Раздел недели: Скоропись физического, математического, химического и, в целом, научного текста, математические обозначения. Математический, Физический алфавит, Научный алфавит.
Поиск на сайте DPVA
Поставщики оборудования
Полезные ссылки
О проекте
Обратная связь
Ответы на вопросы.
Оглавление
Таблицы DPVA.ru — Инженерный Справочник
Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: главная страница / / Техническая информация/ / Математический справочник / / Линейная алгебра. Вектора, матрицы, определители, миноры, детерминанты. .. / / Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор.
скалярные величины, задающие некоторое числовое значение — время, температура, масса и т.д.
векторные величины, которые вместе с некоторым числовым значением задают направление — скорость, сила и т.д..
Рассмотрим сначала алгебраический подход к сложению векторов.
Покоординатное сложение векторов.
Пусть даны два вектора, заданные покоординатно ( чтобы вычислить координаты вектора, нужно вычесть из соответствующих координат его конца соответствующие координаты его начала, т. е. из первой координаты — первую, из второй — вторую и т.д.):
Тогда координаты вектора, получившегося при сложении этих двух векторов вычисляются по формуле:
В двумерном случае все абсолютно анологично, просто отбрасываем третью координату.
Теперь перейдем к геометрическому смыслу сложения двух векторов:
При сложении векторов нужно учитывать и их числовые значения, и направления. Есть несколько широко используемых методов сложения:
правило параллелограмма
правило треугольника
тригонометрический способ
Правило параллелограмма. Сложение векторов по правилу параллелограмма.
Процедура сложения векторов по правилу параллелограмма заключается в следующем:
нарисовать первый вектор, учитывая его величину и направление
от начала первого вектора нарисовать второй вектор, также используя и его величину, и его направление
дополнить рисунок до параллелограмма, считая, что два нарисованных вектора — это его стороны
результирующим вектором будет диагональ параллелограмма, причем его начало будет совпадать с началом первого (а, значит, и второго) вектора.
Правило треугольника. Сложение векторов по правилу треугольника.
Сложение векторов по правилу треугольника заключается в следующем:
нарисовать первый вектор, используя данные о его длине ( числовой величине) и направлении
от конца первого вектора нарисовать второй вектор, также учитывая и его размер, и его направление
результирующим вектором будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом второго.
Калькулятор ниже может быть использован для любвых векторных величин ( силы, скорости и т.д.) Точка начала вектора совпадает с началами обоих исходных векторов.
Величина (числовое значение) вектора 1 — F1
Величина (числовое значение) вектора 2 — F2
Угол между векторам 1 и 2 (в градусах)
Ответ:
— длина (величина) результирующего вектора
o — угол между результирующим вектором и первым вектором
Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Дополнительная информация от Инженерного cправочника DPVA, а именно — другие подразделы данного раздела:
Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста. Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.
Коды баннеров проекта DPVA.ru Начинка: KJR Publisiers
Консультации и техническая поддержка сайта: Zavarka Team
Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса.
Free xml sitemap generator
длина суммы векторов и теорема косинусов
Сложение векторов: как действовать
Сложение векторов: решение примеров
Сложение векторов — онлайн калькулятор
Сложение векторов по правилу треугольника (суммой векторов и
называется вектор , начало которого
совпадает с началом вектора , а конец — с концом вектора ,
при условии, что начало вектора приложено к концу вектора )
даёт возможность упрощать выражение перед вычислением произведений векторов.
Сложение векторов, заданных координатами (при сложении одноимённые координаты складываются)
даёт возможность узнать, как расположен относительно начала координат вектор, являющийся
суммой слагаемых векторов. Подробно эти две операции разбирались на уроке «Векторы и
операции над векторами».
Теперь же нам предстоит узнать, как найти длину вектора, являющегося
результатом сложения векторов. Для этого потребуется использовать теорему косинусов. Такую задачу приходится решать, например, когда дорога из
пункта A в пункт С — не прямая, а отклоняется от прямой, чтобы
пройти ещё через какой-то пункт B, а нужно узнать длину предполагаемой прямой дороги.
Кстати, геодезия — одна из тех сфер деятельности, где тригонометрические функции применяются
во всех их полноте.
При сложении векторов для нахождения длины суммы векторов
используется теорема косинусов. Пусть и
— векторы,
— угол
между ними, а —
сумма векторов как результат сложения векторов по правилу треугольника. Тогда верно
следующее соотношение:
,
где —
угол, смежный с углом .
У смежных углов одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой (см. рисунок выше).
Поэтому для сложения векторов и определения длины суммы векторов нужно извлечь квадратный корень
из каждой части равенства, тогда получится формула длины:
.
В случае вычитания векторов ()
происходит сложение вектора с
вектором , противоположным
вектору , то
есть имеющим ту же длину, но противоположным по направлению. Углы между и и
и между и
являются
смежными углами, у них, как уже было отмечено, одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой. В случае вычитания
векторов для
нахождения длины разности векторов нужно знать следующее свойство косинусов смежных
углов:
косинусы смежных углов равны по абсолютной величине (величине по модулю),
но имеют противоположные знаки.
Перейдём к примерам.
Пригодится: тригонометрическая таблица (синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы распространенных углов)
Пример 1. Векторы
и образуют угол
. Их длины:
и
. Выполнить сложение
векторов и найти их сумму
. Выполнить вычитание
векторов и найти их разность
.
Решение. Из элементарной тригонометрии известно, что .
Шаг 1. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, поставляя в формулу длины
косинус угла, смежного с углом между векторами:
Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус «изначального» угла:
Проверить решение можно на Калькуляторе
онлайн.
Выполнить сложение и вычитание векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 2. Векторы
и образуют угол
. Их длины:
и
. Выполнить сложение
векторов и найти их сумму
. Выполнить вычитание
векторов и найти их разность
.
Правильное решение и ответ.
Пример 3. Даны длины векторов
и длина их суммы .
Найти длину их разности .
Решение.
Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти
косинус угла, смежного с углом между векторами и находим его:
Не забываем, что косинус смежного угла получился со знаком минус. Это значит, что косинус «изначального» угла
будет со знаком плюс.
Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус «изначального» угла:
Проверить решение можно на Калькуляторе
онлайн.
Пример 4. Даны длины векторов
и длина их разности .
Найти длину их суммы .
Решение.
Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти
косинус «изначального» угла (задача обратная по отношению к примеру 1) и находим его:
Шаг 2. Меняем знак косинуса и получаем косинус смежного
угла между и
:
Шаг 3. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, подставляя в формулу косинус смежного угла:
Проверить решение можно на Калькуляторе
онлайн.
Пригодится: тригонометрическая таблица (синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы распространенных углов)
Пример 5. Векторы и
взаимно
перпендикулярны, а их длины .
Найти длину их суммы и
и длину их разности .
Решение.
Два смежных угла, как нетрудно догадаться из приведённого в начале урока
определения, в сумме составляют 180 градусов. Следовательно, смежный с прямым углом (90 градусов)
угол — тоже прямой (тоже 90 градусов). Косинус такого угла равен нулю, то же самое
относится и к косинусу смежного угла. Поэтому, подставляя это значение в выражения под
корнем в формуле длины суммы и разности векторов, получаем нули как последние выражения —
произведения под знаком корня. То есть длины суммы и разности данных векторов равны,
вычисляем их:
Пример 6. Какому условию должны удовлетворять векторы
и , чтобы имели место
слелующие соотношения:
1) длина суммы векторов равна длине разности векторов, т. е. ,
2) длина суммы векторов больше длины разности векторов, т. е. ,
3) длина суммы векторов меньше длины разности векторов, т. е. ?
Решение.
Находим условие для первого соотношения. Для этого решаем следующее уравнение:
То есть, для того, чтобы длина суммы векторов была равна длине их разности,
необходимы, чтобы косинус угла между ними и косинус смежного ему угла были равны. Это условие
выполняется, когда углы образуют прямой угол.
Находим условие для второго соотношения. Решаем уравнение:
Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами меньше косинуса
смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была больше длины разности векторов,
необходимо, чтобы углы образовали острый угол (пример 1).
Находим условие для третьего соотношения. Решаем уравнение:
Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами больше косинуса
смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была меньше длины разности векторов,
необходимо, чтобы углы образовали тупой угол.
Пригодится: тригонометрическая таблица (синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы распространенных углов)
Проверить решение можно на Калькуляторе
онлайн.
