Умножение деление сложение вычитание степеней: Свойства степеней, действия со степенями

alexxlab / / Разное

404 — Страница не найдена

Страницы

Партнеры сайта

_________________________________

404: Запрошенная страница с адресом [http://primer. by/algebra/temy-dlja-postuplenija-v-vuz/] не найдена.

Если Вы уверены, что набрали ссылку корректно, напишите, пожалуйста, об этом на:

меню пользователя

Новости


30.11.16 

17.03.15 

25.03.14 

29.08.13 

05. 05.13 


primer. by 2013-2016

Степень, свойства и действия со степенями, сложение, умножение, деление отрицательных степеней, степень с натуральным показателем, правила и формулы

Математика

12.11.21

10 мин.

Одной из главных характеристик в алгебре, да и во всей математике является степень. Конечно, в 21 веке все расчеты можно проводить на онлайн-калькуляторе, но лучше для развития мозгов научиться делать это самому.

Оглавление:

  • Онлайн-калькулятор возведения в степень
  • Что такое степень числа
  • Таблица степеней от 1 до 10
  • Свойства степеней
  • Степень с отрицательным показателем
  • Степень с натуральным показателем
  • Дробная степень
  • Степень с иррациональным показателем
  • Заключение

В данной статье рассмотрим самые важные вопросы, касающиеся этого определения. А именно, поймем что это вообще такое и каковы основные его функции, какие имеются свойства в математике.

Рассмотрим на примерах то, как выглядит расчет, каковы основные формулы. Разберем основные виды величины и то, чем они отличаются от других функций.

Поймем, как решать с помощью этой величины различные задачи. Покажем на примерах, как возводить в нулевую степень, иррациональную, отрицательную и др.

Онлайн-калькулятор возведения в степень

Что такое степень числа

Что же подразумевают под выражением «возвести число в степень»?

Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд.

Математически это выглядит следующим образом:

an = a * a * a * …an.

Причем, левая часть уравнения будет читаться, как a в степ. n.

Например:

  • 23 = 2 в третьей степ. = 2 * 2 * 2 = 8;
  • 42 = 4 в степ. два = 4 * 4 = 16;
  • 54 = 5 в степ. четыре = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
  • 105 = 10 в 5 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
  • 104 = 10 в 4 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Ниже будет представлена таблица квадратов и кубов от 1 до 10.

Таблица степеней от 1 до 10

Ниже будут приведены результаты возведения натуральных чисел в положительные степени – «от 1 до 100».

Ч-ло2-ая ст-нь3-я ст-нь
111
248
3927
41664
525125
636216
7
49		343
864512
981279
101001000

Свойства степеней

Что же характерно для такой математической функции? Рассмотрим базовые свойства.

Учеными установлено следующие признаки, характерные для всех степеней:

  • an * am = (a)(n+m);
  • an : am = (a)(n-m);
  • (ab ) m=(a)(b*m).

Проверим на примерах:

23 * 22 = 8 * 4 = 32. С другой стороны 25 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Аналогично: 23 : 22 = 8 / 4 =2. Иначе 23-2 = 21 =2.

(23)2 = 82 = 64. А если по-другому? 26 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Как видим, правила работают.

А как же быть со сложением и вычитанием? Всё просто. Выполняется сначала возведение в степень, а уж потом сложение и вычитание.

Посмотрим на примерах:

  • 33 + 24 = 27 + 16 = 43;
  • 52 – 32 = 25 – 9 = 16. Обратите внимание: правило не будет выполняться, если сначала произвести вычитание: (5 — 3)2 = 22 = 4.

А вот в этом случае надо вычислять сначала сложение, поскольку присутствуют действия в скобках: (5 + 3)3 = 83 = 512.

Как производить

вычисления в более сложных случаях? Порядок тот же:

  • при наличии скобок – начинать нужно с них;
  • затем возведение в степень;
  • потом выполнять действия умножения, деления;
  • после сложение, вычитание.

