Упрощение выражений с косинусами и синусами: Упрощение тригонометрических выражений

Тригонометрические выражения. Профильный уровень 10 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Тригонометрические функции углов

 

В жизни мы описываем не только объекты, но и отношения между ними: например, дружба, любовь – на них не укажешь пальцем, однако мы не только говорим про них, но и изучаем (целые романы посвящены отношениям между людьми).

 

В математике отношение объектов тоже является объектом для изучения. Так, функция – это отношение двух множеств (соответствие между их элементами) (см. рис. 1).

Рис. 1. График функции

Угол на плоскости можно рассматривать как отношение между двумя прямыми (см. рис. 2). При этом стороны угла могут быть не ограничены лучами или конечными отрезками, но его величина меняться не будет – это важное свойство, которое мы можем использовать при измерении.

Рис. 2. Угол на плоскости

Другое важное свойство – это ограниченность угла. Если отрезок можно взять сколь угодно большой длины, то угол ограничен полным кругом (см. рис. 3).

Рис. 3. Угол ограничен полным кругом

Именно на этом основана идея измерения углов в градусах: максимальный угол делим на некоторое количество одинаковых частей (договорились, что их будет ), тогда величина угла будет равна количеству таких единиц (градусов), которые в него вмещаются (см. рис. 4).

Рис. 4. Угол равный

Но такой способ измерения не всегда удобен. Треугольник однозначно задается тремя своими сторонами. Значит, углы можно связать с длинами. Это позволит решать разные задачи: например, зная длины отрезков, находить углы и наоборот.

Вспомним, что угол не зависит от длины своих сторон. Если рассмотреть прямоугольные треугольники с острыми углами , то все такие треугольники будут подобны (см. рис. 5).

Рис. 5. Подобные прямоугольные треугольники с острыми углами

То есть отношение длин их соответствующих сторон будет одинаковым:

Более того, если взять треугольник с другим острым углом, то такие отношения будут отличаться.

Получаем, что острый угол прямоугольного треугольника однозначно задает отношение длин его сторон, и наоборот. То есть можно ввести различные функции острого угла, что мы уже и сделали на уроках геометрии 8-го класса.

Всего можно выделить 6 различных соотношений, каждое из которых имеет свое название (см. рис. 6):

Рис. 6. Прямоугольный треугольник

1. синус – отношение противолежащего данному углу катета к гипотенузе: 
2. косинус – отношение прилежащего к данному углу катета к гипотенузе: 
3. тангенс – отношение противолежащего данному углу катета к прилежащему катету: 
4. котангенс – отношение прилежащего к данному углу катета к противолежащему катету: 
5. секанс – отношение гипотенузы к катету, прилежащему к данному углу: 
6. косеканс – отношение гипотенузы к катету, противолежащему данному углу: 

На самом деле, чтобы связать угол и длины сторон прямоугольного треугольника, нам достаточно всего одной функции, например, синуса. По известному синусу можно восстановить значения всех остальных функций (мы тренировались это делать с использованием основных тригонометрических тождеств). Поэтому можно было бы выразить все остальные соотношения длин сторон прямоугольного треугольника через синус. Но эти формулы получаются довольно громоздкими, а тригонометрические функции очень часто встречаются при решении различных задач, поэтому всем им дали отдельные названия и для каждой исследовали свойства. Правда, это не касается секанса и косеканса – они встречаются редко и легко выражаются через синус и косинус. По этой же причине иногда отдельно не выделяют свойства котангенса – это просто обратное значение тангенса. В дальнейшем мы в основном будем рассматривать синус, косинус, тангенс и иногда котангенс.

Подчеркнем еще одно важное свойство – так как значение синуса не зависит от длин сторон, то можно его посчитать один раз для конкретного треугольника, а затем использовать полученное значение для данного угла в любом треугольнике. Раньше для этих целей составляли специальные таблицы (самая известная – таблица Брадиса (см. рис. 7)), сейчас в любом телефоне значение тригонометрических функций любого угла можно посчитать на калькуляторе (правда для этого используются более сложные алгоритмы, связанные с представлениями этих функций в виде многочленов, но в школьном курсе мы это рассматривать не будем).

Рис. 7. Таблица Брадиса

 

Взаимосвязь тригонометрических функций

 

 

Вспомним, как связаны между собой тригонометрические функции:

 

Это основные соотношения, из них можно вывести и другие:

 

Тригонометрические функции от  до

 

 

Мы ввели тригонометрические функции только для острых углов, но для решения геометрических задач этого недостаточно. Можно расширить понятие тригонометрических функций для произвольных углов – от нулевого до развернутого ( Это удобно сделать с помощью единичной окружности – окружности с центром в начале координат и радиусом  (см. рис. 8).

