Sin формула понижения степени: Формулы понижения степени — урок. Алгебра, 10 класс.

Содержание

Графики тригонометрических функций кратных углов. Основные формулы тригонометрии Формулы суммы и разности тригонометрических функций

Словари. Энциклопедии. История. Литература. Русский язык » Медицина » Графики тригонометрических функций кратных углов. Основные формулы тригонометрии Формулы суммы и разности тригонометрических функций

В тригонометрии многие формулы легче вывести, чем вызубрить. Косинус двойного угла — замечательная формула! Она позволяет получить формулы понижения степени и формулы половинного угла.

Итак, нам нужны косинус двойного угла и тригонометрическая единица:

Они даже похожи: в формуле косинуса двойного угла — разность квадратов косинуса и синуса, а в тригонометрической единице — их сумма. Если из тригонометрической единицы выразить косинус:

и подставить его в косинус двойного угла, то получим:

Это — еще одна формула косинуса двойного угла:

Эта формула — ключ к получению формулы понижения степени:

Итак, формула понижения степени синуса:

Если в ней угол альфа заменить на половинный угол альфа пополам, а двойной угол два альфа — на угол альфа, то получим формулу половинного угла для синуса:

Теперь из тригонометрической единицы выразим синус:

Подставим это выражение в формулу косинуса двойного угла:

Получили еще одну формулу косинуса двойного угла:

Эта формула — ключ к нахождению формулы понижения степени косинуса и половинного угла для косинуса.

Таким образом, формула понижения степени косинуса:

Если в ней заменить α на α/2, а 2α — на α, то получим формулу половинного аргумента для косинуса:

Так как тангенс — отношение синуса к косинусу то формула для тангенса:

Котангенс — отношение косинуса к синусу. Поэтому формула для котангенса:

Конечно, в процессе упрощения тригонометрических выражений формулы половинного угла или понижения степени нет смысла каждый раз выводить. Гораздо проще перед собой положить листик с формулами. И упрощение продвинется быстрее, и зрительная память включится на запоминание.

Но несколько раз вывести эти формулы все же стоит. Тогда вы будете абсолютно уверены в том, что на экзамене, когда нет возможности воспользоваться шпаргалкой, вы без труда их получите, если возникнет необходимость.

Соотношения между основными тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом — задаются тригонометрическими формулами . А так как связей между тригонометрическими функциями достаточно много, то этим объясняется и обилие тригонометрических формул. Одни формулы связывают тригонометрические функции одинакового угла, другие – функции кратного угла, третьи – позволяют понизить степень, четвертые – выразить все функции через тангенс половинного угла, и т.д.

В этой статье мы по порядку перечислим все основные тригонометрические формулы, которых достаточно для решения подавляющего большинства задач тригонометрии. Для удобства запоминания и использования будем группировать их по назначению, и заносить в таблицы.

Навигация по странице.

Основные тригонометрические тождества

Основные тригонометрические тождества задают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Они вытекают из определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также понятия единичной окружности . Они позволяют выразить одну тригонометрическую функцию через любую другую.

Подробное описание этих формул тригонометрии, их вывод и примеры применения смотрите в статье .

Формулы приведения

Формулы приведения следуют из свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса , то есть, они отражают свойство периодичности тригонометрических функций, свойство симметричности, а также свойство сдвига на данный угол. Эти тригонометрические формулы позволяют от работы с произвольными углами переходить к работе с углами в пределах от нуля до 90 градусов.

Обоснование этих формул, мнемоническое правило для их запоминания и примеры их применения можно изучить в статье .

Формулы сложения

Тригонометрические формулы сложения показывают, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов выражаются через тригонометрические функции этих углов. Эти формулы служат базой для вывода следующих ниже тригонометрических формул.

Формулы двойного, тройного и т.д. угла

Формулы двойного, тройного и т.д. угла (их еще называют формулами кратного угла) показывают, как тригонометрические функции двойных, тройных и т. д. углов () выражаются через тригонометрические функции одинарного угла . Их вывод базируется на формулах сложения.

Более детальная информация собрана в статье формулы двойного, тройного и т.д. угла .

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла показывают, как тригонометрические функции половинного угла выражаются через косинус целого угла . Эти тригонометрические формулы следуют из формул двойного угла.

Их вывод и примеры применения можно посмотреть в статье .

