Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов — Студопедия
Поделись
Напомним определение перпендикулярных векторов на плоскости и в трехмерном пространстве.
Определение.
Два ненулевых вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен девяноста градусам ( радиан).
Теорема.
Для перпендикулярности двух ненулевых векторов и необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю, то есть, чтобы выполнялось равенство .
Доказательство.
Пусть векторы и перпендикулярны. Докажем выполнение равенства .
По определению скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. Так как векторы и перпендикулярны, то угол между ними равен девяноста градусам, следовательно, , что и требовалось доказать.
Переходим ко второй части доказательства.
Теперь считаем, что . Докажем, что векторы и перпендикулярны.
Так как векторы и ненулевые, то из равенства следует, что . Таким образом, косинус угла между векторами и равен нулю, следовательно, угол равен , что указывает на перпендикулярность векторов и .
Итак, необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов полностью доказано.
Как же выглядит условие перпендикулярности двух векторов в координатной форме?
В разделе скалярное произведение в координатах мы показали, что для двух векторов с заданными координатами и на плоскости справедливо равенство , а для двух векторов и в пространстве . Таким образом, необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов в координатах имеет вид на плоскости, а в трехмерном пространстве .
Рассмотрим применение полученных условий на практике, для этого разберем решение нескольких примеров.
Пример.
Перпендикулярны ли векторы .
Решение.
Вычислим их скалярное произведение по координатам .
Следовательно, условие перпендикулярности двух векторов на плоскости выполнено, то есть, они перпендикулярны.Ответ:
да, векторы перпендикулярны.
Пример.
Перпендикулярны ли векторы и , где — координатные векторы прямоугольной системы координат в трехмерном пространстве.
Решение.
Векторы и имеют соответственно координаты и (при необходимости смотрите статью координаты вектора в прямоугольной системе координат). Проверим выполнение необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух векторов:
Так как , то векторы и не перпендикулярны.
Ответ:
нет, не перпендикулярны.
Пример.
Найдите значение , при котором векторы и перпендикулярны.
Решение.
Воспользуемся условием перпендикулярности двух векторов в пространстве в координатной форме
Ответ:
векторы перпендикулярны при .
Пример.
Стороны АВ, АС и ВС треугольника АВС равны соответственно 8, 6 и 10 см. Убедитесь, что векторы и перпендикулярны.
Решение.
Если векторы и перпендикулярны, то треугольник АВС – прямоугольный и его гипотенузой является сторона ВС. Тогда по теореме Пифагора должно выполняться равенство . Проверим его справедливость: .
Следовательно, АВ и АС – катеты прямоугольного треугольника АВС, поэтому, векторы и перпендикулярны.
ТЕМА 2. Векторная алгебра.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Решение типового варианта контрольной работы. Решение: 1. Вычислим проекции векторов на оси координат: 2. Два вектора коллинеарны, если их проекции на оси координат пропорциональны, следовательно, проверим пропорциональность проекций векторов на оси координат: не коллинеарны. Решение: Два вектора перпендикулярны , если их скалярное произведение равно 0,скалярное произведение векторов, заданных проекциями на оси координат, вычисляется по формуле:, где вычислим скалярное произведение: векторы не перпендикулярны. Решение: Три вектора компланарны, если смешанное произведение векторов равно 0, смешанное произведение векторов вычисляется по формуле: , гдевычислим смешанное произведение векторов: векторы не компланарны. Решение: 1) Для определения , при котором векторы перпендикулярны, необходимо использовать условие перпендикулярности двух векторов (это условие было рассмотрено в задании 2) мы сможем найти из условия: , для этого найдем проекции векторов и на оси координат, заданных координатами точек начала и конца вектора. В этом случае проекции вектора на оси координат равны разности координат точек, задающих конец и начало вектора Итак: векторы и перпендикулярны при и при Найти:
Решение: 1. Из определения скалярного произведения следует, что проекцию вектора на вектор можно вычислить по формуле: пр где скалярное произведение векторов вычисляется по формуле: где и длина вектора: итак ,в нашем случае, формула принимает вид:для нахождения необходимо найти проекции векторов на оси координат, заданных координатами точек начала и конца векторов, скалярное произведение и длину соответствующего вектора: на основании формулы, выше написанной, получим : пр; ; Итак: 3. Угол между векторами можно найти из определения скалярного произведения: в нашем случае формула принимает вид: находим проекции векторов на оси координат (смотри пункты 1 и 2), вычисляем скалярное произведение векторов, заданных своими проекциями на оси координат, вычисляем длины векторов: Итак 4. Направление вектора определяется углами , образованными им с осями координат Косинусы этих углов (направляющие косинусы вектора) определяются по формулам: Направляющие косинусы вектора связаны соотношением мы имеем вектор единичной длины, такой вектор называется ортом для нахождения орта вектора необходимо каждую проекцию вектора на оси координат разделить на его длину орт вектора . Итак: орт вектора 5. Скалярное произведение векторов вычисляем по формуле: (см. пункты 1 и 2), вычислим проекции векторов на оси координат и скалярное произведение векторов : Итак: 6. Векторное произведение векторов вычисляется по формуле: , где Находим проекции векторов на оси координат: Итак: 7. Смешанное произведение векторов вычисляется по формуле: , где Итак: Вычислить:
Решение: 1. Объем пирамиды равен объема параллелепипеда, а объем параллелепипеда вычисляется на основании геометрического смысла смешанного произведения объем параллелипипеда, построенного на векторах как на ребрах равен: Найдем проекции соответствующих векторов на оси координат: Тогда объем пирамиды равен: Вычислим объем по указанной формуле: ; 2. Длина ребра ; (смотри пункт 5,3) 3. Площадь грани вычисляется по формуле: так как грань треугольник, а площадь треугольника можно вычислить как половину площади параллелограмма, а площадь параллелограмма равна длине векторного произведения векторов, на которых построен параллелограмм на основании свойств векторного произведения найдем проекции векторов на оси координат: ; Контрольная работа 1) пр; 2) ; 3) ; 4) орт вектора ; 5) ; 6) ; 7) ; Задание 6: Даны координаты вершин пирамиды . Вычислить: 1) объем пирамиды; 2) длину ребра ; 3) площадь грани ; Варианты для индивидуальной контрольной работы. Вариант 1 1.1 3.1 2.1 4.1 5.1 6.1 Вариант 2 1.2 2.2 3.2 4.2 5.2 6.2 Вариант 3 1.3 2.3 3.3 4.3 5.3 6.3 Вариант 4 1.4 2.4 3.4 4.4 5.4 6.4 Вариант 5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 Вариант 6 1.6 2.6 3.6 4.6 5.6 6.6 Вариант 7 1.7 2.7 3.7 4.7 5.7 6.7 Вариант 8 1.8 2.8 3.8 4.8 5.8 6.8 Вариант 9 1. 9 2.9 3.9 4.9 5.9 6.9 Вариант 10 1.10 2.10 3.10 4.10 5.10 6.10 Вариант 11 2.11 3.11 4.11 5.11 6.11 Вариант 12 1.12 2.12 3.12 4.12 5.12 6.12 Вариант 13 1.13 2.13 3.13 4.13 5.13 6.13 Вариант 14 2.14 3.14 4.14 5.14 6.14 Вариант 15 1.15 2.15 3.15 4.15 5..15 6.15 Вариант 16 1.16 2.16 3.16 4.16 5.16 6.16 Вариант 17 1.17 2.17 3.17 4.17 5.17 6.17 Вариант 18 1.18 2.18 3.18 4.18 5.18 6.18 Вариант 19 1.19 2.19 3.19 4.19 5.19 6.19 Вариант 20 1. 20 2.20 3.20 4.20 5.20 6.20 Вариант 21 1.21 2.21 3.21 4.21 5.21 6.21 Вариант 22 2.22 3.22 4.22 5.22 6.22 Вариант 23 1.23 2.23 3.23 4.23 5.23 6.23 Вариант 24 1.24 2.24 3.24 4.24 5.24 6.24 Вариант 25 1.25 2.25 3.25 4.25 5.25 6.25 Вариант 26 1.26 2.26 3.26 4.26 5.26 6.26 Вариант 27 1.27 2.27 3.27 4.27 5.27 6.27 Вариант 28 1.28 2.28 3.28 4.28 5.28 6.28 Вариант 29 1.29 2.29 3.29 4.29 5.29 6.29 Вариант 30 2.30 3.30 4.30 5.30 6.30 Каталог: files -> file -> Resurs matematika жүктеу/скачать 0. 8 Mb. Достарыңызбен бөлісу: |
линейная алгебра — какие векторы перпендикулярны друг другу?
Задавать вопрос
спросил
Изменено 3 года, 5 месяцев назад
Просмотрено 211 тысяч раз
$\begingroup$ 9\circ$? Но как я узнаю, есть ли там перпендикуляр?
- линейная алгебра
- векторные пространства
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Если скалярное произведение двух векторов равно $0$, они ортогональны; другими словами, они перпендикулярны.
Скалярное произведение двух векторов $\vec u, \vec v$ определяется как $\vec{u}\cdot\vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos (\theta)$, поэтому $$\vec u \cdot \vec v = 0 \подразумевает \cos \theta = 0 \подразумевает \theta = \pi/2 \;\;(9п\: a_i b_i.$
$\endgroup$
0
$\begingroup$
Это числовой ответ, так как поясняющие ответы уже были даны.
$\vec a = (1,-2,3)$ и $\vec b=(5,4,1)$ перпендикулярны (ортогональны)
$\vec b = (5,4,1)$ и $\vec c=(1,0,-5)$ также перпендикулярны.
Почему?
$$\vec a\cdot \vec b=\begin{bmatrix}1\\-2\\3\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}5\\4\\1\end{bmatrix} =1\cdot 5-2\cdot 4+3\cdot 1=5-8+3=0$$
$$\vec b\cdot \vec c=\begin{bmatrix}5\\4\\1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1\\0\\-5\end{bmatrix} =5\cdot 1+4\cdot 0+1\cdot -5=5-0-5=0$$
Это потому, что их скалярные произведения равны нулю.
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Два вектора перпендикулярны, если угол между ними равен $\frac{\pi}{2}$, т. е. скалярное произведение равно $0$. Это следует из того, что для двух векторов $\vec{v}, \vec{w}$ имеем $\vec{v}\cdot\vec{w} = |\vec{v}||\vec{ w}|\cos(\theta)$, где $\theta$ — угол между $\vec{v}$ и $\vec{w}$. 9{\circ}$.
$\endgroup$
Когда два вектора перпендикулярны, их векторное произведение равно нулю?
Ответить
Проверено
157,8 тыс.+ просмотров
Подсказка: Сначала определим термины вектор, векторное произведение и перпендикуляр и решим данную задачу дальше.
Вектор имеет величину и направление, где величина также известна как размер.
Длина линии или стрелки показывает величину, а точки стрелки ($\overrightarrow a $) — направление.