Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ стСпСнями: 031. ДСйствия с корнями

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΡƒΡΠΊΠ°Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ β€” Popmath

Π‘ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ это β€” ΠΎΡ‰ΡƒΡ‰Π°Ρ‚ΡŒ сСбя ΠΎΠ±ΠΌΠ°Π½ΡƒΡ‚Ρ‹ΠΌ, ΠΏΠΎΠΊΠΈΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹ΠΌ, ΠΏΡ€Π΅Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ Ρ‚Π΅ΠΌΠΈ, ΠΊΠΎΠΌΡƒ большС всСго довСрял? Как ΡΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с этой ΠΏΠΎΠΆΠΈΡ€Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΈΠ·Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΡΠΊΠ·ΠΈΡΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π±Π΅Π·Π΄Π½ΠΎΠΉ? Волько Π½Π΅ Π½Π°Π΄ΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π°ΠΌ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π½Π΅ извСстно, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄ΠΎ сих ΠΏΠΎΡ€ личная Тизнь Π±Ρ‹Π»Π° ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Ρ†ΠΎΠ²ΠΎΠΉ β€” Π΄Π΅Π»ΠΎ вовсС Π½Π΅ Π² этом. ΠŸΡ€Π΅Π΄Π°Ρ‚Π΅Π»Ρ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ Π² воспоминаниях ΠΈ Π²Ρ‹Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΡˆΠΈΡ… Ρ‚Π΅Π»Π΅Ρ„ΠΎΠ½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π°Ρ…, Β Π° Π² Π½Π°ΡˆΠΈΡ… ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ…. И этот ΠΏΡ€Π΅Π΄Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ β€” ΠΌΡ‹. Π’ ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠ»Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·, говоря ΠΎ стСпСнях, ΠΌΡ‹ ΡΠΎΠ·Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, с Ρ†ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΈ Ρ…ΠΎΠ»ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ расчётом ΡƒΠΌΠΎΠ»Ρ‡Π°Π»ΠΈ ΠΎ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΌ Ρ‚ΠΈΠΏΠ΅ стСпСнСй, Π±Π΅Π· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΌ курсС ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ вряд Π»ΠΈ получится.

Π’ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠ΅, это ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ сразу. Говоря ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, ΠΌΡ‹ Π½Π΅ упомянули ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΡΠΈΡ‚ΡƒΠ°Ρ†ΠΈΡŽ β€” Π° Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли сама ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ являСтся Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠΉ? Π’ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ случаС привычная Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ° (это Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΡƒΠ±ΠΈΠΊΠΈ) Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ Π½Π΅Ρ…ΠΈΠ»Ρ‹ΠΉ сбой β€” ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ число само Π½Π° сСбя Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ число Ρ€Π°Π· Π΅Π΄Π²Π° Π»ΠΈ получится, Ρ‚Π΅ΠΌ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ всё это Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· слоТСниС. НавСрноС, ΠΏΠΎΡ€Π° Ρ‚ΡΠ½ΡƒΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ справочникам, Π½Π°ΠΈΠ·ΡƒΡΡ‚ΡŒ Π·Π°ΡƒΡ‡ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ опрСдСлСния ΠΈ дСсяток-Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Π½Π΅ самых симпатичных Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»? НС стоит ΠΎΡ‚Ρ‡Π°ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌ эту Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ всС Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ β€” ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΌΡƒΠ΄Ρ€ΠΎ ΠΈ с Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΡŽΠΌΠΎΡ€ΠΎΠΌ.

Начнём с простого. Π’ΠΎΡ‚, допустим, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π½Π°ΠΌΠΈ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ»ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ Π²Ρ€ΠΎΠ΄Π΅ , ΠΊΠ°ΠΊ с этим Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ? Π‘Ρ…ΠΎΠ΄Ρƒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠΆΠ΅ сказали, ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅ получится, Π° направлСния, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ слСдуСт ΠΌΡ‹ΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ, Π½Π°ΠΌ Π½ΠΈΠΊΡ‚ΠΎ Π΅Ρ‰Ρ‘ Π½Π΅ подсказал. Π’Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π° Π½Π΅ остаётся, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΡΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· ΡƒΠΆΠ΅ извСстного. А Ρ‡Ρ‚ΠΎ извСстно-Ρ‚ΠΎ? Π’Ρ€ΠΎΠ΄Π΅ ΠΊΠ°ΠΊ это бСссмыслица. Но Π½Π°ΠΌΠΈ Π±Ρ‹Π»ΠΎ установлСно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ умноТСнии элСмСнтов с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ основаниями ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ стСпСнСй ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ. Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ любоС число Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ стСпСни это ΠΎΠ½ΠΎ само ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ . Π§Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ· этого слСдуСт?

А слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ число, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ само Π½Π° сСбя (Ρ‚.Π΅. Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚) Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ Π΄Π²ΠΎΠΉΠΊΡƒ. ΠžΠΏΠΈΡ€Π°ΡΡΡŒ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠ»Ρ‹Π΅ рисунки, сразу скаТСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΡƒΡ‚ ΠΌΡ‹ выполняСм ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ. Если Ρ€Π°Π½ΡŒΡˆΠ΅ Ρƒ нас Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Ρ‚ΠΎ числа ΠΈ ΠΌΡ‹ строили Π½Π° ΠΈΡ… основС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹, Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, Ρƒ нас ΡƒΠΆΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ с Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒΡŽ, Π° Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΅Π³ΠΎ сторону. Число Π² Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π΅ здСсь ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹, Π° числа ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ сторон β€” Π½Π° ΠΈΡ… Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹:

ЗаписываСтся это ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: ΠΈ читаСтся ΠΊΠ°ΠΊ Β«ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ…Β». НСлСпый Π·Π½Π°ΠΊ называСтся Β«Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Β», Π° опСрация, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΎΠ½ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ β€” Β«ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ арифмСтичСского корня».

Эм…ШСф, Π½Π΅ Π³ΠΎΠ½ΠΈ лошадСй. ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ-Ρ‚ΠΎ, Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ? Π’Π΅Π΄ΡŒ указанная Π½Π°ΠΌΠΈ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ ΠΈ для всСх ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ. Π’ Ρ‚ΠΎΠΌ смыслС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ , ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅, Π²ΠΏΠ»ΠΎΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎ стСпСни .

ΠŸΠΎΠ΄ΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΎ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ, ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΈ кубичСскими (Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ корня это Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠΊΠ°), ΠΈ Ρ…ΠΎΡ‚ΡŒ пятой, Ρ…ΠΎΡ‚ΡŒ любой Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ стСпСни. ЗаписываСтся это всё ΠΏΡƒΡ‚Ρ‘ΠΌ указания Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅Π³ΠΎ индСкса для корня, ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ это Β«ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ стСпСни ΠΈΠ· Π΄Π²ΠΎΠΉΠΊΠΈΒ», Π½Ρƒ Π° это Β«ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ стСпСни ΠΈΠ· Β«.

Β 

А ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚Π°ΠΊ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ Π²Π΄Ρ€ΡƒΠ³ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ это ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, Π° β€” это ΠΊΡƒΠ±? Ой, Π΄Π° ΠΌΡ‹ ΠΆΠ΅ это ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠΆΠ΅! ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ это Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠΊ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ. А Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ стСпСни, это Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΡƒΠ±ΠΈΠΊ с ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠΌΠΈ сторонами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π²Π΅Π·Π΄Π΅, Ρ…ΠΎΡ‚ΡŒ Π±Ρ‹ ΠΈ Π² ΠΌΠ°Π³Π°Π·ΠΈΠ½Π΅ ΠΈΠ³Ρ€ΡƒΡˆΠ΅ΠΊ. А Π²ΠΎΡ‚ со всСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ большС, Π½Ρƒ ΠΈΠ»ΠΈ мСньшС, Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ясного-понятного Π½Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ с Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Π°ΠΌΠΈ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ. ΠŸΠ΅Ρ‡Π°Π»ΡŒ-тоска-огорчСниС…

Β 

Β 

Надо ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сама ΠΏΠΎ сСбС запись ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ достаточно ΠΏΡƒΡ‚Π°Π½ΠΎΠΉ. Π’ частности, Ρ‚ΡƒΡ‚ Π΅ΡΡ‚ΡŒ мСсто ΠΈΠ·Π²Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ людской нСаккуратности β€” Π·Π½Π°ΠΊ корня постоянно Π·Π°Π±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ясно Π·Π°ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ, ΠΏΠΎ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π°ΠΌ Ρ‡Π΅Π³ΠΎ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ являСтся Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Π° Ρ‡Ρ‚ΠΎ стоит ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎ нСзависимо. ΠŸΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ β€” это Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ заносится ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊ корня, ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΠΌ. Π’ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅, Ссли Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°-Ρ‚ΠΎ каТСтся нСдостаточно понятным ΠΈ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌ (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅-Ρ‚ΠΎ объяснСниС Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ΅), Ρ‚ΠΎ скорСС всСго ΠΎΠ½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ Π²ΠΏΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΎΠ±ΠΌΠ°Π½Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚.

Если ΡƒΠΆ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎ путаности, Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π΄ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌΠΈ Π±Ρ‹Π» ΡƒΠΏΡƒΡ‰Π΅Π½ Π΅Ρ‰Ρ‘ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚, всё Π΅Ρ‰Ρ‘ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉΡΡ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… стСпСнСй. Как Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅, эта Ρ‚Π΅ΠΌΠ° β€” просто-Ρ‚Π°ΠΊΠΈ Π½Π΅ΠΏΠ°Ρ…Π°Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅ для всяких Π·Π°Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ нСприятностСй. Π‘ΠΎ свойствСнным Π½Π°ΡˆΠ΅ΠΌΡƒ излоТСнию изящСству ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ , Π½ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, Ссли наша ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ Π½Π΅Ρ‘ Π² числитСлС стоит Π½Π΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°? НапримСр, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ запись Π²ΠΈΠ΄Π° ? Для ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π° Π½Π° этот вопрос слСдуСт ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π΅Π³Π½ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΊ ΡƒΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΎΠΉ Π½Π°ΠΌ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ΅ β€” Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΡ‚Ρ‚Π°Π»ΠΊΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹.

ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ , этого Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ достаточно. Помня ΠΎ слоТСнии стСпСнСй ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ . Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, для нахоТдСния искомого значСния Π½Π°ΠΌ Π½Π°Π΄ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° , ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅ говоря, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ Π²ΠΈΠ΄Π° . БобствСнно, это Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ для , Π° Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ для любого случая:

Β  Β 

ΠžΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎ, с Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ΠΉ ΠΌΡ‹ ΡΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ΄Ρ‚ΠΈ дальшС!.. Как это Π½Π΅ ΡΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ? Π’ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°, всё Π²Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ, ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ? А… Π’Π°ΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚ΡƒΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ какая-Ρ‚ΠΎ Π΅Ρ‰Ρ‘ Π½ΡƒΠΆΠ½Π°, Π½Π°Π³Π»ΡΠ΄Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒβ€¦ Ну Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ. Для этого Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ подходящим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, взяв Π² качСствС ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π° Π²ΠΎΡΡŒΠΌΡ‘Ρ€ΠΊΡƒ. Π§Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π½Π° ? Богласно нашСй инструкции, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° , Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΈ сдСлаСм, ΠΏΠΎΠΏΡƒΡ‚Π½ΠΎ ΠΎΠ±Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠΈΠ², Ρ‡Ρ‚ΠΎ кубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π²ΠΎΡΡŒΠΌΡ‘Ρ€ΠΊΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ , Ρ‚. ΠΊ. . Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, считаСм:

Β  Β 

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠΌ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ , Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, ΠΌΡ‹ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π² Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π» Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ, Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π»ΠΈ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π» Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ. Π‘ΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅? НС Π΄ΡƒΠΌΠ°Π΅ΠΌ!

Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ рассмотрим это явлСниС ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Π±Π΅Ρ€Ρ‘ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ послоТнСС, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, . Как ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ Π²ΠΎΡ‚ это всё? Π”Π° ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ просто, ΠΌΡ‹ всСго лишь прСдставляСм это слабо понятноС мСсиво Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠΌ для нас Π²ΠΈΠ΄Π΅ .

Π’ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅? Π’ этом Π½Π΅Ρ‚ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ слоТного, вСдь Ссли Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Π½Π° сумму стСпСнСй с числитСлСм Β Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅ (Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, Π½Π° ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π² стСпСни знамСнатСля), Ρ‚ΠΎ смысл этого числитСля станСт понятным β€” ΠΎΠ½ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ Π½Π° Ρ‚ΠΎ, сколько Ρ€Π°Π· Π±Ρ‹Π»Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π° сама Π½Π° сСбя исходная ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ. ИдСя это достаточно простая, Π½ΠΎ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π΅Ρ‰Ρ‘ Ρ€Π°Π· ΠΏΡ€ΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ. Π’ΠΎΡ‚ Ρƒ нас , Ρ‡Ρ‚ΠΎ это? Π­Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ стСпСни , Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Ρ‘Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π² -ю ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ. ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ? ΠŸΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ раскладываСтся Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ, Π³Π΄Π΅ Ρƒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Π² числитСлС стСпСни стоит Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°. А сколько Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚, Ссли ΠΏΡΡ‚ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ? Π’ΠΎ-Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅!

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π½Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† ΠΆΠΈΡ€Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Ρ‡Π΅Ρ€ΠΊΠ½Ρ‘ΠΌ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ с Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄ΠΎΠΌ ΡƒΠ·Π½Π°Π»ΠΈ:

Β  Β 

Π—Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ β€” это ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ. Π§ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ β€” это ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ. Если Π·Π°Π±Ρ‹Π»ΠΈ, просто вспомнитС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ это ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ , Π° ΡƒΠΆ Ρƒ Π½Π΅Π³ΠΎ-Ρ‚ΠΎ понятно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ. И Π΄Π° β€” Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ возводится вСсь ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Π° Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π­Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π΄ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅, Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΏΠ°Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ ΠΎΡ‚ ΠΏΠ»Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°ΠΊΠΊΠ°ΡƒΠ½Ρ‚Π° Π½Π° pornhub. Π₯отя минуточку… Π²Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠΉ Π΅Ρ€ΡƒΠ½Π΄Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΊ-Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎ памяти воспроизвСсти сам ΠΏΠ°Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ? Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅-ΠΊΠ° убСдимся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ.

Допустим, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ всё Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ установлСно, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ . А Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ? Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ посмотрим. Π£ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ , ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ извлСкаСтся ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ стСпСни , Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ нашС возводится Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ , ΠΏΡ€ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ стСпСни Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

Β  Β 

Π§ΡƒΠ΄Π½Ρ‹ Π΄Π΅Π»Π° Ρ‚Π²ΠΎΠΈ, Господи!

А-Ρ…Π°-Ρ…Π°, это ΠΎΠΏΡΡ‚ΡŒ ΡˆΡƒΡ‚ΠΊΠ°, вСдь Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π±ΠΎΠ³Π° Π½Π΅Ρ‚. Π’Π΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅Π½ β€” Π² силу спСцифики ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Ρ‹, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ Π΄Π΅Π»ΠΎ со ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΡŽ выраТСния с ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ Π² своём составС, ΠΈΠ»ΠΈ со ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΡŽ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ. А Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ это Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ? Π’ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ Π½Π΅ приплСтая ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, вСдь Π±Π΅Π· этих ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π½Π΅Ρ€Π°Π·Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ…ΠΈ Π½Π΅Ρ‚ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΡ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ находятся, Π½Ρƒ ΠΈ Π³Π΄Π΅ Ρƒ Π½ΠΈΡ… Ρ‚Π°ΠΌ всС стСпСни стоят.

ΠŸΡ€ΠΈ каТущСйся простотС всСго упомянутого слСдуСт ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ большой ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠΎΠΉ здСсь выступаСт отсутствиС внятной ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ происходящСго. ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, Π² случаС с ΡƒΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ Π²Ρ‹ сначала ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° , Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ эти Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ для нахоТдСния ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° со сторонами Π²Β , Π½Ρƒ Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌ ΡƒΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ„ΠΈΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° , ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это скорСС услоТняСт Π΄Π΅Π»ΠΎ, Ρ‡Π΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°Π΅Ρ‚.

Π’ΠΎ всём этом проявляСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΎ интСрСсноС, Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ свойство матСматичСского ΠΌΡ‹ΡˆΠ»Π΅Π½ΠΈΡ β€” ΠΎΡ‚ΠΎΡ€Π²Π°Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ Β«Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ²Β». Уяснив Π½Π° ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‡Ρ‘ΠΌ смысл Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ бСсконСчно Π΅Ρ‘ ΡƒΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ‚ΡŒ, Π² Ρ‚ΠΎΠΌ числС ΠΈ Π΄ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… случаСв, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠ΅, Π½ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ Π½Π΅ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ чСловСчСскоС ΠΌΡ‹ΡˆΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ…-Ρ‚ΠΎ Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²ΠΎΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠΉ оказываСтся Π½Π΅ Π² силах. БобствСнно, Ссли Π±Ρ‹ Π½Π΅ эта ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Ρ‚ΠΎ вСсь ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ограничивался бы… ну… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ ΠΈ ограничиваСтся Π² школС ΠΈ вузах…

Π”Π° Π½Π΅Ρ‚, ΠΎΠΏΡΡ‚ΡŒ ΡˆΡƒΡ‚ΠΈΠΌ, ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π² Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠΌ школьном ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π΅ содСрТится ΠΊΡƒΠ΄Π° большС ΠΈΠ΄Π΅ΠΉ, Ρ‡Π΅ΠΌ Ρ‚Π΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ, чСртя ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ Π½Π° пСскС.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ раскрыли сСкрСт нСпонятных стСпСнСй, Π½ΠΎ ΠΈ снабдили всё это нСбольшим философским ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Ρ‘ΠΌ ΠΊ свойствам ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ с арифмСтичСским ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ. ИмСнно ΠΊ Ρ‚Π΅ΠΌ свойствам, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎ нСсколько Π²Π΅Ρ‡Π΅Ρ€ΠΎΠ² Π² нСдСлю Π·Π°ΡƒΡ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ ΠΈ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ Π΄Π΅Π²ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ-ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΈΡ†Ρ‹, ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ Π½Π΅ помнят ΠΈΡ… ровСсники-ΠΌΠ°Π»ΡŒΡ‡ΠΈΠΊΠΈ, большС ΡƒΠ²Π»Π΅Ρ‡Ρ‘Π½Π½Ρ‹Π΅ вопросами собствСнного ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ созрСвания. ИмСнно ΠΊ Ρ‚Π΅ΠΌ свойствам, Π±Π΅Π· знания ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρƒ вас Π½Π΅ получится Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ, Π½Π΅ говоря ΡƒΠΆΠ΅ ΠΎ сдачС ΠΈΡ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… экзамСнов. ΠšΠΎΡ€ΠΎΡ‡Π΅ говоря, ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΊ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ, ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ для ΡƒΡΠΏΠ΅ΡˆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ понимания всСго, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, свойствам.

Бвойства эти… ΠΊΠ°ΠΊ Π±Ρ‹ Π²Π°ΠΌ помягчС ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒβ€¦ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΡ‚ΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚. Π˜Ρ… Π½Π΅Ρ‚. Π‘Π΅Ρ€ΡŒΡ‘Π·Π½ΠΎ, Π½Π° этот Ρ€Π°Π· Π±Π΅Π· ΡˆΡƒΡ‚ΠΎΠΊ. НСт Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… особСнных свойств ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ с корнями, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π°Π΄ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Ρ‚ΡŒ, Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° Π±Π΅Π΄Ρ€Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠ»Π³ΠΎΡ‚ΠΊΠ°ΠΌΠΈ, ΠΏΡ€ΠΎΠ½ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΡˆΠΏΠ°Ρ€Π³Π°Π»ΠΊΠ°Ρ… Π² Ρ€ΡƒΠΊΠ°Π²Π΅. ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ? Π”Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ всС «свойства ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ с арифмСтичСским ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌΒ» это ΡƒΠΆΠ΅ Π΄ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΠΈ (приятной) Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡ‹Π΅ свойства ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ со стСпСнями! НСсмотря Π½Π° простоту этого Ρ„Π°ΠΊΡ‚Π°, ΠΎΠ½ ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ-Ρ‚ΠΎ часто ΡƒΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ·Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚ внимания Π½Π΅ ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈ студСнтов, сколько ΡƒΠ²Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… ΠΏΠ΅Π΄Π°Π³ΠΎΠ³ΠΎΠ² с ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ»Π΅Ρ‚Π½ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΈ общСствСнным ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.

ΠŸΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΠ΅ΠΌ, это Π½Π΅ ΡˆΡƒΡ‚ΠΊΠ°, всё ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΡΠ΅Ρ€ΡŒΡ‘Π·Π½ΠΎ. ПокаТСм свою ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‚Ρƒ, ΠΏΡ€ΠΎΠΉΠ΄ΡΡΡŒ ΠΏΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΠ· этих Β«ΡƒΠ½ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… свойств» Π² ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ.

Начнём с Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ часто Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Β«ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ вынСсСния ΠΈ внСсСния ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒΒ» ΠΈ с Ρ‡Π΅ΠΌ Π³Π°Ρ€Π°Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎ Ρ…ΠΎΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π· путался любой, ΠΊΡ‚ΠΎ с этим сталкивался. Как Π²Ρ‹Π½ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ Π²Π½ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ, Π΄Π° ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Ρ‘ΠΌ Ρ‚ΡƒΡ‚ стСпСни? Π’Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° экран:

Β  Β 

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, «вынСсСниС ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ΄ корня» это обычная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для стСпСни произвСдСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΡ‹ Π΄Π΅Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅ΠΏΠ°Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π΅. Для большСй очСвидности поясним всё это Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅. Π’ΠΎΡ‚ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΎΡ‚ нас трСбуСтся «вынСсти ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠ° корня», ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΌ ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠΈΡ‚ΡŒ?

А Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ Π·Π°Π±Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π΄Π΅Π»ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ со стСпСнями. . Π˜Π½Ρ‹ΠΌΠΈ словами, ΠΌΡ‹ Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π΄Π²Π΅ (ΠΈΠ»ΠΈ большС) части, ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ‚ΡƒΠ΄Π°, ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, ΠΈ записываСм ΠΈΡ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅.

