Уравнения и его корни. Равносильные уравнения . Алгебра 7 класс.
Цель: сформировать представление об уравнении и его корнях.
Планируемые результаты: освоить основные понятия, связанные с уравнением.
Тип урока: урок проблемного изложения.
Ход урока
I. Сообщение темы и цели урока
II. Работа по теме урока
План урока
1. Корни уравнения.
2. Равносильные уравнения.
1. Корни уравнения
Сначала рассмотрим несколько примеров.
Пример 1
Квадрат некоторого числа больше самого числа на 6. Найдем данное число.
Пусть неизвестное число равно х, тогда его квадрат равен х2. Число х, увеличенное на 6, равно х + 6.
По условию задачи числа х2 и х + 6 равны. Получаем равенство x2 = х + 6, содержащее переменную х. Это равенство будет верным не при всех значениях х, а только при тех значениях х, которые являются ответом задачи. Такое равенство называют уравнением с одной переменной(или с одним неизвестным) х. Для решения задачи надо найти такие числа, которые обращают равенство х2 = х + 6 в верное. Эти числа х называют решениями уравнения или корнями уравнения. Уравнение х2 = х + 6 имеет два корня: х1 = 3 и х2 = -2. Действительно, при подстановке значения х = 3 в уравнение получаем верное числовое равенство 32 = 3 + 6. При подстановке числа х = -2 в уравнение также получаем верное равенство (-2)2 = -2 + 6.
Пример 2
Со склада вывозят груз на одинаковых машинах. Если загрузить 16 машин, то на складе останется 8 т груза. Если загрузить 14 машин, то на складе останется 32 т груза.
Найдем грузоподъемность одной машины и массу груза, хранящегося на складе.
Пусть х т — грузоподъемность одной машины. Тогда 16 машин загружают 16х т груза. Если к этой величине 16х добавим 8 т, оставшихся на складе, то получим массу груза, хранящегося на складе, т. е. 16х + 8. Второе условие задачи: 14 машин загружают 14х т груза. Если к этой величине 14х добавить 32 т, оставшихся на складе, то получим массу груза, хранящегося на складе, т. е. 14х + 32. Приравняем выражения для массы груза, хранящегося на складе, которые получаются из первого и второго условий задачи. Получаем равенство 1бх + 8 = 14х + 32. Это равенство называется уравнением с одним неизвестным х. Уравнение 16х + 8 = 14х + 32 имеет один корень х = 12, так как при подстановке этого значения в уравнение получаем верное числовое равенство 16 ∙ 12 + 8= 14 ∙ 12 + 32 = 200.
Учитывая примеры, сформулируем основные понятия. Равенство между двумя алгебраическими выражениями с одной переменной называют уравнением с одной переменной (или с одним неизвестным).
Корнем уравнения называют значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.
В рассмотренных примерах уравнения имели конечное число корней (два или один). Уравнения также могут иметь бесконечное множество корней или вовсе не иметь корней.
Пример 3
Уравнение 7(х + 3) = 7х + 21, используя распределительное свойство, можно записать в виде 7х + 7 ∙ 3 = 7х + 21 или 7х + 21 = 7х + 21. Видно, что при любом значении х левая часть уравнения равна правой (т. е., по сути, уравнение является тождеством). Поэтому любое число х будет корнем данного уравнения (таких корней бесконечно много).
Пример 4
Уравнение х2 + 1 = -х2 корней не имеет, так как при любых значениях х его левая часть х2 + 1 положительна (т. е. х2 + 1 0), а правая часть неположительна (-х2 ≤ 0).
Заметим, что одна из частей уравнения может и не содержать переменной.
Пример 5
Равенства: а) 2х + 7 = 3; б) 5х — 3 = 0; в) 3х2 — 10х = 5; г) 2х2 — 3х + 6 = 0; д) 4 = -х2 + 3х — также являются уравнениями (а, б — линейные, в—д — квадратные).
2. Равносильные уравнения
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Уравнения, которые имеют одни и те же корни, называют равносильными. Уравнения, которые не имеют корней, также считают равносильными.
Пример 6
а) Уравнения х2 — 5х + 6 = 0 и (х — 2)(х — 3) = 0 являются равносильными, так как каждое из этих уравнений имеет одни и те же корни х1 = 2 и х2 = 3. (Проверьте сами.)
б) Уравнения х2 + 5 = -3 и х2 + 1 = -2 также являются равносильными, так как каждое из этих уравнений корней не имеет (в них левая часть при любых значениях х — величина положительная, а правая часть — отрицательная).
