]» data-search-value=»» data-lightbox-img=»» data-head-rows-count=»1″ data-pagination-length=»50,100,All» data-auto-index=»off» data-searching-settings=»{"columnSearchPosition":"bottom","minChars":"0"}» data-lang=»default» data-override=»{"emptyTable":"","info":"","infoEmpty":"","infoFiltered":"","lengthMenu":"","search":"","zeroRecords":"","exportLabel":"","file":"default"}» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>


Действие	Формула
Синус двойного угла	sin 2α = 2 sin α cos α
Косинус двойного угла	cos 2α = cos²α — sin²α
Тангенс двойного угла	tg 2α = 2 tg α / (1 — tg²α)
Котангенс двойного угла	ctg 2α = (ctg²α — 1) / 2 ctg α

microexcel. ru

Формулы тройного угла


Действие	Формула
Синус тройного угла	sin 3α = 3 sin α — 4 sin³α
Косинус тройного угла	cos 3α = 4 cos³α — 3 cos α
Тангенс тройного угла	tg 3α = (3 tg α — tg³α) / (1 — 3 tg²α)
Котангенс тройного угла	ctg 3α = (ctg³α — 3 ctg α) / (3 ctg²α — 1)

microexcel. ru

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

3.

5.3: Формулы тройного угла и линейные комбинации

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы: 4241

Комбинация формул суммы и двойного угла; набор терминов, добавляемых или вычитаемых с постоянным множителем. 9{\circ}\)

Не могли бы вы вычислить его значение?

Формулы тройного угла и линейные комбинации

Формулы двойного угла отлично подходят для вычисления значения триггерной функции в определенных случаях. Однако иногда желательны другие кратные, чем два умножения и угла. Например, может потребоваться трехкратное значение угла для использования в качестве аргумента триггерной функции.

Комбинируя формулу суммы и формулу двойного угла, можно найти формулы для тройных углов и многое другое. 92}\), \(\cos D=\dfrac{A}{C}\) и \(\sin D=\dfrac{B}{C}\).

Вы также можете использовать TI-83 для решения тригонометрических уравнений. Иногда это проще, чем решить уравнение алгебраически. Просто будьте осторожны с указаниями и убедитесь, что ваш окончательный ответ соответствует форме, которая требуется. Ваш калькулятор не может выразить радианы в единицах \pi.

Поиск формул

Найдите формулу для \(\sin 3x\)

Используйте как формулу двойного угла, так и формулу суммы.

9{\circ} \) или \(5,36\) радиан. Окончательный ответ: \(3\cos 2x−4\sin 2x=5\cos (2x−5,36)\).

Нахождение неизвестных значений

Решите \(\sin x=2\cos x\) так, что \(0\leq x\leq 2\pi\) с помощью графического калькулятора.

Решение: В \(y=\) график \(y_1=\sin x\) и \(y_2=2\cos x\). {\circ} \). 9{2/3}}{8}\right) \\ &=\dfrac{3\sqrt{2} −2\sqrt{2} }{2} \\ &=\dfrac{\sqrt{2}} }{ 2} \end{aligned}\)

Пример \(\PageIndex{2}\)

Преобразование \(5\cos x−5\sin x\) в форму \(C\cos (x−D) \)

Решение

Если \(5\cos x−5\sin x\), то \(A=5\) и \(B=−5\). По теореме Пифагора \(C=5\sqrt{2}\) и \(\cos D=55\sqrt{2} =1\sqrt{2} =\dfrac{\sqrt{2}} {2} \). Итак, поскольку \(B\) отрицательно, \(D\) находится в квадранте IV. Следовательно, \(D=\dfrac{7\pi }{4}\). Наш окончательный ответ: \(5\sqrt{2} \cos\left(x−\dfrac{7\pi }{4}\right)\). 9{4} x}
\end{aligned}\)

Обзор

Преобразуйте каждое выражение в форму \( C \cos (x−D)\).

\(3\cos x−2\sin x\)
\(2\cos х-\sin х\)
\(−4\cos x+5\sin x\)
\(7\cos x−6\sin x\)
\(11\cos x+9\sin x\)

\(14\cos x+2\sin x\)
\(−2\cosx−4\sinx\)

Выведите формулу для каждого выражения.