Есть специфические свойства, характерные не для всех степеней:

  1. Корень n-ой степени из числа a в степени m запишется в виде: am/n.
  2. При возведении дроби в степень: этой процедуре подвержены как числитель, так и ее знаменатель.
  3. При возведении произведения разных чисел в степень, выражение будет соответствовать произведению этих чисел в заданной степени. То есть: (a * b)n = an * bn.
  4. При возведении числа в отрицательную степ., нужно разделить 1 на число в той же ст-ни, но со знаком «+».
  5. Если знаменатель дроби находится в отрицательной степени, то это выражение будет равно произведению числителя на знаменатель в положительной степени.
  6. Любое число в степени 0 = 1, а в степ. 1 = самому себе.

Эти правила важны в отдельных случаях, их рассмотрим подробней ниже.

Степень с отрицательным показателем

Что делать при минусовой степени, т. е. когда показатель отрицательный?

Исходя из свойств 4 и 5 (смотри пункт выше), получается:

A(-n) = 1 / An, 5(-2) = 1 / 52 = 1 / 25.

И наоборот:

1 / A(-n) = An, 1 / 2(-3) = 23 = 8.

А если дробь?

(A / B)(-n) = (B / A)n, (3 / 5)(-2) = (5 / 3)2 = 25 / 9.

Степень с натуральным показателем

Под ней понимают степень с показателями, равными целым числам.

Что нужно запомнить:

A0 = 1, 10 = 1; 20 = 1; 3.150 = 1; (-4)0 = 1…и т. д.

A1 = A, 11 = 1; 21 = 2; 31 = 3…и т. д.

Кроме того, если (-a)2n+2, n=0, 1, 2…то результат будет со знаком «+». Если отрицательное число возводится в нечетную степень, то наоборот.

Общие свойства, да и все специфические признаки, описанные выше, также характерны для них.

Дробная степень

Этот вид можно записать схемой: Am/n. Читается как: корень n-ой степени из числа A в степени m.

С дробным показателем можно делать, что угодно: сокращать, раскладывать на части, возводить в другую степень и т. д.

Степень с иррациональным показателем

Пусть α – иррациональное число, а А ˃ 0.

Чтобы понять суть степени с таким показателем, рассмотрим разные возможные случаи:

  • А = 1. Результат будет равен 1. Поскольку существует аксиома – 1 во всех степенях равна единице;
  • А˃1.

Аr1 ˂ Аα ˂ Аr2, r1 ˂ r2 – рациональные числа;

  • 0˂А˂1.

В этом случае наоборот: Аr2 ˂ Аα ˂ Аr1 при тех же условиях, что и во втором пункте.

Например, показатель степени число π. Оно рациональное.

r1 – в этом случае равно 3;

r2 – будет равно 4.

Тогда, при А = 1, 1π = 1.

А = 2, то 23 ˂ 2π ˂ 24, 8 ˂ 2π ˂ 16.

А = 1/2, то (½)4 ˂ (½)π ˂ (½)3, 1/16 ˂ (½)π ˂ 1/8.

Для таких степеней характерны все математические операции и специфические свойства, описанные выше.

Заключение

Подведём итоги — для чего же нужны эти величины, в чем преимущество таких функций? Конечно, в первую очередь они упрощают жизнь математиков и программистов при решении примеров, поскольку позволяют минимизировать расчеты, сократить алгоритмы, систематизировать данные и многое другое.

Где еще могут пригодиться эти знания? В любой рабочей специальности: медицине, фармакологии, стоматологии, строительстве, технике, инженерии, конструировании и т. д.

Порядок операций (PEMDAS) | Репетиторство в Читауне

Перейти к содержимому

PEMDAS (круглые скобки, показатели степени, умножение, деление, сложение и вычитание) — это аббревиатура, определяющая порядок операций в арифметике. Другими словами, в математическом выражении, если у вас задействовано более одной операции, вам нужно следовать этому порядку операций, чтобы получить правильный ответ.

Если вы не будете следовать этому порядку, вы, очевидно, получите ответ, но он будет неправильным. PEMDAS сообщает вам, какая операция должна быть выполнена первой, затем какая операция и так далее.

Причина, по которой была изобретена эта аббревиатура, заключается в том, что было бы очень трудно запомнить порядок операций, если бы кто-то просто сказал вам сначала заполнить все в скобках, а затем заполнить степени, а затем умножение, деление, сложение и вычитание.