в) Уравнения х2 — 5х + 6 = 0 и х + 4 = 6 не являются равносильными, так как первое уравнение имеет два корня x1 = 2 и х2 = 3, а второе уравнение — только один корень х = 2. Несмотря на то что уравнения имеют один общий корень х = 2, они не считаются равносильными.
Решение уравнения состоит в его постепенной замене более простыми равносильными уравнениями. При решении уравнений используются следующие свойства.
1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.
Пример 7
Уравнения 6х = 3х + 7 и 6х — 3х = 7 равносильны (перенесли слагаемое 3х в левую часть уравнения).
2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же не равное нулю число, то получится уравнение, равносильное данному.
Пример 8
Уравнения 6х = 3х + 7 и 2х = х + 7/3 равносильны (обе части уравнения разделили на 3).
Эти свойства уравнений основаны на свойствах числовых равенств: если к обеим частям верного равенства прибавить одно и то же число или обе части верного равенства умножить или разделить на одно и то же не равное нулю число, то получится верное равенство.
III. Задания на уроке
№ 111 (а), 112 (б), 113, 115, 117 (а), 118, 120 (а, б), 121 (а).
1. Составьте уравнение, которое имеет корни:
а) 4;
б) 4 и 2;
2. Равносильны ли уравнения? Объясните почему.
а) 2(х — 3) = 4 и 2х = 10;
б) х — 3 = 0 и (х- 3)(х + 2) = 0;
в) х — 3 = 0 и х2 + 1 = 0;
г) 2х2 + 3 = 0 и х2 + 7 = 0.
IV. Контрольные вопросы
— Что называется уравнением? Приведите примеры уравнений.
— Что называется корнем уравнения? Сколько корней может иметь уравнение? Приведите примеры.
— Какие уравнения называются равносильными?
— Сформулируйте основные свойства уравнений.
V. Подведение итогов урока
Домашнее задание
№ 111 (б), 112 (а), 114, 116, 117 (б), 119, 120 (в, г), 121 (б).
Целое уравнение и его корни
Целое уравнение и его корни
План урока
- Целое уравнение;
- Линейное и квадратное уравнения;
- Методы решения уравнений третьей степени и более.
Цели урока
- Знать, что такое целое уравнение;
- Знать методы решения целых уравнений;
- Уметь решать целые уравнения.
Разминка
- Решите уравнение 3x-12=6
- Решите уравнение x2+4x-21=0
- Можно ли решить уравнение x2+9=0?
Целое уравнение
Уравнения — очень мощный инструмент для решения задач.
В школе, как правило, работают с текстовыми задачами. Это задачи на движение, на работу, на проценты и многие-многие другие. Однако применение уравнений не ограничивается одними лишь школьными задачами. Без умения составлять и решать уравнения не решить ни одной серьёзной научной задачи — физической, инженерной или экономической. Например, рассчитать, куда попадёт ракета. Или ответить на вопрос, выдержит или не выдержит нагрузку ответственная конструкция (лифт или мост). Или спрогнозировать погоду, рост (или падение) цен или доходов. В общем, уравнение — ключевая фигура в решении самых разнообразных вычислительных задач.
Поэтому необходимо научиться решать уравнения. Некоторые типы уравнений вы уже умеете решать: линейные и квадратные. Эти уравнения являются частными случаями целого уравнения.
Целым уравнением с одной переменной называется уравнение, левая и правая части которого – целые выражения.
Каждое из следующих уравнений является целым:
(2×2+1)2=3x-1,
3x+1=7x-12,
x2-x3=5.
А вот такие уравнения не являются целыми:
17x(x-1)=2,
12x+31=x.
Преобразуем уравнение (2×2+1)2=3x-1. Для этого раскроем скобки, перенесём все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые. Получим
4×4+4×2+1-3x+1=0,
4×4+4×2-3x+2=0.
Выполним те же преобразования в уравнении x2-x3=5, умножив предварительно обе его части на 2:
x-2×3=10,
-2×3+x-10=0.
Выполняя преобразования, мы привели каждое из уравнений к виду P(x)=0, где P(x) — многочлен стандартного вида. По сути, мы заменили оба уравнения на равносильные им уравнения вида P(x)=0. Такие преобразования можно сделать с любым целым уравнением.
Если уравнение с одной переменной записано в виде P(x)=0, где P(x) — многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена называют степенью уравнения .
Степенью произвольного целого уравнения называют степень равносильного ему уравнения вида P(x)=0, где P(x) — многочлен стандартного вида.
Пример 1
Определите степень уравнения (x2+3x)2-3×3=(2x-1)2.
