Уравнения квадратные решения: Онлайн калькулятор. Решение квадратных уравнений

Квадратные уравнения — подготовка к ЕГЭ по Математике

Квадратное уравнение – уравнение вида , где

Числа называются коэффициентами квадратного уравнения.

Квадратное уравнение может иметь два действительных корня, один действительный корень или ни одного.

Количество корней квадратного уравнения зависит от знака выражения, которое называется дискриминант.

Дискриминант квадратного уравнения: .

Если > 0, квадратное уравнение имеет два корня: и .

Если = 0, квадратное уравнение имеет единственный корень .

Если < 0, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Чтобы решать квадратные уравнения, надо уметь:

1. Правильно определять коэффициенты квадратного уравнения.
2. Находить дискриминант и определять количество корней.
3. Находить корни уравнения по формуле.

Определим коэффициенты в следующих квадратных уравнениях.

1)

Коэффициентом является числа:  .

2)

В этом уравнении коэффициенты – это числа:

Обратите внимание на слагаемые и : x — это не коэффициент, а переменная.

3)

А в этом уравнееии нужно быть внимательными, потому что коэффициенты — дробные числа:

Квадратные уравнения вида , в которых коэффициент , называются приведенными.

Запишем несколько квадратных уравнений и проверим, сколько корней они имеют.

Задача 1.

Решение:

В этом уравнении , , .

Дискриминант уравнения равен > 0. Уравнение имеет два корня.

Задача 2.

Решение:

В этом уравнении .

Дискриминант уравнения равен . Уравнение имеет единственный корень.

Заметим, что в левой части уравнения находится выражение, которое называют полным квадратом. В самом деле, . Мы применили формулу сокращенного умножения.

Уравнение имеет единственный корень .

Задача 3.

Решение:

В этом уравнении .

Дискриминант уравнения равен < 0. Корней нет.

Задача 4. Решим уравнение:

Решение:

Дискриминант уравнения равен > 0.

Уравнение имеет два корня.

Корни уравнения:

Задача 5. Решим уравнение:

Решение:

Дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два корня:

Рассмотрим другой пример.

Задача 6.

Дискриминант положительный, уравнение имеет два корня. Находим их по формуле корней квадратного уравнения:

Что делать в том случае, если корень из дискриминанта не является целым числом? Тогда корни квадратного уравнения будут записаны выражением, в котором содержится квадратный корень. Такие выражения называются иррациональными.

Задача 7. Решим уравнение: 

Решение:

Обратите внимание, что слагаемые в правой части записаны не в том порядке, в котором они указаны в общем виде квадратного уравнения. Поэтому, прежде чем начать решать, перепишем уравнение в следующем виде: 

Найдем дискриминант: Уравнение имеет один корень:

Задача 8.  И еще одно уравнение: 

Решение:

Найдем дискриминант 

Дискриминант отрицательный, поэтому квадратное уравнение не имеет корней.

Так и запишем в ответе: корней нет.

Теорема Виета

Полезная теорема для решения квадратных уравнений – теорема Виета.

Если и  – корни уравнения , то , .

Теорему Виета удобно использовать, когда коэффициент при равен 1, то есть квадратное уравнение приведенное.

Например,

Коэффициенты этого уравнения . Значит, сумма корней и равна 5, а произведение корней равно 6. Эти два числа подобрать нетрудно, потому что

Тогда

Теорема Виета помогает проверить, правильно ли мы решили квадратное уравнение.

Например, в нашем уравнении сумма корней равна , а произведение корней равно .

Квадратное уравнение можно решить несколькими способами. Можно вычислять дискриминант, или воспользоваться теоремой Виета, а иногда можно просто угадать один из корней. Или оба корня.

Неполные квадратные уравнения

Квадратное уравнение, в котором один из коэффициентов b или с (или они оба) равны нулю, называется неполным. В таких случаях искать дискриминант не обязательно. Можно решить проще.

Задача 9. Рассмотрим уравнение: .

Решение:

В этом уравнении и . Очевидно, – единственный корень уравнения.

Задача 10. Рассмотрим квадратное уравнение: . Здесь , а другие коэффициенты нулю не равны.

Решение:

Проще всего разложить левую часть уравнения на множители по формуле разности квадратов. Получим:

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Значит,   или

Вот похожее уравнение: .

Поскольку , уравнение можно записать в виде:

Отсюда или
.

Пусть теперь не равно нулю и .

Задача 11.  Рассмотрим квадратное уравнение: .

Левую часть уравнения можно разложить на множители, вынеся за скобки. Получим:

.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Значит, или .

Задача 12.  Решим уравнение: .

Разложить по формуле разности квадрата не получится, тогда попробуем перенести слагаемое 4 в правую часть уравнения.

.

Мы знаем, что нет такого действительного числа, квадрат которого был бы отрицательным числом. Значит, уравнение не имеет действительных корней.

Напомним, что решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Разложение квадратного трехчлена на множители

.

Здесь и – корни квадратного уравнения .

Запомните эту формулу. Она необходима для решения квадратичных и дробно-рациональных неравенств.

Например, уравнение

.

Его корни

,

.

.

Полезные лайфхаки для решения квадратных уравнений.

1) Намного проще решать квадратное уравнение, если коэффициент , который умножается на , положителен. Кажется, что это мелочь, да? Но сколько ошибок на ЕГЭ возникает из-за того, что старшеклассник игнорирует эту «мелочь».

Например, уравнение
.

Намного проще умножить его на – 1, чтобы коэффициент стал положительным. Получим:

.

Дискриминант этого уравнения равен
.

Корни уравнения: .

2)Прежде чем решать квадратное уравнение, посмотрите на него внимательно. Может быть, можно сократить обе его части на какое-нибудь не равное нулю число?

Вот, например, уравнение .

Разделим все коэффициенты этого квадратного уравнения на 5. Получим .

