Уравнения примеры решения: Решение уравнений — урок. Математика, 6 класс.

Геометрический смысл квадратного уравнения

Графиком функции, которая представлена квадратным уравнением является парабола. Решения (корни) квадратного уравнения — это точки пересечения параболы с осью абсцисс (х). Из этого следует, что есть три возможных случая:
1) парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс. Это означает, что она находится в верхней плоскости с ветками вверх или нижней с ветками вниз. В таких случаях квадратное уравнение не имеет действительных корней (имеет два комплексных корня).

2) парабола имеет одну точку пересечения с осью Ох. Такую точку называют вершиной параболы, а квадратное уравнение в ней приобретает свое минимальное или максимальное значение. В этом случае квадратное уравнение имеет один действительный корень (или два одинаковых корня).

3) Последний случай на практике интересный больше — существует две точки пересечения параболы с осью абсцисс. 2 и осуществим преобразование

Отсюда находим

Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения

Дискриминантом называют значение подкоренного выраженияЕсли он положительный то уравнение имеет два действительных корня, вычисляемые по формулеПри нулевом дискриминант квадратное уравнение имеет одно решение (два совпадающих корня), которые легко получить из приведенной выше формулы при D=0При отрицательном дискриминант уравнения действительных корней нет. Однако исують решения квадратного уравнения в комплексной плоскости, и их значение вычисляют по формуле

Теорема Виета

Рассмотрим два корня квадратного уравнения и построим на их основе квадратное уравнение.С записи легко следует сама теорема Виета: если имеем квадратное уравнение видато сумма его корней равна коэффициенту p, взятому с противоположным знаком, а произведение корней уравнения равен свободному слагаемому q. Формульная запись вышесказанного будет иметь видЕсли в классическом уравнении константа а отлична от нуля, то нужно разделить на нее все уравнение, а затем применять теорему Виета. 2+x-6=0.

Решение: В случаях когда есть малые коэффициенты при х целесообразно применять теорему Виета. По ее условию получаем два уравнения

С второго условия получаем, что произведение должно быть равно -6. Это означает, что один из корней отрицателен. Имеем следующую возможную пару решений{-3;2}, {3;-2}. С учетом первого условия вторую пару решений отвергаем.
Корни уравнения равны

Задача 5. Найти длины сторон прямоугольника, если его периметр 18 см, а площадь 77 см².

Решение: Половина периметра прямоугольника равна сумме соседних сторон. Обозначим х – большую сторону, тогда 18-x меньшая его сторона. Площадь прямоугольника равна произведению этих длин:
х(18-х)=77;
или
х²-18х+77=0.
Найдем дискриминант уравнения

Вычисляем корни уравнения

Если х=11, то 18-х=7, наоборот тоже справедливо (если х=7 , то 21-х=9).

Задача 6. Разложить квадратное 10x²-11x+3=0 уравнения на множители.

Решение: Вычислим корни уравнения, для этого находим дискриминант

Подставляем найденное значение в формулу корней и вычисляем

Применяем формулу разложения квадратного уравнения по корнями

Раскрыв скобки получим тождество.

Квадратное уравнение с параметром

Пример 1. При каких значениях параметра а, уравнение (а-3)х²+(3-а)х-1/4=0 имеет один корень?

Решение: Прямой подстановкой значения а=3 видим, что оно не имеет решения. Далее воспользуемся тем, что при нулевом дискриминанте уравнение имеет один корень кратности 2. Выпишем дискриминант

упростим его и приравняем к нулю

Получили квадратное уравнение относительно параметра а, решение которого легко получить по теореме Виета. Сумма корней равна 7, а их произведение 12. Простым перебором устанавливаем, что числа 3,4 будут корнями уравнения. Поскольку решение а=3 мы уже отвергли в начале вычислений, то единственным правильным будет — а=4. Таким образом, при а=4 уравнение имеет один корень. 2+(2а+6)х-3а-9=0 имеет более одного корня?