Да, кажется, довольно сложно запомнить этот порядок. И именно поэтому появилась аббревиатура PEMDAS, и если вы хотите сделать ее еще проще, вы можете запомнить ее в виде предложения, например, «Простите, моя дорогая тетя Салли» (PEMDAS). Если вы запомните эту фразу, то сможете легко запомнить порядок операций и быстро решать математические задачи.

Почему PEMDAS важен?

Порядок операций или PEMDAS чрезвычайно важен, поскольку он определяет рекомендации для правильного решения любой математической задачи. Возьмем, к примеру, следующее выражение:

3 * 2 + 5

Здесь я могу сначала умножить 3 * 2 и добавить к результату 5 и получить ответ.

3 * 2 + 5 = 11

Или, я могу добавить 2 + 5 и, наконец, умножить результат на 3, и я также получу ответ здесь. Но главное, какой ответ правильный?

3 * 2 + 5 = 21

Если вы примените здесь PEMDAS, он скажет:

Скобки, показатели степени, умножение, деление, сложение и вычитание добавить или вычесть.

Применяя этот порядок, правильный ответ равен 11, где вы сначала умножаете, а затем складываете.

Подробное объяснение PEMDAS

Давайте посмотрим на подробное объяснение PEMDAS:

P обозначает круглые скобки, и это означает, что вам нужно решить что-либо внутри круглых скобок.

Например:

3 * (4 + 2) — это выражение, которое вам нужно вычислить
3 * (4 + 2) = 3 * 6 = 18 (ПРАВИЛЬНЫЙ ПОРЯДОК)
3 * ( 4 + 2) = 12 + 2 = 24 (НЕПРАВИЛЬНЫЙ ПОРЯДОК)

Далее идут показатели степени, а это значит, что вам нужно вычислить степени и корни, прежде чем умножать, делить, складывать и вычитать.

4 * 2 2 — это выражение
4 * 2 2 = 4 * 4 = 8 (ПРАВИЛЬНЫЙ ПОРЯДОК)
4 * 2 2 = 8 2 = 64 (НЕПРАВИЛЬНЫЙ ПОРЯДОК)

MD означает Умножение и

MD 900 сложение и вычитание

8 + 5 * 2 — это выражение, которое вам нужно вычислить
8 + 5 * 2 = 8 + 10 = 18 (ПРАВИЛЬНЫЙ ПОРЯДОК)
8 + 5 * 2 = 13 * 2 = 26 (НЕПРАВИЛЬНЫЙ ПОРЯДОК)

Последнее идет КАК, что означает, что вам нужно делать сложение и вычитание, только в последнюю очередь, после того, как вы выполните другие операции по порядку.

Пример 1 – Вычислить 7 – 24 / 8 *4 +6

Здесь нет круглых скобок или степеней, поэтому необходимо выполнить либо умножение, либо деление. В этом случае, поскольку деление предшествует умножению, деление будет завершено первым.

7 – (24/8) * 4 + 6
7 – 3 * 4 + 6

Дальше будет выполняться умножение:

7 – 3 * 4 + 6
7 – 12 + 6

знак минус стоит перед знаком сложения, далее будет производиться вычитание:

7 – 12 + 6 = – 5 + 6

Добавление – последний шаг:

-5 + 6 = 1

Пример 2 – (17 – 6 /2) + 4*3

Согласно PEMDAS, круглые скобки идут первыми, поэтому выражение в круглых скобках будет рассматриваться первым.

(17 – 6/2) + 4*3

В скобках мы не видим показателей степени. Однако мы видим символ деления, поэтому деление будет выполнено.

(17 – 6/2) + 4*3
(17 – 3) + 4*3

Еще в скобках выполним вычитание: 92)
(5 – 4)

Вычитание:

(5 – 4) = 1

Складываем вместе два упрощенных выражения:

5 – 1 = 4

Перейти к началу

Что означает скобки+показатели+умножение+деление+сложение+и+вычитание? Бесплатный словарь

Скобки+показатели+умножение+деление+сложение+и+вычитание — Что означает скобки+показатели+умножение+деление+сложение+и+вычитание? Бесплатный словарь

Скобки+показатели+умножение+деление+сложение+и+вычитание — Что означает скобки+показатели+умножение+деление+сложение+и+вычитание? Бесплатный словарь

Слово, не найденное в Словаре и Энциклопедии.

No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *