Иррациональные уравнения. Примеры решения
Примеры решения задач
Пример 1. Решить уравнение
Решение. Областью допустимых значений переменной в уравнении (1) являются .
Приведем три метода решения иррационального уравнения (1).
Метод 1. Уравнение (1) равносильно уравнению
Отсюда следует, что или . Возведем в квадрат обе части уравнения (2) и получим . Так как здесь , то и после возведения в квадрат обеих частей уравнения имеем равносильное квадратное уравнение
,
подходящим корнем которого является .
Метод 2. Обозначим .
Тогда и уравнение (1) принимает вид или . Отсюда следует, что . Если возвести в квадрат обе части уравнения , то получим уравнение и .
Так как , то или .
Метод 3. Пусть . Нетрудно убедиться в том, что функция является непрерывной и возрастающей на всей своей области определения. В этой связи уравнение (1) может иметь не более одного корня. Этот возможный единственный корень легко находится подбором.
Ответ: .
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Так как и , то областью допустимых значений переменной в уравнения (3) является объединение двух интервалов: и .
Обозначим и получим систему уравнений
где .
Если из первого уравнения системы (4) вычесть второе, то
или .
Рассмотрим два случая.
1. Если , то и . Отсюда следует, что и .
2. Если , то и . В этом случае получаем квадратное уравнение . Данное уравнение имеет единственный подходящий корень .
Ответ: , .
Пример 3. Решить уравнение
Решение. Приведем два метода решения уравнения (5).
Метод 1. Обозначим , и представим уравнение (5) посредством системы уравнений
где . Если выражение подставить во второе уравнение системы, то получим . Подбором находим первый корень кубического уравнения .
Так как , то необходимо рассмотреть уравнение . Отсюда получаем и .
Поскольку , то рассмотрим два уравнения и . Из первого уравнения следует, что , а из второго уравнения получаем .
Следует отметить, если и , то и . В этой связи значения и являются корнями уравнения (5).
Метод 2. Пусть , тогда . В таком случае уравнение (5) можно представить как или
Возведем в квадрат обе части уравнения (6) и получим
.
Преобразуем кубическое уравнение следующим образом:
,
или .
Отсюда получаем и . Из уравнения (6) следует, что . Очевидно, что здесь значения и .
Так как , и , то и .
Ответ: , .
Пример 4.
Решить уравнение
Решение. Обозначим , тогда и уравнение (7) принимает вид или , где .
Далее получаем равносильные уравнения
, , или
Так как , то . В этой связи из уравнения (8) вытекает , или .
Ответ: .
Пример 5. Решить уравнение
Решение. Предварительно определим область допустимых значений переменной в уравнении (9). Непосредственно из уравнения следует, что . Однако и , поэтому или . Отсюда с учетом
получаем, что искомая область представляет собой объединение двух интервалов: и .
Приведем два метода решения уравнения (9).
Метод 1. Если обе части уравнения возвести в квадрат, то или . Решая уравнение , получаем и . Если принять во внимание область допустимых значений, то нетрудно установить, что уравнение (9) будет иметь только два корня:
и .
Метод 2. Так как в уравнении (9) имеем , то можно выполнить тригонометрическую замену , где .В таком случае уравнение принимает вид уравнения . Однако здесь , поэтому и тогда или .
Из уравнения получаем и , где целое число. Поскольку , то и .
Следовательно, уравнение (9) имеет два корня:
и .
Ответ: , .
Пример 6. Решить уравнение
. (10)
Решение. Если преобразовать левую часть уравнения (10) путем выделения полных квадратов под знаком обоих радикалов, то получим уравнение .
Так как и , то
.
Поскольку , то равенство в уравнении (10) имеет место только в том случае, когда обе его части одновременно равны , а это возможно только в том случае, когда .
Ответ: .
Пример 7. Решить уравнение
Решение. Областью определения переменной в уравнении (11) являются .
Первоначально левую часть уравнения (11) умножим и разделим на выражение , учитывая при этом, что .
После этого получим равносильное уравнение
Так как функция убывает при условии, что , а функция является возрастающей на всей числовой оси , то уравнение (12) имеет один корень или не имеет их вообще.
Ответ: .
