Уравнение касательная: Уравнение касательной к графику функции — урок. Алгебра, 10 класс.

Бесплатные видеоуроки от проекта «Инфоурок»

Большая коллекция из 3243 видеоурока по 20 предметам и различным темам

УченикВероника

УчительЕвгения Вадимовна

Отличный учитель, который всегда вовлекает ученика в процесс, и сам проявляет заинтересованность в успехах ученика. Интересно слушать и работать!

УченикВероника

УчительДарья Максимовна

Дарья Максимовна замечательный, отзывчивый педагог!Обьясняет простым и доступным язык любую сложную тему- это большой плюс!! Спасибо большое моему репетитору, так как я уверена, что ОГЭ сдам на отлично !!

УченикДарья

УчительЕлизавета Владимировна

Очень качественные и продуктивные занятия. Занимаюсь не долго, но уже чувствуется прогресс. Очень милый и добрый преподаватель. Всё понятно объясняет. Мне, очень нравится заниматься математикой с Елизаветой Владимировной.

УченикКарина

УчительАндрей Юрьевич

Мне понравилось заниматься с Андреем Юрьевичем. Впервые встречаю репетитора, который прежде учить языку, рассказывает про его истоки – географию, культуру, историю. Мне очень откликается такой подход. Видно, что преподаватель с большим опытом. Я очень довольна первым занятием! Буду продолжать заниматься с данным преподавателем.

УченикМия

УчительТатьяна Александровна

Ответственная, настойчивая, харизматичная, пунктуальная, высокий уровень проф подготовки, терпеливая. Наша девочка довольна, проявляет явный интерес к урокам и продвинулась в изучаемой теме. Большое спасибо вам и преподавателю Татьяне Александровне.

УченикАлёна

УчительЕлена Петровна

Прекрасный преподаватель. После восьми занятий английский стал намного лучше, многое узнала. Все понятно в объяснении, уроки на позитиве. Благодарна за работу. Искренне рекомендую.

УченикКатя

УчительЕлена Александровна

Все понравилось приятно работать с учителем. Как по мне лучше чем Елена Александровна я еще не видела учителя по русскому языку.

УченикДиана

УчительДиана Михайловна

У Дианы Михайловны занимаются английским языком две дочери: Есения и Ксения. Девочкам очень нравится преподаватель и наполнение уроков, материал преподносится в очень интересной форме, а все объяснения понятны и доступны. Девочки уже показали успехи в изучении английского языка в школе.

УченикДмитрий

УчительСветлана Анатольевна

Дмитрий прошел со Светланой Анатольевной 4 занятия и уже виден прогресс! Мальчик по натуре немного застенчивый, поначалу был немногословен, но уже хорошо разговаривает на уроках, что говорит о профессионализме педагога.

УченикАрина

УчительИрина Сергеевна

Спасибо огромное. Очень рады, что нашли этот ресурс для занятий. Ирина Сергеевна объясняет все быстро, понятно и динамично. Всего за несколько занятий наверстали упущенное по химии и прошли дальше. Обязательно будем обращаться в дальнейшем.

УченикЕлизавета

УчительРимма Николаевна

У Елизаветы есть успехи, занимается с удовольствием и заинтересованностью. Римма Николаевна очень интересно преподносит материал. Очень нравится учитель, занимаемся с удовольствием.

УченикАртём

УчительНина Ивановна

Нам понравилась Нина Ивановна, хороший человек и прекрасный педагог. Очень ответственная, трудолюбивая и толковая. Сразу нашла подход к ученику. Доходчиво объяснит любую тему. Преподаватель, в отличии от многих репетиторов не просто отбывает время, а действительно помогает.

УченикЭдуард

УчительЖанна Сергеевна

Замечательный педагог, нашла подход с первых занятий. Все очень доходчиво и понятно объясняет. Ребенку очень нравится, просит дополнительные часы для занятий.

УченикЛюдмила

УчительРита Ивановна

Добрый день! Рита Ивановна очень профессионально оценила все пробелы моего сына и нам бы хотелось продолжить с ней обучение! Занятия очень хорошие, учитель понятно все объясняет, всем рекомендую.

УченикСветлана

УчительОльга Олеговна

Спасибо Ольге Олеговне за проведённый урок в праздничный день. Здоровья, процветания, побольше радостных событий в жизни, благополучия, успехов и удачи в таком не лёгком и таком нужном труде!!! Спасибо за урок, всё понравилось!

УченикИрина

УчительТатьяна Николаевна

Очень грамотный педагог, хорошо подходит к вопросам с которыми обращаемся, подход к ребенку очень понравился, буквально на 5-8 урок у ребенка был уже прогресс и теперь любит математику. На урок математики приходим с удовольствием, подтянули свои недочеты, решаем быстро примеры, а главное сами. Спасибо за знания!

УченикПолина

УчительСветлана Михайловна

Светлана Михайловна очень хороший учитель, за урок мы разбираем много вопросов и обсуждаем правила русского языка в каждом конкретном примере. Занимаюсь с удовольствием!

УченикМария

УчительДарья Александровна

Замечательный, приятный и внимательный преподаватель. Ребенок сначала засмущался от непривычного формата урока, но Дарья Александровна, в итоге, смогла завоевать внимание и доверие дочери. Обязательно будем продолжать обучение! Спасибо!

УченикАнтон

УчительСветлана Васильевна

Репетитор быстро оценила проблемы, порекомендовала способы восполнения пробелов. Продолжим заниматься дальше, так как Светлана Васильевна доступно объясняет материал, и все сразу становится понятным. Классный репетитор, советую!

УченикСофия

УчительГалина Михайловна

Добрый день! Галина Михайловна — замечательный педагог! Мне все было очень понятно и вообще было приятно общаться! Была непонятна тема : ,, Не /ни с глаголами ,,. После того, как Галина Михайловна объяснила, все трудности были сняты. Огромное спасибо !!! 🙏

УченикЛеонид

УчительЕлена Александровна

На уроке педагог работала по индивидуальной программе, выявила пробелы в знаниях и все доходчиво разъяснила. Сложные темы, объяснили легко и понятно, сыну все очень понравилось!

УченикГалина

УчительТамара Иосифовна

Замечательный педагог и очень доброжелательный человек!!! Тамара Иосифовна очень доходчиво объяснила непонятные для меня моменты, причем из разных тем, за один урок!!! Урок проходил в спокойной и дружественной обстановке. Спасибо большое!!! Очень понравилось!!!

УченикМария

УчительВладимир Григорьевич

Спасибо большое, Вы лучший преподаватель по информатике. Как хорошо, что есть такая замечательная платформа. Спасибо всем, кто ее организовал и Вам лично. Всем друзьям и знакомым буду рекомендавать! онлайн-уроки.

УченикОльга

УчительИрина Ивановна

Очень понравился урок! Ирина Ивановна с первых минут расположил к себе ребёнка так, что даже мой непоседливый и не очень настроенный на учебу пятиклассник увлекся так, что не заметил, как пролетели 45мин. Спасибо! С удовольствием продолжим занятия!

УченикФёдор

УчительНаталия Анатольевна

Как родитель могу сказать, что самое важное — это расположить к себе ребенка. Уже после первого занятия с Наталией Анатольевной я увидела желание заниматься в глазах своей дочери. Занятие проходило очень комфортно. Понравилось, как построена программа проверочного урока.

УченикПолина

УчительМарина Михайловна

Мне очень понравилось вводное занятие, спасибо большое. За пол часа Марина Михайловна с помощью разговора поняла все мои слабые места и помогла многие из них подправить и понять. Я хочу заниматься с ней и далее.

УченикАйсултан

УчительГалина Дмитриевна

Здравствуйте! У нас был пробный урок с Галиной Дмитриевной по математике. Занимались именно логическими задачами. Учитель имеет очень хороший подход к детям и у нее есть своя отработанная хорошая методика. Хорошо объясняет, приятная. Спасибо!

УченикВиктор

УчительЮлия Анатольевна

Спасибо большое учитель объясняет очень хорошо там где ты что либо не поймёшь педагог тебе всё объяснит как раз педагог сказала повторить всё то что мне говорил предыдущий репетитор СПАСИБО БОЛЬШОЕ !!!

УченикМаксим

УчительАлёна Юрьевна

Благодарим за интересное и познавательное занятие! Преподаватель четко и внимательно ведет занятие, обращает внимание на моменты, которые необходимо доработать. Профессионально! Приятно общаться.

УченикАлександр

УчительАнастасия Сергеевна

Добрый день! Мы безумно рады, что нам посчастливилось найти такого замечательного и удивительного педагога, как Анастасия Сергеевна! Она очень интересно проводит урок, ребёнок безумно рад. Сразу чувствуется, что человек талантливый. С нетерпением ждём новый урок.

УченикЕкатерина

УчительСергей Васильевич

Спасибо за урок! Занятие очень понравилось, Сергей Васильевич все понятно и интересно обьясняет, во время урока была доброжелательная атмосфера. Также учитель посоветовал некоторые книги и способы подготовки к экзамену. Спасибо!!!

УченикКарина

УчительГулез Гаджимурадовна

Нравятся все педагоги с которыми мы занмаемся, все обладают высоким уровнем профессионализма,используют интересные и современные методы и технологии обучения. Имеет хороший уровень научно-методической подготовки. Ребенок занимается с большим интересом. Будем заниматься с Вами до окончания школы, сейчас мы в 4 классе)

УченикФеона

УчительНаталия Михайловна

За 45 минут узнала и поняла больше, чем за полгода в школе. Учитель объясняет очень понятно, доходчиво, выше школьного уровня. Однозначно этот урок не последний. С Уважением, Феона.

УченикЕкатерина

УчительНаталья Васильевна

Спасибо, Наталья Васильевна! Профессионально, четко, по делу. Педагог очень терпеливая, спокойная, уверенная. Занятие очень понравилось и ребенку и мне, маме.

УченикМаксим

УчительАлександр Александрович

Спасибо большое Александру Александровичу. Очень быстро нашел подход к ребёнку , а так же увлек математикой! Ребёнку было комфортно общаться. Надеемся встретиться на следующих занятиях.

УченикМарина

УчительНиколай Васильевич

Николай Васильевич помог за короткий срок восполнить пробелы в знаниях, за что очень благодарны! Уроки очень интересные! Будем обращаться еще к нему.

УченикМарина

УчительАлександр Сергеевич

Занятия ребенку с Александром Сергеевичем очень нравятся. Все схватывает, доволен уроками. С репетитором нашли общий язык. Мы очень благодарны Александру Сергеевичу! Хороший педагог. Спасибо.

УченикЕлизавета

УчительАлёна Игоревна

Дети понимают всё, абсолютно. В школе не понимают ничего, а с Вашими репетиторами понимают всё. Сдвиги очень большие. Алёна Игоревна хороший педагог. Все занятия результативные.

УченикДжу Уван Ми

УчительГалина Михайловна

Плохо знаю русский язык, и постоянно делаю многие ошибки в тексте и в работе. Только благодаря достуным объяснениям учителя я мог самостоятельно находить ошибки. Большое спасибо за Вашу работу и сердечные помощи в изучении русского языка!

УченикРоман

УчительИрина Алексеевна

Мой сын занимался с Ириной Алексеевной, очень понравилось, всё спокойно и понятно было показано, рассказано. Очень профессионально и качественно выстроены занятия, учитель доброжелателен, ребенку интересно заниматься.

УченикЖеня

УчительОльга Сергеевна

Ольга Сергеевна — профессинал своего дела. Высококвалифицированный педагог. По английскому нужно было именно аудирование и речь, 100% подобрали репетитора по нашему запросу. Педагог строгий — то, что нужно моему ребёнку. Мы очень довольны!

УченикНикита

УчительСарвар Шодиевич

До этого никогда не занимался у репетиторов, думал что буду сидеть ничего не понимать и всё время уйдёт зря. Однако Сарвар Шодиевич очень понятно объясняет, не подчёркивает ваши «незнания» и до упора старается всё разъяснить. Могу с уверенностью посоветовать этого репетитора каждому, кто хочет разобраться в алгебре и геометрии.

УченикВиктор

УчительЮлия Анатольевна

Спасибо большое учитель объясняет очень хорошо там где ты что либо не поймёшь педагог тебе всё объяснит как раз педагог сказала повторить всё то что мне говорил предыдущий репетитор СПАСИБО БОЛЬШОЕ !!!

УченикЭльмира

УчительЛюдмила Евгеньевна

Выражаю благодарность центру где есть такие сильные и ответственные учителя. Отдельная благодарность Людмиле Евгеньевне за опыт за знания.

УченикДарья

УчительОльга Александровна

Ольга Александровна отлично объясняет темы, с ребенком нашла общий язык моментально. Дочь занимается с удовольствием, пробелы подтянули за пару уроков. Спасибо Вам большое!

УченикОлеся

УчительГузалия Робертовна

Сыну очень понравилось заниматься с Гузалией Робертовной. Очень внимательный и доброжелательный педагог, который сразу видит слабые стороны. Всячески поощряет ребёнка и помогает поднять самооценку. Большое спасибо!

УченикДарья

УчительМария Никитична

Нравится, как преподает Мария Никитична (по программе школы + присутствует игровая минутка, ученице на занятиях не бывает скучно) Уровень знаний повысили до 5-ки, значительно расширили словарный запас. Все устраивает, рекомендует знакомым и в целом рада, что такая платформа существует.

УченикОлеся

УчительДаниил Станиславович

Спасибо. Урок понравился. Даниил Станиславович заинтересовал английским языком. Составили предположительные темы для занятий после новогодних праздников

УченикГеоргий

УчительЕкатерина Станиславовна

Грамотный, добрый, располагающий к себе педагог. С ребёнком Екатерина Станиславовна установила хороший контакт. Преподносит информацию очень доступно. Занятие проходит разнообразно, в том числе в игровой форме. Рекомендуем 5+

УченикНиколя

УчительАлла Валентиновна

Алла Валентиновна отличный преподаватель! Выявила все пробелы в знаниях Константина по русскому языку и работает над их устранением. Также помогает в работе над текущими темами урока. Уже прошли несколько занятий и продолжаем заниматься. нашла общий язык с сыном. Все нравится. Хотим заниматься дальше!

УченикПолина

УчительСветлана Григорьевна

Светлана Григорьевна просто супер учитель!!!! Все очень понятно и хорошо объясняет, прохожу с ней темы по географии 6 класса. На уроке с ней очень интересно. Уже 2 урока — одно удовольствие!!!

УченикНаталья

УчительСергей Александрович

Классный репетитор, все темы разбираются на 5+, будем обязательно продолжать обучение, также рекомендуем всем ученикам!

УченикМаксим

УчительНадежда Викторовна

Замечательный педагог, с которым нравится заниматься. Максим готовится к сдаче ОГЭ по русскому языку и занимается с репетитором с начала ноября прошлого года. За это время успели повторить пройденный материал и изучить несколько тем нового материала. Надежда Викторовна объясняет материал в доступной форме. Максим продолжит с ней занятия.

УченикАлександра

УчительИрина Борисовна

Отличный репетитор ! Ирина Борисовна обьясняет сложные темы простым и доступным языком ! Сердечно благодарю педагога за грамотность и профессионализм !!!!

УченикФеона

УчительЯнина Александровна

Преподаватель компетентный, объясняет понятно, выше школьного уровня. Быстро заполняет пробелы в знаниях. Будем сотрудничать. С Уважением, Феона.

УченикМадина

УчительМария Анатольевна

Очень чётко и понятно объяснила Мария Анатольевна. Спасибо вам. Не смотря первый раз, пробную занятия, она прям очень понравилась дочке и естественно мне💐. В дальнейшем обязательно будем заниматься с ней и подниматься.

УченикВероника

УчительЕвгения Вадимовна

Отличный учитель, который всегда вовлекает ученика в процесс, и сам проявляет заинтересованность в успехах ученика. Интересно слушать и работать!

УченикВероника

УчительДарья Максимовна

Дарья Максимовна замечательный, отзывчивый педагог!Обьясняет простым и доступным язык любую сложную тему- это большой плюс!! Спасибо большое моему репетитору, так как я уверена, что ОГЭ сдам на отлично !!

УченикДарья

УчительЕлизавета Владимировна

Очень качественные и продуктивные занятия. Занимаюсь не долго, но уже чувствуется прогресс. Очень милый и добрый преподаватель. Всё понятно объясняет. Мне, очень нравится заниматься математикой с Елизаветой Владимировной.

УченикКарина

УчительАндрей Юрьевич

Мне понравилось заниматься с Андреем Юрьевичем. Впервые встречаю репетитора, который прежде учить языку, рассказывает про его истоки – географию, культуру, историю. Мне очень откликается такой подход. Видно, что преподаватель с большим опытом. Я очень довольна первым занятием! Буду продолжать заниматься с данным преподавателем.

Уравнение касательной | это… Что такое Уравнение касательной?

ТолкованиеПеревод

Уравнение касательной

График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)

Каса́тельная пряма́я — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Содержание 1 Определение 2 Замечание 3 Касательная как предельное положение секущей 4 Касательная к окружности 4.1 Свойства 5 Вариации и обобщения 5.1 Односторонние полукасательные 6 См. также

Определение

• Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , и дифференцируема в ней: . Касательной прямой к графику функции f в точке x₀ называется график линейной функции, задаваемой уравнением

• Если функция f имеет в точке x₀ бесконечную производную то касательной прямой в этой точке называется вертикальная прямая, задаваемая уравнением

  x = x₀.

Замечание

Прямо из определения следует, что график касательной прямой проходит через точку (x₀,f(x₀)). Угол α между касательной к кривой и осью Ох удовлетворяет уравнению

где обозначает тангенс, а  — коэффициент наклона касательной. Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

Касательная как предельное положение секущей

Пусть и Тогда прямая линия, проходящая через точки (

x₀,f(x₀)) и (x₁,f(x₁)) задаётся уравнением

Эта прямая проходит через точку (x₀,f(x₀)) для любого и её угол наклона α(x₁) удовлетворяет уравнению

В силу существования производной функции f в точке x₀, переходя к пределу при получаем, что существует предел

а в силу непрерывности арктангенса и предельный угол

Прямая, проходящая через точку (x₀,f(x₀)) и имеющая предельный угол наклона, удовлетворяющий задаётся уравнением касательной:

y = f(x₀) + f‘(x₀)(x − x₀).

Касательная к окружности

Отрезки касательных

Прямая, имеющая одну общую точку с окружностью и лежащая с ней в одной плоскости, называется касательной к окружности.

Свойства

1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
2. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
3. Длина отрезка касательной, проведённой к окружности единичного радиуса, взятого между точкой касания и точкой пересечения касательной с радиусом, является тангенсом угла между этим радиусом и направлением от центра окружности на точку касания. «Тангенс» от лат. tangens — «касательная».

Вариации и обобщения

Односторонние полукасательные

• Если существует правая производная то пра́вой полукаса́тельной к графику функции f в точке x₀ называется луч

• Если существует левая производная то
  ле́вой полукаса́тельной к графику функции f в точке x₀ называется луч

• Если существует бесконечная правая производная то правой полукасательной к графику функции f в точке x₀ называется луч

• Если существует бесконечная левая производная то правой полукасательной к графику функции f в точке x₀ называется луч

См.

также

• Дифференцируемая функция
• Касательное пространство
• Нормаль, бинормаль

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

• Уравнение колебаний струны
• Уравнение неразрывности

Полезное

Касательные и нормальные линии — Matheno.com

Уравнение касательной или нормальной линии: задачи и решения

Вы работаете над поиском уравнения касательной (или нормальной линии) в исчислении? Давайте шаг за шагом решим некоторые распространенные проблемы, чтобы вы могли научиться решать их самостоятельно.

РЕЗЮМЕ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ: Касательные и нормальные линии

Нажмите, чтобы показать/скрыть сводку

В этих задачах всегда будет указано, что вы найдете касательную или нормальную (= перпендикулярную) линию в определенной точке функции. Мы назовем эту точку $(x_0, y_0)$.

Чтобы ответить на эти вопросы, вы почти всегда будете использовать форму линии точка-наклон. Напомним, что если линия имеет наклон м и содержит точку $(x_0, y_0)$, то ее уравнение можно записать так: 5px]{y – y_0 = m(x – x_0)}$$

В постановке задачи обычно указывается точка $(x_0, y_0)$, поэтому на самом деле эти задачи сводятся к определению наклона м линии — которые мы рассмотрим ниже.

Вы будете использовать это уравнение снова и снова; запомните его, если вы его еще не знаете.

(Просто вариант определения наклона: $m = \dfrac{y – y_0}{x – x_0}.)$

I. Касательная линия к кривой

Очень часто в начале Исчисление вам будет предложено найти уравнение для линии касательной к кривой в определенной точке. Мы называем эту точку $(x_0, y_0)$.

Чтобы найти уравнение прямой, нужно просто помнить, что касательная к кривой имеет наклон, равный производной функции, вычисленной в интересующей точке:

$$\bbox[yellow,5px]{m_\text{касательная линия} = f'(x_0)}$$

То есть найдите производную функции $f'(x)$, а затем оцените его в $x = x_0$. Это значение $f'(x_0),$ равно наклону касательной.

Следовательно, мы можем записать уравнение для касательной в $(x_0, y_0)$ как

\[\bbox[10px,border:2px сплошной синий]{
\begin{align*}
y – y_0 &= m_\text{касательная линия}(x – x_0) \\[8px]
y – y_0 &= f'(x_0)(x – x_0)
\end{align*} } \]

Если эти уравнения кажутся вам абстрактными, не волнуйтесь. Как только вы проработаете несколько задач, процесс обретет смысл — обещаем.

II. Нормальная линия к кривой

Иногда вместо этого вам будет предложено найти линию нормальную к кривой. Это то же самое, что запросить линию, которая перпендикулярна кривой .

Вы снова будете использовать форму линии Point-Slope. Но теперь, чтобы вычислить наклон линии, вспомните, что наклоны перпендикулярных линий являются отрицательными обратными величинами друг друга ($m_2 = -\dfrac{1}{m_1}$). Нам нужен наклон линии, которая перпендикулярна кривой в точке и, следовательно, перпендикулярна касательной к кривой в этой точке:

\[\bbox[yellow,5px]{
\begin{align*}
m_\text{нормальная линия} &= \frac{-1}{m_\text{касательная линия}}\\[12px]
&= \frac{-1}{f'(x_0)}
\end{align*}}\]

Следовательно, мы можем записать уравнение для нормальной линии в $(x_0, y_0)$ как

\[\bbox[10px,border:2px сплошной синий]{
\begin{align*}
y – y_0 &= m_\text{нормальная линия}(x – x_0) \\[8px]
y – y_0 &= \frac{-1}{f'(x_0)}(x – x_0)
\end{align*} } \]

---

Мы рекомендуем , а не , пытаясь запомнить все приведенные выше формулы. Вместо этого запомните форму линии «точка-наклон», а затем используйте то, что вы знаете о производной, говорящей вам о наклоне касательной в данной точке. Приведенные ниже проблемы иллюстрируют это.

Задача 1 иллюстрирует процесс объединения различных фрагментов информации для нахождения уравнения касательной.

Задача 2 требует, чтобы вы нашли фрагменты информации, прежде чем сможете их сложить.

[свернуть]

Задача о касательной/нормальной линии #1

Для конкретной функции $g$ мы знаем, что $g'(5) = 2$ и $g(5) = -3$. Напишите уравнение для прямой, касательной к $g$ в точке $x = 5$.

Нажмите, чтобы просмотреть расчетное решение

Поскольку $g'(5) = 2$, мы знаем, что наклон касательной в точке $x = 5$ равен $m=2$. Кроме того, касательная содержит точку (5, -3), так как она проходит через эту точку на кривой.

Затем, используя форму точка-наклон линии, которая содержит точку $(x_o, y_o)$, мы имеем
\begin{align*}
y – y_o &= m(x – x_o) \\
y – (-3) &= 2(x-5) \\
y + 3 &= 2(x-5) \quad \cmark
\end{align*}
На этом мы можем остановиться, так как мы нашли верное уравнение для прямой. ИЛИ, мы можем продолжить и представить уравнение в форме пересечения наклона:
\begin{align*}
y+3 &= 2x – 10 \\
y &= 2x – 10 -3 \\
y &= 2x – 13 \quad \cmark
\end{align*}
Любой ответ является допустимым и правильным.

[свернуть]

93 – х + 5$.
(a) Найдите уравнение прямой, касательной к кривой в точке (1, 5).
(б) Найти уравнение прямой нормали (перпендикуляра) к кривой в точке (1, 5).

Нажмите, чтобы посмотреть вычисление Решение

Решение (a)Решение (b)

Чтобы написать уравнение прямой, нам нужен ее наклон $m$ и точка $(x_o, y_o)$ на ней. Мы уже знаем точку, так как линия пересекает (касается) кривую в точке (1, 5).

92 -1 \\[8px]
f'(1) &= 3(1) – 1 = 2
\end{align*}
Следовательно, касательная имеет наклон $m_\text{tangent} = f'(1 ) = 2. $

Тогда мы можем написать уравнение этой касательной, используя форму точки-наклона линии, которая имеет наклон $m_\text{касательная} = 2$ и содержит точку $(1, 5) $:
\begin{align*}
y – y_o &= m_\text{tangent}(x – x_o) \\[8px]
y – 5 &= (2)(x – 1) \quad \cmark
\end{align*}
На этом можно остановиться, так как мы нашли правильное уравнение для прямой. ИЛИ, мы можем продолжить и представить уравнение в форме пересечения наклона:
\begin{align*}
y – 5 &= 2x -2 \\[8px]
y &= 2x – 2 + 5 \\[8px]
y&= 2x +3 \quad \cmark
\end{align *}
Любой из ответов является допустимым и правильным.

Напомним, что прямая 2 нормальна (перпендикулярна) к прямой 1, если их наклоны являются отрицательными обратными величинами:
$$m_2 = -\frac{1}{m_1}$$
Из части (a) мы знаем, что прямая касательная к кривой в точке (1,5) имеет наклон $m_\text{tangent} = 2$, поэтому наш перпендикуляр в этой точке имеет наклон
\begin{align*}
m_\text{normal} &= -\frac{1}{m_\text{tangent}} \\[8px]
&= -\frac{1}{2}
\end {align*}
Следовательно, нормаль имеет наклон $m_\text{normal} = -\dfrac{1}{2}. $

Эта линия проходит через кривую в точке (1, 5) и имеет наклон $m_ \text{normal} = -\dfrac{1}{2}$, поэтому его уравнение имеет вид
\begin{align*}
y – y_o &= m_\text{normal}(x – x_o) \\ [8px]
y-5 &= -\dfrac{1}{2} (x -1) \quad \cmark
\end{align*}
На этом можно остановиться, так как мы нашли верное уравнение для прямой . ИЛИ, мы можем продолжить и представить уравнение в форме пересечения наклона:
\begin{align*}
y – 5 &= -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2} \\[8px]
y &= -\dfrac{1}{2} x + \dfrac{1}{2} + 5 \\[8px]
y &= -\dfrac{1}{2} x + \frac{11}{2} \quad \cmark
\end{align* }
Любой ответ действителен и верен.

[свернуть]

Задача #3 на касательную/нормальную линию

[Это более сложная задача, представленная студентом в комментариях ниже. 2$ в точке первого квадранта также проходит через точку $\left(0, \dfrac{3}{4}\right)$. Найдите уравнение этой прямой. 92,$ и прямой, проходящей через точку $(0, \frac{3}{4})$. Эта линия пересекает кривую в точке, которую мы называем $(x_1, y_1).$ Обратите внимание, что присвоение этой точке кривой таких координат имеет решающее значение для нашего решения.

Есть несколько фрагментов информации, которые мы должны собрать, чтобы решить эту проблему.
(1) Во-первых, наклон прямой, нормальной (перпендикулярной) к этой кривой в точке $(x_1, y_1)$, равен
\[m_\text{нормальный, при $x=x_1$ } = -\dfrac{1}{f'(x_1)} \] 92,$ имеем $f'(x) = 4x.$

Для конкретной интересующей точки $(x_1, y_1),$, где линия пересекает кривую, мы можем записать наклон нормальной линии как
\[m_\text{normal, at $x=x_1$} = -\dfrac{1}{4x_1} \quad \triangleleft \quad (1) \]
Запомните это на мгновение.

(2) Мы и знаем, что линия содержит точки $(0, \frac{3}{4})$ и $(x_1, y_1). $ Следовательно, мы можем записать ее наклон как
\[m_ \text{line} = \frac{y_1-\frac{3}{4}}{x_1-0} \quad \triangleleft \quad (2) \]
А теперь волшебство: строка должна соответствовать обоим условиям (1) и (2), поэтому у нас должно быть
\[m_\text{нормальный, при $x=x_1$} = m_\text{строка}\ ]
Это требование позволит нам найти $y_1,$, как вы увидите:
\begin{align*}
m_\text{normal, at $x=x_1$} &= m_\text{line} \\ [8px]
-\dfrac{1}{4x_1} &= \frac{y_1-\frac{3}{4}}{x_1} \\[8px]
-\dfrac{1}{4} &= y_1 -\frac{3}{4} \\[8px]
– y_1 &= -\frac{3}{4} + \dfrac{1}{4} \\[8px]
-y_1 &= -\frac {1}{2} \\[8px] 92 &= \frac{1}{4} \\[8px]
x_1 &= \pm \sqrt{\frac{1}{4}} \\[8px]
&= \pm \frac{1}{ 2}
\end{align*}
Ах, но задача указывает «в точке в первом квадранте», поэтому мы выбираем положительное решение:
\[x_1 = \frac{1}{2} \ quad \triangleleft \]
И тогда мы сразу знаем наклон нормальной линии, так как мы решили (1) выше
\[m_\text{normal, at $x=x_1$} = -\dfrac{1}{4x_1 } \]
у нас должно быть
\begin{align*}
m_\text{нормальный, при $x=1/2$} &= -\dfrac{1}{4\left(\frac{1}{2 } \справа)} \\[8px]
&= – \frac{1}{2} \quad \triangleleft
\end{align*}
Теперь мы почти закончили: мы знаем, что наклон нормальной линии равен $m_\text{normal} = -\dfrac{1}{2},$ и поскольку нам сказали, что прямая проходит через точку $(0, \frac{3}{4})$, мы знаем, что она имеет y -intercept $b = \frac {3}{4}. $ Следовательно, используя форму линии с пересечением наклона:

\begin{align*}
y &= m_\text{normal}x + b \\[8px]
y & = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{4} \quad \cmark
\end{align*}

[свернуть]

Хотите получить доступ к всем нашим задачам исчисления и их решениям? Войдите бесплатно с помощью своей учетной записи Google, Facebook или Apple или с помощью специальной учетной записи Matheno (которую вы можете создать за 60 секунд). Затем посетите наш главный экран исчисления.

И если у вас есть вопрос по исчислению, с которым вам может понадобиться помощь, зайдите на наш форум и опубликуйте. Будем рады помочь!

---

По состоянию на сентябрь 2022 года мы используем наш форум для комментариев и обсуждения этой темы, а также для любых математических вопросов. Будем рады вас видеть и помочь! Нажмите, чтобы посетить наш форум: community.matheno.com.

Войти

Вы можете бесплатно войти в систему, чтобы получить доступ ко всем нашим материалам, с помощью своей учетной записи Facebook, Google или Apple ИЛИ с помощью специальной учетной записи Matheno. (У вас нет специальной учетной записи Matheno, но вы хотели бы ее создать? Создайте ее за 60 секунд здесь.)

Касательные плоскости — учебники по вычислениям

Касательные плоскости и линейная аппроксимация — учебник HMC по вычислениям

Точно так же, как мы можем визуализировать прямую, касающуюся кривой в точке в двухмерном пространстве, в трехмерном пространстве мы можем фото

плоскость касательной к поверхности в точке.

Рассмотрим поверхность, заданную выражением $z = f (x, y)$. Пусть $(x_0, y_0, z_0)$ — любая точка на этой поверхности. Если $f (x, y)$ является дифференцируемой в точке $(x_0, y_0)$, то поверхность имеет касательную плоскость в точке $(x_0, y_0, z_0)$.

Уравнение касательной плоскости в точке $(x_0, y_0, z_0)$ задается как $$f_x (x_0, y_0)(x – x_0) + f_y (x_0, y_0)(y – y_0) – (z – z_0 ) = 0. $$

Примечания

• Напомним, что уравнение плоскости, содержащей точку $(x_0 , y_0 , z_0 )$ и нормаль к вектору ${\bf n} = (a, b, c)$, равно $$ a(x – x_0 ) + b(y – y_0 ) + c(z – z_0 ) = 0. $$ Вывод уравнения для касательной плоскости просто включает в себя доказательство того, что касательная плоскость нормальна к вектору ${\bf n} = (f_x (x_0, y_0), f_y (x_0, y_0), -1)$.
  

• Для поверхностей $F (x, y, z) = 0$, которые нелегко решить относительно $z$, уравнение касательной плоскости в точке $(x_0 , y_0 , z_0 )$ имеет вид $$ F_x ( x_0 , y_0 , z_0 )(x – x_0 ) + F_y (x_0 , y_0 , z_0 )(y – y_0 ) + F_z (x_0 , y_0 , z_0 )(z – z_0 ) = 0 $$ при условии, что $\nabla F ( x_0, y_0, z_0) \neq 0$. Обратите внимание, что если мы положим $F (x, y, z) = f (x, y) – z$, мы получим уравнение, данное для касательной плоскости к $z = f (x, y)$ в точке $(x_0, у_0, z_0)$. 93(-2) + 2 = -14. \end{выравнивание*}

  Таким образом, касательная плоскость имеет вектор нормали $ {\bf n} = (48, -14, -1) $ в точке $(1, -2, 12)$ и уравнение касательной плоскости определяется выражением $$ 48(x – 1) – 14 (y – (-2)) – (z – 12) = 0.$$ упрощение, $$ 48x – 14y – z = 64. $$

  Линейная аппроксимация

  Касательная плоскость к поверхности в точке остается близкой к поверхности вблизи точки. Фактически, если $f (x, y)$ дифференцируема в точке $(x_0 , y_0 )$, то касательная плоскость к поверхности $z = f (x, y)$ при $(x_0, y_0)$ обеспечивает хорошее приближение к $f (x, y)$ вблизи $(x_0, y_0)$:

  $\qquad$ Решение $f_x (x_0, y_0)(x – x_0) + f_y (x_0, y_0)(y – y_0) – (z – z_0) = 0$ для $z$, $$ z = z_0 + f_x (x_0, y_0) (x – x_0) + f_y (x_0, y_0) (y – y_0). $$ $\qquad$ Так как $z_0 = f (x_0, y_0)$, мы имеем, что $$ z = f (x_0, y_0) + f_x (x_0, y_0) (x – x_0) + f_y (x_0, y_0) (y – y_0). $$ $\qquad$ Вблизи $(x_0 , y_0 )$ поверхность близка к касательной плоскости. Таким образом, $$ f (x, y) \ приблизительно f (x_0, y_0) + f_x (x_0, y_0) (x – x_0) + f_y (x_0, y_0) (y – y_0). $$ Мы называем это линейная аппроксимация или локальная линеаризация $f (x, y)$ вблизи $(x_0 , y_0 )$.

  Примечания

  • Линейная аппроксимация на самом деле представляет собой просто полином Тейлора со многими переменными степени 1 для $f (x, y)$ около $(x_0, y_0)$. Это точно только около $(x_0, y_0)$. Лучшее приближение можно получить, используя полиномы Тейлора более высокого порядка.
  • Эти концепции можно распространить на функции более чем двух переменных: $$ f (x, y, z) \ приблизительно f (x_0, y_0, z_0)+f_x (x_0, y_0, z_0)(x-x_0)+f_y (x_0, y_0, z_0)(y-y_0)+f_z (x_0, y_0, z_0)(z-z_0) $$ где $f (x, y, z)$ дифференцируема в $(x_0, y_0, z_0)$. 92 + 2г$ вблизи $x = 1,\quad y = -2$ есть $$ f (x, y) \ приблизительно 48x – 14y – 64. $$ Это, конечно, точно при $x = 1, \quad y = -2$: $$ f (1, -2) = 12 = 48(1) – 14(-2) – 64.

    No related posts.