Упрощение алгебраических выражений — GMATsyllabus.com
Алгебра — это просто форма арифметики, в которой символы (обычно буквы) обозначают числа. Вы используете алгебру для решения уравнений и нахождения значения переменной. Алгебра основана на арифметических операциях и на понятии неизвестной величины, или переменной . Такие буквы, как x или n, используются для обозначения неизвестных величин. Например, предположим, что у A на 5 карандашей больше, чем у B, тогда количество карандашей у A равно B+5.
Алгебраические термины
Хотя GMAT специально не проверяет вас на определение переменных, констант и коэффициентов, он предполагает, что вы знаете эти понятия, когда они встречаются в вопросах.
Вы увидите много переменных в задачах по алгебре. Это символы, обозначающие числа. Обычно символы имеют форму букв и представляют собой определенные числовые значения. Значение переменных может меняться в зависимости от уравнения, в котором они находятся.
Например, если в магазине устанавливаются разные цены на яблоки и апельсины, а вы покупаете два яблока и четыре апельсина, то, чтобы выразить транзакцию в алгебраических терминах, вы используете переменные для обозначения по цене яблок и апельсинов, что-то вроде 2а и 4о.
Напротив, константы – это числа, значения которых не меняются в конкретной задаче. Буквы также могут использоваться для обозначения констант, но они не меняют свое значение в уравнении, как переменные.
Отдельные константы и переменные или константы и переменные, сгруппированные вместе, образуют термина. Термины – это любой набор переменных или констант, которые можно умножить или поделить, чтобы получить единую единицу в уравнении. Вы можете объединить эти отдельные части в уравнение, в котором применяется сложение или вычитание. Например, следующее алгебраическое выражение состоит из трех членов: ax 2 + бх + в. Первый член — это ax 2 , второй член — это bx, а третий член — это c.
Термины часто образуют выражения . Алгебраическое выражение – это набор терминов, которые объединяются путем сложения или вычитания и часто группируются круглыми скобками, например (x + 2), (x – 3c) и (2x –3y).
Коэффициент — это число или символ, который служит мерой свойства или характеристики. В 2a + 4o переменными являются a и o, а числа 2 и 4 – это коэффициенты переменных. Это означает, что коэффициент переменной a равен 2, а коэффициент переменной o равен 4.
В алгебраическом выражении термины, включающие одну и ту же переменную, даже если они имеют разные коэффициенты, называются так же, как термины . Например, в выражении 3x + 4y – 2x + y, 3x и –2x подобны термам, потому что они оба содержат одну переменную x; 4y и y также похожи на термины, потому что они оба содержат переменную y и только переменную y. Вы можете комбинировать (добавлять или вычитать) похожие термины вместе, но вы не можете комбинировать разные термины.
Типы выражений
Выражения имеют определенные имена в зависимости от того, сколько терминов они содержат.
Одночлен — это выражение, содержащее только один член, например 4x или ax 2 . Поэтому моном также называют термином в алгебраическом выражении.
Многочлен (поли означает много) – это выражение, содержащее более одного члена. Эти несколько терминов можно складывать или вычитать друг из друга. Например, а 2 — б 2 или ab 2 + 2ab + c. Многочлены могут быть более конкретными, в зависимости от того, сколько членов они содержат. Например, двучлен – это особый вид многочлена, который содержит два члена, например a + b или 2a + 3. Трехчлен – это многочлен с тремя членами, например 4 x 2 + 3y – 8.
Известный трехчлен, с которым вы должны быть хорошо знакомы для GMAT, – это выражение, известное как квадратичный многочлен , который равен ax 2 + bx + c.
Упрощение алгебраических уравнений
Такие символы, как +, –, × и ÷, являются общими для арифметики и алгебры. Они символизируют операции, которые вы выполняете с числами. Арифметика использует числа с известными значениями, например 5 + 7 = 12, в своих операциях, но алгебраические операции имеют дело с неизвестными, например x + y = z. Это алгебраическое уравнение не может дать точное числовое значение, потому что вы не знаете, что обозначают x, y и z.
При работе с алгебраическими выражениями необходимо упростить их с помощью факторизации или объединения подобных терминов . Например, выражение 6x + 5x эквивалентно (6+5)x или 11x. В выражении 9x — 3y множитель 3 является общим для обоих членов: 9x — 3y = 3(3x-y). В выражении 5x 2 + 6y нет ни одинаковых членов, ни общих множителей.
При наличии общих множителей в числителе и знаменателе выражения их можно разделить при условии, что они не равны нулю.
Чтобы умножить два алгебраических выражения, каждый член одного выражения умножается на каждый член другого выражения.
Например:
(3x — 4)(9y + x) = 3x(9y + x) — 4(9y + x) = (3x)(9y) + (3x)(x) + (-4)(9y) + ( -4)(x) = 27xy + 3x 2 — 36y — 4x
Алгебраическое выражение можно вычислить, подставив значения неизвестных в выражение. Например, если x = 3 и y = -2, то 3xy — x 2 + y можно оценить как 3(3)(-2) — (3) 2 + (-2) = -18 — 9 — 2 = -29.
Метод FOIL для умножения двучленов
Вы можете умножать двучлены, используя метод FOIL. ФОЛЬГА – это аббревиатура от 9 0099 первый, внешний, внутренний, последний , который указывает порядок, в котором вы умножаете члены одного двучлена на члены второго двучлена, прежде чем складывать их произведения. Например,
(4x — 5)(3x + 8)
Умножьте первые члены каждого двучлена: 4x и 3x.
4x × 3x = 12x 2
Затем умножьте внешние члены (4x и 8), чтобы получить 32x, и внутренние члены (3x и -5), чтобы получить -15x. Вы можете добавить продукты на этом этапе, потому что они похожи на термины.
32x — 15x = 17x
Наконец, умножьте последние члены.
-5 × 8 = -40
Объедините произведения, чтобы получить результирующее выражение. Итак,
(4x — 5)(3x + 8) = 12x 2 + 17x — 40
Формулы для алгебры
+ б) 2 = а 2 + 2аб + б 2
(а — б) 2 = а 2 — 2аб + б 2
Факторинг Многочлены
Факторы – это числа, которые нужно перемножить, чтобы получить произведение. Таким образом, разложение значения на множители означает, что вы записываете это значение как произведение его факторов. Для GMAT вы должны знать, как выделить общие множители в выражениях и два биномиальных множителя в квадратичном многочлене.
Чтобы упростить полиномы для сложных задач, извлеките их общие множители, разделив каждый член на множители, общие для каждого члена. Например, чтобы найти общие множители слагаемых в выражении — 14х 3 — 35x 6 , выполните следующие действия:
1.
Рассмотрим коэффициенты
Поскольку –7 является общим для –14 и –35, уберите этот множитель из выражения, разделив оба члена на – 7. Затем поместите оставшееся выражение в круглые скобки рядом с общим множителем: -7(2x 3
2. Посмотрите на переменные
, потому что x 3 или кратное этому является общим к обоим терминам, разделите оба термина в скобках на x 3 , умножьте x3 на другой общий множитель (–7) и заключите оставшееся выражение в круглые скобки.
Итак, — 14x 3 — 35x 6 = -7x 3 (2 + 5x 3 )
Видео с вопросами.
Учитывая, что 𝑧 = −1/4, найдите числовое значение ((−8𝑧)⁴ × 𝑧²)/16𝑧³.
Стенограмма видео
Учитывая, что 𝑧 равно отрицательному значению
одна четвертая, найдите числовое значение отрицательных восьми 𝑧 в четвертой степени, умноженное на
𝑧 в квадрате на 16𝑧 в кубе.
Начиная с этого выражения, мы хотим получить его в простейшей форме, прежде чем мы попытаемся вычислить его числовое значение. ценить. Упрощая, мы хотим избавиться этих скобок. Мы помним, что 𝑥 раз 𝑦 до 𝑎 степень равна 𝑥 степени 𝑎 𝑦 степени 𝑎, так что у нас есть минус восемь в четвертой степени умножить на 𝑧 в четвертой степени умножить на 𝑧 в квадрате. Когда мы подведем знаменатель 16𝑧 в кубе, мы можем сделать сокращение между числителем и знаменателем. 𝑥 к 𝑎 власть над 𝑥 от двух до мощность 𝑏 равна 𝑥 𝑎 минус мощность 𝑏.
Поскольку у нас есть 𝑧 до четвертого
мощность в числителе и 𝑧 в кубе в знаменателе, 𝑧 в кубе в
знаменатель сокращается, и 𝑧 в четвертой степени в числителе становится 𝑧
в первую степень. Четыре минус три будет один. Больше нет 𝑧-переменных в
в знаменателе, а в числителе 𝑧 в первой степени умножить на 𝑧
в квадрате.
Мы больше не можем упростить это 𝑧-переменная. Но стоит задуматься, если мы можно упростить отрицательную восьмерку до четвертой степени числа 16. Я знаю, что отрицательная восьмерка может иметь коэффициент минус четыре и два. Если я напишу минус восемь в этом Таким образом, мы получили бы отрицательное число четыре в четвертой степени, умноженное на два в четвертой степени. мощность, умноженная на 𝑧 в кубе, больше 16, что полезно спросить, потому что два в четвертом степень равна 16. Таким образом, множитель 16 в числитель и множитель 16 в знаменателе сокращаются.
Теперь у нас есть минус четыре к
четвертая степень, умноженная на 𝑧 в кубе. И мы готовы подключить негатив
одна четверть для 𝑧.
Минус четыре в четвертой степени
раз минус одна четвертая в третьей степени. Если у нас есть 𝑥 над 𝑦 до 𝑎
мощность, которая равна 𝑥 в степени 𝑎 над 𝑦 в степени 𝑎. Если мы разобьем эту дробь, то
имеют отрицательные четыре в четвертой степени, умноженные на отрицательный один в кубе на четыре в кубе. Я хочу разбить эту отрицательную четверку.
в четвертой степени в последний раз, так что у нас есть отрицательная единица в четвертой степени
умножить на четыре в четвертой степени.
Отрицательная единица в четвертой степени
равняется единице. И так как у нас есть четыре куба в
в знаменателе и четыре в четвертой степени в числителе, мы можем сказать, что
иметь четыре в первой степени в числителе. Мы вычитаем эти показатели. Четыре минус три будет один. Четыре в первой степени равно
четыре. И последнюю операцию нам нужно
сделать отрицательный один в кубе.