Уравнения с корнем как решать: Иррациональные уравнения | ЮКлэва

Решение иррациональных уравнений: примеры (10 класс)

• Альфашкола
• Статьи
• Как решать иррациональные уравнения?

Сегодня я предлагаю вам разобрать вопрос, связанный с решением иррациональных уравнений (ЕГЭ профильного уровня). Эти уравнения можно найти в задании №13. Можно выделить несколько типов иррациональных уравнений, однако путь решения примерно одинаков и сводится к простому правилу – «избавится от иррациональности».

 

Разберемся на конкретном примере: 

 

Задание 13   

 

Решите уравнение 

Решение

 

Сделаем замену переменной:  Получаем:

Заметим, что  и, поэтому,  получаем:

Воспользуемся определением модуля. Получаем:

 

Ответ: 

 

Итак, уравнение решено. На что обратить внимание?

      

Первое. В изначальном уравнении у нас присутствует «корень под корнем». Мы изящно выходим из этой ситуации, сделав замену внутреннего корня на новую переменную:  

      

Таким образом, мы получаем более простое иррациональное уравнение, в котором есть два радикала, связанные между собой знаком плюс.

Причем оба подкоренных выражения являются формулами сокращенного умножения. Первый корень – это квадрат суммы, а второй корень – это квадрат разности.

      

Далее решение продолжаем способом, при котором подкоренные выражения «сворачиваем» по соотвествующим формулам сокращенного умножения. Процедура эта стандартная, и в решении подробно не расписана.

      

Следующий этап, который тоже не расписан в решении: под корнем получаеся скобка в квадрате, что позволяет нам избавиться и от оставшихся радикалов.

      

Второй момент. Вот здесь находится первый подводный камень в решении данного уравнения. Необходимо помнить, что подкоренное выражение у нас всегда неотрицательное, т.е. «больше или равно нулю»

. Это позволяет записать подкоренные выражения, используя определение модуля. Что мы и сделали. У нас вместо суммы двух корней получилась сумма двух двучленов «по модулю».

 

Многие ученики бояся уравнений с модулями. Поверьте, это только из-за недостатка практики. Здесь работает простое правило: чем больше решаешь, тем меньше боишься!

      

Итак, имеем сумму двух выражений по модулю. Первое выражение сразу же может быть раскрыто на том основании, что при замене переменных мы, избавившись от радикала: , понимаем, что выражение под корнем должно быть больше или равно нулю. Отсюда и условие, что . На этом основании мы доказали, что первое выражение «по модулю» будет всегда положительное. Так как «2+положительное число y» всегда будет положительным.

      

И третий момент. Второе выражение «по модулю». Это не так очевидно, как все предыдущее. Но посмотрите: выражение «y — 2» действительно меньше или равно нулю. Это кажется невероятным, но, согласно определению модуля, выражение под модулем действительно «меньше или равно нулю». Это условие позволяет нам понять, что значение «у» ограничено как «слева», так и «справа». Т.е «y» больше «0» — это ограничение «слева», и «y» меньше «2» — это и есть ограничение «справа».

 

На сегодня все. Желаю краcивых решений! И помните: математику проще полюбить, когда изучаешь её в приятной обстановке при помощи интересных заданий и креативных педагогов. Все это готова Вам предложить «Альфа-школа».

 

Автор: Андрей Найдёнов.

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Наши преподаватели

Вадим Вадимович Козлов

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Брянский государственный технический университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Белла Руслановна Батыз

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Адыгейский государственный университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Евгений Борисович Царенков

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Брестский государственный университет им. А.С. Пушкина

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Предметы

• Математика
• Репетитор по физике
• Репетитор по химии
• Репетитор по русскому языку
• Репетитор по английскому языку
• Репетитор по обществознанию
• Репетитор по истории России
• Репетитор по биологии
• Репетитор по географии
• Репетитор по информатике

Специализации

• Репетитор для подготовки к ОГЭ по физике
• Репетитор по английскому для взрослых
• Репетитор по разговорному английскому
• Репетитор для подготовки к ОГЭ по истории
• ВПР по математике
• Репетитор для подготовки к ВПР по английскому языку
• Репетитор для подготовки к ВПР по русскому языку
• Репетитор по биологии для подготовки к ЕГЭ
• Репетитор по биологии для подготовки к ОГЭ
• Репетитор по информатике для подготовки к ОГЭ

