Уравнение с тремя неизвестными | Математика
62. Одно уравнение с тремя неизвестными. Пусть имеем уравнение
3x + 4y – 2z = 11.
На это уравнение можно смотреть, как на запись задачи: найти числовые значения для x, y и z, чтобы трехчлен 3x + 4y – 2z оказался равен числу 11. Таким образом это уравнение является уравнением с тремя неизвестными. Так как мы можем решить одно уравнение с одним неизвестным, то уже с первого взгляда возникает мысль, что 2 неизвестных здесь являются как бы лишними, и им можно давать произвольные значения. И действительно, если, например, взять для y число 3 и для z число 5, то получим уравнение с одним неизвестным:
3x + 12 – 10 = 11,
откуда
3x = 9 и x = 3.
Возьмем другие числа для y и z. Например, пусть
y = –1 и z = 0.
Тогда получим уравнение:
3x – 4 = 11,
откуда
3x = 15 и x = 5.
Продолжая эту работу дальше, мы придем к заключению:
Одно уравнение с тремя неизвестными имеет бесконечно много решений, и для получения их надо двум неизвестным давать произвольные значения.
Результаты этой работы можно записать в таблице (мы, кроме двух уже найденных решений, записали в ней еще одно, которое получится, если положить y = –1 и z = –2):
Так как для y и для z мы берем произвольные значения, то они являются независимыми переменными, а x является зависимым (от них) переменным. Другими словами: x является функциею от y и z.
Чтобы удобнее получать решения этого уравнения, можно определить из него x через y и z. Получим:
3x + 4y – 2z = 11; 3x = 11 – 4y + 2z;
x = (11 – 4y + 2z) / 3.
Дадим, напр., значения: y = 5 и z = 1; получим: x = (11 – 20 + 2) / 3 = –2(1/3) и т. д.
Возьмем еще уравнение
3x – 5y – 2z = 7.
Примем x и y за независимые переменные, а z — за зависимое и определим z через x и y
–2z = 7 – 3x + 5y; 2z = 3x – 5y – 7; z = (3x – 5y – 7) / 2
Теперь легко составить таблицу решений:
Система линейных уравнений с тремя переменными
Линейное уравнение с тремя переменными и его решение
Уравнение вида ax+by+cz = d , где a, b, c, d — данные числа, называется линейным уравнением с тремя переменными x, y и z.3+y+xyz = 7$
Решением уравнения с тремя переменными называется упорядоченная тройка значений переменных (x,y,z), обращающая это уравнение в тождество.
О тождествах – см. §3 данного справочника
Например: для уравнения 2x+5y+z=8 решениями являются тройки x = -2, y = 1, z = 7; x = -1, y = 1, 6 , z = 2; x = -3, y = 2, 4, z = 2 и т.д. Уравнение имеет бесконечное множество решений.
Геометрическим представлением линейного уравнения с тремя переменными является плоскость в трёхмерном координатном пространстве.
Решение системы линейных уравнений с тремя переменными методом подстановки
Алгоритм метода подстановки для системы уравнений с тремя переменными аналогичен алгоритму для двух переменных (см.§45 данного справочника)
Например: решить систему
$$ {\left\{ \begin{array}{c} 3x+2y-z = 8 \\ x-y+z = -2 \\ 2x-3y-5z = 1 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 3(y-z-2)+2y-z = 8 \\ x = y-z-2 \\ 2(y-z-2)-3y-5z = 1 \end{array} \right.} \Rightarrow $$
$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = y-z-2 \\ 5y-4z = 14 \\ -y-7z = 5 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = y-z-2 \\ y = -7z-5 \\ 5(-7z-5)-4z = 14 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = y-z-2 \\ y = -7z-5 \\ -39z = 39 \end{array} \right.} \Rightarrow $$
$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 2-(-1)-2 = 1 \\ y = -7\cdot(-1)-5 = 2 \\ z = -1 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 1 \\ y = 2 \\ z = -1 \end{array} \right.} $$
Ответ: (1;2;-1)
Решение системы линейных уравнений с тремя переменными методом Крамера
Метод Крамера для системы уравнений с 2-мя переменными рассмотрен в §48 данного справочника.
Для системы с 3-мя переменными действуем по аналогии.
Дана система 3-х линейных уравнений с 3-мя переменными:
$$ {\left\{ \begin{array}{c} a_1 x+b_1 y+c_1 z = d_1 \\ a_2 x+b_2 y+c_2 z = d_2 \\ a_3 x+b_3 y+c_3 z = d_3 \end{array} \right.} $$
Определим главный определитель системы:
$$ \Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} $$
и вспомогательные определители:
$$ \Delta_x = \begin{vmatrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}, \Delta_y = \begin{vmatrix} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{vmatrix}, \Delta_z = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{vmatrix} $$
Тогда решение системы:
$$ {\left\{ \begin{array}{c} x = \frac{\Delta_x}{\Delta} \\ y = \frac{\Delta_y}{\Delta} \\ z = \frac{\Delta_z}{\Delta} \end{array} \right.} $$
Соотношение значений определителей, расположения плоскостей и количества решений:
$ \Delta \neq 0 $
$ \Delta = 0, \Delta _x \neq 0, \Delta_y \neq 0, \Delta_z \neq 0 $
$ \Delta = 0$ некоторые вспомогательные определители равны 0
Три плоскости пересекаются в одной точке
Три плоскости параллельны
Две или три плоскости совпадают или пересекаются по прямой
Бесконечное множество решений
Осталось определить правило вычисления определителя 3-го порядка.
Таких правил несколько, приведём одно из них (так называемое «раскрытие определителя по первой строке»):
$$ \Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = a_1 = \begin{vmatrix} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix} — b_1 = \begin{vmatrix} a_2 & c_2 \\ a_3 & c_3 \end{vmatrix} + c_1 = \begin{vmatrix} a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{vmatrix} = $$
$$ = a_1 (b_2 c_3-b_3 c_2 )-b_1 (a_2 c_3-a_3 c_2 )+c_1 (a_2 b_3-a_3 b_2 )$$
Примеры
Пример 1. Найдите решение системы уравнений методом подстановки:
$ а) {\left\{ \begin{array}{c} 3x+2y-z = 13 \\ 2x-y+3z = -2 \\ x+2y-z = 9 \end{array} \right.} $
$${\left\{ \begin{array}{c} z = 3x+2y-13 \\ 2x-y+3(3x+2y-13) = -2 \\ x+2y-(3x+2y-13) = 9 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} z = 3x+2y-13 \\ 11x+5y = 37 \\ -2x = -4 \end{array} \right.} \Rightarrow $$
$$\Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} z = 3\cdot2+2\cdot3-13 = -1 \\ y = \frac{37-11\cdot2}{5} = 3 \\ x = 2 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 2 \\ y = 3 \\ z = -1 \end{array} \right.} $$
Ответ: (2;3;-1)
$ б) {\left\{ \begin{array}{c} x+y+3z = 6 \\ 2x-5y-z = 5 \\ x+2y-5z = -11 \end{array} \right.} $
$$ {\left\{ \begin{array}{c} x = -y-3z+6 \\ 2(-y-3z+6)-5y-z = 5\\ (-y-3z+6)+2y-5z = -11 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = -y-3z+6 \\ -7y-7z = -7 |:(-7) \\ y-8z = -17 \end{array} \right.} \Rightarrow $$
$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = -y-3z+6 \\ y+z = 1 \\ y-8z = -17 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = -y-3z+6 \\ 9z = 18 \\ y = 1-z \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 1-6+6 = 1 \\ z = 2 \\ y = 1-2 = -1 \end{array} \right.} \Rightarrow$$
$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 1 \\ y = -1 \\ z = 2 \end{array} \right.} $$
Ответ: (1;-1;2)
Пример 2. Найдите решение системы уравнений методом Крамера:
$а) {\left\{ \begin{array}{c}3x+2y-z = 13 \\ 2x-y+3z = -2 \\ x+2y-z = 9 \end{array} \right.} $
$$ \Delta = \begin{vmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 3\\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 3 = \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -1 \\ \end{vmatrix} — 2 = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \\ \end{vmatrix} — 1 = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \\ \end{vmatrix} = $$
$$= 3(1-6)-2(-2-3)-(4+1) = -15+10-5 = -10$$
$$ \Delta_x = \begin{vmatrix} 13 & 2 & -1 \\ -2 & -1 & 3 \\ 9 & 2 & -1 \\ \end{vmatrix} = 13 = \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -1 \\ \end{vmatrix} — 2 = \begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 9 & -1 \\ \end{vmatrix} — 1 = \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ 9 & 2 \\ \end{vmatrix} = $$
$$ = 13(1-6)-2(2-27)-(-4+9) = -65+50-5=-20 $$
$$ \Delta_y = \begin{vmatrix} 3 & 13 & -1 \\ 2 & -2 & 3 \\ 1 & 9 & -1 \\ \end{vmatrix} = 3 = \begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 9 & -1 \\ \end{vmatrix} — 13 = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \\ \end{vmatrix} — 1 = \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 9 \\ \end{vmatrix} = $$
$$ = 3(2-27)-13(-2-3)-(18+2) = -75+65-20 = -30 $$
$$ \Delta_z = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 13 \\ 2 & -1 & -2 \\ 1 & 2 & 9 \\ \end{vmatrix} = 3 = \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 2 & 9 \\ \end{vmatrix} — 2 = \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 9 \\ \end{vmatrix} + 13 = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \\ \end{vmatrix} = $$
$$ = 3(-9+4)-2(18+2)+13(4+1) = -15-40+65 = 10 $$
$$ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-20}{-10} = 2, y = {\Delta_y}{\Delta} = \frac{-30}{-10} = 3, z = {\Delta_z}{\Delta} = \frac{10}{-10} = -1$$
Ответ: (2;3;-1)
$б) {\left\{ \begin{array}{c} x+y+3z = 6 \\ 2x-5y-z = 5 \\ x+2y-5z = -11 \end{array} \right.} $
$$ \Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & -5 & -1\\ 1 & 2 & -5 \end{vmatrix} = 1 = \begin{vmatrix} -5 & -1 \\ 2 & -5 \\ \end{vmatrix} — 1 = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -5 \\ \end{vmatrix} + 3 = \begin{vmatrix} 2 & -5 \\ 1 & 2 \\ \end{vmatrix} = $$
$$= (25+2)—(-10+1)+3(4+5) = 27+9+27 = 63$$
$$ \Delta_x = \begin{vmatrix} 6 & 1 & 3 \\ 5 & -5 & -1 \\ -11 & 2 & -5 \\ \end{vmatrix} = 6 = \begin{vmatrix} -5 & -1 \\ 2 & -5 \\ \end{vmatrix} — 1 = \begin{vmatrix} 5 & -1 \\ -11 & -5 \\ \end{vmatrix} + 3 = \begin{vmatrix} 5 & -5 \\ -11 & 2 \\ \end{vmatrix} = $$
$$ = 6(25+2)—(-25-11)+3(10-55) = 162+36-135 = 63 $$$$ \Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 16 & 3 \\ 2 & 5 & -1 \\ 1 & -11 & -5 \\ \end{vmatrix} = 1 = \begin{vmatrix} 5 & -1 \\ -11 & -5 \\ \end{vmatrix} — 6 = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -5 \\ \end{vmatrix} + 3 = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & -11 \\ \end{vmatrix} = $$
$$ = (-25-11)—6(-10+1)+3(-22-5) = -36+54-81 = -63 $$
$$ \Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & -5 & 5 \\ 1 & 2 & -11 \\ \end{vmatrix} = 1 = \begin{vmatrix} -5 & 5 \\ 2 & -11 \\ \end{vmatrix} — 1 = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & -11 \\ \end{vmatrix} + 6 = \begin{vmatrix} 2 & -5 \\ 1 & 2 \\ \end{vmatrix} = $$
$$ = (55-10)—(-22-5)+6(4+5) = 45+27+54 = 126 $$
$$ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{63}{63} = 1, y = {\Delta_y}{\Delta} = \frac{-63}{63} = -1, z = {\Delta_z}{\Delta} = \frac{126}{63} = 2$$
Ответ: (1;-1;2)
Пример 3*.2 c-abc = -abc $$
Ответ:$ {\left\{ \begin{array}{c} x = -(a+b+c) \\ y = ab+ac+bc \\ z = -abc \end{array} \right.} $
Как найти решение с тремя неизвестными в Python
Как я могу решить эту проблему в Python?