Решение:Рассмотрим сначала особые точки, ими будут значения а=0 и а=-3. При а=0 уравнение упростится до вида 6х-9=0; х=3/2 и будет один корень. При а= -3 получим тождество 0=0.
Вычислим дискриминант

и найдем значения а при котором оно положительно

С первого условия получим а>3. Для второго находим дискриминант и корни уравнения


Определим промежутки где функция принимает положительные значения. Подстановкой точки а=0 получим 3>0. Итак, за пределами промежутка (-3;1/3) функция отрицательная. Не стоит забывать о точке а=0, которую следует исключить, поскольку в ней исходное уравнение имеет один корень.
В результате получим два интервала, которые удовлетворяют условию задачи

Подобных задач на практике будет много, постарайтесь разобраться с заданиями самостоятельно и не забывайте учитывать условия, которые взаимоисключают друг друга. Хорошо изучите формулы для решения квадратных уравнений, они довольна часто нужны при вычислениях в разных задачах и науках.

уравнений с бесконечными решениями (6 примеров и пояснений) — JDM Educational

Решая уравнение, мы можем обнаружить, что решения нет, есть одно решение, несколько решений или бесконечное количество решений (мы также можем сказать «бесконечно много решений») . Полезно знать, как выглядят некоторые из них, чтобы вы могли узнать их в случае, если вы столкнетесь с ними.

Итак, какие есть уравнения с бесконечными решениями? Некоторые уравнения с тригонометрическими функциями (например, sin(x) = 0) имеют бесконечно много решений. Есть некоторые уравнения с одной переменной (типа (x+1) ² = х ² + 2х + 1), которые имеют бесконечно много решений. Существуют также уравнения с двумя или более переменными (например, x = y), которые имеют бесконечно много решений.

Конечно, существует множество уравнений с бесконечными решениями — приведенные выше лишь несколько примеров.

В этой статье мы поговорим о том, что означает, что уравнение имеет бесконечные решения. Мы также рассмотрим несколько примеров и объясним, почему в этих случаях существует бесконечное число решений.

Начнем.

Уравнения с бесконечными решениями

Существуют некоторые общие признаки того, что уравнение может иметь бесконечные решения. Например:

• Если обе части уравнения равны (или эквивалентны после перестановки членов), то всегда есть бесконечные решения. Это может произойти для уравнений с одной или несколькими переменными. Например, 2(x + 3) = 2x + 6 одинаково с обеих сторон после того, как мы используем Распределительное свойство слева. Значит, она имеет бесконечные решения.
• Если в уравнении две или более переменных, то может быть бесконечное число решений. Например, y = x ² имеет бесконечные решения: для любого действительного числа x мы можем легко найти решение y, возведя x в квадрат.
• Если имеется осциллирующая или периодическая функция (например, синус или косинус), то решений может быть бесконечно много. Например, sin(x) = 0 имеет бесконечно много решений, поскольку каждое целое число, кратное π радианам, является решением (таким образом, π, 2π, 3π, 4π,… все являются решениями).

*Примечание: когда мы говорим, что уравнение имеет бесконечные решения (или бесконечно много решений), мы не имеем в виду, что ∞ является решением уравнения. Мы имеем в виду, что существует неограниченное число решений уравнения (каждое решение — конечное число).

Теперь давайте рассмотрим несколько примеров уравнений с бесконечными решениями, а также объяснение каждого из них.

Использование квадратных корней

Пожалуйста, включите JavaScript

Использование квадратных корней

Пример 1. Уравнение с одной переменной с бесконечным числом решений

Рассмотрим следующее уравнение с одной переменной:

• (x + 1) ² + 4x x + 3) ² – 8

Нам нужно будет выполнить некоторую работу (используя FOIL и комбинируя подобные термины), чтобы увидеть, существуют ли бесконечные решения:

• (x ² + 2x + 1) + 4х = (х + 3) ² – 8   [(x + 1) ² = (x ² + 2x + 1), по ФОЛЬГЕ]
• (x ² + 2x + 1) + 4x = (x

  7 +

  2

  6x + 9) – 8

    [(x + 3) ² = (x ² + 6x + 9), по ФОЛЬГЕ]

• x ² + 6x + 1 = x ^{+ 2} + 6x 1   [объедините одинаковые термины с обеих сторон]
• 0 = 0

Это последнее утверждение всегда истинно, независимо от того, какое значение x мы выбираем. Итак, исходное уравнение имеет бесконечное число решений — подойдет любое реальное значение x!