Аналогично Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° с «внСсСниСм ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒΒ»: . Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, ΠΌΡ‹ просто ΠΈΡ‰Π΅ΠΌ ΠΈΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ число, ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π±Ρ‹Π»Π° вычислСна ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ . Π—Π°ΠΏΠΈΡΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ смысл, вСдь стСпСни ΠΏΡ€ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ, Ρ‚.Π΅. Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΡΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ΡΡ, оставляя .

Β 

Β 

Π­-э-э!! НС Π²Ρ‹Π½ΠΎΡˆΡƒ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ Ρ‚Π΅Ρ…, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ мутят Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ, Ссли Π½Π° Π΄Π΅Π»Π΅ ситуация ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ ясная ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎ. Π—Π°Ρ‡Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ»ΡΡ‚ΡŒ, Π΅Ρ€ΡƒΠ½Π΄Ρƒ Π³ΠΎΡ€ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ? НС Π½Π°Π΄ΠΎ Π½ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Β«ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈΒ» Π΄ΡƒΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ, Π΅ΡΡ‚ΡŒ просто Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ стСпСни β€” Π²ΠΎΡ‚ это всё, Π·Π°ΠΊΡ€Ρ‹Π»ΠΈ ΡΠΈΡ‚ΡƒΠ°Ρ†ΠΈΡŽ. Попадись Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΈΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠ΅ΠΌΡƒ дядС АгабСку…

Β 

Β 

Π§Π΅Π³ΠΎ Ρ‚Π°ΠΌ Π΅Ρ‰Ρ‘ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ? НапримСр, Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ. Π’ΠΈΠΏΠ°, стоит такая запись , ΠΈ Ρ‡Ρ‚ΠΎ с Π½Π΅ΠΉ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ? Π­Ρ…, слоТно это всё, придётся Ρ€ΡƒΡ‡ΠΊΡƒ Π΄ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ, Π·Π°ΡƒΡ‡ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒ. Π₯отя Π½Π΅Ρ‚, Π½Π°ΠΌ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ этого Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ придётся. ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ? ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² случаС послСдних вопросов β€” ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ со стСпСнями. НС станСм ΡΠΊΡ€Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ свои знания:

Β  Β 

Π”Π°-Π΄Π°, посмотритС Π½Π° это Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠ΅Π½ΡŒΠΊΠΎ, Π½Π΅ ΠΎΡ‚Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ взгляд. Π’ΡƒΡ‚ Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ разглядСли Ρ€Π°Π½ΡŒΡˆΠ΅ β€” Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ. ΠšΡ‚ΠΎ Π±Ρ‹ ΠΌΠΎΠ³ ΠΏΠΎΠ΄ΡƒΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ благодаря этому ΠΌΡ‹ большС Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ запутаСмся Π²ΠΎ всСх этих корнях? ΠŸΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΠΉΡ‚Π΅ Π·Π° Π½Π°ΠΌΠΈ: «большС Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ запутаСмся».

ΠžΡΡ‚Π°Ρ‘Ρ‚ΡΡ совсСм Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ. НапримСр, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ Ρ„Π°ΠΊΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ чисСл Π½Π° Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ сокращСния? ΠŸΡ€Π°Π²Π΄Π°-ΠΏΡ€Π°Π²Π΄Π°, Π²Ρ‹ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π΅ ΠΏΡƒΠ³Π°ΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ, Π½ΠΎ всё ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ. Π’ΠΎΡ‚ ΠΊΠ°ΠΊ эта истина выглядит Π½Π° вСличСствСнном языкС арифмСтичСских ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ:

Β  Β 

НС впСчатляСт? Π­Ρ‚ΠΎ всё ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ слишком испорчСны ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ это сокращённый Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ записи стСпСнСй (это ΠΌΡ‹ Π½Π΅ устанСм ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒ, совсСм ΠΊΠ°ΠΊ ваша ΠΌΠ°ΠΌΠ°, ΡƒΠΌΠΎΠ»ΡΡŽΡ‰Π°Ρ Π½Π°Π΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΡˆΠ°ΠΏΠΊΡƒ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΌΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π΅ Π½Π° ΡƒΠ»ΠΈΡ†Π΅ мСньшС градусов). НС Π·Π½Π°ΠΉ Π²Ρ‹ этого ΠΎΠ±ΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π°, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄Π½Ρ‹ΠΌ Π·Π°Ρ‡Ρ‘Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ Π½Π΅ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Π½ΠΎΡ‡ΡŒ Ρ€Π°Π·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Π»ΠΈ сСбя ΠΌΡ‹ΡΠ»ΡŒΡŽ Β«Ρ€Π°Π·Π²Π΅ это всё ΠΊΡ‚ΠΎ-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ?Β».

БовсСм ΡƒΠΆ напослСдок упомянСм ΠΈ особый случай. ΠžΡΠΎΠ±Ρ‹ΠΉ случай это ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° люди, ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ задания для ΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ студСнчСских ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠΎΠ², ΠΏΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ Π½Π΅ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ своСй Тизнью. ΠŸΠ΅Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π·Π°Ρ‚ΠΎ Ρƒ Π½ΠΈΡ… Π² Ρ€ΡƒΠΊΠ°Ρ… Π΅ΡΡ‚ΡŒ какая-никакая, Π° Π²Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ. Π§Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π΄ΠΎ с Π²Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ? ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Ρ‘, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡ΡŒΡ Тизнь Π΅Ρ‰Ρ‘ ΠΏΠΎΠ»Π½Π° радостСй ΠΈ пСрспСктив β€” проклятым ΠΌΠΎΠ»ΠΎΠ΄Ρ‹ΠΌ поколСниям. Как этого Π΄ΠΎΠ±ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ? ΠŸΡƒΡ‚Ρ‘ΠΌ составлСния излишнС слоТных ΠΈ нСприятных Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π½ΠΈΡ‡ΡƒΡ‚ΡŒ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°Π΅Ρ‚ ΠΊ пониманию сути ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Ρ… ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ, Π΄Π° ΠΈ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ Π΅Π΄Π²Π° Π»ΠΈ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π΅Ρ‰Ρ‘ пригодится.

ΠŸΠΎΡ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ мСсто Π² спискС Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ всСвозмоТныС «лСсСнки». Когда ΠΎΠ΄Π½ΠΎ нагромоТдаСтся Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅, Ρ‚Π΅ΠΌ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ с ΡƒΡ‡Ρ‘Ρ‚ΠΎΠΌ Π½ΠΈΠ·ΠΊΠΎΠ³ΠΎ качСства Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΈ, достигаСтся главная Ρ†Π΅Π»ΡŒ β€” ΠΌΠΎΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡƒΠ½ΠΈΠ·ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ потрясти читатСля, ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‰ΡƒΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π°Π»Π° ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ, Ρ‚ΠΎΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π½Π΅Ρ€Π°Π·Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ…ΠΈ ΠΈ обрСчённости Π½Π° ΠΏΠΎΡ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

Π•ΡΡ‚ΡŒ лСсСнки ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊ корням. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΈΡ… сСйчас ΡƒΠ½ΠΈΡ‡Ρ‚ΠΎΠΆΠΈΠΌ (Ρ€Π°Π· Π΄ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π΄ΠΎ Β Π°Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²-составитСлСй всё Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½Π΅ получится):

Β  Β 

По ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ просмотра этого упрощСния Ρƒ вас ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ вопрос β€” Ссли ΠΈΡ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ достаточно простоС, Ρ‚ΠΎ Π·Π°Ρ‡Π΅ΠΌ Π² самом Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ Ρ‡ΡƒΠ΄ΠΎΠ²ΠΈΡ‰Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ? А Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ‚Ρ‹ подольшС мучался, ΠΏΡ‹Ρ‚Π°ΡΡΡŒ привСсти Π΅Π³ΠΎ Π² ΡƒΠ΄ΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΈΠΌΡ‹ΠΉ Π²ΠΈΠ΄.

Π’ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅, ΠΏΠΎ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π°ΠΌ прочтСния ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ Ρƒ вас ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΌΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сама ΠΌΠ°Π½Π΅Ρ€Π° обозначСния арифмСтичСских ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π½Π°ΠΌ Π½Π΅ нравится. Π§Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ΡƒΠΈΠ½Ρ‚ΡƒΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹, Π² Π½ΠΈΡ… Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π·Π°ΠΏΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ, Π° ΠΏΡ€ΠΈ записи ΠΎΡ‚ Ρ€ΡƒΠΊΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΡŽΡ‚ идСальной точности, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΠΊ риск ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ вычислСния Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° дСйствий Π½Π°Π·Π°Π΄ снова ΠΈ снова. Π§Ρ‚ΠΎ Т… это всё Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ. Π’ случаС нСбольшого количСства элСмСнтов использованиС ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²Π΄Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ΄Π°Ρ‘Ρ‚ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΡƒΠ·Π½Π°Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ происходящСму. А Π²ΠΎΡ‚ Π²ΠΎ всСх ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… случаях ΠΎΡ‚ Π½ΠΈΡ… стоит Π²ΠΎΠ·Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ. Если Π²ΠΎΠ·Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅ оказалось Π½Π΅ΡƒΠ΄Π°Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ, Ρ‚ΠΎ слСдуСт ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Π³Π»Π°Π²Π½ΡƒΡŽ максиму нашСго излоТСния: ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ β€” это стСпСни.

Π”ΡƒΠΌΠ°Π΅Ρ‚Π΅, ΠΏΡ€ΠΎ стСпСни ΡƒΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ всё? Как Π±Ρ‹ Π½ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ, вСдь совсСм ΠΏΠΎ-близости ΡƒΠΆΠ΅ рыскаСт Π² Ρ‚Π΅ΠΌΠ½ΠΎΡ‚Π΅ очСрСдная ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡβ€¦

Β 

Бвойства ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня. Властивості ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корСня

  • ОписаниС курса

  • ЭлСмСнтарная ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°

    • Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ свойства. МноТСння Ρ‚Π° ΠΉΠΎΠ³ΠΎ властивості

    • Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ свойства. ДілСння Ρ– ΠΉΠΎΠ³ΠΎ властивості

    • Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² столбик

    • Π”Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ частСй ΠΎΡ‚ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ

      • Найти наимСньшСС ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ (НОК)

      • ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅ΡΡ‚ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ ΠΊ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅ΠΌΡƒ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ

      • НахоТдСниС Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎ Π΅Π³ΠΎ части

      • Π‘ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ поСдания яблока

      • Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ простых Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ

      • Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ.

