Уравнения с 3 степенью решение: Как решить уравнения 3 степени онлайн

Решение кубических уравнений методом разложения на множители

Уравнение 3 степени a(x) = a₃*x³ + a₂*x² + a₁*x + a₀, a₃ ≠ 0, может иметь самое большее 3 корня. Кубическое уравнение всегда имеет по крайней мере один действительный корень, так как если корнем является комплексное число, то и комплексно сопряженное тоже будет его корнем.

Таким образом, кубический многочлен a(x) всегда можно разложить на два множителя, один из которых линейный, а второй квадратичный

В свою очередь многочлен второй степени a₃x² + bx + c может иметь 2 различных действительных корня, 1 действительный корень или 2 комплексно сопряженных корня.

Соответственно, получаем такие случаи разложения на множители a(x):

Таким образом, приравнивая каждый множитель в разложении к нулю, найдем все корни кубического уравнения в каждом случае. Рассмотрим решение кубических уравнений методом разложения на множители на примерах.

Пример 1. Решить уравнение x³ — 3x² — 4x + 6 = 0.

Решение.

Делителями свободного члена являются числа: ±1, ±2, ±3, ±6. Значит, корни уравнения нужно искать среди них. Простой подстановкой убеждаемся, что корнем уравнения является число 1. Следовательно, исходное уравнение эквивалентно (x — 1)*(a₃x² + bx + c) = 0.

Чтобы найти многочлен a₃x² + bx + c, нужно левую часть исходного уравнения разделить на x — 1. Для деления многочлена на двучлен будем использовать схему Горнера.

Таким образом, x³ — 3x² — 4x + 6 = (x — 1)(x² — 2x — 6). Следовательно, исходное уравнение эквивалентно (x — 1) (x² — 2x — 6) = 0.

Осталось решить квадратное уравнение x² — 2x — 6 = 0.

Ответ: -1- √7, 1 ,-1+√7.

Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей.

Подробнее …

Пример 2. Решить уравнение -2x³ + 3x² — 4x — 9 = 0.

Решение.

Делителями свободного члена являются числа: ±1, ±3, ±9. Делителями старшего коэффициента являются числа: ±1, ±2.

Значит, корни исходного уравнения могут быть среди чисел: ±1, ±3, ±9,

±

1/2

, ±

3/2

, ±

9/2

.

Снова простой подстановкой убеждаемся, что -1 является корнем уравнения. С помощью схемы Горнера делим левую часть исходного уравнения на x + 1.

Таким образом, -2x³ + 3x² — 4x — 9 = (x + 1)(-2x² + 5x — 9). Следовательно, исходное уравнение эквивалентно (x + 1) (-2x

2 + 5x — 9)=0. Решая квадратное уравнение -2x² + 5x — 9 = 0, получаем, что его дискриминант

Ответ: -1.

Пример 3. Решить уравнение 2x³ — x² — 8x + 4 = 0.

Решение.

Делителями свободного члена являются числа: ±1, ±2, ±4. Делителями старшего коэффициента являются числа: ±1, ±2.

Значит, корни исходного уравнения могут быть среди чисел: ±1, ±2, ±4.

Простой подстановкой убеждаемся, что 2 является корнем уравнения. С помощью схемы Горнера делим левую часть исходного уравнения на x — 2.

Таким образом, 2x³ — x² — 8x + 4 = (x — 2)(2x² + 3x — 2). Следовательно, исходное уравнение эквивалентно (x — 2) (2x² + 3x — 2) = 0. Решая квадратное уравнение 2x² + 3x — 2 = 0, получаем,

Ответ: -2,

, 2.

Еще один способ разложения на множители многочлена третьей степени — метод неопределенных коэффициентов. Он довольно громоздкий, но иногда бывает очень полезным при решении разного рода задач, а не только в случае разложения на множители. Разложение на множители любого многочлена третьей степени можно представить следующим образом a(x) = (x-x₀)*(a₃x² + bx + c).

Раскрывая скобки, получим a(x) = a₃x³ + x²(b — a₃x₀) + x*(c — bx₀) — cx₀.

Приравнивая теперь коэффициенты при одинаковых степенях x и свободные члены в исходном многочлене и в многочлене a(x), получим систему из четырех уравнений и четырех неизвестных a₃,b,c и x₀. Рассмотрим применение метода неопределенных коэффициентов на примерах.

