Углы по сторонам треугольника: Калькулятор расчета углов треугольника зная длину сторон

Решение треугольников онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:

1. Три стороны треугольника.
2. Две стороны треугольника и угол между ними.
3. Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
4. Одна сторона и любые два угла.

Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис. 1). Найдем .

Решение:

Из теоремы косинусов имеем:

Откуда

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Найти (Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

Используя онлайн калькулятор для arcsin и arccos находим углы A и B:

И, наконец, находим угол C:

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.

Решение:

Найдем сторону c используя теорему косинусов:

Далее, из формулы

найдем cosA:

Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: и (Рис. 2). Найти сторону c и углы A и B.

Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:

Вычисления выше легко производить инженерным онлайн калькулятором.

Из формулы (3) найдем cosA:

Используя онлайн калькулятор для arcsin и arccos или инженерный онлайн калькулятор находим угол A:

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.

Решение:

Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:

Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:

Откуда

Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: и углы (Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.

Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:

Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:

Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:

Ответ:

По двум сторонам и углу между ними. Параметры треугольника

Полином Чебышева с свободным членом Создать вектор(диофант) по матрице Египетские дроби. Часть вторая Египетские (аликвотные) дроби По сегменту определить радиус окружности Круг и площадь, отсекаемая перпендикулярами Деление треугольника на равные площади параллельными Определение основных параметров целого числа Свойства обратных тригонометрических функций Разделить шар на равные объемы параллельными плоскостями Взаимосвязь между организмами с различными типами обмена веществ Аутотрофные и миксотрофные организмы Рассечение круга прямыми на равные площади Период нечетной дроби онлайн. Первые полторы тысяч разложений. Представить дробь, как сумму её множителей Решение системы из двух однородных диофантовых уравнений Расчет основных параметров четырехполюсника Цепочка остатков от деления в кольце целого числа Система счисления на базе ряда Фибоначчи онлайн Уравнение пятой степени. Частное решение. Рассчитать площадь треугольника по трем сторонам онлайн Общее решение линейного диофантового неоднородного уравнения Частное решение диофантового уравнения с несколькими неизвестными Онлайн разложение дробно рациональной функции Корни характеристического уравнения

Две стороны и угол между ними Первая сторона Вторая сторона Угол между этими сторонами       Вы ввели следующие параметры треугольника Рассчитанный треугольник и его свойства (в условных единицах) Сторона a Сторона b Сторона c Угол A Угол B Угол C Площадь треугольника Высота на сторону a Высота на сторону b Высота на сторону c Медиана на сторону a Медиана на сторону b Медиана на сторону c Биссектриса из угла A Биссектриса из угла B Биссектриса из угла C     Представляем небольшие калькуляторы, основанные на калькуляторе произвольный треугольник по заданным параметрам. Не все  могут отыскать этот калькулятор, поэтому с помощью частных решений , мы предоставляем возможность узнавать параметры треугольника по двум сторонам и углу между ними. Итак, если у нас есть треугольник вида и  известны строны a, b и угол между ними, то однозначно определяется  неизвестная третья сторона, по формуле Далее, можем по этой же формуле  находить оставшиеся неизвестными два угла. Например для угла в точке  A  формула будет такой:   И зная все эти параметры, совсем просто вычисляются и высоты, и медианы  и площадь треугольника. Бот, по заданным трем параметрам, выведет все рассчитанные значения  в одной таблице. Примеры решения: Длина одной стороны 8 единиц, другой 14 единиц. Угол между ними 55 градусов. Определить все возможные параметры треугольника. В геометрии желательно или мысленно или на бумаге прорировать Ваш исходный треугольник, что бы Вы понимали что где находится и что надо найти. В противном случае, непонимание условия задачи влечет за собой неспособность её решить.  Как Вы обозначите стороны на своем рисунке неважно. Поэтому и поля ввода имеют свободный вид, то есть можно написать a=8 или с=8. Ввод же угла   прост и вводится  как численное значение, так как уже понятно, что он находится МЕЖДУ двумя УЖЕ заданными сторонами. Вы ввели следующие параметры треугольника Рассчитанный треугольник и его свойства (в условных единицах) A = 35.150232566068  B = 89.849767433932  C = 55  S = 45.872514480183  a = 8  b = 14  c = 11.468168042777  ha = 11.468128620045  hb = 6.5532163543118  hc = 7.9999724993696  ma = 12.155634048814  mb = 6. 9827959392127  mc = 9.8549622239589  p = 16.734084021388  Еще один пример Решим классическую задачу сторона a=4 сторона b=3 а угол межд ними 90 градусов так и запишем. Получим ответ. Вы ввели следующие параметры треугольника Рассчитанный треугольник и его свойства (в условных единицах) A = 53.130102354156  B = 36.869897645844  C = 90  S = 6  a = 4  b = 3  c = 5  ha = 3  hb = 4  hc = 2.4  ma = 3.605551275464  mb = 4.2720018726587  mc = 2.5  p = 6  Получили что это прямоугольный треугольник. И напоследок. Кто попал впервые на эту страницу смогут сразу не понять, что за обозначения означают те, или иные символы. Ниже представлен список, для  соответствия. Сторона a Сторона b Сторона c Полупериметр p Угол А Угол B Угол C Площадь треугольника S Высота ha на сторону a Высота hb на сторону b Высота hc на сторону c Медиана ma на сторону a Медиана mb на сторону b Медиана mc на сторону c Координаты вершин (xa,ya) (xb,yb) (xc,yc)   По сегменту определить радиус окружности >> Поиск по сайту

Русский и английский алфавит в одну строку Часовая и минутная стрелка онлайн. Угол между ними. Массовая доля химического вещества онлайн Универсальный калькулятор комплексных чисел онлайн Декoдировать текст \u0xxx онлайн Перемешать буквы в тексте онлайн Частотный анализ текста онлайн Поворот точек на произвольный угол онлайн Обратный и дополнительный код числа онлайн Площадь многоугольника по координатам онлайн Остаток числа в степени по модулю Расчет процентов онлайн Как перевести градусы в минуты и секунды Расчет пропорций и соотношений Поиск объекта по географическим координатам Растворимость металлов в различных жидкостях Время восхода и захода Солнца и Луны для местности DameWare Mini Control. Настройка. Калькулятор географических координат Расчет значения функции Эйлера Перевод числа в код Грея и обратно Теория графов. Матрица смежности онлайн Произвольный треугольник по заданным параметрам НОД двух многочленов. Greatest Common Factor (GCF) Географические координаты любых городов мира Онлайн определение эквивалентного сопротивления Площадь пересечения окружностей на плоскости Непрерывные, цепные дроби онлайн Калькулятор онлайн расчета количества рабочих дней Проекция точки на плоскость онлайн Сообщество животных. Кто как называется? Из показательной в алгебраическую. Подробно Расчет заряда и разряда конденсатора через сопротивление Построить ненаправленный граф по матрице Система комплексных линейных уравнений Расчет понижающего конденсатора Месторождения золота и его спутники Дата выхода на работу из отпуска, декрета онлайн Определение формулы касательной к окружности Каноническое уравнение гиперболы по двум точкам Онлайн расчеты Подписаться письмом

4.

25: Сравнение углов и сторон в треугольниках

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

4822

Теоремы о неравенстве и порядок углов и сторон треугольников.

Теоремы SAS и SSS о неравенстве

Посмотрите на треугольник ниже. Даны стороны треугольника. Сможете ли вы определить, какой из углов больше? Наибольший угол будет напротив 18, потому что это самая длинная сторона. Точно так же наименьший угол будет лежать напротив 7, самой короткой стороны.

Рисунок \(\PageIndex{1}\)

Эта идея на самом деле является теоремой: если одна сторона треугольника длиннее другой стороны, то угол, противоположный более длинной стороне, будет больше, чем угол, противолежащий более короткой стороне.

Верно и обратное: если один угол в треугольнике больше другого угла в этом треугольнике, то сторона, противоположная большему углу, будет длиннее стороны, противоположной меньшему углу.

Мы можем расширить эту идею до двух теорем, которые помогут нам сравнить стороны и углы в двух треугольниках. Если у нас есть два конгруэнтных треугольника \(\Delta ABC\) и \(\Delta DEF\), отмеченные ниже:

Рисунок \ (\PageIndex{2}\)

Следовательно, если \(AB=DE\), \(BC=EF\) и \(m\угол B=m\угол E\), то \(AC=DF\ ).

Теперь составим \(m\угол B>m\угол E\). Получится ли это \(AC>DF\)? Да. Эта идея называется теоремой SAS о неравенстве .

Рисунок \(\PageIndex{3}\)

Теорема SAS о неравенстве: Если две стороны треугольника конгруэнтны двум сторонам другого треугольника, но угол между ними имеет большую меру, чем угол между ними другого треугольника, то третья сторона первого треугольника длиннее третьей стороны второго треугольника.

