Умножение матриц 3х3 онлайн: Онлайн калькулятор. Умножение матриц

Матрицы и определители — презентация онлайн

Похожие презентации:

Матрицы и определители

Матрицы и определители

Матрицы и определители

Матрицы, определители. Обратная матрица. Ранг матрицы. Системы линейных уравнений элементы векторной алгебры

Матрицы и определители. (Лекция 1)

Матрицы и определители

Матрицы. Действия над матрицами. Определители и их свойства

Матрицы и определители

Матрицы и определители. (Тема 1)

Матрицы и определители

Матрицы и
определители
Матрицей размера m x n называется
прямоугольная таблица чисел,
содержащая m строк и n столбцов.
Числа, составляющие матрицу, называются
элементами матрицы.
Обозначение:
A
— матрица размерности m x n
aij
— элемент матрицы i –ой строки и j -го
столбца,
m n
где
i=1,2…m
j=1,2…n
a11
a21
A (aij )
m n
…
a
m1
a12
a22
…
am 2
. .. a1n

… a2 n
… …
… amn
Две матрицы называются равными, если
у них одинаковая размерность и
совпадают строки и столбцы.
Если число строк матрицы равно числу ее
столбцов, то такая матрица называется
квадратной.
0 2
1
A 2 4
5
0 3 1
— квадратная матрица размерности 3х3
Элементы матрицы aij , у которых номер
столбца совпадает с номером строки,
называются диагональными.
Если в квадратной матрице все
диагональные элементы равны 1, а
остальные элементы равны 0, то
она называется единичной.
1
0
E
…
0
0 … 0
1 … 0
… … …
0 … 1
Матрица любого размера называется
нулевой, если все ее элементы равны 0.
0
0
…
0
0 … 0
0 … 0
… … …
0 … 0
Матрица, состоящая из одной строки,
называется матрицей-строкой или
вектором-строкой.
A (a11 a12 … a1n )
Матрица, состоящая из одного столбца,
называется матрицей-столбцом или
вектором-столбцом.
b11
b21
B
b
n1
С
помощью матриц удобно
различного рода зависимости.
Например:
Распределение
экономики:
ресурсов
по
описывать
отраслям
Ресурсы
Промышленность
с/хозяйство
Эл.
энергия
Труд.
ресурсы
Водные
ресурсы
8
7.2
5
3
4.5
5.5
Эту зависимость можно представить в виде
матрицы:
8 7 .2
A 5
3
3 2
4 .5 5 .5
Где элемент aij показывает сколько i – го
ресурса потребляет j – отрасль.
Например, a32 показывает, сколько воды
потребляет сельское хозяйство.
Чтобы умножить матрицу на число, надо
каждый элемент матрицы умножить на
это число.
Полученные
произведения
итоговую матрицу.
образуют
Пусть дана матрица
A (aij )
m n
Умножаем ее на число λ:
A B
Где каждый элемент матрицы В:
bij aij
Где:
i 1,2…m
j 1,2…n
Например:
Умножая матрицу
2 3 0
A
1 0 4
на число 2, получим:
2 2 3 2 0 2 4 6 0
A 2
1 2 0 2 4 2 2 0 8
Складываются матрицы одинаковой
размерности. Получается матрица той же
размерности, каждый элемент которой
равен сумме соответствующих
элементов исходных матриц.
Пусть даны матрицы
Складываем их:
A (aij )
B (bij )
A B C
Где каждый элемент матрицы С:
cij aij bij
Аналогично проводится вычитание матриц.
Найти сумму и разность матриц:
2 3 0
A
1 0 4
0 2 3
B
1 5 2
2 1 3
A B
2 5 6
2 5 3
A B
0 5 2
Умножение матриц возможно, если число
столбцов первой матрицы равно числу строк
второй.
Тогда каждый элемент полученной матрицы
равен сумме произведений элементов i – ой
строки
первой
матрицы
на
соответствующие элементы j-го столбца
второй.
Пусть даны матрицы
A (aij )
m k
B (bij )
k n
Умножаем их:
A B C
m k k n
m n
Где каждый элемент матрицы С:
cij ai1b1 j ai 2b2 j … aik bkj
i 1,2…m
j 1,2…n
Найти произведение матриц:
2 3 0
A
1 0 4
1 0
B 1 4
0 2
Число столбцов первой матрицы равно
числу строк второй, следовательно их
произведение существует:
2 1 3 1 0 0 2 0 3 4 0 2 5 12
A B
2 3 3 2
1 1 0 1 4 0 1 0 0 4 4 2 1 8
Теперь перемножим матрицы в обратном
порядке:
1 2 0 1 1 3 0 0 1 0 0 4 2 3 0
B A 1 2 4 1 1 3 4 0 1 0 4 4 6 3 16
3 2 2 3
0 2 2 1 0 3 4 0 0 0 2 4 2 0 8
Умножение
матриц
некоммутативно:
в
A B B A
общем
случае
Перечисленные операции над матрицами
обладают следующими свойствами:
1
А+В=В+А
2
(А+В)+С=А+(В+С)
3
λ(А+В)= λА+λВ
4
А(В+С)=АВ+АС
5
А(ВС)=(АВ)С
Матрица АТ называется
транспонированной к матрице А, если
в ней поменяли местами строки
и столбцы.
a11
a21
A
m n
…
a
m1
a12
a22
…
am 2
… a1n
… a2 n
… …
… amn
a11 a21
a12 a22
T
A
n m
… …
a1n a2 n
… am1
… am 2
… …
… amn
1
(АТ)Т=А
2
(А+В)Т=АТ+ВТ
3
(λА)Т= λАТ
4
(АВ)Т=ВТАТ
Транспонировать матрицу:
1 2 3
A 4 5 6
7 8 9
1 4 7
T
A 2 5 8
3 6 9

English     Русский Правила

Матрица преобразований

Матрица преобразований применяется для вычисления новых координат объекта при его трансформации. Изменяя значения элементов матрицы преобразования, к объектам можно применять любые трансформации (например: масштабирование, зеркальное отражение, поворот, перемещение и т. п.). При любой трансформации сохраняется параллельность линий объекта.

Координаты в PDF выражаются в терминах двумерного пространства. Точка (x, y) в пространстве может быть выражена в векторной форме [x y 1]. Постоянный третий элемент этого вектора (1) нужен для использования вектора с матрицами 3х3 в вычислениях, описанных ниже.

Преобразование между двумя системами координат представлено, как матрица 3х3 и записывается следующим образом:

Координатные преобразования выражаются в виде матричных умножений:

Так как последняя колонка не оказывает ни какого влияния на результаты расчета, то она в вычислениях не принимает участия. Координаты трансформации высчитываются по следующим формулам:

Единичная матрица

Единичной матрицей называется, та у которой значения матрицы a и d равны 1, а остальные равны 0. Такая матрица применяется по умолчанию, так как не приводит к трансформации. Поэтому единичную матрицу используют как основу.

Масштабирование

Для увеличения или уменьшения размера объекта по горизонтали/вертикали следует изменить значение a или d соответственно, а остальные применить из единичной матрицы.

Например: Для увеличения размера объекта в два раза по горизонтали, значение a необходимо принять равным 2, а остальные оставить такими как в единичной матрице.

Высчитываем новые координаты объекта:

Отражение

Чтобы получить зеркальное отображение объекта по горизонтали следует установить значение

a = -1, по вертикали d = -1. Изменение обеих значений применяется для одновременного отображения по горизонтали и вертикали.

Наклон

Наклон объекта по вертикали/горизонтали обеспечивается изменением значений b и c соответственно. Изменение значения b/-b — наклон вверх/вниз, c/-c – вправо/влево.

Например: Для наклона объекта по вертикали вверх установим значение b = 1

Высчитываем новые координаты объекта:

В итоге к наклону объекта приводит только координата y, которая увеличивается на значение x.

Поворот

Поворот — это комбинация масштабирования и наклона, но для сохранения начальных пропорций объекта, преобразования должны проводится с точными вычислениями при использовании синусов и косинусов.

Сам поворот происходит против часовой стрелки, α задаёт угол поворота в градусах.

Перемещение

Перемещение осуществляется изменением значений e (по горизонтали) и f (по вертикали). Значения задаются в пикселях.

Например: Перемещение с использованием матрицы применяется редко из-за того, что эту операцию можно проделать другими методами, например, изменить положение объекта во вкладке Геометрия.

Поскольку матрица трансформации имеет только шесть элементов, которые могут быть изменены, визуально она отображается в PDF [a b c d e f]. Такая матрица может представлять любое линейное преобразование из одной координатной системы в другую.

Матрицы преобразований образуются следующим образом:

• Перемещения указываются как [1 0 0 1 t_x t_y], где t_x и t_y — расстояния от оси системы координат по горизонтали и вертикали, соответственно.
• Масштабирование указывается как [s_x 0 0 s_y 0 0]. Это масштабирует координаты так, что 1 единица в горизонтальном и вертикальном измерениях в новой координатной системе такого же размера, как и s_x и s_y единиц в старой координатной системе соответственно.
• Повороты производятся матрицей [cosθ sinθ −sinθ cosθ 0 0], что соответствует повороту осей координатной системы на θ градусов против часовой стрелки.
• Наклон указывается как [1 tanα tanβ 1 0 0], что соответствует наклону оси x на угол α и оси y на угол β.

На рисунке ниже показаны примеры трансформации. Направления перемещения, угол поворота и наклона, показанные на рисунке, соответствуют положительным значениям элементов матрицы.

Умножения матрицы не коммутативны — порядок, в котором перемножаются матрицы, имеет значение.

В таблице ниже приведены допустимые преобразования и значения матрицы.

Исходный рисунок	Трансформированный рисунок	Матрица	Описание
		1       0 0       2 0       0	Масштаб по вертикали. Если значение матрицы больше 1, объект расширяется, меньше 1 — сжимается.
		2       0 0       1 0       0	Масштаб по горизонтали. Если значение матрицы больше 1, объект расширяется, меньше 1 — сжимается.
		-1      0 0       1 0       0	Отражение по горизонтали.
		1       0 0      -1 0       0	Отражение по вертикали.
		1       1 0       1 0       0	Наклон по вертикали вверх.
		1      -1 0       1 0       0	Наклон по вертикали вниз.
		1       0 1       1 0       0	Наклон по горизонтали вправо.
		1       0 -1      1 0       0	Наклон по горизонтали влево.
		1       0 0       1 0       1	Смещение по вертикали вверх в пикселях.
		1       0 0       1 0      -1	Смещение по вертикали вниз в пикселях.
		1       0 0       1 1       0	Смещение по горизонтали вправо в пикселях.
		1       0 0       1 -1      0	Смещение по горизонтали влево в пикселях.

Несмотря на все выше сказанное, матрица преобразований очень простой и эффективный инструмент для трансформации. Конечно, применять ее, например, для поворота нецелесообразно, так как во вкладке Геометрия имеется функция Поворот, но для отражения объекта она просто необходима.

Калькулятор умножения матриц с шагами, формулой и решением

Введение в калькулятор умножения матриц

Калькулятор умножения матриц — это онлайн-инструмент, который может умножать две матрицы одного порядка. Он применяет формулу умножения к двум матрицам, порядок которых может быть до 4. Он вычисляется поэтапно, чтобы избежать сложности метода умножения матриц.

В матричной алгебре умножение матриц является важным понятием, которое вам всегда нужно для решения умножения матриц 3×3. Находить умножение матриц инструментом онлайн ярче, чем решать его вручную. Мы представляем онлайн-инструмент, который может легко рассчитать расширение.

Формула, используемая программой умножения матричного калькулятора.

Умножение матриц — это одна из операций, выполняемых в матричной алгебре. Но умножение матриц — это не просто сложение и вычитание матриц. Калькулятор умножения следует правилу умножения матриц, а именно:

«Две матрицы можно перемножать, только если они совместимы. Это означает, что для умножения матриц количество столбцов в первой матрице должно равняться количеству строк во второй матрице».

Посмотрим, как выполняется умножение двух матриц порядка 2×2

$$ A \;=\; \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \; И \; \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix} $$

Как умножать матрицы

Есть несколько шагов, чтобы умножить две матрицы с помощью формула умножения матриц:

1. Выберите первую строку матрицы A и первый столбец матрицы B. Умножьте каждую соответствующую запись в выбранной строке и столбце, а затем сложите их. Это даст первый элемент результирующей матрицы.
2. Теперь выберите вторую строку матрицы A и первый столбец матрицы B, умножьте каждый соответствующий элемент выбранной строки и столбца, а затем сложите их. Это даст 2-й элемент столбца результирующей матрицы.
3. Аналогично повторите процедуру, выбрав строки матрицы A и второй столбец матрицы B.

4. Результирующая матрица будет:

   $$ С \;=\; А \раз В \;=\; \begin{bmatrix} a_{11}.b_{11}+a_{12}.b_{12} & a_{11}.b_{12}+a_{12}.b_{22} \\ a_{21} .b_{11}+a_{22}.b_{21} и a_{21}.b_{12}+a_{22}.b_{22} \end{bmatrix} $$

   Или можно записать как:

   $$ С \;=\; \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{bmatrix} $$

Как использовать калькулятор умножения матриц с шагами?

Есть несколько простых шагов для использования этого инструмента. Вот эти шаги:

1. Введите количество строк и столбцов для матрицы A, а затем введите значения всех ее элементов.
2. Теперь снова выберите количество строк и столбцов для матрицы B, а затем запишите значения всех элементов B.
3. Вы можете использовать случайную кнопку для выбора случайных значений A и B вместо того, чтобы писать вручную.
4. Теперь нажмите кнопку расчета.
5. Вы получите результат через несколько секунд после нажатия на кнопку расчета.

Зачем использовать калькулятор умножения матриц?

В математике умножение матриц является важным понятием. Но процедура эта какая-то хитрая и длительная. Многие студенты сталкиваются со многими трудностями при решении задачи умножения матриц. Они игнорируют правила умножения. Поэтому им всегда нужна помощь извне, что облегчает им этот метод. Вот почему учащиеся могут использовать этот инструмент умножения матриц для оценки умножения с помощью пошагового решения.

Преимущества использования Калькулятора формул умножения матриц

Этот инструмент имеет множество полезных применений для улучшения ваших навыков решения задач по математике. Эти преимущества:

1. Это бесплатный онлайн-инструмент, поэтому вам не нужно платить за умножение матрицы 2×2.
2. Матричный калькулятор умножения полезен для учащихся тем, что он решает задачу шаг за шагом, в которой участвует каждое умножение.
Калькулятор умножения матриц
3. экономит ваше время на ручных вычислениях.
4. Может работать с матрицами до 4-го порядка.
5. Калькулятор умножения матриц может быть полезен для решения многих реальных задач.
6. У него есть случайный вариант, который позволяет вам практиковаться со многими вопросами о том, как умножать матрицы.

Хамза Харун

Последнее обновление 05 апреля 2022 г.

Я автор и создатель контента. Мне нравится писать контент на разные темы. Помимо писательства, я SEO-ASO-SMM специалист и любитель футбола.

Калькулятор матрицы стандартной формы — Googlesuche0005

14. 08.2020 · Этот матричный калькулятор использует методы, описанные в «Первом курсе теории кодирования» Рэймонда Хилла [HILL86], для преобразования генераторной матрицы … В этом калькуляторе можно: найти определитель матрицы, ранг, возвести матрицу в степень, найти сумму и произведение матриц, …

Калькулятор собственных значений · Калькулятор определителя · Решение систем линейных

Ähnliche Fragen

Как записать матрицу в стандартной форме?

Как найти стандартную генераторную матрицу?

Как рассчитать матрицу?

Как сделать генераторную матрицу?

Калькулятор матриц — Решатель систем Онлайн — Mathstools

www.mathstools.com › раздел › главная › system_equations_solver

Решатель линейных систем — это калькулятор линейных систем линейных уравнений и матричный калькулятор для квадратных матриц. Он вычисляет собственные значения и …

Калькулятор матриц — Symbolab

www.symbolab.com › . .. › Матрицы и векторы

Бесплатный калькулятор матриц — шаг за шагом решайте матричные операции и функции.

Калькулятор определителя матрицы · Калькулятор обратной матрицы · Калькулятор ранга матрицы

Калькулятор матриц — Calculator.net

www.calculator.net › math

Бесплатный калькулятор для выполнения матричных операций с одной или двумя матрицами, включая сложение и вычитание , умножение, определитель, инверсия или транспонирование.

jordan калькулятор нормальной формы — Wolfram|Alpha

www.wolframalpha.com › input › i=jordan+normal…

jordan калькулятор нормальной формы. естественный язык; Математический ввод. Используйте режим математического ввода, чтобы напрямую вводить математические обозначения из учебника.

Матрицы — Wolfram|Alpha Examples

www.wolframalpha.com › математика › алгебра

Вычисление следа или суммы членов на главной диагонали матрицы. … Сокращение строк.