Пример 4.

Решить уравнение x³ + 2x² — 5x — 6 = 0.

Решение.

Так как любой многочлен 3 степени можно представить в виде a₃x³ + x²(b — a₃x₀) + x*(c — bx₀) — cx₀, то приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем следующую систему уравнений:

Выразим из первого уравнения x₀ = b — 2 и подставим в два оставшихся. Получим

Теперь выразим переменную c из первого уравнения и подставим во второе.

Раскрывая скобки во втором уравнении и решая его, находим b:

Если b=4, то c=3, x₀ = 2. Следовательно, x³ + 2x² — 5x — 6 = (x — 2)(x² — 4x + 3)=(x — 2)(x + 1)(x + 3).

Если b = 1, то c = -6, x₀ = -1. Следовательно, x³ + 2x

2 — 5x — 6 = (x + 1)(x² + x — 6)=(x + 1)(x + 3)(x — 2).

Если b = -1, то c = -2, x₀ = -3. Следовательно, x³ + 2x² — 5x — 6=(x + 3)(x² — x — 2) = (x + 3)(x — 2)(x + 1).

Таким образом, исходное уравнение эквивалентно уравнению (x + 3)(x — 2)(x + 1) = 0.

Приравнивая к нулю каждый из множителей, получаем корни уравнения x = -3, x = 2, x = -1.

Ответ: -3, -1, 2.

Пример 5. Решить уравнение 2x³ + x² — 5x + 2 = 0.

Решение.

Приравнивая соответствующие коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем следующую систему уравнений:

Выразим из первого уравнения x₀ = 

(b — 1)/2

и подставим в два оставшихся. Получим

Теперь из первого уравнения выразим переменную c и подставим во второе.

Умножая левую и правую части второго уравнения на 4 и раскрывая скобки, находим b:

Если b=2, то c=-4, x₀ = 

. Следовательно, 2x³ + x² — 5x + 2 = (x — 

)(2x² + 2x — 4) = 2(x — 

)(x — 1)(x + 2).

Если b = 3, то c = -2, x₀ = 1. Следовательно, 2x³ + x² — 5x + 2 = (x — 1)(2x² + 3x — 2)=2(x — 1)(x — 

)(x + 2).

Если b = -3, то c = 1, x₀ = -2. Следовательно, 2x³ + x² — 5x + 2 = (x + 2)(2x² — 3x + 1) = 2(x + 2)(x — 

)(x — 1).

Следовательно, исходное уравнение эквивалентно уравнению 2(x + 2)(x — 

)(x — 1) = 0.

Приравнивая к нулю каждый из множителей, получаем корни уравнения x = -2, x = 

, x = 1.

Ответ: -2,

, 1.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

Справочник по математике

Алгебра

Кубические уравнения

Схема метода Кардано

Приведение кубических уравнений к трехчленному виду

Сведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям при помощи метода Никколо Тартальи

Формула Кардано

Пример решения кубического уравнения

Схема метода Кардано

      Целью данного раздела является вывод формулы Кардано для решения уравнений третьей степени (кубических уравнений)

a0x3 + a1x2 + + a2x + a3= 0,

(1)

где a₀, a₁, a₂, a₃ – произвольные вещественные числа,

      Вывод формулы Кардано состоит из двух этапов.

      На первом этапе кубические уравнения вида (1) приводятся к кубическим уравнениям, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного. Такие кубические уравнения называют трёхчленными кубическими уравнениями.

      На втором этапе трёхчленные кубические уравнения решаются при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

Приведение кубических уравнений к трехчленному виду

      Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a₀ . Тогда оно примет вид

x3 + ax2 + bx + c = 0,

(2)

где a, b, c – произвольные вещественные числа.

      Заменим в уравнении (2) переменную x на новую переменную y по формуле:

(3)

      Тогда, поскольку

то уравнение (2) примет вид

В результате уравнение (2) примет вид

(4)

      Если ввести обозначения

то уравнение (4) примет вид

y3 + py + q= 0,

(5)

где p, q – вещественные числа.

      Уравнения вида (5) и являются трёхчленными кубическими уравнениями, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного.

      Первый этап вывода формулы Кардано завершён.

Сведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям при помощи метода Никколо Тартальи

      Следуя методу, примененому Никколо Тартальей (1499-1557) для решения трехчленных кубических уравнений, будем искать решение уравнения (5) в виде

(6)

где   t   – новая переменная.

      Поскольку

то выполнено равенство:

      Следовательно, уравнение (5) переписывается в виде

(7)

      Если теперь уравнение (7) умножить на   t,   то мы получим квадратное уравнение относительно   t :

(8)

Формула Кардано

      Решение уравнения (8) имеет вид:

      В соответствии с (6), отсюда вытекает, что уравнение (5) имеет два решения:

(9)

      В развернутой форме эти решения записываются так:

	(10)
	(11)

      Покажем, что, несмотря на кажущиеся различия, решения (10) и (11) совпадают.

      Действительно,

      С другой стороны,

      Таким образом,

и для решения уравнения (5) мы получили формулу

которая и называется «Формула Кардано».

      Замечание. Поскольку у каждого комплексного числа, отличного от нуля, существуют три различных кубических корня, то, для того, чтобы избежать ошибок при решении кубических уравнений в области комплексных чисел, рекомендуется использовать формулу Кардано в виде (10) или (11).

Пример решения кубического уравнения

      Пример. Решить уравнение

x3 – 6x2 – 6x – 2 = 0.

(13)

      Решение. Сначала приведем уравнение (13) к трехчленному виду. Для этого в соответствии с формулой (3) сделаем в уравнении (13) замену

x = y + 2.

(14)

      Тогда получим

x³ – 6x² – 6x – 2 =
= (y + 2)³– 6(y + 2)² –
– 6(y + 2) – 2 =
= y³ + 6y² + 12y + 8 – 6y² –
– 24y – 24 – 6y – 12 – 2 =
= y³ – 18y – 30.

      Следовательно, уравнение (13) принимает вид

y3 – 18y – 30 = 0.

(15)

      Теперь в соответствии с формулой (6) сделаем в уравнении (15) еще одну замену

(16)

      Тогда поскольку

то уравнение (15) примет вид

(17)

      Далее из (17) получаем:

      Отсюда по формуле (16) получаем:

      Заметим, что такое же, как и в формуле (18), значение получилось бы, если бы мы использовали формулу

или использовали формулу

      Далее из равенства (18) в соответствии с (14) получаем:

      Таким образом, мы нашли у уравнения (13) вещественный корень

      Замечание 1. У уравнения (13) других вещественных корней нет.

      Замечание 2. Поскольку произвольное кубическое уравнение в комплексной области имеет 3 корня с учетом кратностей, то до полного решения уравнения (13) остается найти еще 2 корня. Эти корни можно найти разными способами, в частности, применив вариант формулы Кардано для области комплексных чисел. Однако применение такого варианта формулы Кардано значительно выходит за рамки курса математики даже специализированных математических школ.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Решение кубических уравнений. Методы и примеры

В математике многочленом называется алгебраическое выражение, состоящее из переменных, коэффициентов и арифметических операций, таких как сложение, вычитание, умножение или деление. Общая форма полинома: ax ⁿ + bx ^n-1 + cx ^n-2 +… + 1. Уравнение — это математическое выражение, выражающее отношение между двумя значениями. Алгебраическое уравнение — это уравнение, имеющее вид ax ⁿ + bx ^n-1 + cx ^n-2 +… + 1 = 0. Например, 2x-5 = 0 является примером алгебраического уравнения, где (2x-5) является полиномом. Существуют различные типы алгебраических уравнений в зависимости от высшей степени переменной, такие как линейное уравнение, квадратное уравнение, кубическое уравнение, уравнение и т. д.

Кубическое уравнение — это алгебраическое уравнение, в котором полином высшей степени равен 3. Некоторые примеры кубических уравнений:

x ³ — 4x ² + 15x — 9 = 0, 2x ³ — 4x ² + 5 = 0, и т. Д.

Общая форма кубического уравнения —

AX AX. ³ + bx ² + cx + d = 0, a ≠ 0

где,

a, b, и c — коэффициенты, а d 90.

Как решать кубические уравнения?

Кубическое уравнение можно решить традиционным способом, сведя его к квадратному уравнению, а затем решив либо с помощью факторизации, либо по квадратной формуле. Подобно тому, как квадратное уравнение имеет два корня, кубическое уравнение имеет три корня. Кубическое уравнение может иметь три действительных корня или действительный корень и два мнимых корня. Любое уравнение, в том числе и кубическое, всегда должно быть сначала приведено в стандартную форму.