 

Рис. 8. Единичная окружность

Рассмотрим точку на окружности , лежащую в первой четверти (см. рис. 9). Ее координаты зависят от острого угла , отложенного от положительного направления оси  против часовой стрелки (мы будем откладывать угол против часовой стрелки – это договоренность, можно было бы двигаться и по часовой стрелке). Рассмотрев прямоугольный треугольник, получим, что абсцисса точки  равна косинусу угла ; ордината равна синусу угла  (см. рис. 9).

Рис. 9. Абсцисса точки  равна , а ордината равна

При расширении инструмента важно, чтобы новое определение не противоречило старому, поэтому расширим полученный результат для произвольного положения точки. Косинусом и синусом угла  будем называть координаты  и  точки .

При этом, чтобы сохранить рассмотренные ранее соотношения для тригонометрических функций, мы определим тангенс и котангенс так:

Обратите внимание, что для острых углов по значению любой из тригонометрических функций можно было однозначно восстановить значения всех остальных, используя основные тригонометрические тождества. Для произвольных углов это уже не так. К примеру, если синус угла равен , то косинус угла может равняться как , так и  (чтобы сумма их квадратов равнялась ).

Таким образом, зная, что угол острый, мы имели дополнительную информацию, хотя могло показаться, что мы ее и не используем. Теперь же, чтобы однозначно восстановить все тригонометрические функции по значению одной, нужно еще указать четверть, в которой находится точка , то есть нужна дополнительная информация. Подробнее об этом мы поговорим на практическом занятии.

 

Расширение понятия «угол»

 

 

В геометрии мы определили понятие угла так: это часть плоскости между двумя лучами, проведенными из одной точки. Это накладывает ограничения на величину угла: минимальный – это нулевой угол (), максимальный – полный (). Но термин «угол» можно встретить не только в геометрии. Например, мы можем сказать об угле поворота.

 

Так, выполняя команду «Направо», солдат поворачивается на ; выполняя команду кругом – на . Фигуристка в прыжке может сделать  полный оборот – повернуться на . Пока что мы не выходили за рамки геометрического понятия угла. Все указанные углы можно изобразить так: до и после поворота рисуем лучи вдоль линии зрения (см. рис. 10).

Рис. 10. Изображенные углы , ,

Но как нарисовать угол поворота, если фигуристка сделала полтора оборота? Как раньше нарисовать не получится – полученный угол ничем не будет отличаться от угла, соответствующего половине оборота, то есть  (см. рис. 11). Более того, и углы в ;  и т.д. оборота будут на рисунке выглядеть одинаково. Чтобы различать такие углы, придется расширить само понятие угла.

Рис. 11. Изображенный угол

Итак, фигуристка сделала полтора оборота. Это один полный поворот на  и еще разворот на . Угол поворота мы определим как сумму этих величин:

Еще пример: во время прыжков спортсмен сделал тройное сальто и вошел воду. Вокруг своей оси он сделал  полных оборота – это  поворота на  (), и еще половину — . Итого угол поворота составит:

В общем случае, угол поворота равен:

При повороте нужно учесть и его направление: по часовой стрелке или против. Для этого удобно использовать давно известный нам инструмент – отрицательные числа. Угол поворота принято считать положительным, если поворот происходит против часовой стрелки; отрицательным –  если по часовой (см. рис. 12).

Рис. 12. Направление угла поворота

Таким образом, мы расширили понятие угла: ввели углы больше  и отрицательные углы.

 

Тригонометрические функции произвольных углов

 

 

Вернемся к единичной окружности. Возьмем луч  и будем поворачивать его на угол . Для отрицательных  мы просто получим поворот против часовой стрелки и соответствующую точку  (см. рис. 13).

 

Рис. 13. Тригонометрические функции для отрицательного угла

Для , больших , мы сделаем один или несколько полных оборотов и снова получим некоторую точку  (см. рис. 14). Координаты этой точки мы и будем называть синусом и косинусом этого угла. При этом все описанные ранее свойства тригонометрических функций будут выполняться и для обобщенного понятия угла.

Рис. 14. Тригонометрические функции для угла, большего

Обратите внимание, что для расширенного понятия угла уже не получится восстановить угол по значению его тригонометрических функций, даже если известна координатная четверть. Например, если точка  расположена таким образом (см. рис. 15), то угол  может равняться , ,  и т.д.

Рис. 15. По значению тригонометрических функций не получится восстановить угол

Но такая неоднозначность не должна нас пугать, мы с ней часто встречаемся в жизни. Так, у каждого человека есть размер обуви, но по размеру обуви восстановить человека, которому эта обувь принадлежит, не получится (иначе бы детективам было очень просто).

Другой пример – часы. Если вы находитесь в комнате без окон, то по этим часам не сможете определить, сейчас 12 часов дня или ночи. А, если не выходили из нее больше суток, то не сможете определить даже какого именно дня или ночи сейчас 12 часов.

Мы обсуждали, зачем нужны тригонометрические функции для геометрических углов понятно: с их помощью мы можем вычислять длины и углы. А зачем они нужны для обобщенного понятия угла? Как минимум, для описания вращательного движения – ведь именно на примере поворотов мы обобщали понятие угла. Но кроме вращения тригонометрические функции произвольного угла помогают описать любое повторяющееся движение: механические колебания, звуковые волны, распространение света. Также они нашли применение в обработке данных и моделировании процессов.

 

Значения тригонометрических функций углов

 

 

Теперь поговорим о значениях тригонометрических функций для различных углов. И для начала вспомним, что кроме градусов, углы еще можно измерять в радианах.  радиан – это центральный угол, которому соответствует длина дуги, равная радиусу окружности.

 

Полная окружность будет соответствовать углу в  радиан (так как она содержит  длин радиусов ). Тогда  радиан соответствует углу . Составив пропорцию, можно перевести любой другой угол из градусов в радианы и наоборот:

Теперь перейдем непосредственно к значениям тригонометрических функций. Мы будем рассматривать значения только косинуса и синуса. Значения тангенса и котангенса можно будет легко вычислить, используя их определение:

1) Для некоторых острых углов можно получить точные значения тригонометрических функций, рассмотрев соответствующие прямоугольные треугольники. Из треугольника с углами  и  (используя свойство катета, лежащего против угла в ):

Из прямоугольного треугольника с углами по  (используя то, что он равнобедренный):

2) Для углов , , и  значения синуса и косинуса удобно найти с помощью единичной окружности. Этим углам соответствуют точки на координатных осях.  Смотрим на координаты точек и записываем (см. рис. 16):

Рис. 16. Единичная окружность

Для наглядности составим таблицу всех полученных значений:

Градусы
Радианы
Cos
Sin

3) Для остальных углов значения синуса и косинуса можно найти приближенно с помощью таблиц Брадиса, или просто воспользовавшись калькулятором. При вычислениях на калькуляторе обращайте внимание, в каких единицах вы вводите значение: градусах или радианах!

Теперь давайте посмотрим, как можно без калькулятора вычислить косинусы и синусы некоторых других углов. Мы научимся выражать их через значения тригонометрических функций острых углов. Эти навыки могут быть полезны, ведь калькулятор дает лишь приближенное значение, а для некоторых острых углов мы знаем точные значения. Кроме того, эти выражения мы сможем использовать и в тех случаях, когда нам не задано значение угла, но нужно упростить выражение.

Но в целом большинство формул, которые мы получим сейчас и будем получать в дальнейшем, будут нужны лишь для отработки техники решения различных заданий, в которых встречаются тригонометрические функции. На практике они встречаются довольно редко.

Итак, если мы знаем значение тригонометрических функций для угла , то мы можем их найти и для следующих углов:

1) для угла  эти формулы мы уже знаем:

2) для угла . Отрицательный угол означает поворот по часовой стрелке. Соответствующая точка  будет симметрична точке  относительно оси  (см. рис. 17).

Значит, их координаты  равны, а координаты  – противоположны. Получим соотношения:

Как мы уже знаем, это говорит о том, что синус – нечетная функция, а косинус – четная. Несложно убедиться, что тангенс и котангенс – нечетные функции.

Рис. 17. Точка  симметрична точке  относительно оси

3) Для угла  . Чтобы получить этот угол, нужно повернуть луч еще на . Мы получим точку , симметричную точке  относительно начала координат (см. рис. 18). Координаты этих точек противоположны:

Рис. 18. Точку , симметрична точке  относительно начала координат

4) Для угла . Чтобы получить этот угол, нужно повернуть луч на . При этом мы сделаем полный оборот и снова попадем в эту же точку. Тогда:

Рассмотренные формулы называют формулами приведения.

Ведь комбинируя эти формулы, можно привести косинус и синус любого угла к значению функций для острого угла. Этим мы займемся на практическом занятии.

Забегая немного наперед, отметим, что  – это период функции косинуса и синуса. То есть это такой минимальный промежуток, через который значения функции повторяются.

А вот у тангенса и котангенса период равен . Ведь для любого :

Аналогичные выкладки можно сделать и для котангенса.

 

Формулы двойного аргумента

 

 

Как мы уже отмечали, формулы приведения позволяют не только вычислять значения функций без калькулятора, но и помогают упрощать выражения. Давайте рассмотрим еще ряд формул, которые также могут пригодиться как при расчете значений функций, так и при упрощении выражений.

 

В формулах приведения мы прибавляли к аргументу определенные значения: , , . Посмотрим, как будут выглядеть формулы при добавлении произвольного значения :

Чтобы получить аналогичные формулы для разности, достаточно заменить  на . При этом:

В итоге получим формулы:

С выводом этих формул вы можете ознакомиться ниже.

---

 

Вывод формул суммы и разности косинусов и синусов

Начнем с доказательства формулы косинуса разности. Рассмотрим на единичной окружности две точки:  и  (см. рис. 1).

Рис. 1. Рассматриваемые точки  и

Им соответствуют углы  и , их координаты:  Тогда координаты векторов будут такие же:

Угол между этими векторами:

Если , то:

В любом случае:

То есть:

Вычислим этот косинус с помощью скалярного произведения:

Заменив  на , получим:

Теперь получим формулу синуса суммы. Воспользуемся формулой приведения:

Применим формулу косинуса разности:

Снова используя формулы приведения, получим ответ:

Заменив  на , получим:

---

Если в этих выражениях  заменить на , то мы получим часто использующиеся для упрощения выражений формулы двойного аргумента:

Все рассмотренные формулы можно применять для упрощения выражений как в одну, так и в другую сторону. Мы это потренируемся делать на практическом занятии.

Используя основное тригонометрическое тождество, можно получить еще несколько выражений для косинуса двойного угла:

Выразим из них  и :

Эти выражения называют формулами понижения степени, ведь они позволяют перейти от квадрата тригонометрической функции к тригонометрической функции первой степени. Еще их называют формулами половинного аргумента, ведь, зная  мы сможем найти косинус и синус половины этого угла. Это позволит записать, к примеру, точное значение синуса и косинуса :

Синус острого угла – положительная величина. Значит:

Аналогично:

 

Формулы суммы, разности аргументов, формулы двойного и половинного аргумента можно записать и для тангенса и котангенса. Для этого достаточно записать определение этих функций через синус и косинус и преобразовать выражение. А это уже технические моменты, над которыми мы поработаем на практическом занятии.  

 

Сумма и произведение тригонометрических функций

 

 

Познакомимся еще с некоторыми формулами, которые помогут упростить выражение, содержащее тригонометрические функции. Вернемся к формулам косинуса суммы и разности:

 

Сложив левые и правые части выражений, получим:

Полученная формула позволяет преобразовать сумму косинусов в произведение и наоборот. Чтобы ее было удобнее применять слева направо, введем новые обозначения:

Получим:

Снова вернемся к косинусу суммы и разности. Вычтя их второго равенства первое, получим:

Или для применения формулы слева направо:

Рассмотрев формулы синуса сумма и разности, можно получить соответствующие выражения для синусов.

Сложив, получим:

Делаем замену:

Получаем:

При вычитании получим:

Все указанные формулы позволяют упростить выражения, преобразовав сумму косинусов и синусов в их произведение или наоборот. При желании эти формулы можно запомнить или же найти их в справочнике. Или же можно помнить, как они выводятся. Тогда достаточно будет знать лишь формулы косинуса и синуса суммы.

 

Заключение

 

 

Итак, сегодня мы рассмотрели множество формул, которые помогают преобразовывать тригонометрические выражения. Конечно, на практике такое большое количество формул не применяется, нам они будут нужны для отработки техники преобразований различных тригонометрических выражений. Этой техникой мы займемся на практическом занятии.

 

 

Список рекомендованной литературы:

1. Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Учебник. ФГОС, издательство «Просвещение», 2019.
2. Мордкович А.Г., Семенов П.В., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Учебник, издательство «Мнемозина», 2019.
3. Колмогоров А.Н., Дудинцев Ю.П., Абрамов А.М. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Учебник, издательство «Просвещение», 2019.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет:

1. Ин­тер­нет-пор­тал «yaklass.​ru»
2. Ин­тер­нет-пор­тал «cleverstudents.ru»
3. Ин­тер­нет-пор­тал «ru.solverbook.com»

 

Рекомендованное домашнее задание.

1. На единичной окружности построить точку, полученную поворотом точки  на угол .
2. Определить знак , если .
3. Доказать тождество: 

 

Упрощение тригонометрических выражений

Упрощение тригонометрических выражений

Равенства

1)sin² t + cos² t = 1( синус квадрат тэ плюс косинус квадрат тэ равно одному)

2)tg t = , при t ≠ + πk, kϵZ( тангенс тэ равно отношению синуса тэ к косинусу тэ при тэ не равном пи на два плюс пи ка, ка принадлежит зэт)

3)ctg t = , при t ≠ πk, kϵZ( котангенс тэ равно отношению косинуса тэ к синусу тэ при тэ не равном пи ка, ка принадлежит зэт).

4)tg t ∙ ctg t = 1 при t ≠ , kϵZ (произведение тангенса тэ на котангенс тэ равно одному при тэ не равном пи ка, деленное на два, ка принадлежит зэт)

называют основными тригонометрическими тождествами.

Часто они используются при упрощении и доказательстве тригонометрических выражений.

Рассмотрим примеры использования этих формул при упрощении тригонометрических выражений.

ПРИМЕР 1.Упростить выражение: cos² t – cos⁴ t + sin⁴ t . (выражение а косинус квадрат тэ минус косинус четвертой степени тэ плюс синус четвертой степени тэ).

Решение. cos² t – cos⁴ t + sin⁴ t = cos² t∙ ( 1 — cos² t) + sin⁴ t =cos² t ∙ sin² t + sin⁴ t = sin² t (cos² t + sin² t) = sin² t·1= sin² t

( вынесем за скобку общий множитель косинус квадрат тэ, в скобках получим разность единицы и квадрата косинуса тэ, что равно по первому тождеству квадрату синуса тэ. Получим сумму синус четвертой степени тэ произведения косинус квадрат тэ и синус квадрат тэ. общий множитель синус квадрат тэ вынесем за скобки, в скобках получим сумму квадратов косинуса и синуса, что по основному тригонометрическому тождеству равно единице. В итоге получим квадрат синуса тэ).

ПРИМЕР 2.Упростить выражение: + .

(выражение бэ сумма двух дробей в числителе первой косинус тэ в знаменателе единица минус синус тэ , в числителе второй косинус тэ в знаменателе второй единица плюс синус тэ).

Решение. + = ( + )= ∙ =

= ∙ = .

( Вынесем общий множитель косинус тэ за скобки, а в скобках приведем к общему знаменателю, который представляет собой произведение один минус синус тэ на один плюс синус тэ.

В числителе получим: единица плюс синус тэ плюс единица минус синус тэ, приводим подобные, числитель равен двум после приведения подобных.

В знаменателе можно применить формулу сокращенного умножения (разность квадратов) и получить разность единицы и квадрата синуса тэ, что по основному тригонометрическому тождеству

равно квадрату косинуса тэ. После сокращения на косинус тэ получим конечный ответ : два деленное на косинус тэ).

Рассмотрим примеры использования этих формул при доказательстве тригонометрических выражений.

ПРИМЕР 3. Доказать тождество (tg ² t – sin ² t) ∙ ctg ² t = sin ² t (произведение разности квадратов тангенса тэ и синуса тэ на квадрат котангенса тэ равно квадрату синуса тэ).

Доказательство.

Преобразуем левую часть равенства:

(tg ² t – sin ² t) ∙ ctg ² t = tg ² t ∙ ctg ² t — sin ² t ∙ ctg ² t = 1 — sin ² t ∙ ctg ² t =1 — sin ² t ∙ = 1 – cos ² t = sin ² t

( Раскроем скобки, из ранее полученного соотношения известно, что произведение квадратов тангенса тэ на котангенс тэ равно единице. Вспомним, что котангенс тэ равен отношению косинуса тэ на синус тэ, значит, квадрат котангенса это отношение квадрата косинуса тэ на квадрат синуса тэ. После сокращения на синус квадрат тэ получим разность единицы и косинуса квадрата тэ, что равно синусу квадрату тэ). Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР 4.Найти значение выражения tg ² t + ctg ² t ,если tg t + ctg t = 6.

( сумма квадратов тангенса тэ и котангенса тэ, если сумма тангенса и котангенса равна шести).

Решение. (tg t + ctg t)² = 6²

tg ² t + 2 ∙ tg t ∙ctg t + ctg ² t = 36

tg ² t + 2 + ctg ² t = 36

tg ² t + ctg ² t = 36-2

tg ² t + ctg ² t = 34

Возведем обе части исходного равенства в квадрат:

(tg t + ctg t)² = 6² ( квадрат суммы тангенса тэ и котангенса тэ равна шести в квадрате). Вспомним формулу сокращённого умножения: Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй. (a+b)²=a²+2ab+b² Получим tg ² t + 2 ∙ tg t ∙ctg t + ctg ² t = 36 (тангенс квадрат тэ плюс удвоенное произведение тангенса тэ на котангенс тэ плюс котангенс квадрат тэ равно тридцати шести).

Так как произведение тангенса тэ на котангенс тэ равно единице, то tg ² t + 2 + ctg ² t = 36 ( сумма квадратов тангенса тэ и котангенса тэ и двух равна тридцати шести),

значит tg ² t + ctg ² t = 34 (сумма квадратов тангенса тэ и котангенса тэ равна тридцати четырем). Ответ: 34.

Упрощение тригонометрических выражений

Для упрощения тригонометрических выражений необходимо знать тригонометрические тождества и алгебраические правила. Полезно следовать некоторым общим правилам:

1. Если тригонометрические функции содержат разные углы, мы пытаемся свести их к функциям только одного угла, используя, например, кофункции и тождества редукции или формулы двойного угла.
2. Если тригонометрическое выражение содержит большое количество функций, необходимо сократить количество функций до минимума. Для этого используются тождества приведения, тригонометрические тождества Пифагора и другие формулы.
3. Если нам нужно уменьшить мощность компонента в триггерном выражении, мы применяем тождества половинного угла или формулы уменьшения мощности. Только надо помнить, что при уменьшении мощности в 2 раза аргумент удваивается.

Используя эти тождества и формулы, мы можем преобразовать любое тригонометрическое выражение в рациональное выражение, содержащее только одну функцию с одним аргументом.

Щелкните или коснитесь проблемы, чтобы увидеть решение.

Пример 1

Упростите тригонометрическое выражение:

\[\frac{{\sin 6\alpha}}{{\sin 2\alpha}} + \frac{{\cos \left( {6\alpha — \ pi } \right)}}{{\cos 2\alpha }}.\]

Пример 2

Упростим тригонометрическое выражение:

\[\frac{{1 — \cos \left( {8\alpha — 3\pi } \right)}}{{\tan 2\alpha — \cot 2\alpha }}.\]

Пример 3

Упростим тригонометрическое выражение:

\[\frac{{1 + \cot 2\alpha \cot \alpha}}{{\tan \alpha + \cot \alpha}}.\] 94}2\alpha . \]

Пример 6

Упрощение:

\[\frac{{\sin \left( {4\alpha + \frac{{5\pi}}}{2}} \right) }}{{1 + \cos \left( {4\alpha — \frac{{3\pi }}{2}} \right)}}.\]

Пример 7

Упрощение:

\[\ frac {{\ tan \ alpha + \ tan \ beta}} {\ tan \ left ( {\ alpha + \ beta} \ right)}} + \ frac {{\ tan \ alpha — \ tan \ beta}} { {\tan \left( {\alpha — \beta} \right)}}.\]

Пример 8

Упрощение:

\[\frac{{\sin \left({\alpha — \beta} \ справа) — \ грех \ влево ( {\ бета — \ альфа} \ справа)}} {{\ соз \ влево ( {\ альфа — \ бета} \ справа) + \ соз \ влево ( {\ бета — \ альфа} \справа)}}.\]

Пример 1.

Упростим тригонометрическое выражение: \pi } \right)}}{{\cos 2\alpha}}.\]

Раствор.

Функция косинуса четная, поэтому \(\cos \left( {6\alpha — \pi } \right) = \cos \left( {\pi — 6\alpha } \right).\) Используя тождество редукции , у нас есть

\[A = \frac{{\sin 6\alpha}}{{\sin 2\alpha}} + \frac{{\cos\left({6\alpha — \pi} \right)}}{{ \cos 2\alpha}} = \frac{{\sin 6\alpha}}{{\sin 2\alpha}} + \frac{{\cos\left({\pi — 6\alpha} \right)} }{{\cos 2\alpha}} = \frac{{\sin 6\alpha}}{{\sin 2\alpha}} — \frac{{\cos 6\alpha}}}{{\cos 2\alpha }}. \]

Привести к общему знаменателю и применить формулу сложения синуса:

\[A = \frac{{\sin 6\alpha}}{{\sin 2\alpha}} — \frac{{\cos 6\alpha}}{{\cos 2\alpha}} = \frac{ {\ грех 6 \ альфа \ соз 2 \ альфа — \ соз 6 \ альфа \ грех 2 \ альфа}} {{\ грех 2 \ альфа \ соз 2 \ альфа}} = \ гидроразрыва {{\ грех \ влево ( {6 \alpha — 2\alpha} \right)}}{{\sin 2\alpha \cos 2\alpha}} = \frac{{\sin 4\alpha}}{{\sin 2\alpha \cos 2\alpha }}.\]

Из двухугольного тождества получаем

\[A = \frac{{\sin 4\alpha}}}{{\sin 2\alpha \cos 2\alpha}} = \frac{{2\cancel{{\sin 2\alpha}}}\cancel{ {\cos 2\alpha}}}}{{\cancel{{\sin 2\alpha}}\cancel{{\cos 2\alpha}}}} = 2.\]

Пример 2.

Упростим тригонометрическое выражение:

\[\frac{{1 — \cos \left( {8\alpha — 3\pi } \right)}}{{\tan 2\alpha — \cot 2\альфа }}.\]

Раствор.

Напомним, что косинус — четная периодическая функция с периодом \(2\pi.\). Следовательно,

\[\cos \left( {8\alpha — 3\pi } \right) = \cos \left( {8\alpha — \pi } \right) = \cos \left( {\pi — 8\alpha } \справа). \]

Используя формулу приведения для косинуса и выражая тангенс и котангенс через синус и косинус, мы имеем 92}\alpha } \right)}}}}{{\cot \alpha }}}} = \frac{{\cot \alpha}}{2}.\]

Пример 4.

Упростим тригонометрическое выражение:

\[\frac{{1 — \tan \left( {\pi — 2\alpha } \right)\tan \alpha}}{{\tan \left( {\ frac {{3 \ pi}} {2} — \ alpha } \ right) + \ tan \ alpha }}. \]

Раствор.

Используя тождества редукции и кофункции, мы имеем

\[\tan \left({\pi — 2\alpha} \right) = — \tan 2\alpha,\]

\[\tan \left( {\frac{{3\pi}}{2} — \alpha} \right) = \cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha}}.\]

Следовательно, исходное выражение записывается как

\[A = \frac{{1 — \tan \left({\pi — 2\alpha} \right)\tan \alpha}}{{\tan \left({\frac{{3\pi}} {2} — \ alpha } \ right) + \ tan \ alpha }} = \ frac {{1 + \ tan 2 \ alpha \ tan \ alpha }} {{\ frac {1} {{\ tan \ alpha }} + \загар \альфа }}.\]

Используйте формулу двойного угла для тангенса:

\[\tan 2\alpha = \frac{{2\tan \alpha}}{{1 — {{\tan }^2}\alpha}}. \] 92}4\альфа = \cos 8\альфа .\]

Пример 6.

Упрощение:

\[\frac{{\sin \left( {4\alpha + \frac{{5\pi }}{2}} \right)}}{{1 + \cos \left( {4\alpha — \frac{{3\pi }}{2}} \right)}}.\]

Раствор.

Используя периодичность триггерных функций, выразим их как функции одного и того же угла:

\[\sin \left( {4\alpha + \frac{{5\pi }}{2}} \right) = \sin \left( {4\alpha + \underbrace {2\pi + \frac{ \pi }{2}}_{\frac{{5\pi}}{2}}} \right) = \sin \left( {4\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) ,\]

\[\cos \left( {4\alpha — \frac{{3\pi }}{2}} \right) = \cos \left( {4\alpha — \frac{{3\pi }}{ 2} + 2\pi } \right) = \cos\left( {4\alpha + \frac{\pi }{2}} \right).\]

Тогда мы можем написать:

\[A = \frac{{\sin\left( {4\alpha + \frac{{5\pi}}}{2}} \right)}}{{1 + \cos \left( {4\alpha — \frac{{3\pi}}{2}} \right)}} = \frac{{\sin\left( {4\alpha + \frac{\pi}}{2}} \right)}}{ {1 + \cos\left( {4\alpha + \frac{\pi }{2}} \right)}}.\]

Теперь применить замену касательной половины угла: 92}\left( {2\alpha + \frac{\pi }{4}} \right)} \right)}}}} = \tan \left( {2\alpha + \frac{\pi }{4 }} \справа). \]

Пример 7.

Упрощение:

\[\frac{{\tan \alpha + \tan \beta}}{{\tan \left( {\alpha + \beta} \right)}} + \frac{ {\ загар \ альфа — \ загар \ бета}} {\ загар \ влево ( {\ альфа — \ бета} \ вправо)}}. \]

Раствор.

Вспомните формулы сложения и вычитания для тангенса:

\[\tan \left( {\alpha + \beta} \right) = \frac{{\tan \alpha + \tan \beta}}{{1 — \tan \alpha \tan \beta}},\ ]

\[\tan \left( {\alpha — \beta} \right) = \frac{{\tan \alpha — \tan \beta}}{{1 + \tan \alpha \tan \beta}}.\ ]

Тогда имеем:

\[\ frac {{\ tan \ alpha + \ tan \ beta}} {\ tan \left( {\ alpha + \ beta } \right)}} + \ frac {{\ tan \ alpha — \ tan \ бета}}{{\tan \left({\alpha — \beta} \right)}} = \frac{{\cancel{{\tan \alpha + \tan\beta}}}}{{\frac{{ \cancel{{\tan \alpha + \tan \beta}}}}{{1 — \tan \alpha \tan \beta}}}} + \frac{{\cancel{{\tan \alpha — \tan \ бета }}}}{{\ frac {{\cancel{{\tan \alpha — \tan \beta}}}}{{1 + \tan \alpha \tan \beta}}}} = 1 — \cancel{ {\ tan \ alpha \ tan \ beta}} + 1 + \ cancel {{\ tan \ alpha \ tan \ beta}} = 2. \]

Пример 8.

Упрощение:

\[\frac {{\sin \left({\alpha — \beta} \right) — \sin \left({\beta — \alpha} \right)}}{ {\ cos \ left ( {\ alpha — \ beta } \ right) + \ cos \ left ( {\ beta — \ alpha } \ right)}}. \]

Раствор.

Используя тождество суммы и произведения, числитель можно записать как

\[\ sin \left( {\alpha — \beta} \right) — \sin \left({\beta — \alpha} \right) = 2\cos \frac{{\cancel{\alpha} — \ отмена {\ бета} + \ отмена {\ бета} — \ отмена {\ альфа}}} {2} \ грех \ гидроразрыва {{\ альфа — \ бета — \ влево ({\ бета — \ альфа} \ вправо)} }{2} = 2\cos 0\sin \left( {\alpha — \beta} \right) = 2\sin \left({\alpha — \beta} \right).\]

Аналогично знаменатель представляется в виде

\[\cos \left({\alpha — \beta} \right) + \cos \left({\beta — \alpha} \right) = 2\cos \frac{{\cancel{\alpha} — \ отмена {\ бета} + \ отмена {\ бета} — \ отмена {\ альфа}}} {2} \ соз \ гидроразрыва {{\ альфа — \ бета — \ влево ({\ бета — \ альфа} \ вправо)} }{2} = 2\cos 0\cos \left( {\alpha — \beta} \right) = 2\cos \left({\alpha — \beta} \right). \]

Следовательно,

\[\ frac {{\ грех \ влево ( {\ альфа — \ бета} \ вправо) — \ грех \ влево ( {\ бета — \ альфа} \ вправо)}} {{\ соз \ влево ( {\ альфа — \beta} \right) + \cos \left( {\beta — \alpha} \right)}} = \frac{{\cancel{2}\sin\left({\alpha — \beta} \right) }}{{\cancel{2}\cos\left({\alpha — \beta} \right)}} = \tan \left({\alpha — \beta} \right).\]

Дополнительные проблемы см. на стр. 2.

Упрощение тригонометрических выражений с использованием тождеств, пример 1

Упрощение тригонометрических выражений с использованием тождеств, пример 1 | Каналы для Pearson+

Последние каналы

• Тригонометрия

Химия

• Общая химия
• Органическая химия
90 247 Аналитическая химия
• GOB Химия
• Биохимия

Биология

• Общая биология
• Микробиология
• Анатомия и физиология
• Генетика
• Клеточная биология

Математика

• Колледж Алгебра
• Тригонометрия
• Предварительное исчисление

Физика

• Физика

Бизнес

• Микроэкономика
• Макроэкономика
• Финансовый учет

Общественные науки

• Психология

Начните печатать, затем используйте стрелки вверх и вниз, чтобы выбрать вариант из списка.

Колледж ТригонометрияТригонометрические тождества и уравненияПроверка тригонометрических тождествОсновные тригонометрические тождества для проверки тождеств

patrickJMT

101views

Было ли это полезно?

Похожие видео

Тождества суммы и разности для синуса и косинуса, пример 3

patrickJMT

214views

Подтверждение личности — другие примеры, пример 1

patrickJMT

182views

Использование тождеств с двойным углом для решения уравнений, пример 2

patrickJMT

181 views

Тождества суммы и разности для синуса и косинуса, пример 2

patrickJMT

100views

Тождества суммы и разности для упрощения выражения, пример 1

patrickJMT

106views

Доказательство тождества, пример 2

patrickJMT

171views

Тригонометрические тождества: как их получить и запомнить. Часть 3 из 3

patrickJMT

76views

Тождества для синуса, косинуса и тангенса, пример 1

patrickJMT

152views

Тождества для суммы и разности синуса и косинуса, пример 3

patrickJMT

95views

Использование тождеств двойного угла для решения уравнений, пример 3

patrickJMT

50views

Получение тригонометрических тождеств из известных тождеств

patrickJMT

119views

Тождества суммы и разности для синуса и косинуса ine, Пример 1

patrickJMT

140views

Тождества половинных углов для вычисления тригонометрических выражений, пример 1

patrickJMT

69views

Тригонометрические тождества: как их вывести/запомнить – Часть 1 из 3

patrickJMT

155 представлений

Тождества для суммы и разности синуса и косинуса, пример 1

patrickJMT

54 представления

Сумма и разность тождеств для упрощения выражения, пример 3 9000 3

patrickJMT

98просмотров

Проверка тригонометрических тождеств

Миссис Igo’s Classroom

277 просмотров

Кофункции тождества, пример 2

patrickJMT

117 просмотров

Половинные тождества углов для вычисления тригонометрических выражений, пример 3

patrickJMT

90просмотров

Доказательство тождества, пример 1

patrickJMT

55просмотров

Упрощение тригонометрических выражений с помощью тождеств, пример 1 9000 3

patrickJMT

101views

Использование тождеств с двойным углом для решения уравнений, пример 1

patrickJMT

278views

Доказательство некоторых случайных тригонометрических тождеств

patrickJMT

110views

Проверка тригонометрических тождеств

Объяснения профессора Дэйва

126 представлений

Проверка тригонометрических тождеств: фундаментальные тождества Выражение, пример 2

patrickJMT

91views

Упрощение тригонометрических выражений с использованием тождеств, Пример 3

patrickJMT

94просмотра

Подтверждение личности — Другие примеры, пример 2

patrickJMT

91 представление

Тождества половинного угла для вычисления тригонометрических выражений, пример 2

patrickJMT

129 представлений Ine and Tangent, Ex 2

patrickJMT

109views

Тригонометрические тождества

patrickJMT

82views

Тригонометрические тождества для вычисления выражений.