Упростите выражение онлайн с дробями и степенями: Упрощение выражений · Калькулятор Онлайн

Упрощение рациональных показателей — алгебра среднего уровня

Корни и радикалы

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Упрощать выражения с помощью
• Упростите выражения с помощью
• Используйте свойства показателей для упрощения выражений с рациональными показателями

Прежде чем начать, пройдите этот тест на готовность.

1. Добавить:

   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

2. Упрощение:

   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

3. Упрощение:

   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

Упрощение выражений с помощью

Рациональные показатели — еще один способ записи выражений с радикалами. Когда мы используем рациональные показатели, мы можем применять свойства показателей для упрощения выражений.

Свойство Power for Exponents говорит, что когда

m и n — целые числа. Предположим, что теперь мы не ограничены целыми числами.

Предположим, мы хотим найти число p такое, что мы воспользуемся степенным свойством экспонент, чтобы найти значение p .

Итак, но мы также знаем Тогда должно быть, что

Та же самая логика может быть использована для любого положительного целочисленного показателя n , чтобы показать, что

Рациональный показатель

Если действительное число, то

Знаменатель рационального показателя является индексом радикала.

Будут времена, когда будет проще работать с выражениями, если вы будете использовать рациональные показатели, и времена, когда будет проще использовать радикалы. В первых нескольких примерах вы будете практиковаться в преобразовании выражений между этими двумя обозначениями.

Напишите как радикальное выражение: ⓐ ⓑ ⓒ ⓒ

Мы хотим написать каждое выражение в форме

ⓐ

ⓑ

ⓒ

Напишите как радикальный0005

ⓐⓑⓒ

Запишите как радиальное выражение: ⓐ ⓑ ⓒ

ⓐⓑⓒ

В следующем примере мы запишем каждый радикал, используя рациональный показатель степени. {\frac{1}{4}}\hfill \end{массив}

Запишите с рациональным показателем: ⓐ ⓑ ⓒ

Запишите с рациональным показателем: ⓐ ⓑ ⓒ

В следующем примере вам будет проще упростить выражения, если вы сначала перепишете их как радикалы.

Упрощение: ⓐ ⓑ ⓒ

Упрощение: ⓐ ⓑ ⓒ

ⓐ 6 ⓑ 2 ⓒ 2

Упрощение: ⓐ ⓑ ⓒ

ⓐ 10 ⓑ 3 ⓒ 3

Осторожны с размещением отрицательных признаков в следующий пример. Нам нужно будет использовать свойство в одном случае.

Упрощение: ⓐ ⓑ ⓒ

Упрощение: ⓐ ⓑ ⓒ

ⓐ Нет реального решения ⓑ

ⓒ

Упрощение: ⓐ ⓑ

ⓐ НЕТ реального решения ⓑ

ⓒ

Упростите выражения с помощью

Мы можем смотреть на это двумя способами. Помните, что свойство Power говорит нам умножать степени и так далее, и оба равны. Если мы запишем эти выражения в радикальной форме, мы получим

. Это приводит нас к следующему определению.

Рациональный показатель

Для любых положительных целых чисел m и n ,

Какую форму мы используем для упрощения выражения? Обычно мы сначала берем корень — таким образом, мы сохраняем числа в подкоренной формуле меньше, прежде чем возводить ее в указанную степень.

Запишите с рациональным показателем: ⓐ ⓑ ⓒ

Мы хотим использовать для записи каждого радикала в форме

ⓐ

ⓑ

ⓒ

Запишите с рациональным показателем: ⓐ ⓑ ⓒ

ⓐⓑⓒ

Запишите с рациональным показателем: ⓐ ⓑ ⓒ

Помните, что отрицательный знак в показателе степени не меняет знак выражения.

Упростите: ⓐ ⓑ ⓒ

Сначала мы перепишем выражение как подкоренное, используя определение. Эта форма позволяет нам сначала взять корень, и поэтому мы сохраняем числа в подкоренной формуле меньше, чем если бы мы использовали другую форму.

ⓐ

ⓑ Мы перепишем каждое выражение сначала с использованием, а затем изменим его на радикальную форму.

ⓒ

Упрощение: ⓐ ⓑ ⓒ

ⓐ 9 ⓑ

Упрощение: ⓐ ⓑ ⓒ

ⓐ 8 ⓑ

Упрощение: ⓐ

. ⓑⓒ ненастоящее число

Упрощение: ⓐ ⓑ ⓒ

ⓐⓑⓒ ненастоящее число

Использование свойств экспонент для упрощения выражений с рациональными экспонентами

Те же свойства показателей, которые мы уже использовали, применимы и к рациональным показателям. Мы перечислим здесь свойства Exponets, чтобы иметь их для справки, поскольку мы упрощаем выражения.