Например, если задано уравнение 2x ² -5 = x + 4/x, то мы должны привести его к стандартной форме, т. е. 2x ³ -x ² -5x- 4 = 0. Теперь мы можем решить уравнение любым подходящим методом.

Кубическое уравнение можно решить следующими способами:

• Нахождение целочисленных решений с помощью списков множителей
• Использование графического метода

Решение кубического уравнения с использованием множителей полинома

Пример: Найдите корни уравнения f(x) = 3x ³ −16x ² + 23x − 6 = 0.

Решение:

: 900 ³ −16x ² + 23x − 6 = 0.

Сначала разложите многочлен на множители, чтобы получить корни.

Поскольку константа равна +6, возможные множители равны 1, 2, 3, 6.

f(1) = 3 – 16 + 23 – 6 ≠ 0

f(2) = 24 – 64 + 46 – 6 = 0

f(3) = 81 – 144 + 69– 6 = 0

f(6) = 648 – 576 + 138 – 6 ≠ 0

Мы знаем, что если f(a) = 0, то (x-a) является множителем f(x).

Итак, (x – 2) и (x – 3) являются множителями f(x). Теперь, чтобы найти остальные факторы, используйте метод синтетического деления.

(x – 2)(x – 3) = (x ² – 5x + 6)

 

Итак, (3x-1) – это еще один множитель f(x).

Итак,

корни данного уравнения равны 1/3, 2 и 3.

Решение уравнения графическим методом

Кубическое уравнение решается графически, если вы не можете решить данное уравнение другими методами. Итак, нам нужен точный рисунок данного кубического уравнения. Корни уравнения — это точки, в которых график пересекает ось X. Число действительных решений кубического уравнения равно количеству пересечений графика кубического уравнения с осью x.

Пример: Найдите корни уравнения f(x) = x ³ − 4x ² − 9x + 36 = 0, используя графический метод.

Решение:

Полученное выражение: f(x) = x ³ − 4x ² − 9x + 36 = 0.

Теперь просто подставим случайные значения x в граф для данного function:

x	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5
f(x)	-56‬	0	19‬	40	36	24‬	10‬	0	0	16

 

We can see that the graph has cut the X-axis at 3 points , следовательно, существует 3 действительных решения.

Судя по графику, решения: x = -3, x = 3 и x = 4.

Следовательно, корни данного уравнения равны -3, 3 и 4.

Задачи, основанные на решении кубическое уравнение

Задача 1. Найдите корни f(x) = x ³ – 4x ² -3x + 6 = 0,

Решение:

900 = x ³ – 4x ² -3x + 6 = 0.

Сначала разложите многочлен на множители, чтобы получить корни.

Поскольку константа равна +6, возможные множители равны 1, 2, 3, 6.

f(1) = 1 – 4 – 3 + 6 = 7 – 7 = 0

f(2) = 8 – 16 – 6 + 6 ≠ 0

f(3) = 27 – 36 – 9 + 6 ≠ 0

f(6) = 216 – 144 -18 + 6 = -48 ≠ 0

Итак, (x – 1) является фактором данного уравнения. Теперь, чтобы найти остальные факторы, используйте метод синтетического деления.

 

Итак, f(x) = x ³ – 4x ² -3x + 6 = (x – 1) (x ² – 3x – 6) = 0

Мы знаем, что корни квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 равны,

x = [-b ± √(b ² -4ac)]/2a

x = [3 ± √(3 ² – 4(1)(-6)]/2(1)

x = (3 ± √33)/2

Следовательно, корни данного кубического уравнения равны 1, (3+ √33)/2 и (3–√33)/2. Решение:

Заданное выражение: f(x) = 4x ³ – 10x ² + 4x = 0

⇒ x (4x ² – 10x + 4) = 0

– 04 – 9 0 х (4×2 90 2x + 4) = 0

⇒ x(4x(x – 2) – 2(x – 2)) = 0

⇒ x (4x – 2) (x – 2) = 0

⇒ x = 0 или 4x – 2 = 0, x – 2 = 0

⇒ x = 0 или x = 1/2 или x = 2

Следовательно, корни данного уравнения равны 0, 1/2 и 2.