Пример 8. Решить уравнение
Решение. Областью допустимых значений переменной в уравнении (13) является отрезок .
Умножим обе части уравнения на выражение . Отметим, что . После этого получаем уравнение
. (14)
Отсюда следует, что и является корнем уравнения (14). Пусть теперь . Тогда обе части уравнения (14) разделим на и получим уравнение или
Поскольку на области допустимых значений левая часть уравнения (15) убывает, а правая часть – возрастает, то уравнение (15) не может иметь более одного корня.
Ответ: .
Пример 9. Решить уравнение
Решение. Перепишем уравнение (16) в виде функционального уравнения . Так как функция возрастает на всей числовой оси , то уравнение будет равносильно уравнению или .
Из уравнения получаем равносильные уравнения
, , .
Отсюда следует, что уравнение (16) имеет корни
, и .
Ответ: , , .
Примечание. Методы решения функциональных уравнений типа
приведены в учебном пособии автора «Математика для старшеклассников. Нестандартные методы решения задач» (М.: Книжный дом «Либроком», 2009 – 2017 г.г.). Пример 10.
Решить уравнение
. (
Решение. Из уравнения (17) следует . Если обе части уравнения умножить на выражение , то получим
. (18)
Отсюда следует, что . Однако подстановкой в уравнение (17) убеждаемся в том, что значение не является его корнем.
Разделим обе части уравнения (18) на выражение и получим или . Корнями квадратного уравнения являются и . Однако , поэтому уравнение (17) имеет только один корень .
Ответ: .
Пример 11. Решить систему уравнений
Решение. Если сложить уравнения системы (19), то получим
или .
Если из первого уравнения системы (19) вычесть второе уравнение, то или .
Так как и , то и . Отсюда следует, что и .
Ответ: , .
Пример 12. Решить систему уравнений
Решение. Так как из второго уравнения системы (20) получаем , то . Однако , поэтому имеет место неравенство . Отсюда и из первого уравнения системы (20) следует, что , или , .
Подставляя найденные значения и во второе уравнение системы (20), убеждаемся в том, что они являются корнями этой системы уравнений.
Ответ: , .
Для более глубокого и подробного изучения существующих методов решения иррациональных уравнений можно обратиться к учебным пособиям из списка рекомендуемой литературы.
Рекомендуемая литература
1.
Кушнир А.И. Шедевры школьной математики (задачи и решения в двух книгах). – Киев: Астарта, книга 1, 1995. – 576 с.
2. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование, 2013. – 608 с.
3. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: задачи повышенной сложности. – М.: КД «Либроком» / URSS, 2017. – 200 с.
4. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: нестандартные методы решения задач. – М.: КД «Либроком» / URSS, 2017. – 296 с.
Остались вопросы?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
2+b \cdot x + c = 0 \)\( a \), \( b \) и \( c \) — множители, \( x \) — неизвестная переменная в этом уравнении. Чтобы решить квадратное уравнение, его нужно привести к такому виду.
Следующий калькулятор вычисляет неизвестную переменную \(x\) с факторами \(a\), \(b\) и \(c\) в качестве входных данных.
Результат \( x \) может иметь
два разных значения (\(x_{2} \)). Для некоторых значений \( a \), \( b \) и \( c \) нет решения квадратного уравнения в действительных числах \( \mathbb{R} \)
существует. Тогда есть решения в комплексных числах \( \mathbb{C} \) с мнимой единицей i (в электротехнике часто j).
92+b \cdot x + c = 0 \)
| \( a= \) | |
| \(б=\) | |
| \(с=\) | |
| \( х_{1}= \) | |
| \( х_{2}= \) |
Формула
Существуют две популярные формулы для решения квадратного уравнения. Решение квадратного уравнения аналогично нахождению нулей этой функции. 92 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 17 > 0 \).
Два решения этого уравнения:
\(х_{1} = -0,2192 \)
\(x_{2} = -2,2808 \)
Одно действительное решение \( D = 0 \)
Квадратный корень из \( D = 0 \) равен 0.
2 — 2 \cточка х + с = 0 \) 92 — 17 = 0 \)
Квадратное уравнение
Привет друзья! Квадратные уравнения являются неотъемлемой частью математики, которая также имеет применение в различных других областях. Поэтому мы создали этот сайт, чтобы объяснить вам , что такое квадратное уравнение. Поняв концепцию квадратных уравнений, вы сможете легко решать квадратные уравнения .
- Корни квадратного уравнения
- Стандартная форма квадратного уравнения
- формула квадратного уравнения
- Разность между линейными квадратными уравнениями
- Произведение суммы корней квадратного уравнения
- Вопросы квадратного уравнения
Теперь давайте объясним вам, что такое квадратное уравнение. Это математическое уравнение с наивысшей степенью числа 2. Оно имеет форму x ² + b x + c . Здесь x представляет неизвестное значение, а a, b и c представляют известные числа.
Решения квадратных уравнений можно получить с помощью квадратной формулы. Существуют и другие методы нахождения решений квадратных уравнений, такие как разложение на множители, завершение квадрата или построение графика. Поскольку квадратные уравнения имеют наибольшую степень двойки, всегда будет два решения для x, которые будут появляться. Эти значения x, которые удовлетворяют уравнению, называются корнями или нулями уравнения. Следовательно, квадратное уравнение всегда будет иметь два корня или решения
Реклама
В этой статье мы попытались объяснить вам все концепции квадратных уравнений. Если вы студент, то изучение этих концепций очень важно, так как это поможет вам решать проблемы в школе. Это важная концепция, имеющая широкий спектр применения в таких областях, как физика, химия, инженерия и т. д.
Определение уравнения с помощью квадратной формулы
Мы обсудили с вами общий формат квадратного уравнения. Теперь, если вам нужно решить квадратное уравнение, вы должны использовать квадратную формулу.
Любое квадратное уравнение имеет два решения или корня. Таким образом, вы получите два корня, один из «+» и один из «-», и оба являются решениями уравнения.
Здесь мы предоставили вам таблицу с квадратичной формулой, чтобы вам было легко ее запомнить и применять.
Калькулятор квадратных уравнений
Калькулятор квадратных уравнений — это специальный калькулятор, который используется для решения сложных квадратных уравнений. Хотя научный калькулятор можно использовать для вычисления корней квадратного уравнения, это всегда не удобный метод. Следовательно, многие онлайн-сайты в Интернете предоставляют калькулятор квадратных уравнений, который очень прост в использовании. Вам просто нужно ввести известные значения a, b и c. Он автоматически рассчитает корни квадратных уравнений.
Здесь мы предоставили вам калькулятор квадратных уравнений, где вам просто нужно ввести коэффициенты квадратного уравнения.
Рабочие листы квадратных уравнений PDF
Даже если вы хорошо умеете решать квадратные уравнения, вам необходимо попрактиковаться в их решении, чтобы усвоить концепцию.
Будучи студентами, отработка темы важна для того, чтобы быть совершенным в ней. Следовательно, вы можете оценить, как много вы узнали о квадратных уравнениях, решая задачи в этом рабочем листе.
Этот лист предоставляется в формате PDF, так что вы можете распечатать его и носить с собой куда угодно.
График квадратного уравнения
График квадратного уравнения — это график, отображающий значения всех корней квадратного уравнения. Поскольку у квадратного уравнения есть как отрицательные, так и положительные корни, график принимает форму параболы. Следовательно, вы можете построить график квадратного уравнения, найдя разные корни x, которые решают равенство.
Чтобы помочь вам лучше понять график квадратного уравнения, мы предоставили вам график квадратного уравнения, который поможет вам понять, как построить график квадратного уравнения.
Стандартная форма квадратного уравнения
Стандартная форма квадратного уравнения представляет собой уравнение вида , b и c — переменные. Но иногда квадратные уравнения могут не иметь стандартной формы, и нам, возможно, придется их расширить.
Здесь мы предоставили вам таблицу, показывающую примеры различных форм квадратных уравнений, таких как форма вершины и форма фактора.
Форма вершины квадратичного уравнения задается:
F ( x ) = A ( x — H ) 2 + K , где ( H, K + K , где ( H, K1). является вершиной параболы.
Факторная форма квадратного уравнения сообщает нам корни квадратного уравнения. Оно записывается в виде a⋅(x−p)⋅(x−q) или a⋅(x−p)2
Дискриминант квадратного уравнения
В математике дискриминант представляет собой полиномиальную функцию своего коэффициента, что позволяет нам иметь представление о некоторых свойствах корней, не вычисляя их. Следовательно, в случае квадратного уравнения дискриминант является частью квадратного уравнения под квадратным корнем. Это помогает нам определить количество корней квадратного уравнения.
Здесь мы предоставили вам пример дискриминанта квадратного уравнения.
Как решить квадратное уравнение
Как вы знаете, квадратное уравнение представляет собой многочлен второй степени. Существуют различные методы решения квадратного уравнения. Ниже приведены методы решения квадратного уравнения:
- Факторинг
Давайте посмотрим, как использовать метод факторинга для решения квадратного уравнения.
Например, давайте решим уравнение (x+4) (x-3) = 0
Мы сохраним значение каждого фактора равным 0,
(x+4) = 0 и (x-3) = 0
Следовательно, x+4 – 4 = 0 –4 ; или x-3+3 = 0+3
x= -4 или x= 3
2. Завершение квадрата
Иногда некоторые квадратные уравнения можно разложить на множители как квадраты.
Например, квадратное уравнение x²+6x+5 не является идеальным квадратом. Но если мы прибавим к нему 4, он станет идеальным квадратом. И результирующее выражение, которое мы получим, будет (x+3)².
3. Квадратная формула
Это наиболее распространенный метод решения квадратного уравнения. Он включает в себя использование квадратной формулы для нахождения решения или корней квадратного уравнения.
Ниже приведена квадратная формула, используемая для решения любого квадратного уравнения:
4. График
Используя этот метод, все корни квадратного уравнения могут быть получены путем подстановки любого значения для x, которое решает равенство.
Прежде чем решать квадратное уравнение графически, мы должны понять, что такое точка пересечения по осям x и y. X-пересечение относится к корням квадратных уравнений, которые пересекают график по оси X. Точно так же Y-пересечение относится к корням квадратного уравнения, которое пересекает график по оси Y. Значение точек пересечения x и y состоит в том, что они изображают насест или решение квадратного уравнения. Вы можете использовать любое значение точки пересечения по оси x, чтобы найти различные значения точки пересечения с осью y и нанести соответствующие точки на график.
Использование квадратной формулы
Мы рассказали вам о различных методах, с помощью которых можно найти решения квадратных уравнений. В то время как другие широко используемые методы, такие как факторинг и построение графиков, могут использоваться для поиска решений квадратных уравнений, процесс может быть сложным, а результат также может быть неточным.
Следовательно, наиболее предпочтительным методом решения квадратного уравнения является использование квадратной формулы.
Квадратичная формула представлена в виде:
Здесь мы объясним вам, как можно применять квадратное уравнение для решения задач. Вы можете следовать этому пошаговому руководству, чтобы решить любое квадратное уравнение:
Например, возьмем квадратное уравнение x 2 + 2x + 1 = 0
Теперь давайте найдем дискриминанты уравнения:
Дискриминант формула = b 2 − 4ac
Применение значений a, b и c в приведенном выше уравнении:
22 − 4×1×1 = 0
Теперь применим квадратную формулу:
x = (−2 ± √0)/2 = −2/2
Следовательно, x = -1
Решение квадратных уравнений
Часто мы сталкиваемся с решением сложных квадратных уравнений, которые могут быть хитрым и включать сложные расчеты. Кроме того, есть риск получить неверный результат. Таким образом, вы можете воспользоваться помощью решателя квадратных уравнений, который по сути является калькулятором квадратных уравнений.
Этот калькулятор прост в использовании и даст вам правильные результаты за считанные секунды. Вам просто нужно ввести коэффициенты для a, b и c, и он автоматически найдет значение обоих корней квадратных уравнений для вас.
Чтобы объяснить вам, как решать квадратные уравнения онлайн с помощью решателя квадратных уравнений, здесь мы предоставили вам видео.
Заключение
Поэтому в этой статье мы попытались объяснить вам все концепции квадратных уравнений и различные методы их решения. Используя такие методы, как факторинг и построение графиков, можно легко найти решения любого квадратного уравнения. Но наиболее предпочтительным методом, который можно использовать для решения любого квадратного уравнения, является квадратная формула.