Решение
Чтобы определить степень этого уравнения, необходимо привести его к виду P(x)=0, где P(x) — многочлен стандартного вида.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения, перенесем все в левую часть уравнения и приведем подобные слагаемые:
x4+6×3+9×2-3×3=4×2-4x+1
x4+6×3+9×2-3×3-4×2+4x-1=0
x4+3×3+5×2+4x-1=0
Тогда получили, что P(x)=x4+3×3+5×2+4x-1. Степень этого многочлена равна 4. Значит, и степень уравнения равна 4.
Ответ: 4.
Упражнение 1
Определите степень уравнения:
- 3×5-(3-6x)3=2-5×3
- (x-1)3+(x-1)2=x-12
Линейное и квадратное уравнения
Вспомним, что линейным уравнением называется уравнение вида ax+b=0, где x — переменная, a и b — некоторые числа, причём a≠0. Любое линейное уравнение является уравнением первой степени.
Квадратное уравнение – это уравнение вида ax2+bx+c=0, где x — переменная, a, b и c — некоторые числа, причём a≠0. Любое квадратное уравнение является уравнением второй степени. Знаем, что количество корней квадратного уравнения зависит от дискриминанта D=b2-4ac:
- если D>0, то уравнение имеет два корня;
- если D=0, то уравнение имеет один корень;
- если D<0, то уравнение не имеет корней.
Корни квадратного уравнения при D≥0 можно найти с помощью формулы
x=-b±D2a.
Упражнение 2
- Решите уравнение: 3(x-2)+4=2(4-x)-2
- Решите уравнение: (x-2)2=9
Методы решения уравнений третьей степени и более
Уравнения третей степени можно привести к виду
ax3+bx2+cx+d=0,
уравнение четвёртой степени – к виду
ax4+bx3+cx2+dx+e=0
и т.
д., где a, b, c … — некоторые числа, причём a≠0. При этом любое уравнение
n-й степени не может иметь более n корней.
Уравнения, степень которых больше двух, либо имеют громоздкие формулы корней (например, уравнения третьей и четвертой степеней), либо не имеют совсем. Часто удается решить эти уравнения с помощью какого-либо специального приема.
Рассмотрим метод разложения многочлена на множители (метод группировки) на примере.
Пример 2
Решить уравнение x3-4×2-x+4=0.
Решение
Выполним группировку первого слагаемого со вторым, третьего с четвертым. У первой пары вынесем за скобку x2, а у второй -1. Получим:
x2(x-4)-(x-4)=0,
(x-4)(x2-1)=0.
Выражение (x2-1) можно разложить на множители, воспользовавшись формулой разности квадратов a2-b2=(a-b)(a+b), тогда получим
(x-4)(x-1)(x+1)=0:
Приравняем каждый множитель к нулю:
x-4=0, x-1=0, x+1=0.
Получили:
x1=4, x2=1, x3=-1.
Ответ: -1; 1; 4.
Теперь рассмотрим примеры, которые решим с помощью метода замены.
Пример 3
Решить уравнение (x2+2x-2)(x2+2x+4)=7.
Решение
Обычные преобразования приведут нас к сложному уравнению четвертой степени:
x4+4×3+6×2+4x-15=0.
Заметим, что обе скобки уравнения имеют одинаковое выражение x2+2x. Тогда это выражение можно обозначить за новую переменную y:
y=x2+2x
Получим уравнение с переменной y:
(y-2)(y+4)=7
Приведем уравнение к виду P(x)=0:
y2+4y-2y-8-7=0,
y2+2y-15=0.
Имеем квадратное уравнение, корнями которого являются:
y1=-5, y2=3.
Возвращаясь к переменной x, получим два квадратных уравнения:
x2+2x=-5,x2+2x=3.
Решая оба уравнения, получим, что x2+2x+5=0 не имеет корней, а уравнение x2+2x-3=0 имеет 2 корня:
x1=1, x2=-3.
Тогда x1=1, x2=-3 также корни исходного уравнения (x2+2x-2)(x2+2x+4)=7.
Ответ: -3; 1.
Метод введения новой переменной является достаточно универсальным способом решения разных уравнений. С его помощью можно решить уравнение вида ax4+bx2+c=0.
Уравнение вида ax4+bx2+c=0, где a≠0, являющееся квадратным относительно x2, называют биквадратным уравнением .
Пример 4
Решить уравнение x4-13×2+36=0.
Решение
Обозначим x2 через y (т.е. x2=y), причём x4=y2.
Тогда уравнение четвертой степени превратилось в уравнение второй степени с новой переменной y:
y2-13y+36=0.
Корни этого уравнения:
y1=4, y2=9.
Возвращаясь к переменной x, получим два квадратных уравнения:
x2=4, x2=9.
Решая уравнения, получим, что уравнение x2=4 имеет два корня x1=-2, x2=2, и уравнение x2=9 тоже имеет два корня x3=-3, x4=3.
Значит, исходное биквадратное уравнение имеет четыре корня:
x1=-2, x2=2, x3=-3, x4=3.
Ответ: -3; -2; 2; 3.
Упражнение 3
- Решить уравнение: x3-3×2-4x+12=0
- Решить уравнение: (x2+x-1)(x2+x+5)=7
- Решить уравнение: 36×4-5×2-1=0
Контрольные вопросы:
1. Сколько корней может иметь целое уравнение? От чего это зависит?
2. Какие методы решения уравнений третьей степени и более есть?
3. Что такое биквадратное уравнение? Как его решить?
Ответы
Упражнение 1
1. 5. 2. 3
Упражнение 2
1. 1,6. 2. -1; 5
Упражнение 3
1.-2; 2; 3. 2. -2; 1. 3. -0,5; 0,5.
Степени, научная запись и квадратные корни
Ключевые слова степени | потенциал |
4500 Степени: Представление произведения с использованием показателей и оснований, когда основание умножается само на себя.
Квадратные числа: Число, которое получается после умножения целого числа (не дроби) само на себя. Пример: 4 × 4 = 16, поэтому 16 — квадратное число. Мы возводим в квадрат число, когда показатель степени равен 2,9.0023
Квадратные корни: Чтобы получить квадратный корень, найдите «обратное» значение квадрата.
Символ квадратного корня (√, также называемый «радикальным» символом) означает в основном «противоположный» символ 2 . Когда вы видите радикал, вы хотите спросить себя: «Какое число можно умножить само на себя, чтобы получить число под радикалом?» Например, если вы видите √(9), вы хотите найти число, которое можно возвести в квадрат, чтобы получить девять. В этом случае ответ – три, потому что 32= 9.
Научное обозначение: Если число состоит из двух частей: Сначала: только цифры (с десятичной запятой, расположенной после первой цифры). За ними следует: ×10 в степени, в которой будет стоять десятичная запятая. туда, где он должен быть.
Чтобы преобразовать число из экспоненциального представления, вы перемещаете десятичную дробь так, чтобы у вас была одна цифра слева от десятичной дроби (разряд единиц). десять.
3 500 = 3,5 x 103
↑ ↑
коэффициент степень десятой
* Эти определения предоставлены www.
mathsisfun.com. *
Показатели
Разминка возведения в степень : | Знакомство с показателями : | Пример экспоненты 1 : | Возведение числа в 0 и 1 степень : |
Квадратные корни
 youtube.com/embed/nT3cz6bUGE8?wmode=opaque» frameborder=»0″ allowfullscreen=»»> |
Научное обозначение
LearnZillion предлагает отличное объяснение и пример. Нахождение квадратного корня Объяснение BrainGenie
Решение проблем с научной записью BrainGenie
Pirate Waters
Pyramid Math
Baseball Exponents
Scientific Notation Game
Exponent Matching
Powers Memory Game
Crocodile Exponents Game
Mathopolis Quiz
Alien Landing
Otter Rush
World of Exponents
Interactive Exponents
http://www.
softschools.com/mathg.jsp
http://www.softschools.com/math/games/exponents_practice.jsp
http://www.math-play.com/Exponents-Jeopardy /Exponents-Jeopardy.html
http://www.math5childrenplus.com/roots-crocodile-game/
http://www.math5childrenplus.com/roots-pirate-game/
http://www.mathebook.net/middleschool /virtual/sqrt.htm
http://www.quia.com/mc/65631.html
http://www.math-play.com/square-roots-game.html
http:// www.aplusmath.com/Flashcards/sqrt.html
http://www.softschools.com/math/games/squareroot_practice.jsp
https://www.khanacademy.org/math/pre-алгебра/экспоненты -радикалы/радикалы-радикалы/e/square_roots
http://www.funtrivia.com/playquiz/quiz2928922188228.html
2.3 Квадратичная формула | Уравнения и неравенства
Предыдущий 2. | Следующие 2.4 Замена |
2 Заполнение квадрата2.3 Квадратичная формула (EMBFK)
Не всегда возможно решить квадратное уравнение с помощью факторизации, и это может занять много времени. квадрат. Метод заполнения квадрата дает возможность вывести формулу, которую можно использовать для решения любой задачи. Квадратное уравнение. Квадратичная формула обеспечивает простой и быстрый способ решения квадратных уравнений. 92 + т +1 &= 0\\ t&= \dfrac{-1 \pm \sqrt{1-4(1)(1)}}{2(1)}\\ &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2}\\ \text{Нет реального решения} \конец{выравнивание*}
Предыдущий 2. |