Рисунок \(\PageIndex{4}\)

Если \(\overline{AB}\cong \overline{DE}\), \(\overline{BC}\cong \overline{EF}\) и \(m \угол B>m\угол E\), затем \(\overline{AC}>\overline{DF}\).

Если мы знаем третьи стороны в отличие от углов, противоположная идея также верна и называется Теорема о неравенстве SSS .

SSS Теорема о неравенстве: Если две стороны треугольника конгруэнтны двум сторонам другого треугольника, но третья сторона первого треугольника длиннее третьей стороны второго треугольника, то внутренний угол первого треугольника две конгруэнтные стороны больше, чем угол между двумя конгруэнтными сторонами второго треугольника.

Рисунок \(\PageIndex{5}\)

Если \(\overline{AB}\cong \overline{DE}\), \(\overline{BC}\cong \overline{EF}\) и \(\ overline{AC}>\overline{DF}\), затем\( m\угол B>m\угол E\).

Что, если бы вам сказали, что стороны треугольника равны 3, 4 и 5? Как определить, какой из углов треугольника больше? Самый маленький?

Пример \(\PageIndex{1}\)

Если \(\overline{XM}\) является медианой \(\Delta XYZ\) и \(XY>XZ\), что мы можем сказать о \(m\угол 1\) и \(m\угол 2\)?

Рисунок \(\PageIndex{6}\)

Решение

M является серединой \(\overline{YZ}\), поэтому \(YM=MZ\). \(MX=MX\) по рефлексивному свойству, и мы знаем \(XY>XZ\).

Мы можем использовать обратную теорему о неравенстве SSS, чтобы сказать \(m\угол 1>m\угол 2\).

Пример \(\PageIndex{2}\)

Ниже показан равнобедренный треугольник \(\Delta ABC\). Перечислите все, что вы можете о сторонах и углах треугольника и почему.

Рисунок \(\PageIndex{7}\)

Решение

M является серединой \(\overline{YZ}\), поэтому \(YM=MZ\). \(MX=MX\) по рефлексивному свойству, и мы знаем \(XY>XZ\).

\(AB=BC\), потому что он дан.

\(m\угол A=m\угол C\), потому что если стороны равны, то их противоположные углы должны быть равны. .

\(AD

Пример \(\PageIndex{3}\)

Перечислите стороны по порядку, от самой короткой до самой длинной. 9{\circ}\) — наименьший угол, поэтому \(AB\) — самая короткая сторона. По порядку ответ: \(AB\), \(BC\), \(AC\).

Пример \(\PageIndex{4}\)

Перечислите углы по порядку, от большего к меньшему.

Рисунок \(\PageIndex{9}\)

Решение

Как и в случае со сторонами, наибольший угол находится напротив самой длинной стороны. Самая длинная сторона равна \(BC\), поэтому наибольший угол равен \(\угол A\). Далее будет \(\угол B\), а затем \(\угол C\).

Пример \(\PageIndex{5}\) 9{\circ}\). Опять же, по теореме, представленной в этом разделе, порядок сторон от наименьшей к наибольшей таков: \(BD\), \(CD\) и \(BC\).

По теореме о неравенстве SAS мы знаем, что \(BC>DE\), поэтому порядок всех сторон будет следующим: \(BD\), \(CE\), \(CD\), \(DE \), \(ДО Н. Э\).

Обзор

В вопросах 1-3 перечислите стороны в порядке от самой короткой до самой длинной.

1. Рисунок \(\PageIndex{11}\)
2. Рисунок \(\PageIndex{12}\)
9{\circ}\). Поместите меры угла в соответствующие места.
3. Какие выводы вы можете сделать о \(x\)? Рисунок \(\PageIndex{17}\)
4. Сравните \(m\угол 1\) и \(m\угол 2\). Рисунок \(\PageIndex{18}\)
5. Перечислите стороны от самой короткой до самой длинной. Рисунок \(\PageIndex{19}\)
6. Сравните \(m\угол 1\) и \(m\угол 2\). Что вы можете сказать о \(m\угол 3\) и \(m\угол 4\)? Рисунок \(\PageIndex{20}\)

Обзор (Ответы)

Чтобы просмотреть ответы на вопросы, откройте этот PDF-файл и найдите раздел 5.6.