        Додавання Ρ– віднімання Π΄Ρ€ΠΎΠ±Ρ–Π²

      • Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с простыми ΠΈ дСсятичными дробями

    • ΠŸΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚Ρ‹

      • НахоТдСниС ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² ΠΎΡ‚ суммы

      • Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠ²

    • Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎ Π²Ρ‚Π΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Π² бассСйн Π²ΠΎΠ΄Ρƒ

    • Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «ΠΠ°ΠΉΡ‚ΠΈ число», «ΠΠ°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΄Π²Π° числа»

      • Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл

      • Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл (Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ 2)

      • Найти Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Π·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ число

    • Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ

      • Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° ΠΏΡ€ΠΎ вСлосипСдистов

      • Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° ΠΏΡ€ΠΎ туриста

      • НахоТдСниС ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ

      • Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎ Π»ΠΎΠ΄ΠΊΡƒ ΠΈ Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅ΠΊΠΈ

    • Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ элСмСнтарных ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ

      • Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° ΠΏΡ€ΠΎ бросаниС Π³Ρ€Π°Π½Π°Ρ‚Ρ‹

  • ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈ стСпСни, Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ, ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ корня

    • Π”Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ Π² стСпСни числа. НахоТдСниС Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠΉ стСпСни числа

    • ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ с корнями Π½Π° основС ствойств стСпСни

    • ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Ρ–Π½ΡŒ

    • Бвойства ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня. Властивості ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корСня

    • Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° стСпСнСй Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл

    • ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция. Показова функція

  • Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

    • ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

    • Эллипс

    • Бвойства бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… ΠΈ бСсконСчно Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

  • УравнСния

    • ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ уравнСния

    • ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния

  • НСравСнства (НСрівності)

    • РСшаСм нСравСнства

  • Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹

    • Π’Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ пространство

    • РавСнство Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Π iΠ²Π½iΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€iΠ²

  • Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

  • Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ исчислСниС

    • Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ производная. ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

    • ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования

    • Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… простых Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

    • Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ логарифмичСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

    • Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

    • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ числа

    • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ

    • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ корня

    • НахоТдСниС экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

  • ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠ°

    • Найти количСство Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΉ

  • ВСория вСроятности

    • Π’Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ появлСния ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚

    • Π’Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ наступлСния события

    • Π’Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄Π° ΠΏΠ°Ρ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΎΠ²

  • ВСсты (1)


1. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠ· этих ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ:1. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Ρ–Π½ΡŒ Π· Π΄ΠΎΠ±ΡƒΡ‚ΠΊΡƒ Π΄Π²ΠΎΡ… Π½Π΅Π²Ρ–Π΄’Ρ”ΠΌΠ½ΠΈΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ½ΠΈΠΊΡ–Π² Π΄ΠΎΡ€Ρ–Π²Π½ΡŽΡ” Π΄ΠΎΠ±ΡƒΡ‚ΠΊΡƒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Ρ–Π² Π· Ρ†ΠΈΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ½ΠΈΠΊΡ–Π²:

aβ‰₯0, bβ‰₯0


2. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, Π° Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΊΠΎΡ€Π½ΡŽ ΠΈΠ· числитСля, Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π½Π° ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· знамСнатСля: 2. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Ρ–Π½ΡŒ Π· Π΄Ρ€ΠΎΠ±Ρƒ, Ρ‡ΠΈΡΠ΅Π»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ якої Π½Π΅Π½Π΅Π³Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΈΠΉ, Π° Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΈΠΊ — ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΈΠΉ, Π΄ΠΎΡ€Ρ–Π²Π½ΡŽΡ” ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŽ Π· Ρ‡ΠΈΡΠ΅Π»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Ρ€ΠΎΠ·Π΄Ρ–Π»Π΅Π½ΠΎΠΌΡƒ Π½Π° ΠΊΠΎΡ€Ρ–Π½ΡŒ Ρ–Π· Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΈΠΊΠ°:

aβ‰₯0, b>0



Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒΒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°, Π½Π°Π΄ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΈ ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ числа ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.

Π’Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅! НСльзя ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ слагаСмого (ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ) ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ.

НапримСр:

Π©ΠΎΠ± витягти ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Ρ–Π½ΡŒ Π· ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°, Ρ‚Ρ€Π΅Π±Π° обчислити Π±Π°Π³Π°Ρ‚ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Ρ– Π· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΎΠ³ΠΎ числа витягти ΠΊΠΎΡ€Ρ–Π½ΡŒ.

Π£Π²Π°Π³Π°! НС ΠΌΠΎΠΆΠ½Π° витягати ΠΊΠΎΡ€Ρ–Π½ΡŒ Π· ΠΊΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΎΠ΄Π°Ρ‚ΠΊΡƒ (Π·ΠΌΠ΅Π½ΡˆΡƒΠ²Π°Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ– від’ємного) ΠΎΠΊΡ€Π΅ΠΌΠΎ.

Наприклад:



Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· произвСдСния (частного), ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ мноТитСля (Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ дСлитСля), Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ значСния Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ (частным).

НапримСр:

Π©ΠΎΠ± витягти ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Ρ–Π½ΡŒ Π· Π΄ΠΎΠ±ΡƒΡ‚ΠΊΡƒ (частки), ΠΌΠΎΠΆΠ½Π° обчислити ΠΊΠΎΡ€Ρ–Π½ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΈΠΉ Π· ΠΊΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ½ΠΈΠΊΠ° (Π΄Ρ–Π»Π΅Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ– Π΄Ρ–Π»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°), Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌΠ°Π½Ρ– значСння взяти Π΄ΠΎΠ±ΡƒΡ‚ΠΊΠΎΠΌ (Ρ‡Π°ΡΡ‚ΠΊΠΎΡŽ).

Наприклад:



Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· числитСля ΠΈ знамСнатСля ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ значСния ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒΡŽ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ частноС (Ссли Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ это ΠΏΠΎ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ).

НапримСр:

Π©ΠΎΠ± витягти ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Ρ–Π½ΡŒ Π· Π΄Ρ€ΠΎΠ±Ρƒ, Ρ‚Ρ€Π΅Π±Π° витягти ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Ρ–Π½ΡŒ Π· Ρ‡ΠΈΡΠ΅Π»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ– Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΈΠΊΠ° ΠΎΠΊΡ€Π΅ΠΌΠΎ, Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌΠ°Π½Ρ– значСння Π·Π°Π»ΠΈΡˆΠΈΡ‚ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΎΠΌ Π°Π±ΠΎ обчислити як частку (якщо ΠΌΠΎΠΆΠ»ΠΈΠ²ΠΎ Ρ†Π΅ Π·Π° ΡƒΠΌΠΎΠ²ΠΎΡŽ).

Наприклад:

Из-ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠ° корня ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вынСсти ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ внСсти ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊ корня.

ΠŸΡ€ΠΈ вынСсСнии мноТитСля ΠΈΠ· Π½Π΅Π³ΠΎ извлСкаСтся ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Π° ΠΏΡ€ΠΈ внСсСнии — ΠΎΠ½ возводится Π² ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ.

НапримСр:

Π—-ΠΏΡ–Π΄ Π·Π½Π°ΠΊΠ° корСня ΠΌΠΎΠΆΠ½Π° винСсти ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ½ΠΈΠΊ Ρ– ΠΌΠΎΠΆΠ½Π° внСсти ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ–Π΄ Π·Π½Π°ΠΊ корСня. ΠŸΡ€ΠΈ винСсСнні ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ½ΠΈΠΊΠ° Π· нього Π²ΠΈΡ‚ΡΠ³ΡƒΡ”Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΊΠΎΡ€Ρ–Π½ΡŒ, Π° ΠΏΡ€ΠΈ внСсСнні — Π²Ρ–Π½ Π·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Ρƒ Π²Ρ–Π΄ΠΏΠΎΠ²Ρ–Π΄Π½Ρƒ ΡΡ‚ΡƒΠΏΡ–Π½ΡŒ.

Наприклад:


Если ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ тоТдСствСнной Π΅ΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒΡŽ, Π½Π΅ содСрТащСй Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΎΠ² (ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ) Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅. Для этого ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡŽΡ‚ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π½Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (сопряТСнноС Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ), Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ извлСкался.Π―ΠΊΡ‰ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Ρ–Π½ΡŒ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΈΠΊΡƒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Ρƒ, Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΉ Π΄Ρ€Ρ–Π± ΠΌΠΎΠΆΠ½Π° Π·Π°ΠΌΡ–Π½ΠΈΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚ΠΎΠΆΠ½ΠΈΠΌ ΠΉΠΎΠΌΡƒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΎΠΌ, Ρ‰ΠΎ
Π½Π΅ ΠΌΡ–ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Ρ–Π² (ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Ρ–Π²) Ρƒ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΈΠΊΡƒ
. Для Ρ†ΡŒΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‡ΠΈΡΠ΅Π»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Ρ– Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΈΠΊ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Ρƒ Π½Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΉ Π²ΠΈΡ€Π°Π· (ΠΏΠΎΡ”Π΄Π½Π°Π½Π΅ Π·Ρ– Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΈΠΊΠΎΠΌ), Ρ‰ΠΎΠ± ΠΊΠΎΡ€Ρ–Π½ΡŒ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΈΠΊΡƒ видалявся.


1. Π˜Π·Π±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π° Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ:1. ΠŸΠΎΠ·Π±ΡƒΡ‚ΠΈΡΡ Π²Ρ–Π΄ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π° Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΈΠΊΡƒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Ρƒ:


2. Π˜Π·Π±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π° Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ:2. ΠŸΠΎΠ·Π±ΡƒΡ‚ΠΈΡΡ Π²Ρ–Π΄ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π° Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΈΠΊΡƒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Ρƒ:


3. Π˜Π·Π±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π° Π² числитСлС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ:3. ΠŸΠΎΠ·Π±ΡƒΡ‚ΠΈΡΡ Π²Ρ–Π΄ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π° Π² Ρ‡ΠΈΡΠ΅Π»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΡƒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Ρƒ:


ОсвобоТдСниС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ ΠΎΡ‚ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΎΠ² Π² числитСлС (Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅) Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ называСтся ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ алгСбраичСской Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ. Π—Π²Ρ–Π»ΡŒΠ½Π΅Π½Π½Ρ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Ρƒ Π²Ρ–Π΄ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Ρ–Π² Ρƒ Ρ‡ΠΈΡΠ΅Π»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΡƒ (Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΈΠΊΡƒ) Π΄Ρ€ΠΎΠ±Ρƒ Π½Π°Π·ΠΈΠ²Π°Ρ”Ρ‚ΡŒΡΡ пСрСтворСнням Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°Ρ—Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Ρƒ.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ сумму (Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ) ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ привСсти ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ выраТСния ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ основанию стСпСни, Ссли это Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈΠ· стСпСнСй ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π·Π½Π°ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, Π° ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΠ΅ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ выраТСниями ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ, для Ρ‡Π΅Π³ΠΎ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ коэффициСнты ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ корня ΠΈ дописываСтся Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4:

Π©ΠΎΠ± ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΈ суму (Ρ€Ρ–Π·Π½ΠΈΡ†ΡŽ) ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΈΡ… ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Ρ–Π², ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Ρ–Π±Π½ΠΎ привСсти ΠΏΡ–Π΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½Ρ– Π²ΠΈΡ€Π°Π·ΠΈ Π΄ΠΎ ΠΎΠ΄Π½Ρ–Ρ”Ρ— основи ступСня, якщо Ρ†Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ»ΠΈΠ²ΠΎ, ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΠΈ коріння ступСнів Ρ– записати Ρ—Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π·Π½Π°ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Ρ–Π², Π° Ρ€Π΅ΡˆΡ‚Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ– ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Ρ– Π· ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΈΠΌΠΈ ΠΏΡ–Π΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠΌΠΈ Π²ΠΈΡ€Π°Π·Π°ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½Π° скласти, для Ρ‡ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊΠΎΠ΅Ρ„Ρ–Ρ†Ρ–Ρ”Π½Ρ‚ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ корСня Ρ– Π΄ΠΎΠΏΠΈΡΡƒΡ”Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Ρ–Π½ΡŒ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄ 4:



ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ всС ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ выраТСния ΠΊ основанию 2.Β 

Из Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ извлСкаСтся ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, ΠΈΠ· Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ основания Π² стСпСни 1 оставляСм ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ корня.Β 

ΠŸΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа ΠΈ коэффициСнты складываСм с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ корнями. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡƒΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ числа ΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ‡Π»Π΅Π½Π° суммы.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5:

НавСдСмо всі ΠΏΡ–Π΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Ρ– Π²ΠΈΡ€Π°Π·ΠΈ Π΄ΠΎ основи 2.Β 

Π— ΠΏΠ°Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ ступСня ΠΊΠΎΡ€Ρ–Π½ΡŒ Π²ΠΈΡ‚ΡΠ³ΡƒΡ”Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΠΎΠ²Π½Ρ–ΡΡ‚ΡŽ, Π· Π½Π΅ΠΏΠ°Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ ступСня ΠΊΠΎΡ€Ρ–Π½ΡŒ основи Π² ступСні 1 Π·Π°Π»ΠΈΡˆΠ°Ρ”ΠΌΠΎ ΠΏΡ–Π΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ корСня.Β 

Наводимо ΠΏΠΎΠ΄Ρ–Π±Π½Ρ– Ρ†Ρ–Π»Ρ– числа Ρ– ΠΊΠΎΠ΅Ρ„Ρ–Ρ†Ρ–Ρ”Π½Ρ‚ΠΈ складаємо Π· ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΈΠΌ корінням. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌΠΎ Π΄Π²ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ як Π΄ΠΎΠ±ΡƒΡ‚ΠΎΠΊ числа Ρ– Π΄Π²ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° суми.

ΠŸΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄ 5:


ΠŸΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ выраТСния ΠΊ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅ΠΌΡƒ основанию ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ стСпСнСй с наимСньшими основаниями. Из Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… стСпСнСй ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, остатки Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ основания стСпСни с ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ 1 ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… оснований оставляСм ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ корня. ΠŸΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ (складываСм коэффициСнты ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 6:

Наводимо ΠΏΡ–Π΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Ρ– Π²ΠΈΡ€Π°Π·ΠΈ Π΄ΠΎ Π½Π°ΠΉΠΌΠ΅Π½ΡˆΠΎΡ— основи Π°Π±ΠΎ Π΄ΠΎΠ±ΡƒΡ‚ΠΊΡƒ ступСнів Π· наймСншими основами. Π— ΠΏΠ°Ρ€Π½ΠΈΡ… ступСнів ΠΏΡ–Π΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΡ… Π²ΠΈΡ€Π°Π·Ρ–Π² витягаємо ΠΊΠΎΡ€Ρ–Π½ΡŒ, залишки Ρƒ вигляді основи ступСня Π· ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π½ΠΈΠΊΠΎΠΌ 1 Π°Π±ΠΎ Π΄ΠΎΠ±ΡƒΡ‚ΠΊΠΎΠΌ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… основ Π·Π°Π»ΠΈΡˆΠ°Ρ”ΠΌΠΎ ΠΏΡ–Π΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ корСня. Наводимо ΠΏΠΎΠ΄Ρ–Π±Π½Ρ– Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΈ (складаємо ΠΊΠΎΠ΅Ρ„Ρ–Ρ†Ρ–Ρ”Π½Ρ‚ΠΈ ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΈΡ… ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Ρ–Π²).

ΠŸΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄ 6:



Π—Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ Π½Π° ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (с Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΎΠΉ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π½Π° ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ). ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ числитСли ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ. Под ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ корня Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ стСпСни. Π‘ΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΈΠΌ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Π² числитСлС ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅. Π˜Π·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈΠ· Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… стСпСнСй.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 7:

Π—Π°ΠΌΡ–Π½ΠΈΠΌΠΎ ділСння Π΄Ρ€ΠΎΠ±Ρ–Π² Π½Π° мноТСння (Π· Π·Π°ΠΌΡ–Π½ΠΎΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Ρƒ Π½Π° Π·Π²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π½ΠΈΠΉ). ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌΠΎ ΠΎΠΊΡ€Π΅ΠΌΠΎ Ρ‡ΠΈΡΠ΅Π»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ Ρ– Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΈΠΊΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Ρ–Π². ΠŸΡ–Π΄ ΠΊΠΎΠΆΠ½ΠΈΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ корСня Π²ΠΈΠ΄Ρ–Π»ΠΈΠΌΠΎ ступСні. Π‘ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠΌΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ– ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ½ΠΈΠΊΠΈ Π² Ρ‡ΠΈΡΠ΅Π»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΡƒ Ρ– Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΈΠΊΡƒ. ВинСсСмо коріння Π· ΠΏΠ°Ρ€Π½ΠΈΡ… ступСнів.

ΠŸΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄ 7:


Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… корня, ΠΈΡ… ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ выраТСния Π½Π°Π΄ΠΎ привСсти Π² стСпСни с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ основаниСм, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Ρ‡Π΅ΠΌ большС ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ стСпСни ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния, Ρ‚Π΅ΠΌ большС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня.

Π’ этом ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ привСсти ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ основанию ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ выраТСния нСльзя, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ основаниС 3, Π° Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ – 3 ΠΈ 7.

Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ способ сравнСния состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ внСсти коэффициСнт корня Π² ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚ΡŒ числовыС значСния ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Π£ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня Ρ‡Π΅ΠΌ большС ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‚Π΅ΠΌ большС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ корня.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 8:

Π©ΠΎΠ± порівняти Π΄Π²Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΈΡ… корСня, Ρ—Ρ… ΠΏΡ–Π΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Ρ– Π²ΠΈΡ€Π°Π·ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±Π° привСсти Π΄ΠΎ ступСня Π· однаковою основою, Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ– Ρ‡ΠΈΠΌ Π±Ρ–Π»ΡŒΡˆΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π½ΠΈΠΊ стСпСня ΠΏΡ–Π΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΡ€Π°Π·Ρƒ, Ρ‚ΠΈΠΌ Π±Ρ–Π»ΡŒΡˆΠ΅ значСння ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корСня.

Π£ Ρ†ΡŒΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Ρ– привСсти Π΄ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ— основи ΠΏΡ–Π΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Ρ– Π²ΠΈΡ€Π°Π·ΠΈ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½Π°, Ρ‚Π°ΠΊ як Π² ΠΏΠ΅Ρ€ΡˆΠΎΠΌΡƒ основа 3, Π° Ρƒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌΡƒ — 3 Ρ– 7.

Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΉ спосіб порівняння полягає Π² Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‰ΠΎΠ± внСсти ΠΊΠΎΠ΅Ρ„Ρ–Ρ†Ρ–Ρ”Π½Ρ‚ корСня Π² ΠΏΡ–Π΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π΅Π²ΠΈΠΉ Π²ΠΈΡ€Π°Π· Ρ– порівняти числові значСння ΠΏΡ–Π΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΡ… Π²ΠΈΡ€Π°Π·Ρ–Π². Π£ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корСня Ρ‡ΠΈΠΌ Π±Ρ–Π»ΡŒΡˆΠ΅ ΠΏΡ–Π΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π΅Π²ΠΈΠΉ Π²ΠΈΡ€Π°Π·, Ρ‚ΠΈΠΌ Π±Ρ–Π»ΡŒΡˆΠ΅ значСння корСня.

ΠŸΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄ 8:



Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ€Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ умноТСния ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ умноТСния ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ показатСлями (Π² нашСм случаС – ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ), ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ сумму Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ с ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ корня. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ 91 Π½Π° простыС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΈ выносим ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π·Π° скобки с ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ мноТитСлями (13*5).

ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ корня ΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ‡Π»Π΅Π½Π°, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число (1).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 9:

Π’ΠΈΠΊΠΎΡ€ΠΈΡΡ‚ΠΎΠ²ΡƒΡŽΡ‡ΠΈ Ρ€ΠΎΠ·ΠΏΠΎΠ΄Ρ–Π»ΡŒΠ½ΠΈΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ мноТСння Ρ– ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ мноТСння ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Ρ–Π² Π· ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΈΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ (Π² Π½Π°ΡˆΠΎΠΌΡƒ Π²ΠΈΠΏΠ°Π΄ΠΊΡƒ — ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΈΡ… ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Ρ–Π²), ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌΠ°Π»ΠΈ суму Π΄Π²ΠΎΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΈΡ… ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Ρ–Π² Π· Π΄ΠΎΠ±ΡƒΡ‚ΠΊΠΎΠΌ ΠΏΡ–Π΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ корСня. Π ΠΎΠ·ΠΊΠ»Π°Π΄Π΅ΠΌΠΎ 91 Π½Π° прості ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ½ΠΈΠΊΠΈ Ρ– виносимо ΠΊΠΎΡ€Ρ–Π½ΡŒ Π·Π° Π΄ΡƒΠΆΠΊΠΈ Ρ–Π· загальними ΠΏΡ–Π΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π΅Π²ΠΈΠΌΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ½ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ (13*5).

Ми ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌΠ°Π»ΠΈ Π΄ΠΎΠ±ΡƒΡ‚ΠΎΠΊ корСня Ρ– Π΄Π²ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°, Ρƒ якого ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ–Π² Ρ†Ρ–Π»Π΅ число (1).

ΠŸΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄ 9:


Π’ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… выраТСниях Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ мноТитСлями числа, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ. Π˜Π·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈΠ· стСпСнСй ΠΈ поставим числа коэффициСнтами ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.

Π£ Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ √3, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вынСсти Π·Π° скобки. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ слагаСмыС.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 10:

Π£ ΠΏΡ–Π΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π΅Π²ΠΈΡ… Π²ΠΈΡ€Π°Π·Π°Ρ… Π²ΠΈΠ΄Ρ–Π»ΠΈΠΌΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ½ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ числа, Π· яких ΠΌΠΎΠΆΠ½Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΠΈ Ρ†Ρ–Π»ΠΈΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Ρ–Π½ΡŒ. ВинСсСмо ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ– ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Ρ– Ρ–Π· ступСнів Ρ– поставимо числа ΠΊΠΎΠ΅Ρ„Ρ–Ρ†Ρ–Ρ”Π½Ρ‚Π°ΠΌΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΈΡ… ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Ρ–Π².

Π£ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ–Π² Π΄Π°Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Ρ” ΡΠΏΡ–Π»ΡŒΠ½ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ½ΠΈΠΊ √3, який ΠΌΠΎΠΆΠ½Π° винСсти Π·Π° Π΄ΡƒΠΆΠΊΠΈ. Наводимо ΠΏΠΎΠ΄Ρ–Π±Π½Ρ– Π΄ΠΎΠ΄Π°Π½ΠΊΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄ 10:



ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ суммы ΠΈ разности Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… оснований (3 ΠΈ √5) ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ сокращСнного умноТСния ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² оснований.

ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ всСгда Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ, поэтому ΠΌΡ‹ избавимся ΠΎΡ‚ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π° (Π·Π½Π°ΠΊΠ° корня) Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ.

Π”ΠΎΠ±ΡƒΡ‚ΠΎΠΊ суми Ρ– Ρ€Ρ–Π·Π½ΠΈΡ†Ρ– Π΄Π²ΠΎΡ… ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΈΡ… основ (3 Ρ– √5) Π· Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈ скорочСного мноТСння ΠΌΠΎΠΆΠ½Π° записати як Ρ€Ρ–Π·Π½ΠΈΡ†ΡŽ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ–Π² основ.

ΠšΠΎΡ€Ρ–Π½ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΈΠΉ Ρƒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ– Π·Π°Π²ΠΆΠ΄ΠΈ Π΄ΠΎΡ€Ρ–Π²Π½ΡŽΡ” ΠΏΡ–Π΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π΅Π²ΠΎΠΌΡƒ Π²ΠΈΡ€Π°Π·Ρƒ, Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΌΠΈ позбудСмося Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π° (Π·Π½Π°ΠΊΠ° корСня) Ρƒ Π²ΠΈΡ€Π°Π·Ρ–.

751974.9513 Β 

Β ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Ρ–Π½ΡŒ | ОписаниС курса | Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° стСпСнСй Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл 

Β Β Β 

ΠžΠ±ΡΡƒΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Ρ„ΠΎΡ€ΡƒΠΌΠ΅
Π—Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° курсы
ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ ΠΊΠΎΠ½ΡΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Π½Ρ‚Ρƒ
ΠŸΡ€ΠΎΠΉΡ‚ΠΈ тСст
ΠŸΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ список курсов обучСния
БСсплатныС Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎΡƒΡ€ΠΎΠΊΠΈ
НуТна информация!



Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ, ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Ρ‹: ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ΠΉ способ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ запись, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ число само Π½Π° сСбя .

Если Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ процСсс , Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ число Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ Π² Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ , Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ извСстныС ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Ρ‹ . Π’ этой ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ ΠΌΡ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ силы ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ объясним, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ΠΈ связаны Π΄Ρ€ΡƒΠ³ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ, ΠΈΡ… ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΈ свойства, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ практичСскиС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΈΡ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ стСпСни

Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ β€” это ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ возводится пСрСмСнная. НапримСр, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ xΒ² читаСтся ΠΊΠ°ΠΊ «x Π² стСпСни 2» ΠΈΠ»ΠΈ « x Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅» , Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ x умноТаСтся само Π½Π° сСбя ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ€Π°Π·, сколько Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ стСпСни ΠΈΠ»ΠΈ стСпСни . Π’ этом случаС x умноТаСтся сам Π½Π° сСбя Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π°. LOLA

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ мощностСй

Если Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ x Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 5, Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ,

.

Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ :

.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅: Ссли Π²Ρ‹ ΡƒΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ 5Β², Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ 25, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π½Π° 5 Π΅Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π·, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ 5Β³.

.

Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ

Если пСрСмСнная Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ стСпСни ΠΈΠ»ΠΈ стСпСни, Ρ‚ΠΎ прСдполагаСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° 1. НапримСр,.

ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, любая пСрСмСнная Π² стСпСни 0 (ноль) Ρ€Π°Π²Π½Π° 1. По соглашСнию ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ .

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΈ свойства ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΌΠΎΡ‡ΠΈΠΉ

Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ Powers and Exponents Π·Π° Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌ объяснСниСм ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ», ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ с полномочиями.

Π’ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΈ свойства стСпСнСй, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ извСстныС ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ свойства ΠΈΠ»ΠΈ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹, ΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ.

6

2

Π‘ΠΎΠ²Π΅Ρ‚: Π›Π΅Π³ΠΊΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ΡΡ имя свойства Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ свойства
ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ основС

Same-exponent product
Same-exponent division
Double exponent
Zero exponent
Negative exponent
Fractional exponent

Бвойства смарт-экспонСнты — StudySmarter

ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Ρ‹ ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ , Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ извСстныС ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Ρ‹ , ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ стСпСнями. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ числа , Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ число, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ само Π½Π° сСбя n Ρ€Π°Π·, Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ число Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ символа (x), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ называСтся ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ числом.

ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ числа x

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΎΠ²

ИндСкс n корня ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ числом, ΠΈ ΠΎΠ½ Π΄Π°Π΅Ρ‚ имя Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Ρƒ. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ распространСнных ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΎΠ² 9.0004, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π²Ρ‹ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ Π² Math.

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ

Если , относится ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΊΠΎΡ€Π½ΡŽ числа x. Π’ этом случаС ΠΌΡ‹ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ опускаСм 2 ΠΈ пишСм просто .

Если Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· числа , Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ число само ΠΏΠΎ сСбС даст Π½Π°ΠΌ число Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня.

Если Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 25, Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ число, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ само Π½Π° сСбя, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 25.

Но ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Β± 5?

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ 5, ΠΈ -5 ΠΏΡ€ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ 2 Π΄Π°ΡŽΡ‚ 25:

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, всСгда Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π° , ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Π΅ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа.

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ; Π² этом случаС Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ числа. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ числа, Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ 2, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π΄Π°Π»ΠΎ Π±Ρ‹ Π½Π°ΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число.

Π’ΠΈΠΏΡ‹ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² соотвСтствии с Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠΌ числа Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ корня ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ.

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число. Π•Π³ΠΎ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ с выраТСниями, содСрТащими стСпСни ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ эти Ρ‚ΠΈΠΏΡ‹ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Напоминаю, Π²ΠΎΡ‚ пСрвая дСсятка.

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· чисСл, Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ, Π½Π΅ являСтся Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ числом. Они производят ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа с бСсконСчными дСсятичными Π·Π½Π°ΠΊΠ°ΠΌΠΈ. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ этот Ρ‚ΠΈΠΏ числа Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ, ΠΎΠ½ΠΈ оставлСны Π² своСй ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅Π²ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅.

.

Если число Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ корня ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π² качСствС мноТитСля ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ число, Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ.

шаги, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ слСдуСт Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ для упрощСния Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΎΠ² :

  • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹

Cube COORTS

IAR, IAR. число Ρ….

Если Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ кубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ числа, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ число ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ² само Π½Π° сСбя Ρ‚Ρ€ΠΈΠΆΠ΄Ρ‹ даст Π½Π°ΠΌ число Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ кубичСского корня. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ возвСдСнию числа Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ.

Если Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ кубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 8, Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ число, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ само Π½Π° сСбя Ρ‚Ρ€ΠΈΠΆΠ΄Ρ‹, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 8.

, на самом дСлС

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² этом случаС Ρƒ нас Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ , Π° Π½Π΅ Π΄Π²Π° . Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈΠΆΠ΄Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число само Π½Π° сСбя, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ.

.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, СдинствСнный Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ β€” 2.

ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠœΠžΠ“Π£Π’ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ кубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΎΠ²: Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ

  • 4 ΠΉ ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ: ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ для ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.

  • 5 ΠΉ ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ: ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ кубичСским корням.

  • Π’ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ говоря, Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π΄Π²Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΈ свойства ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΎΠ²

ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ с корнями ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°ΠΌΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΈ свойства:

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ корня Π½Π° индСкс

2 Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅

ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ числа с Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ числами Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ корня, просто объСдиняя ΠΈΡ… Π² ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈ пСрСмноТая числа Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ корня. Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π½Π° ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.

.

.

Π Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΎΠ²

Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΏΠΎΠΊΠ° индСксы ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Ρ‹ с Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ числами Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ корня, объСдинив ΠΈΡ… Π² ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² числа Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ корня.

.

.

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня Π½Π° самого сСбя

Если ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· числа Π½Π° самого сСбя , Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ исходноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅.

.

.

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ числа Π½Π° Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»

ΠŸΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ числа Π½Π° Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π» порядок ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ значСния, ΠΈ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ число, Π·Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ слСдуСт Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π».

.

.

Π”ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΎΠ²

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Ρ‹ , число Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ. Π’Ρ‹ добавляСтС ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅Ρ‚Π΅ числа Π²Π½Π΅ корня.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Ρ‹, Π²Π°ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ½Π°Π΄ΠΎΠ±ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ сначала ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ…, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹.

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ нСльзя, Π½ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ сначала ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ,

.

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ .

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ скобок, содСрТащих Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Ρ‹

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ скобки , содСрТащиС Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Ρ‹ , ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ скобкС Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ скобкС. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹.

Как Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ силы ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ силы?

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ стСпСни Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ стСпСнСй, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΡŽΡ‚ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ.

Π”Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ экспонСнты

Π”Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ экспонСнты эквивалСнтны корням, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅ экспонСнт.

.

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ это Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ любой Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ .

Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для записи любого корня Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠΉ стСпСни .

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ объяснСниС Rational Exponents, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ большС ΠΎΠ± этой Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅.

Π Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ стСпСни, ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Ρ‹

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ с Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌΠΈ показатСлями, ΠΈ, учитывая Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ, Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ всС Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ΅ для вычислСния ΠΈΠ»ΠΈ упрощСния Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, содСрТащих стСпСни, ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Ρ‹. Π’ΠΎΡ‚ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.

Π°) ВычислитС ΠΈΠ»ΠΈ упроститС

Вспоминая ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°

Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΄Π°Π»Π΅Π΅ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΎ, поэтому ΠΎΠ½ оставлСн Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня.

b) ВычислитС ΠΈΠ»ΠΈ упроститС

ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π² Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ стСпСни.

ИспользованиС Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ.

ИспользованиС Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ.

c) ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ экспонСнт ΠΈ упрощая .

ИспользованиС Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ.

D) ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ

с использованиСм Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° экспонСнтов ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΡ€Π°Ρ‡ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ Ρ„Ρ€Π°ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ,

РаспрСдСлСниС показатСля Π² Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ,

ИспользованиС Π—Π°ΠΊΠΎΠ½Π° ЭкспонСнтов,

w3.org/1998/Math/MathML¨»«moΒ»=Β«/mo»«mfrac»«msup»«miΒ»xΒ«/mi»«mnΒ»9Β«/mn»«/msup»«mrow»«msup»«miΒ»xΒ«/mi»«mnΒ»3Β«/mn»«/msup»«msup»«miΒ»yΒ«/mi»«mnΒ»6Β«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mathΒ»» role=»math» src=»data:image/svg+xml;base64,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»>

9005

. , ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Ρ‹ β€” ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Ρ‹

  • Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ β€” это ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни, Π΄ΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ возводится пСрСмСнная ΠΈΠ»ΠΈ число.

  • ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ стСпСням.

  • НСчСтныС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ β€” Π΄Π²Π°.

  • Волько ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π±Π΅Π· использования ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Ρ… чисСл.

  • ΠžΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ кубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.

  • Π—Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠ² ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ вычислСнии ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ алгСбраичСских Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, содСрТащих стСпСни ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ.

Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ, стСпСни ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ чисСл

Π’ этой ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ ΠΌΡ‹ обсудим ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈ стСпСни ΠΈΠ»ΠΈ стСпСни чисСл.

