Умножение корней с одинаковыми степенями: 031. Действия с корнями

.

.

Разделение радикалов

Точно так же, пока индексы корней одинаковы, вы можете разделить радикалы с разными числами внутри корня, объединив их в один корень и разделив числа внутри корня.

.

.

Умножение квадратного корня на самого себя

Если умножить квадратный корень из числа на самого себя , вы должны получить исходное значение.

.

.

Умножение числа на радикал

При умножении числа на радикал порядок множителей не имеет значения, и результатом должно быть число, за которым следует радикал.

.

.

Добавление или вычитание радикалов

Чтобы добавить или вычесть радикалы , число внутри корней должно быть одинаковым. Вы добавляете или вычитаете числа вне корня.

Чтобы добавить или вычесть радикалы, вам может понадобиться сначала упростить их, чтобы найти похожие термины.

Добавить нельзя, но можно сначала упростить,

.

Тогда вы можете решить .

Умножение скобок, содержащих радикалы

Чтобы умножить скобки , содержащие радикалы , каждый член в первой скобке должен быть умножен на каждый член во второй скобке. Затем вы можете комбинировать похожие термины.

Как записать силы как корни и корни как силы?

Чтобы записать степени в виде корней и корни в виде степеней, нам нужно понять, как работают дробные показатели.

Дробные экспоненты

Дробные экспоненты эквивалентны корням, как показано в следующем законе экспонент.

.

Используя это выражение, вы можете записать любой дробный показатель степени как корень .

Вы можете использовать то же выражение для записи любого корня в виде дробной степени .

Прочтите объяснение Rational Exponents, чтобы узнать больше об этой теме.

Разрешающие степени, корни и радикалы

Теперь, когда вы знаете, как работать с дробными показателями, и, учитывая законы показателей, у вас есть все необходимое для вычисления или упрощения выражений, содержащих степени, корни и радикалы. Вот некоторые примеры.

а) Вычислите или упростите

Вспоминая правильные квадраты, можно заменить на

не может быть далее упрощено, поэтому он оставлен в форме квадратного корня.

b) Вычислите или упростите

Преобразование корней в дробные показатели степени.

Использование закона показателей.

Использование закона показателей.

c) Оценить или упростить

Используя закон экспонент и упрощая .

Использование закона показателей.

D) Оценить или упростить

с использованием закона экспонентов переворачивает фракцию ,

Распределение показателя в числитель и знаменатель,

Использование Закона Экспонентов,

w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»9«/mn»«/msup»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«msup»«mi»y«/mi»«mn»6«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/math»» role=»math» src=»data:image/svg+xml;base64,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»>

9005

. , Корни и радикалы — ключевые выводы

• Степень — это показатель степени, до которого возводится переменная или число.

• Корни или радикалы обратны степеням.

• Нечетные корни будут иметь одно решение, а четные — два.

• Только положительные числа могут извлекать квадратные корни без использования мнимых чисел.

• Отрицательные числа могут иметь кубический корень.

• Знание квадратных корней из полных квадратов и законов показателей очень полезно при вычислении или упрощении алгебраических выражений, содержащих степени и корни.

Степени, степени и корни чисел

В этой статье мы обсудим корни и степени или степени чисел.

Содержание

• 1 Powers and Expunents
  • 1,1 Экспоненциальный рост
    • 1.1.1 Положительная основа больше, чем 1
    • 1,1,2 Положительная база, менее 1
    • 1,1,3 Отрицательная база меньше -1
    • 1111111010101,3 Отрицательная база меньше -1
    • 1,1. 4 Отрицательное основание от -1 до 0
  • 1.2 Законы экспонент
    • 1.2.1 Единицы измерения Цифра
      • 1.2.1.1 Strategy for finding units digit
• 2 Roots
  • 2.1 Square Root
    • • 2.1.0.1 Idea 1
      • 2.1.0.2 Idea 2
      • 2.1.0.3 Idea 3
      • 2.1.0.4 Idea 4
      • 2.1.0.5 Idea 5
  • 2.2 Cube Root and Other Roots
    • • 2.2.0.1 Idea 1
      • 2.2.0.2 Idea 2
      • 2.2.0.3 Idea 3
      • 2.2 .0.4 Идея 4
  • 2.3 Собственные свойства корней
    • • 2.3.0.1 Распределительное свойство корней
      • 2.3.0.2 Добавление и вычитание корней
      • 2.3.0.3 Разрушение и подразделение
      • 02012010401040404040404040404040.40404040404040402040404040404040404.402020404040404040404040404040404.402020202. 2.4 Уравнения с квадратными корнями0014 Степени и экспоненты

        Экспоненты — это способ одновременного выполнения большого количества умножений.

        По сути, A ⁿ означает, что мы умножаем n множителей числа A вместе. 1 в любой степени равно единице. 0 в любой степени равно 0. Отрицательное в четной степени положительно. Отрицательное в нечетной степени отрицательно.

        Любой квадрат уравнения, равный положительному числу, имеет два решения, например, x ²  = 4 имеет два решения x = 2 и x = -2.

        Уравнение, в котором выражение в четной степени равно отрицательному, не имеет решения, но в нечетной степени может равняться отрицательному, например.

        (x-1) ² = -4 не имеет решения, но уравнение вида (x-4) ³  = -1 имеет решение x-4 = -1 -> x = 3.

        Экспоненциальный рост

        В этой подтеме мы рассмотрим некоторые важные закономерности со степенями различных видов чисел. Для разных случаев мы посмотрим, что происходит со степенями, когда показатели степени возрастают через целые числа.

        Положительное основание больше 1

        При положительном основании больше единицы значения постоянно увеличиваются с большой скоростью.

        7 ¹ = 1 ……… 7 ³ = 343 ……..  7 ⁶ = 117649.

        Положительное основание меньше 1

        При положительном основании меньше единицы значения постоянно уменьшаются .

        (1/2) ¹ =1/2 ….. (1/2) ⁴ =1/16 …… (1/2) ⁸ = 1/256

        Отрицательное основание меньше — 1

        Абсолютные значения здесь увеличиваются, но знаки +/- чередуются.

        (-3) ¹ =-3

        (-3) ² =9

        (-3) ³ = -27

        (-3) ⁴ = 81

        (-3) ⁵ = -243

        . между -1 и 0

        Абсолютные значения становятся меньше по мере приближения к нулю, но знаки +/- чередуются.

        (-1/2) ¹ = -1/2

        (-1/2) ² = 1/4

        (-1/2) ³   90 0 0 8

        (-1/2) ⁴   = 1/16

        Рассмотрим пример:

        Если x < 1 и x != 0, является ли x ⁷ > x ⁶ ?

        Если x — любое отрицательное число, то x ⁷  — отрицательное, а x ⁶  — положительное, поэтому x ⁷  < x ⁶ , поэтому ответ — нет.

        Также, если o < x < 1, значения уменьшаются по мере увеличения мощности, поэтому x ⁷  < x ⁶ , ответ — нет.

        Так что во всех случаях ответ — нет.

        Подводя итог, мы обсудили закономерности экспоненциального роста, то есть то, как увеличение показателя степени меняет величину степени различных видов оснований.

        Laws of Exponents

        • a ^m * a ⁿ = a ^m+n
        • a ^m /a ⁿ = a ^m-n
        • a ⁰ = 1  (prove A ^M /A ^M = 1 = A ^M-M = A ⁰ = 1) Для всех A! = 0
        • (A ^M ) ^N = A ^M*3333353 3 33333353 3 333333333353 3
          3333333. 3
          3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ) ^N . a ^-n = 1/a ⁿ    (докажите a ^0-n )
        • (a/b) ^-n = (b/a) ⁿ
        • (ab) ⁿ = (a ⁿ )(b ⁿ )
        • (a/b) ⁿ = a ⁿ /b ⁿ

        Let’s look at пример:

        Ранжируйте от меньшего к большему.

