Упражнения линейные уравнения: «Линейные уравнения» Тренировочные упражнения.

alexxlab / / Разное

Содержание

Упражнения для самостоятельного решения

Найти ранги следующих матриц

Ответы: r(A)=3, r(B)=3, r(C)=2, r(Д)=4.

2.Решение систем линейных уравнений

Система линейных уравнений – это система вида:

(2.1)

где m уравнений с n неизвестными числа – коэффициенты при неизвестных, числа, называемые свободными членами.

Решением системы уравнений (2.1) называется совокупность таких чисел которые обращают все уравнения системы в тождества.

Если система линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. В противном случае она называется несовместной.

Совместная система, имеющая единственное решение, называется определенной, а система, имеющая более одного решения, неопределенной. Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если они имеют одни и те же решения.

Запишем систему (2.1) в матричной форме. Для этого введем обозначения

Тогда система (2.1) , учитывая правила умножения матриц, примет вид: А·Х=В.

    1. Формулы Крамера

Рассмотрим частный случай системы (2.1) , когда матрица А- квадратная, то есть число уравнений равно числу неизвестных (m=n). Если det(A)≠0, то существует обратная матрица и решение системы может быть найдено в матричной форме:

(2.1.1)

Запишем равенство (2.1.1) в развернутом виде

(2.1.2)

Здесь- алгебраические дополнения к элементам матрицы Из (2.1.2) следует

Вводя общепринятые обозначения Δ=detA- определитель системы,записываем кратко формулу для вычисления Аналогично для любой неизвестной х

к имеем

где столбец свободных членов стоит вместо к-го столбца матрицы системы. Таким образом, формулы Крамера в краткой записи имеют вид:

Правило решения линейной системы по формулам Крамера состоит в следующем:

  1. Вычислим определитель системы Δ, и если Δ, то переходим к вычислению определителей

  2. Каждый определитель образуется путем замены к-ого столбца матрицы системы столбцом правых частей.

  3. Применяя формулы (2.1.3.) получим решение.

Пример. Найти решение системы

Решение.

Замечание. При увеличении числа уравнений и неизвестных решение системы уравнений по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы становятся трудоемкими и не применяются. Более удобным является метод Гаусса, использующий элементарные преобразования в матрицах.

    1. Метод Гаусса

Метод Гаусса — это метод последовательных исключений неизвестных с помощью элементарных преобразований системы, состоящий в следующих операциях:

  1. Умножение на число λ 0 обеих частей какого-либо уравнения.

  2. Прибавление к обеим частям какого либо уравнения соответствующих частей любого другого уравнения, умноженного на одно и то же число.

  3. Перестановка уравнений местами.

Такие элементарные преобразования не изменяют решений системы, линейная система переходит в систему, эквивалентную первоначальной системе.

Для простоты рассмотрим сначала систему n уравнений с n неизвестными с невырожденной матрицей системы, т.е. det(A)0, и система имеет единственное решение.

(2. 2.1)

Пусть для определенности коэффициент . Будем умножать первое уравнение на числа и прибавлять его почленно к каждому уравнению с номерами i=2,3,…,n. Получим эквивалентную систему , в которой х1 будет только в первом уравнении.

В качестве второго уравнения возьмем то, в котором коэффициент при х2 не равен нулю и поступая аналогично, исключим х2 из всех уравнений с номерами i = 3, 4, …, n.

Продолжая процесс, после n-1 шагов получим систему вида:

(2.2.2)

матрица которой имеет треугольный вид:

(2.2.3)

Заметим, что в этой квадратной матрице элементы, стоящие на главной диагонали не равны нулю, и ранг матрицы r=n.

Из системы (2.2.2) последовательно находятся все неизвестные, начиная с

Алгоритм метода Гаусса удобно применять, выполняя элементарные преобразования над матрицей системы с приписанным справа столбцом правых частей (так называемая расширенная матрица). Расширенная матрица приводится к треугольному виду, а затем легко найти все неизвестные.

Пример. Найти решение системы методом Гаусса:

. Составим расширенную матрицу системы

. В этой матрице первую строку вычтем из второй и, умноженную на 4, вычтем из третьей. Получим эквивалентную матрицу, определяющую эквивалентную систему уравнений:

— матрица приняла треугольный вид.

Последняя строка матрицы определяет уравнение Вторая строка определяет уравнение Подставляя в него найдем Первая строка матрицы означает первое уравнение Подставляя в него найдем Таким образом, решение системы

Пример. Найти решение методом Гаусса:

Выпишем расширенную матрицу и будем приводить ее к треугольному виду.

. Первую строку, умноженную на 3, вычтем из второй строки, умноженную на 2 из третьей строки, первую строку вычтем из последней строки. Получим матрицу ~

С.

. В матрице вторую строку умножим на –1 и переставим местами вторую и третью строки. Матрица ~С..

. В матрице вторую строку, умноженную на 4, вычтем из третьей строки, вторую строку вычтем из четвертой ~С.

В матрице третью строку разделим на 3, четвертую строку на 6 и переставим местами. Матрица ~С.

. В матрице третью строку умножим на 9 и вычтем из четвертой строки. Матрица ~С.

. В матрице последнюю строку разделим на . Матрица ~С.

. Матрица определяет систему уравнений, эквивалентную исходной системе:

В этой системе , подставим его в третье уравнение. Далее подставим во второе уравнение: Подставим в первое уравнение :

Получили решение Для проверки правильности решения подставим его в исходную систему и убедимся, что оно найдено верно.

Решение уравнений (Вольфсон Г.И.) 6 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Первое свойство уравнений. Иллюстрирующий пример. Формулировка

 

Рассмотрим решение уравнения:

 

Уравнение (2) можно получить из уравнения (1), разделив обе части уравнения на 5.

Число 8 – это корень уравнения (1) и корень уравнения (2).

Сформулируем первое свойство уравнения.

Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, и корни уравнения не изменятся.

 

Применение первого свойства уравнений. Упражнения

 

 

Пример 1.

 

Умножим обе части уравнения на 9. Тогда коэффициент перед  станет целым.

Ответ:

Пример 2.

Умножим обе части уравнения на 10. Тогда коэффициенты перед  станут целыми.

Ответ:

Пример 3.

Разделим обе части уравнения на 20.

Ответ:

Пример 4.

Разделим обе части уравнения на 2,1.

Ответ:

 

Второе свойство уравнений. Иллюстрирующие примеры. Формулировки

 

 

Рассмотрим решение уравнения:

 

Число 4 – это корень уравнения (1) и корень уравнения (2).

Заметим, что уравнение (2) можно было получить, перенеся число +5 из левой части в правую с противоположным знаком:

Сформулируем второе свойство уравнения:

Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный.

Рассмотрим решение еще одного уравнения: .

Вычтем из левой и правой части уравнения . Тогда  останется только в левой части.

Число 4 – это корень уравнения (3) и корень уравнения (4).

Второе свойство уравнений можно сформулировать иначе.

Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то корни уравнения не изменятся. Если из левой и правой части уравнения вычесть одно и то же число, то корни уравнения не изменятся.

 

Применение второго свойства уравнений. Упражнения

 

 

Пример 1.  

 

Воспользуемся вторым свойством уравнений. Принято слагаемые, которые содержат неизвестное, собирать в левой части уравнения, а остальные в правой.

Пример 2.  

Перенесем слагаемые, которые содержат неизвестное, в левую часть, а известные слагаемые в правую часть.

 

Примеры решения более сложных уравнений

 

 

Пример 1.  

 

Сначала раскроем скобки.

Перенесем слагаемые, которые содержат неизвестное, в левую часть, а известные слагаемые в правую часть.

Пример 2.

Воспользуемся основным свойством пропорции. Произведение средних равно произведению крайних.

Раскроем скобки в левой и в правой части уравнения.

Перенесем неизвестное влево, а известное вправо.

 

Линейные уравнения. Определение

 

 

Во всех рассмотренных примерах мы приводили уравнение к виду

 

Уравнения такого вида называют линейными уравнениями с одним неизвестным. Уравнения, которые можно с помощью преобразований привести к такому виду, называют сводящимися к линейным.

 

Упражнение

 

 

При каких значениях переменной  значение выражения  равно значению выражения ?

 

Составим уравнение и решим уравнение.

Перенесем неизвестное влево, а известное вправо.

Ответ: при

 

Текстовая задача

 

 

Условие. Рост мальчика – 75 см и еще половина его роста. Найдите рост мальчика.

 

Решение.

1. Пусть  (см) – половина роста.

Тогда весь рост равен  (см),

с другой стороны, весь рост –  (см).

Составим уравнение:

75 см – половина роста

2.  – весь рост мальчика

Ответ: 150 см.

 

Список литературы

  1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012.
  2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. – Гимназия. 2006.
  3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1989.
  4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5–6 класс. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.
  5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5–6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.
  6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5–6 классов средней школы. – М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Математика (Источник).
  2. Интернет-портал Math-portal. ru (Источник).

 

Домашнее задание

  1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012: № 1333, № 1342 (а, г, ж, л), № 1343.
  2. Другие задания: № 1345, № 1347.

 

8.E: Решение линейных уравнений (упражнения)

  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    5024
    • OpenStax
    • OpenStax

    8.1 — Решение уравнений с использованием свойств вычитания и сложения равенства

    В следующих упражнениях определите, является ли данное число решением уравнения.

    1. х + 16 = 31, х = 15
    2. вес — 8 = 5, вес = 3
    3. −9n = 45, n = 54
    4. 4а = 72, а = 18

    В следующих упражнениях решите уравнение, используя свойство равенства вычитания.

    1. х + 7 = 19
    2. г + 2 = -6
    3. а + \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{3}\)
    4. н + 3,6 = 5,1·

    В следующих упражнениях решите уравнение, используя свойство равенства сложения.

    1. и — 7 = 10
    2. х — 9 = -4
    3. c — \(\dfrac{3}{11} = \dfrac{9}{11}\)
    4. р — 4,8 = 14

    В следующих упражнениях решите уравнение.

    1. п — 12 = 32
    2. г + 16 = -9
    3. f + \(\dfrac{2}{3}\) = 4
    4. д — 3,9 = 8,2
    5. г + 8 — 15 = -3
    6. 7х + 10 — 6х + 3 = 5
    7. 6(n — 1) — 5n = -14
    8. 8(3р + 5) — 23(р — 1) = 35

    В следующих упражнениях переведите каждое английское предложение в алгебраическое уравнение, а затем решите его.

    1. Сумма −6 и m равна 25.
    2. На четыре меньше n равно 13.

    В следующих упражнениях преобразуйте в алгебраическое уравнение и решите.

    1. Дочери Рошель 11 лет. Ее сын на 3 года младше. Сколько лет ее сыну?
    2. Тан весит 146 фунтов. Мин весит на 15 фунтов больше, чем Тан. Сколько весит Мин?
    3. Питер заплатил 9,75 доллара за поход в кино, что на 46,25 доллара меньше, чем он заплатил за концерт. Сколько он заплатил за концерт?
    4. На этой неделе Элисса заработала 152,84 доллара, что на 21,65 доллара больше, чем на прошлой неделе. Сколько она заработала на прошлой неделе?

    8.2 — Решение уравнений с использованием свойства деления и умножения равенства

    В следующих упражнениях решите каждое уравнение, используя свойство равенства деления.

    1. 8x = 72
    2. 13а = −65
    3. 0,25р = 5,25
    4. −y = 4

    В следующих упражнениях решите каждое уравнение, используя свойство равенства умножения.

    1. \(\dfrac{n}{6}\) = 18
    2. г −10 = 30
    3. 36 = \(\dfrac{3}{4}\)x
    4. \(\dfrac{5}{8} u = \dfrac{15}{16}\)

    В следующих упражнениях решите каждое уравнение.

    1. −18 м = −72
    2. \(\dfrac{c}{9}\) = 36
    3. 0,45х = 6,75
    4. \(\dfrac{11}{12} = \dfrac{2}{3} y\)
    5. 5р — 3р + 9р = 35 — 2
    6. 24x + 8x — 11x = -7−14

    8.3 — Решение уравнений с переменными и константами с обеих сторон

    В следующих упражнениях решите уравнения с константами с обеих сторон.

    1. 8р + 7 = 47
    2. 10 Вт — 5 = 65
    3. 3x + 19 = −47
    4. 32 = −4 − 9n

    В следующих упражнениях решите уравнения с переменными в обеих частях.

    1. 7 лет = 6 лет − 13
    2. 5а + 21 = 2а
    3. к = -6к — 35
    4. 4x — \(\dfrac{3}{8}\) = 3x

    В следующих упражнениях решите уравнения с константами и переменными с обеих сторон.

    1. 12x — 9 = 3x + 45
    2. 5n — 20 = -7n — 80
    3. 4и + 16 = -19 — и
    4. \(\dfrac{5}{8} с\) — 4 = \(\dfrac{3}{8} с\) + 4

    В следующих упражнениях решите каждое линейное уравнение, используя общую стратегию.

    1. 6(х + 6) = 24
    2. 9 (2п — 5) = 72
    3. — (с + 4) = 18
    4. 8 + 3(n — 9) = 17
    5. 23 — 3(у — 7) = 8
    6. \(\dfrac{1}{3}\)(6m + 21) = m — 7
    7. 8(г — 2) = 6(г + 10)
    8. 5 + 7(2 — 5х) = 2(9х + 1) — (13х — 57)
    9. 4 (3,5 года + 0,25) = 365
    10. 0,25 (д — 8) = 0,1 (д + 7)

    8.4 — Решение уравнений с дробями или десятичными коэффициентами

    В следующих упражнениях решите каждое уравнение, удалив дроби.

    1. \(\dfrac{2}{5} n — \dfrac{1}{10} = \dfrac{7}{10}\)
    2. \(\dfrac{1}{3} х + \dfrac{1}{5} х = 8\)
    3. \(\dfrac{3}{4} а — \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{2} а + \dfrac{5}{6}\)
    4. \(\dfrac{1}{2}\)(k + 3) = \(\dfrac{1}{3}\)(k + 16)

    В следующих упражнениях решите каждое уравнение, удалив десятичные дроби.

    1. 0,8х — 0,3 = 0,7х + 0,2
    2. 0,36 а + 2,55 = 0,41 а + 6,8
    3. 0,6р — 1,9 = 0,78р + 1,7
    4. 0,10d + 0,05(d — 4) = 2,05

    ПРАКТИЧЕСКИЙ ТЕСТ

    1. Определите, является ли каждое число решением уравнения. 3х + 5 = 23.
      1. 6
      2. \(\dfrac{23}{5}\)

    В следующих упражнениях решите каждое уравнение.

    1. п — 18 = 31
    2. 9с = 144
    3. 4 года — 8 = 16
    4. -8x — 15 + 9x — 1 = -21
    5. −15а = 120
    6. \(\dfrac{2}{3}\)x = 6
    7. х + 3,8 = 8,2
    8. 10 лет = −5 лет + 60
    9. 8н + 2 = 6н + 12
    10. 9 м — 2 — 4 м + м = 42 — 8
    11. -5(2x + 1) = 45
    12. — (д + 9) = 23
    13. \(\dfrac{1}{3}\)(6m + 21) = m — 7
    14. 2(6х + 5) — 8 = -22
    15. 8(3а + 5) — 7(4а — 3) = 20 — 3а
    16. \(\dfrac{1}{4} p + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{2}\)
    17. 0,1d + 0,25(d + 8) = 4,1
    18. Переведи и реши: Разница удвоенного x и 4 равна 16.
    19. На этой неделе Сэмюэл заплатил за бензин 25,82 доллара, что на 3,47 доллара меньше, чем на прошлой неделе. Сколько он заплатил на прошлой неделе?

    Авторы и авторство

    1. Наверх
      • Была ли эта статья полезной?
      1. Тип изделия
        Раздел или Страница
        Автор
        ОпенСтакс
        Лицензия
        СС BY
        Версия лицензии
        4,0
        Показать страницу TOC
        нет
      2. Теги
          На этой странице нет тегов.

      Математические упражнения и математические задачи: задачи с формулами

       

       

       

       

      Туристы размещены в 3 гостиницах. Во второй гостинице на 8 туристов больше, чем в первой, а в третьей гостинице на 14 туристов больше, чем во второй. Если всего 258 туристов, сколько туристов размещено в каждой из гостиниц?

       

      Сестры Джейн и Дейн сэкономили в общей сложности 220 €. Они собираются в путешествие, и Джейн хочет взять пятую часть своих сбережений, а Дейн хочет четверть ее. Если они это сделают, у них будет 50 € вместе. Сколько евро сэкономил каждый из них?

       

      Числитель дроби на 2 меньше знаменателя. Если числитель этой дроби уменьшить на единицу, а знаменатель увеличить на 3, то дробь будет равна ¼. Определите дробь.

       

      Три маляра должны покрасить мост. Первый сделает эту работу за 5 дней, второй — за 6, а третий — за 7,5 дня. Сколько времени потребуется, чтобы покрасить мост, если они будут работать вместе?

       

      На фабрике работает 1440 человек (мужчины и женщины). За результаты выше среднего 18,75% всех мужчин и 22,5% всех женщин получили премию. Общее количество награжденных сотрудников составляет 20%. Сколько женщин и сколько мужчин работает на фабрике?

       

      Пригородный поезд отправился со станции А в 10 часов со скоростью 55 км/ч. Через полтора часа со станции В, которая находится в 360 км от станции А, вышел экспресс, который шел навстречу пригородному поезду со скоростью 130 км/ч. В какое время и на каком расстоянии от станции А встретятся два поезда?

       

      Длина прямоугольника на 12 см больше, чем три его ширины. Периметр прямоугольника равен 104 см. Каковы длины сторон?

       

      Расстояние между городами А и В составляет 42 км. Пешеход выезжает из города А со скоростью 6 км/ч в противоположную сторону от города В. Велосипедист выезжает из города В на полчаса позже пешехода со скоростью 24 км/ч. Через сколько часов велосипедист доедет до пешехода и на каком расстоянии он будет от города B?

       

      В 15 комнатах проживает 51 студент. Часть комнат 4-х местные, а остальные 3-х местные. Сколько из них с 4 кроватями и сколько с 3 кроватями, если две кровати в общем номере свободны?

       

      Поверхности двух кубов отличаются на 19 272 см 2 . У одного из них край длиннее на 22 см, чем у другого. Вычислите длины ребер обоих кубов.

       

      Морская вода содержит 5% соли. Сколько кг пресной воды нужно добавить к 40 кг морской воды, чтобы уменьшить содержание солей до 2%?

       

      Плотина заполняется первым притоком за 1 час 10 минут, вторым притоком за 60 минут. За сколько минут заполнится половина плотины по обоим притокам, если второй приток откроется через 12 минут после первого?

       

      Один тракторист вспахал бы поле за 15 часов, второй тракторист, на более мощной машине, сделал бы ту же работу за 12 часов. За какое время они вместе вспахают поле, если второй тракторист начнет пахоту на 2 часа позже первого?

       

      Отцу 48 лет, есть сын 21 год. Сколько лет назад отец был в 10 раз старше сына?

       

      После первой поездки автомобиль израсходовал 20% топлива в баке. После второй поездки автомобиль израсходовал 10% от суммы, оставшейся после первой поездки. После двух поездок в баке осталось 9 литров топлива. Сколько литров топлива было изначально в баке?

       

      Мастерская закупила 40 штук садовых инструментов. Лопаты стоят 16 евро за штуку, а мотыги — 18 евро за штуку. Цена всех инструментов вместе составила 690 €. Подсчитайте, сколько лопат и сколько мотыг купила мастерская.

       

      Половина учащихся девятых классов хотят учиться в техникумах, четверть — в средних профессиональных училищах, шестая часть — в гимназиях и трое не хотят продолжать учебу. Сколько учеников в классе ?

       

      Вычислите длину стороны квадрата и длины сторон прямоугольника, если одна сторона прямоугольника на 5 см длиннее стороны квадрата, а другая сторона прямоугольника на 2 см короче стороны квадрата. Площадь прямоугольника 11 см 2 больше площади квадрата.

       

      Скорый поезд добирается от начальной до конечной станции за 4 часа 20 минут. Более медленный пригородный поезд, средняя скорость которого на 30 км/ч ниже, может проделать тот же путь за 7 часов 40 минут. Какова скорость скорого поезда и какова скорость пригородного поезда?

       

      Школьная столовая на 141 воспитанника должна закупить два вида десертов на общую сумму 300 евро. Дешевый десерт стоит 2 евро, а дорогой – 2,50 евро. Сколько десертов нужно купить каждого вида?

       

      Площадь квадрата и прямоугольника одинакова. Длина прямоугольника в 9 раз больше стороны квадрата. Ширина прямоугольника на 6 меньше стороны квадрата. Вычислите длину стороны квадрата.

       

      Длина участка на 8 м короче его ширины в три раза. Если мы увеличим его ширину на 5% от длины и уменьшим длину на 14% от ширины, периметр участка увеличится на 30 м. Какова длина и ширина участка?

       

      Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел равна 1201.

      No related posts.

      Добавить комментарий

      Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *