Реферат «Площадь параллелограмма через векторное произведение»
?Previous Entry | Next Entry
Реферат «Площадь параллелограмма через векторное произведение«
Корчагин Дмитрий
Факультет управления
УК, 1 курс
Площадь параллелограмма, построенного на векторах, вычисляется как произведение длин этих векторов на синус угла между ними. Если известны только координаты векторов, то для вычисления нужно применять координатные методы, в том числе и для определения угла между ними.
1 В том случае, если известны длины векторов и угол между ними, то для того, чтобы найти площадь параллелограмма, построенного на векторах, найдите произведение их модулей (длин векторов), на синус угла между ними S=│a│•│ b│•sin(α).
2 Если векторы заданы в декартовой системе координат, то для того, чтобы найти площадь параллелограмма, построенного на них, проделайте следующие действия:
Например, если координаты начальной точки вектора (1;-3;2), а конечной (2;-4;-5), то координаты вектора будут (2-1;-4+3;-5-2)=(1;-1;-7). Пусть координаты вектора а(x1;y1;z1),вектора b(x2;y2;z2). 4 Найдите длины каждого из векторов. Возведите каждую из координат векторов в квадрат, найдите их сумму x1²+y1²+z1². Из получившегося результата извлеките корень квадратный. Для второго вектора проделайте ту же процедуру. Таким образом, получится │a│и│ b│.
5 Найдите скалярное произведение векторов. Для этого перемножьте их соответствующие координаты и сложите произведения │a b│= x1• x2+ y1•y2+ z1• z2.
6 Определите косинус угла между ними для чего скалярное произведение векторов, получившееся в п.3 поделите на произведение длин векторов, которые были рассчитаны в п. 2 (Cos(α)= │a b│/(│a│•│ b│)).
7 Синус полученного угла будет равен корню квадратному из разности числа 1, и квадрата косинуса того же угла, рассчитанного в п.
4 (1-Cos²(α)). 8 Рассчитайте площадь параллелограмма, построенного на векторах найдя произведение их длин, вычисленное в п. 2, а результат умножьте на число, получившееся после расчетов в п.5.
9 В том случае, если координаты векторов заданны на плоскости, при расчетах координата z просто отбрасывается. Данный расчет является числовым выражением векторного произведения двух векторов.
| November 2013 | ||||||
| M | T | W | T | F | S | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | |||||
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 |
| 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
Powered by LiveJournal.
com
ОглавлениеВВЕДЕНИЕЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Глава I. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ 2. Скаляры и векторы. 3. Равенство векторов.  4. Скользящие и приложенные векторные величины. 5. Модуль вектора. 6. Орт вектора. 7. Угол между двумя векторами. § 2. Сложение векторов 1. Сложение двух векторов. 2. Сложение более чем двух векторов. 3. Модуль суммы. 4. Законы сложения. § 3. Вычитание векторов 2. Законы умножения вектора на скаляр. 3. Деление вектора на скаляр. 4. Выражение вектора через его модуль и орт. § 5. Линейные зависимости между векторами 2. Коллинеарные векторы. 3. Компланарные векторы. 4. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. 5. Метод координат. Глава II. ТЕОРИЯ ПРОЕКЦИЙ. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ § 1. Проекции векторов на ось § 2. Основные теоремы о скалярных проекциях § 3. Прямоугольная система координат в пространстве 1. Правая и левая прямоугольные системы координат. 2. Разложение вектора по ортам осей 3. Линейные операции над векторами в координатной форме.  4. Радиус-вектор и координаты точки. 5. Определение вектора по его началу и концу. 6. Деление отрезка в данном отношении. Глава III. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ВЕКТОРОВ § 1. Скалярное произведение двух векторов 2. Работа силы. 3. Определение. 4. Равенство скалярного произведения нулю. 5. Законы скалярного умножения. 7. Скалярные произведения координатных ортов. 8. Скалярное произведение в координатной форме. 9. Неопределенность действия, обратного скалярному умножению. § 2. Векторное произведение двух векторов 3. Условия равенства нулю векторного произведения. 4. Законы векторного умножения. 5. Векторные произведения координатных ортов. 6. Определители. 7. Векторное произведение в координатной форме. 8. Неопределенность действия, обратного векторному умножению. Глава IV. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРЕХ ВЕКТОРОВ § 1. Простейшее произведение трех векторов § 2. Векторно-векторное произведение трех векторов 3. Правило разложения векторно-векторного произведения.  2. Законы векторно-скалярного умножения 3. Обращение в нуль векторно-скалярного произведения трех векторов. 4. Векторно-скалярное произведение в координатной форме. § 4. Выражение векторно-скалярного произведения через скалярные произведения Глава V. ФУНКЦИИ ВЕКТОРОВ § 1. Произведения четырех векторов 2. Выражение скалярного произведения двух векторных произведений (а x b), (р x q) через скалярные произведения. 3. Разложение вектора (а, b, с) R по трем векторам a, b, c. 4. Разложение вектора (a, b, c) по векторным произведениям b x с, c x a, а x b § 2. Произведения пяти и шести векторов 2. Разложение вектора (a, b, c) (m x n) по векторам a, b, c. 3. Выражение произведения двух смешанных произведений (a, b, c) (l, m, n) через скалярные произведения. § 3. Основные теоремы о функциях векторов 1. Рациональные функции векторов. 2. Элементарные функции векторов. 3. Произвольные скалярные функции от векторов.  4. Произвольные векторные функции векторов. Глава VI. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ § 2. Основные задачи, связанные со скалярным умножением векторов § 3. Основные задачи, связанные с векторным умножением векторов § 4. Основные задачи, связанные с произведениями трех и более векторов § 5. Простейшие векторные уравнения § 6. Геометрические инварианты фигур 2. Треугольник. 3. Полные системы инвариантов треугольника. 4. Тетраэдр. 5. Полные системы инвариантов тетраэдра. 6. Гексаэдр с треугольными гранями. ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ § 1. Векторы, зависящие от скаляра 2. Вектор-функция в координатной форме. 3. Годограф вектора. 4. Предел вектора. § 2. Дифференцирование вектора по скаляру 2. Геометрический смысл производной вектора по скаляру. 3. Механический смысл производной. 6. Инвариантность дифференциала. 7. Связь дифференциала вектора с его приращением. § 3. Формула Тейлора Глава VIII.  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ§ 1. Основные дифференциально-геометрические понятия, связанные с линией 2. Касательная. 3. Соприкасающаяся плоскость. 4. Главная нормаль и бинормаль. 5. Кривизна. 6. Кручение. 7. Длина дуги. § 2. Основные формулы дифференциальной геометрии линий в пространстве 1. Дуга как параметр. Дифференциал дуги. 2. Орт касательной. Первая основная формула. 3. Инвариантность геометрических понятий. 4. Главная нормаль и кривизна. Вторая основная формула. 5. Бинормаль и кручение. Третья основная формула. 6. Винтовая линия. § 3. Сопровождающий трехгранник 2. Система дифференциальных уравнений движения сопровождающего трехгранника. 3. Расположение линии относительно сопровождающего трехгранника. 4. Линии без кривизны. 5. Линии без кручения. § 4. Инвариантные формулы Глава IX. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ § 1. Дифференциальные уравнения плоской линии § 2. Кривизна плоской линии § 3.  Круг кривизны§ 4. Эволюта § 5. Эвольвента Глава X. ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ § 1. Скорость и ускорение точки § 2. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки 2. Формула Эйлера. 3. Угловая скорость. 4. Доказательстве существования угловой скорости твердого тела. § 3. Относительная производная вектора 2. Абсолютная и относительная производные вектора. 3. Общий случай движения твердого тела. Глава XI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ § 1. Векторные функции нескольких скалярных аргументов § 2. Параметризованная поверхность 3. Параметрическая сеть. 4. Линия на параметризованной поверхности. § 3. Касательная плоскость и нормаль 3. Нормальный вектор. 4. Преобразование параметров. § 4. Площадь области на поверхности 2. Площадь области на поверхности. 3. Формула для вычисления площади поверхности, заданной уравнением z=z(x,y). 4. Элемент площади поверхности.  5. Векторный элемент площади поверхности. § 5. Первая квадратичная форма поверхности 2. Внутренняя геометрия поверхности. 3. Длина дуги линии на поверхности. 4. Угол между линиями на поверхности. 5. Площадь области на поверхности. § 6. Вторая квадратичная форма поверхности 2. Нормальная кривизна линии на поверхности. 3. Теорема Менье. § 7. Главные направления и главные кривизны поверхности 2. Главные направления на поверхности. 3. Перпендикулярность главных направлений. 4. Формула Эйлера. 5. Полная и средняя кривизны поверхности. ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ТЕОРИЯ ПОЛЯ § 1. Функция поля. Поверхности уровня § 2. Градиент поля 2. Первая теорема о градиенте. § 3. Производная по направлению 2. Выражение производной по направлению через градиент. 3. Вторая теорема о градиенте. § 4. Направляющие косинусы нормали поверхности Глава XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ И ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛЫ § 1. Криволинейный интеграл как определенный интеграл от сложной функции 2.  Криволинейный интеграл от линейной формы по произвольной кривой.3. Основные свойства криволинейного интеграла. 4. Обобщенный криволинейный интеграл. 5. Примеры. § 2. Криволинейный интеграл как предел криволипейной интегральной суммы § 3. Поверхностный интеграл как двойной интеграл от сложной функции 2. Определение простейшего поверхностного интеграла. 3. Поверхностный интеграл от билинейной формы по произвольной поверхности. § 4. Поверхностный интеграл как предел поверхностной интегральной суммы § 5. Поверхностный интеграл в параметрической форме 2. Параметрический поверхностный интеграл. 3. Поверхностный интеграл как предел суммы. § 6. Кратный интеграл как предел обобщенной интегральной суммы 2. Обобщение основной теоремы о кратном интеграле. Глава XIV. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ И ЕГО ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ § 1. Векторное поле § 2. Векторные линии § 3. Циркуляция поля вдоль линии § 4. Поток поля через поверхность Глава XV.  ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО. ДИВЕРГЕНЦИЯ ПОЛЯ§ 1. Формула Остроградского § 2. Дивергенция поля 2. Дивергенция как предел отношения. 3. Гидромеханический смысл дивергенции. 4. Теорема Остроградского. Глава XVI. ТЕОРЕМА СТОКСА. РОТАЦИЯ ПОЛЯ § 1. Формула Стокса § 2. Ротация поля § 3. Оператор Гамильтона Глава XVII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ § 1. Потенциальное поле 3. Циркуляция потенциального поля по замкнутому контуру. 4. Циркуляция потенциального поля между двумя точками. 5. Потенциал. 6. Элемент циркуляции. 7. Характеристические признаки потенциального поля. 8. Вычисление потенциала. 9. Центральное поле. 10. Вихревые шнуры. § 2. Соленоидальное поле 3. Поток соленоидального поля через замкнутую поверхность. 4. Трубчатое строение соленоидального поля. 5. Векторный потенциал. 6. Характеристические признаки соленоидального поля. 7. Источники и стоки. § 3. Потенциальное несжимаемое поле Глава XVIII. .jpg) ПРОСТЕЙШИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ§ 1. Электростатическое поле точечного заряда 2. Дивергенция поля точечного заряда. 3. Поток поля точечного заряда через замкнутую поверхность. 4. Ротация поля точечного заряда. 5. Потенциал поля точечного заряда. § 2. Электростатическое поле системы точечных зарядов 2. Дивергенция и ротация поля системы точечных зарядов. 3. Поток поля системы точечных зарядов через замкнутую поверхность. 4. Потенциал поля системы точечных зарядов. 5. Непрерывно распределенный заряд. § 3. Магнитное поле тока 2. Напряженность магнитного поля тока, текущего по бесконечному прямолинейному проводу. 3. Векторные линии поля H. 4. Потенциал поля Н. 5. Провод как вихревой шнур. Глава XIX. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ § 1. Криволинейные координаты 3. Координатные поверхности и линии. 4. Линейный элемент. 5. Элемент объема. 6. Подвижной репер. 7. Векторное поле в криволиненных координатах.  § 2. Дифференциальные операции в криволинейных координатах 2. Дивергенция в криволинейных координатах. 3. Ротация в криволинейных координатах. § 3. Ортогональные координаты § 4. Цилиндрические координаты 2. Линейный элемент и элемент объема в цилиндрических координатах. 3. Дифференциальные операции в цилиндрических координатах. § 5. Сферические координаты |
- Сначала создайте матрицу $3 \times 3$ с элементами первой строки, являющимися стандартными единичными векторами $\vec{i}$, $\vec{j}$ и $\vec{k}$. Во второй строке будут компоненты $\vec{u}$ (последняя равна 0), а в третьей строке будут компоненты $\vec{v}$ (последняя равна 0). Затем мы возьмем определитель этой матрицы:
(1)
\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ u_1 & u_2 & 0\\ v_1 & v_2 & 0 \end{vmatrix}
- Если мы вычислим этот определитель путем разложения на кофакторы по первой строке, то получим:
(2)
\begin{align} \vec{u} \times \vec{v} = \vec{i} \begin{vmatrix} u_2 & 0 \\ v_2 & 0 \end{vmatrix} — \vec{j} \ begin{vmatrix} u_1 & 0 \\ v_1 & 0 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} \end{align}
- Однако , заметим, что определители $\vec{i} \begin{vmatrix} u_2 & 0 \\ v_2 & 0 \end{vmatrix} = 0$ и $- \vec{j} \begin{vmatrix} u_1 & 0 \ \ v_1 & 0 \end{vmatrix} = 0$.
Отсюда следует, что:
Отсюда следует, что:(3)
\begin{align} \vec{u} \times \vec{v}= \vec{k} \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} \end{align}
- Теперь возьмем норму обеих сторон, чтобы получить это:
(4)
\begin{align} \| \vec{u} \times \vec{v} \| = \| \vec{к} \| \mathrm{abs} \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} \end{align}
- Однако $\vec{k}$ является стандартным единичным вектором, поэтому $\| \vec{к} \| = 1$ и, следовательно, $\| \vec{u} \times \vec{v} \| = \mathrm{abs} \begin{vmatrix}u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix}$, и, конечно же, это равно площади параллелограмма. $\черный квадрат$
Если не указано иное, содержимое этой страницы находится под лицензией Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0. )
Вариант 2 : \(5\sqrt{3 }\)
Бесплатно
Официальный документ NIMCET 2020
5,5 тыс.
пользователей
120 вопросов
480 баллов
120 минут
Понятие:
Площадь параллелограмма с векторами \(\rm \vec {d_{1}}\) и \(\rm \vec {d_{1}}\) в качестве его диагоналей определяется как: \(\rm Area=\dfrac{1}{2}\left|\vec{d_1}\times\vec{d_2}\right|\).
Перекрестное произведение: Для двух векторов \(\rm \vec {A}=a_1\hat i+a_2\hat j+a_3\hat k\) и \(\rm \vec {B}=b_1\hat i+b_2\hat j+b_3\hat k\), их векторное произведение равно:
\(\rm \vec A \times \vec B=\begin{vmatrix} \rm \hat i & \rm \ шляпа j & \rm \hat k\\ \rm a_1& \rm a_2 & \rm a_3\\ \rm b_1 & \rm b_2 & \rm b_3\end{vmatrix}=(a_2b_3-a_3b_2)\hat i+(a_3b_1- a_1b_3)\шляпа j+(a_1b_2-a_2b_1)\шляпа k\). 92}\).
Вычисление:
Диагонали параллелограмма равны \(\rm \vec{a}= 3\hat{i} + \hat{j} — 2\hat{k}\) и \ (\rm \vec{b}=\шляпа{i}-3\шляпа{j}+4\шляпа{k}\).
Используя формулу площади параллелограмма, диагонали которого \(\rm \vec {a}\) и \(\rm \vec {b}\) заданы, получаем:
\(\rm Area= \dfrac{1}{2}\left|\vec a\times\vec b\right|=\dfrac{1}{2}\left|(a_2b_3-a_3b_2)\hat i+(a_3b_1-a_1b_3)\hat j+ (a_1b_2-a_2b_1)\шляпа k\право|\) 92}\)
= \(\rm \dfrac{1}{2}\sqrt{4+196+100}\)
= \(\rm \dfrac{1}{2}\sqrt{300} \)
= \(5\sqrt{3}\).
Дополнительная информация
Задана площадь параллелограмма с векторами \(\rm \vec {a}\) и \(\rm \vec {b}\) в качестве его сторон 9 0 по: \(\rm Area=|\vec{a}\times\vec{b}|\).
Для двух векторов \(\rm \vec A\) и \(\rm \vec B\) под углом θ друг к другу:
- Скалярный продукт определяется как: \(\rm \vec A.\vec B=|\vec A||\vec B|\cos \theta\).
- Перекрестное произведение определяется как: \(\rm \vec A\times \vec B=\hat n|\vec A||\vec B|\sin \theta\), где \(\rm \hat n\) — единичный вектор, перпендикулярный плоскости, содержащей \(\rm \vec A\) и \(\rm \vec B\).