\(\sin 4x\)
\(\cos 6x\)
\(\cos 4x\)
\(\csc 2x\)
\(\кроватка 2x\)

Найдите все решения каждого уравнения в интервале \([0,2\pi )\).

\(\cos x+\cos 3x=0\)
\(\sin 2x=\cos 3x\)
\(\cos 2x+\cos 4x=0\)

Обзор (ответы)

Чтобы просмотреть ответы на обзор, откройте этот PDF-файл и найдите раздел 3.15.

Словарь

Срок	Определение
Линейная комбинация	Линейная комбинация представляет собой набор терминов, которые складываются или вычитаются друг из друга с мультипликативной константой перед каждым термином.
Трехугольная идентичность	Тождество тройного угла (также называемое формулой тройного угла) связывает тригонометрическую функцию трехкратного аргумента с набором тригонометрических функций, каждая из которых содержит исходный аргумент. 2\theta}\).

Срок

Определение

Линейная комбинация

Линейная комбинация представляет собой набор терминов, которые складываются или вычитаются друг из друга с мультипликативной константой перед каждым термином.

Трехугольная идентичность

Тождество тройного угла (также называемое формулой тройного угла) связывает тригонометрическую функцию трехкратного аргумента с набором тригонометрических функций, каждая из которых содержит исходный аргумент.

2\theta}\).

Дополнительные ресурсы

Видео: Вывод формулы тройного угла

Эта страница под названием 3.5.3: Трехугольные формулы и линейные комбинации распространяется под лицензией CK-12 и была создана, изменена и/или курирована Фондом CK-12 через исходный контент, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами. платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

ПОД ЛИЦЕНЗИЕЙ

Наверх

Была ли эта статья полезной?

Тип изделия
Раздел или Страница
Автор
СК12
Лицензия
СК-12
Программа OER или Publisher
СК-12
Показать оглавление
нет
Теги
1. источник@https://www. ck12.org/c/trigonometry

Как идентифицировать и решить тригонометрические тождества для тройных углов

Чтобы углубиться в концепцию формул тройного угла, нам нужно сначала освежить наше понимание того, что формулы двойного угла помогают нам достичь вместе с площадью прямоугольного треугольника.

Формулы двойного угла — отличный выбор для вычисления значения тригонометрических функций в конкретных ситуациях. Однако формулы двойного угла ограничены случаями, когда нам нужно значение, в два раза превышающее желаемый угол. Для начала давайте рассмотрим следующий пример, в котором нам предлагается вывести формулу двойного угла для решения уравнения.

y=4cos²(x)-2 x∈[0,2π]

Здесь мы уже знаем интервал, колеблющийся между 0 и 2π.

Попробуем проанализировать его по формуле двойного угла. В этом случае мы можем преобразовать уравнение в формулу двойного угла следующим образом.

y=y=4cos²(x)-2

=2(2cos⁡²(x)-1)

=2 cos2x.

Мы читаем этот интервал, потому что амплитуда этой функции равна 2 с периодом π.

Вычисление формулы тройного угла

Теперь мы знаем, как преобразовать функцию в формулу двойного угла, чтобы найти значение угла, удвоенное предполагаемого числа.

А что, если нам потребуется аргумент, в котором используется трехкратное значение угла в тригонометрической функции? Мы попытаемся расшифровать эту загадку, используя простой метод: комбинируя формулу суммы и формулу двойного угла для любого заданного угла. И у нас получится формула тройного угла. Тем не менее, подход здесь будет заключаться в рассмотрении уравнения, в котором используется линейная комбинация синуса и косинуса, а затем преобразование ее в простую функцию косинуса.

Попробуем развить эту мысль на примере.

Уравнение:

Acos(x)+Bsin(x)=Ccos(x-D)⁡

Где C=√A²+B² ),

Cos D =A/C 90 024

И грех D= ДО Н. Э.