Уравнение упростилось. Остается решить его.

Или такое уравнение.

Задача 13.  .

Можно сразу посчитать дискриминант и корни. А можно заметить, что все коэффициенты и делятся на 17. Поделив обе части уравнения на 17, получим:

.

Здесь можно и не считать дискриминант, а сразу угадать первый корень: . А второй корень легко находится по теореме Виета.

3)Работать с дробными коэффициентами неудобно. Например, уравнение
.

Вы уже догадались, что надо сделать. Умножить обе части уравнения на 100! Получим:

.

Корни этого уравнения равны 1 и -6.

Задача 14.  Решим уравнение:

Умножим обе части уравнения на 2. Получим:

.

Теперь решение этого квадратного уравнения можно осуществить с помощью любого уже известного нам способа. Корни этого уравнения -11 и -1.

Смотри также: Квадратичная функция

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Квадратные уравнения» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 07.04.2023

Математическая продлёнка. Квадратные уравнения во всей красе / Хабр

Продолжаю потихоньку публиковать свои наработки к занятиям математического кружка. На этот раз речь пойдёт о до боли знакомых квадратных уравнениях и их свойствах, о которых нет времени поговорить в школе.

Геометрия квадратных уравнений

В восьмом классе мы встречаемся с квадратными уравнениями, выводим или заучиваем формулу для их решения, запоминаем страшное слово «дискримитант», в общем, становимся суровыми математиками! Либо окончательно понимаем, что «математика не моё» и наивно называем себя «гуманитариями».

Положа руку на сердце, признаю, что умение решать квадратные уравнения пригодится не всем нам во взрослой жизни. Чаще всего, мы оставляем это знание на полке со школьными тетрадками и учебниками.

Но вот какое важное универсальное знание даёт знакомство с ними: уравнение может не иметь решений, либо одно из решений может не иметь смысла, как, например, отрицательное время в какой-нибудь физической задаче.

Это важный жизненный опыт, который помогает осознавать и познавать границы возможного, применимого, разрешимого.

Квадратные уравнения могут научить ещё кое-чему, а именно, видеть алгебру, отыскивать геометрический смысл алгебраических результатов.

Давайте вспомним, как выглядит общий вид решения квадратного уравнения:

Что означает эта формула? Что два решения расположены по разные стороны некоторого числа  и отстоят от него на расстоянии . Какой же смысл у этих чисел?

Мы знаем, что график квадратного уравнения — это парабола. Кривая, которая имеет осевую симметрию относительно своего минимума. Эта симметрия присутствует и в решении. Число  — это положение оси симметрии, то есть, минимума, а — половина ширины отрезка, который парабола отсекает на оси. Если отсекает, конечно.

Давайте подставим в уравнение положение минимума:

Смотрите-ка, в числителе сам собой образовался дискриминант! Теперь нам легко понять его смысл — вертикальное положение минимума параболы.

Геометрический смысл частей решения квадратного уравнения с дискриминантом D.

Пусть, для определённости, коэффициент  будет положительным, а значит, ветви параболы будут идти наверх. Если дискриминант отрицателен, то парабола расположена над осью  и не пересекает её. В этом случае решений не будет. Если дискриминант положителен, минимум находится под осью  и парабола неизбежно пересечёт эту ось в двух точках.

Наконец, давайте посмотрим, как в само квадратное уравнение входят числа и  из которых состоят его решения. Это легко увидеть с помощью теоремы Виета:

На такой разбор может не хватить времени на школьном уроке, но он полезен для того, чтобы уравнения и их решения стали несколько более говорящими.

Пространство квадратных уравнений

Задачки в учебниках придумывают люди. И они хотят, чтобы задачи в них не просто решались, а ещё и красиво решались. Чтобы чудесным образом извлекались квадратные корни, чтобы дроби сокращались как надо.

Предположим, вам для проведения экзамена нужно сочинить десятка три задачек на решение квадратных уравнений. Вы выписываете наугад тридцать уравнений с целыми коэффициентами. Какую долю из них составят те что, не имеют вещественных решений? А сколько из них будут иметь целочисленные корни? Понятно, что во всех этих вопросах речь идет об ожидаемых величинах и долях.

Доля нерешаемых уравнений

Мы знаем, что квадратное уравнение </p>» data-abbr=»решается»>решается, если его дискриминант  оказывается неотрицательным. А какая доля пространства троек будет удовлетворять этому условию?

На этот вопрос проще ответить не в целых числах, а в действительных, сформулировав вопрос геометрически: какой фигурой в пространстве ограничивается объём нерешаемых уравнений?

Мы знаем уравнение границы этой фигуры: . Давайте преобразуем координаты так, чтобы стало очевидным, с чем мы имеем дело. Для этого сделаем преобразование координат:

и получим:

Мы видим уравнение окружностей в координатах с радиусами . Значит, все нерешаемые уравнения попадают внутрь некоторого кругового конуса. Обратное преобразование к координатам превратит этот круговой конус в эллиптический и повернёт его, как показано на рисунке:

Часть конуса, ограничивающего область уравнений, не имеющих вещественных корней.

Нам повезло! Конус, даже эллиптический, на всех масштабах выглядит одинаково, а это значит, что можно вычислить долю его объёма в объёме всего пространства параметров. Не буду здесь вдаваться в подробности расчёта, приведу конечный результат: доля нерешаемых уравнений составляет .

Получается, что если наугад выбрать три числа и составить с их помощью квадратное уравнение, то вероятность того, что оно будет иметь вещественные решения составит чуть менее двух третей. Конечно, эта вероятность будет зависеть от конкретного способа выбора коэффициентов, но в случае их равномерного распределения результат можно ожидать таким.

Конечно, если стоит задача составить список заведомо решаемых уравнений, то наугад их сочинять не придётся. Достаточно сгенерировать нужное количество пар решений и с помощью теоремы Виета сформировать соответствующие им уравнения:

Целочисленные решения

И теперь можно перейти ко второму вопросу: как выглядит в пространстве целочисленных коэффициентов квадратных уравнений подмножество «хороших» уравнений? Хорошими будем считать квадратные уравнения с целочисленными коэффициентами, у которых и дискриминант является полным квадратом, и дроби сокращаются так, что решения тоже получаются целочисленными.

Для наглядности, эту задачу будем решать для приведённых квадратных уравнений, то есть, таких, у которых .

В поиске ответа нам опять поможет теорема Виета. Она определяет преобразование координат, отображающее пространство решений в пространство коэффициентов:

Назовём это преобразование именем Виета. Все пары целочисленных решений образуют равномерную решётку в пространстве всех действительных решений.

На этой решётке выделяется линия , которая соответствует нулевому дискриминанту и кратным корням. Эта линия является осью симметрии всего пространства решений. Действительно, одному уравнению соответствует две пары решений и , которые расположены симметрично относительно линии кратных корней. Так что достаточно рассмотреть как отображается в пространство коэффициентов только подпространство уникальных решений, например, нижняя полуплоскость.

Горизонтальные и вертикальные прямые линии, соответствующие уравнениям  и (красные и синие линии на диаграммах) преобразование Виета снова превращает в прямые:

Отображение решётки целочисленных решений в пространстве коэффициентов. Каждая точка здесь — пара коэффициентов (b, c).

Какая красивая картинка! Линия кратных решений окаймляет «мёртвую область», в которой оказываются коэффициенты уравнений, не имеющих вещественных решений. К ней по касательной подходят линии, вдоль которых располагаются пары решений с одинаковым первым или одинаковым вторым элементом.

Линии, касательные параболе образуют прямолинейную, но непрямоугольную сетку. У неё есть интересное свойство: расстояния между всеми точками пересечений любой отдельно взятой касательной со всеми другими всегда одинаково. Нам оно потребуется, но мы позволим себе принять это эмпирическое наблюдение за факт без доказательства.

В отличие от доли нерешаемых уравнений, доля тех, что имеют целочисленные решения, будет сильно зависеть от диапазона, в котором выбираются коэффициенты. По мере его увеличения, число вариантов будет расти квадратично, как площадь в пространстве коэффициентов. В то же время, коэффициенты, дающие целочисленные решения будут располагаться на касательных к линии кратных корней, и их число будет расти линейно с увеличением диапазона, из-за того, что на касательных они располагаются на равном удалении друг от друга. Так что можно ожидать, что доля целочисленных решений будет падать пропорционально , если  и . Численный эксперимент показывает, что на очень больших сказывается отличие от обратной пропорциональности, но это уже такие тонкости, в которых возиться большого смысла нет.

Это значит, что уравнения с небольшими по модулю целыми коэффициентами с большей вероятностью будут иметь целочисленные корни, чем уравнения с большими коэффициентами.

И последнее замечание. В плоскости область нерешаемых уравнений ограничена параболой, тогда как в пространстве эта область представляет собой конус. В этом нет противоречия, плоскость сечёт конус параллельно образующей конуса, а такое коническое сечение является параболой.

Истинный облик квадратных уравнений

А куда деваются корни квадратного уравнения, когда оно не имеет действительных решений и откуда берутся комплексные корни? Как выглядят квадратные уравнения «на самом деле»? Сегодня мы увидим скрытый от вещественного мира облик привычных со школы квадратных уравнений.

Грамотные маткружковцы знают про существование комплексных корней квадратного уравнения, и даже знают, как правильно ставить ударение в слове «комплéксный». А как и откуда эти комплексные корни появляются по мере исчезновении вещественных? Где они располагаются и какой имеют геометрический смысл, применительно к параболе ?

Для того, чтобы порассуждать об этом, надо выйти за пределы вещественной числовой оси и увидеть уравнение таким, каким оно предстаёт в своём мире: в чудесном поле комплексных чисел, в которых любые алгебраические уравнения имеют решения.

Подставим в уравнение вместо переменной x комплексное число в форме :

Теперь раскроем все скобки и приведём подобные слагаемые относительно , не забывая, что

Равенство будет верным, если одновременно и вещественная и мнимая части левой половины равенства обратятся в ноль. Таким образом, мы свели одно уравнение в комплексных числах к системе вещественных уравнений на  и :

Второе уравнение при этом распадается на два: либо , либо .

Можно изобразить геометрические места точек, удовлетворяющих всем трём уравнениям в плоскости и увидеть, что происходит с корнями. Первое уравнение описывает гиперболы с асимптотами, пересекающимися в точке и симметрично расходящимися под наклоном . Ветви гиперболы могут проходить двумя разными способами, в зависимости от знака дискриминанта, либо пересекая ось абсцисс, либо нет. А второе и третье уравнения — это прямые линии, горизонтальная и вертикальная, соответственно.

Вещественные корни

При положительном дискриминанте гиперболы пересекают вещественную ось, и точки пересечения соответствуют двум вещественным числам. Симметрия гипербол в точности согласуется с симметрией параболы, о которой мы говорили в самом начале.

Комплексные корни

Когда дискриминант отрицателен, ветви гиперболы проходят выше и ниже вещественной оси и пересекают вертикальную линию в двух точках. Это и есть два комплексных корня с вещественной частью равной , и мнимой частью, отличающейся от нуля на величину

Нулевому дискриминанту соответствует вырожденная гипербола, совпадающая с асимптотами. Корень при этом кратный, и равен

Кратные корни

Но откуда же взялись гиперболы? Квадратное уравнение — это же про параболы?

Истинное лицо квадратного уравнения

На самом деле, вещественная часть уравнения в комплексных числах описывает гиперболический параболоид. Вот как он выглядит:

Построение гиперболического параболоида, как поверхности, образованной движением параболы, или семейством гипербол.Гиперболический параболоид может быть образован движением прямой.Все вертикальные сечения гиперболического параболоида являются параболами.

Эта поверхность замечательна во многих отношениях. Её можно построить с помощью движения прямой или параболы, либо представить, как поверхность, порождённую многообразием парабол, проходящих через одну точку, которая называется седловой, или многообразием гипербол, лежащих в параллельных плоскостях. Наконец, именно такую форму имеют картофельные чипсы известной марки. Прекрасный иллюстрированный рассказ об этом можно найти здесь.

Линии пересечения параболоида с плоскостью это и есть знакомые нам гиперболы — горизонтальные сечения гиперболического параболоида. Теперь на корни квадратного уравнения мы можем взглянуть, увидев их во всей полноте. Плоскости  и , пересекая параболический гиперболоид в вертикально, образуют две параболы, касающиеся друг друга в седловой точке и расположенные во взаимно перпендикулярных плоскостях. Эти две параболы представляют собой многообразия всех корней квадратного уравнения.

Многообразия вещественных (черные) и комплексных (красные) корней квадратного уравнения в пространстве (u, v, Re(ax² + bx + c))

Положение седловой точки гиперболического параболоида это знакомое нам число Посмотрите, что происходит с поверхностью, при изменении знака дискриминанта. Если мы станем изменять коэффициенты квадратного уравнения, то параболоид станет перемещаться в пространстве пересечение многообразий корней уравнения с плоскостью рождает пару чисел, либо вещественных, либо комплексных

Положение корней уравнения ax²+bx+c = 0 при меняющемся значении коэффициента с в комплексной плоскости, показанной чёрной (вещественной) и красной (мнимой) осями.

Теперь мы с уверенностью можем сказать, что видим, куда деваются вещественные корни уравнения и откуда берутся комплексные!

Параболоид в пространстве квадратных уравнений

Очертания гиперболического параболоида можно разглядеть и в сетке, образованной линиями равных решений в пространстве коэффициентов квадратных уравнений, которую мы построили в предыдущей части. И это, конечно же, не случайно. Мы рассмотрели преобразование Виета, которое строит найти отображение из пространства решений в пространство коэффициентов:

Где же здесь прячется параболоид? Уравнение гиперболического параболоида имеет два канонических вида:

которые переходят друг в друга при линейном преобразовании координат Это преобразование поворачивает и двое уменьшает все фигуры, не меняя их формы. Отсюда следует, что в сердце преобразования между вещественными корнями уравнения и коэффициентами тоже лежит гиперболический параболоид. Вот как выглядит это преобразование геометрически:

Преобразование Виета, как композиция проекций из плоскости корней на параболоид, и из параболоида на плоскость коэффициентов. При этом области, лежащие выше и ниже линии кратных корней отображаются в одну и ту же область коэффициентов, лежащую ниже линии кратных корней.Здесь чёрная линия соответствует кратным корням, а на параболоид проецируется решётка целочисленный корней.

Вертикальная ось на этом графике соответствует свободному коэффициенту  в уравнении. Коэффициент при линейном члене , это сумма корней, так что плоскость представляет собой вертикальную плоскость, параллельную линии кратных корней. Проекцию параболоида на эту плоскость мы и видим, как преобразование Виета.

Параболоид в преобразовании Виета и параболоид, образуемый вещественной частью квадратного уравнения в комплексных числах, это разные фигуры, не связанные друг с другом. Но квадратные уравнения настолько пронизаны параболами, что не удивительно встретить параболоиды в разных частях их теории.

Можно бы завершить рассказ сакраментальной фразой: «Теперь мы знаем о квадратных уравнениях всё». Но, конечно же, главное, это разобраться а зачем нам вообще знать что-то про квадратные уравнения?

Приглашаю вас в свой Дзен-канал Онлайн-кружок математики, в котором различные занимательно-математические материалы появляются в облегчённом варианте, но зато регулярно.

Решите квадратное уравнение с помощью пошагового решения математических задач

Решение уравнений является центральной темой алгебры. Все приобретенные навыки в конечном итоге приводят к способности решать уравнения и упрощать решения. В предыдущих главах мы решали уравнения первой степени. Теперь у вас есть необходимые навыки для решения уравнений второй степени, которые известны как квадратных уравнения .

КВАДРАТИКА, РЕШЕННАЯ ФАКТОРИНГОМ

ЗАДАЧИ

После завершения этого раздела вы сможете:

1. Определите квадратное уравнение.
2. Приведите квадратное уравнение к стандартной форме.
3. Решите квадратное уравнение, разложив его на множители.

Квадратное уравнение — это полиномиальное уравнение, которое содержит вторую степень, но не более высокую степень переменной.

Стандартная форма квадратного уравнения: ax ² + bx + c = 0, когда a ≠ 0, а a, b и c — действительные числа.

Все квадратные уравнения можно привести к стандартной форме, а любое уравнение, которое можно привести к стандартной форме, является квадратным уравнением. Другими словами, стандартная форма представляет все квадратные уравнения.

Решение уравнения иногда называют корнем уравнения.

Эта теорема доказана в большинстве учебников по алгебре для колледжей.

Важная теорема, которую невозможно доказать на уровне этого текста, гласит: «Каждое полиномиальное уравнение степени n имеет ровно n корней». Использование этого факта говорит нам о том, что квадратные уравнения всегда будут иметь два решения. Возможно, что оба решения равны.

Квадратное уравнение имеет два решения, потому что оно второй степени.

Самый простой метод решения квадратичных уравнений — разложение на множители. Этот метод не всегда можно использовать, потому что не все многочлены факторизуемы, но он используется везде, где возможно факторинг.

Метод решения факторингом основан на простой теореме.

Если AB = 0, то либо A = 0, либо B = 0.

Другими словами, если произведение двух множителей равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.

Мы не будем пытаться доказать эту теорему, но внимательно отметим, что она утверждает. Мы никогда не сможем умножить два числа и получить ответ, равный нулю, если хотя бы одно из чисел не равно нулю. Конечно, оба числа могут быть равны нулю, поскольку (0)(0) = 0.

Решение Шаг 1 Приведите уравнение к стандартной форме.

Мы должны вычесть 6 с обеих сторон.

Шаг 2 Фактор полностью.

Вспомните, как разлагать трехчлены на множители.

Шаг 3 Приравняйте каждый коэффициент к нулю и найдите x. Поскольку у нас есть (x — 6)(x + 1) = 0, мы знаем, что x — 6 = 0 или x + 1 = 0, и в этом случае x = 6 или x = — 1.

Это относится к вышеприведенная теорема, в которой говорится, что хотя бы один из факторов должен иметь нулевое значение.

Шаг 4 Проверьте решение исходного уравнения. Если х = 6, то х ² — 5x = 6 становится

Проверка ваших решений — это верный способ узнать, правильно ли вы решили уравнение.

Следовательно, x = 6 является решением. Если x = — 1, то x ² — 5x = 6 становится

Следовательно, — 1 является решением.

Решения могут быть обозначены либо записью x = 6 и x = — 1, либо использованием системы обозначений и записью {6, — 1}, что мы читаем «множество решений для x равно 6 и — 1». В этом тексте мы будем использовать набор обозначений.

В этом примере 6 и -1 называются элементами множества.

Обратите внимание, что в этом примере уравнение уже имеет стандартную форму.

Опять же, проверка решений убедит вас, что вы не допустили ошибки при решении уравнения. также называют корнями уравнения.

(x + 1) — наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении. Помните, каждый член уравнения должен быть умножен на (x + 1).

Проверьте решения в исходном уравнении.

Проверьте исходное уравнение, чтобы убедиться, что знаменатель не равен нулю.

Обратите внимание, что здесь два решения равны. Это происходит только тогда, когда трехчлен является полным квадратом.

НЕПОЛНАЯ КВАДРАТИКА

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Определите неполное квадратное уравнение.
2. Решите неполное квадратное уравнение.

Если уравнение привести к стандартной форме ax ² + bx + c = 0, либо b = 0, либо c = 0, уравнение будет неполным квадратным .

Пример 1

5x ² — 10 = 0 является неполным квадратным числом, так как отсутствует средний член и, следовательно, b = 0,

Когда вы сталкиваетесь с неполным квадратным числом с c — 0 (отсутствует третий член), его все равно можно решить с помощью факторизации.

х — общий множитель. Произведение двух множителей равно нулю. Поэтому воспользуемся теоремой из предыдущего раздела. Проверьте эти решения.

Обратите внимание, что если член c отсутствует, вы всегда можете вынести x из других членов. Это означает, что во всех таких уравнениях одним из решений будет ноль.
Неполный квадрат с отсутствующим членом b нужно решать другим способом, так как факторинг будет возможен только в особых случаях. 9Пример 3 . Но из предыдущих наблюдений у нас есть следующая теорема.

Обратите внимание, что есть два значения, которые при возведении в квадрат будут равны A.0035

Проверьте эти решения.

Добавьте по 10 с каждой стороны. Проверьте эти решения.

Здесь 7x — общий множитель. Проверьте эти решения.

Обратите внимание, что в этом примере квадрат числа равен отрицательному числу. Это никогда не может быть истинным в действительной системе счисления, и поэтому у нас нет реального решения.

ЗАПОЛНЕНИЕ КВАДРАТ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Определите совершенный квадратный трехчлен.
2. Завершите третий член, чтобы получить идеальный квадратный трехчлен.
3. Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат.

Из своего опыта факторинга вы уже понимаете, что не все многочлены факторизуемы. Следовательно, нам нужен метод решения нефакторизуемых квадратичных уравнений. Необходимый метод называется «заполнение квадрата».

Сначала давайте рассмотрим значение «совершенного квадратного трехчлена». Когда мы возводим двучлен в квадрат, мы получаем совершенный квадратный трехчлен. Общая форма: (a + b) ² = a ² + 2ab + b ² .

Помните, возведение бинома в квадрат означает умножение его самого на себя.

Из общей формы и этих примеров мы можем сделать следующие наблюдения относительно трехчлена с совершенным квадратом.

1. Два из трех членов являются полными квадратами. 4x ² и 9 в первом примере, 25х ² и 16 во втором примере и а ² и б ² в общем виде.
   

   Другими словами, первый и третий члены являются полными квадратами.

2. Другой член равен либо умноженному на плюс, либо минус удвоенному произведению квадратных корней из двух других членов.

Член -7 сразу говорит, что это не может быть совершенным квадратным трехчленом. Задача при составлении квадрата состоит в том, чтобы найти такое число, которое заменит -7, чтобы получился идеальный квадрат.

Рассмотрим следующую задачу: заполните пробел так, чтобы «x ² + 6x + _______» было правильным квадратным трехчленом. Из двух условий для совершенного квадратного трехчлена мы знаем, что пробел должен содержать полный квадрат и что 6x должно быть удвоенным произведением квадратного корня из x ² и числа в пробеле. Поскольку x уже присутствует в 6x и является квадратным корнем из x ² , тогда 6 должно быть в два раза больше квадратного корня из числа, которое мы помещаем в пробел. Другими словами, если мы сначала возьмем половину от 6, а затем возведем результат в квадрат, мы получим необходимое число для пробела.

Следовательно, x ² + 6x + 9 — это совершенный квадратный трехчлен.

Теперь давайте рассмотрим, как мы можем использовать завершение квадрата для решения квадратных уравнений.

Пример 5 Решите x ² + 6x — 7 = 0, заполнив квадрат.

Вспомните, что вместо -7 +9 сделало бы выражение правильным квадратом.

Решение Прежде всего заметим, что член -7 должен быть заменен, если мы хотим получить идеальный квадратный трехчлен, поэтому мы перепишем уравнение, оставив пробел для нужного числа.

Будьте осторожны, чтобы не нарушить правила алгебры. Например, обратите внимание, что вторая форма возникла из добавления +7 к обеим частям уравнения. Никогда не добавляйте что-то к одной стороне, не добавив то же самое к другой стороне.

Теперь мы находим половину 6 = 3 и 3 ² = 9, чтобы получить число для пробела. Опять же, если мы поместим 9 в пустое место, мы также должны добавить 9 к правой стороне.

Запомнить, если 9прибавляется к левой части уравнения, его необходимо прибавить и к правой части.

Теперь разложите на три члена совершенный квадрат, что дает

Теперь x 2 + 6x + 9 можно записать как (x + 3) 2 .

Добавить — 3 с обеих сторон.

Таким образом, 1 и -7 являются решениями или корнями уравнения.

Пример 6 Решите 2x ² + 12x — 4 = 0, заполнив квадрат.

Решение Эта задача связана с другой трудностью. Первый член, 2x ² , не является идеальным квадратом.
Мы исправим это, разделив все члены уравнения на 2 и получим

Другими словами, получим коэффициент 1 для члена x 2 .

Теперь мы добавляем 2 к обеим сторонам, что дает

Опять же, это более кратко.

Пример 7 Решите 3x ² + 7x — 9 = 0, заполнив квадрат.

Решение Шаг 1 Разделите все слагаемые на 3.

Снова получите коэффициент 1 для x 2 делением на 3. 9003 7

Шаг 2 Перепишите уравнение, оставив пробел для термина, необходимого для заполнения квадрата.

Шаг 3 Найдите квадрат половины коэффициента x и прибавьте к обеим частям.

Это выглядит сложно, но мы следуем тем же правилам, что и раньше.

Шаг 4 Фактор завершенного квадрата.

Разложение на множители никогда не должно быть проблемой, поскольку мы знаем, что имеем совершенный квадратный трехчлен, а это значит, что мы находим квадратные корни первого и третьего членов и используем знак среднего члена.

Если у вас возникнут какие-либо трудности, вам следует повторить арифметику, связанную со сложением чисел справа.
Теперь у нас есть

Шаг 5 Извлеките квадратный корень из каждой части уравнения.

Шаг 6 Найдите x (два значения).

нельзя упростить. Мы могли бы также записать решение этой задачи в более сжатой форме как

Следуйте шагам предыдущего вычисления и обратите особое внимание на последнюю строку. Что можно сделать, если квадрат величины равен отрицательному числу? «Нет реального решения».

Какое действительное число можно возвести в квадрат и получить -7?

Таким образом, чтобы решить квадратное уравнение путем завершения квадрата, следуйте этому пошаговому методу.

Шаг 1 Если коэффициент x2 не равен 1, разделите все члены на этот коэффициент.
Шаг 2 Перепишите уравнение в виде x2 + bx + _______ = c + _______.
Шаг 3 Найдите квадрат половины коэффициента при x и прибавьте эту величину к обеим частям уравнения.
Шаг 4 Разложите построенный квадрат на множители и объедините числа в правой части уравнения.
Шаг 5 Найдите квадратный корень из каждой части уравнения.
Шаг 6 Найдите x и упростите.
Если шаг 5 невозможен, то уравнение не имеет действительного решения.

Эти шаги помогут решить уравнения в следующем упражнении.

ФОРМУЛА КВАДРАТА

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы должны уметь:

1. Решите общее квадратное уравнение, заполнив квадрат.
2. Решите любое квадратное уравнение с помощью квадратной формулы.
3. Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат.

Стандартная форма квадратного уравнения: ось ² + bx + c = 0. Это означает, что любое квадратное уравнение можно представить в такой форме. В некотором смысле тогда ax ² + bx + c = 0 представляет все квадратичные числа. Если вы сможете решить это уравнение, вы получите решение всех квадратных уравнений.

Общее квадратное уравнение будем решать методом дополнения квадрата.

Это необходимо для получения члена x 2 с коэффициентом 1. Это мы делали в предыдущем разделе много раз.

Мы должны добавить к каждой стороне.

Эта форма называется квадратичной формулой и представляет собой решение всех квадратных уравнений.

Запомните это выражение.

Чтобы использовать квадратную формулу, вы должны определить a, b и c. Для этого данное уравнение всегда должно быть приведено к стандартной форме.

Внимательно подставьте значения a, b и c в формулу.

Не каждое квадратное уравнение имеет действительное решение.

Это уравнение уже имеет стандартную форму.

Реального решения нет, так как -47 не имеет реального квадратного корня.

Опять же, это уравнение имеет стандартную форму.

Теперь это решение должно быть упрощено.

ЗАДАЧИ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы должны быть в состоянии:

1. Определите текстовые задачи, для решения которых требуется квадратное уравнение.
2. Решайте текстовые задачи с квадратными уравнениями.

Определенные типы текстовых задач можно решать с помощью квадратных уравнений. Процесс определения и постановки задачи такой же, как описано в главе 5, но с задачами, решаемыми с помощью квадратичных вычислений, вы должны быть очень осторожны, проверяя решения в самой задаче. Физические ограничения внутри проблемы могут исключить одно или оба решения.

Пример 1 Если длина прямоугольника на 1 единицу больше его ширины более чем в два раза, а площадь равна 55 квадратных единиц, найдите длину и ширину.

Решение Формула площади прямоугольника: Площадь = Длина Х Ширина. Пусть x = ширина, 2x + 1 = длина.

Если x представляет собой ширину, то 2x представляет удвоенную ширину, а 2x + 1 представляет собой ширину, более чем в два раза превышающую единицу.

Приведите квадратное уравнение к стандартной форме. Это квадратичное уравнение можно решить с помощью факторизации.

В этот момент вы можете видеть, что решение x = -11/2 неверно, так как x представляет измерение ширины, а отрицательные числа не используются для таких измерений. Следовательно, решение

ширина = x = 5, длина = 2x + 1 = 11.

Измерение не может быть отрицательным значением.

Обратное значение x равно . Помните, что LCD означает наименьший общий знаменатель. Каждый член должен быть умножен на 10x. Опять же, этот квадрат можно разложить на множители.

Проверка обоих растворов. Следовательно, множество решений равно .

У этой проблемы есть два решения.

Пример 3 Если определенное целое число вычесть из 6-кратного его квадрата, получится 15. Найдите целое число.

Решение Пусть x = целое число. Тогда

Поскольку ни одно из решений не является целым числом, задача не имеет решения.

У вас может возникнуть соблазн указать эти значения в качестве решения, если только вы не обратили пристальное внимание на тот факт, что задача требует целочисленного значения.

Пример 4 Управляющий фермой имеет в наличии 200 метров забора и хочет оградить прямоугольное поле площадью 2400 квадратных метров. Какими должны быть размеры поля?

Решение Здесь используются две формулы. P = 2l + 2w для периметра и A = lw для площади.
Сначала используя P = 2l + 2w, мы получаем

Разделим каждый член на 2.

Теперь мы можем использовать формулу A = lw и подставить (100 — l) вместо w, что дает

9000 2

Поле должно быть 40 метров в ширину и 60 метров в длину.

С таким же успехом мы могли бы найти l, получив l = 100 — w. Тогда

Обратите внимание, что в этой задаче мы фактически используем систему уравнений

P = 2 l + 2 w
А = л ш.

В общем случае система уравнений, в которой участвует квадратное уравнение, будет решаться методом подстановки. (См. главу 6.)

РЕЗЮМЕ

Ключевые слова

• Квадратное уравнение представляет собой полиномиальное уравнение с одним неизвестным, которое содержит вторую степень, но не более высокую степень переменной.
• Стандартная форма квадратного уравнения : ax ² + bx + c = 0, когда a ≠ 0,
• Ан неполное квадратное уравнение имеет форму ax ² + bx + c = 0, и либо b = 0, либо c = 0.
• Квадратная формула равна
  

Процедуры

• Наиболее прямым и, как правило, самым простым методом нахождения решений квадратного уравнения является разложение на множители. Этот метод основан на теореме: если AB = 0, то A = 0 или B = 0. Чтобы использовать эту теорему, мы придаем уравнению стандартную форму, множитель и устанавливаем каждый множитель равным нулю.
• Чтобы решить квадратное уравнение путем завершения квадрата, выполните следующие действия:
  Шаг 1 Если коэффициент x ² не равен 1, разделите все члены на этот коэффициент.
  Шаг 2 Перепишите уравнение в виде x ² + bx +_____ = c + _____
  Шаг 3 Найдите квадрат половины коэффициента при члене x и прибавьте эту величину к обеим частям уравнения.
  Шаг 4 Разложите построенный квадрат на множители и объедините числа в правой части уравнения.
  Шаг 5 Найдите квадратный корень из каждой части уравнения.
  Шаг 6 Найдите x и упростите.
• Метод завершения квадрата используется для вывода квадратной формулы.
• Чтобы использовать квадратичную формулу, напишите уравнение в стандартной форме, определите a, b и c и подставьте эти значения в формулу. Все решения должны быть упрощены.

Как найти решение квадратного уравнения

Вся алгебра 1 Ресурсы

10 диагностических тестов 557 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 3 4 5 Следующая →

Алгебра 1 Помощь » Уравнения / Неравенства » Системы уравнений » Квадратные уравнения » Как найти решение квадратного уравнения

Решить x.

Возможные ответы:

x = 6, 3

x = –9, –2

Нельзя разложить по группам 005

Пояснение:

1) Это относительно стандартное квадратное уравнение. Перечислите и прибавьте множители 18.

1 + 18 = 19

2 + 9 = 11

3 + 6 = 9

2) Вытяните общие множители каждой пары, «х» из первой и « 6 дюймов от второго.

3) Снова разложите на множители, вытащив «(x+3)» из обоих членов.

4) Приравнять каждый член к нулю и решить.

x + 3 = 0, x = –3

x + 6 = 0, x = –6

Сообщить об ошибке

Найти x.

Возможные ответы:

x = 1

x = –4

x = 2, 4

x = –1

x = 4

Правильный ответ:

х = – 1

Объяснение:

1) После добавления одинаковых членов и установки уравнения равным нулю, ближайшим следующим шагом в решении любого квадратного уравнения является упрощение. Если коэффициенты всех трех слагаемых имеют общий множитель, вытяните его. Итак, продолжайте и разделите обе части (и, следовательно, ВСЕ члены на ОБЕИХ сторонах) на 4.

Поскольку ноль, разделенный на четыре, по-прежнему равен нулю, меняется только левая часть уравнения.

2) Либо сгруппируйте, либо используйте квадратный трюк.

Группировка:

1 + 1 = 2

(«1» вытащено только для того, чтобы прояснить следующий шаг факторинга.)

x + 1 = 0, x = –1

ИЛИ

Perfect Square:

x = –1

 

Сообщить об ошибке

Найти x.

Возможные ответы:

Нельзя разложить по группам

x = –1/4

x = 4, –1/4

х = –4, 4

х = –1, 1

Правильный ответ:

х = 4, –1/4

Объяснение:

1) Квадратичные числа, как правило, легче понять, если они расположены в порядке убывания степени. Другими словами, нам нужно переставить уравнение.

2) Никакое другое упрощение невозможно, так как нет общих множителей между 15 и 4. Умножьте первый коэффициент на последний член и перечислите множители.

4 * –4 = –16

Коэффициенты –16 включают:

–1 + 16 = 15

1 + –16 = –15

.

4) Разложить на множители путем извлечения наибольшего общего множителя из каждой пары членов, «x» из первого и «-4» из второго.

5) Вычтите «4x+1» из обоих членов.

6) Приравняйте обе части к нулю и решите.

х – 4 = 0, х = 4

4x + 1 = 0, x = –1/4

Сообщить об ошибке

Найти x.

Возможные ответы:

Нет решения

Правильный ответ :

Объяснение:

Это можно сделать двумя способами. Один из способов заключается в использовании квадратичной формулы. Квадратичная формула написана ниже.

Глядя на , a = 7, b = –4 и c = 13. Подставьте эти значения в квадратное уравнение, чтобы найти x.

Обратите внимание.

Вынесите два из них, затем сократите эти два и разделите члены.

Это наш ответ первым способом.

Другой метод решения включает в себя завершение квадрата.

Вычтите 13 с обеих сторон.

Разделите 7 на обе стороны.

Возьмите -4/7 из x-члена, разрежьте его пополам, чтобы получить -2/7. Возведите в квадрат это -2/7, чтобы получить 4/49. Наконец, прибавьте 4/49 к обеим сторонам

Умножьте левую часть на множители и упростите правую.

Квадратный корень и прибавьте 2/7 к обеим сторонам.

Не забудьте написать через «i».

Обратите внимание, что мы должны найти один и тот же ответ любым методом.

Сообщить об ошибке

Билли на несколько лет старше Джонни. Билли старше Джонни более чем в два раза, а их возраст, перемноженный вместе, дает девяносто один год. Когда Билли будет в 1,5 раза старше Джонни?

Возможные ответы:

Когда Джонни 12, а Билли 18

Когда Джонни 4, а Билли 6

Когда Джонни 2, а Билли 3

Когда Джонни 7 и Билли 13

Когда Джонни 14, а Билли 21

Правильный ответ:

Когда Джонни 12, а Билли 18

Объяснение:

1) Прежде чем мы сможем вычислить, когда Билли будет в 1,5 раза старше Джонни, мы должны вычислить их текущий возраст. Итак, давайте определим наши переменные с точки зрения первой части вопроса.

B = возраст Билли и J = возраст Джонни

Легче решить, если мы представим одну переменную через другую. Если бы Билли был вдвое старше Джонни, мы могли бы записать его возраст как B = 2J.

Но Билли на единицу меньше , чем в два раза старше Джонни, поэтому B = 2J – 1

2) Мы знаем, что два возраста мальчиков перемножаются вместе, чтобы получить девяносто один год.

B * J = J(2J – 1) = 91

3) Теперь у нас есть факторизованный квадратичный. Нам просто нужно умножить это и установить все равным нулю, чтобы начать.

4) Теперь нам нужно вернуться к фактору. Начнем с умножения первого коэффициента на последний член и перечисления факторов.

2 * –91 = –182

1 + –182 = –181

2 + –91 = –89

7 + –26 = –19

13 + –14 = –1

90 002 5) Сплит вверх по среднему члену, чтобы можно было разложить по группам.

6) Разложить по группам, вытащив «2J» из первого набора термов и «13» из второго.

7) Вынесите «(J-7)» из обоих терминов.

8) Приравняйте обе скобки к нулю и решите.

2J + 13 = 0, J = –13/2

J – 7 = 0, J = 7

Очевидно, работает только одно из двух решений, поскольку возраст Джонни должен быть положительным. Джонни 7, поэтому Билли 2(7) – 1=13. Но мы еще не закончили!

9) Нам нужно выяснить, в какой момент Билли будет в 1,5 раза старше Джонни. Угадать и проверить было бы довольно эффективным способом решения этой задачи, но составление уравнения было бы еще быстрее. Однако сначала нам нужно выяснить, что представляет собой наша переменная. Мы знаем текущий возраст Билли и Джонни; нам просто нужно выяснить их будущий возраст. Одна переменная всегда лучше двух, поэтому вместо использования двух разных переменных для представления их соответствующего будущего возраста мы будем использовать одну переменную для представления количества лет, которые мы должны добавить к каждому из их текущих возрастов, чтобы сделать Билли 1,5 года. раз старше Джонни. Назовем эту переменную «x».

1,5(J + x) = B + x

Мы знаем значения J и B, поэтому мы можем продолжить и заполнить их.

1,5(7 + x) = 13 + x

10) Тогда мы решаем для x алгебраически, с обратным порядком операций.

10,5 + 1,5x = 13 + x

0,5x = 2,5

x = 5

J = 7 + 5 = 12

B = 13 + 5 = 18

9 0002 Сообщить об ошибке

Найти все решения следующего квадратного уравнения:

Возможные ответы:

Ничего из вышеперечисленного Объяснение:

Это требует использования квадратичной формулы. Напомним, что:

 для .

Для этой задачи .

Итак,

.

.

 

Следовательно, есть два решения:

Сообщить об ошибке

Решить для .

Возможные ответы:

Нет решения

Правильный ответ:

Объяснение:

Запишите уравнение в стандартной форме, сначала убрав скобки, а затем переместив все члены слева от знака равенства.

Первый:

Внутри:

Снаружи:

Последний:

Теперь размножьте, приравняйте каждый бином к нулю и решите по отдельности. Мы ищем два числа с суммой и произведением; эти числа .

и

или

Набор решений.

Сообщить об ошибке

Решить для  : 

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Удалите круглые скобки, затем запишите это квадратное уравнение в стандартной форме, со всеми ненулевыми членами на одной стороне:

два срока чьи коэффициенты в сумме составляют 11 и имеют произведение .