Что-то кажется, что это будет петля или какой-то решатель. Я знаю, что могу решить ее методом проб и ошибок, но дело не в этом.
pythonПоделиться Источник Wojciech Moszczyński 11 июля 2020 в 16:15
2 ответа
- Решение системы линейных уравнений над конечным полем python или java
Есть ли какой-нибудь пакет в python или java, который может решить систему линейных уравнений над конечным полем? Я пытаюсь решить 20 + уравнений с 20 + неизвестными переменными, и иметь этот пакет было бы здорово. Это система уравнений над конечным полем, так что это не совсем то же самое, что…
- Гаусса-Зейделя алгоритм решения Python 2.7
Существует ли пакет Python 2.7, содержащий решатель Гаусса-Зиделя для систем с более чем 3 линейными алгебраическими уравнениями, содержащими более 3 неизвестных? Простой пример проблемы, которую я хотел бы решить, приведен ниже. Если нет доступных шаблонов или пакетов, можно ли решить эту…
2
Существует бесконечное число решений, поэтому, пока у вас есть два значения x, вы можете найти третье, необходимое для достижения 1200.
Итак , скажем, у вас есть X1 и X2, говорит нам какая-то простая алгебра:
5*X3 = 1200 - X1 - 3*X2
и затем
X3 = (1200 - X1 - 3*X2) / 5
таким образом, вы нашли X3 со значениями для X1 и X2 . Чтобы найти различные решения, вы можете заполнить X1 и X2 случайными числами, а затем получить третий X3 , чтобы соответствовать.
Поделиться dantechguy 11 июля 2020 в 16:34
0
Как упоминалось в @dantechguy,, есть бесконечные ответы, но это не значит, что мы не можем заставить python сказать нам это наверняка. Лучший маршрут для решения систем уравнений- sympy . Проверьте это здесь: Sympy
Далее мы решим вашу систему уравнений и расскажем вам о каждой переменной, а также о границах каждой из них.
from sympy.solvers import solve
from sympy import S
x1,x2,x3 = S('x1 x2 x3'.split())
Eq = [1*x1 + 3*x2 + 5*x3-1200, x1>0, x2>0,x3>0]
sol = solve(Eq, x1),solve(Eq, x2),solve(Eq, x3)
display(sol)
Этот выход:
((0 < x1) & (0 < x2) & (0 < x3) & (x1 < oo) & (x2 < oo) & (x3 < oo) & Eq(x1, -3*x2 - 5*x3 + 1200),
(0 < x1) & (0 < x2) & (0 < x3) & (x1 < oo) & (x2 < oo) & (x3 < oo) & Eq(x2, -x1/3 - 5*x3/3 + 400),
(0 < x1) & (0 < x2) & (0 < x3) & (x1 < oo) & (x2 < oo) & (x3 < oo) & Eq(x3, -x1/5 - 3*x2/5 + 240))
Если вы работаете в jupyter, используйте следующее, Чтобы сделать вещи красиво набранными с помощью LATEX:
display(solve(Eq, x1))
display(solve(Eq, x2))
display(solve(Eq, x3))
Поделиться jb4earth 11 июля 2020 в 16:19
Похожие вопросы:
Решение двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными в C++
У меня есть два нелинейных уравнения с двумя неизвестными, то есть tau и p .2+b}, с двумя неизвестными,…
Как реализовать очередь с тремя стеками?
Я наткнулся на этот вопрос в книге по алгоритмам ( алгоритмы, 4-е издание Роберта Седжвика и Кевина Уэйна). Очередь с тремя стопками. Реализуйте очередь с тремя стеками так, чтобы каждая операция…
Решение системы линейных уравнений над конечным полем python или java
Есть ли какой-нибудь пакет в python или java, который может решить систему линейных уравнений над конечным полем? Я пытаюсь решить 20 + уравнений с 20 + неизвестными переменными, и иметь этот пакет…
Гаусса-Зейделя алгоритм решения Python 2.7
Существует ли пакет Python 2.7, содержащий решатель Гаусса-Зиделя для систем с более чем 3 линейными алгебраическими уравнениями, содержащими более 3 неизвестных? Простой пример проблемы, которую я…
Решение нелинейных уравнений в python
У меня есть 4 нелинейных уравнения с тремя неизвестными X , Y и Z , которые я хочу решить.2 + b(m)XYcosZ + c(m)XYsinZ ..где a , b и c -константы, зависящие…
Решение степенного закона распределения в Python
У меня есть данные, которые очень напоминают распределение power law . Используя Python, я хочу аппроксимировать данные, решив два уравнения в виде: y — это данные по оси Y. В Python было бы data[i]…
Решение системы трех уравнений с тремя неизвестными переменными
Я пытаюсь решить систему из трех уравнений с тремя неизвестными переменными. A1=(x+y)/2+(x-y)/2*cos(2*phi)+z*sin(2*phi)/2 A2=(x+y)/2-(x-y)/2*cos(2*phi)-z*sin(2*phi)/2…
excel функция » поиск функции решения в R, но для двух или более неизвестных
В этом посте excel функция «search решающей функции в R , G5W предоставила хорошее решение, но это уравнение с одним неизвестным членом(X) А что, если мы имеем дело с двумя неизвестными? пример…
решение системы n уравнений с n неизвестными с помощью python
можно ли решить систему из n уравнений с n неизвестными (например, 3) так, чтобы сумма всех элементов системы стремилась к значению k O<k <n матрица(nx1) (вектор) a.x1+b.y1+c.z1-U_1…
Как решить систему из трёх уравнений с тремя неизвестными
Система из трех уравнений с тремя неизвестными может и не иметь решений, несмотря на достаточное количество уравнений. Можно пытаться решить ее с помощью метода подстановки или с помощью метода Крамера. Метод Крамера помимо решения системы позволяет оценить, является ли система разрешимой, до того, как отыскать значения неизвестных.Метод подстановки заключается в последовательном выражении одной неизвестной через две других и подстановке полученного результата в уравнения системы. Пусть дана система из трех уравнений в общем виде:
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
Выразите из первого уравнения x: x = (d1 — b1y — c1z)/a1 — и подставьте во второе и третье уравнения, затем из второго уравнения выразите y и подставьте в третье. Вы получите линейное выражение для z через коэффициенты уравнений системы. Теперь идите «обратно»: подставьте z во второе уравнение и найдите y, а затем z и y подставьте в первое и найдите x. Процесс в общем виде отображен на рисунке до нахождения z. Дальше запись в общем виде будет слишком громоздкой, на практике, подставив числа, вы довольно легко найдете все три неизвестные.
Метод Крамера заключается в составлении матрицы системы и вычислении определителя этой матрицы, а также еще трех вспомогательных матриц. Матрица системы составляется из коэффициентов при неизвестных членах уравнений. Столбец, содержащий числа, стоящие в правых частях уравнений, называется столбцом правых частей. В матрице системы он не используется, но используется при решении системы.
Пусть, как и раньше, дана система из трех уравнений в общем виде:
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
Тогда матрицей этой системы уравнений будет следующая матрица:
| a1 b1 c1 |
| a2 b2 c2 |
| a3 b3 c3 |
Прежде всего найдите определитель матрицы системы. Формула нахождения определителя: |A| = a1b2c3 + a3b1c2 + a2b3c1 — a3b2c1 — a2b1c3 — a1b3с2. Если он не равен нулю, то система разрешима и имеет единственное решение. Теперь нужно найти определители еще трех матриц, которые получаются из матрицы системы путем подставления столбца правых частей вместо первого столбца (эту матрицу обозначим Ax), вместо второго (Ay) и третьего (Az). Вычислите их определители. Тогда x = |Ax|/|A|, y = |Ay|/|A|, z = |Az|/|A|.
Решаем уравнения первой степени с тремя неизвестными онлайн калькулятором
Помните наш калькулятор для решения системы уравнений с 2-мя неизвестными?