Пример:

Давайте рассмотрим простой пример, чтобы мы поняли концепцию формулы тройного угла. Общий шаблон для этого должен выглядеть примерно так:

sin⁡3θ=sin⁡(2θ+θ)

=sin⁡2θ.cosθ+cos2θsinθ

=(2 sin⁡θcosθ)cosθ+(1 -2sin² θ)sinθ

=2sin⁡θcos2 θ+sinθ -2sin3 θ

=2sin⁡θ(1-sin² θ)+sinθ-2sin³ θ

=2sin⁡θ-2sin³ θ+sinθ-2sin³ θ

=3sin⁡θ-4sin³ θ

Используя этот шаблон, давайте вычислим формулу тройного угла для sin3x.

Мы делаем это, разбивая это на формулу суммы и формулу двойного угла для sin3x.

sin⁡3x=sin⁡(2x+x)

=sin⁡(2x)cosx+cos⁡(2x) sin⁡x

=(2sin⁡xcosx )cosx+(cos² x-sin² х)синкс

=2 sin⁡x cos2 x+cos2 xsinx-sin3 x

=3sin⁡xcos2x-sin3 x

=3 sin⁡x cos²x=sin³ x

=3 sin⁡x(1-sin² x)-s дюйм³ x

=3 sin⁡x-4sin³ x

Здесь мы решили использовать функцию синуса, чтобы объяснить, как выводится формула тройного угла. Cos-функции выводятся таким же образом. Шаблон остается верным, если заменить sin на cos.

ФУНКЦИЯ КОСИНУСА для получения формулы тройного угла

Функция косинуса для формулы тройного угла следует аналогичной схеме. Базовая концепция остается прежней. Объедините формулу суммы и формулу двойного угла, аналогично тому, что мы сделали для функции синуса.

9020 2

Давайте проверим, верно ли это утверждение, с помощью простой косинусной задачи о тройном угле. Давайте попробуем решить функцию косинуса для cos⁡3x.

cos⁡(3θ)=cos³ θ-3sin² θcosθ

=4cos³ θ-3cosθ

Cos3x=cos(2x+x)

=cos2xcosx-sin2xsinx

=(2cos² x-1)cosx-(2sinxcosx)sinx

=2cos³ x-cosx-2sin² cosx

=2cos³ x -cosx-2cosx(1-cos² x)

=2cos³ x-cosx-2cosx+2cos³ x

=4cos³ x-3cosx

Любое значение, подставленное в эту производную формулу, даст тройное равенство углов любого уравнения, использующего функцию косинуса.

Функция тангенса для формулы тройного угла

Формула тангенса позволяет использовать ту же методологию разбиения формулы на компонент полного и двойного угла, следуя точному решению для tan⁡θ.

Для тройного угла основное уравнение всегда имеет значение 3. 9Следовательно, попробуем решить небольшой пример, используя это как наш результат. Давайте попробуем решить для tan3x.

Tan3x=tan(2x+x)

=(tan2x+tanx)/(1-tan2xtanx)

= ( 2tanx/(1-tan2 x)+tanx)⁄(1-(2tanx- tanx)/(1-tan² x))

=((2tanx+tanx-tan³x)/(1-tanx²x-2tan² x)+tanx)⁄

=(3tanx-tanx³ x)/(1-3tan² x)

Используемая базовая методология

Тождества тройного угла полезны в ситуациях, когда необходимо упростить тригонометрические функции из-за выражений, которые не обязательно преобразуются в фактическое значение.

Мы успешно определили, КАК сделать этот аспект решения для тождества тройного угла. Один из обычно используемых методов — который мы сделали здесь — это правило подстановки с тригонометрической функцией, а затем упрощение результата с помощью простого разбиения.

Поскольку формулы тройного угла как для синуса, так и для косинуса включают в себя степени одной функции, которые можно собрать из разбивки двух частей, конечный результат почти всегда предсказуем, если знать, какую функцию угол использует в своем уравнении.

Тригонометрические функции тройного угла устанавливают взаимосвязь между основными тригонометрическими функциями, умноженными на троекратный множитель заданного угла в тригонометрическом контексте угла. Упрощенно это означает, что мы используем базовые тригонометрические функции для получения значения угла, которое в три раза превышает известное значение. Только здесь мы делаем это в тригонометрическом контексте угла, а не в его реальном значении. Здесь мы можем использовать формулу прямоугольного треугольника для вычисления значений.

Этот метод также дает нам твердое представление о функциях углов.