Задача 3: найти корни уравнения f(x) = x ³ + 3x ² + x + 3 = 0.

Решение:

Указанное выражение: F (x) = x ³ + 3x ² + x + 3 = 0,

⇒ х ² (х + 3) + 1(х + 3) = 0

⇒ (х + 3) (х ² + 1) = 0

⇒ х + 3 = 0 или х ² + 1 = 0

⇒ x = -3, ±i

Итак, данное уравнение имеет действительный корень, т.е. -3, и два мнимых корня, т.е. ±i.

Задача 4: найти корни уравнения f(x) = x 92 – 5x + 7 = 0 равны x = 7, x = -1 и x = 1.

Задача 5. Найти корни уравнения f(x) = x ³ − 6x ² + 11x − 6 = 0, используя графический метод.

Решение:

Полученное выражение: f(x) = x ³ − 6x ² + 11x − 6 = 0.

Теперь просто подставим заданные значения x на график функция:

x	1	2	3	4	5
f(x)	0	0	0	6	24

 

Мы видим, что график пересекает ось X в 3 точках, следовательно, существует 3 действительных решения.

На графике решения следующие: x = 1, x = 2 и x = 3.

Следовательно, корни данного уравнения равны 1, 2 и 3.

Кубическая формула

Кубическая формула Кубическая формула
(Решить любое полиномиальное уравнение 3-й степени)

Я размещаю это в Интернете, потому что некоторые студенты могут найти это интересно. Его можно было бы легко упомянуть в многие математические курсы бакалавриата, хотя это не кажется появляться в большинстве учебников, используемых для этих курсов. Ни один из этих материалов не был обнаружен мной. — ЕС

Вы должны знать, что решение ax ² +bx+c=0 равно

Аналогичная формула существует для многочленов степени три: решение ax ³ +bx ² +cx+d=0 есть

(Подобная формула была впервые опубликована Кардано в 1545 году.) Или, короче,

х   =   {q + [q ² + (р-п ² ) ³ ] ^1/2 } ^1/3 +   {q — [q ² + (р-п ² ) ³ ] ^1/2 } ^1/3 +   стр.

где

p = -b/(3a), q = p ³ + (bc-3ad)/(6a ² ), r = c/(3a)

Но я , а не рекомендую вам запомнить эти формулы.

Помимо того, что это слишком сложно, другие причины, по которым мы не учим этой формуле студентам-счетчикам. Одна из причин в том, что мы пытаемся не учить их сложным числа. Комплексные числа (т. е. рассматривающие точки на плоскости как цифры) это более продвинутая тема, лучше оставить для более продвинутого курса. Но тогда только числа, которые нам разрешено использовать в исчислении — действительные числа (т. е. точки на прямой). Это накладывает на нас некоторые ограничения — например, мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного число. Теперь формула Кардана имеет недостаток что это может привести к использованию таких квадратных корней на промежуточных этапах вычислений, даже если те числа не появляются в задаче или ее ответе.

Например, рассмотрим кубическое уравнение х ³ -15х-4=0. (Этот пример был упоминается Бомбелли в его книге в 1572 г.) Эта проблема имеет реальную коэффициенты, и имеет три действительных корня за его ответы. (Подсказка: один из корней маленькое положительное целое число; Теперь ты можешь найти все три корня?) Но если мы применим к этому примеру формулу Кардано, мы используем a=1, b=0, c=-15, d=-4 и находим, что нам нужно извлечь квадратный корень из -109в полученный расчет. В конечном счете, квадратные корни отрицательных чисел сокращаются позже в вычислении, но это вычисление не может быть понят студентом, изучающим математику, без дополнительное обсуждение комплексных чисел.

Существует также аналогичная формула для многочленов от степень 4, но гораздо хуже записывается; я не буду хоть здесь попробуй.

Для полиномов степени 5. Я не просто имею в виду, что никто не нашел формулы еще; Я имею в виду, что в 1826 году Абель доказал, что не может быть быть такой формулой. Проблема в том, что функции не делайте достаточно того, что вам нужно для решение всех уравнений 5-й степени. (Представьте себе калькулятор что не хватает нескольких кнопок; есть некоторые виды расчеты, которые вы не можете сделать на нем.

No related posts.