Векторы решение задач: Примеры решения задач с векторами

Примеры решения задач с векторами

Векторы используются во многих науках, таких как: математика, физика, геометрия и многие другие прикладные науки. На практике они позволяют не выполнять ненужных операций и сокращают время на выполнение задач. Поэтому для будущих специалистов очень важно понять теорию векторов и научиться решать с ними проблемы.

Прежде чем изучать примеры решения проблем, советуем вам изучить теоретический материал по векторам, прочитать все определения и свойства. Список тем находится в правом меню.

Векторные координаты

пример

Запись \(\ \overline{a}=(5 ;-2) \) означает, что вектор \(\ \overline{a} \) имеет следующие координаты: абсцисса равна 5, ордината равна -2.

пример

Задание.

Векторы и дан \(\ \overline{a}=(-3 ; 5) \) и \(\ \overline{b}=(0 ;-1) \) . Найти векторные координаты \(\ \overline{c}=\overline{a}+\overline{b} \)

Решение.

\(\ \overline{c}=\overline{a}+\overline{b}=(-3 ; 5)+(0 ;-1)=(-3+0 ; 5+(-1))=(-3 ; 4) \)

Пример

Задание. {\circ} \)

Разложение вектора по ортам координатных осей

пример

Задание.

Зная разложение вектора \(\ \overline{a} \) на базисной системе векторов: \(\ \overline{a}=3 \overline{i}-\overline{k} \)запишите координаты этого вектора в пространстве.

Решение.

Коэффициенты ортов являются координатами вектора, поэтому из того, что \(\ \overline{a}=3 \overline{i}-0 \cdot \overline{j}-\overline{k} \) мы получаем \(\ \overline{a}=(3 ; 0 ;-1) \)

Пример

Задание.

Вектор \(\ \overline{a} \) определяется его координатами: \(\ \overline{a}=(2 ;-1 ; 5) \) запишите разложение этого вектора по осям осей.

Решение.

Координаты вектора представляют собой коэффициенты по осям координатных осей при разложении вектора в основную систему векторов, поэтому требуется разложение:

\(\ \overline{a}=2 \overline{i}-\overline{j}+5 \overline{k} \)

Скалярное произведение векторов

Пример

Задание.

Рассчитайте скалярное произведение векторов \(\ \overline{a} \) и \(\ \overline{b} \) , если их длины равны 2 и 3 соответственно, а угол между ними равен 60 °. {\circ}=6 \cdot \frac{1}{2}=3 \)

Пример

Задание.

Найти скалярное произведение векторов \(\ \overline{a}=(3 ;-1) \) и \(\ \overline{b}=(-2 ; 7) \)

Решение.

Скалярное произведение

\(\ \overline{a} \overline{b}=3 \cdot(-2)+(-1) \cdot 7=-6-7=-13 \) Векторное произведение векторов пример

Задание.

Найти векторное произведение векторов \(\ \overline{a}=(6 ; 7 ; 10) \) и \(\ \overline{b}=(8 ; 5 ; 9) \)

Решение.

Составляем определитель и вычисляем его:

\(\ \overline{a} \times \overline{b}=\left| \begin{array}{ccc}{\overline{i}} & {\overline{j}} & {\overline{k}} \\ {6} & {7} & {10} \\ {8} & {5} & {9}\end{array}\right|=\overline{i} \left| \begin{array}{cc}{7} & {10} \\ {5} & {9}\end{array}\right|-\overline{j} \left| \begin{array}{cc}{6} & {10} \\ {8} & {9}\end{array}\right|+\overline{k} \left| \begin{array}{cc}{6} & {7} \\ {8} & {5}\end{array}\right|= \)

\(\ =\overline{i}(7 \cdot 9-5 \cdot 10)-\overline{j}(6 \cdot 9-8 \cdot 10)+\overline{k}(6 \cdot 5-8 \cdot 7)= \)

\(\ =13 \overline{i}+26 \overline{j}-26 \overline{k}=(13 ; 26 ;-26) \)

Смешанное произведение векторов

Пример

Задание.

Рассчитать объем пирамиды, построенной на векторах \(\ \overline{a}=(2 ; 3 ; 5), \overline{b}=(1 ; 4 ; 4), c=(3 ; 5 ; 7) \)

Решение.

Мы находим смешанное произведение указанных векторов, для этого составляем определитель, в строки которого записываем координаты векторов \(\ \overline{a}, \overline{b} \) и \(\ \overline{c} \):

\(\ (\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=\left| \begin{array}{ccc}{2} & {3} & {5} \\ {1} & {4} & {4} \\ {3} & {5} & {7}\end{array}\right|=2 \cdot 4 \cdot 7+1 \cdot 5 \cdot 5+3 \cdot 4 \cdot 3- \)

\(\ -3 \cdot 4 \cdot 5-5 \cdot 4 \cdot 2-1 \cdot 3 \cdot 7=-4 \)

\(\ V_{\mathrm{пир}}=\frac{1}{6}|(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})|=\frac{1}{6} \cdot 4=\frac{2}{3}(\mathrm{куб} . \mathrm{ед.}) \)

Физика

166

Реклама и PR

31

Педагогика

80

Психология

72

Социология

7

Астрономия

9

Биология

30

Культурология

86

Экология

8

Право и юриспруденция

36

Политология

13

Экономика

49

Финансы

9

История

16

Философия

8

Информатика

20

Право

35

Информационные технологии

6

Экономическая теория

7

Менеджент

719

Математика

338

Химия

20

Микро- и макроэкономика

1

Медицина

5

Государственное и муниципальное управление

2

География

542

Информационная безопасность

2

Аудит

11

Безопасность жизнедеятельности

3

Архитектура и строительство

1

Банковское дело

1

Рынок ценных бумаг

6

Менеджмент организации

2

Маркетинг

238

Кредит

3

Инвестиции

2

Журналистика

1

Конфликтология

15

Этика

9

Формулы дифференцирования Действия над векторами и свойства векторов Смешанное произведение векторов Векторное произведение векторов Скалярное произведение векторов

Узнать цену работы

Узнай цену

своей работы

Имя

Выбрать тип работыЧасть дипломаДипломнаяКурсоваяКонтрольнаяРешение задачРефератНаучно — исследовательскаяОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерскаяНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация в ВАКПубликация в ScopusДиплом MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Принимаю  Политику  конфиденциальности

Подпишись на рассылку, чтобы не пропустить информацию об акциях

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Алгебра

Справочник по математике

Алгебра

Векторы

Понятие вектора

Координаты вектора

Длина вектора

Равенство векторов

Умножение вектора на число

Сложение и вычитание векторов

Скалярное произведение векторов

Примеры решения задач

Понятие вектора

      Рассмотрим две произвольные точки. Если соединить эти точки стрелкой (рис.1),

Рис.1

то мы получим вектор.

      Точку, из которой стрелка выходит, называют началом вектора. Точку, в которую стрелка входит, называют концом вектора.

      Чтобы отличить вектор от отрезка с концами в тех же точках, используют обозначение     (рис.2) или     (рис.3).

Рис.2	Рис.3

Рис.2

Рис.3

      Иногда для вектора используют обозначения     (рис.4) или     (рис.5).

Рис.4	Рис.5

Рис.4

Рис. 5

      Если две точки (начало и конец вектора) совпадают, то говорят, что эти точки задают нулевой вектор.

Координаты вектора

      Рассмотрим произвольный вектор     и предположим, что в пространстве задана декартова прямоугольная система координат   Oxyz   (рис.6).

Рис.6

      Если в системе координат   Oxyz   точки   A   и   B   имеют координаты

A = (a1; a2; a3)       и       B = (b1; b2; b3) ,

(1)

то координатами вектора     называют набор чисел

(2)

      Этот определение часто формулируют так: «Для того, чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вектора вычесть координаты начала вектора».

      Замечание. В случае, когда рассматриваются векторы, лежащие на некоторой координатной плоскости, в формулах (1) и (2) не будет третьих координат. Если же рассматриваются векторы, лежащие на некоторой координатной прямой, то в формулах (1) и (2) останутся только первые координаты.

Длина вектора

      Длиной (модулем) произвольного вектора     называют длину отрезка   AB

      Длина вектора   ,   координаты которого имеют вид

вычисляется по формуле

(3)

      Этот факт часто формулируют так: «Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат».

      Замечание. В случае, когда рассматриваются векторы, лежащие на координатной плоскости, формула (3) принимает вид

(4)

и совпадает с формулой, позволяющей найти расстояние между двумя точками координатной плоскости.

      В случае, когда рассматриваются векторы, лежащие на координатной прямой, формулы (3) и (4) принимают вид

.

Равенство векторов

      Векторы называют коллинеарными векторами, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

      Два вектора

      и      

являются коллинеарными векторами тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.

      Другими словами, векторы являются коллинеарными тогда и только тогда, когда существует такое действительное число t, что выполняются равенства

a₁ = tb₁,       a₂ = tb₂,       a₃ = tb₃.

      Два вектора называют сонаправленными, если, во-первых, они коллинеарные, а, во-вторых, направлены так, как показано на рисунке 7.

      Другими словами, если совместить начала этих векторов, то они окажутся лежащими на одной прямой, при этом будут направлены в одну сторону (концы векторов будут лежать на одном луче).

Рис.7

      Два вектора называют противоположно направленными, если, во-первых, они коллинеарные, а, во-вторых, направлены так, как показано на рисунке 8.

      Другими словами, если совместить начала этих векторов, то они окажутся лежащими на одной прямой, при этом будут направлены в разные стороны (концы векторов будут лежать по разные стороны от их общего начала).

Рис.8

      Определение. Два вектора равны, если, во-первых, они сонаправленные, а, во-вторых, имеют одинаковую длину.

      Другими словами, если совместить начала этих векторов, то их концы совпадут.

      Замечание. Два вектора равны тогда и только тогда, когда у них совпадают наборы координат.

Умножение вектора на число

      В результате умножения любого вектора     на любое действительное число   k   получается такой вектор   ,   который удовлетворяет следующим условиям:

1. При   k > 0   вектор     сонаправлен с вектором   ;
2. При   k < 0   вектор     противоположно направлен с вектором   ;
3. Длина вектора     равна длине вектора   ,   умноженной на число   |k|.

      Если вектор     имеет координаты

то вектор     имеет координаты

      Другими словами, если вектор умножается на число, то и все его координаты умножаются на это число.

Сложение и вычитание векторов

      Для того, чтобы найти сумму двух произвольных векторов     и     нужно совместить начало вектора     с концом вектора   .   Тогда началом вектора     будет начало вектора   ,   а концом вектора     будет конец вектора     (рис.9).

Рис.9

      При этом, если

      и      

то

      Этот факт часто формулируют так: «При сложении векторов их координаты складываются».

      Для того, чтобы найти разность двух произвольных векторов     и     нужно воспользоваться формулой

      Операция вычитания двух векторов наглядно изображена на рисунке 10.

Рис.10

      При этом, если

      и      

то

      Этот факт часто формулируют так: «Для того, чтобы найти координаты вектора   ,   нужно из координат вектора     вычесть координаты вектора   ».

Скалярное произведение векторов

      Определение. Скалярным произведением векторов      и   ,   которое обозначается     называют число, равное произведению длин векторов      и   ,   умноженному на косинус угла между этими векторами (рис.11).

Рис.11

      Таким образом,

(5)

      Из формулы (5) вытекает соотношение

которое можно сформулировать так: «Модуль вектора равен корню квадратному из скалярного произведения вектора на себя».

      Следствие 1. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

      Утверждение. Если в декартовой прямоугольной системе координат векторы имеют координаты

и

(6)

то их скалярное произведение выражается формулой:

(7)

      Другими словами, в декартовой прямоугольной системе координат скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

      Замечание. Зная координаты векторов (6), из формул (3), (5) и (7) можно найти косинус угла между векторами      и  

Примеры решения задач

      Пример 1. При каких значениях параметра   p   векторы     и     перпендикулярны?

      Решение. Воспользовавшись формулой (7), получим

      Ответ: 4.

      Пример 2. При каких значениях параметров   α   и   β   векторы   (α; – 2; 5)   и   (1; β; – 4)   коллинеарны?

      Решение. Векторы, в силу изложенного выше, являются коллинеарными тогда и только тогда, когда существует такое действительное число t, что выполняются равенства:

      Ответ:   .

      Пример 3. Длины векторов     и     равны   2   и   1 ,   соответственно, а угол между ними равен   60° . Найти длину вектора   .

      Решение. Рассмотрим рисунок 12.

Рис.12

      Воспользовавшись теоремой косинусов, получим

      Ответ: .

      Пример 4. Длины векторов  и равны 3 и 1, соответственно, а угол между ними равен   60°.   Найти длину вектора .

      Решение. Рассмотрим рисунок 13.

Рис.13

      Воспользовавшись теоремой косинусов, получим

      Ответ:   .

      Пример 5. Найти угол между векторами   (3; 6; 2)   и   (4; 7; 4) .

      Решение. Воспользовавшись формулой (8), получим

      Ответ:   .

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Задачи на вектора в пространстве с решением

Примеры решения задач с векторами

Вектора применяются во многих науках, таких как: математика, физика, геометрия и многих других прикладных науках. На практике, они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач. Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию векторов и научиться решать задачи с ними.

Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по векторам, прочитать все определения и свойства. Список тем находится в правом меню.

Теоретический материал по теме – координаты вектора.

Запись означает, что вектор имеет следующие координаты: абсцисса равна 5, ордината равна -2.

Задание. Заданы векторы и . Найти координаты вектора

Решение.

Задание. Вектор . Найти координаты вектора

Решение.

Задание. Найти координаты вектора , если

Решение.

Длина (модуль) вектора

Теоретический материал по теме – длина вектора.

Задание. Найти длину вектора

Решение. Используя формулу, получаем:

Задание. Найти длину вектора

Решение. Используя формулу, получаем:

Угол между векторами

Теоретический материал по теме – угол между векторами.

Задание. Известно, что скалярное произведение двух векторов , а их длины . Найти угол между векторами и .

Решение. Косинус искомого угла:

Задание. Найти угол между векторами и

Решение. Косинус искомого угла

Задание. Найти угол между векторами и

Решение. Косинус искомого угла:

Разложение вектора по ортам координатных осей

Теоретический материал по теме – разложение вектора по ортам.

Задание. Зная разложения вектора по базисной системе векторов: , записать координаты этого вектора в пространстве.

Решение. Коэффициенты при ортах и есть координатами вектора, поэтому из того, что , получаем, что

Задание. Вектор задан своими координатами: . Записать разложение данного вектора по ортам осей координат.

Решение. Координаты вектора – это коэффициенты при ортах координатных осей в разложении вектора по базисной системе векторов, поэтому искомое разложение:

Скалярное произведение векторов

Теоретический материал по теме – скалярное произведение векторов.

Задание. Вычислить скалярное произведение векторов и , если их длины соответственно равны 2 и 3, а угол между ними 60°.

Решение. Так как из условия , , а , то

Задание. Найти скалярное произведение векторов и

Решение. Скалярное произведение

Векторное произведение векторов

Теоретический материал по теме – векторное произведение векторов.

Задание. Найти векторное произведение векторов и

Решение. Составляем определитель и вычисляем его:

Смешанное произведение векторов

Теоретический материал по теме – смешанное произведение векторов.

Задание. Вычислить объем пирамиды, построенной на векторах , ,

Решение. Найдем смешанное произведение заданных векторов, для это составим определитель, по строкам которого запишем координаты векторов , и :

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Векторная алгебра для чайников

В этом разделе вы найдете бесплатные решения задач по векторной алгебре: вектора, углы, взаимное расположение на плоскости и пространстве, базис из векторов, действия с векторами и т.п.

Решения задач с векторами

Задача 1. На оси $Ох$ найти точку, равноудаленную от точек $А(2;-4;5)$ и $В(-3;2;7)$.

Задача 2. Написать разложение вектора $X$ по векторам $(a, b, c)$.

Задача 3. Найти косинус угла между векторами $AB$ и $AC$.

Задача 4. Вычислить площадь треугольника с вершинами $$A=(-4;4;4), B=(3;1;0), C=(-1;0;6).$$

Задача 5. Компланарны ли вектора $a, b, c$? $$a=(-3;2;1), b=(3;1;2), c=(3;-1;4)$$

Задача 6. Заданы два вектора в пространстве. Найти:
а) их сумму;
б) их разность; косинус угла между ними;
в) их векторное произведение.
$a=(0;1;1), b=(-2;0;1).$

Задача 7. Сила $F$ приложена к точке $А$. Вычислить:
а) работу силы $F$ в случае, когда точка её приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается в точку $В$;
b) модуль момента силы $F$ относительно точки $В$.

Задача 8. Найти ранг и базис системы векторов, перейти к новому базису. Записать разложения векторов по найденным базисам.

Задача 11. Написать разложение вектора $ar$ по векторам $ar, ar, ar$.

Задача 13. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах $ar

$, $ar$.

Применение векторов к решению задач

Используй поиск, чтобы найти научные материалы и собрать список литературы

База статей справочника включает в себя статьи написанные экспертами Автор24, статьи из научных журналов и примеры студенческих работ из различных вузов страны

Содержание статьи

1. Сущность векторного метода для решения геометрических задач

2. Общая схема для решения геометрических задач векторным методом

3. Примеры типов задач, которые решаются векторным методом

4. Примеры задач на применение векторного метода

Сущность векторного метода для решения геометрических задач

Векторный метод решения задач основан на решении задач с использованием аппарата векторной алгебры.

Применение векторной алгебры к решению геометрических задач основано на следующих основных утверждениях.

Утверждение 1 (Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов): Два ненулевых вектора $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ коллинеарны тогда и только тогда, когда существует действительное число $k\ne 0$, такое, что удовлетворяется следующее равенство

Утверждение 2: Если векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ не коллинеарны, то любой вектор $\overrightarrow{c}$, компланарный с данными векторами можно представить в виде линейной комбинации и притом единственным образом:

Утверждение 3: Любой вектор $\overrightarrow{d}$ в трехмерном пространстве можно разложить по трем некомпланарным векторам $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$:

При решении задач векторным методом также применяются такие понятия, как сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число, а также понятие скалярного произведения векторов.

Общая схема для решения геометрических задач векторным методом

При решении геометрических задач векторным методом рекомендуется пользоваться следующей схемой:

1. Провести анализ условия задачи:

   а) Выяснить в какой системе координат (двумерной или трехмерной) рассматривается данная задача;

   б) Записать, что нам дано, что нужно найти или доказать, а также построить чертеж по условию задачи.

2. Перевести условие задачи и требования к векторному виду.

3. Составить векторные соотношения, соответствующие тому, что дано в задаче и привести их к векторным соотношениям, соответствующим требованиям задачи.

4. Перевести полученный результат на геометрический язык.

Примеры типов задач, которые решаются векторным методом

Приведем теперь примеры классических задач, решаемых с помощью векторного метода (Не приводя их решений).

1. Задачи на доказательство параллельности.

2. Задачи на нахождение отношений, в котором точка делит отрезок.

3. Задачи на доказательство принадлежности трех точек одной прямой.

4. Задачи на доказательство принадлежности четырех точек одной плоскости.

5. Задачи на доказательство перпендикулярности.

6. Задачи на вычисление длины отрезка.

7. Задачи на нахождение величины угла.

8. Задачи на вычисление площадей и объемов геометрических фигур.

Примеры задач на применение векторного метода

Далее рассмотрим ряд задач, которые решаются с помощью векторного метода.

Пример 1

Доказать, что линия, соединяющая середины диагоналей произвольной трапеции параллельна основаниям этой трапеции и равна их полуразности.

Доказательство.

Пусть нам дана трапеция $ABCD.$ $MN$ — отрезок, соединяющий середины диагоналей данной трапеции (рис. 1).

Рисунок 1.

Докажем, что $MN=\frac{AD-BC}{2}$ и $MN||AD$

Рассмотрим вектор $\overrightarrow{MN}$. Используя правило многоугольника для сложения векторов, с одной стороны, получим

\[\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}\]

С другой стороны

\[\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BN}\]

Сложим два последних равенства:

\[2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BN}\]

Так как $MN$ — отрезок, соединяющий середины диагоналей, то

\[\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0},\ \overrightarrow{DN}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{0}\]

Тогда получим

\[2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}\]

То есть

\[\overrightarrow{MN}=\frac{\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}}{2}\]

Так как $\overrightarrow{AD}\ и\ \overrightarrow{BC}$ сонаправлены, то $\overrightarrow{MN}||\overrightarrow{AD}$.

Из этого получаем, что $MN=\frac{AD-BC}{2}$ и $MN||AD$

ч. т. д.

Пример 2

На сторонах треугольника $ABC$ взяты точки $L,\ M,\ K$, так что $\left|BL\right|=3\left|AL\right|,\ \left|BM\right|=2\left|CM\right|,\ \left|AK\right|=2|CK|$. Найти, в каком отношении прямая $KL$ делит отрезок $AM$.

Решение.

Обозначим через точку $E$ — точку пересечения отрезка $AM$ с прямой $KL$(рис. 2).

Рисунок 2.

Найдем $\left|AE\right|:|EM|$

Введем, для удобства, следующие обозначения: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{AE}=x\overrightarrow{AM},$ $\overrightarrow{LE}=y\overrightarrow{LK}$

Воспользуемся далее правилом треугольника для сложения векторов. С одной стороны получим

\[\overrightarrow{AE}=x\overrightarrow{AM}=x\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\right)=x\left(\overrightarrow{b}+\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}\right)\right)=\frac{2}{3}x\overrightarrow{c}-\frac{1}{3}x\overrightarrow{b}\]

С другой стороны

\[\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AL}+\overrightarrow{LE}=\overrightarrow{AL}+y\overrightarrow{LK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{b}+y\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{c}-\frac{1}{4}\overrightarrow{b}\right)=\frac{2}{3}y\overrightarrow{c}+\frac{1}{4}\overrightarrow{b}-\frac{1}{4}y\overrightarrow{b}\]

Тогда

\[\frac{2}{3}x\overrightarrow{c}-\frac{1}{3}x\overrightarrow{b}=\frac{2}{3}y\overrightarrow{c}+\frac{1}{4}\overrightarrow{b}-\frac{1}{4}y\overrightarrow{b}\]

Получаем систему:

Рисунок 3.

$\overrightarrow{AE}=\frac{3}{7}\overrightarrow{AM}$, следовательно

Ответ: $3:4.$

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 01.04.2022

Выполнение любых типов работ по математике

Решение задач по комбинаторике на заказ Решение задачи Коши онлайн Математика для заочников Контрольная работа на тему числовые неравенства и их свойства Контрольная работа на тему умножение и деление рациональных чисел Контрольная работа на тему действия с рациональными числами Дипломная работа на тему числа Курсовая работа на тему дифференциальные уравнения Контрольная работа на тему приближенные вычисления Решение задач с инвариантами

Подбор готовых материалов по теме

Дипломные работы Курсовые работы Выпускные квалификационные работы Рефераты Сочинения Доклады Эссе Отчеты по практике Решения задач Контрольные работы

Применение векторов к решению задач 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Выражение вектора через два неколлинеарных

 

Напомним, что мы уже изучили некоторые факты о векторах, и теперь умеем определять равные векторы, коллинеарные векторы, сонаправленные и противоположно направленные. Также мы умеем складывать векторы по правилу треугольника и параллелограмма, складывать несколько векторов по правилу многоугольника, умеем умножать вектор на число. Решение задач с векторами использует все эти знания. Перейдем к решению некоторых примеров.

 

Пример 1 – задача 769: отрезок ВВ₁ – медиана треугольника . Выразите через векторы  и  векторы , ,  и .

Отметим, что векторы  и  неколлинеарны, то есть прямые АВ и АС не параллельны.

В дальнейшем мы узнаем, что любой вектор может быть выражен через два неколлинеарных вектора.

Выразим первый вектор (см. Рис. 1): , т. к. по условию ВВ₁ – медиана треугольника, значит, векторы  и  имеют равные модули, кроме того, очевидно, что они коллинеарны и при этом сонаправлены, значит, данные вектора равны.

Рис. 1

Для выражения следующего вектора воспользуемся правилом параллелограмма для вычитания. Мы помним, что одна из диагоналей параллелограмма, построенного на двух векторах, соответствует сумме этих векторов, а вторая – их разности. Диагональ, соответствующая разности векторов, следует от конца к началу, таким образом, если построить на заданных векторах  и  параллелограмм, то его диагональ  будет соответствовать разности .

Вектор  является противоположным к заданному вектору , отсюда .

Вектор  аналогично вектору  можно представить в виде разности векторов . При выражении следует учесть тот факт, что точка В₁ является серединой отрезка АС, значит, векторы  и  равны, значит, вектор  можно представить как удвоенное произведение вектора .

Перед решением задачи мы сказали, что через заданные два неколлинеарных вектора можно выразить любой вектор. Выразим, например, медиану АА₁ (см. Рис. 2).

Получили систему уравнений, выполним их сложение:

Векторы  в сумме составляют нулевой вектор, так как они коллинеарны и противонаправлены, а модули их равны, таким образом получаем:

Рис. 2

Поделим обе части уравнения на два, получим:

Из данной задачи можно сделать вывод, что если заданы два неколлинеарных вектора, то любой третий вектор на плоскости можно однозначно выразить через эти два вектора. Для этого необходимо применить правило сложения векторов, либо методом треугольника, либо параллелограмма, и правило умножения вектора на число.

 

Свойство средней линии треугольника

 

 

Пример 2: доказать с помощью векторов свойство средней линии треугольника (см. Рис. 3).

 

Задан произвольный треугольник , точки M и N – середины сторон АВ и АС соответственно, MN – средняя линия треугольника. Свойство средней линии: средняя линия параллельна основанию треугольника и равна его половине.

Доказательство данного свойства аналогично для треугольника и трапеции.

Рис. 3

Выразим вектор  двумя способами:

Получили систему уравнений:

          Выполним сложение уравнений системы:

Сумма векторов  – это нулевой вектор, длины этих векторов равны по условию, кроме того, они очевидно коллинеарны и противонаправлены. Аналогично суммой векторов  будет нулевой вектор. Получаем:

Поделим обе части уравнения на два:

Таким образом, мы получили, что средняя линия треугольника равна половине его основания. Кроме того, из равенства вектора  половине вектора  следует, что эти векторы коллинеарны и сонаправлены, а значит, прямые MN и ВС параллельны.

Таким образом, мы доказали свойство средней линии трапеции при помощи векторов.

 

Свойство точки пересечения медиан треугольника

 

 

Пример 3: задан произвольный треугольник  (см. Рис. 4). В нем проведены медианы АА₁, ВВ₁, СС₁. Точка пересечения медиан – М. Вектор  соответствует силе ,  – силе ,  – силе . Доказать, что .

 

Напомним, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Иногда точку пересечения медиан называют центром тяжести треугольника.

Выполним сложение векторов , воспользуемся для этого правилом параллелограмма (см. Рис. 5).

Рис. 4

Получаем:

С другой стороны, , так как BMCD – параллелограмм, диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, А₁ – точка пересечения диагоналей параллелограмма, значит, отрезки МА₁ и А₁D равны, отсюда, по свойству точки пересечения медиан, длины векторов  и  равны, но данные векторы противонаправлены, а значит, их сумма

Рис. 5

равна нулевому вектору. Мы помним, что вектор , а вектор , таким образом, , что и требовалось доказать.

 

Неравенство треугольника

 

 

Пример 4 – задача 773: докажите, что для любых векторов  и  справедливо следующее неравенство:

 

Решение: представим разность векторов в виде суммы: . Также обратим внимание на тот факт, что длины противонаправленных векторов  и  равны: . Таким образом, можно переписать исходное выражение:

Для удобства введем новую переменную:  и перепишем выражение:

. А данное неравенство – неравенство треугольника – было доказано в предыдущем уроке. Отметим, что равенство наблюдается в том случае, когда треугольник вырождается в отрезок.

Итак, мы рассмотрели применение векторов при решении различных задач, доказали некоторые свойства фигур и решили наиболее распространенные типы задач.

 

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М. : Просвещение, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Terver.ru (Источник).
2. Cleverstudents.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Задание 1: заданы два неколлинеарных вектора  и . Постройте векторы: ; ; .
2. Задание 2: заданы два коллинеарных вектора  и . Постройте векторы: ; ; .
3. Задание 3: докажите, что для любого вектора  справедливы равенства: ; .

 

8 класс. Геометрия. Векторы. Применение векторов к решению задач. — Векторы. Повторение теории. Решение задач с применением векторов.

Комментарии преподавателя

 По­вто­ре­ние тео­рии. За­да­чи

На­пом­ним, что су­ще­ству­ют такие фи­зи­че­ские ве­ли­чи­ны, для ко­то­рых важна не толь­ко ве­ли­чи­на, но и на­прав­ле­ние. Такие ве­ли­чи­ны на­зы­ва­ют­ся век­тор­ны­ми, или век­то­ра­ми, и обо­зна­ча­ют­ся они на­прав­лен­ным от­рез­ком, то есть таким от­рез­ком, у ко­то­ро­го от­ме­че­ны на­ча­ло и конец. Вве­де­но было по­ня­тие кол­ли­не­ар­ных век­то­ров, то есть таких, ко­то­рые лежат либо на одной пря­мой, либо на па­рал­лель­ных пря­мых.

Мы рас­смат­ри­ва­ем век­тор, ко­то­рый можно от­ло­жить от любой точки, за­дан­ный век­тор от про­из­воль­но вы­бран­ной точки можно от­ло­жить един­ствен­ным об­ра­зом.

Было вве­де­но по­ня­тие рав­ных век­то­ров – это такие со­на­прав­лен­ные век­то­ры, длины ко­то­рых равны. Со­на­прав­лен­ны­ми на­зы­ва­ют­ся кол­ли­не­ар­ные век­то­ры, на­прав­лен­ные в одну сто­ро­ну.

Были вве­де­ны пра­ви­ла тре­уголь­ни­ка и па­рал­ле­ло­грам­ма – пра­ви­ла сло­же­ния век­то­ров.

За­да­ны два век­то­ра – век­то­ры  и . Най­дем сумму этих двух век­то­ров . Для этого от­ло­жим из неко­то­рой точки А век­тор .  – на­прав­лен­ный от­ре­зок, точка А – его на­ча­ло, а точка В – конец. Из точки В от­ло­жим век­тор . Тогда век­тор  на­зы­ва­ют сум­мой за­дан­ных век­то­ров:  – пра­ви­ло тре­уголь­ни­ка (см. Рис. 1).

Рис. 1

За­да­но два век­то­ра – век­то­ры  и . Най­дем сумму этих двух век­то­ров  по пра­ви­лу па­рал­ле­ло­грам­ма.

От­кла­ды­ва­ем из точки А век­тор  и век­тор  (см. Рис. 2). На от­ло­жен­ных век­то­рах можно по­стро­ить па­рал­ле­ло­грамм. Из точки В от­кла­ды­ва­ем век­тор , век­то­ры  и  равны, сто­ро­ны ВС и

Рис. 2

АВ1 па­рал­лель­ны. Ана­ло­гич­но па­рал­лель­ны и сто­ро­ны АВ и В1С, таким об­ра­зом, мы по­лу­чи­ли па­рал­ле­ло­грамм. АС – диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма. 

Для сло­же­ния несколь­ких век­то­ров при­ме­ня­ют пра­ви­ло мно­го­уголь­ни­ка (см. Рис. 3). Нужно из про­из­воль­ной точки от­ло­жить пер­вый век­тор, из его конца от­ло­жить вто­рой век­тор, из конца вто­ро­го век­то­ра от­ло­жить тре­тий и так далее, когда все век­то­ры от­ло­же­ны – со­еди­нить на­чаль­ную точку с кон­цом по­след­не­го век­то­ра, в итоге по­лу­чит­ся сумма несколь­ких век­то­ров.

Рис. 3

Кроме того, мы рас­смот­ре­ли по­ня­тие об­рат­но­го век­то­ра – век­то­ра, име­ю­ще­го такую же длину, как за­дан­ный, но ему про­ти­во­на­прав­лен­но­го.

При­мер 1 – за­да­ча 747: вы­пи­ши­те пары кол­ли­не­ар­ных со­на­прав­лен­ных век­то­ров, ко­то­рые опре­де­ля­ют­ся сто­ро­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма; ука­жи­те про­ти­во­по­лож­но на­прав­лен­ные век­то­ры;

Задан па­рал­ле­ло­грамм MNPQ (см. Рис. 4). Вы­пи­шем пары кол­ли­не­ар­ных век­то­ров. В первую оче­редь это век­то­ры  и . Они не толь­ко кол­ли­не­ар­ные, но и рав­ные, т.к. они со­на­прав­ле­ны, и длины их равны по свой­ству па­рал­ле­ло­грам­ма (в па­рал­ле­ло­грам­ме про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны равны). Сле­ду­ю­щая пара . Ана­ло­гич­но

Рис. 4

вы­пи­шем кол­ли­не­ар­ные век­то­ры вто­рой пары сто­рон: ; .

Про­ти­во­по­лож­но на­прав­лен­ные век­то­ры: , , , .

При­мер 2 – за­да­ча 756: на­чер­ти­те по­пар­но некол­ли­не­ар­ные век­то­ры ,  и . По­строй­те век­то­ры ;; ;.

Для вы­пол­не­ния дан­но­го за­да­ния можем поль­зо­вать­ся пра­ви­лом тре­уголь­ни­ка или па­рал­ле­ло­грам­ма.

Спо­соб 1 – с по­мо­щью пра­ви­ла тре­уголь­ни­ка (см. Рис. 5):

Рис. 5

Спо­соб 2 – с по­мо­щью пра­ви­ла па­рал­ле­ло­грам­ма (см. Рис. 6):

Рис. 6

Ком­мен­та­рий: мы при­ме­ня­ли в пер­вом спо­со­бе пра­ви­ло тре­уголь­ни­ка – от­кла­ды­ва­ли из про­из­воль­но вы­бран­ной точки А пер­вый век­тор, из его конца – век­тор, про­ти­во­по­лож­ный вто­ро­му, со­еди­ня­ли на­ча­ло пер­во­го с кон­цом вто­ро­го, и таким об­ра­зом по­лу­ча­ли ре­зуль­тат вы­чи­та­ния век­то­ров. Во вто­ром спо­со­бе мы при­ме­ни­ли пра­ви­ло па­рал­ле­ло­грам­ма – по­стро­и­ли на нуж­ных век­то­рах па­рал­ле­ло­грамм и его диа­го­наль – ис­ко­мую раз­ность, помня тот факт, что одна из диа­го­на­лей – это сумма век­то­ров, а вто­рая – раз­ность.

