В урне 2 белых и 3 черных шара из урны вынимают подряд два шара: Теорема умножения вероятностей: формула и примеры решений

Теорема умножения вероятностей: формула и примеры решений

Содержание:

Формулировка теоремы умножения вероятностей

Теорема

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место.

$P(A B)=P(A) \cdot P(B | A)$

Событие $A$ называется \lt strong>независимым от события \lt /strong>$B$, если вероятность события $A$ не зависит от того, произошло событие $B$ или нет. Событие $A$ называется зависимым от события $B$, если вероятность события $A$ меняется в зависимости от того, произошло событие $B$ или нет.

Вероятность события $A$, вычисленная при условии, что имело место другое событие $B$, называется \lt strong>условной вероятностью события \lt /strong> $A$ и обозначается $P(A | B)$ .

Условие независимости события $A$ от события $B$ можно записать в виде:

$$P(A | B)=P(A)$$

а условие зависимости — в виде:

$$P(A | B) \neq P(A)$$

Следствие 1. Если событие $A$ не зависит от события $B$, то и событие $B$ не зависит от события $A$ .

Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

$$P(A B)=P(A) \cdot P(B)$$

Теорема умножения вероятностей может быть обобщена на случай произвольного числа событий. В общем виде она формулируется так.

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:

$$P\left(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\right)=P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(A_{2} | A_{1}\right) \cdot P\left(A_{3} | A_{1} A_{2}\right) \cdots \cdots P\left(A_{n} | A_{1} A_{2} \ldots A_{n-1}\right)$$

В случае независимых событий теорема упрощается и принимает вид:

$$P\left(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\right)=P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(A_{2}\right) \cdot P\left(A_{3}\right) \cdot \ldots \cdot P\left(A_{n}\right)$$

то есть вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

$$P\left(\prod_{i=1}^{n} A_{i}\right)=\prod_{i=1}^{n} P\left(A_{i}\right)$$

Примеры решения задач

Пример

Задание. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два шара и назад не возвращаются. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение. Пусть событие $A$ — появление двух белых шаров. Это событие представляет собой произведение двух событий:

$$A=A_{1} A_{2}$$

где событие $A_1$ — появление белого шара при первом вынимании, $A_2$ — появление белого шара при втором вынимании. Тогда по теореме умножения вероятностей

$$P(A)=P\left(A_{1} A_{2}\right)=P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(A_{2} | A_{1}\right)=\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{10}=0,1$$

Ответ. $0,1$

Слишком сложно?

Теорема умножения вероятностей не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. После первого вынимания шар возвращается в урну, и шары в урне перемешиваются. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение. В данном случае события $A_1$ и $A_2$ независимы, а тогда искомая вероятность

$$P(A)=P\left(A_{1} A_{2}\right)=P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(A_{2}\right)=\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5}=\frac{4}{25}=0,16$$

Ответ. $0,16$

Более трудные задачи на сложение и умножение вероятностей

В уроке «Действия над вероятностями» мы познакомились со сложением и умножением вероятностей и простейшими примерами этих действий. В контрольных работах и на экзамене попадаются и задачи поинтересней (посложнее), в которых необходимо применять сразу и сложение и умножение вероятностей. На этой странице — решения таких задач. Как это часто бывает с задачами на нахождение вероятностей, рассматривается урна, в которой находится сколько-то шаров и из урны вынимается сколько-то шаров, а требуется найти вероятность того, что выбранный шар — такого-то или иного цвета.

Пример 1. В урне 9 белых и 7 чёрных шаров. Из урны вынимают (одновременно или последовательно) два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

Решение. Обозначим через a количество белых шаров, а через b — количество чёрных шаров. По теореме умножения вероятностей

Подставляем в полученную формулу значения количества белых и чёрных шаров и получаем:

Ответ: вероятность того, что оба шара будут белыми, равна 0,3.

Пример 2. В урне 9 белых и 7 чёрных шаров. Из урны вынимаются сразу два шара. Найти вероятность того, что эти шары будут разных цветов.

Решение. Событие может появиться в двух несовместных вариантах:

бч и чб. По теремам сложения и умножения вероятностей

Подставляем в полученную формулу значения количества белых и чёрных шаров и получаем:

Ответ: вероятность того, что шары будут разных цветов, равна 0,525.

Пример 3. В урне 9 белых, 7 чёрных и 6 красных шаров. Три из них вынимаются наугад. Найти вероятность того, что по крайней мере два из них будут одноцветными.

Решение. Чтобы найти вероятность события A — по крайней мере два шара будут одноцветными, — перейдём к противоположному — все шары разных цветов:

Отсюда

Подставляем в полученную формулу значения количества шаров и получаем требуемую вероятность:

---

Попадаются и задачи на умножение вероятностей для нескольких событий. Поэтому следует привести формулы для вычисления вероятностей нескольких событий. Для зависимых событий она имеет вид

,

Для независимых событий:

.

---

Пример 4. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут три мяча. После игры их кладут обратно. При выборе мячей игранные от неигранных не отличают. Найти вероятность того, что после трёх игр в коробке не останется неигранных мячей.

Решение. Событие A может произойти единственным способом: первый раз, второй и третий из коробки будут вынуты неигранные мячи. Первый раз это обеспечено. Поэтому

.

Пример 5. Из полной колоды карт (52 карты) вынимают одновременно четыре карты. Рассматриваются события:

A — среди вынутых карт будет хотя бы одна бубновая;

B — среди вынутых карт будет хотя бы одна червонная.

Найти вероятность события C = A + B.

Решение. Переходим к противоположному событию — нет ни бубновой, ни червонной карты:

,

откуда получаем требуемую вероятность суммы событий:

.

Следствия из теоремы умножения вероятностей — КиберПедия

 

Следствие 1. Если событие не зависит от события , то и событие не зависит от события .

Доказательство. Дано, что не зависит от , т.е. (**)

Требуется доказать, что и событие не зависит от события , т. е. (**)

При доказательстве предполагаем, что . Напишем теорему вероятностей в двух формах:

или принимая во внимание выше . Разделим обе части на . Тогда .

Из этого следствия вытекает, что зависимость и независимость событий всегда взаимны.