Ресурсы

Словарь

Срок	Определение
Теорема SAS о неравенстве	Теорема SAS о неравенстве утверждает, что если две стороны треугольника конгруэнтны двум сторонам другого треугольника, но прилежащий угол одного треугольника имеет большую меру, чем прилежащий угол другого треугольника, то третья сторона первого треугольника равна длиннее третьей стороны второго треугольника.
Теорема SSS о неравенстве	Теорема о неравенстве SSS утверждает, что если две стороны треугольника конгруэнтны двум сторонам другого треугольника, но третья сторона первого треугольника длиннее третьей стороны второго треугольника, то угол между двумя сторонами первого треугольника конгруэнтных сторон больше, чем угол между двумя конгруэнтными сторонами второго треугольника.
Теорема о сумме треугольников	Теорема о сумме треугольников утверждает, что три внутренних угла любого треугольника в сумме составляют 180 градусов.

Дополнительные ресурсы

Интерактивный элемент

Видео: сравнение углов и сторон треугольников. Принципы — основы

Задания: сравнение углов и сторон треугольников.0023 Практика: сравнение углов и сторон треугольников

Реальный мир: теорема о сумме треугольников

---

Эта страница под названием 4. 25: Сравнение углов и сторон в треугольниках распространяется под лицензией CK-12 и была создана, изменена и/или курирована Фондом CK-12 через исходный контент, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами LibreTexts. Платформа; подробная история редактирования доступна по запросу.

ПОД ЛИЦЕНЗИЕЙ

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   СК12

   Лицензия

   СК-12

   Программа OER или Publisher

   СК-12

   Показать оглавление

   нет

2. Теги

   1. источник@https://www. ck12.org/c/geometry

Заказ сторон и углов треугольника

В треугольнике стороны, противоположные углам, расположены в том же порядке, что и углы, и наоборот. Если мы упорядочим три угла треугольника от меньшего к большему, стороны, противоположные углам, будут в том же порядке.

Таким образом, сторона, противоположная наибольшему углу, будет самой длинной стороной. Тот же образец можно применить к углам, когда даны стороны. Угол, противоположный наименьшей стороне, будет наименьшим углом.

В треугольнике выше наименьшая сторона АС (= 6 см) лежит против наименьшего угла 24°, следующая длинная сторона ВС (= 13 см) лежит напротив следующего большего угла 24° и самая длинная сторона АВ (= 15 см) лежит против угла 97°.

Порядок сторон от самой короткой до самой длинной:

AC, BC, AB (или) 6 см, 13 см, 15 см 

Порядок углов от меньшего к большему:

∠B, ∠A, ∠C (или) 24°, 59°, 97°

Пример 1 :

В приведенном ниже ΔGEF расположите стороны от самой короткой до самой длинной.

Отвечать :

Укажите углы от меньшего к большему:

55°, 62°, 63°

Сторона, противоположная наименьшему углу, является самой короткой стороной, а сторона, противоположная наибольшему углу, является самой длинной стороной.

сторона, противоположная 55° —-> GE

сторона, противоположная 62° —-> GF

сторона, противоположная 63° —-> EF

Порядок сторон от самой короткой к самой длинной :

ГЭ, ГФ, ЭФ

Пример 2:

В ΔABC ниже расположите стороны от самой длинной до самой короткой.

Отвечать :

В ΔABC выше,

m∠A + m∠B + m∠C = 180°

Замените m∠B = 102° и m∠C = 46°.

м∠A + 102° + 46° = 180°

м∠A + 148° = 180°

Вычтите 148° с каждой стороны. — —> AB

сторона, противоположная 32° —-> BC

Порядок сторон от самой длинной к самой короткой: 

AC, AB, BC

Пример 3:

В ΔEFD ниже расположите стороны от самой короткой до самой длинной.

Отвечать :

m∠E = 48°, а оставшиеся два угла m∠F и m∠D равны, то есть 66°.

сторона, противоположная m∠E —-> FD

сторона, противоположная m∠F —-> ED

сторона, противоположная m∠D —-> EF

В ΔEFD выше, самая короткая сторона FD, а оставшиеся две стороны ED и EF равны по длине.

Пример 4:

В приведенном ниже ΔJKL расположите углы от наименьшего к наибольшему.

Ответ:

Упорядочите стороны от самой короткой к самой длинной:  

14 ярдов, 16 ярдов, 18 ярдов

Угол, противоположный самой короткой стороне, является наименьшим углом, а сторона, противоположная самой длинной стороне, является наибольшим углом.

угол против стороны длиной 14 ярдов —-> ∠J

угол против стороны длиной 16 ярдов —-> ∠K

угол против стороны длиной 18 ярдов —-> ∠ L

Порядок углов от меньшего к большему:

∠J, ∠K, ∠L

Пример 5:

В ΔKLM ниже KL = 18 см, LM = 20 см и KM = 13 см.