Похожие статьи

• Периметр параллелограмма
• Как легко разделить на 0,2
• Биотехнологический факультет МГУ: приёмная комиссия, проходной балл, отзывы
• Институт Ядерной Физики и Технологий (НИЯУ МИФИ)
• РУДН: факультет Экологии и Природопользования
• Задачи на координатной решетке. Базовый уровень ЕГЭ
• ЕГЭ по математике, базовый уровень. Текстовые задачи (вариант 10)
• Можно ли разрешать детям пропускать занятия без причины?

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так

Иррациональное уравнение с тремя корнями. Решение примера.

Подобные иррациональные уравнения (см. что такое иррациональные уравнения) с тремя квадратными корнями с переменной под каждым из них можно решать методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Напомним, какие действия составляют указанный метод решения:

• Во-первых, от исходного уравнения переходят к более простому уравнению. Это достигается циклическим выполнением трех следующих действий:
  • уединение радикала;
  • возведение обеих частей уравнения в степень;
  • упрощение вида уравнения.
• Дальше решается полученное уравнение.
• Наконец, если ранее проводилось возведение в четную степень, то выполняется проверка для отсеивания посторонних корней.

Проделаем описанные манипуляции.

В нашем примере участвуют три радикала. Избавиться от них в подобных случаях позволяет двукратное выполнение тройки действий – уединение радикала, возведение обеих частей в степень, упрощение вида уравнения.

Выполним первый проход.

Уединение радикала не требуется, так как в правой части уравнения мы уже имеем уединенный радикал.

Мы имеем дело с квадратными корнями, поэтому возведем обе части уравнения в квадрат: .

Упростим вид полученного уравнения, последовательно осуществляя ряд преобразований уравнения. Формула сокращенного умножения «квадрат суммы» и определение корня позволяют нам провести несколько замен выражений тождественно равными им выражениями:

Дальше видна возможность подготовиться ко второму проходу цикла из трех действий, а именно, уединить произведение радикалов:

Очевидно, после первого прохода мы избавились от трех изначально присутствующих радикалов, но обрели произведение радикалов. Поэтому, для избавления от него выполним тройку указанных выше действий еще раз.

Вновь в уединении радикала нет надобности, так как мы прозорливо уже уединили произведение радикалов на предыдущем шаге.

Переходим к возведению обеих частей уравнения в квадрат: .

И упрощаем вид полученного уравнения. Одно из свойств степеней, а именно, свойство степени произведения, позволяет заменить квадрат произведения в левой части уравнения произведением квадратов, имеем . На базе определения корня и формулы «квадрат разности» переходим к следующему уравнению . Дальнейшее упрощение вида уравнения не нуждается в комментариях:

Так после второго прохода цикла мы полностью освободились от радикалов и получили квадратное уравнение. Квадратные уравнения мы решать умеем, поэтому первый этап можно считать завершенным, и можно переходить ко второму этапу – к решению полученного уравнения.

Решим полученное квадратное уравнение x²−3·x−10=0 через дискриминант:

Остался третий этап решения по методу возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень – отсеивание посторонних корней. В нашем случае этот этап пропустить нельзя, так как выше мы осуществляли возведение в четную степень, причем дважды, а это могло привести к возникновению посторонних корней. Более того, при некоторых преобразованиях уравнений расширялась область допустимых значений переменной x, что также могло породить посторонние корни. Так что отсеем посторонние корни. Сделаем это через подстановку найденных корней x₁=−2 и x₂=5 в исходное иррациональное уравнение:

радикальных уравнений | как решать уравнения квадратного корня

Содержание

Решение уравнений является основной частью математических задач. При решении задач учащиеся сталкиваются с различными типами уравнений. Некоторые из этих задач включают решение радикальных уравнений.

Процесс решения радикального уравнения немного отличается от других. Давайте разберемся, как решаются эти типы уравнений.

Что такое радикал в математике?

В математике радикал является противоположностью показателя степени, который обозначается символом ‘$\sqrt {}$’ и также известен как корень. Термин радикал происходит от латинского слова Radix, что означает корень. {th}$. Число перед символом или радикалом считается порядковым номером или степенью.

Примеры радикалов: $\sqrt{5}$, $\sqrt[3]{2}$, $\sqrt[4]{7}$, $\sqrt[n]{a}$.

Число, написанное перед радикалом, известно как число индекса или степень. Это число помогает нам сказать, сколько раз число должно быть умножено само на себя, чтобы получить подкоренное число.

Это считается противоположностью степени, так же как сложение противоположно вычитанию, а деление противоположно умножению.

Например: $\sqrt[3]{125}=5$, поскольку $5 \times 5 \times 5 = 125$. 92 + х – 1} + 2$

Известные математические соревнования для детей

Как решать радикальные уравнения?

Чтобы решить радикальное уравнение:

Шаг 1: Изолируйте подкоренное выражение, включающее переменную. 2 + 10 \times \frac {5}{3}} – 5 = 0$ 9{2} + 10 \раз\влево(-5\вправо)} – 5 = 0$

$=> \sqrt {3 \times 25 – 50} – 5 = 0$

$=> \sqrt {75 – 50} – 5 = 0$

$=> \sqrt {25} – 5 = 0$

$=> 5 – 5 = 0$  $=> 0 = 0$ верно

Случай 2: Одна часть уравнения имеет более одной радикальной переменной

$ \sqrt {3x – 5} + \sqrt {x – 1} = 2$

Изолировать радикальные переменные

$ \sqrt {3x – 5} = 2 – \sqrt {x – 1} $

Возведение в квадрат обеих частей уравнения 9{2}$

$ => 3x – 5 = \left(2 – \sqrt {x – 1} \right) \times \left(2 – \sqrt {x – 1} \right) $

$ => 3x – 5 = 4 – 2 \sqrt{x – 1} – 2 \sqrt{x – 1} – x – 1$

$ => 3x – 5 = 3 – 4 \sqrt{x – 1} + x$

Это все еще радикальное уравнение. Снова изолируйте подкоренное выражение.

$ => 3x – 5 – 3 – x = – 4 \sqrt{x – 1}$

$ => 2x – 8 = – 4 \sqrt{x – 1}$

$ => 2 \влево( х – 4 \вправо) = – 4 \sqrt{х – 1}$

9{2} – 2х – 10х + 20 = 0

$

$=> х \влево( х – 2 \вправо) – 10 \влево( х – 2 \вправо) = 0$

$=> \влево( х – 2 \вправо) \влево( х – 10 \вправо) = 0$

$=> х – 2 = 0 $ или $ х – 10 = 0 $

$=> x = 2 $ или $x = 10 $

Теперь проверьте результаты

Когда $=> x = 2 $

$ \sqrt {3 \times 2 – 5} + \sqrt {2 – 1} = 2$

$ =>\sqrt {6 – 5} + \sqrt {1} = 2$

$ =>\sqrt {1} + \sqrt {1} = 2$

$ => 1 + 1 = 2 $

$ => 2 = 2 $ верно

Когда $=> x = 10 $

$ \sqrt {3 \times 10 – 5} + \sqrt {10 – 1} = 2$

$=> \sqrt {30 – 5} + \sqrt {9} = 2$

$=> \sqrt {25} + \sqrt {9} = 2$

$ => 5 + 3 = 2

$

$=> 8 = 2$ неверно

Итак, $ \sqrt {3x – 5} + \sqrt {x – 1} = 2$ имеет только одно решение, и это $x = 2$.

Заключение

Процесс решения радикального уравнения включает два шага, а именно: первый удаляет радикальную часть, а второй решает упрощенное уравнение. Всякий раз, когда вы решаете радикальное уравнение, повторяйте первую часть, пока все радикальные части уравнения не будут исключены.