Дадим другое определение.

Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого. Понятие независимости событий может быть распространено на случай произвольного числа событий. Несколько событий называются независимыми, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных.

Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Это следствие непосредственно вытекает из определения независимых событий.

Теорема умножения вероятностей может быть обобщена на случай произвольного числа событий. В общем виде она формулируется так:

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:

Доказательство проводится методом полной индукции. В случае независимых событий теорема упрощается и принимает вид:

,

т. е. вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий или

.

Пример 1. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. Какова вероятность того, что оба шара белые.

— появление двух белых шаров, — белый шар при первом вынимании, — белый шар при втором вынимании; .

По теореме .

Пример 2. Те же условия, но после первого вынимания шар возвращается в урну, и шары в урне перемешиваются.

Тогда .

Формула полной вероятности

Следствием обеих теорем — теоремы сложения и умножения — является так называемая формула полной вероятности.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события , которое может произойти вместе с одним из событий , образующих полную группу несовместных событий. Будем называть эти события

гипотезами.

Докажем, что в этом случае

, (*)

т. е. вероятность события вычисляется как сумма произведений вероятности любой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе.

Формула (*) носит название формулы полной вероятности.

Доказательство. Так как гипотезы образуют полную группу событий, то событие может появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез

.

Т. к. гипотезы несовместны, то и комбинации — также несовместны. Покажем это — . Применяя к ним теорему сложения, получим

.

Применяя к событию теорему умножения, получим

,

что и требовалось доказать.

Пример. На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит 30% , вторая- 25% , третья- 45% всех изделий. Брак в их продукции составляет соответственно 2% , 1% и 3% . Найти вероятность того, что случайно выбранный болт оказался дефектным.

Решение. Обозначим через событие, состоящее в том, что случайно выбранный болт – дефектный, а через – события, состоящие в том, что этот болт произведен соответственно 1-ой, 2-ой и 3-ей машинами. Из условия задачи следует, что , , ; , , .

По формуле полной вероятности получаем, что =0.3·0.02+0.25·0.01+0.45·0.3=0.022.

Вопросы»Задачи по теории вероятностей и комбинаторике про шары|Поступи в ВУЗ

Задачи по теории вероятностей и комбинаторике про шары

создана: 16.04.2020 в 22:01
…………………………………………

liliana :

Задачи по комбинаторике про шары.

№ 00. В корзине лежат 6 белых шаров и 8 черных. Сколькими способами

можно достать из этой корзины 3 белых шара и 4 черных шара.

Решение —>   https://postupivuz.ru/vopros/20192.htm

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

01. В урне находится 6 шаров: 1 белый, 2 красных и 3 черных.
Наугад вытаскивают 3 шара. Какова вероятность того, что среди вытащенных шаров
ровно 1 будет черным? 

Решение —>   https://postupivuz.ru/vopros/20095.htm

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

№ 1. В корзине содержится 6 черных и 5 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров.
Найти вероятность того, что среди них имеется 3 белых шара.

Решение. Перенумеруем все шары. Всего шаров 11. Исходом считаем выбор 5 любых шаров.

Количество всех исходов  равно С₁₁⁵ = 11!/(5!6!) = 11*10*9*8*7/(2*3*4*5) = 462.  

Благоприятный исход — выбор 3 белых шаров и двух черных.

3 шара из 5 можно выбрать С₅³ способами.  А выбрать 2 черных шара из 6 можно С

6² способами.

Количество благоприятных исходов равно произведению

С₅³ * С₆² = 5!/(3!*2!) * 6!/(2!*4!) = 5*4*3*2/(3*2*2) * 6*5*4*3*2/(2*4*3*2) = 10 * 15 = 150

Р = 150 / 462 ≈ 0,325

оооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооо

№ 2. Из урны содержащей, 6 белых шаров, 5 черных и 3 красных, достают наугад 4 шара. Найти вероятность, что среди вынутых шаров есть хотя бы по одному шару каждого цвета.

Решение.

Всего шаров 6+5+3=14.

Исход — выбор четырех шаров из 14.

Всего исходов: С₁₄⁴= 14!/(4!*10!) = 14*13*12*11/(2*3*4) = 1001

Подсчитаем благоприятные исходы.

Чтобы вынуть хотя бы по одному шару разного цвета, надо вынуть 

а) 2 белых+1 черный+1 красный.  Это С₆²*5*3 = 6!/(2!*4!) *5*3= 6*5/2 *15=225 исходов

б) 1 белый+2 черных+1 красный. Это 6*C₅²*3 = 18* 5!/(2!*4!) = 18* 5*4/2 = 180 исходов

в) 1 белый+1 черный+2 красных. Это 6*5*С₃² = 30* 3!/(2!*1!) = 30*3= 90 исходов.

Всего благоприятных исходов 225+180+90 = 495

Искомая вероятность Р=495/1001 = 0,494505… ≈ 0,49

Тема 10. Теорема умножения вероятностей

Задача 30. В коробке лежат 3 ручки и 6 карандашей. Найти вероятность того, что среди двух наугад взятых из коробки предметов окажутся только карандаши. Как изменится результат, если берется три предмета?

Задача 31. Студент знает 20 из 25 экзаменационных вопросов. Найти вероятность того, что студент знает ответы на предложенные ему экзаменатором три вопроса.

Задача 32. В урне 5 белых и 3 черных шара. Из урны вынимаются сразу два шара. Найти вероятность того, что эти шары будут разных цветов.

Задача 33. В урне 5 белых и 3 черных шара. Из урны в случайном порядке, один за другим, вынимают все находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что вторым по порядку будет вынут белый шар.

Задача 34. Имеется три корзины, в каждой из которых лежит по 10 яблок. В первой корзине – 5, во второй – 7, в третьей – 9 зеленых яблок, остальные яблоки – красные. Из каждой корзины наугад достается по одному яблоку. Найти вероятность того, что все вынутые яблоки окажутся: а) зелеными; б) красными.

Задача 35. Брошены три игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а) на каждой из выпавших граней появится пять очков; б) на всех выпавших гранях появится одинаковое число очков.

Задача 36. Две фирмы проводят рекламные кампании. Внутри упаковки рекламируемого товара может оказаться выигрыш с вероятностью 0.2 и 0.15 для товаров, выпускаемых первой и второй фирмой соответственно. Покупатель приобрел по одному из рекламируемых товаров. Найти вероятность того, что покупатель: а) получит оба выигрыша; б) получит только один выигрыш; в) не получит ни одного выигрыша.

Задача 37. При контроле готовой продукции последовательно проверяется 4 изделия. При обнаружении бракованного изделия бракуется вся партия. Найти вероятность того, что партия будет забракована, если в ней 15% брака.

Задача 38. Станок последовательно обслуживается тремя рабочими. Независимо от остальных 1-ый может допустить брак с вероятностью 0,1, 2-ой и 3-ий – с вероятностью 0,12. Готовый станок относится к 1 сорту, если ни один из рабочих не допустил брака, ко 2 сорту, если брак допущен только 2-ым или только 3-им рабочим и к 3-му сорту − в остальных случаях. Найти вероятность того, что изготовленный станок будет отнесен к 1-му, 2-му или 3-му сорту.

Задача 39. Сколько раз надо бросить монетку, чтобы с вероятностью более 0.95 можно было ожидать, что хотя бы один раз выпадет герб?

Задача 40. Вероятность попадания в мишень стрелком при одном выстреле равна 0.8. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью, меньшей 0.3 можно было ожидать, что не будет ни одного промаха?

Задача 41. Вероятность выигрыша в лотерею равна 0.2. Сколько лотерейных билетов нужно приобрести, чтобы с вероятностью более 0.9 можно было ожидать, что хотя бы один билет окажется выигрышным?

Решенные задачи по теории вероятностей 50 шт. часть 90

4451. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из этой урны наудачу извлекли 3 шаров. Какова вероятность того, что 2 из них белые? Решенные задачи по теории вероятностей

4452. В урне 2 белых и 3 черные шара. Из урны вынимают подряд два шара. Найдите вероятность того что оба шара черные? Решенные задачи по теории вероятностей

4453. В урне 5 белых и 3 черных шара. Извлекли 4 шара. Какова вероятность, что среди них белых больше черных? Решенные задачи по теории вероятностей

4454. Из урны, в которой находится 15 белых и 7 черных шаров вынимают наудачу три шара. Какова вероятность того, что все они окажутся белыми? Решенные задачи по теории вероятностей

4455. В урне находится 5 белых и 4 черных шара. Из урны вынимают наугад 3 шара. Какова вероятность того что они будут одинаковыми? Решенные задачи по теории вероятностей

4456. В урне находится 3 белых и 3 черных шара. Наудачу вынимают два шара. Вычислите вероятность того, что оба шара будут разного цвета. Решенные задачи по теории вероятностей

4457. В урне находится 10 белых и 6 черных шаров. Найдите вероятность того, что 3 наудачу вытянутых один за другим шара не окажутся одного цвета. Решенные задачи по теории вероятностей

4458. В урне находится 10 белых и 20 черных шаров. Из урны наугад вынимают оба шара сразу. Какова вероятность того, что шары будут разных цветов? Решенные задачи по теории вероятностей

4459. В урне находится 6 шаров, из которых 3 белые. Наудачу вынимают один за другим 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми. Решенные задачи по теории вероятностей

4460. Из урны, в которой находятся 6 черных и 4 белых шаров, вынимают 2 шара. Тогда вероятность того, что оба шара будут белыми, равна… Решенные задачи по теории вероятностей

4461. Из урны, в которой находятся 3 черных и 7 белых шаров вынимают 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара будут черными? Решенные задачи по теории вероятностей

4462. В урне находятся 3 белых и 4 черных шара. Какова вероятность того, что вынутые из неё наудачу два шара окажутся белыми? Решенные задачи по теории вероятностей

4463. В урне находятся 10 шаров, из которых 3 белых. Наудачу вынимают два шара. Найти вероятность того, что оба окажутся белыми. Решенные задачи по теории вероятностей

4464. В урне находятся 18 шаров, из которых 10 шаров черные. Какова вероятность того, что наудачу взятые 2 шара окажутся белыми? Решенные задачи по теории вероятностей

4465. Из урны, в которой находятся 3 белых и 5 красных шаров, наудачу вынимаются три шара. Какова вероятность того, что из них один белый? Решенные задачи по теории вероятностей

4466. В урне 3 белых, 6 черных и 5 синих шаров. Из нее наудачу вынимают два шара. Какова вероятность того, что они окажутся разного цвета? Решенные задачи по теории вероятностей

4467. В урне 5 черных, 2 красных и 4 белых шара. Наудачу вынимаются 3 шара. Какова вероятность, что все они разного цвета? Решенные задачи по теории вероятностей

4468. В урне 10 белых и 6 черных шаров. Из урны вынимают три шара. Какова вероятность того, что:
а) шары окажутся белыми?
б) шары окажутся черными?
в) два белых и один черный? Решенные задачи по теории вероятностей

4469. В урне находятся 20 шаров, из которых 12 шаров черные. Какова вероятность того, что наудачу взятые 2 шара окажутся белыми? Решенные задачи по теории вероятностей

4470. В урне находятся 25 жёлтых, 15 синих, 10 красных шаров. Какова вероятность того, что наудачу взятые три шара окажутся красными? Решенные задачи по теории вероятностей

4471. В урне 9 красных, 7 синих и 4 зеленых шаров. Какова вероятность того, что взятые 3 шара окажутся красными? Решенные задачи по теории вероятностей

4472. В урне 10 белых и 5 черных шаров одинакового веса и размера. Какова вероятность, что взятые наудачу 2 шара окажутся одинакового цвета? Решенные задачи по теории вероятностей

4473. В урне 7 белых и 9 черных шаров одинакового веса и размера. Какова вероятность, что взятые наудачу 2 шара окажутся одинакового цвета? Решенные задачи по теории вероятностей

4474. В урне 6 белых и 10 черных шаров одинакового веса и размера. Какова вероятность, что взятые наудачу 2 шара окажутся разного цвета? Решенные задачи по теории вероятностей

4475. В урне 9 белых и 6 черных шаров одинакового веса и размера. Какова вероятность, что взятые наудачу 2 шара окажутся разного цвета? Решенные задачи по теории вероятностей

4476. В урне 10 белых и 3 черных шаров одинакового веса и размера. Какова вероятность, что взятые наудачу 2 шара окажутся разного цвета? Решенные задачи по теории вероятностей

4477. В урне лежат шары: 7 белых 4 чёрных и 9 красных. Наудачу вынимают сразу два шара. Какова вероятность того, что они окажутся одного цвета? Решенные задачи по теории вероятностей

4478. Из урны, содержащей 4 белых, 5 черных, 6 красных шаров извлекают 3 шара. Какова вероятность того, что 3 шара будут одного цвета? Решенные задачи по теории вероятностей

4479. В урне 10 белых и 15 черных шара. Наугад вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что они одного цвета? Решенные задачи по теории вероятностей

4480. Из урны, содержащей 7 белых и 9 черных шаров, наугад вынимают два шара. Какова вероятность того, что вынутые шары будут одного цвета? Решенные задачи по теории вероятностей

4481. Из урны, в которой 30 шаров белых и 4 красных, наудачу вынимаются 3 шара. Найти вероятность того, что среди них 2 красных шара. Решенные задачи по теории вероятностей

4482. Из урны, в которой находится 12 красных и 8 синих шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что вынутые шары окажутся разного цвета? Решенные задачи по теории вероятностей

4483. В урне находится 9 синих, 3 зеленых и 8 черных шара. Наудачу вынимают два шара. Найдите вероятность того, что оба шара окажутся зелеными. Решенные задачи по теории вероятностей

4484. В урне 15 желтых и 5 белых шаров. Из урны вынимают наугад сразу два шара. Найдите вероятность того, что оба будут желтыми. Решенные задачи по теории вероятностей

4485. Из корзины, в которой находятся 14 красных и 24 синих шара, вынимают наудачу три шара. Какова вероятность того, что все три шара окажутся красными? Решенные задачи по теории вероятностей

4486. В урне 5 белых и 7 черных шаров. Из урны вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми. Решенные задачи по теории вероятностей

4487. В урне 5 белых и 6 чёрных шара. Из урны вынимают два шара. Вероятность того, что оба шара будут белыми, равна… Решенные задачи по теории вероятностей

4488. В урне 20 белых и 25 чёрных шаров. Из урны вынимают сразу два шара. Найдите вероятность того, что эти шары будут белые. Решенные задачи по теории вероятностей

4489. В урне 10 белых и 6 чёрных шаров, одновременно вынимаем 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара белые? Решенные задачи по теории вероятностей

4490. В урне находится 2 белых и 3 чёрных шара. Из урны вынимают подряд два шара и назад в урну они оба раза не возвращаются. Найти вероятность того, что оба вынутых шара окажутся белыми. Решенные задачи по теории вероятностей

4491. В урне 6 белых и 9 чёрных шаров. Из урны вынимаются одновременно 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся чёрными? Решенные задачи по теории вероятностей

4492. В урне 5 белых и 3 черных шара. Подряд вынимают два шара, при этом шары не возвращают обратно в корзину. Найти вероятность того, что оба вынутых шара — черные. Решенные задачи по теории вероятностей

4493. Из урны, содержащей 24 белых и 54 черных шаров, вынимаются два шара.
а) Найти вероятность того, что шары разных цветов.
б) Найти вероятность того, что шары одного цвета. Решенные задачи по теории вероятностей

4494. В урне 10 синих и 6 зеленых шаров. Наугад выбираются 4 шара. Какова вероятность того, что все они зеленые? Решенные задачи по теории вероятностей

4495. В урне 10 синих, 7 желтых, 14 зеленых шаров. Наугад взято 5 шаров. Какая вероятность того, что среди них 4 зеленых шара? Решенные задачи по теории вероятностей

4496. В урне 8 красных, 5 зеленых и 3 черных шара. Найти вероятность того, что вынутые наудачу 2 шара окажутся красными. Решенные задачи по теории вероятностей

4497. Из урны, содержащей 4 синих, 3 красных и 2 зеленых шара, наугад выбирают 2 шара. Какова вероятность выбрать 2 шара одного цвета? Решенные задачи по теории вероятностей

4498. В урне 5 синих, 4 красных и 3 зеленых шара. Наудачу вынимается 3 шара. Какова вероятность того, что из них 2 синих и 1 зеленый шар? Решенные задачи по теории вероятностей

4499. В урне 10 белых, 15 синих и 25 красных шаров. Найти вероятность того, что а) взятые наугад 2 шара окажутся белого и синего цветов; б) взятые наугад 3 шара окажутся все разными. Решенные задачи по теории вероятностей

4500. В урне 3 зеленых, 4 красных и 1 синий шар. Вынули сразу 2 шара. Какова вероятность того, что они красные? Решенные задачи по теории вероятностей

Условная вероятность, независимые события и формула умножения вероятностей

Условной вероятностью события A по отношению к событию B называется вероятность события A, вычисленная при условии, что событие B произошло. Обозначается такая условная вероятность как P(A|B), а читается – так: «P от A при условии B». Условная вероятность обладает всеми свойствами безусловной вероятности, потому что тоже является вероятностью. В частности, . Отметим также, что если B ⊂ A, то P(A|B) = 1, потому что при осуществлении B как части множества A событие A обязательно осуществляется через элементарные события, входящие в B. Кроме того, если , то P(A|B) = 0, потому что при осуществлении события B событие A никак не может осуществиться, ведь у A и B нет никаких общих элементарных событий.

Вероятность произведения событий выражается через условную вероятность: . Поскольку значение вероятности не изменится при смене порядка написания произведения событий AB=BA, то получается, что . Эта формула называется формулой умножения вероятностей. Из неё можно получить формулу для вычисления условной вероятности: . И аналогично из первого варианта этой формулы умножения вероятностей получается, что .

Докажем формулу умножения вероятностей для классического определения вероятностей. Вероятность произведения событий по классическому определению – это , где N – это общее число возможных исходов опыта, а N_AB – число благоприятных таких исходов. Условную вероятность можно представить так: , потому что это вероятность при условии, что событие B произошло, т.е. при общем числе исходов N_B. А благоприятных исходов здесь будет N_AB, потому что произошло и событие A, и событие B. Ведь событие A осуществилось при условии осуществления и события B. Преобразуем формулу, разделив и числитель и знаменатель дроби на одно и то же число N_B, не равное нулю, что не изменит значения этой дроби: . В этой формуле первая дробь – это условная вероятность , а вторая дробь – это обычная, безусловная вероятность . В результате получаем: , т.е. один из вариантов формулы умножения вероятностей.

Необходимо помнить, что формула умножения вероятностей может быть доказана и для любых других определений вероятности. Как правило, для этих целей проводят одно доказательство для аксиоматического определения вероятности, т.е. её общего математического определения, из которого следуют доказательства и для всех других определений вероятности, согласованных с этим аксиоматическим. Но такое доказательство сложнее, и по этой причине здесь не приводится.

Если условная вероятность совпадает с безусловной вероятностью, т.е. , то события A и B называются статистически независимыми событиями. Это значит, что вероятность осуществления события A не зависит от того, произошло или нет событие B. В противном случае, когда , события A и B называются статистически завиcимыми событиями. Можно доказать, что статистическая зависимость или независимость является взаимной, т.е. если , то и . Действительно, , а . Если эти вероятности равны , то можно применить свойства пропорции и получить равенство произведений их числителей на знаменатели: из получается . Разделив обе части этого равенства на N, а потом на N_A, получаем: , т.е. что .

Если события A и B статистически независимы, то из формулы умножения вероятностей получаем: , потому что для независимых событий . Следовательно, вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: .

Несовместность событий и их независимость – это разные свойства событий. Например, если несовместные события имеют ненулевые вероятности, то они зависимы. Действительно, если события A и B несовместны, то они не могут осуществиться одновременно, а потому вероятность их произведения равна нулю: . И, если бы события A и B были независимы, то была бы верна формула: . Но при ненулевых значениях вероятностей и их произведение не может быть равно нулю. Следовательно, события A и B в таких условиях должны быть зависимы.

Пример. Вероятность выпадения «герба» или «решки» при подбрасывании монеты равняется 1/2. Но вероятность их одновременного выпадения равна нулю, поскольку они несовместны. Значит эти события зависимы, т.е. статистически связаны между собой.

Пример. В урне находится 2 белых и 3 чёрных шара. Из урны вынимают подряд два шара и назад в урну они оба раза не возвращаются. Найти вероятность того, что оба вынутых шара окажутся белыми. Благоприятным событием A в этом примере является появление двух белых шаров из урны. Это событие является произведением двух событий: A₁ – первый вынутый шар белый и A₂ – второй вынутый шар белый. Тогда можно вычислить вероятность благоприятного события: . Вычислим вероятности, составляющие сомножители этого произведения. Для события A₁ благоприятных исходов 2 (можно вынуть первый или второй белый шар), а всего исходов – 5 (потому что столько всего шаров в урне). Поэтому . При вычислении второй, уже условной вероятности, необходимо учесть, что один белых шар уже вынут из урны, поэтому благоприятных событий будет 1 (в урне остался один белый шар). А всего событий при второй выемке шара будет 4, потому что столько шаров после выемки первого шара в этой урне осталось. Поэтому . Тогда по формуле произведения вероятностей получаем: .

Вероятность похожего события B будет иной, если при такой же выемке шаров их потом снова возвращают в урну, просто фиксируя, какого цвета был вынутый шар. Если событие B в этой новой ситуации будет тоже состоять в том, что будут вынуты два белых шара, то выемка каждого из них будет осуществляться независимо от другого. Тогда снова событие B является произведением двух событий: A₁ – первый вынутый шар белый и A₂ – второй вынутый шар белый. Но теперь события A₁ и A₂ являются независимыми друг от друга. Поэтому . И теперь вероятности обоих событий A₁ и A₂ будут одинаковыми и равными , потому что благоприятных событий будет 2 (два шара в урне), а всего возможных событий 5 (всего шаров в урне). И тогда вероятность . Эта вероятность получилась несколько больше первой.

Пример. Два стрелка одновременно, независимо друг от друга стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, а для второго – 0,8. Какова вероятность того, что в мишени окажется две пробоины?

Пусть событие A – попадание в мишень первым стрелком, событие B – попадание в мишень вторым стрелком, событие C – в мишени оказалось две пробоины, т.е. оба стрелка попали в мишень. Тогда C = AB, причём события A и B являются независимыми по условию задачи. Следовательно, вероятность .

комбинаторика — Какова вероятность того, что ровно один из двух шаров, выбранных из урны B, станет белым после того, как два шара будут перенесены из урны A в урну B?

Ваш подход был правильным, но похоже, вы не рассчитали вероятность!

У нас есть следующие кейсы: —

Случай I: 2 белых шара взяты из урны A и перенесены в урну B

В этом случае количество способов выбрать 2 белых шара из урны A составляет $ 6 \ выбрать 2 $ способов. А общее количество способов выбрать 2 шара из Урны A составляет $ 10 \ выбрать 2 $ способа.

Следовательно, вероятность выбрать два белых шара из урны A равна $ \ dfrac {6 \ choose 2} {10 \ choose 2} = \ dfrac {1} {3} $

.

Теперь в урне B у нас есть 4 белых и 2 черных шара. Если нам нужно выбрать два шара так, чтобы ровно один из них был белым, а другой — черным. Следовательно, единственно возможная комбинация: 1 белый шар и 1 черный шар .

Это можно сделать $ {4 \ choose 1}. {2 \ choose 1} $ способами. А общее количество способов выбрать 2 шара из Урны B составляет $ 6 \ выбрать 2 $ способа.

Следовательно, вероятность выбрать ровно один белый шар (из двух выбранных) из урны B равна $ \ dfrac {{4 \ choose 1}. {2 \ choose 1}} {6 \ choose 2} = \ dfrac {8 } {15}

долл. США

Следовательно, вероятность того, что оба этих события произойдут, является умножением этих двух вероятностей. Следовательно, вероятность того, что два белых шара были вынуты из урны A, а затем ровно один белый шар вынутся из урны B , равна $ \ dfrac {1} {3} \ times \ dfrac {8} {15} = \ dfrac {8} {45} $.

Случай II: 1 белый шар и 1 черный шар взяты из урны A и перенесены в урну B

В этом случае количество способов выбрать один белый шар и один черный шар из Урны A равно $ {6 \ choose 1}.{4 \ choose 1} $.

Вероятность того, что это произойдет, равна $ \ dfrac {{6 \ choose 1}. {4 \ choose 1}} {10 \ choose 2} = \ dfrac {8} {15} $

Теперь в урне B у нас есть 3 белых и 3 черных шара. Вероятность того, что после удаления двух шаров, ровно один из них станет белым, равна $ \ dfrac {{3 \ choose 1}. {3 \ choose 1}} {6 \ choose 2} = \ dfrac {3} {5} $

Следовательно, вероятность того, что один белый шар и один черный шар будут удалены из урны A и перенесены в урну B, и тогда ровно один (из двух, удаленных из урны B) станет белым , равна $ \ dfrac {8} {15 } \ times \ dfrac {3} {5} = \ dfrac {8} {25}

долл. США

Случай III: 2 черных шара взяты из урны A и перенесены в урну B

Вероятность удаления двух черных шариков из урны A равна $ \ dfrac {4 \ choose 2} {10 \ choose 2} = \ dfrac {2} {15} $

.

Теперь в Урне B 2 белых шара и 4 черных шара.Следовательно, вероятность того, что после удаления двух шаров из урны B, ровно один из них станет белым, равна $ \ dfrac {{2 \ choose 1}. {4 \ choose 1}} {6 \ choose 1} = \ dfrac {8} {15}

$

Следовательно, вероятность того, что два черных шара будут удалены из урны A и перенесены в урну B, после чего ровно один шар (из двух, удаленных из урны B) станет белым равен $ \ dfrac {2} {15} \ times \ dfrac {8} {15} = \ dfrac {16} {225}

долл. США

Так как случаев больше нет, мы можем перейти к вычислению полной вероятности.Поскольку одновременно может произойти только один из этих случаев, мы имеем Возникновение случая I ИЛИ Возникновение случая II ИЛИ Возникновение случая III.

Следовательно, полная вероятность будет $ \ dfrac {8} {45} + \ dfrac {8} {25} + \ dfrac {16} {225} = \ dfrac {128} {225} $.

Как найти вероятность исхода

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

В коробке 12 оранжевых, 12 белых и 12 зеленых шаров. Предполагать Выпало 4 шара …

5. Предположим, что первая урна содержит 3 синих шара, 2 зеленых шара и 2 белых шара, вторая u…

5. Предположим, что первая урна содержит 3 синих шара, 2 зеленых шара и 2 белых шара, вторая урна содержит 2 синих шара, 3 зеленых шара и 4 белых шара. Выньте по шарику из каждой урны. (1) Найдите вероятность выпадения хотя бы одного синего шара. (2) Найдите вероятность того, что один синий и один белый. I (3) Учитывая, что хотя бы один шар синий, ind вероятности, что один синий и один белый. 5. Предположим, что первый …

(+5) * 6. Предположим, что в коробке 2 красных шара, 3 белых шара и 4 синих…

(+5) * 6. Предположим, что в коробке 2 красных шара, 3 белых шара и 4 синих шара. Предположим также, что шары выбираются из коробки по одному, случайным образом, без замены. Какова вероятность того, что а) все белые шары выпадут подряд? б) оба конца шарика синие?

В коробке три белых шара и два красных шара.

а. В коробке три белых шара и два красных шара. Шарик случайным образом вытягивается из коробки и не заменяется.Затем из коробки достается второй шар. Нарисуйте древовидную диаграмму этого эксперимента и найдите вероятность того, что два шара будут разных цветовb. Предположим, что в части (а) случайным образом вытаскивается шар из коробки, записывается его цвет, а затем мяч кладется обратно в коробку. Рисовать…

Часть B 5 * 7. Предположим, что в коробке 2 красных шара, 3 белых шара и …

Часть B 5 * 7. Предположим, что в коробке 2 красных шара, 3 белых шара и 4 синих шара.Предположим также, что шары выбираются из коробки по одному, случайным образом, без замены. Какова вероятность того, что а) все белые шары выпадут подряд? ) оба конца шарики синие?

Предположим, что из мешка, содержащего 2 белых шара и …

Предположим, что из мешка, содержащего 2 белых и 3 оранжевых шара, вытащены три шара (с заменой). Подсчитывается количество оранжевых шаров. Заполните части (a) и (b) ниже.(а) Определите гистограмму количества оранжевых шариков в образце. Выберите правильную гистограмму ниже. OB OC. A P () 1- AP (x) 1- AP (x) 1- OD. AP (x) 1- 0,5- 0,5- 0,5- 0,5- X 0 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 …

IA Ящик 1 содержит 5 красных и 4 зеленых шара, а ящик 2 содержит 4 красных …

IA Ящик 1 содержит 5 красных и 4 зеленых шара, а ящик 2 содержит 4 красных и 6 зеленых шаров. Три шара случайным образом вытягиваются из коробки 1 и помещаются в коробку 2. Затем из коробки 2 берется шар.Если мяч, взятый из ящика 2, окажется красным, найти вероятность того, что 2 красных и 1 зеленый мяч переместятся из ящика 1 в ящик 2? IB. Две монеты Ci и C2 имеют вероятность выпадения …

Случайным образом вытаскивается шар из банки, содержащей 4 красных шара, 3 белые шары, …

Случайным образом вытаскивается шар из банки, содержащей 4 красных шара, 3 белые шары и 2 желтых шара. Найдите вероятность данного мероприятие. (а) выпадает красный шар; Вероятность: (b) выпадает белый шар; Вероятность: (c) выпадает красный или белый шар; Вероятность:

4.* В коробке 3 белых шара, 4 черных шара и 3 красных шара. Рассмотрите возможность выбора …

4. * В коробке 3 белых шара, 4 черных шара и 3 красных шара. Вы можете выбрать 3 шара наугад. (A) Какова вероятность того, что вы выберете ровно по одному шару каждого цвета, если выберете 3 шара из коробки? б) Какова вероятность того, что вы выберете ровно 2 белых и 1 красный шар? (c) Какова вероятность того, что хотя бы один из шаров станет белым, если вы выберете 3 шара из коробки?

В одном пакете 4 белых шара и 6 черных шаров.

В одном пакете 4 белых шара и 6 черных шаров.Другой мешок содержит 8 белых шаров и 2 черных шара. Подбрасывается монета, чтобы выбрать плохой, затем из этого мешка случайным образом выбирается шар. Допустим, выпал белый шар. Какова вероятность, что он попал из первого мешка?

Вопрос о вероятности * В коробке 3 белых шара, 4 черных шара и 3 красных шара. Рассматривать…

Вопрос о вероятности * В коробке 3 белых шара, 4 черных шара и 3 красных шара. Попробуйте выбрать 3 шара наугад. (а) Какова вероятность того, что вы выберете ровно по одному шару каждого цвета, когда выберете 3 шара из коробки? б) Какова вероятность того, что вы выберете ровно 2 белых и 1 красный шар? (c) Какова вероятность того, что хотя бы один из шаров станет белым, если вы выберете 3 шара из коробки?

📈Урна содержит 11 шаров, 3 белых, 3 красных и 5 синих шаров.2+ 5,8x + 4,9, где x — горизонтальное расстояние в метрах от начальной точки на крыше, а y — высота ракеты над землей в метрах. Как далеко по горизонтали от начальной точки ракета приземлится?

1. В числе 123 546 870, которое цифра на месте сотен тысяч?

Используя таблицу значений, определите решение приведенного ниже уравнения с точностью до четверти единицы.

Если график f (x): график L-образной функции, который начинается с (0,0), затем переходит к (1,1), затем переходит к (3, -1).Что из следующего … график f (−x)? Ответы: A. График L-образной функции, который начинается с (0,0), затем переходит к (-1, -1), затем переходит к (-3, 1). B. график L-образной функции, которая начинается с (0,0), затем переходит к (1, -1), затем переходит к (3, 1). C. График L-образной функции, который начинается с (0,0), затем переходит к (-1,1), затем переходит к (-3, -1). D. График L-образной функции, который начинается с (0, -1), затем переходит к (1,0), затем переходит к (3, -2).

Какой индекс у радикала ниже? √10 А.5 Б. 9 С. 2 Д. 10

Вычислите значение дискриминанта и дайте количество реальных решений квадратичной -3x + 8x-3

До 1995 года правила для трехзначных кодов городов в Соединенных Штатах были следующими: первая цифра не может быть 0 или 1. Вторая цифра должна быть … 0 или 1. • Третья цифра не имеет таких ограничений. В 1995 году было снято ограничение на вторую цифру кодов городов. Сколько кодов городов возможно после снятия ограничения? коды городов

В равнобедренном прямоугольном треугольнике длина гипотенузы составляет 4√2 см.Какая площадь у треугольника? ПОЖАЛУЙСТА ПОМОГИ

Что такое m21 в круге Y? 37 ° O 6 ° Y O 25 ° O 319 O 37 ° 25 °

Помогите решить эту проблему с функциями

Проблема 7

Проблема 7

7. Урна содержит 4 красные шары и 8 белых шаров. Случайно выпадают 2 шара. Используйте дерево диаграмму для построения вероятностной модели для этого эксперимента. Использовать модель, чтобы ответить на следующие вопросы.

• а) Какова вероятность иметь не менее 1 белый шар?
• б) Какова вероятность того, что шары такого же цвета?
• c) Какова вероятность того, что второй мяч белый?
• г) Какова вероятность того, что второй мяч белый при условии, что шары одного цвета?
• д) Независимы ли события в б) и в)?
• е) Какое ожидаемое количество белого цвета мячи?

Сначала мы используем древовидную диаграмму для построения вероятностного модель.

верх

а) Для вычисления вероятности выпадения не менее 1 белый шар, складываем вероятности исходов в мероприятие.

A = { RW , WR , WW }

верх

б) Чтобы вычислить вероятность того, что шары того же цвета, мы складываем вероятности исходов в мероприятие.

S = { RR , WW }

17/34 = 1/2, так что это близко к 1/2, как мы могли бы подозревать, но не совсем.

c) Чтобы вычислить вероятность того, что второй мяч белого цвета, складываем вероятности исходов события.

B = { RW , WW }

Обратите внимание, что вероятность того, что второй шар окажется белым, равна такая же, как и вероятность того, что первый шар белый.

верх

г) Дана вероятность того, что второй шар окажется белым. то, что шары одного цвета, является условной вероятностью, поэтому мы необходимо использовать формулу условной вероятности.

Событие сверху — это событие, когда второй шар белый и шары одного цвета, это

{ WW }

Мы можем посмотреть его вероятность в вероятностной модели как 14/33. Дно происходит из части b). Это дает нам

e) Поскольку условная вероятность Pr ( B | S ) в d) отличается от исходной вероятности Pr ( B ) в c), события не независимый. 14/17 составляет примерно 82%, что больше 2/3, поэтому, если шары одного цвета, вероятность того, что второй шар белый.Это потому, что оба красных — наименее вероятное событие. Оба белых более вероятны, поэтому, если они оба одного цвета, они с большей вероятностью будут оба белыми, чем оба красными.

верх

е) Какое ожидаемое количество белых шаров? Мы составляют стол

нет	п.		нп
0	3/33		0
1	16/33		16/33
2	14/33		28/33
итогов			44/33 = 4/3

Из модели мы видим, что для получения вероятности одного белого мяч, мы складываем вероятности двух исходов, в которых это один белый шар, и в сумме он составляет 16/33.Умножьте количество белые шары умножают на вероятность получения этих чисел и складывают продукты, чтобы получить ожидаемую стоимость.

Обратите внимание, что ответ — 2x (2/3), количество рисунков, умноженное на фракция белых шаров, как мы заметили в проблема 5г.

верх

Сможете ли вы решить эту начальную вероятностную проблему? | Бретт Берри | Math Hacks

Урна содержит 10 шаров: 4 красных и 6 синих. Вторая урна содержит 16 красных шаров и неизвестное количество синих шаров.Из каждой урны извлекается по одному мячу. Вероятность того, что оба шара одного цвета, составляет 0,44.

Подсчитайте количество синих шаров во второй урне.

— Эта проблема взята из beanactuary.org.

Если это ваша первая вероятность, баллов вам! Вероятности — это не только фундаментальный компонент статистики, но и неотъемлемый аспект повседневной жизни. В этой задаче будет использоваться несколько фундаментальных правил вероятности, но сначала давайте определим вероятность.

Определение

Вероятность — это мера вероятности наступления желаемого события (событий).

Мы получаем это значение, разделив количество возможных способов достижения желаемого события на общее количество возможных событий.

Так как общее количество событий всегда равно или больше, чем желаемое событие, вероятностей всегда являются числом от 0 до 1. Если вы получаете число вне этого диапазона, проверьте свою арифметику!

Пример

Предположим, мы хотим найти вероятность вытащить синий шар из первой урны, описанной выше. Просто разделите количество синих шаров в первой урне на общее количество шаров в урне.

Вероятность вытащить синий шар из первой урны составляет 6/10 или 0,60.

Вот здесь немного сложнее. Когда у нас есть несколько вероятностей события, как в приведенной выше задаче, мы должны подумать о , как их объединить. В общем, существует два сценария: сценарий И, сценарий ИЛИ.

сценарий AND

В этом сценарии мы хотим, чтобы одновременно произошло несколько событий.Например, вытянуть два красных шара из двух урн, описанных выше, — это то же самое, что сказать:

«Я хочу красный шар из первой урны И красный шар из второй урны».

Здесь у меня есть две различные вероятности для вычисления:

1. Вытаскивание красного шара из первой урны.
2. Вытаскивание красного шара из второй урны.

После вычисления этих вероятностей я умножаю их на , чтобы получить объединенную вероятность «И».

сценарий ИЛИ

В сценарии ИЛИ мы распознаем события или случаи, которые могли произойти, но не обязательно все происходить вместе. Например, в приведенной выше задаче вероятность того, что оба шара будут одного цвета, равна 0,44. Это можно представить как:

«Вытаскивание двух красных шаров OR двух синих шаров дает вероятность 0,44».

«ИЛИ» разделяет наш расчет на две части:

1. Рисование двух красных шаров (т.е.e извлечение красного из первой урны И красного из второй.)
2. Рисование двух синих шаров (т. е. вычерчивание синего из первого и синего из второго.

После того, как я вычислил две отдельные вероятности , Я складываю их вместе , чтобы найти объединенную вероятность «ИЛИ».

«Вероятность того, что оба шара одного цвета, составляет 0,44», — это то же самое, что сказать: « Нарисовать два красных шара ИЛИ два синих шара дают вероятность 0.44. ” Замените рисование двух красных шаров и рисование двух синих шаров операторами AND, которые мы узнали выше:

( Рисование красного шара из урны 1 AND красный из урны 2 )

OR

( извлечение синего шара из урны 1 AND a синий из урны 2 ) .

Вытягивание красного шара из урны 1 И красного шара из урны 2.

Чтобы решить эту вероятность, определите индивидуальные вероятности вытягивания красного шара из каждой соответствующей урны.

Вероятность вытащить красный шар из урны 1 составляет 4/10.

Вычислить вероятность выпадения красных шаров из урны 2 немного сложнее. Мы знаем, что во второй урне 16 красных шаров, но не знаем общего количества шаров в урне, потому что не уверены, сколько синих шаров в ней.

Ничего страшного! Суть проблемы состоит в том, чтобы вычислить количество синих шаров в урне 2, так что пока давайте позвольте переменной представлять синие шары.

Теперь напишите выражение для вероятности вытягивания красного шара из второй урны. (Примечание: общее количество шаров в урне — КРАСНЫЙ + СИНИЙ или в данном случае 16 + x.)

Так как это сценарий И, умножьте две дроби вместе.

Вытягивание синего шара из урны 1 И синего шара из урны 2.

Мы оставим это выражение в покое и перейдем ко второму сценарию AND. Как и выше, мы вычисляем две отдельные вероятности, используя x для количества синих шаров в урне 2.

Это еще один сценарий AND, поэтому умножьте две дроби вместе.

Реализация сценария OR

Напомним, наша первоначальная цель — написать выражение для этого утверждения:

( Вытягивание красного шара из урны 1 И красного из урны 2 ) ИЛИ ( вытаскивает синий шар из урны 1 И синий из урны 2 ) = 0.44 .

Теперь, когда у нас есть два сценария И, мы можем сложить их вместе, установить равное 0,44 и найти x, количество синих шаров в урне 2 .

Три шара выбираются случайным образом без замены

Если случайным образом выбирается набор из 3 шаров, какова вероятность того, что каждый из шаров будет (а) одного цвета? (б) разного цвета? Повторите те же действия, предполагая, что всякий раз, когда выбирается шар, отмечается его цвет, а затем он заменяется в урне перед следующим выбором.Это называется отбором проб с заменой.

Предположим, что урна содержит 8 красных шаров и 4 белых шара. Вытаскиваем из урны 2 шара без замены. Пусть R1 и R2 обозначают, соответственно, события, когда первый и второй выпавшие шары красные. Если мы предположим, что при каждом розыгрыше каждый шар в урне с одинаковой вероятностью будет выбран, какова вероятность P (R1 ∩ R2), что оба шара …

17 августа 2020 г. · Предположим, вы выбрали три карты без замены. Первая карта, которую вы выбираете из 52 карт, — это K червей.Вы откладываете эту карту в сторону и берете вторую карту из 51 карты, оставшейся в колоде. Это тройка бубен.

29 ноября 2010 г. · В урне 7 черных и 6 красных шаров. Из урны случайным образом последовательно выбираются пять шаров с заменой. То есть после каждого розыгрыша выбранный шар возвращается в урну. Какова вероятность того, что все 5 шаров, выпавших из урны, будут черными? Округлите ответ до трех десятичных знаков. (При необходимости сверьтесь со списком формул.