Свойства экспонент

Если a и b — действительные числа, а m и n — рациональные числа, то

Мы применим эти свойства в следующем примере.

Упрощение: ⓐ ⓑ ⓒ

ⓐ Свойство продукта говорит нам, что при умножении одного и того же основания мы добавляем показатели степени.

ⓑ Свойство Power говорит нам, что когда мы возводим степень в степень, мы умножаем показатели степени.

ⓒ Свойство частного говорит нам, что при делении на одно и то же основание мы вычитаем показатели степени.

Упрощение: ⓐ ⓑ ⓒ

ⓐⓑⓒ

Упрощение: ⓐ ⓑ ⓒ

ⓐⓑⓒ

Иногда нам нужно использовать более одного свойства. В следующем примере мы будем использовать свойство Product to Power, а затем свойство Power.

Упрощение: ⓐ ⓑ

ⓐ

ⓑ

Упрощайте: ⓐ ⓑ

ⓐⓑ

Упрощайте: ⓐ

ⓐⓑ

Мы будем использовать свойство продукта и котировочное свойство в свойство и котирующее свойство. следующий пример.

Упрощение: ⓐ ⓑ

ⓐ

ⓑ Следуйте порядку операций для упрощения сначала внутри скобок.

Упрощение: ⓐ ⓑ

ⓐⓑ

Упрощение: ⓐ ⓑ

ⓐⓑ

Получите доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики с упрощением рациональных показателей.

• Обзор Rational Exponents
• Использование законов экспонент на радикалах: свойства рациональных экспонент

Ключевые понятия

• Рациональный показатель
  • Если действительное число, то
• Рациональный показатель
  • Для любых положительных целых чисел м и н ,

    и

• Свойства показателей степени
  • Если a, b — действительные числа, а m, n — рациональные числа, то
    • Свойство продукта
    • Силовое имущество
    • Продукт повышенной мощности
    • Частное свойство
    • Определение нулевой степени
    • Частное к степени Свойство
    • Свойство отрицательного экспонента

Практика делает совершенным

Упростите выражения с помощью

В следующих упражнениях напишите подкоренное выражение.

ⓐⓑⓒ

ⓐⓑⓒ

ⓐⓑⓒ

ⓐⓑⓒ

В следующих упражнениях пишите с рациональным показателем степени.

ⓐⓑⓒ

ⓐⓑⓒ

В следующих упражнениях упрощайте.

ⓐ 9Ⓑ 5 ⓒ 8

ⓐ 2 ⓑ 4 ⓒ 5

ⓐ Не реально ⓑ

ⓐ Не реально ⓑ ⓒ

ⓐ Не реально ⓑ ⓒ

Упрощайте выражения с

В следующих упражнениях, напишите с помощью рациональный показатель.

В следующих упражнениях упрощайте.

ⓐ 32,768 ⓑ ⓒ 9

ⓐ 4 ⓑ ⓒ недействительно

ⓐⓑⓒ недействительно Предположим, что все переменные положительны.

ⓐ

ⓑ

ⓐ

ⓑ

ⓐ

ⓑ

ⓐ

ⓑ

Письменные упражнения

Показывают два различных алгебрейских метода, чтобы упростить все свои шаги.

Ответы будут разными.

Объясните, почему выражение нельзя вычислить.

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в выполнении целей этого раздела.

ⓑ Что этот контрольный список говорит вам о вашем мастерстве в этом разделе? Какие шаги вы предпримете для улучшения?

Simplifying Expressions with Negative Exponents

• Expression
• Equation
• Inequality
• Contact us

• Simplify
• Factor
• Expand
• GCF
• LCM

• Solve
• Graph
• System

• Решить
• График
• Система

• Математический решатель на вашем сайте

Рассмотрим выражение

Используя определение отрицательных показателей, мы можем переписать это выражение как сложная фракция:

LCD для сложной дроби 2ab. Обратите внимание, что 2ab также может быть получено из оснований выражений с отрицательными показателями. Чтобы упростить сложная дробь, мы могли бы использовать метод B, как мы это делали. Тем не менее, это нет необходимости переписывать исходное выражение в виде сложной дроби. Следующий пример показывает, как использовать метод B с исходным выражением.

 

Пример 1

Сложная дробь с отрицательными показателями

Упростите сложную дробь

Раствор

Умножение числителя и знаменателя на 2ab, LCD дробей. Помните, что а ^-1 · а = а ⁰ = 1,

		Распределительное имущество

 

Пример 2

Сложная дробь с отрицательными показателями

Упростите сложную дробь

Решение Если бы мы переписали ^-1 , b ^-2 , b ^-2 и a ^-3 , то знаменатели будут a, b ² , b ² и a ³ .