        (а) (1/3) ^-8     (б) 3 ^-3        (в) (1/3) ⁵

        (1/3) ⁵  0 9025 3 = 1/3 9 <     3 ^-3 = 1/3 ³     <     (1/3) ^-8  = 3 ⁸

        Цифра единиц

        На цифру единиц любого продукта влияют только цифры единиц факторов. Поэтому нам нужно учитывать только однозначных продукта при попытке определить единицу измерения продукта.

        Например, какова цифра единиц 57 ¹²³ ?

        Идея состоит в том, чтобы найти закономерность для последней цифры значения каждой степени следующим образом.

        7 ¹ = …7

        7 ² =… 9

        7 ³ =… 3

        7 ⁴ =… 1

        7 ⁵ =… 7

        7 ⁶ =… 9 0005

        7

        7 = 3 .

        7 ⁸ = …1

        В этой точке мы начинаем видеть шаблон, 7,9,3,1 повторяются как последние цифры.

        И мы также замечаем, что для каждой степени, кратной 4, значение заканчивается на 1, мы можем перейти к 120, и шаблон продолжится до 123.

        7 ¹²⁰ = …1

        7 ¹²¹ = …7

        7 ¹²² = …9

        7 ¹²³ = …3

        And so the units digit of 57 ¹²³  is 3.

        Strategy for finding units digit

        1. Focus только при однозначном умножении.
        2. Найдите повторяющийся паттерн и определите период паттерна, как в 4 (7,9,3,1) в приведенном выше примере.
        3. Расширьте шаблон, используя кратные точки.

        Корни

        Корнем числа A является другое число X, которое при умножении на себя заданное количество раз равно A, например, квадратный корень из A равен X в X*X = A. Используются следующие символы :

        √ для квадратного корня, ³ √ для кубического корня и вообще ⁿ √ для всех остальных корней.

        Квадратный корень

        Во многих случаях в математике мы знаем квадрат числа и должны найти исходное число, которое было возведено в квадрат. Если квадрат искомого числа является полным квадратом, то легко найти число по его квадрату.

        Ниже приведены некоторые основные понятия о квадратном корне.

        Идея 1

        Невозможно извлечь квадратный корень из отрицательного числа, например √-1, потому что положительные числа, возведенные в квадрат, положительны, а отрицательные числа, возведенные в квадрат, положительны, поэтому невозможно найти квадратный корень из отрицательного числа. Для А ≥ 0, √А ≥ 0,

        Идея 2

        Для положительных чисел квадратный корень сохраняет порядок неравенства.

        Другими словами, если A < B < C, то √A < √B < √C

        Мы знаем, что 36 < 41 <49, поэтому √36 < √41 < √49 → 6 < √41 < 7. Отсюда, не зная точного значения √41, мы можем узнать, что оно находится между 6 и 7.

        Идея 3

        Есть несколько простых квадратных корней, для которых мы можем запомнить грубые приближения:

        √2 ∼ = 1,4

        √3 ∼= 1,7

        √5 ∼= 2,2

        Если мы знаем только эти три с точностью до десятых, мы можем сделать очень много приближений.

        Идея 4

        Знак √ является оператором, таким же, как +,-,×,÷, и, подобно им, может работать с числами или переменными.

        Этот оператор отменяет возведение в квадрат, но не обязательно прямо противоположное. Например, предположим, что x отрицательно, тогда y ² будет положительным и √y ² также будет положительным. Мы не возвращаемся к тому, с чего начали, то есть к отрицательному y.

        Технически, поскольку результат √ всегда положителен независимо от того, положителен y или отрицателен, мы можем сказать √y ² = |y| (абсолютное значение y).

        Когда мы видим операцию √, результат всегда положительный. Это отличается от того, когда мы возводим переменную в квадрат и приравниваем к чему-то, и мы должны решить для переменной, например x ²  = A.

        В этом случае решение состоит из 2 частей, как мы уже обсуждали выше в разделе показателей, х = ±√A

        Идея 5

        При обсуждении экспоненциального роста выше мы обсуждали, что если A > 1, то положительные степени A становятся больше, т.е. A ²  > A.

        корень должен сделать их меньше

        √A < A

        Но, как мы видели также в уроке экспоненциального роста, все наоборот для положительных чисел меньше 1.

