урок алгебра 7 класс «Формулы сокращенного умножения» | План-конспект урока по алгебре (7 класс):
Открытый обобщающий урок по теме: «В мире формул сокращенного умножения» 7 класс
Цель урока:
-Проверка и закрепление знаний, умений, навыков уч-ся по теме;
-применение формул сокращенного умножения для рационализации
вычислений, к решению уравнений, для сокращения дробей.
-Развитие интереса к предмету; воспитание коллективизма, ответственности,
настойчивость в достижение цели.
Задачи урока:
-развивать умение формулировать и высказывать свои мысли, применять знания на практике;
-развивать познавательные процессы, память, внимание, наблюдательность, сообразительность.
Тип урока: обобщение и систематизация знаний.
Методы: словесный, объяснительно-иллюстративный.
Формы организации деятельности учащихся: индивидуальная, работа в парах, коллективная, игровая.
1.Организационный момент.
— Здравствуйте, ребята.
Садитесь. На предыдущих уроках вы познакомились с некоторыми формулами сокращенного умножения. Сегодня мы продолжим эту тему. Вы покажете, как вы знаете эти формулы, как умеете их применять. Запишите в тетрадях число и тему урока.
2. Актуализация знаний:
Ребята, формулы сокращенного умножения имеют широкое применение в математике, особенно в старших классах. Их используют при решении уравнений, раскрытии скобок, разложении многочленов на множители, нахождении значений выражений. Поэтому надо хорошо знать эти формулы чтобы уметь применять их.
а) А сейчас мы начнем наш путь с повторения формул и правил. На доске записана левая часть формулы, нужно продолжить формулу, назвать её и рассказать правило.
(а – в)(а + в) = а2 – в2 произведение разности двух выражений на их сумму | Произведение разности двух выражений на их сумму равно разности квадратов этих выражений |
(а + в) 2 = а2 + 2ав + в2 | Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого выражения на второе и плюс квадрат второго выражения. |
(а – в) 2 = а2 – 2ав + в2 | Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого выражения на второе и плюс квадрат второго выражения. |
б) Найти квадраты одночленов, найти кубы выражений, произведение одночленов, найти удвоенное произведение одночленов, найти утроенное произведение первого выражения на квадрат второго, найти утроенное произведение квадрата первого выражения на второе:
2a и 3b;
x2 и 2y3
3. Работа по теме урока:
Математическая эстафета « Заполни таблицу».
Каждое из выражений: m2 + n2; ( 3х +2у)2; (2а)2 – в2; ( 5 – с )2; p2 + ( 4d)2 ; ( 5a + 4с )2; (3в)2 – 72; ( 5х – 2у)2; ( a – 10d)2; a2 – (4k)2; 9k2+ 16 m2; ( 0,5 + 3k)2 записать в соответствующий столбец таблицы.
Сумма квадратов выражений | Квадрат суммы выражений | Разность квадратов выражений | Квадрат разности выражений |
Игра «Прятки»
Некоторые одночлены спрятались. Найдите их. Замените ? одночленом так, чтобы получившееся равенство было тождеством.
Ответы:
1 | (? + 2b)2 = a2 + 4ab + b2 | a |
2 | (10 — ? )2 = ? — 40m + 4 m2 | 2m; 100 |
3 | (2a +?)(2a — ?) = 4a2 — 9b2 | 3b; 3b |
4 | (5х + 0,4у2)(5х — 0,4у2) = ? — ? | 25х2; 0,16у4 |
5 | (4х — ?)2 =16х2 — ? + 100у2 | 10y; 80ху |
6 | 25с2 — ? + ? = ( ? — 8 к)2 | 80ск; 64к2; 5с |
— Какими формулами вы пользовались в данном задании?
Задание «Исправь ошибку»
Вам нужно найти ошибку в каждой формуле и исправить ее
1.
(4у — 3х)(4у + 3х) = 8у² — 9у² (вместо 8у² должно быть16у²)
2.100х²-4у² = (50х — 2у)(50х + 2у) (вместо50х должно быть10х)
3. (3х + у)² = 9х² — 6ху + у² (вместо-6ху должно быть+6ху)
4. (6a — 9c)² = 36a² — 54ac + 81c² (вместо-54ac должно быть-108ac)
Игра «Математическое домино».
У всех учащихся имеется карточка-домино. Карточка содержит вопрос и ответ. Первым начинает ученик, у которого карточка содержит слова «Старт» и «Финиш». Он задаёт стартовый вопрос. Он же даёт финишный ответ. Каждый ученик должен внимательно следить за ходом игры, чтобы не пропустить свой ответ. Ответив, ученик задаёт свой вопрос и т.д. Учитель указывает на ошибку, если прозвучал неправильный ответ. Все учащиеся одновременно следят и за тем, чтобы был дан правильный ответ. За игру в домино вы можете получить один балл, если верно ответите на вопрос, и 0 если пропустите свой ответ.
Финиш: Ответ: Разности квадратов этих выражений
Старт: Вопрос: Что называют многочленом?
Ответ: Сумму одночленов.
Вопрос: Что называют одночленом?
Ответ: Произведение чисел, переменных и их степеней.
Вопрос: Как умножить одночлен на многочлен?
Ответ: Одночлен умножить на каждый член многочлена, а результаты сложить.
Вопрос: Как умножить две степени с одинаковыми основаниями?
Ответ: Основание оставить тем же, а показатели степеней сложить.
Вопрос: Как возвести степень в степень?
Ответ: Основание оставить тем же, а показатели степеней перемножить.
Вопрос: Как умножить многочлен на многочлен?
Ответ: Каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и результаты сложить.
Вопрос: Чему равен квадрат суммы двух выражений?
Ответ: Сумме квадратов этих выражений плюс их удвоенное произведение
Вопрос: Чему равна разность квадратов двух выражений?
Ответ: Произведению разности двух выражений на их сумму
Вопрос: Чему равен квадрат разности?
Ответ: Квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго выражения.
Вопрос: Чему равно произведение разности и суммы двух выражений?
Игра “Алгебраическая мозаика”.
Составить из предложенных выражений формулы. Кто больше.
3х, 5у, 3х, 5у, 9х2, 30ху, 125х2, 15ху, 25у2 .
Ответы: например
(3х + 5у)2 = 3х2+30ху+25у2
(3х – 5у)(3х + 5у) = 9х2– 25у
(5у – 3х)2 = 25у2 – 30ху + 9х2
4. Закрепление
на доске решают 2 ученика
Задание1: Решите уравнение (3х-2)2 — (3х-4)(4+3х) = 0
Задание 2:Упростите выражение (2х2 -5)2 — 4(х +1)(х -7) и найдите его значение при х=- 3,5
самостоятельно по карточкам в 3х вариантах
Карточка №1 (низкий уровень)
№ 1. Представьте в виде многочлена:
(у — 9)2
(х+2у)(х-2у)
№ 2. Упростите выражение:
;
.
№ 3. Решите уравнение:
(х- 5)(х+5) = (х-4)2
Карточка №2 (средний уровень)
№ 1.
Представьте в виде многочлена:
(14 — 5у)2
(4х+2у)(4х-2у)
№ 2. Упростите выражение:
(12х — 5)2 — 10х +5
(3а + х)(х — 3а) + а2
№ 3. Решите уравнение:
.
Карточка №3 (повышенный уровень)
№ 1. Представьте в виде многочлена:
(2в4+а2)(а2-2в4)
№ 2. Упростите выражение:
;
№ 3. Решите уравнение:
.
5. Рефлексия.
1. Мне было интересно..
2. Мне было трудно…
3. Я выполнил задание..
4. Теперь я могу..
5. У меня получилось…
6. Мне захотелось…
6. Домашнее задание
Подготовиться к контрольной работе ( на стр 117 задание № 4)
Притча: Шёл мудрец, а навстречу ему 3 человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу. У первого спросил «Что ты делал целый день? И тот с ухмылкой ответил, что целый день возил камни. У второго мудрец спросил «А что ты делал целый день?» и тот ответил «А я добросовестно выполнял свою работу».
А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием «А я принимал участие в строительстве храма»
— Ребята, давайте мы попробуем с вами оценить каждый свою работу за урок.
— Кто возил камни?
— Кто добросовестно работал?
— Кто строил храм?
Проект на тему: «Формулы сокращенного умножения»
Выполнил ученик 7 класса
МБОУ «Черёмухинская ООШ»
Садыров Давлет
2019 г
- Изучив тему «Многочлены и действия с многочленами», меня заинтересовал вопрос, какие существуют формулы сокращенного умножения.
- Эта тема значимая в курсе математики, так как они применяются на протяжении всего периода обучения математике и используются при умножении многочленов, упрощении алгебраических выражений, сокращении дробей, разложении на множители, решении уравнений.
рассмотреть вопрос о существовании формул сокращенного умножения,
которые не рассматриваются
в школьной программе
- Познакомиться с историей возникновения формул
- Рассмотреть возведение в квадрат суммы трех слагаемых
- Изучить применение формул сокращенного умножения
- Очень давно, в Древней Греции жили и работали замечательные ученые-математики, которые всю свою жизнь отдали служению науке.
В то время все алгебраические утверждения выражали в геометрической форме, вместо сложения чисел говорили о сложении отрезков, а произведение двух чисел сравнивали с площадью, трех чисел-с объемом и т.д.
В то время все алгебраические утверждения выражали в геометрической форме, вместо сложения чисел говорили о сложении отрезков, а произведение двух чисел сравнивали с площадью, трех чисел-с объемом и т.д.Первым ученым, который отказался от геометрических способов выражения и перешел к алгебраическим уравнениям был древнегреческий ученый-математик Диофант , живший в 3 веке до нашей эры .А формулыполучили название формулы сокращенного умножения .
Диофант Александрийский
( III век н. э.) — древнегреческий математик.
(a + b)² = a² + 2ab +b² ( 1 )
(a – b)² = a² — 2ab + b² ( 2 )
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ ( 3 )
(a –b)³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³ ( 4 )
Первый способ : геометрический.
S = a 2 + ab + ac + ab + b 2 + bc + ac + bc + c 2.
После упрощения:
S=a 2 + b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc.
Второй способ : алгебраическое умножение многочленов.
(a+b+c)*(a+b+c)=a 2 +ab+ac+ab+b 2 +bc+ac+bc+c 2 = = a 2 + b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc.
Третий способ : как сумма двух слагаемых в квадрате
(( a + b )+ c ) 2 =( a + b ) 2 +2( a + b ) c + c 2 = a 2 + c 2 + b 2 +2 ab +2 ac +2 bc .
(a+b+c) 2 =a 2 +c 2 +b 2 +2ab+2ac+2bc
Я предположил, что в квадрат можно возвести сумму нескольких слагаемых. Подтверждение этому я нашёл в справочной литературе:
(a 1 + a 2 + …+ a п )² =
a 1 ²+ a 2 ²+…+2(a 1 a 2 +a 1 a 3 +…+a i a j +…+a n-1 a.)
Строки
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
- 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1
Решить уравнение:
(x – 6) 2 – x(x + 8) = 2
x(x – 1) – (x – 5) 2 = 2
x 2 -12x + 36 – x 2 – 8x = 2 – 20x + 36 = 2 – 20x = 2 – 36 – 20x = – 34 x = 1,7
x 2 – x – (x 2 – 10x+25) = 2 x 2 – x – x 2 + 10x – 25 = 2 9x – 25 = 2 9x = 27 x = 3
- с 2 +4ас+а 2
- 25х 2 -10ху+у 2
Мне очень нравится предмет математика.
Она учит точности мысли, логике, умению делать обобщения.
Я считаю, что те знания, которые я приобрел, пригодятся мне в дальнейшей учебе и подготовке к выпускным экзаменам.
Сокращение уравнений делением
Когда неизвестная величина равна , умноженному на на любую известную величину, уравнение сокращается на , разделив обе части на эту известную величину.
Бывший. 1. Сократим уравнение ax + b — 3h = d
Транспонированием ax = d + 3h — b
Деление на a x = ( + 3h — b)/a.
Пример 2. Сократите уравнение 2x = a/c — d/h + 4b
Очистка дробей 2чх = ах — кд + 4бч
Деление на 2вп х = (ах — кд + 4вп)/2вп.
Если неизвестная величина имеет коэффициенты
Бывший. 3. Сократим уравнение ax + x = h — 4
Деление на a + 1 x = (h — 4)/(a + 1)
Бывший.
4. Сократим уравнение x — (x — b)/h = (a + d)/4
Очистка дробей 4hx — 4x = ah + dh — 4b
Деление на 4h — 4 x = (ah + dh -4b)/(4h — 4)
Если любая величина, известная или неизвестная, находится как множитель в в каждом члене , уравнение может быть , деленным на него . С другой стороны, если какая-либо величина является dkmsor в каждом члене, уравнение может быть , умноженное на . Таким образом, множитель или делитель будут удалены, чтобы сделать выражение более простым.
Бывший. 5. Сократите уравнение ax + 3ab = 6ad + a
Деление на a x + 3b = 6d + 1
Бывший. 6. Сократите уравнение x.(a + b) — a — b = d.(a + b)
Деление на a + b x — 1 = d
И x = d + 1.
Иногда условия задачи сначала формулируются не в уравнении, а с помощью пропорции . Чтобы показать, как это может быть сведено к уравнению, необходимо будет предвосхитить тему будущего раздела, поскольку допустить принцип, что «когда четыре величины находятся в геометрической пропорции, произведение двух крайних величин равно произведение двух средств: w принцип, лежащий в основе правила трех в арифметике.
Таким образом, если a:b = c:d, , то ad = bc.
А если 3:4 = 6:8, тогда 3,8 = 4,6. Следовательно,
Пропорция преобразуется в уравнение, если произведение опирается на крайние значения, одну сторону уравнения; и продукт средств, другая сторона.
Бывший. 1. Свести к уравнению ax:b = ch:d.
Произведение крайних значений равно adx
Произведение средних равно bch
Следовательно, уравнение такое: adx=bch.
2. Свести к уравнению a + b:c = h — m:y.
Уравнение ay + by = ch — cm.
С другой стороны, уравнение можно преобразовать в пропорцию, разложив одну часть уравнения на два фрактора для средних членов пропорции: а другую часть на два фрактора для крайних.
Поскольку количество часто может быть разложено на разные пары факторов, из одного и того же уравнения часто могут быть получены различные пропорции.
Бывший. 1. Сократите до пропорции abc = deh.
Сторона abc может быть разделена на a.bc, или ab.c, или ac.b.
И deh можно разложить на d.eh, или de.h, или dh.e.
Следовательно, a:d :: eh:bc И ac:dh = e:b
Ибо в каждом из этих случаев произведение крайностей равно abc, а произведение средних deh.
Пример 2. Сократите до пропорции ax + bx = cd — ch
Первый элемент может быть преобразован в x.(a + b)
И второй в c.(d — h)
Таким образом, x:c = (d — h):(a + b)
И d — h:x = a + b:c, &c.
Если вместо какого-либо члена или членов уравнения любое другое выражение того же значения заменить на , очевидно, что равенство сторон не пострадает.
Таким образом, вместо 16 мы можем написать 2,8, или 64/4, или 25 — 9.
Ибо это лишь различные формы выражения одной и той же величины.
Как правило, будет хорошо, если несколько шагов при редукции уравнений будут следовать друг за другом в следующем порядке.
Во-первых, очистите уравнение дробей.
Во-вторых, транспонируйте и объедините термины.
В-третьих, Разделите на коэффициенты неизвестной величины.
Примеры.
1. Сократите уравнение 3x/4 + 6 = 5x/8 + 7
Очистка дробей 24x + 192 = 20x + 224
Трансп. и объединяющие термины 4x = 32
Деление на 4 x = 8.
2. Сократим уравнение x/a + h = x/b — x/c + d
Очистка дробей bcx + abx — acx = abcd — abch
Деление x = (abcd — abch)/(bc + ab — ac)
3. Уменьшить 40 – 6 х – 16 = 120–14 х. Ответ х = 12.
4. Уменьшить х/3 + х/5 = 20 — х/4.
5. Уменьшите (1 — a)/x — 4 = 5.
6. Уменьшить 6x/(x + 4) = 1.
7. Уменьшите x + x/2 + x/3 = 11.
8. Уменьшите (x — 5)/4 + 6x = (284 — x)/5.
9. Уменьшите 3x + (2x + 6)/5 = 5 + (11x — 37)/2.
10. Уменьшить (6x — 4)/3 — 2 = (18- 4x)/3 + x.
11. Уменьшить 3x — (x — 4)/4 — 4 = (5x + 14)/3 — 1/12.
12. Уменьшить (7x + 5)/3 — (16 + 4x)/5 + 6 = (3x + 9)/2.
13. Уменьшите x — (3x — 3)/5 + 4 = (20 — x)/2 — (6x — 8)/7 + (4x — 4)/5.
14. Уменьшите (6x + 7)/9 + (7x — 13)/(6x + 3) = (2x + 4)/3.
15. Уменьшить [(5x + 4)/2]:[(18 — x)/4] = 7:4.
Одночлены и многочлены (Алгебра 1, Факторинг и многочлены) – Mathplanet
Одночлен – это число, переменная или произведение числа на переменную, где все показатели степени являются целыми числами. Это означает, что 9{-2}$$
не являются таковыми, поскольку эти числа не соответствуют всем критериям.
Степень монома равна сумме показателей всех включенных переменных. Константы имеют степень монома 0.
Если мы посмотрим на наши примеры выше, то увидим, что
| Одночлен | Степень |
| 42 | 0 |
| 5x | 0 + 1 = 1 |
| 14x 12 | 0 + 12 = 12 |
2 шт. |