Мы пошли дальше, и сейчас уже перед вами еще один калькулятор, который может решить систему трех уравнений первой степени с 3-мя неизвестными.
Представим уравнения, в котором 3-и неизвестных:
Из-за того, что формулы очень большие принято писать в следующем варианте:
Тогда само решение уравнений будет выглядеть так:
The field is not filled.
‘%1’ is not a valid e-mail address.
Please fill in this field.
The field must contain at least% 1 characters.
The value must not be longer than% 1 characters.
Field value does not coincide with the field ‘%1’
An invalid character. Valid characters:’%1′.
Expected number.
It is expected a positive number.
Expected integer.
It is expected a positive integer.
The value should be in the range of [%1 .. %2]
The ‘% 1’ is already present in the set of valid characters.
The field must be less than 1%.
The first character must be a letter of the Latin alphabet.
Su
Mo
Tu
We
Th
Fr
Sa
January
February
March
April
May
June
July
August
September
October
November
December
century
B.C.
%1 century
An error occurred while importing data on line% 1. Value: ‘%2’. Error: %3
Unable to determine the field separator. To separate fields, you can use the following characters: Tab, semicolon (;) or comma (,).
%3.%2.%1%4
%3.%2.%1%4 %6:%7
s.sh.
u.sh.
v.d.
z.d.
yes
no
Wrong file format. Only the following formats: %1
Please leave your phone number and / or email.
Методы решения системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными
1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ТРЁХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
2. Основные понятия
Рассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными: a11x1 a12 x2 a13 x3b1,
a21x1 a22 x2 a23 x3 b2 ,
a x a x a x b ,
31 1 32 2 33 3 3
где —
x1 , x2 , x3
неизвестные,
aij
— коэффициенты ( i 1,2,3; j 1,2,3 ),
b1 , b2 , b3 — свободные члены.
Тройка чисел ( 1 , 2 , 3 ) называется решением системы трёх линейных уравнений с тремя
неизвестными, если при подстановке их в уравнения системы вместо x1 , x2 , x3 получают верные
числовые равенства.
Если система трёх линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется
совместной.
Если система трёх линейных уравнений решений не имеет, то она называется несовместной.
Если система трёх линейных уравнений имеет единственное решение, то ее называют
определенной; если решений больше одного, то – неопределенной.
Если свободные члены всех уравнений системы равны нулю , то система называется
однородной, в противном случае – неоднородной.
3. Метод Крамера
Пусть нам требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:a11x1 a12 x2 a13 x3 b1,
a21x1 a22 x2 a23 x3 b2 ,
a x a x a x b ,
32 2
33 3
3
31 1
(1)
в которой определитель системы (он составлен из коэффициентов при неизвестных) ∆≠0, а
определители x , x , x получаются из определителя системы ∆ посредством замены
свободными членами элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов.
1
a11 a12 a13
2
3
b1 a12 a13
a11 b1 a13
a11 a12 b1
a21 a22 a32 , x1 b2 a22 a32 , x2 a21 b2 a32 , x3 a21 a22 b2 .
a31 a32 b3
a31 a32 a33
b3 a32 a33
a31 b3 a33
Теорема (правило Крамера). Если определитель системы ∆≠0, то рассматриваемая
система (1) имеет одно и только одно решение, причём
x1
x1
, x2
x2
, x3
x3
.
4. Решите систему методом Крамера:
2 x1 3 x2 x3 9,x1 2 x2 x3 3,
x 2 x 2.
3
1
Решение:
1.
Вычислим определитель системы:
2 3 1
1 2 1 2 2 2 3 1 1 1 1 0 1 2 1 3 1 2 2 1 0 13.
1 0 2
Так как определитель системы отличен от нуля, то система имеет
единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера.
2.
Составим и вычислим необходимые определители :
9 3 1
x1 3 2 1 9 2 2 3 1 2 1 3 0 1 2 2 3 3 2 9 1 0 52,
2
x2
2
1
1
x3
0 2
9 1
3 1 2 3 2 9 1 1 1 1 2 1 3 1 9 1 2 2 1 2 0,
2
2 3
1 2
1
0
2
9
3 2 2 2 3 3 1 9 1 0 9 2 1 3 1 2 2 3 0 13.
2
5. Решите систему методом Крамера:
3.2 x1 3×2 x3 9,
x1 2 x2 x3 3,
x 2 x 2.
3
1
Находим неизвестные по формулам Крамера:
x1
x1
x1
x2
x3
x2
, x2
x1
x2
x3
52
4,
13
, x3
x3
0
0,
13
13
1.
13
Ответ: x1 4, x2 0, x3 1.
;
6. Метод Гаусса
Ранее рассмотренный метод можно применять при решении только тех систем, в которыхчисло уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен
быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем
с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных
из уравнений системы.
Вновь рассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 ,
a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 ,
a x a x a x b .
31 1 32 2 33 3 3
Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые,
содержащие x1. Для этого второе уравнение разделим на а21 и умножим на –а11, а затем
сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а31 и умножим на –
а11, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 ,
x2 a23
x3 b2 ,
a22
x2 a33
x3 b3 .
a32
7. Метод Гаусса
Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x2. Для этого третьеуравнение разделим на a32 , умножим на a22 и сложим со вторым. Тогда будем иметь
систему уравнений:
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 ,
x2 a23
x3 b2 ,
a22
x3 b3 .
a33
Отсюда из последнего уравнения легко найти x3, затем из 2-го уравнения x2 и, наконец, из
1-го – x1.
8. Решите систему методом Гаусса:
2 x1 3 x2 x3 9,x1 2 x2 x3 3,
x 2 x 2.
3
1
Решение:
1.
Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x1.
Для этого второе уравнение умножим на a11 2 , а затем сложим с 1-ым уравнением.
a21
Аналогично третье уравнение умножим на
a11
2
a31
, а затем сложим с первым.
В результате исходная система примет вид:
2 x1 3 x2 x3 9,
7 x2 3 x3 3,
3 x 2 5 x3 5.
2.
Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x2. Для этого третье
a
7
уравнение умножим на 22 , и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:
a32
3
2 x1 3×2 x3 9,
7 x2 3×3 3,
2
2
8 x3 8 .
3
3
9. Решите систему методом Гаусса:
3.2 x1 3×2 x3 9,
x1 2 x2 x3 3,
x 2 x 2.
3
1
На этом прямой ход метода Гаусса закончен, начинаем обратный ход.
Из последнего уравнения полученной системы уравнений находим x3:
2
3 1.
x3
2
8
3
8
Из второго уравнения получаем:
x2
1
3 3×3 1 3 3 1 0 .
7
7
Из первого уравнения находим оставшуюся неизвестную переменную и этим завершаем
обратный ход метода Гаусса:
x1
Ответ: x1 4, x2 0, x3 1.
1
9 3×2 x3 1 9 3 0 1 4 .
2
2
10. Матричный метод (с помощью обратной матрицы)
Рассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 ,
a21x1 a22 x2 a23 x3 b2 ,
a x a x a x b .
31 1 32 2 33 3 3
В матричной форме записи эта система уравнений имеет вид
где
a11 a12 a13
A a21 a22 a23 ;
a
31 a32 a33
A X B ,
x1
b1
X x2 ; B b2 .
x
b
3
3
Пусть A 0 . Тогда существует обратная матрица A 1 . Если умножить
1
обе части равенства A X B на A слева, то получим формулу для
нахождения матрицы-столбца неизвестных переменных, т.е. A 1 A X A 1 B
1
или X A B .
Так мы получили решение системы трёх линейных уравнений с тремя
неизвестными матричным методом.
11. Решите систему матричным методом:
2 x1 3 x2 x3 9,x1 2 x2 x3 3,
x 2 x 2.
3
1
Решение:
1.
Перепишем систему уравнений в матричной форме:
A X B
Так как
2 3 1 x1 9
1
2
1
x2 3 .
1 0
2 x3 2
2 3 1
1 2 1 2 2 2 3 1 1 1 1 0 1 2 1 3 1 2 2 1 0 13 ,
1 0 2
то систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными можно решить матричным
методом. С помощью обратной матрицы решение этой системы может быть найдено как:
1
X A 1 B
x1 2 3 1 9
x 1 2 1 3 .
2
x 1 0 2 2
3
12. Решите систему матричным методом:
2.Построим обратную матрицу
элементов матрицы A :
A11 A12 A13
1
1
A A21 A22 A23
A
A31 A32 A33
где
A11 1
1 1
3 1
T
2 1
4, A12 1
3 1
2
A 1 с помощью матрицы из алгебраических дополнений
6
1
4
T
13
13
13
1
4 1 2
4 6
1
1
1
5
3
6
5 3 1
5 3
,
13
13
13 13 13
1 3 7
2 3 7 2
3
7
13 13 13
1 2
0 2
2 1 3 1
A21 1
6,
0 2
A31 1
2 x1 3 x2 x3 9,
x1 2 x2 x3 3,
x 2 x 2.
3
1
1
1,
1 1
1, A13 1
1 3
1 2
2 2 2 1
A22 1
1 2
A32 1
3 2
5,
2 1
1
1
1 2
2,
1 0
2 3 2 3
A23 1
3,
1 0
3, A33 1 3 3
2 3
1 2
7.
13. Решите систему матричным методом:
3.2 x1 3×2 x3 9,
x1 2 x2 x3 3,
x 2 x 2.
3
1
Осталось вычислить матрицу неизвестных переменных, умножив обратную матрицу
на матрицу-столбец свободных членов:
4
6
1
6
1
4
9 3 2
13
13
13 13 9 13
13
4
1
5
3
1
3
5
1
X A B
9 3 2 0 ,
3
13 13
13
13
13 13
2
1
2
3
7
2 9 3 3 7 2
13
13 13 13
13
13
x1 4
X x2 0 .
x 1
3
Ответ:
x1 4, x2 0, x3 1 .
Решение системы уравнений (ЕГЭ 2022)
Метод сложения
Метод сложения основан на следующем: если сложить левые части двух (или больше) уравнений, полученное выражение будет равно сложенным правым частям этих же уравнений.
То есть:
\( \left\{ \begin{array}{l}a=b\\c=d\end{array} \right.\text{ }\Rightarrow \text{ }a+c=b+d\)
(но ни в коем случае не наоборот: \( a+c=b+d\text{ }\triangleleft \ne \triangleright \text{ }\left\{ \begin{array}{l}a=b\\c=d\end{array} \right.\))
Действительно, мы ведь имеем право прибавить к обеим частям уравнения одно и то же число, например, прибавим к первому уравнению число \( c\):
\( \left\{ \begin{array}{l}a=b\\c=d\end{array} \right.\text{ }\Rightarrow \text{ }a+c=b+c\)
Но раз \( c=d\), в правой части можем заменить \( c\) на \( d\):
\( \left\{ \begin{array}{l}a=b\\c=d\end{array} \right.\text{ }\Rightarrow \text{ }a+c=b+c\text{ }\Rightarrow \text{ }a+c=b+d\).
Пример №5
\( \left\{ \begin{array}{l}2x+y=12\\3x-y=3\end{array} \right.\)Сложим эти уравнения (левые части друг с другом, и правые – тоже друг с другом):
\( \left\{ \begin{array}{l}2x+y=12\\3x-y=3\end{array} \right.\text{ }\Rightarrow \text{ }\underline{\underline{2x}}+\underline{y}+\underline{\underline{3x}}-\underline{y}=15\text{ }\Leftrightarrow \text{ }5x=15\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x=3\).
Вот как! \( y\) просто уничтожился в результате сложения.
Скажу сразу, это и была цель всего действия: складываем уравнения только тогда, когда при этом получим более простое уравнение.
Остается теперь только подставить в любое уравнение вместо \( x\) число \( 3\):
\( \left\{ \begin{array}{l}2x+y=12\\x=3\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}2\cdot 3+y=12\\x=3\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}y=6\\x=3\end{array} \right.\)
Ответ: \( \left( 3;\text{ }6 \right).\)
Пример №6
\( \left\{ \begin{array}{l}2x+3y=13\\4x+5y=23\end{array} \right.\)
Очевидно, здесь сложение ничего не даст. Придется решать другим методом?
Нет! Иначе метод сложения был бы полезен слишком редко. Мы ведь можем умножать любое уравнение на любое ненулевое число?
Так давай умножим первое уравнение на такое число, чтобы потом при сложении какая-то переменная исчезла.
Лучше всего умножить на \( (-2)\):
\( \left\{ \begin{array}{l}2x+3y=13\text{ }\left| \cdot \left( -2 \right) \right.\\4x+5y=23\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}-4x-6y=-26\\4x+5y=23\end{array} \right.\)
Теперь можно складывать:
\( \left\{ \begin{array}{l}-4x-6y=-26\\4x+5y=23\end{array} \right.\text{ }\Rightarrow \text{ }-4x-6y+4x+5y=-26+23\text{ }\Leftrightarrow \text{ }-y=-3\text{ }\Leftrightarrow\)
\( y=3\)
Теперь подставим \( y=3\) в первое уравнение системы:
\( \left\{ \begin{array}{l}2x+3y=13\\y=3\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}2x+9=13\\y=3\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}x=2\\y=3\end{array} \right.\)
Ответ: \( \left( 2;\text{ }3 \right).\)
Теперь порешай сам! (Методом сложения)
Пример 7. \( \left\{ \begin{array}{l}2x+5y=10\\3x-2y=1\end{array} \right.\)
Пример 8. \( \left\{ \begin{array}{l}3y-4x=-13\\3x+7y=56\end{array} \right.\)
Пример 9. \( \left\{ \begin{array}{l}7x+3y=21\\4y-5x=-15\end{array} \right.\)
Пример 10. \( \left\{ \begin{array}{l}\frac{6}{x}-\frac{8}{y}=-2\\\frac{9}{x}+\frac{10}{y}=8\end{array} \right.\)
Ответы:
Пример 7
На что здесь надо умножить, чтобы коэффициенты при x или y были противоположными?
Хм. Как из \( 2\) получить \( -3\) или из \( 2\) получить \( 5\)? Умножать на дробное число?
Слишком громоздко получится. Но ведь можно умножить оба уравнения!
Например, первое на \( 2\), второе на \( 5\):
\( \left\{ \begin{array}{l}2x+5y=10\text{ }\left| \cdot 2 \right.\\3x-2y=1\text{ }\left| \cdot 5 \right.\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}4x+10y=20\\15x-10y=5\end{array} \right.\text{ }\)Теперь, сложив уравнения, мы можем легко найти \( x\).
\( \text{ }19x=25\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x=\frac{25}{19}\)Подставляем в любое из уравнений и находим \( y\).
Ответ:\( \left( \frac{25}{19};\frac{28}{19} \right)\).
Пример 8.
Решать нужно аналогично первому примеру – сначала нужно умножить первое уравнение на \( 3\), а второе на \( 4\), и сложить.
Ответ: \( \left( 7;\text{ }5 \right)\).
Пример 9.
Первое умножаем на \( 4\), а второе на \( {-3}\) и складываем.
Ответ: \( \left( 3;\text{ }0 \right)\).
Пример 10.
Умножать можно и на дроби, то есть делить. Умножим первое уравнение на \( \frac{1}{4}\), а второе на \( \frac{1}{5}\):
\( \left\{ \begin{array}{l}\frac{6}{x}-\frac{8}{y}=-2\text{ }\left| \cdot \frac{1}{4} \right.\\\frac{9}{x}+\frac{10}{y}=8\text{ }\left| \cdot \frac{1}{5} \right.\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}\frac{6}{4x}-\frac{2}{y}=-\frac{1}{2}\\\frac{9}{5x}-\frac{2}{y}=\frac{8}{5}\end{array} \right.\text{ }\)Теперь сложим уравнения:
\( \left\{ \begin{array}{l}\frac{6}{4x}-\frac{2}{y}=-\frac{1}{2}\\\frac{9}{5x}-\frac{2}{y}=\frac{8}{5}\end{array} \right.\Leftrightarrow \frac{3}{2x}\text{+}\frac{9}{5x}\text{=-0,5+1,6}\Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \frac{15}{10x}\text{+}\frac{18}{10x}\text{= 1,1}\Leftrightarrow \frac{33}{10x}=1,1\Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow 33=11x\) \( x=3\)Подставив в первое уравнение, найдем \( y\):
\( \left\{ \begin{array}{l}\frac{6}{3}-\frac{8}{y}=-2\\x=3\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}-\frac{8}{y}=-4\\x=3\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y=2\\x=3\end{array} \right.\)Ответ: \( \left( 3;2 \right)\)
Одновременных уравнений. Три уравнения с тремя неизвестными.
Содержание | Дом
Одновременные уравнения: Раздел 3
Вернуться в раздел 2
Вернуться в раздел 1
Пример 6. Решите эту систему трех уравнений с тремя неизвестными:
| 1) | х | + | y | – | z | = | 4 |
| 2) | х | – | 2 y | + | 3 z | = | −6 |
| 3) | 2 х | + | 3 y | + | z | = | 7 |
Стратегия состоит в том, чтобы свести это к двум уравнениям с двумя неизвестными.
Сделайте это, удалив одно из неизвестных из двух пар уравнений: либо из уравнений 1) и 2), либо 1) и 3), либо 2) и 3).
Например, исключим z . Сначала мы исключим его из уравнений 1) и 3), просто добавив их. Получаем:
4) 3 x + 4 y = 11
Затем мы исключим z из уравнений 1) и 2).Умножим уравнение 1) на 3. Полученное уравнение назовем 1 ‘(«1 простое число»), чтобы показать, что мы получили его из уравнения 1):
| 1 ‘) | 3 х | + | 3 y | – | 3 z | = | 12 |
| 2) | х | – | 2 y | + | 3 z | = | −6 |
| ______________________________________________________________________________________ | |||||||
| 5) | 4 х | + | y | = | 6 | ||
Теперь мы решаем уравнения 4) и 5) для x и y .
Исключим у . Умножим уравнение 5) на −4 и прибавим его к уравнению 4):
| 5 ‘) | −16 x | – | 4 y | = | −24 |
| 4) | 3 х | + | 4 y | = | 11 |
| ______________________________________________________________________________________ | |||||
| −13 x | = | −13 | |||
x = 1.
Чтобы найти y , подставим x = 1 в уравнение 4):
| 3 + 4 л | = | 11 |
| 4 y | = | 11 −3 |
| 4 y | = | 8 |
| y | = | 2. |
Наконец, чтобы найти z , подставьте эти значения x и y в одно из исходных уравнений; скажем уравнение 1):
| 1 + 2 — z | = | 4 |
| — z | = | 4–3 = 1 |
| z | = | -1. |
Задача 8. Решите эту систему уравнений.
| 1) | х | + | y | + | z | = | 6 |
| 2) | х | – | y | + | z | = | 2 |
| 3) | х | + | 2 y | – | z | = | 2 |
Исключите y , например, из уравнений 1) и 2, а затем из уравнений 2) и 3).
Сложите уравнения 1) и 2):
4) 2 x + 2 z = 8
Затем умножьте уравнение 2) на 2 и прибавьте его к 3):
| 2 ‘) | 2 х | – | 2 y | + | 2 z | = | 4 |
| 3) | х | + | 2 y | – | z | = | 2 |
| ______________________________________________________________________________________ | |||||||
| 5) | 3 х | + | z ; | = | 6 | ||
Решите 5) с 4).Умножим 5 на −2:
| 5 ‘) | −6 x | – | 2 z | = | −12 |
| 4) | 2 х | + | 2 z | = | 8 |
| ______________________________________________________________________________________ | |||||
| −4 x | = | −4 | |||
| х | = | 1. | |||
Чтобы найти z , подставьте x = 1 в уравнение 5):
Наконец, чтобы найти y , подставьте эти значения x и z в одно из исходных уравнений; скажем уравнение 1):
Всегда проверяйте решение, подставляя числа в каждое из трех уравнений.
Задача 9. Решите эту систему уравнений.
| 1) | х | + | y | – | z | = | 1 |
| 2) | 8 х | + | 3 y | – | 6 z | = | 1 |
| 3) | −4 х | – | y | + | 3 z | = | 1 |
Вот решение: x = 2, y = 3, z = 4.
Вернуться в раздел 2
Вернуться в раздел 1
Следующий урок: задачи со словами, которые приводят к одновременным уравнениям
Содержание | Дом
Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.
Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор
Вопросы или комментарии?
Электронная почта: themathpage @ яндекс.com
Системы линейных уравнений: три переменные
Результаты обучения
- Решите системы трех уравнений от трех переменных.
- Определите несовместимые системы уравнений, содержащие три переменные.
- Выразите решение системы зависимых уравнений, содержащей три переменные, в стандартных обозначениях.
Джон получил наследство в размере 12 000 долларов, которое он разделил на три части и инвестировал тремя способами: в фонд денежного рынка с выплатой 3% годовых; в муниципальные облигации с уплатой 4% годовых; и в паевых инвестиционных фондах с выплатой 7% годовых.Джон вложил в муниципальные фонды на 4000 долларов больше, чем в муниципальные облигации. В первый год он заработал 670 долларов в виде процентов. Сколько Джон вложил в каждый тип фонда?
(источник: «Элембис», Wikimedia Commons)
Понимание правильного подхода к постановке проблем, подобных этой, делает поиск решения вопросом следования шаблону. В этом разделе мы решим эту и подобные задачи с использованием трех уравнений и трех переменных. При этом используются методы, аналогичные тем, которые используются для решения систем двух уравнений с двумя переменными.Однако поиск решений систем трех уравнений требует немного большей организации и некоторой визуальной гимнастики.
Решите системы трех уравнений с тремя переменными
Для решения систем уравнений с тремя переменными, известных как системы три на три, основная цель состоит в том, чтобы исключить по одной переменной за раз для достижения обратной подстановки. Решение системы трех уравнений от трех переменных [latex] \ left (x, y, z \ right), \ text {} [/ latex] называется упорядоченной тройкой .
Чтобы найти решение, мы можем выполнить следующие операции:
- Поменять местами любые два уравнения.
- Умножьте обе части уравнения на ненулевую константу.
- Добавить ненулевое кратное одного уравнения к другому уравнению.
Графически упорядоченная тройка определяет точку пересечения трех плоскостей в пространстве. Вы можете представить себе такое пересечение, представив любой угол прямоугольной комнаты. Угол определяется тремя плоскостями: двумя смежными стенами и полом (или потолком).Любая точка, где встречаются две стены и пол, представляет собой пересечение трех плоскостей.
Общее примечание: количество возможных решений
На самолетах показаны возможные сценарии решения для систем «три на три».
- Системы с одним решением — это системы, которые после исключения приводят к набору решений , состоящему из упорядоченной тройки [латекс] \ left \ {\ left (x, y, z \ right) \ right \} [ /латекс]. Графически упорядоченная тройка определяет точку, являющуюся пересечением трех плоскостей в пространстве.
- Системы с бесконечным числом решений — это системы, которые после исключения приводят к выражению, которое всегда истинно, например [latex] 0 = 0 [/ latex]. Графически бесконечное количество решений представляет собой линию или совпадающую плоскость, которая служит пересечением трех плоскостей в пространстве.
- Системы, у которых нет решения, — это системы, которые после исключения приводят к утверждению, которое является противоречием, например [латекс] 3 = 0 [/ латекс]. Графически система без решения представлена тремя плоскостями, не имеющими общей точки.
(a) Три плоскости пересекаются в одной точке, представляя систему три на три с одним решением. (b) Три плоскости пересекаются по линии, представляя систему три на три с бесконечными решениями.
Пример: определение того, является ли упорядоченная тройка решением для системы
Определите, является ли упорядоченная тройка [латекс] \ left (3, -2,1 \ right) [/ latex] решением системы.
[латекс] \ begin {собранный} x + y + z = 2 \\ 6x — 4y + 5z = 31 \\ 5x + 2y + 2z = 13 \ end {собранный} [/ latex]
Показать решениеМы проверим каждое уравнение, подставляя значения упорядоченной тройки для [latex] x, y [/ latex] и [latex] z [/ latex].
[латекс] \ begin {align} x + y + z = 2 \\ \ left (3 \ right) + \ left (-2 \ right) + \ left (1 \ right) = 2 \\ \ text {True } \ end {align} \ hspace {5mm} [/ latex] [latex] \ hspace {5mm} \ begin {align} 6x — 4y + 5z = 31 \\ 6 \ left (3 \ right) -4 \ left ( -2 \ right) +5 \ left (1 \ right) = 31 \\ 18 + 8 + 5 = 31 \\ \ text {True} \ end {align} \ hspace {5mm} [/ latex] [latex] \ hspace {5mm} \ begin {align} 5x + 2y + 2z = 13 \\ 5 \ left (3 \ right) +2 \ left (-2 \ right) +2 \ left (1 \ right) = 13 \\ 15 — 4 + 2 = 13 \\ \ text {True} \ end {align} [/ latex]
Упорядоченная тройка [латекс] \ left (3, -2,1 \ right) [/ latex] действительно является решением системы.
Как: дана линейная система из трех уравнений, решите относительно трех неизвестных.
- Выберите любую пару уравнений и решите для одной переменной.
- Выберите другую пару уравнений и решите для той же переменной.
- Вы создали систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Решите получившуюся систему два на два.
- Выполните обратную замену известных переменных в любое из исходных уравнений и найдите отсутствующую переменную.
Пример: решение системы трех уравнений с тремя переменными методом исключения
Найдите решение для следующей системы:
[латекс] \ begin {align} x — 2y + 3z = 9 & & \ text {(1)} \\ -x + 3y-z = -6 & & \ text {(2)} \\ 2x — 5y + 5z = 17 & & \ text {(3)} \ end {align} [/ latex]
Показать решениеВсегда будет несколько вариантов, с чего начать, но наиболее очевидным первым шагом здесь является устранение [latex] x [/ latex] путем добавления уравнений (1) и (2).
[латекс] \ begin {align} x — 2y + 3z & = 9 \\ -x + 3y-z & = — 6 \\ \ hline y + 2z & = 3 \ end {align} [/ latex] [латекс] \ hspace {5мм} \ begin {gather} \ text {(1}) \\ \ text {(2)} \\ \ text {(4)} \ end {gather} [/ latex]
Второй шаг — это умножение уравнения (1) на [латекс] -2 [/ латекс] и прибавление результата к уравнению (3). Эти два шага устранят переменную [latex] x [/ latex].
[латекс] \ begin {align} −2x + 4y − 6z & = — 18 \\ 2x − 5y + 5z & = 17 \\ \ hline −y − z & = — 1 \ end {align} [/ latex] [латекс] \ hspace {5mm} \ begin {align} & (2) \ text {умножено на} −2 \\ & \ left (3 \ right) \\ & (5) \ end {align} [/ latex]
В уравнениях (4) и (5) мы создали новую систему «два на два».Мы можем решить для [latex] z [/ latex], сложив два уравнения.
[латекс] \ begin {align} y + 2z & = 3 \\ -y-z & = — 1 \\ \ hline z & = 2 \ end {align} [/ latex] [латекс] \ hspace {5mm} \ begin { align} (4) \\ (5) \\ (6) \ end {align} [/ latex]
Выбирая по одному уравнению из каждой новой системы, получаем верхнюю треугольную форму:
[латекс] \ begin {align} x — 2y + 3z & = 9 && \ left (1 \ right) \\ y + 2z & = 3 && \ left (4 \ right) \\ z & = 2 && \ left (6 \ справа) \ end {align} [/ latex]
Затем мы обратно подставляем [latex] z = 2 [/ latex] в уравнение (4) и решаем относительно [latex] y [/ latex].
[латекс] \ begin {align} y + 2 \ left (2 \ right) & = 3 \\ y + 4 & = 3 \\ y & = — 1 \ end {align} [/ latex]
Наконец, мы можем обратно подставить [latex] z = 2 [/ latex] и [latex] y = -1 [/ latex] в уравнение (1). Это даст решение для [латекс] х [/ латекс].
[латекс] \ begin {align} x — 2 \ left (-1 \ right) +3 \ left (2 \ right) & = 9 \\ x + 2 + 6 & = 9 \\ x & = 1 \ end {align } [/ латекс]
Решение — упорядоченная тройка [латекс] \ left (1, -1,2 \ right) [/ latex].
Попробуй
Решите систему уравнений с тремя переменными.
[латекс] \ begin {array} {l} 2x + y — 2z = -1 \ hfill \\ 3x — 3y-z = 5 \ hfill \\ x — 2y + 3z = 6 \ hfill \ end {array} [ / латекс]
Показать решение[латекс] \ влево (1, -1,1 \ вправо) [/ латекс]
В следующем видео вы увидите визуальное представление трех возможных результатов решения системы уравнений с тремя переменными. Также есть отработанный пример решения системы с использованием исключения.
Пример: решение реальной проблемы с помощью системы трех уравнений с тремя переменными
В задаче, поставленной в начале раздела, Джон вложил свое наследство в размере 12 000 долларов в три различных фонда: часть фонда денежного рынка с выплатой 3% годовых; участие в муниципальных облигациях с выплатой 4% годовых; а остальное — в паевые инвестиционные фонды с выплатой 7% годовых.Джон вложил в паевые инвестиционные фонды на 4000 долларов больше, чем в муниципальные облигации. Общая сумма процентов, полученных за год, составила 670 долларов. Сколько он вложил в каждый тип фонда?
Показать решениеЧтобы решить эту проблему, мы используем всю предоставленную информацию и составили три уравнения. Сначала мы присваиваем переменную каждой из трех сумм инвестиций:
[латекс] \ begin {align} & x = \ text {сумма, инвестированная в фонд денежного рынка} \\ & y = \ text {сумма, инвестированная в муниципальные облигации} \\ z & = \ text {сумма, инвестированная в паевые инвестиционные фонды} \ end {align} [/ латекс]
Первое уравнение показывает, что сумма трех основных сумм составляет 12 000 долларов.
[латекс] x + y + z = 12 {,} 000 [/ латекс]
Мы составляем второе уравнение на основании информации о том, что Джон вложил в паевые инвестиционные фонды на 4000 долларов больше, чем в муниципальные облигации.
[латекс] z = y + 4 {,} 000 [/ латекс]
Третье уравнение показывает, что общая сумма процентов, полученных от каждого фонда, равна 670 долларам.
[латекс] 0,03x + 0,04y + 0,07z = 670 [/ латекс]
Затем мы запишем три уравнения в виде системы.
[латекс] \ begin {align} x + y + z = 12 {,} 000 \\ -y + z = 4 {,} 000 \\ 0.03x + 0,04y + 0,07z = 670 \ end {align} [/ latex]
Чтобы упростить вычисления, мы можем умножить третье уравнение на 100. Таким образом,
[латекс] \ begin {align} x + y + z = 12 {,} 000 \ hspace {5mm} \ left (1 \ right) \\ -y + z = 4 {,} 000 \ hspace {5mm} \ left (2 \ right) \\ 3x + 4y + 7z = 67 {,} 000 \ hspace {5mm} \ left (3 \ right) \ end {align} [/ latex]
Шаг 1. Поменяйте местами уравнение (2) и уравнение (3) так, чтобы два уравнения с тремя переменными совпали.
[латекс] \ begin {align} x + y + z = 12 {,} 000 \ hfill \\ 3x + 4y + 7z = 67 {,} 000 \\ -y + z = 4 {,} 000 \ end { align} [/ латекс]
Шаг 2. Умножьте уравнение (1) на [латекс] -3 [/ латекс] и добавьте к уравнению (2). Запишите результат в строке 2.
[латекс] \ begin {align} x + y + z = 12 {,} 000 \\ y + 4z = 31 {,} 000 \\ -y + z = 4 {,} 000 \ end {align} [/ латекс]
Шаг 3. Добавьте уравнение (2) к уравнению (3) и запишите результат в виде уравнения (3).
[латекс] \ begin {align} x + y + z = 12 {,} 000 \\ y + 4z = 31 {,} 000 \ 5z = 35 {,} 000 \ end {align} [/ latex]
Шаг 4. Решите относительно [латекс] z [/ латекс] в уравнении (3). Подставьте это значение обратно в уравнение (2) и решите относительно [латекс] y [/ латекс].Затем обратно подставьте значения для [latex] z [/ latex] и [latex] y [/ latex] в уравнение (1) и решите для [latex] x [/ latex].
[латекс] \ begin {align} & 5z = 35 {,} 000 \\ & z = 7 {,} 000 \\ \\ & y + 4 \ left (7 {,} 000 \ right) = 31 {,} 000 \ \ & y = 3 {,} 000 \\ \\ & x + 3 {,} 000 + 7 {,} 000 = 12 {,} 000 \\ & x = 2 {,} 000 \ end {align} [/ latex]
Джон вложил 2000 долларов в фонд денежного рынка, 3000 долларов в муниципальные облигации и 7000 долларов в паевые инвестиционные фонды.
Классифицируйте решения для систем по трем переменным
Так же, как с системами уравнений с двумя переменными, мы можем встретить несовместимую систему уравнений с тремя переменными, что означает, что у нее нет решения, которое удовлетворяет всем трем уравнениям.Уравнения могут представлять три параллельные плоскости, две параллельные плоскости и одну пересекающуюся плоскость или три плоскости, которые пересекают две другие, но не в одном месте. Процесс исключения приведет к ложному утверждению, например [латекс] 3 = 7 [/ латекс] или какому-либо другому противоречию.
Пример: решение несовместимой системы трех уравнений с тремя переменными
Решите следующую систему.
[латекс] \ begin {align} x — 3y + z = 4 && \ left (1 \ right) \\ -x + 2y — 5z = 3 && \ left (2 \ right) \\ 5x — 13y + 13z = 8 && \ left (3 \ right) \ end {align} [/ latex]
Показать решениеГлядя на коэффициенты [latex] x [/ latex], мы видим, что мы можем исключить [latex] x [/ latex], добавив уравнение (1) к уравнению (2).
[латекс] \ begin {align} x — 3y + z = 4 \\ -x + 2y — 5z = 3 \\ \ hline -y — 4z = 7 \ end {align} [/ latex] [латекс] \ hspace {5 мм} \ begin {align} (1) \\ (2) \\ (4) \ end {align} [/ latex]
Затем мы умножаем уравнение (1) на [латекс] -5 [/ латекс] и добавляем его к уравнению (3).
[латекс] \ begin {align} −5x + 15y − 5z & = — 20 \\ 5x − 13y + 13z & = 8 \\ \ hline 2y + 8z & = — 12 \ end {align} [/ latex] [латекс] \ hspace {5mm} \ begin {align} & (1) \ text {умножено на} −5 \\ & (3) \\ & (5) \ end {align} [/ latex]
Затем мы умножаем уравнение (4) на 2 и добавляем его к уравнению (5).
[латекс] \ begin {align} −2y − 8z & = 14 \\ 2y + 8z & = — 12 \\ \ hline 0 & = 2 \ end {align} [/ latex] [латекс] \ hspace {5mm} \ begin { align} & (4) \ text {умножается на} 2 \\ & (5) \\ & \ end {align} [/ latex]
Окончательное уравнение [латекс] 0 = 2 [/ латекс] является противоречием, поэтому мы заключаем, что система уравнений несовместима и, следовательно, не имеет решения.
Анализ решения
В этой системе каждая плоскость пересекает две другие, но не в одном месте.Следовательно, система непоследовательна.
Попробуй
Решите систему трех уравнений с тремя переменными.
[латекс] \ begin {array} {l} \ text {} x + y + z = 2 \ hfill \\ \ text {} y — 3z = 1 \ hfill \\ 2x + y + 5z = 0 \ hfill \ конец {array} [/ latex]
Выражение решения системы зависимых уравнений, содержащей три переменные
Мы знаем из работы с системами уравнений с двумя переменными, что зависимая система уравнений имеет бесконечное число решений.То же верно и для зависимых систем уравнений с тремя переменными. Бесконечное количество решений может возникнуть из нескольких ситуаций. Три плоскости могут быть одинаковыми, так что решение одного уравнения будет решением двух других уравнений. Все три уравнения могут быть разными, но они пересекаются на линии, имеющей бесконечное количество решений. Или два уравнения могут быть одинаковыми и пересекать третье по прямой.
Пример: поиск решения зависимой системы уравнений
Найдите решение данной системы трех уравнений с тремя переменными.
[латекс] \ begin {align} 2x + y — 3z = 0 && \ left (1 \ right) \\ 4x + 2y — 6z = 0 && \ left (2 \ right) \\ x-y + z = 0 && \ left (3 \ right) \ end {align} [/ latex]
Показать решениеВо-первых, мы можем умножить уравнение (1) на [латекс] -2 [/ латекс] и добавить его к уравнению (2).
[латекс] \ begin {align} −4x − 2y + 6z = 0 & \ hspace {9mm} (1) \ text {умножено на} −2 \\ 4x + 2y − 6z = 0 & \ hspace {9mm} ( 2) \ end {align} [/ latex]
Нам больше не нужно идти. В результате мы получаем тождество [latex] 0 = 0 [/ latex], которое говорит нам, что эта система имеет бесконечное количество решений.Есть и другие способы начать решать эту систему, например, умножив уравнение (3) на [латекс] -2 [/ латекс] и добавив его к уравнению (1). Затем мы выполняем те же шаги, что и выше, и находим тот же результат, [latex] 0 = 0 [/ latex].
Когда система зависима, мы можем найти общие выражения для решений. Складывая уравнения (1) и (3), получаем
[латекс] \ begin {align} 2x + y − 3z = 0 \\ x − y + z = 0 \\ \ hline 3x − 2z = 0 \ end {align} [/ latex]
Затем мы решаем полученное уравнение для [латекс] z [/ латекс].
[латекс] \ begin {align} 3x — 2z = 0 \\ z = \ frac {3} {2} x \ end {align} [/ latex]
Мы обратно подставляем выражение для [латекс] z [/ латекс] в одно из уравнений и решаем для [латекс] y [/ латекс].
[латекс] \ begin {align} & 2x + y — 3 \ left (\ frac {3} {2} x \ right) = 0 \\ & 2x + y- \ frac {9} {2} x = 0 \\ & y = \ frac {9} {2} x — 2x \\ & y = \ frac {5} {2} x \ end {align} [/ latex]
Итак, общее решение — [латекс] \ left (x, \ frac {5} {2} x, \ frac {3} {2} x \ right) [/ latex]. В этом решении [latex] x [/ latex] может быть любым действительным числом.Значения [latex] y [/ latex] и [latex] z [/ latex] зависят от значения, выбранного для [latex] x [/ latex].
Анализ решения
Как показано ниже, две плоскости одинаковы, и они пересекают третью плоскость по прямой. Множество решений бесконечно, так как все точки на линии пересечения удовлетворяют всем трем уравнениям.
Вопросы и ответы
Всегда ли общее решение зависимой системы должно быть записано в терминах [латекс] x? [/ Latex]
Нет, вы можете написать универсальное решение в терминах любой из переменных, но обычно его пишут в терминах [латекс] x [/ латекс] и, если необходимо, [латекс] x [/ латекс] и [латекс] ] y [/ латекс].
Попробуй
Решите следующую систему.
[латекс] \ begin {собранный} x + y + z = 7 \\ 3x — 2y-z = 4 \\ x + 6y + 5z = 24 \ end {собранный} [/ latex]
Показать решениеБесконечно много решений вида [латекс] \ left (x, 4x — 11, -5x + 18 \ right) [/ latex].
Ключевые понятия
- Набор решений — это упорядоченная тройка [latex] \ left \ {\ left (x, y, z \ right) \ right \} [/ latex], которая представляет собой пересечение трех плоскостей в пространстве.
- Систему трех уравнений с тремя переменными можно решить, выполнив ряд шагов, которые заставят исключить переменную.Эти шаги включают в себя изменение порядка уравнений, умножение обеих частей уравнения на ненулевую константу и добавление ненулевого кратного одного уравнения к другому уравнению.
- Системы трех уравнений с тремя переменными полезны для решения многих различных типов реальных проблем.
- Система уравнений с тремя переменными несовместима, если решения не существует. После выполнения операций исключения получено противоречие.
- Несогласованные системы уравнений с тремя переменными могут быть результатом трех параллельных плоскостей, двух параллельных плоскостей и одной пересекающейся плоскости или трех плоскостей, пересекающих две другие, но не в одном и том же месте.
- Система уравнений с тремя переменными является зависимой, если она имеет бесконечное число решений. После выполнения операций исключения результатом будет личность.
- Системы уравнений с тремя зависимыми переменными могут быть результатом трех идентичных плоскостей, трех плоскостей, пересекающихся на линии, или двух идентичных плоскостей, пересекающих третью на прямой.
Глоссарий
набор решений набор всех упорядоченных пар или троек, которые удовлетворяют всем уравнениям в системе уравнений
Цели обучения
Введение
Учебник
Практические задачи
|
Линейные системы с тремя переменными
Мы собираемся попытаться найти значения \ (x \), \ (y \) и \ (z \), которые будут удовлетворять всем трем уравнениям одновременно. Мы собираемся использовать исключение, чтобы исключить одну из переменных из одного из уравнений и двух переменных из другого уравнения. Причина этого станет очевидной, когда мы действительно это сделаем.
Метод исключения в этом случае будет работать несколько иначе, чем с двумя уравнениями. Как и в случае с двумя уравнениями, мы умножим столько уравнений, сколько нам нужно, чтобы, если мы начнем складывать пары уравнений, мы можем исключить одну из переменных.
В этом случае похоже, что если мы умножим второе уравнение на 2, будет довольно просто удалить член \ (y \) из второго и третьего уравнений, добавив первое уравнение к ним обоим.Итак, давайте сначала умножим второе уравнение на два.
\ [\ begin {align *} x-2y + 3z & = 7 & \ underrightarrow {\ text {same}} \ hspace {0,1in} & & x-2y + 3z & = 7 \\ 2x + y + z & = 4 & \ underrightarrow {\ times \, \, 2} \ hspace {0.1in} & & 4x + 2y + 2z & = 8 \\ -3x + 2y-2z & = -10 & \ underrightarrow {\ text {same}} \ hspace {0,1in} & & -3x + 2y-2z & = -10 \\ \ конец {выравнивание *} \]Теперь, с помощью этой новой системы, мы заменим второе уравнение суммой первого и второго уравнений, а третье уравнение заменим суммой первого и третьего уравнений.
Вот получившаяся система уравнений.
\ [\ begin {align *} x — 2y + 3z & = 7 \\ 5x \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, + 5z & = 15 \\ — 2x \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, + z & = — 3 \ end {align *} \]Итак, мы исключили одну из переменных из двух уравнений. Теперь нам нужно исключить \ (x \) или \ (z \) из второго или третьего уравнений. Опять же, для этого мы воспользуемся методом исключения.В этом случае мы умножим третье уравнение на -5, так как это позволит нам исключить \ (z \) из этого уравнения, добавив второе к is.
\ [\ begin {align *} x-2y + 3z & = 7 & \ underrightarrow {\ text {same}} \ hspace {0,1in} & & x-2y + 3z & = 7 \\ 5x \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, + 5z & = 15 & \ underrightarrow {\ text {same}} \ hspace {0.1in} & & 5x \ , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, + 5z & = 15 \\ -2x \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, + z & = -3 & \ underrightarrow {\ times \, \, — 5} \ hspace {0.1in} & & 10x \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, — 5z & = 15 \\ \ конец {выравнивание *} \]Теперь заменим третье уравнение суммой второго и третьего уравнений.
\ [\ begin {align *} x — 2y + 3z & = 7 \\ 5x \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, + 5z & = 15 \\ 15x \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, & = 30 \ конец {выровнять*}\]Теперь обратите внимание, что третье уравнение можно быстро решить, чтобы найти \ (x = 2 \).Как только мы это узнаем, мы можем вставить это во второе уравнение, и это даст нам уравнение, которое мы можем решить для \ (z \) следующим образом.
\ [\ begin {align *} 5 \ left (2 \ right) + 5z & = 15 \\ 10 + 5z & = 15 \\ 5z & = 5 \\ z & = 1 \ end {align *} \]Наконец, мы можем подставить как \ (x \), так и \ (z \) в первое уравнение, которое мы можем использовать для решения относительно \ (y \). Вот эта работа.
\ [\ begin {align *} 2 — 2y + 3 \ left (1 \ right) & = 7 \\ — 2y + 5 & = 7 \\ — 2y & = 2 \\ y & = — 1 \ end {align *} \]Итак, решение этой системы — \ (x = 2 \), \ (y = — 1 \) и \ (z = 1 \).
4.11: Решение одновременных уравнений — метод подстановки и метод сложения
Что такое одновременные уравнения и системы уравнений?
Термины одновременных уравнений и Системы уравнений относятся к условиям, при которых две или более неизвестных переменных связаны друг с другом посредством равного количества уравнений.
Пример:
Для этой системы уравнений существует только одна комбинация значений для x и y, которая удовлетворяет обоим.Любое уравнение, рассматриваемое по отдельности, имеет бесконечное количество допустимых (x, y) решений, но вместе существует только одно. На графике это условие становится очевидным:
Каждая линия на самом деле представляет собой континуум точек, представляющих возможные пары решений x и y для каждого уравнения. Каждое уравнение в отдельности имеет бесконечное количество упорядоченных парных (x, y) решений. Есть только одна точка, где две линейные функции x + y = 24 и 2x — y = -6 пересекаются (где одно из многих их независимых решений работает для обоих уравнений), и это где x равно значению 6 и y равно значению 18.
Однако обычно построение графиков не является очень эффективным способом определения набора одновременных решений для двух или более уравнений. Это особенно непрактично для систем из трех и более переменных. В системе с тремя переменными, например, решение будет найдено путем пересечения трех плоскостей в трехмерном координатном пространстве — сценарий, который нелегко представить.
Решение одновременных уравнений методом подстановки
Существует несколько алгебраических методов решения одновременных уравнений.Возможно, самый простой для понимания — это метод замены на .
Возьмем, к примеру, нашу задачу с двумя переменными:
В методе подстановки мы манипулируем одним из уравнений таким образом, что одна переменная определяется в терминах другой:
Затем мы берем это новое определение одной переменной и заменяем его на ту же переменную в другом уравнении. В этом случае мы берем определение y, равное 24 — x, и подставляем его вместо члена y, найденного в другом уравнении:
Теперь, когда у нас есть уравнение только с одной переменной (x), мы можем решить его, используя «нормальные» алгебраические методы:
Теперь, когда x известен, мы можем подставить это значение в любое из исходных уравнений и получить значение для y.Или, чтобы сэкономить нам немного работы, мы можем вставить это значение (6) в уравнение, которое мы только что сгенерировали, чтобы определить y через x, поскольку оно уже находится в форме для решения для y:
Применение метода подстановки к системам из трех или более переменных включает в себя аналогичный шаблон, только с дополнительными усилиями. Обычно это верно для любого метода решения: количество шагов, необходимых для получения решения, быстро увеличивается с каждой дополнительной переменной в системе.
Чтобы найти три неизвестных переменных, нам нужно как минимум три уравнения.Рассмотрим этот пример:
Поскольку первое уравнение имеет простейшие коэффициенты (1, -1 и 1 для x, y и z соответственно), кажется логичным использовать его для определения одной переменной в терминах двух других. В этом примере я решаю x через y и z:
Теперь мы можем заменить это определение x, где x появляется в двух других уравнениях:
Приведение этих двух уравнений к их простейшей форме:
До сих пор наши усилия привели к сокращению системы с трех переменных в трех уравнениях до двух переменных в двух уравнениях.Теперь мы можем снова применить технику подстановки к двум уравнениям 4y — z = 4 и -3y + 4z = 36, чтобы решить для y или z. Во-первых, я манипулирую первым уравнением, чтобы определить z через y:
.Затем мы заменим это определение z на y, где мы видим z в другом уравнении:
Теперь, когда y — известное значение, мы можем подставить его в уравнение, определяющее z через y, и получить цифру для z:
Теперь, когда значения y и z известны, мы можем вставить их в уравнение, в котором мы определили x через y и z, чтобы получить значение x:
В заключение, мы нашли для x, y и z значения 2, 4 и 12 соответственно, которые удовлетворяют всем трем уравнениям.
Решение одновременных уравнений с использованием метода сложения
Хотя метод подстановки может быть самым простым для понимания на концептуальном уровне, нам доступны и другие методы решения. Одним из таких методов является так называемый метод сложения и , при котором уравнения складываются друг с другом с целью исключения переменных членов.
Давайте возьмем нашу систему с двумя переменными, использованную для демонстрации метода подстановки:
Одно из наиболее часто используемых правил алгебры состоит в том, что вы можете выполнять любые арифметические операции с уравнением, если вы делаете это одинаково для обеих сторон .Что касается сложения, это означает, что мы можем добавить любую величину, какую захотим, к обеим сторонам уравнения — при условии, что это то же самое количество — без изменения истинности уравнения.
У нас есть возможность сложить соответствующие части уравнений вместе, чтобы сформировать новое уравнение. Поскольку каждое уравнение является выражением равенства (одна и та же величина по обе стороны от знака =), добавление левой части одного уравнения к левой части другого уравнения действительно до тех пор, пока мы добавляем два уравнения ‘правые части тоже вместе.В нашем примере набора уравнений, например, мы можем добавить x + y к 2x — y, а также сложить 24 и -6 вместе, чтобы сформировать новое уравнение. Какая польза от этого для нас? Изучите, что произойдет, когда мы сделаем это с нашим примером набора уравнений:
Поскольку верхнее уравнение содержало положительный член y, а нижнее уравнение содержало отрицательный член y, эти два члена компенсировали друг друга в процессе сложения, не оставляя члена y в сумме. У нас осталось новое уравнение, но с единственной неизвестной переменной x! Это позволяет нам легко найти значение x:
Если у нас есть известное значение x, конечно, определение значения y — это простой вопрос подстановки (замены x числом 6) в одно из исходных уравнений.В этом примере метод сложения уравнений хорошо сработал для создания уравнения с одной неизвестной переменной. А как насчет примера, когда все не так просто? Рассмотрим следующий набор уравнений:
Мы могли бы сложить эти два уравнения вместе — это вполне допустимая алгебраическая операция — но это не принесет нам пользы для получения значений для x и y:
Полученное уравнение по-прежнему содержит две неизвестные переменные, как и исходные уравнения, поэтому мы не продвинемся дальше в поиске решения.Однако что, если бы мы могли манипулировать одним из уравнений, чтобы получить отрицательный член, который при добавлении аннулировал бы соответствующий член в другом уравнении? Затем система сведется к одному уравнению с единственной неизвестной переменной, как в последнем (случайном) примере.
Если бы мы могли только превратить член y в нижнем уравнении в член — 2y, чтобы при сложении двух уравнений оба члена y в уравнениях уравнялись бы, оставив нам только член x, это принесло бы нам ближе к решению.К счастью, сделать это несложно. Если мы умножим каждый член нижнего уравнения на -2, это даст результат, который мы ищем:
Теперь мы можем добавить это новое уравнение к исходному, верхнему уравнению:
Решая относительно x, получаем значение 3:
Подставляя это новое найденное значение для x в одно из исходных уравнений, значение y легко определяется:
Использование этого метода решения в системе с тремя переменными немного сложнее.Как и в случае подстановки, вы должны использовать этот метод, чтобы уменьшить систему из трех уравнений с тремя переменными до двух уравнений с двумя переменными, а затем применить его снова, чтобы получить одно уравнение с одной неизвестной переменной. Для демонстрации я воспользуюсь системой уравнений с тремя переменными из раздела о заменах:
Поскольку верхнее уравнение имеет значения коэффициентов, равные 1 для каждой переменной, этим уравнением будет легко манипулировать и использовать в качестве инструмента отмены. Например, если мы хотим отменить член 3x из среднего уравнения, все, что нам нужно сделать, это взять верхнее уравнение, умножить каждый из его членов на -3, а затем добавить его в среднее уравнение следующим образом:
Таким же образом мы можем избавить нижнее уравнение от его члена -5x: возьмите исходное верхнее уравнение, умножьте каждый из его членов на 5, затем добавьте это модифицированное уравнение к нижнему уравнению, оставив новое уравнение только с y и z термины:
На данный момент у нас есть два уравнения с теми же двумя неизвестными переменными, y и z:
При осмотре должно быть очевидно, что член -z верхнего уравнения может быть использован для отмены члена 4z в нижнем уравнении, если только мы умножим каждый член верхнего уравнения на 4 и сложим два уравнения вместе:
Взяв новое уравнение 13y = 52 и решив относительно y (разделив обе части на 13), мы получим значение 4 для y.Подстановка этого значения 4 вместо y в любое из уравнений с двумя переменными позволяет нам решить относительно z. 3 $$.Иногда решение не может быть найдено, иногда будет бесконечное количество решений (линия точек), а иногда будет только одно решение.
Для решения этого типа системы мы будем использовать метод редукции, так что каждое уравнение имеет на одну неизвестную меньше, чем предыдущее. Мы будем использовать метод Гаусса.
Решить:
$$$ \ left \ {\ begin {array} {c} 3x + 2y + z = 1 \\ 5x + 3y + 4z = 2 \\ x + yz = 1 \ end {array} \ справа. $$$
1) Мы помещаем уравнение с коэффициентом $$ 1 $$ или $$ — 1 $$ в качестве коэффициента при $$ x $$ вверху.
Если его нет, мы можем найти другую переменную с коэффициентом $$ 1 $$ или $$ — 1 $$ и изменить порядок переменных (или мы можем разделить первое уравнение на коэффициент при $$ x $ $).
$$$ \ left \ {\ begin {array} {rcl} x + yz & = & 1 \\ 3x + 2y + z & = & 1 \\ 5x + 3y + 4z & = & 2 \ end {array} \ right. $$$
2) Затем мы используем метод редукции для уравнений $$ 1 $$ и $$ 2 $$ ($$ E_1 $$ и $$ E_2 $$), чтобы исключить переменную $$ x $$ из второе уравнение:
$$$ E_2 ^ \ prime = E_2-3 \ cdot E_1 $$$
$$$ \ begin {array} {r} \ 3x + 2y + z = 1 \\ \ underline {-3x -3y + 3z = -3} \\ — y + 4z = -2 \ end {array} $$$
3) Мы применяем ту же процедуру с $$ E_1 $$ и $$ E_3 $$ для исключения переменной $$ x $$ из третьего уравнения:
$$$ E_3 ^ \ prime = E_3-5 \ cdot E_1 $$$
$$$ \ begin {eqnarray} & & \ \ \ 5x + 3y + 4z = 2 \\ & + & \ underline {-5x-5y + 5z = -5} \\ & & \ \ \ \ \ \ -2y + 9z = -3 \ end {eqnarray} $$$
4) С в новых уравнениях $$ 2 $$ и $$ 3 $$ ($$ E_2 ^ \ prime $$ и $$ E_3 ^ \ prime $$) мы снова используем ту же процедуру, чтобы удалить переменную $$ y $$ из $$ E_3 ^ \ prime $$:
$$$ E3 ^ {\ prime \ prime} = E3 ^ \ prime-2 \ cdot E2 ^ \ prime $$$
$$$ \ begin {eqnarray} & & -2y + 9z = -3 \\ & + & \ underline {\ \ \ 2y-8z = 4} \\ & & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ z = 1 \ end {eqnarray } $$$
5) Итак, эта система будет эквивалентна исходной:
$$$ \ left \ {\ begin {array} {c} x + yz = 1 \\ -y + 4z = -2 \\ z = 1 \ end {array} \ right.$$$
6) Его можно решить от третьего уравнения до первого:
$$$ E3: z = 1 $$$
$$$ E2: -y + 4 = -2 \ Rightarrow y = 6 $$$
$$$ E1: x + 6-1 = 1 \ Rightarrow x = -4 $$$
А именно, эти три плоскости имеют только одну точку пересечения $$ (- 4,6,1 ) $$.
Примечание: для решения этого типа проблем рекомендуется использование матриц. Предыдущий пример был бы записан как:
$$$ \ left \ {\ begin {array} {c} 3x + 2y + z = 1 \\ 5x + 3y + 4z = 2 \\ x + yz = 1 \ end {массив} \ право.\ Rightarrow \ begin {pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 5 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & -1 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \ end {pmatrix} $$$
Кроме того, упомянутое выше обозначение дает определенные преимущества для анализа системы, поскольку вычисление определителя может быть полезно для представление о решениях, которые будут получены.
3×3 Решатель Системы Уравнений
О правиле Крамера
Этот калькулятор использует правило Крамера для решения систем трех уравнений с тремя неизвестные.Правило Крамера можно сформулировать следующим образом:
Учитывая систему:
$$ \ begin {выровнено} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ а_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \ end {выровнен} $$с
| $$ D = \ left | \ begin {array} {ccc} a_1 и b_1 и c_1 \\ a_2 и b_2 и c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \\ \ end {array} \ right | \ ne 0 $$ | $$ D_x = \ left | \ begin {array} {ccc} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \\ \ end {array} \ right | $$ | $$ D_y = \ left | \ begin {array} {ccc} a_1 и d_1 и c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 и d_3 и c_3 \\ \ end {array} \ right | $$ | $$ D_z = \ left | \ begin {array} {ccc} a_1 и b_1 и d_1 \\ а_2 и b_2 и d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \\ \ end {array} \ right | $$ |
, то решение этой системы:
| $$ x = \ frac {D_x} {D} $$ | $$ y = \ frac {D_y} {D} $$ | $$ z = \ frac {D_z} {D} $$ |
Пример: Решите систему уравнений, используя правило Крамера
$$ \ begin {выровнено} 4x + 5y -2z = & -14 \\ 7x — ~ y + 2z = & 42 \\ 3x + ~ y + 4z = & 28 \\ \ end {выровнен} $$Решение: Сначала мы вычисляем $ D, ~ D_x, ~ D_y $ и $ D_z $.
$$ \ begin {выровнено} & D ~~ = \ left | \ begin {массив} {ccc} {\ color {blue} {4}} & {\ color {red} {~ 5}} & {\ color {green} {- 2}} \\ {\ color {blue} {7}} & {\ color {red} {- 1}} & {\ color {green} {~ 2}} \\ {\ color {blue} {3}} & {\ color {red} {~ 1}} & {\ color {green} {~ 4}} \ end {array} \ right | = -16 + 30-14-6-8-140 = -154 \\ & D_x = \ left | \ begin {массив} {ccc} -14 & {\ color {red} {~ 5}} & {\ color {green} {- 2}} \\ ~ 42 & {\ color {red} {- 1}} & {\ color {green} {~ 2}} \\ ~ 28 & {\ color {red} {1}} & {\ color {green} {~ 4}} \ end {array} \ right | = 56 + 280 — 84 — 56 + 28 — 840 = -616 \\ & D_y = \ left | \ begin {массив} {ccc} {\ color {blue} {4}} & -14 & {\ color {green} {- 2}} \\ {\ color {blue} {7}} & ~ 42 & {\ color {green} {~ 2}} \\ {\ color {blue} {3}} & ~ 28 & {\ color {green} {~ 4}} \ end {array} \ right | = 672 — 84 — 392 + 252 — 224 + 392 = 616 \\ & D_Z = \ left | \ begin {array} {ccc} {\ color {blue} {4}} & {\ color {red} {~ 5}} & -14 \\ {\ color {blue} {7}} & {\ color {red} {- 1}} & ~ 42 \\ {\ color {blue} {3}} & {\ color {red} {~ 1}} & ~ 28 \ end {array} \ right | = -112 + 630 — 98 — 42 — 168 — 980 = -770 \\ \ end {выровнен} $$
Следовательно,
$$ \ begin {выровнено} & x = \ frac {D_x} {D} = \ frac {-616} {- 154} = 4 \\ & y = \ frac {D_y} {D} = \ frac {616} {- 154} = -4 \\ & z = \ frac {D_z} {D} = \ frac {-770} {- 154} = 5 \ end {выровнен} $$
Примечание: Вы можете проверить решение с помощью вышеуказанного калькулятора
.