Формулы понижения степени

Тригонометрические формулы понижения степени призваны содействовать переходу от натуральных степеней тригонометрических функций к синусам и косинусам в первой степени, но кратных углов. Иными словами, они позволяют понижать степени тригонометрических функций до первой.

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

Основное предназначение формул суммы и разности тригонометрических функций заключается в переходе к произведению функций, что очень полезно при упрощении тригонометрических выражений. Указанные формулы также широко используются при решении тригонометрических уравнений, так как позволяют раскладывать на множители сумму и разность синусов и косинусов.

Формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус

Переход от произведения тригонометрических функций к сумме или разности осуществляется посредством формул произведения синусов, косинусов и синуса на косинус .

Универсальная тригонометрическая подстановка

Обзор основных формул тригонометрии завершаем формулами, выражающими тригонометрические функции через тангенс половинного угла. Такая замена получила название универсальной тригонометрической подстановки . Ее удобство заключается в том, что все тригонометрические функции выражаются через тангенс половинного угла рационально без корней.

Список литературы.

Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М. : Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. — 351 с.: ил. — ISBN 5-09-004617-4.
Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта , включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.

Теперь мы рассмотрим вопрос о том, как строить графики тригонометрических функций кратных углов ωx , где ω — некоторое положительное число.

Для построения графика функции у = sin ωx сравним эту функцию с уже изученной нами функцией у = sin x . Предположим, что при х = x 0 функция у = sin х принимает значение, равное у 0 . Тогда

у 0 = sin x 0 .

Преобразуем это соотношение следующим образом:

Следовательно, функция у = sin ωx при х = x 0 / ω принимает то же самое значение у 0 , что и функция у = sin х при х = x 0 . А это означает, что функция

у = sin ωx повторяет свои значения в ω раз чаще, чем функция у = sin x . Поэтому график функции у = sin ωx получается путем «сжатия» графика функции у = sin x в ω раз вдоль оси х.

Например, график функции у = sin 2х получается путем «сжатия» синусоиды у = sin x вдвое вдоль оси абсцисс.

График функции у = sin x / 2 получается путем «растяжения» синусоиды у = sin х в два раза (или «сжатия» в 1 / 2 раза) вдоль оси х.

Поскольку функция у = sin ωx повторяет свои значения в ω раз чаще, чем функция
у = sin x , то период ее в ω раз меньше периода функции у = sin x . Например, период функции у = sin 2х равен 2π / 2 = π , а период функции у = sin x / 2 равен

π / x / 2 = 4π .

Интересно провести исследование поведения функции у = sin аx на примере анимации, которую очень просто можно создать в программе Maple :

Аналогично строятся графики и других тригонометрических функций кратных углов. На рисунке представлен график функции у = cos 2х , который получается путем «сжатия» косинусоиды у = cos х в два раза вдоль оси абсцисс.

График функции у = cos x / 2 получается путем «растяжения» косинусоиды у = cos х вдвое вдоль оси х.

На рисунке вы видите график функции у = tg 2x , полученный «сжатием» тангенсоиды у = tg x вдвое вдоль оси абсцисс.

График функции у = tg x / 2 , полученный «растяжением» тангенсоиды у = tg x вдвое вдоль оси х.

И, наконец, анимация, выполненная программой

Maple:

Упражнения

1. Построить графики данных функций и указать координаты точек пересечения этих графиков с осями координат. Определить периоды данных функций.

а). y = sin 4x / 3 г). y = tg 5x / 6 ж). y = cos 2x / 3

б). у= cos 5x / 3 д). у = ctg 5x / 3 з). у= ctg x / 3

в). y = tg 4x / 3 е). у = sin 2x / 3

2. Определить периоды функций у = sin (πх) и у = tg ( πх / 2 ).

3. Приведите два примера функции, которые принимают все значения от -1 до +1 (включая эти два числа) и изменяются периодически с периодом 10.

4 *. Приведите два примера функций, которые принимают все значения от 0 до 1 (включая эти два числа) и изменяются периодически с периодом π / 2 .

5. Приведите два примера функций, которые принимают все действительные значения и изменяются периодически с периодом 1.

6 *. Приведите два примера функций, которые принимают все отрицательные значения и нуль, но не принимают положительные значения и изменяются периодически с периодом 5.

5.4.Вывод формул понижения степени.

cos

1 cos2

(4) 1

Выразим — Формула понижения степени

cos

cos2=

1cos2

1cos2

(5)

sin

Из формул с 1 по 3 заменим, получим 6 формулу

(6) sin

Формулы половинных углов

(7) cos

(8) tg

5. 5.Формулы суммы и разности

тригонометрических функций.

Формулы сложения тригонометрических функций позволяют преобразовывать сумму и разность функций в произведение этих функций.

sin

cos

sin

cos

5.6.Формулы приведения.

Значения тригонометрических функций острых углов вычисляют по таблице, либо по модели числовая окружность.

Значения функций любых углов можно вычислить с помощью формул приведения к острому углу. Формул приведения много, поэтому лучше запомнить правило написаний этих формул, а не сами формулы.

ПРАВИЛО НАПИСАНИЯ ФОРМУЛ ПРИВЕДЕНИЯ:

1) Если под знаком тригонометрической функции содержится (, или (, то наименование функции нужно изменить на родственное (sin cos ; tg ctg)

2) Если под знаком тригонометрической функции содержится ( то наименование тригонометрической функции менять не нужно.

3)Перед полученной функцией от аргумента t нужно поставить тот знак, которая имела бы преобразуемая функция при условии, что

0<t< (0<<90

1) sin ( 17) tg (

2) sin ( 18) tg (

3) sin ( 19) tg (

4) sin 20) tg

5) sin ( 21) tg (

6) sin 22) tg

7) sin 23) tg

8) sin 24) tg

9) cos ( 25) ctg (

10) cos ( 26) ctg (

11) cos ( 27) ctg (

12) cos 28) ctg

13) cos ( 29) ctg (

14) cos 30) ctg

15) cos 31) ctg

16) cos 32) ctg

6. Решение уравнения sinx=a.

(вывод формул корней уравнения sint=a)

Если то уравнение sin =a имеет корни, если то уравнение корней не имеет. Например:

sint = 2

2 нет корней

sint = -1,8

|-1,8|=1,8 нет корней

Вывод формул корней

t= arcsina+k

Вывод: Уравнение sinta имеет две серии решений: (1)

arcsina

(2)

Эти две формулы объединим в одну:

(1) t

при любом k

(2) t

t = k

Формула корней уравнения sin t=a

Свойство:

(1) формула

(2) формула

Три частных случая:

1) sint t

2) sint t

3) sin t

Например, Решить уравнение

sint

7. Решение уравнения cosx=a

(Вывод формул корней уравнения cost=a)

Решить тригонометрическое уравнение cost=a, значит найти все числа t на окружности cos, которых равен числу a.

x |a|1

Если |a| то тригонометрическое уравнение cos t=a имеет корни.

Если |a| то тригонометрическое уравнение cos t=a не имеет решений.

cos t 1,5 нет корней

cos t || нет корней

y Вывод формул корней

Вывод: Уравнение cost=a имеет две серии решений:

t=k

t=(k, которые можно объединить в одну формулу

Формула корней уравнения cost=a

Свойство:

Но в трёх частных случаев предпочитают пользоваться не формулой корней, а более простыми соотношениями:

1) cos t t

2) cos t t

3) cos t t

Например, Решить уравнение

cos t

|a| нет корней

8. Решение уравнения tgx=a.

(Вывод формулы корней уравнения tgt=a),

y где a-любое действительное число на линии tg.

a +

t=arctga

Формула корней уравнения tgta:

Свойство:

Частных случаев нет!

Например, Решить уравнение:

tgt=1,5

t=arctg1,5

9. Решение уравнения ctg=a.

(Вывод формулы корней уравнения ctgt=a),

Где a-любое действительное число на линии ctg

ctgt 0 a ctgt

arcctga

arcctga+

Формула корней уравнения ctgt=a

Свойство:

arcctg(-a)

Например, Решить уравнение:

ctgt

tgt

ctgt 1 ctgt

0;2

	Страница 17
	Страница 17

(4)xdx

83907

04:34

Если I_(n)=int(sin nx)/(sin x)dx, для n>1, то значение I_(n)-I_(n- 2) is

2365738

04:08

Получить формулу приведения для
Если In=∫(logx)ndx, то показать, что
In=x(logx)n−nIn−1, и, следовательно, поле ∫(logx) 4дкс.

121775272

04:12

Получите формулу приведения для
In=∫cosecnxdx,n положительное целое число, n≥2, и выведите значение ∫cosec5xdx.

121775300 9(n-2)x dx

643104091