Основы вычислительной математики — тест 9
Главная / Алгоритмы и дискретные структуры / Основы вычислительной математики / Тест 9
Упражнение 1:
Номер 1
В каком случае матрица считается невырожденной?
Ответ:
 (1) когда ее определитель неравен 0 
 (2) когда на большой диагонали отсутствуют нули 
 (3) когда малая диагональ не содержит нулей 
Номер 2
Какая матрица называется невырожденной?
Ответ:
 (1) определитель которой отличен от нуля 
 (2) определитель которой больше нуля 
 (3) определитель которой меньше нуля 
Номер 3
Если определитель матрицы неравен нулю, то такую матрицу называют
Ответ:
 (1) положительной 
 (2) стандартной 
 (3) невырожденной 
Упражнение 2:
Номер 1
Пустьu- вектор-столбец решения,f- вектор-столбец свободных членов,A- матрица системы.Сколько решений имеет система
Au= f, если матрица системы является невырожденной?
Сколько решений имеет система Ответ:
 (1) ни одного 
 (2) одно 
 (3) множество 
Номер 2
Получение точного решения задачи за конечное число арифметических действий возможно с помощью
Ответ:
 (1) прямых численных методов 
 (2) структурных численных методов 
 (3) рекурсивных численных методов 
Номер 3
Вычисление последовательности, сходящейся к решению задач при бесконечном числе элементов, реализуется с помощью
Ответ:
 (1) прямых численных методов 
 (2) итерационных численных методов 
 (3) интерпретационных численных методов 
Упражнение 3:
В векторном n-мерном линейном нормированном пространстве нормой вектора можно назвать
Ответ:
 (1) кубическую норму 
 (2) квадратную норму 
 (3) рекурсивную норму 
Номер 2
В векторном n-мерном линейном нормированном пространстве к понятию нормы вектора следует отнести
Ответ:
 (1) октаэдрическую норму 
 (2) структурную норму 
 (3) стандартную норму 
Номер 3
Какое из нижеприведенных понятий следует считать нормой вектора в векторном n-мерном линейном нормированном пространстве?Ответ:
 (1) евклидову норму 
 (2) норму Коши 
 (3) норму Лагранжа 
Упражнение 4:
Номер 1
В векторном n-мерном линейном нормированном пространстве нормы вектора могут быть
Ответ:
 (1) кубическими 
 (2) октаэдрическими 
 (3) евклидовыми 
Номер 2
Евклидова норма вектора, в комплексном случае, носит название
Ответ:
 (1) биквадратной нормы 
 (2) эрмитовой нормы 
 (3)
Номер 3
Эрмитова норма вектора представляет собой
Ответ:
 (1) евклидову норму в комплексном пространстве 
 (2) октаэдрическую норму в комплексном пространстве 
 (3) структурную норму в полярных координатах 
Упражнение 5:
Номер 1
Когда норма матрицы равняется нулю?
Ответ:
 (1) когда матрица нулевая 
 (2) когда матрица содержит нули на главной диагонали 
 (3) когда матрица содержит нули на побочной диагонали 
Номер 2
Если определитель матрицы равен нулю, то норма матрицы будет
Ответ:
 (1) равна единице 
 (2) равна нулю 
 (3) бесконечной 
Номер 3
Норма матрицы представляет собой
Ответ:
 (1) комплексное число 
 (2) действительное число 
 (3) число 1 
Упражнение 6:
Номер 1
Может ли норма матрицы быть подчиненной норме вектора?
Ответ:
 (1) нет, не может 
 (2) да, может 
 
Номер 2
Может ли норма матрицы быть согласованной с нормой вектора?
Ответ:
 (1) да, может 
 (2) нет, не может 
 (3) это неизвестно, так как не имеет смысла 
Номер 3
Подчиненная норма согласована
Ответ:
 (1) с соответствующей метрикой векторного пространства 
 (2) с детерминированным представлением матрицы 
 (3) с интегрированным представлением контекста определителя матрицы 
Упражнение 7:
Номер 1
Норма суммы матриц равна
Ответ:
 (1) сумме норм этих матриц 
 (2) разности норм этих матриц 
 (3) произведению норм этих матриц 
Номер 2
Норма произведения матриц
Ответ:
 (1) меньше произведения норм этих матриц 
 (2) больше произведения норм этих матриц 
 (3) меньше или равна произведению норм этих матриц 
Номер 3
Погрешности, возникающие при численном решении СЛАУ, могут оцениваться с помощью
Ответ:
 (1) согласованных норм матриц и векторов 
 (2) рекурсивных интегралов 
 (3) дифференциалов Виета 
Упражнение 8:
Номер 1
Произведение нормы матрицы на норму обратной ей матрицы носит название
Ответ:
 (1) число обусловленности матрицы 
 (2) степень обусловленности матрицы 
 (3) уровень обусловленности матрицы 
Номер 2
Число обусловленности матрицы определяется
Ответ:
 (1) произведением нормы матрицы на норму обратной ей матрицы 
 (2) суммой нормы матрицы и нормы обратной ей матрицы 
 (3) разностью нормы матрицы и нормы обратной ей матрицы 
Номер 3
Возможно ли определение числа обусловленности матрицы без определения нормы этой матрицы?
Ответ:
 (1) нет, невозможно 
 (2) да, возможно 
 (3) возможно только в случае с комплексными матрицами 
Упражнение 9:
Номер 1
Для чего применяют число обусловленности матрицы?
Ответ:
 (1) для определения того, насколько погрешность входных данных может повлиять на решение системы  
 (2) для определения корней системы 
 
Номер 2
Каким по своему значению может быть число обусловленности матрицы?
Ответ:
 (1) меньше нуля 
 (2) меньше единицы 
 (3) не меньше единицы 
Номер 3
Может ли число обусловленности матрицы быть равным -1?
Ответ:
 (1) да, но только в одном случае — в случае с нулевой матрицей 
 (2) только в случае с единичной матрицей 
 (3) нет, не может 
Упражнение 10:
Номер 1
Система считается хорошо обусловленной, когда число обусловленности матрицы
Ответ:
 (1) не больше 10 
 (2) лежит в пределах от 100 до 1000 
 (3) больше 106 
Номер 2
Ошибки входных данных слабо сказываются на решении, когда число обусловленности матрицы
Ответ:
 (1) не превышает значение 10 
 (2) больше 1000 
 (3) лежит в пределах от 1000 до 106 
Номер 3
Если число обусловленности матрицы больше 103, тоОтвет:
 (1) система является хорошо обусловленной 
 (2) система является плохо обусловленной 
 (3) система является неопределенной 
Упражнение 11:
Номер 1
Пусть система уравнений имеет матрицу общего вида.
В чем заключается прямой ход стандартной схемы решения такой системы?Ответ:
 (1) в обнулении коэффициентов при неизвестных членах 
 (2) в приведении матрицы к треугольному виду 
 (3) в последовательном умножении элементов матрицы коэффициентов на элементы столбца свободных членов 
Номер 2
Пусть теперь система уравнений имеет матрицу общего вида. В чем заключается обратный ход стандартной схемы решения такой системы?
Ответ:
 (1) в последовательном умножении элементов матрицы коэффициентов на элементы столбца свободных членов 
 (2) в приведении матрицы к треугольному виду 
 (3) в вычислении решения системы 
Номер 3
Количество арифметических действий прямого хода метода Гаусса при n-мерной системе равно
Ответ:
 (1) 2/3(n2) 
 (2) n2 
 (3) 1/3(n2-1) 
Упражнение 12:
Номер 1
Количество арифметических действий обратного хода метода Гаусса при n-мерной системе равно
Ответ:
 (1) n2 
 (2) 2/3(n2) 
 (3) 1/3(n2-1) 
Номер 2
Для решения систем с трехдиагональными матрицами применяется метод, называемый
Ответ:
 (1) алгоритм Томаса 
 (2) алгоритм Коши 
 (3) алгоритм Тейлора 
Номер 3
ПустьA- вещественная, симметричная, положительно определенная матрица.
В этом случае итерационный метод ЗейделяОтвет:
 (1) не определен 
 (2) сходится 
 (3) расходится 
Главная / Алгоритмы и дискретные структуры / Основы вычислительной математики / Тест 9
что это такое, как обозначается, элементы главной и побочной диагонали
Матрица — это прямоугольная таблица чисел, состоящая из определенного количества строк и столбцов. Существует множество матричных видов, и один из них — диагональный. Разберемся, что он из себя представляет.
Что такое диагональная матрица
У диагональной матрицы элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю.
Напомним, что матрица считается квадратной, если количество строк равно количеству столбцов (m = n).
Особенности и свойства
Для начала нужно понять, что такое матричный определитель.
Определитель (детерминант) — это некоторая величина, с которой можно сопоставить любую квадратную матрицу.
Определитель А = (2×2), к примеру, вычисляется по формуле:
Из этого следует свойство №1: определитель диагональной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.
Свойство №2: обратная матрица для диагональной равна:
Свойство №3: ранг равен количеству ненулевых диагональных элементов.
Главная и побочная диагонали
Главную диагональ образуют элементы, расположенные на местах \(а_{11}\), \(а_{22}\), \(а_{33}\)…\(а_{NN}\). Их соответственно называют диагональными.
Побочной диагональю называют диагональ элементов от правого верхнего угла до нижнего левого.
Эти диагонали параллельны друг другу.
Частные случаи диагональных матриц
Существуют три основных подвида: единичная, нулевая, скалярная.
Единичная матрица
У единичной матрицы все диагональные элементы равны единице.
В формулах ее обозначают буквой Е.
Нулевая матрица
В нулевой матрице все элементы, в том числе диагональные, равны нулю.
В формулах ее обозначают цифрой 0.
Скалярная матрица
В скалярной матрице все элементы на главной диагонали равны друг другу.
В некоторых случаях говорят, что скалярная матрица — это произведение скаляра на единичную матрицу Е. В ней диагональные элементы могут быть как положительными, так и отрицательными.
Примеры решения диагональных матриц
Иногда недиагональная матрица может быть приведена к диагональному виду.
Условие: дана матрица А
Задача: привести к диагональному виду.
Решение: характеристическое уравнение равно
а его корни: \(λ_1 = 5\), \(λ_2 = (-2)\)
Если \(λ_1 = 5\), то
Пусть \(х_2 = с\), тогда вектор равен:
Если \(x = λ_2 = (-2)\), то
Пусть \(х_2 = с\), тогда вектор равен:
Таким образом, диагональная матрица имеет вид:
Изучение данных математических объектов имеет свои подводные камни. Если у вас нет времени на учебу, Феникс.Хелп может помочь вам с решением контрольных, самостоятельных и иных проверочных работ.
{-1} \neq I$, но я застрял.- линейная алгебра
- матрицы
$\endgroup$
$\begingroup$
Win Vineeth предоставил самый быстрый способ увидеть это. Конечно, вы также можете увидеть это, используя основные свойства матричного умножения.
{-1} =$$adj(A)\over det(A)$ не определено.
$\endgroup$
$\begingroup$
Если строка $i$ матрицы $A$ равна нулю, то для любой матрицы $B$ строка $i$ произведения $AB$ (если она вообще определена) также будет нулевой, откуда $AB\neq I$ . Аналогично, если столбец $j$ матрицы $A$ равен нулю, то для любой матрицы $B$ столбец $j$ произведения $BA$ также будет равен нулю, поэтому $BA\neq I$. Таким образом, при любом условии $A$ необратима.
(Обратите внимание, что для того, чтобы $B$ была обратной $A$, матрицы $AB$ и $BA$ должны быть единичными). 9n$, где $t \in \mathbb{R}$ — $i$-й элемент вектора $v(t)$, а — все остальные элемента равны (например, все $1$). Затем, поскольку $i$-й столбец $A$ равен нулю, все эти векторы сопоставляются с теми же векторами под $A$. Итак, $A$ не инъективен, в частности, необратим (не биективен).
Аналогично рассматривается случай, когда $i$-я строка равна нулю.
$\endgroup$
$\begingroup$
Еще один взгляд на это:
Система однородных уравнений
AX = 0имеет только тривиальное решениеX = 0тогда и только тогда, когдаAобратимо.
Теперь, если есть строка/столбец со всеми нулями, то хотя бы одна из переменных в указанной системе однородных уравнений будет свободна, что приведет к нетривиальному решению. Таким образом, A необратимы.
$\endgroup$
линейная алгебра — Что такое матрица $0\times0$ или $0\times3$? 9{m\times n}$ как пространство функций $$ M: \{1,\ldots,m\} \times \{1,\ldots,n\} \longrightarrow \mathbb R \тег 1 $$ которые присваивают действительные числа (соответственно числа из вашего любимого поля) парам чисел $(i,j)$ не больше, чем $m$ и $n$. Обычно мы обозначаем $M(i,j)$ как $M_{ij}$, но это всего лишь обозначения.
(Для векторов просто примите $m$ или $n$ равным $1$.)Если $n$ равно нулю, то целочисленный интервал $\{1,\ldots,n\}$ пуст, и, следовательно, то же самое и с декартовым произведением, что означает, что матрицы и векторы нуль на ноль, $n$ на ноль и ноль на $n$ должны пониматься как функции $$ M:\varnothing\longrightarrow\mathbb R \тег 2 $$ из пустого набора в поле.
А это, в свою очередь, означает, что этот вопрос является просто версией гораздо более «ванильного» примера вопроса, который ставит людей в тупик:
есть функция из пустого набора в реалы?
Ответ на этот вопрос — да, и он известен как «пустая функция», которая объясняется в Википедии здесь и в хороших темах на этом сайте, начиная здесь и здесь, а также в других связанных темах.
Короче говоря, пустая функция в $\mathbb R$ — это функция, которая ставит в соответствие вещественное число каждому элементу $i\in\varnothing$ $-$, что легко, поскольку таких $i$ не существует и, следовательно, нет необходимости делать какие-либо фактические назначения действительных чисел.
Или, другими словами, вектор $n$ на ноль — это массив из $n$ строк, где в каждой строке есть одно действительное число для каждого столбца, но нет столбцов и, следовательно, нет чисел. А нулевая матрица — это массив чисел в столбцах и строках с одним действительным числом на каждом пересечении строк и столбцов, но столбцов и строк нет, поэтому нет чисел.
Тем не менее, все становится интереснее, когда вы хотите рассматривать матрицы как нечто большее, чем просто массивы чисел, и вы также хотите понимать их как конкретные представления линейной карты между векторными пространствами. 9m A_{ij} w_i. \тег 3 $$
Что происходит, когда $n$ (соответственно $m$) равно нулю? В этом случае само векторное пространство $V$ имеет нулевую размерность, а это означает, что $V=\{\vec 0\}$. Это означает, что $V$ — векторное пространство, состоящее только из нулевого вектора, натянутого на пустой базис $\beta = \varnothing$.
Итак, имея это в виду:
- Если $n=0$, то уравнение $(3)$ тривиально верно для всех $v_j\in \beta$, так как нет таких $v_j$, о которых нужно беспокоиться.