        Если 0 < A < 1, то положительные степени A уменьшаются то есть А ²  < A.

        Если возведение в квадрат этих чисел уменьшает их, то извлечение квадратного корня должно увеличивать их.

        √A > A

        √(4/9) = 2/3 > 4/9

        Рассмотрим следующий пример:

        Если 7K — натуральное число, и если √K > K, то является ли K целым числом?

        Если √K > K, десять K должно быть числом от 0 до 1. Таким образом, оно не может быть целым числом. Нет, это ответ.

        Кубический корень и другие корни

        Точно так же, как квадратный корень отменяет действие возведения в квадрат, существуют корни более высокого порядка, которые также отменяют другие силы.

        Например, кубических корня отменяют действие возведения числа в куб.

        Точно так же, как мы используем обозначение √ для квадратного корня, обозначения для всех других корней аналогичны. Мы используем тот же подкоренной знак √, но для всех остальных корней мы ставим небольшое число перед подкоренным, чтобы обозначить порядок корня.

        Таким образом, кубический корень из x записывается как ³ √x.

        Ниже приведены некоторые основные идеи.

        Идея 1

        Правила ± для кубов другие.

        Помните, что (положительное) ³ = положительное и (отрицательное) ³ = отрицательное.

        Следовательно, x ³  = положительное число имеет только одно положительное решение , а x ³ = отрицательное число имеет только одно отрицательное решение .

        С квадратными корнями мы можем найти квадратные корни только из положительных чисел и не можем извлечь квадратный корень из отрицательных.

        Напротив, мы можем извлечь кубический корень из любого числа на числовой прямой, положительного, нулевого или отрицательного.

        ³ √8 = 2

        ³ √0 = 0

        ³ √ -8 = -2

        Идея 2

        для быстрых вычислений, это хорошо, чтобы запомнить Куби до 10.

        1 ³ = 1

        2 ³ = 8

        3 ³ = 27

        4 ³ = 64

        5 ³ = 125

        6 ³ = 216

        7 ³ = 343

        8 ³ = 512

        9 ³ = 729

        10 ³ = 1000

        Then, we automatically have some cube roots memorized as well

        ³ √1 = 1

        ³ √8 = 2

        ³ √ 27 = 3

        ³ √64 = 4

        ³ √125 = 5

        ³ √216 = 6

        ³ √343 = 7

        ³ √512 = 8

        ³ √729 = 9

        ³ √1000 = 10

        Идея 3

        Квадратный корень √a, корень четвертой степени ^{4 √a, корень шестой степени 6} √a и т. д. называются четными корнями.

        Кубический корень ³ √a, корень пятой степени ⁵ √a, корень седьмой степени ⁷ √a и т. д. называются нечетными корнями.

        Как и в случае с квадратными корнями, мы можем извлечь четный корень из положительных чисел, что приведет к положительному результату, но мы не можем извлечь четный корень из отрицательного числа.

        Как и в случае с кубическими корнями, любой нечетный корень из положительного числа является положительным, а любой нечетный корень из отрицательного числа отрицательным.

        Идея 4

        Для всех n,

        ⁿ √0 = 0 и ⁿ √1 = 1

        Все корни сохраняют порядок неравенства,

        0 < c, < a0 < b ⁿ √a < ⁿ √b < ⁿ √c.

        Предположим, нам нужно оценить ⁴ √50.

        Поскольку 16 < 50 < 81, мы ⁴ √16 < ⁴ √50 < ⁴ √81 → 2 < ⁴ √50 < 3. Мы также можем сравнить разные размеры корней.

        Если x > 1 и n > m, то 1 < ⁿ √x < ^m √x < x.

        Если 0 < x < 1 и если n > m, то 0 < x < ^m √x < ⁿ √x < 1.

        Таким образом, чем выше порядок корня, тем ближе результат до 1.

        Свойства корней

        По сути, корни являются частным случаем показателей, поэтому некоторые свойства показателей совпадают со свойствами корней.

        В этой подтеме мы обсудим связь между корнями и показателями.