Практические задачи

Решите следующие уравнения:

1. $2x = \sqrt {x + 3}$
2. $\sqrt {33 – 2x} = x + 1$
3. $7 = \sqrt {39 + 3x} – x$
4. $x = 1 + \ sqrt {2x – 2} $
5. $1 + \sqrt {1 – x} = \sqrt {2x + 4}$
6. $\sqrt {5x – 4} – 9 = 0$
7. $ \sqrt {3x + 2}  – 5 = 0$
8. $ \sqrt {10x + 1} – 2 = 0$
9. $ \sqrt {9k – 2} + 1 = 0$
10. $ \sqrt {7x – 3} + 2 = 0$
11. $ \sqrt {x – 1} + 1 = p$
12. $ \sqrt [3] {4x – 3} + 8 = 5$
13. $ \sqrt [3] {6x – 10} + 1 = -3$
14. $ \sqrt [4] {3x – 2} + 3 = 5$
15. $ \sqrt [4] {4x – 8} + 5 = 7$

Рекомендуемое чтение

• В чем разница между призмой и пирамидой?
• 3 системы измерения
• Конечное поведение полиномиальной функции

Вам также может понравиться

Бесплатные карточки по математике – Скачать PDF для печати

Карточки по математике являются ценным пособием для учащихся всех возрастов и

Читать далее

Загружаемые флэш-карты

CodingHero-Maths-Flash-CardsDownload

Читать далее

Транспонирование матрицы – значение, свойства и примеры

Содержание Что такое транспонирование матрицы? Пример транспонирования

Читать далее

2.

4 — Алгебраическое решение уравнений 2.4 — Алгебраическое решение уравнений

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение – это уравнение, которое можно записать в виде Ax ² + Bx + C = 0, где А≠0. Этот Форма называется стандартной.

Существует четыре способа решения квадратного уравнения.

Факторинг

Хорошо работает, когда квадратичное число можно легко разложить на множители.

Некоторых из вас учили факторингу методом проб и ошибок. Других из вас учили AC метод факторинга. Метод AC объясняется в другом месте, если вы хотите просмотреть или изучить это.

Идея факторизации состоит в том, чтобы привести уравнение к стандартной форме, а затем факторизовать левое сторону на два множителя (x-a) и (x-b). Тогда решения уравнения будут x=a и x=b. Факторы, конечно, будут различаться, если A ≠ 1. Факторинг работает, потому что существует правило, согласно которому, если произведение двух множителей равно нулю, то один из множителей должен быть равен нулю.

Извлечение корней

Хорошо работает, когда нет линейного члена, то есть когда B=0.

Извлечение корней в вашем тексте называется принципом квадратного корня. Цель здесь – получить квадрат переменного члена сам по себе с одной стороны и неотрицательная константа с другой стороны.

Затем извлекается квадратный корень из обеих частей. Помните, что квадратный корень из x ² — абсолютное значение x. Когда вы решаете уравнение с абсолютной значение, вы получите плюс и минус в решении. Слишком часто мы пропускаем шаг с абсолютным значением в нем и перейти сразу к фазе плюс/минус. Это нормально, пока мы вспомни причину.

Завершение квадрата

Хорошо работает, когда старший коэффициент A равен 1, а B четен.

1. Если A не равно 1, то либо разделите каждый член на A так, чтобы он был равен 1, либо вынесите A из переменной только слагаемые (не вне константы).
2. Переместить константу в правую часть. Обязательно и оставьте место в конце левой руки перед знаком равенства для константы, которая будет вставлена ​​туда позже.
3. Возьмите 1/2 линейного коэффициента (B) и назовите это число «b». На следующем строку, напишите (x+b) ² =. мы заполним правая сторона позже. Конечно, если B отрицательно, то выражение будет выглядеть (х-б) ² =.
4. Возведите в квадрат только что найденное значение (половина B) и запишите его в том месте, которое вы оставили в конце слева перед знаком равенства в предыдущей строке. Добавьте такое же значение справа сторона руки, также. Очень важно, чтобы мы добавили одно и то же с обеих сторон. Если вы решили выносить на множитель A, а не делить на него, убедитесь, что вы добавляете A раз, что постоянная в правую сторону.
5. Упростить правую часть
6. Продолжить процесс как задачу извлечения корней.

Квадратичная формула

Хорошо работает, когда Луна находится на одной линии с Юпитером. На самом деле нет, просто посмотреть, не потрудится ли кто-нибудь прочитать эти заметки.

Квадратичная формула — это универсальное средство, которое можно использовать для решить любое квадратное уравнение. Уравнение должно прежде всего записать в стандартной форме, и тогда коэффициенты вставил в формулу. Формула была выведена в классе путем заполнения квадрата общего квадратного уравнения.

, если ax ² + bx + c = 0 и a ≠ 0, то x = (-b +/- sqrt (b ² — 4ac)) / (2a)

Если решения квадратной формулы рациональны (без радикалов), то уравнение может были решены с помощью факторинга.

Дискриминант b ² -4ac

Дискриминант равен подкоренному радикалу в квадратичной формуле. В зависимости от того, что типа числа, которым является дискриминант, мы можем сказать, какого типа и сколько будет решений.

Дискриминант	Количество и тип растворов
отрицательный	2 сложных решения с участием и . Уравнение не может быть факторизовано по действительные, потому что реальных решений нет.
ноль	1 действительный, рациональный нуль. Вызывается двойным или повторяющимся корнем. Уравнение может быть факторизованный.
положительный и идеальный квадрат	2 действительных рациональных нуля. Уравнение можно факторизовать.
положительный, но не идеальный квадрат	2 действительных, иррациональных нуля. Уравнение не может быть факторизовано.

Многочлены высшей степени

Попробуйте факторинг. Обязательно сначала проверьте наибольший общий делитель.

Уравнения с радикалами

1. Изолируйте корневой термин с одной стороны.
2. Возведите в квадрат обе части уравнения. Предупреждение! Квадрат не один к одному функция, и вы можете ввести посторонние решения. Кроме того, не забывайте, что там является средним членом при возведении в квадрат биномиальный.
3. Найдите x.
4. Проверьте свои ответы. Могут быть посторонние решения.

Уравнения с более чем одним радикальным членом

1. Изолируйте один из корневых терминов с одной стороны. Неважно, какой. НЕ квадрат обе части уравнения, если оба радикала находятся по одну сторону от знака равенства. Это будет работать если вы будете осторожны, но это будет очень грязно.
2. Возведите в квадрат обе части уравнения.
3. Упростить.
4. Изолируйте оставшийся радикал на отдельной стороне. Помните, что будет радикал из-за средний член, когда вы возводите двучлен в квадрат.
5. Снова подравняйте обе стороны.
6. Найдите x.
7. Проверьте свои ответы. Здесь действительно важно. Вы дважды применили функцию, отличную от 1-1, и так действительно могут быть посторонние решения. Обязательно проверьте.

Уравнения с дробями

Дроби действительно ваши друзья. Иногда. Когда вам нужно дать решение, они предпочтительнее десятичных дробей. Если у вас есть выбор: работать с десятичными дробями или работать с дроби, всегда выбирайте дробь, если десятичные дроби не заканчиваются. Однако, если у вас есть вариант, а ты делаешь с уравнениями, не работая ни с одним — бери!

1. Найдите наименьший общий знаменатель (LCD).
2. Установите LCD = 0 и обратите внимание, какие значения x нельзя использовать. Мы будем устранять знаменатели на следующем шаге и домен больше не будут подразумеваться, поэтому необходимо указать ограничения. Я же говорил, что все это сходится.
3. Умножьте каждый член обеих сторон на ЖК-дисплей и упростите.
4. Проверьте свой ответ на соответствие вашим ограничениям, чтобы убедиться, что вы не используете посторонние решение.

Уравнения с абсолютным значением

Есть два возможных значения, которые имеют одинаковое абсолютное значение. Помните, абсолютный value является кусочно определенной функцией. Поэтому при решении уравнения, содержащего абсолютное значение, вы должны создать два уравнения, по одному для каждой части.

Также обратите внимание на ограничения при разделении уравнения на две части. Это возможно получить посторонние решения (см. задачу 102). Если вы не хотите тратить время на отслеживание ограничений, то 1) не удивляйтесь, если пропустите задачу на экзамене или 2) проверьте все ваши решения обратно в исходное уравнение.

Уравнение положения

Высота, с, в футах свободно падающего тела (у поверхности земля), через t секунд, может быть смоделирован заданной функцией.

s(t) = -16 t ² + v ₀ t + s ₀

v ₀ = начальная скорость и s ₀ = начальная высота

-16 справедливо для земной поверхности и будет меняться в зависимости от небесное тело, оказывающее гравитационное притяжение. Для интересующихся, квадратичный коэффициент всегда будет равен половине ускорения свободного падения (-32 фут/с/с на земле). Остальная часть уравнения верна независимо от того, что тело, на котором ты находишься.