Пример 2. Уравнение с двумя переменными и бесконечным числом решений

Рассмотрим следующее уравнение с двумя переменными:

• y = 2x ² – 5x + 1

У этого уравнения бесконечно много решений. . В этом случае мы можем выбрать любое реальное значение x и найти y, подставив выбранное значение x в уравнение.

Например:

• Для x = 0 получаем y = 2(0) ² – 5(0) + 1 = 2*0 – 0 + 1 = 0 – 0 + 1 = 1
• Для x = 1 получаем y = 2(1) ² – 5(1) + 1 = 2*1 – 5 + 1 = 2 – 5 + 1 = -2
• Для x = 2, получаем y = 2(2) ² – 5(2) + 1 = 2*4 – 10 + 1 = 8 – 10 + 1 = -1
• и т. д.

График ниже показано множество решений (парабола, которая является графиком квадратного).

Пример 3. Уравнение с тремя переменными с бесконечным числом решений

Рассмотрим следующее уравнение с двумя переменными:

• z = x + y

У этого уравнения бесконечно много решений. В этом случае мы можем выбрать любое действительное значение для x и любое действительное значение для y и найти z, подставив выбранные нами значения x и y в уравнение.

Например:

• Для x = 0 и y = 0 получаем z = 0 + 0 = 0
• Для x = 0 и y = 1 получаем z = 0 + 1 = 1
• Для x = 1 и y = 1 мы получаем z = 1 + 1 = 2
• и т. д.

График уравнения z = x + y будет представлять собой целую плоскость при отображении в 3D космос.

Пример 4. Уравнение с тригонометрическими функциями с бесконечным числом решений

Рассмотрим следующее уравнение с тригонометрической функцией:

• 2sin(x) = 1
• sin(x) = ½
• x = (12k + 1)π/6, (12k + 5)π/6 для любого целого числа k

Поскольку k может быть любым целым числом, существуют бесконечно много решений уравнения. Ниже вы можете увидеть график, показывающий некоторые точки пересечения y = 2sin(x) и y = 1.

Обратите внимание, что шаблон того же типа будет иметь место для любой периодической функции (синуса, косинуса и т. д.)

Пример 5. Уравнение с триггерными функциями с бесконечным числом решений

Рассмотрим следующее уравнение с тригонометрической функцией:

• cos(x) = 1
• x = kπ для любого целого числа k

Поскольку k может быть любым целым числом, у уравнения существует бесконечно много решений. Ниже вы можете увидеть график, показывающий некоторые точки пересечения y = cos(x) и y = 1.

Пример 6. Уравнение с тригонометрическими функциями с бесконечным числом решений

Рассмотрим следующее уравнение с тригонометрической функцией:

• sin(x) = cos(x)
• sin(x)/cos(x) = cos(x)/cos(x)
• tan(x) = 1

Это происходит, когда x = (8k+1)π/4 и x = (8k+5)π/4 для каждого целого числа k.

*Примечание: поскольку мы делили на cos(x), мы должны проверить случай, когда cos(x) = 0, что имеет место, когда x = kπ/2 для каждого k. В этом случае sin(x) равен 1, что не равно 0.

Поскольку k может быть любым целым числом, у уравнения существует бесконечно много решений. Ниже вы можете увидеть график, показывающий некоторые точки пересечения y = cos(x) и y = 1.

Заключение

Теперь вы знаете о некоторых уравнениях, имеющих бесконечные решения, и о том, как они выглядят.

Чтобы узнать больше о системах линейных уравнений с бесконечными решениями, ознакомьтесь с этой статьей.