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

  • 1 Powers and Expunents
    • 1,1 Π­ΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ рост
      • 1.1.1 ΠŸΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ основа большС, Ρ‡Π΅ΠΌ 1
      • 1,1,2 ΠŸΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π±Π°Π·Π°, ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ 1
      • 1,1,3 ΠžΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π±Π°Π·Π° мСньшС -1
      • 1111111010101,3 ΠžΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π±Π°Π·Π° мСньшС -1
      • 1,1. 4 ΠžΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ основаниС ΠΎΡ‚ -1 Π΄ΠΎ 0
    • 1.2 Π—Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ экспонСнт
      • 1.2.1 Π•Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ измСрСния Π¦ΠΈΡ„Ρ€Π°
        • 1.2.1.1 Strategy for finding units digit
  • 2 Roots
    • 2.1 Square Root
        • 2.1.0.1 Idea 1
        • 2.1.0.2 Idea 2
        • 2.1.0.3 Idea 3
        • 2.1.0.4 Idea 4
        • 2.1.0.5 Idea 5
    • 2.2 Cube Root and Other Roots
        • 2.2.0.1 Idea 1
        • 2.2.0.2 Idea 2
        • 2.2.0.3 Idea 3
        • 2.2 .0.4 ИдСя 4
    • 2.3 БобствСнныС свойства ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ
        • 2.3.0.1 Π Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ свойство ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ
        • 2.3.0.2 Π”ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ
        • 2.3.0.3 Π Π°Π·Ρ€ΡƒΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅
        • 02012010401040404040404040404040.40404040404040402040404040404040404.402020404040404040404040404040404.402020202. 2.4 УравнСния с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ корнями0014 Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈ экспонСнты

          ЭкспонСнты β€” это способ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ выполнСния большого количСства ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.

          По сути, A n ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ n ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ числа A вмСстС. 1 Π² любой стСпСни Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅. 0 Π² любой стСпСни Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 0. ΠžΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π² Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. ΠžΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π² Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ.

          Π›ΡŽΠ±ΠΎΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ уравнСния, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ числу, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, x 2Β  = 4 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ x = 2 ΠΈ x = -2.

          Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ, Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, Π½ΠΎ Π² Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€.

          (x-1) 2 = -4 Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, Π½ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° (x-4) 3Β  = -1 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ x-4 = -1 -> x = 3.

          Π­ΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ рост

          Π’ этой ΠΏΠΎΠ΄Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ ΠΌΡ‹ рассмотрим Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Π΅ закономСрности со стСпСнями Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ² чисСл. Для Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… случаСв ΠΌΡ‹ посмотрим, Ρ‡Ρ‚ΠΎ происходит со стСпСнями, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ стСпСни Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа.

          ΠŸΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ основаниС большС 1

          ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ основании большС Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ значСния постоянно ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ с большой ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ.

          7 1 = 1 ……… 7 3 = 343 …….. Β 7 6 = 117649.

          ΠŸΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ основаниС мСньшС 1

          ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ основании мСньшС Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ значСния постоянно ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ .

          (1/2) 1 =1/2 ….. (1/2) 4 =1/16 …… (1/2) 8 = 1/256

          ΠžΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ основаниС мСньшС — 1

          ΠΠ±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Ρ‹Π΅ значСния здСсь ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ, Π½ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ +/- Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ.

          (-3) 1 =-3

          (-3) 2 =9

          (-3) 3 = -27

          (-3) 4 = 81

          (-3) 5 = -243

          . ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ -1 ΠΈ 0

          ΠΠ±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Ρ‹Π΅ значСния становятся мСньшС ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ приблиТСния ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Π½ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ +/- Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ.

          (-1/2) 1 = -1/2

          (-1/2) 2 = 1/4

          (-1/2) 3 Β  90 0 0 8

          (-1/2) 4 Β  = 1/16

          Рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

          Если x < 1 ΠΈ x != 0, являСтся Π»ΠΈ x 7 > x 6 ?

          Если x β€” любоС ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Ρ‚ΠΎ x 7Β  β€” ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅, Π° x 6Β  β€” ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅, поэтому x 7Β  < x 6 , поэтому ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ β€” Π½Π΅Ρ‚.

          Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅, Ссли o < x < 1, значСния ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ увСличСния мощности, поэтому x 7Β  < x 6 , ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ — Π½Π΅Ρ‚.

          Π’Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎ всСх случаях ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ — Π½Π΅Ρ‚.

          Подводя ΠΈΡ‚ΠΎΠ³, ΠΌΡ‹ обсудили закономСрности ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ роста, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ показатСля стСпСни мСняСт Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ стСпСни Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ² оснований.

          Laws of Exponents

          • a m * a n = a m+n
          • a m /a n = a m-n
          • a 0 = 1Β  (prove A M /A M = 1 = A M-M = A 0 = 1) Для всСх A! = 0
          • (A M ) N = A M*3333353 3 33333353 3 333333333353 3

            3333333. 3

            3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ) N . a -n = 1/a n Β  Β (Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ a 0-n )
          • (a/b) -n = (b/a) n
          • (ab) n = (a n )(b n )
          • (a/b) n = a n /b n

          Let’s look at ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

          Π Π°Π½ΠΆΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΎΡ‚ мСньшСго ΠΊ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ΅ΠΌΡƒ.

          (Π°) (1/3) -8 Β  Β  (Π±) 3 -3 Β  Β  Β  Β (Π²) (1/3) 5

          (1/3) 5Β  0 9025 3 = 1/3 9 <Β  Β  Β 3 -3 = 1/3 3Β  Β  Β <Β  Β  Β (1/3) -8Β  = 3 8

          Π¦ΠΈΡ„Ρ€Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†

          На Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Ρƒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† любого ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Π° Π²Π»ΠΈΡΡŽΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Ρ‹ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Π° ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ΠΊΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ измСрСния ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Π°.

          НапримСр, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ²Π° Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† 57 123 ?

          ИдСя состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ для послСднСй Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Ρ‹ значСния ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ стСпСни ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ.

          7 1 = …7

          7 2 =… 9

          7 3 =… 3

          7 4 =… 1

          7 5 =… 7

          7 6 =… 9 0005

          7

          7 = 3 .

          7 8 = …1

          Π’ этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΌΡ‹ Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ шаблон, 7,9,3,1 ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ послСдниС Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Ρ‹.

          И ΠΌΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ стСпСни, ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ 4, Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ заканчиваСтся Π½Π° 1, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ 120, ΠΈ шаблон продолТится Π΄ΠΎ 123.

          7 120 = …1

          7 121 = …7

          7 122 = …9

          7 123 = …3

          And so the units digit of 57 123Β  is 3.

          Strategy for finding units digit
          1. Focus Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎΠΌ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ.
          2. НайдитС ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉΡΡ ΠΏΠ°Ρ‚Ρ‚Π΅Ρ€Π½ ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΏΠ°Ρ‚Ρ‚Π΅Ρ€Π½Π°, ΠΊΠ°ΠΊ Π² 4 (7,9,3,1) Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅.
          3. Π Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΡŒΡ‚Π΅ шаблон, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.

          ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ

          ΠšΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ числа A являСтся Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ число X, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° сСбя Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ количСство Ρ€Π°Π· Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ A, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· A Ρ€Π°Π²Π΅Π½ X Π² X*X = A. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ символы :

          √ для ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня, 3 √ для кубичСского корня ΠΈ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ n √ для всСх ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.

          ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ

          Π’ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… случаях Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ числа ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ исходноС число, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚. Если ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ искомого числа являСтся ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‚ΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ число ΠΏΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρƒ.

          НиТС ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ основныС понятия ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅.

          ИдСя 1

          НСвозмоТно ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ √-1, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹, Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹, поэтому Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа. Для А β‰₯ 0, √А β‰₯ 0,

          ИдСя 2

          Для ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ сохраняСт порядок нСравСнства.

          Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, Ссли A < B < C, Ρ‚ΠΎ √A < √B < √C

          ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 36 < 41 <49, поэтому √36 < √41 < √49 β†’ 6 < √41 < 7. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π°, Π½Π΅ зная Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния √41, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ находится ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ 6 ΠΈ 7.

          ИдСя 3

          Π•ΡΡ‚ΡŒ нСсколько простых ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€ΡƒΠ±Ρ‹Π΅ приблиТСния:

          √2 ∼ = 1,4

          √3 ∼= 1,7

          √5 ∼= 2,2

          Если ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ эти Ρ‚Ρ€ΠΈ с Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎ дСсятых, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.

          ИдСя 4

          Π—Π½Π°ΠΊ √ являСтся ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ +,-,Γ—,Γ·, ΠΈ, ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΈΠΌ, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ с числами ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ.

          Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ отмСняСт Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, Π½ΠΎ Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ прямо ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅. НапримСр, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ x ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° y 2 Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΈ √y 2 Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ. ΠœΡ‹ Π½Π΅ возвращаСмся ΠΊ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, с Ρ‡Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΈ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ y.

          ВСхничСски, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ √ всСгда ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅Π½ нСзависимо ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅Π½ y ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅Π½, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ √y 2 = |y| (Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ y).

          Когда ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡŽ √, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ всСгда ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π­Ρ‚ΠΎ отличаСтся ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ ΠΊ Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ-Ρ‚ΠΎ, ΠΈ ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ для ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ x 2Β  = A.

          Π’ этом случаС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ состоит ΠΈΠ· 2 частСй, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ обсуТдали Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Π² Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ, Ρ… = ±√A

          ИдСя 5

          ΠŸΡ€ΠΈ обсуТдСнии ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ роста Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΌΡ‹ обсуТдали, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли A > 1, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ стСпСни A становятся большС, Ρ‚.Π΅. A 2Β  > A.

          ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… мСньшС

          √A < A

          Но, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π² ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ роста, всС Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ для ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл мСньшС 1.

          Если 0 < A < 1, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ стСпСни A ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ А 2Β  < A.

          Если Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ этих чисСл ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ ΠΈΡ…, Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ….

          √A > A

          √(4/9) = 2/3 > 4/9

          Рассмотрим ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

          Если 7K β€” Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, ΠΈ Ссли √K > K, Ρ‚ΠΎ являСтся Π»ΠΈ K Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ числом?

          Если √K > K, Π΄Π΅ΡΡΡ‚ΡŒ K Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ числом ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 1. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΎΠ½ΠΎ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ числом. НСт, это ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚.

          ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ

          Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ отмСняСт дСйствиС возвСдСния Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ высокого порядка, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ силы.

          НапримСр, кубичСских корня ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ дСйствиС возвСдСния числа Π² ΠΊΡƒΠ±.

          Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ √ для ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня, обозначСния для всСх Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹. ΠœΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ √, Π½ΠΎ для всСх ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΌΡ‹ ставим нСбольшоС число ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ порядок корня.

          Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, кубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· x записываСтся ΠΊΠ°ΠΊ 3 √x.

          НиТС ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ основныС ΠΈΠ΄Π΅ΠΈ.

          ИдСя 1

          ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Β± для ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅.

          ΠŸΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ (ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅) 3 = ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ (ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅) 3 = ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅.

          Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, x 3Β  = ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ , Π° x 3 = ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ .

          Π‘ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ корнями ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΈ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ….

          Напротив, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ кубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· любого числа Π½Π° числовой прямой, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ.

          3 √8 = 2

          3 √0 = 0

          3 √ -8 = -2

          ИдСя 2

          для быстрых вычислСний, это Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠšΡƒΠ±ΠΈ Π΄ΠΎ 10.

          1 3 = 1

          2 3 = 8

          3 3 = 27

          4 3 = 64

          5 3 = 125

          6 3 = 216

          7 3 = 343

          8 3 = 512

          9 3 = 729

          10 3 = 1000

          Then, we automatically have some cube roots memorized as well

          3 √1 = 1

          3 √8 = 2

          3 √ 27 = 3

          3 √64 = 4

          3 √125 = 5

          3 √216 = 6

          3 √343 = 7

          3 √512 = 8

          3 √729 = 9

          3 √1000 = 10

          ИдСя 3

          ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ √a, ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни 4 √a, ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΎΠΉ стСпСни 6 √a ΠΈ Ρ‚. Π΄. Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ корнями.

          ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ 3 √a, ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ пятой стСпСни 5 √a, ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ сСдьмой стСпСни 7 √a ΠΈ Ρ‚. Π΄. Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ корнями.

          Как ΠΈ Π² случаС с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ корнями, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρƒ, Π½ΠΎ ΠΌΡ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа.

          Как ΠΈ Π² случаС с кубичСскими корнями, любой Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа являСтся ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Π° любой Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ.

          ИдСя 4

          Для всСх n,

          n √0 = 0 и n √1 = 1

          ВсС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΡΡŽΡ‚ порядок нСравСнства,

          0 < c, < a0 < b n √a < n √b < n √c.

          ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ 4 √50.

          ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ 16 < 50 < 81, ΠΌΡ‹ 4 √16 < 4 √50 < 4 √81 β†’ 2 < 4 √50 < 3. ΠœΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.

          Если x > 1 ΠΈ n > m, Ρ‚ΠΎ 1 < n √x < m √x < x.

          Если 0 < x < 1 ΠΈ Ссли n > m, Ρ‚ΠΎ 0 < x < m √x < n √x < 1.

          Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‡Π΅ΠΌ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ порядок корня, Ρ‚Π΅ΠΌ Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Π΄ΠΎ 1.

          Бвойства ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ

          По сути, ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ частным случаСм ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ, поэтому Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ свойства ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚ со свойствами ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.

          Π’ этой ΠΏΠΎΠ΄Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ ΠΌΡ‹ обсудим связь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ корнями ΠΈ показатСлями.

          ΠœΡ‹ собираСмся ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ±ΡΡƒΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ свойства ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ числа A ΠΈ B ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹.

          НСсмотря Π½Π° Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, всС эти свойства Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΡŽΡ‚ для всСх ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ высокого порядка, Π° для Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ задСйствованныС числа Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ.

          Π Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‰Π΅Π΅ свойство ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ

          РаспрСдСлСниС ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ √AB = √A * √B, √(A/B) =Β  √A / √B.

          ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ √N.

          Если N ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π² качСствС ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· своих ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ A, Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ N Π½Π° A*B для Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ B ΠΈ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈΠ· ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ.

          ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· идСального ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° А Π²Ρ‹ΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠ²Π½Ρƒ.

          Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ √63 = √(9*7) = 3√7

          Для Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… чисСл ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΡƒΡŽ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΡŽ, ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.

          КаТдая ΠΏΠ°Ρ€Π° простых ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΈ каТдая чСтная ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ простого мноТитСля ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½Ρ‹.

          НапримСр, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ (2 6 )(3 5 )(5 2 )(7) ΠΊΠ°ΠΊ простая факторизация числа, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ √N Π² ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅.

          √N = √2 6 * √3 5 * 5 2  * 7

          = √(2 3 * 2 3 ) * √(3 2 * 3 2 * 3 1 ) * √5 2 * √7

          = 2 3 * 3 2 √3 * 5 * √7

          = 360 (√3) (√7)

          = 360 √21

          Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ

          ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π²Π° Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ссли ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π».

          НапримСр, √72 – √32 = √(36*2) – √(16*2) = 6√2 – 4√2 = 2√2

          Но Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 6√2 – 4√3 нСльзя ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ дальшС .

          Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ

          ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ свойство распрСдСлСния для упрощСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ

          НапримСр, (2√42) * (4√63) = 8√(42*63) = 8√(2* 3*7*3*3*7) = 8√(3*3) * √(7*7) * √(2*3) = 8*3*7*√6 = 168√6.

          Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ

          ΠŸΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ выраТСния, Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² стСпСни, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ. Π˜ΠΌΠ΅ΠΉΡ‚Π΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ числа.

          НапримСр, (√2) 48 = ((√2) 2 ) 24 = 2 24.

          ΠœΡ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ навскидку Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ это числовоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π½ΠΎ всС ΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ с Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅. НапримСр, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ (√2) 48Β  > 2 20 .

          Когда ΠΌΡ‹ Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ, ΠΌΡ‹ распрСдСляСм ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни ΠΏΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŽ. Π›ΡŽΠ±Π°Ρ чСтная ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π° являСтся ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΡŽ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ числа.

          УравнСния с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ корнями

          Π£ нас ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, √(x+2) = 3.

          ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, возвСдя Π΅Π³ΠΎ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, всС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, это возвСсти ΠΎΠ±Π΅ стороны Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ .

          √(x+2) = 3 β†’ x+3 = 9 β†’ x = 7.

          ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ √x 2 = x Π½Π΅ всСгда Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ. Π­Ρ‚ΠΎ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ для ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΈ нуля, Π½ΠΎ Π½Π΅ для ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.

          Π­Ρ‚ΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΡ‚ΠΎΠ»ΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΡŒΡΡ с ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠΎΠΉ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния.

          ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… уравнСниях Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΡ‚Π΅Ρ€Π΅Π³Π°Ρ‚ΡŒΡΡ посторонних ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.

          Когда ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ выполняСм всю Π½Π°ΡˆΡƒ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρƒ, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… частСй уравнСния, Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ привСсти ΠΊ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π°ΠΌ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ Π½Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΡŽΡ‚ Π² исходном ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ. Π­Ρ‚ΠΎ посторонниС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ.

          Рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

          √(x+3) = x-3 β†’ x+3 = (x-3) 2 β†’ x+3 = x 2 -6x+9

          β†’ 0 = Ρ… 2 -7Ρ…+6 = (Ρ…-6)(Ρ…-1)

          x = 1 ΠΈΠ»ΠΈ 6.

          Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΡŽΡ‚ Π»ΠΈ эти значСния Π² исходном ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ.

          ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ° Ρ… = 1;

          √(x+3) = √(1+3) = √4 = 2

          x-3 = 1-3 = -2

          x = 1 Π½Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 2 != -2.

          ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ° Ρ… = 6;

          √(x+3) = √9 = 3

          x-3 = 6-3 = 3

          x = 6 Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚, поэтому это СдинствСнноС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ x.

          Если ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ число послС возвСдСния Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… частСй уравнСния с Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ, Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ ΠΊ 2 корням.

          Иногда Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Π° корня.

          Иногда Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ посторонний.

          Иногда ΠΎΠ±Π° ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ посторонними ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.

          НапримСр, √(2x-4) = √(x-4)

          2x – 2 = x -4 β†’ x-2 = -4 β†’ x = -2

          Когда ΠΌΡ‹ подставляСм это Π² исходноС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, это получаСтся ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· минуса с ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… сторон. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

          НаконСц, ΠΈΠΌΠ΅ΠΉΡ‚Π΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΎΠ±Π΅ стороны Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π» сам ΠΏΠΎ сСбС находится Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ сторонС уравнСния.

          Если Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π» появляСтся с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ элСмСнтами Π½Π° сторонС, Π½Π°ΠΌ придСтся ΠΈΠ·ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π» Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ сторонС, ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ смысл ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±Π΅ стороны.

          НапримСр, 2+√(4-3x) = x

          √(4-3x) = x-2 β†’ 4-3x = (x-2) 2Β  β†’ 0 = x 2Β  – x = x( x-1)

          АлгСбра ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Π΄Π²ΡƒΠΌ корням x = 0 ΠΈ x = 1.

          Когда ΠΌΡ‹ провСряСм ΠΎΠ±Π° корня Π² исходном ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ, Π½ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Π½Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚, поэтому ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ НЕ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

          Рационализация

          Рационализация β€” это процСсс измСнСния Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ уравнСния ΠΈΠ»ΠΈ выраТСния, содСрТащСго Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π» Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ большС Π½Π΅ содСрТал Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ процСсс называСтся Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ знамСнатСля.

          Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, устранСниС ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠ· знамСнатСля Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ называСтся Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ.

          Если Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ СдинствСнный ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅, ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ, умноТая Π½Π° этот ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ саму сСбя.

          НапримСр:

          Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ (4-√6) / 2√3

          ( (4-√6) / 2√3 ) * √3/√3

          ( 4√3 – √6 * √3 ) / (2*3)

          (4√3 – 3√2) / 6

          Если Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ содСрТит слоТСниС ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‚ΠΎ для Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΡΠΎΠΏΡ€ΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ знамСнатСля Π½Π°Π΄ собой.

          Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ², Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ (x-y)(x+y) = x 2 – y 2 , ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΠ΄Π°Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈΠ· Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ.

          НапримСр, Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ 2/(√5 – 1)

          ΠœΡ‹ просто ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΠΈ Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π½Π° сопряТСнноС число √5 – 1

          (2/(√5 – 1)) * ( (√5 + 1)/(√ 5 + 1) )

          2(√5 + 1) / ((√5) 2 – 1 2 )

          (√5 + 1)/2

          Β 

          ΠΌΡ‹ рассмотрСли Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ стСпСни, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ числами, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ, ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌΠΈ.

          Π”Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ Π΄Π΅Π»Π°ΡŽΡ‚ явной связь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ корнями ΠΈ показатСлями.

          НапримСр, 2 1/2 = A, Ссли возвСсти Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ A, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ (2 1/2 ) 2 = A 2 β†’ A 2Β  = 2 β†’ A = √2.

          Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, 2 1/2 = √2.

          ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ X 1/2 = √X.

          Π’ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΠΎ ΠΊ X 1/3 =Β  3 √X.

          Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ X 1/ΠΌ = ΠΌ √X.

          ВакТС X н/м = ( м √X) н.

          НапримСр, 8 4/3 = ( 3 √8) 4

          ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния

          ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ – это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ находятся Π² показатСлях стСпСни.

          Если Π΄Π²Π΅ стСпСни с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ основаниСм Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, Ρ‚ΠΎ ΠΈ стСпСни Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

          A x = A y Β  β†’Β  x = y

          Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ для всСх оснований, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ 0 ΠΈΠ»ΠΈ Β±1.

          Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ основания с ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… сторон. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… оснований Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ стСпСнСй ΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… оснований.

          Когда основания с ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… сторон Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΡΡ‚ΡŒ стСпСни ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ.

          Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ рассмотрим нСсколько ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ².

          • Если ( 5 √3) 3x+7 = 3 2x , Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ x?

          (3 1/5 ) 3x+7 = 3 2x β†’ (3x+7)/5 = 2x β†’ x = 1.

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *