Алгебра. Учебник для 6-8 классов
Алгебра. Учебник для 6-8 классов
ОглавлениеГЛАВА ПЕРВАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ. § 2. Алгебраические выражения. § 3. Допустимые значения букв. § 4. Порядок действий. § 5. Основные законы сложения и умножения. § 6. Краткие исторические сведения. ГЛАВА ВТОРАЯ. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. § 7. Положительные и отрицательные числа. § 8. Числовая ось. § 9. Противоположные числа. § 10. Абсолютная величина числа. § 11. Сравнение рациональных чисел. § 12. Сложение рациональных чисел. § 13. Сложение нескольких чисел. § 14. Законы сложения. § 15. Вычитание рациональных чисел. § 16. Алгебраическая сумма. § 17. Умножение. § 18. Умножение нескольких чисел. § 19. Законы умножения. § 20. Деление. § 21. Свойства деления. § 22. Возведение в степень. § 23. Порядок выполнения действий. § 24. Уравнения. § 25. Решение задач с помощью уравнений. § 26. Графики. § 27. Краткие исторические сведения. (Из истории отрицательных чисел.) ГЛАВА ТРЕТЬЯ. ДЕЙСТВИЯ НАД ЦЕЛЫМИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ.  § 28. Одночлен и многочлен. § 29. Тождества и тождественные преобразования. § 30. Коэффициент. § 31. Расположенные многочлены. § 32. Приведение подобных членов. § 33. Сложение одночленов и многочленов. § 34. Противоположные многочлены. § 35. Вычитание одночленов и многочленов § 36. Умножение одночленов. § 37. Умножение многочлена на одночлен. § 38. Умножение многочленов. § 39. Умножение расположенных многочленов. § 40. Возведение одночленов в степень. § 41. Формулы сокращённого умножения. § 42. Общие замечания о делении целых алгебраических выражений. § 43. Деление одночленов. § 44. Деление многочлена на одночлен § 45. Примеры решения уравнений. ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ. § 48. Два основных свойства уравнений. § 49. Уравнения, содержащие неизвестное в обеих частях. § 50. Уравнение первой степени с одним неизвестным. § 51. Общие указания к решению уравнений.  § 52. Решение задач с помощью уравнений. § 53. Краткие исторические сведения. (Из истории уравнений.) ГЛАВА ПЯТАЯ. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ. § 54. Понятие о разложении на множители. § 55. Вынесение за скобки общего множителя. § 56. Способ группировки. § 57. Применение формул сокращённого умножения. § 58. Применение нескольких способов. § 59. Деление многочленов при помощи разложения на множители. ГЛАВА ШЕСТАЯ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ. § 60. Понятие об алгебраической дроби. § 61. Основное свойство дроби и сокращение дробей. § 62. Перемена знака у членов дроби. § 63. Целая отрицательная и нулевая степени числа. § 64. Приведение дробей к общему знаменателю. § 65. Сложение дробей. § 66. Вычитание дробей. § 67. Умножение дробей. § 68. Деление дробей. § 69. Возведение дроби в натуральную степень. § 70. Дробные уравнения. § 71. Примеры решения уравнений с буквенными коэффициентами. ГЛАВА СЕДЬМАЯ.  КООРДИНАТЫ И ПРОСТЕЙШИЕ ГРАФИКИ.§ 72. Координаты точки на плоскости. § 73. Прямо пропорциональная зависимость. § 74. График прямо пропорциональной зависимости. § 75. Линейная зависимость. § 76. Обратно пропорциональная зависимость. ГЛАВА ВОСЬМАЯ. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ. § 77. Уравнение первой степени с двумя неизвестными. § 78. Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. § 79. Равносильные системы. § 80. Решение систем уравнений. § 82. Решение задач. § 83. Уравнение с тремя неизвестными. § 84. Система трёх уравнений с тремя неизвестными. ГЛАВА ДЕВЯТАЯ. СЧЁТНАЯ (ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ) ЛИНЕЙКА. § 85. Равномерные и неравномерные шкалы. § 86. Устройство счётной (логарифмической) линейки. § 87. Основная шкала. § 88. Умножение и деление с помощью счётной линейки. ГЛАВА ДЕСЯТАЯ. КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ. § 89. Построение графика зависимости y = x^2 § 90.  (1/3)§ 130. Примеры графического решения уравнений и систем уравнений. |
Сериал Уравнение с неизвестными все сезоны 1,2 все серии по порядку подряд список
Двое совершенно не похожих людей неожиданно становятся напарниками, вынужденными вместе заниматься расследованием запутанного дела. Игорь Болдин действует всегда не по плану. Он принимает решения стремительно и не тратит время на лишние раздумья.
Следователю поручают новое дело. В школе убит преподаватель. Во время опроса свидетелей мужчина сталкивается с коллегой покойного. Кира оказывается крайне сообразительной девушкой, которая может помочь в расследовании. Только вот даже находиться рядом с Марадоной для нее большое испытание. Представляем вам сериал Уравнение с неизвестными все сезоны все серии по порядку подряд — полный список.
Оглавление
- 1 Уравнение с неизвестными. Химия убийства (2020)
- 2 Уравнение с неизвестными.
Сегодня ты умрёшь (2020)
Сегодня ты умрёшь (2020)Уравнение с неизвестными. Химия убийства (2020)
Режиссер: Вячеслав Лавров
Актеры: Иван Стебунов, Мария Антонова, Алёна Яковлева, Андрей Леонов, Ксения Худоба, Дмитрий Гудочкин, Александр Кульков, Андрей Пынзару, Сергей Щедрин, Руслан Щедрин, Евгения Каверау, Екатерина Сахарова, Аделина Коблова, Никита Тарасов, Николай Сахаров, Лана Йохим, Сергей Неудачин, Евгений Еськов
Серий: 2
Молодая преподавательница никогда не подумала бы, что ей предстоит принимать участие в расследованиях, сотрудничая с настоящей легендой убойного отдела. В школе, где работает Кира, загадочным образом умирает учитель химии. Многие подозревают, что мужчина был жестоко убит.
Успенская прекрасно знала коллегу и могла помочь следователю. Им оказывается харизматичный и обаятельный Игорь Болдин, больше известный по прозвищу Марадона.
Он является полной противоположностью интеллигентной девушке, но вместе с ней его шансы отыскать преступника увеличиваются.
К большому удивлению напарники продвигаются в деле и находят виновника произошедшего.
Смотреть 1 сезон
Уравнение с неизвестными. Сегодня ты умрёшь (2020)
Режиссер: Вячеслав Лавров
Актеры: Иван Стебунов, Мария Антонова, Алёна Яковлева, Андрей Леонов, Ксения Худоба, Дмитрий Гудочкин, Аделина Коблова, Ева Авеева, Владимир Роганов, Анастасия Драголюб, Елена Кульчицкая, Алёна Спивак, Николай Сахаров, Григорий Анашкин, Людмила Халилуллина, Артём Орлов
Серий: 2
Жизнь Киры Успенской кардинально меняется, когда в ней появляется сотрудник полиции. В прошлом вместе с Игорем ей удалось раскрыть запутанное преступление. Учительница даже находит общий язык со своим временным напарником.
Она становится его хорошей приятельницей, которая часто бывает у Болдина дома и занимается математикой с его дочерями. Преступники никогда не сидят без дела.
Уже несколько недель Марадона пытается раскрыть тайну загадочного письма, оставленного крупному бизнесмену.
За помощью он снова обращается к Успенской.
Смотреть 2 сезон
1. Что такое алгебра?: Нахождение неизвестных…
Глава 1. Что такое алгебра?: Нахождение неизвестных…
Вы когда-нибудь хотели знать больше, чем знать? В этом вся суть алгебры: делать неизвестные известными. К тому времени, когда вы через эту первую главу вы уже будете иметь представление о том, что X — это много больше, чем отметка, где зарыто сокровище. Вы разберетесь с уравнений , сохраняя обе части уравнения сбалансированный , и почему решение неизвестных на самом деле не такая уж большая задача иметь дело. Чего же ты ждешь? Иди и начни!
Все началось с большой игровой распродажи
Джо некоторое время наблюдал за битвами игровой системы
теперь и, наконец, определилась с тем, кого она хочет. Ее любимая система
в продаже на этой неделе, и она готова купить.
Но может ли она себе это позволить? Это
где ей нужна небольшая помощь от вас.
Что на самом деле делает система расходы?
Когда покупаешь вещи, особенно дорогие электронные вещи — есть много вещей, которые добавляют в цену, помимо только номер на рекламном проспекте: налог с продаж, расширенная гарантия, доставка и управление и т. д. Так сколько же на самом деле будет стоить система KillerX?
Система облагается налогом…
Базовая цена системы составляет 199 долларов США. После этого нам нужно подумайте о налогах, которые составляют 5%. Давайте подсчитаем, сколько у Джо будет платить налоги:
… и расширенная гарантия тоже.
Джо собирается потратить 199 долларов на игровой автомат, и она хочет приобретите план расширенной гарантии за дополнительные 20 долларов. Давайте положим что и в цене. Какую цену придется заплатить Джо?
Вычисление суммы было не просто сложением! Это было
решение для неизвестного — и
это алгебра.
В данном случае неизвестно, сколько всего было
будет стоить.
Алгебра — это решение неизвестные
Алгебра заключается в том, чтобы найти недостающее число . информацию , которую вы ищете, используя информацию у тебя уже есть. Неизвестным может быть стоимость автокредита, количество газировки, которое вам нужно, или как высоко вы можете бросить воздушный шар с водой. Если вы этого не знаете, это неизвестный .
Все остальное, чему вы научитесь по алгебре, — это просто способы покачивайте вещи, чтобы помочь вам найти часть недостающей информации. Существуют правила о том, когда вы можете умножать вещи или когда вы можете сталкиваться что-то с одной стороны знака равенства на другую, но в конце день, все они просто уловки, чтобы помочь вам найти недостающую часть информацию, которую вы ищете.
У Джо есть еще неизвестные
Итак, Джо знает, сколько потребуется, чтобы купить потрясающую игру
системы, включая расширенную гарантию.
Но у нее до сих пор нет
игры… или другой контроллер… или гарнитура.
Джо начала с 315,27 долларов на банковском счете. Теперь, когда она заплатила для консоли, сколько Джо может потратить на аксессуары? Начнем с запишем это прописью:
Мы знаем, сколько стоит консоль ($228,95), и мы знаем, сколько У Джо есть на ее счету (315,27 долларов США). Теперь просто заполните пробелы, и мы сможем вычислить бюджет аксессуаров Джо:
Решение любого неизвестного — это алгебра.
X обозначает неизвестное место
x просто удобная замена неизвестного блока, который мы использовали ранее. x легче написать, и это то, что вы искать, когда вы решаете уравнение. Неизвестное в любой заданной ситуацию называют переменной. В реальном мире проблемы возникают каждый день; Идет перевод их в математические уравнения позволяет решить их.
Уравнения математические предложения
Уравнения, подобные тому, которое вы использовали ранее, чтобы выяснить, как
сколько Джо могла бы потратить на аксессуары, это просто математические предложения.
Они
математический способ сказать что-либо. Итак, когда мы говорили о Джо
баланс счета, мы фактически использовали уравнение:
Наше уравнение означает « Баланс счета минус сколько мы тратим на консоль столько, сколько у нас осталось аксессуары. » Значит, значит, счет баланс должен равняться стоимости консоли плюс деньги за аксессуары . Если мы запишем это предложение в виде уравнения, оно выглядит так:
Уравнения можно переставить как предложения.
Оба предложения означают одно и то же; они просто сформулированы иначе. На следующих нескольких страницах вы узнаете, как изменить математические предложения и убедитесь, что вы не меняете никаких значений.
Теперь РЕШИТЕ для неизвестно
Джо пытается решить, стоит ли ей покупать ЖИВАЯ подписка. У нее 10 игр, и в 7 из них нет онлайна. играть. Сколько у нее есть, что можно играть онлайн? Это делает смысл для нее покупать подписку?
Что нас действительно волнует здесь, так это то, что такое x — неизвестное количество игр.
Знак равенства означает, что обе стороны одинаковы. Итак, если мы отнимите 7 от одной стороны, мы должны сделать то же самое с другой стороны уравнения:.
Итак, что у нас осталось:
Для этого не нужны картинки алгебра.
Вам нужен способ использования операций, которые вы уже знаете (сложение, вычитание, умножение и деление) для решения уравнения.
Сложная часть? Вы должны сохранить равенство. Равенство означает одинаковый. Когда ты что-то делаешь с одной стороны уравнения, вы должны сделать то же самое с другой сторону уравнения.
Вот еще один способ взглянуть на онлайн-проблему Джо без картинки:
себя, вы изолируете
переменная.
Это самая важная часть решения
уравнение. Изоляция переменной означает, что вы получили переменную
себя в левой части уравнения, а все остальное складывается
справа. Если вы можете изолировать переменную, значит, вы решили задачу.
уравнение — ответ просто выскакивает, например, х =
3 .
Знание того, что вашей целью является выделение переменной, означает, что вы знать, какие числа отойти от левой стороны. Поскольку вы пытаетесь чтобы получить только x , это означает, что вы двигай семерку, а не 10!
Итак, когда какую операцию вы используете?
Противоположностью сложения является вычитание. Итак, если некоторые
число добавляется к одной стороне уравнения, и вы хотите переместить
это число на другую сторону, вы можете вычесть это число из обоих
стороны. Математический термин, описывающий противоположные операции, называется обратными операциями.
Основными математическими операциями являются сложение, вычитание, умножение и деление. Обратная операция – это операция, которая отменяет операцию (как сложение отменяет вычитание). Обратный операции позволяют сдвигать число или переменную с одной стороны уравнение к другому, «отменив» это число на одной стороне уравнение.
Когда вы хотите решить уравнение:
Посмотрите на уравнение и решите какие числа двигать.
Используя уравнение Джо, мы должны были избавиться от 7. Это потому что мы пытаемся изолировать переменную x.
Выясните, какую операцию использовать.
Вам нужно использовать обратную операцию для числа, чтобы удалить это. Для вычитаемого числа прибавьте. Для разделенного числа умножить, и так далее.
Сохранить равенство.
Что бы вы ни решили сделать с одной частью уравнения, вы должен сделать с другим.
Это сохраняет уравнение прежним.
Это сохраняет уравнение прежним.Сила мозга
Существуют и другие обратные операции. Ты можешь думать о другие рабочие пары, которые работают?
Кто бы ни думал, что использовать x для обозначения типичного неизвестного, по-видимому, было хорошей идеей. не возражал против путаницы, которую это могло вызвать со знаком умножения, Икс. Тем не менее, многие другие люди сделали это.
Они отказались от использования x для умножение и придумал несколько более удобных для чтения вариантов:
И сдачу на дивизию тоже…
Знак дивизии, который вы привыкли видеть, тоже выбросили. Вместо этого вы увидите такие вещи:
Джо готова к аксессуарам!
Джо выяснила, что на ее счету осталось 86,32 доллара на аксессуары. Она решила, что хочет получить больше игр и не волноваться про гарнитуру только пока.
Джо быстро сделала алгебру, чтобы выяснить, сколько игр она может купить:
Проверка Проверка вашего work.
..По мере изучения алгебры вы обнаружите, что задачи усложняются, и ошибиться довольно легко. Джо не правильно поделила, вот и достала! Проверка вашей работы не просто просматривая то, что вы сделали. Это также означает использование определенного техника под названием замена .
Замена использует ваше решение в оригинале уравнение
Замена означает замену чего-то другим. А замещающий учитель вместо обычного учителя, верно? К проверьте свою работу, вы подставляете найденный ответ на переменная в исходном уравнении.
Замена — это процесс, который можно использовать не только для проверки вашей работе, но и для других вещей тоже. Когда мы доберемся до более сложных уравнения и уравнения с более чем одной переменной, вы захотите использовать замену как часть процесса решения.
Обучение уравнениям
Давайте объединим все ваши сумасшедшие навыки решения уравнений, чтобы решить реальную задачу с помощью алгебры:
У Джо потрясающая установка!
После поездки, чтобы продать 4 игры и купить гарнитуру, Джо вошла в ЖИВИТЕ и купили этот новый уровень, и она готова к игре!
Джо собирается часами заниматься своим новым игру, но когда она закончит, будет легко понять, в какую игру она может позволить себе следующий!
Math Toolbox
Решение одновременных уравнений с несколькими неизвестными
01 февраля 2018 г.
Это третья статья в нашей серии кратких статей, в которых обсуждаются важные темы, касающиеся техников-электронщиков и электромехаников, а также студентов-технарей, готовящихся к работе в современных условиях. В этой серии мы обсудим некоторые повседневные навыки и темы для практикующих техников, а также некоторые области, которые наши студенты-технари определили как «трудные для понимания» при выполнении общего анализа цепей. Темы обсуждения будут включать в себя методы сокращения схемы, переходные характеристики, а также области сложности при работе с линейными теоремами сети постоянного тока.
Как решать одновременные уравнения с несколькими неизвестными
Многие технические специалисты сталкиваются с трудностями при решении уравнений узлов или контуров, содержащих несколько неизвестных величин. В этой третьей части серии «Техники-практики» мы рассмотрим способы решения таких уравнений для получения контурных токов или узловых напряжений при выполнении линейного анализа сети постоянного тока.
Двумя методами технического уровня для решения одновременных уравнений с несколькими неизвестными, используемыми при работе с двумя или тремя уравнениями, являются «подстановка» и «исключение». Чтобы решить для заданного числа неизвестных, мы требуем, чтобы такое же количество уравнений было предоставлено. Например, нам потребуется два уравнения для решения двух неизвестных величин. Нам потребовались бы три уравнения для решения трех неизвестных величин и так далее.
Решите для x и y, учитывая эти два уравнения, содержащие две неизвестные величины.
Уравнение 1 3x + 2 = 2y
Уравнение 2 8x – 4 = 4y
Мы хотим выделить член y в одном уравнении. Под этим мы подразумеваем, что нам нужно уравнение, которое выражает значение одного y через x.
| Уравнение 1 | 3x + 2 = 2y |
| г = (3x + 2) / 2 |
Поскольку теперь у нас есть выражение для значения y через x, мы заменим член y в уравнении 2 этим новым выражением, которое мы получили выше.
Это оставит нам только одну неизвестную величину, x, для решения уравнения 2 вместо двух неизвестных, которые у нас были раньше.
| Уравнение 2 | 8х – 4 = 4у |
| 8х – 4 = 4(3х + 2) / 2 | |
| 8х – 4 = (12х + 8) / 2 | |
| 8х – 4 = 6х + 4 | |
| 8х = 6х + 4 + 4 | |
| 8х – 6х = 4 + 4 | |
| 2x = 8 | |
| х = 8/2 | |
| х = 4 |
Имея значение x, мы можем использовать его в уравнении 1 или уравнении 2, чтобы найти значение y. (Используя уравнение 1)
3(4) + 2 = 2 года
12 + 2 = 2 года
14 = 2 года
y = 14 / 2
y = 7
Этот подход также может использовать для решения двух неизвестных в тех же двух уравнениях.
Уравнение 1 3x + 2 = 2y
Уравнение 2 8x – 4 = 4y
На этот раз наша цель – найти коэффициент для умножения одного из уравнений, на который мы сможем суммировать два уравнения и исключить одно из неизвестных. Если мы умножим обе части уравнения 1 на коэффициент -2, а затем просуммируем два уравнения, у нас останется выражение, содержащее только одно неизвестное. Мы выбрали -2 в качестве коэффициента для умножения уравнения 1, так что правая часть уравнения 1 при добавлении к правой части уравнения 2 приведет к исключению члена y из результирующего уравнения.
| Уравнение 1 | 3x + 2 = 2y |
| -2 (3x + 2) = -2 (2y) | |
| -6х – 4 = — 4у |
Теперь мы суммируем это новое выражение для уравнения 1 с нашим исходным уравнением 2. Добавление -4y из правой части нашего нового выражения для уравнения 1 к 4y в правой части уравнения 2 приведет к 0y, что эффективно исключает член y из результирующего уравнения.
Уравнение 1 -6x – 4 = — 4y (уравнение 1 изменено с коэффициентом -2)
Уравнение 2 8x – 4 = 4y
Чтобы просуммировать эти уравнения, добавьте члены из левой части каждого уравнения вместе, и сложите члены из правой части уравнений вместе следующим образом…..
(-6x – 4) + (8x – 4) = (-4y) + (4y)
2x – 8 = 0
2x = 8
x = 8/2
x = 4
Теперь мы будем использовать значение 4 для x в любом из двух исходных уравнений, чтобы найти значение y. (Используя уравнение 2)
8 (4) — 4 = 4y
32 — 4 = 4y
28 = 4y
y = 28/4
y = 7
В этом последнем примере мы исключили термин Y из уравнений, потому что он был легко узнаваемый способ сведения уравнения к одному неизвестному. Вместо этого мы могли бы исключить переменную x, оставив уравнение с y в качестве единственной неизвестной величины.
Уравнение 1 3x + 2 = 2y
Уравнение 2 8x – 4 = 4y
Чтобы убрать члены x из приведенных выше уравнений, необходимо применить коэффициент к обоим уравнениям, чтобы создать ситуацию мы желаем.
Если мы умножим Eq.1 на 8 и Eq.2 на -3, члены x станут 24x и -24x соответственно. Они компенсируют друг друга при суммировании двух уравнений.
Уравнение 1 8(3x + 2) = 8(2y)
Уравнение 1 24x + 16 = 16y
Уравнение 2 -3(8x – 4) = -3(4y)
Уравнение 2 -24x + 12 = -12y
Теперь мы суммируем наши два новых уравнения, чтобы получить уравнение с одной переменной. Если мы напишем уравнения одно поверх другого, мы можем просто просуммировать по вертикали, чтобы получить наше уравнение с одной переменной.
| Уравнение 1 | 24x + 16 = 16y |
| Уравнение 2 | -24х + 12 = -12у |
| ———————— | |
| 0х + 28 = 4у | |
| 4г = 28 | |
| г = 28/4 | |
| у = 7 |
Теперь мы будем использовать это известное значение y в одном из исходных уравнений, чтобы найти значение x.