Надеюсь, эта статья оказалась вам полезной. Если это так, пожалуйста, поделитесь ею с теми, кто может использовать эту информацию.

Не забудьте подписаться на наш канал YouTube и получать обновления о новых математических видео!

Подпишитесь на наш канал на YouTube!

Решения линейного уравнения | Калькулятор

Решения линейного уравнения относятся к набору значений переменных в линейных уравнениях, дающих все возможные решения. Линейные уравнения включают неизвестные величины в виде одной или нескольких переменных для представления реальных задач. Это помогает легко узнать стоимость, пробег, скорость, расстояние и т. Д. Мы все используем линейные уравнения в нашей повседневной жизни, не зная об этом.

В этом уроке мы подробно узнаем о решениях линейных уравнений, типах решений, способах их нахождения и т. д.

Каковы решения линейного уравнения?

Решениями линейных уравнений являются точки, в которых линии или плоскости, представляющие линейные уравнения, пересекаются или встречаются друг с другом. Множество решений системы линейных уравнений — это множество значений переменных всех возможных решений. Например, при решении линейных уравнений можно визуализировать решение системы одновременных линейных уравнений, нарисовав 2 линейных графика и найдя точку их пересечения.

Красная линия представляет все решения уравнения 1, а синяя линия — решения уравнения 2. Пересечение в единственной точке (2,4) — это решение, удовлетворяющее обоим уравнениям.

Типы решений линейных уравнений

Система линейных уравнений может иметь 3 типа решений.

Единственное решение системы линейных уравнений

Единственное решение системы линейных уравнений означает, что существует только одна точка, при подстановке которой левая и правая стороны уравнения становятся равными. Линейное уравнение с одной переменной всегда имеет единственное решение. Например, 3m = 6 имеет единственное решение m = 2, для которого L.H.S = R.H.S. Точно так же для одновременных линейных уравнений с двумя переменными единственным решением является упорядоченная пара (x, y), которая удовлетворяет обоим уравнениям.

Нет решения

Система линейных уравнений не имеет решения, если не существует точки, в которой прямые пересекаются друг с другом, или графики линейных уравнений параллельны.

Бесконечное множество решений

Как найти решение линейного уравнения?

Решения для линейных уравнений с одной переменной

Рассмотрим уравнение 2x + 4 = 8

• Чтобы найти значение x, сначала мы удаляем 4 из LHS, поэтому мы вычитаем 4 из обеих частей уравнения. 2x + 4 — 4 = 8 — 4
• Просто. Теперь мы получаем, 2x = 4
• Теперь нам нужно удалить 2 из L.H.S, чтобы получить x, поэтому мы делим уравнение на 2. 2x/2 = 4/2, x=2

Следовательно, решение уравнения 2x + 4 = 8 равно x=2.

Решения линейных уравнений с двумя переменными

Для нахождения решений линейных уравнений с двумя переменными можно использовать следующие методы.

Метод подстановки

Рассмотрим следующую пару линейных уравнений, давайте решим следующие линейные уравнения.

x + y = 4 и x — y = 2

• Преобразуем первое уравнение, чтобы выразить y через x следующим образом: x + y = 4, y = 4 — x
• Теперь это выражение для у можно подставить во второе уравнение, так что у нас останется уравнение только относительно х: х — у = 2, х — 4 + х = 2, 2х = 6 х = 6/2, х = 3
• Получив значение x, мы можем подставить его обратно в любое из двух уравнений, чтобы найти y. Подставим это в первое уравнение: x + y = 4 (3) + y = 4, y = 4 — 3 = 1, y = 1
• Окончательное нетривиальное решение: x = 3, y = 1

Должно быть понятно, почему этот процесс называется замещением. Мы выражаем одну переменную через другую, используя одно из двух уравнений, и подставляем это выражение во второе уравнение.

Метод исключения

Рассмотрим следующую пару линейных уравнений:

2x + 3y — 11 = 0, 3x + 2y — 9 = 0

Коэффициенты x в двух уравнениях равны 2 и 3 соответственно. Умножим первое уравнение на 3, а второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при x в двух уравнениях стали равными:

• 3 {2x + 3y — 11 = 0} 6x + 9y — 33 = 0
• 2 {3x + 2y — 9 = 0} 6x + 4y — 18 = 0

Теперь вычтем два уравнения, это значит, что мы вычтем левые части двух уравнений, а правые части двух уравнений и равенство все равно сохранится.

6x + 9y — 33 = 0 ,6x + 4y — 18 = 0 0 + 5y — 15 = 0, 5y = 15, y = 3 . Получив значение y, мы действуем, как и раньше, — подставляем его в любое из двух уравнений. Подставим это в первое уравнение:

2х + 3у — 11 = 0, 2х + 3 (3) — 11 = 0, 2х + 9 — 11 = 0\, 2х = 2, х = 1

Таким образом, нетривиальное решение: x = 1, y = 3

Графический метод

В качестве примера решим следующее линейное уравнение: x — y + 2 = 0, 2x + y — 5 = 0. Рисуем соответствующие линии на тех же осях:

Точка пересечения (1,3), что означает, что x = 1, y = 3 является решением пары линейных уравнений, заданной (2). Фактически, это единственное решение пары , так как две непараллельные прямые не могут пересекаться более чем в одной точке.

Важные примечания

Вы можете напрямую проверить типы решений, используя следующие условия:

• Уникальное решение (непротиворечивое и независимое) a1/a2 ≠ b1/b2
• Нет решения (противоречивое и независимое) a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2
• Бесконечное множество решений (непротиворечивых и зависимых) a1/a2 = b1/b2 = c1/c2

Часто задаваемые вопросы о решениях линейных уравнений

Как решить систему линейных уравнений?

У нас есть разные методы решения системы линейных уравнений:

• Графический метод
• Метод замены
• Метод перекрестного умножения
• Метод исключения
• Метод определителей

Что такое уникальное решение линейного уравнения?

Единственным решением системы линейных уравнений является упорядоченная пара или точка, которая делает равенство истинным в уравнении.

Что произойдет, если пара линейных уравнений непротиворечива?

Если пара линейных уравнений непротиворечива, то линии либо пересекаются, либо совпадают (накладываются) друг на друга.

Каковы 3 решения линейных уравнений?

Существует три способа решения систем линейных уравнений: замена, исключение и построение графика

Как найти решение линейной системы?

• Сначала решите одно линейное уравнение относительно y через x.
• Затем подставьте это выражение для y в другое линейное уравнение. Вы получите уравнение относительно x .

Линии пересекаются в нулевых точках.
Линии пересекаются ровно в одной точке.
Прямые пересекаются в бесконечном числе точек.

Как найти решение двух линейных уравнений?

Решение систем уравнений путем замены

• Решите одно из двух уравнений для одной из переменных относительно другой.
• Подставьте выражение для этой переменной во второе уравнение, затем найдите оставшуюся переменную.

Как решать линейные уравнения с одной переменной?

• Шаг 1: При необходимости упростите каждую сторону.
• Шаг 2: Используйте доп./доп. Свойства, позволяющие переместить переменный термин в одну сторону, а все остальные термины — в другую.
• Шаг 3: Используйте Mult./Div. …
• Шаг 4: Проверьте свой ответ.

Сколько существует решений линейного уравнения 2x-5y=7?

В данном уравнении 2x – 5y = 7 для каждого значения x мы получаем соответствующее значение y и наоборот. Следовательно, линейное уравнение имеет бесконечно много решений.

Как найти упорядоченные парные решения линейных уравнений?

Чтобы выяснить, является ли упорядоченная пара решением уравнения, вы можете выполнить тест. Определите значение x в упорядоченной паре и подставьте его в уравнение. При упрощении, если полученное вами значение y совпадает со значением y в упорядоченной паре, то эта упорядоченная пара действительно является решением уравнения.