Назад
Листать
Вперёд>>>
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
К началу страницы
Пройти тест по теме Векторы
Поделиться с друзьями
Начало темы «Векторы»
Векторы: определения и действия над векторами
Продолжение темы «Векторы»
Линейная зависимость векторов
Базис системы векторов. Аффинные координаты
Векторное и смешанное произведение векторов
Основные операции с векторами
Основные операции с векторами
Для векторной величины должны быть указаны как величина, так и направление, в отличие от скалярной величины, которую можно количественно определить только числом. Любое количество векторных величин одного типа (т. е. одинаковых единиц измерения) может быть объединено с помощью основных векторных операций.
Внимание! Это большой HTML-документ. Вам нужно дождаться его полной загрузки, чтобы все ссылки выше заработали.
Индекс
Математика векторов
Гиперфизика***** Механика
R Ступица
55
Назад
Сложение двух векторов A и B графически можно представить как два последовательных обхода, где сумма векторов представляет собой векторное расстояние от начальной до конечной точки. Представляя векторы стрелками, нарисованными в масштабе, начало вектора B помещается в конец вектора A. Сумма векторов R может быть изображена как вектор от начала до конечной точки.
Этот процесс можно выполнить математически, найдя компоненты A и B, объединив компоненты R и затем преобразовав их в полярную форму.
Индекс
Векторные концепции
Гиперфизика***** Механика
R Ступица
Назад
Нахождение компонентов векторов для сложения векторов включает формирование прямоугольного треугольника из каждого вектора и использование стандартной тригонометрии треугольника.
Сумму векторов можно найти, объединив эти компоненты и преобразовав их в полярную форму.
Указатель
Векторные понятия
Гиперфизика***** Механика
R Ступица
Назад
После нахождения компонентов векторов A и B и их объединения для нахождения компонентов результирующего вектора R результат можно представить в полярной форме с помощью
Следует проявлять некоторую осторожность при вычислении угла с помощью калькулятора из-за неоднозначности арктангенса на калькуляторах.
Индекс
Векторные концепции
Гиперфизика***** Механика
R Ступица
Назад
После нахождения компонентов векторов A и B эти компоненты можно просто сложить, чтобы найти компоненты результирующего вектора R.
Компоненты полностью определяют результирующую векторного сложения, но часто желательно представить результирующую в полярной форме.
Индекс
Векторные концепции
Гиперфизика***** Механика
R Ступица
Назад
Векторы разлагаются на компоненты с помощью отношений триггера треугольника. Вы можете изменить длину или угол полярной формы вектора, и компоненты будут рассчитаны ниже.
Для вектора А= в градусах угла,
горизонтальная составляющая = а вертикальная составляющая = Ввод в поля для единиц произвольный; они служат для того, чтобы подчеркнуть, что процесс сложения векторов не зависит от единиц вектора.
Примечание: эта процедура Javascript не работает для угла, точно равного 90°.
Индекс
Векторные концепции
Гиперфизика***** Механика
R Ступица
Назад
Если компоненты вектора известны, то его величина и направление могут быть рассчитаны с использованием соотношения Пифагора и триггера треугольника. Это называется полярной формой вектора.
Если горизонтальная составляющая равна = а вертикальная составляющая равна = ,
тогда звездная величина равна = а угол равен = градусов.
Ввод в поля для единиц произвольный; они служат для того, чтобы подчеркнуть, что процесс сложения векторов не зависит от единиц вектора.
Следует проявлять некоторую осторожность при вычислении угла с помощью калькулятора из-за неоднозначности арктангенса на калькуляторах.
Индекс
Векторные концепции
Гиперфизика***** Механика
R Ступица
Назад
Сложение векторов включает в себя поиск компонентов вектора, их сложение и нахождение полярной формы результирующего.
Примечание. Существуют некоторые комбинации углов и значений, например, когда ожидается точно нулевой результат или угол ровно 90 градусов, когда процедура Javascript нестабильна и выдает ошибочные значения. Обычно вы можете попробовать значения, очень близкие к таким условиям, чтобы проверить точность.
Индекс
Векторные концепции
Гиперфизика***** Механика
R Ступица
Назад
Сложение векторов включает в себя поиск компонентов вектора, их сложение и нахождение полярной формы результирующего.
Индекс
Векторные концепции
Гиперфизика***** Механика
R Ступица
Назад
Сложение векторов включает в себя поиск компонентов вектора, их сложение и нахождение полярной формы результата.
Индекс
Векторные концепции
Гиперфизика***** Механика
R Ступица
Вернуться назад
Добавление вектора
Математика и наука были изобретены людьми для описания и
понимать окружающий мир.
Заметим, что существуют некоторые величины и процессы в
наш мир, который зависит от направление в котором
они происходят, и есть некоторые величины, которые не зависят
по направлению.
Математики и ученые называют количество
который зависит от направления векторной величины . Количество
которая не зависит от направления, называется скалярной величиной .
А
векторное количество
имеет две характеристики: величина и направление . Когда
сравнение
две векторные величины одного и того же типа, вы должны сравнить обе
величина и направление.
На этом слайде мы описываем метод сложения двух векторов.
Сложение векторов — это один из аспектов большой векторной алгебры, которую мы изучаем. , а не будут представлены на этом сайте. Добавление вектора представлено
здесь, потому что это встречается довольно часто при изучении движения
и потому что он демонстрирует некоторые фундаментальные различия между
векторы и скаляры.
Векторы обычно обозначаются на рисунках стрелкой.
Длина стрелки указывает величину и
кончик стрелки указывает направление. Вектор
помечены буквой в алфавитном порядке
буква с линией сверху, чтобы отличить ее от скаляра.
Величину вектора будем обозначать символом |а| . Направление
будет измеряться углом фи относительно координаты
ось х . Ось координат y перпендикулярна х . Примечание: Оси координат x и y сами по себе
векторы! Они имеют величину и направление. Сначала ты
столкнуться с осями координат, когда вы учитесь строить графики. Так что у тебя есть
использовал векторы в течение некоторого времени, даже не подозревая об этом!
Если мы построим пунктирную линию от кончика вектора a идущий параллельно оси х, он пересекает ось у в том месте, где мы
этикетка и . Точно так же линия от кончика вектора
параллельно оси y пересекает ось x на уровне x .
Величины x и ay называются
компоненты
вектора, и оба являются скалярными квантитами.
Чтобы добавить два вектора, а и б ,
мы сначала разбиваем каждый вектор на его компоненты, x и a ,
и bx и по ,
как показано на рисунке. Из правил, регулирующих
равенство
векторов, синий вектор b равен черному вектору b потому что он имеет одинаковую равную длину и одинаковое направление.
Теперь, поскольку компоненты вектора и вектор b скаляры, мы можем добавить x-компонентов для генерации
x-компонента нового вектора c :
сх = топор + Ьх
Точно так же мы можем добавить y-компонентов :
су = ау + по
Новые компоненты cx и cy полностью определяют
новый вектор c , указав как величину, так и направление.
.. / / Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор.
е. из первой координаты — первую, из второй — вторую и т.д.):
Тогда координаты вектора, получившегося при сложении этих двух векторов вычисляются по формуле:
= [ F12 + F22 -2 F1 F2 cos(180о-α) ]1/2 (1)
Тогда верно
следующее соотношение:
Их длины:
и
. Выполнить сложение
векторов и найти их сумму
. Выполнить вычитание
векторов и найти их разность
.
Следовательно, смежный с прямым углом (90 градусов)
угол — тоже прямой (тоже 90 градусов). Косинус такого угла равен нулю, то же самое
относится и к косинусу смежного угла. Поэтому, подставляя это значение в выражения под
корнем в формуле длины суммы и разности векторов, получаем нули как последние выражения —
произведения под знаком корня. То есть длины суммы и разности данных векторов равны,
вычисляем их:
Это условие
выполняется, когда углы образуют прямой угол.
Аффинные координаты
Представляя векторы стрелками, нарисованными в масштабе, начало вектора B помещается в конец вектора A. Сумма векторов R может быть изображена как вектор от начала до конечной точки.
Вы можете изменить длину или угол полярной формы вектора, и компоненты будут рассчитаны ниже.
Существуют некоторые комбинации углов и значений, например, когда ожидается точно нулевой результат или угол ровно 90 градусов, когда процедура Javascript нестабильна и выдает ошибочные значения. Обычно вы можете попробовать значения, очень близкие к таким условиям, чтобы проверить точность.
Так что у тебя есть
использовал векторы в течение некоторого времени, даже не подозревая об этом! 