        Мы собираемся использовать квадратные корни, чтобы обсудить свойства корней, и предположим, что числа A и B положительны.

        Несмотря на то, что мы используем квадратные корни, все эти свойства также работают для всех корней более высокого порядка, а для нечетных корней задействованные числа не обязательно должны быть положительными.

        Распределяющее свойство корней

        Распределение корней при умножении и делении √AB = √A * √B, √(A/B) =  √A / √B.

        Предположим, у нас есть √N.

        Если N имеет в качестве одного из своих множителей полный квадрат A, то мы можем заменить N на A*B для некоторого B и взять квадратные корни из множителей по отдельности.

        Квадратный корень из идеального квадрата А выйдет поровну.

        например √63 = √(9*7) = 3√7

        Для больших чисел мы можем найти простую факторизацию, и тогда будет легко найти упрощенный квадратный корень.

        Каждая пара простых множителей и каждая четная степень простого множителя являются полным квадратом и могут быть упрощены.

        Например, предположим, что у нас есть (2 ⁶ )(3 ⁵ )(5 ² )(7) как простая факторизация числа, мы можем выразить √N в упрощенной форме.

        √N = √2 ⁶ * √3 ⁵ * 5 ²  * 7

        = √(2 ³ * 2 ³ ) * √(3 ² * 3 ² * 3 ¹ ) * √5 ² * √7

        = 2 ³ * 3 ² √3 * 5 * √7

        = 360 (√3) (√7)

        = 360 √21

        Сложение и вычитание корней

        Мы можем комбинировать два термина, только если они имеют один и тот же радикал.

        Например, √72 – √32 = √(36*2) – √(16*2) = 6√2 – 4√2 = 2√2

        Но выражение 6√2 – 4√3 нельзя упростить дальше .

        Умножение и деление корней

        Мы можем использовать свойство распределения для упрощения произведений или делений корней

        Например, (2√42) * (4√63) = 8√(42*63) = 8√(2* 3*7*3*3*7) = 8√(3*3) * √(7*7) * √(2*3) = 8*3*7*√6 = 168√6.

        Степени корней

        Подкоренные выражения, возведенные в степени, можно упростить. Имейте в виду, что любую четную степень квадратного корня можно записать как степень целого числа.

        Например, (√2) ⁴⁸ = ((√2) ² ) ²⁴ = 2 ^24.

        Мы не можем навскидку вычислить это числовое значение, но все же можем сравнить размер с что-то другое. Например, мы можем увидеть (√2) ⁴⁸  > 2 ²⁰ .

        Когда мы возводим подкоренное выражение в степень, мы распределяем показатель степени по каждому множителю. Любая четная степень радикала является степенью целого числа.

        Уравнения с квадратными корнями

        У нас может быть уравнение, включающее квадратный корень, например, √(x+2) = 3.

        Поскольку мы можем отменить квадратный корень, возведя его в квадрат, все, что нам нужно сделать, это возвести обе стороны в квадрат и решить .

        √(x+2) = 3 → x+3 = 9 → x = 7.

        Поскольку мы знаем, что √x ² = x не всегда верно. Это верно для положительных чисел и нуля, но не для отрицательных чисел.

        Это говорит о том, что мы можем столкнуться с какой-то проблемой, когда возникают отрицательные значения.

        Получается, что в радикальных уравнениях нужно остерегаться посторонних корней.

        Когда мы правильно выполняем всю нашу алгебру, включая возведение в квадрат обеих частей уравнения, алгебра может привести к ответам, которые на самом деле не работают в исходном уравнении. Это посторонние корни.

        Рассмотрим пример:

        √(x+3) = x-3 → x+3 = (x-3) ² → x+3 = x ² -6x+9

        → 0 = х ² -7х+6 = (х-6)(х-1)

        x = 1 или 6.

        Теперь нам нужно проверить, работают ли эти значения в исходном уравнении.

        Проверка х = 1;

        √(x+3) = √(1+3) = √4 = 2

        x-3 = 1-3 = -2

        x = 1 не работает, так как 2 != -2.

        Проверка х = 6;

        √(x+3) = √9 = 3

        x-3 = 6-3 = 3

        x = 6 работает, поэтому это единственное правильное значение x.

        Если мы получим квадратное число после возведения в квадрат обеих частей уравнения с радикальной частью, алгебра приведет к 2 корням.

        Иногда работают оба корня.

        Иногда работает один корень и один посторонний.

        Иногда оба являются посторонними и уравнение не имеет решений.

        Например, √(2x-4) = √(x-4)

        2x – 2 = x -4 → x-2 = -4 → x = -2

        Когда мы подставляем это в исходное уравнение, это получается квадратный корень из минуса с обеих сторон. Следовательно, уравнение не имеет решения.

        Наконец, имейте в виду, что мы должны возводить в квадрат обе стороны только тогда, когда радикал сам по себе находится на одной стороне уравнения.

        Если радикал появляется с другими элементами на стороне, нам придется изолировать радикал на одной стороне, прежде чем будет иметь смысл квадратировать обе стороны.

        Например, 2+√(4-3x) = x

        √(4-3x) = x-2 → 4-3x = (x-2) ²  → 0 = x ²  – x = x( x-1)

        Алгебра приводит к двум корням x = 0 и x = 1.

        Когда мы проверяем оба корня в исходном уравнении, ни один из них не работает, поэтому уравнение НЕ имеет решения.

        Рационализация

        Рационализация — это процесс изменения формы уравнения или выражения, содержащего радикал в знаменателе, таким образом, чтобы знаменатель больше не содержал радикала. Этот процесс называется рационализацией знаменателя.

        Другими словами, устранение корней из знаменателя дроби называется рационализацией.

        Если дробь имеет единственный корень в знаменателе, мы рационализируем, умножая на этот корень саму себя.

        Например:

        Упрощение (4-√6) / 2√3

        ( (4-√6) / 2√3 ) * √3/√3

        ( 4√3 – √6 * √3 ) / (2*3)

        (4√3 – 3√2) / 6

        Если знаменатель дроби содержит сложение или вычитание, включающее подкоренное выражение, то для рационализации нам нужно умножить на сопряженную часть знаменателя над собой.

        Используя разность двух квадратов, то есть (x-y)(x+y) = x ² – y ² , мы можем удалить корни из таких знаменателей.

        Например, Упростить 2/(√5 – 1)

        Мы просто умножаем и делим на сопряженное число √5 – 1

        (2/(√5 – 1)) * ( (√5 + 1)/(√ 5 + 1) )

        2(√5 + 1) / ((√5) ² – 1 ² )

        (√5 + 1)/2

         

        мы рассмотрели только показатели степени, которые являются целыми числами, положительными, отрицательными и нулевыми.

        Дробные показатели делают явной связь между корнями и показателями.

        Например, 2 ^1/2 = A, если возвести в квадрат A, мы получим (2 ^1/2 ) ² = A ² → A ²  = 2 → A = √2.

        Следовательно, 2 ^1/2 = √2.

        Обычно X ^1/2 = √X.

        То же самое применимо к X ^1/3 =  ³ √X.

        Таким образом, обычно X ^1/м = ^м √X.

        Также X ^н/м = ( ^м √X) ^н.

        Например, 8 ^4/3 = ( ³ √8) ⁴

        Показательные уравнения

        Показательное уравнение – это уравнение, в котором переменные находятся в показателях степени.

        Если две степени с одинаковым основанием равны, то и степени должны быть равны.

        A ^x = A ^y   →  x = y

        Это правило работает для всех оснований, кроме 0 или ±1.

        Чтобы решить показательные уравнения, мы должны получить равные основания с обеих сторон. Это может включать выражение заданных оснований в виде степеней меньших оснований.

        Когда основания с обеих сторон равны, мы можем приравнять степени и решить.

        Давайте рассмотрим несколько примеров.

        • Если ( ⁵ √3) ^3x+7 = 3 ^2x , найти x?

        (3 ^1/5 ) ^3x+7 = 3 ^2x → (3x+7)/5 = 2x → x = 1.

        No related posts.