При­мер 3 – за­да­ча 750: до­ка­жи­те, что если век­то­ры  и  равны, то се­ре­ди­ны от­рез­ков AD и BC сов­па­да­ют. До­ка­жи­те об­рат­ное утвер­жде­ние: если се­ре­ди­ны от­рез­ков AD и BC сов­па­да­ют, то век­то­ры  и  равны (см. Рис. 7).

Из ра­вен­ства век­то­ров  и  сле­ду­ет, что пря­мые АВ и CD па­рал­лель­ны, и что от­рез­ки АВ и CD равны. Вспом­ним при­знак па­рал­ле­ло­грам­ма: если у че­ты­рех­уголь­ни­ка пара про­ти­во­по­лож­ных сто­рон лежит на па­рал­лель­ных пря­мых, и их длины равны, то дан­ный че­ты­рех­уголь­ник – па­рал­ле­ло­грамм.

Рис. 7

Таким об­ра­зом, че­ты­рех­уголь­ник ABCD, по­стро­ен­ный на за­дан­ных век­то­рах, – па­рал­ле­ло­грамм. От­рез­ки AD и BC яв­ля­ют­ся диа­го­на­ля­ми па­рал­ле­ло­грам­ма, одно из свойств ко­то­ро­го: диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма пе­ре­се­ка­ют­ся и в точке пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам. Таким об­ра­зом, до­ка­за­но, что се­ре­ди­ны от­рез­ков AD и BC сов­па­да­ют.

До­ка­жем об­рат­ное утвер­жде­ние. Для этого вос­поль­зу­ем­ся дру­гим при­зна­ком па­рал­ле­ло­грам­ма: если в неко­то­ром че­ты­рех­уголь­ни­ке диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся и точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам, то этот че­ты­рех­уголь­ник – па­рал­ле­ло­грамм. От­сю­да че­ты­рех­уголь­ник ABCD – па­рал­ле­ло­грамм, и его про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­лель­ны и равны, таким об­ра­зом, век­то­ры  и  кол­ли­не­ар­ны, оче­вид­но, что они со­на­прав­ле­ны, и мо­ду­ли их равны, от­сю­да век­то­ры  и  равны, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 

При­мер 4 – за­да­ча 760: до­ка­жи­те, что для любых некол­ли­не­ар­ных век­то­ров  и  спра­вед­ли­во нера­вен­ство  (см. Рис. 8)

От­ло­жим из про­из­воль­ной точки А век­тор , по­лу­чим точку В, из нее от­ло­жим некол­ли­не­ар­ный ему век­тор . По пра­ви­лу па­рал­ле­ло­грам­ма или тре­уголь­ни­ка по­лу­чим сумму век­то­ров  – век­тор . Имеем тре­уголь­ник .

Длина суммы век­то­ров со­от­вет­ству­ет длине сто­ро­ны АС тре­уголь­ни­ка. По нера­вен­ству тре­уголь­ни­ка длина сто­ро­ны АС мень­ше, чем сумма длин двух дру­гих сто­рон АВ и ВС, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Рис. 8

При­ме­не­ние век­то­ров к ре­ше­нию задач

На­пом­ним, что мы уже изу­чи­ли неко­то­рые факты о век­то­рах, и те­перь умеем опре­де­лять рав­ные век­то­ры, кол­ли­не­ар­ные век­то­ры, со­на­прав­лен­ные и про­ти­во­по­лож­но на­прав­лен­ные. Также мы умеем скла­ды­вать век­то­ры по пра­ви­лу тре­уголь­ни­ка и па­рал­ле­ло­грам­ма, скла­ды­вать несколь­ко век­то­ров по пра­ви­лу мно­го­уголь­ни­ка, умеем умно­жать век­тор на число. Ре­ше­ние задач с век­то­ра­ми ис­поль­зу­ет все эти зна­ния. Пе­рей­дем к ре­ше­нию неко­то­рых при­ме­ров.

При­мер 1 – за­да­ча 769: от­ре­зок ВВ1 – ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка . Вы­ра­зи­те через век­то­ры  и  век­то­ры , ,  и .

От­ме­тим, что век­то­ры  и  некол­ли­не­ар­ны, то есть пря­мые АВ и АС не па­рал­лель­ны.

В даль­ней­шем мы узна­ем, что любой век­тор может быть вы­ра­жен через два некол­ли­не­ар­ных век­то­ра.

Вы­ра­зим пер­вый век­тор (см. Рис. 1): , т. к. по усло­вию ВВ1 – ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка, зна­чит, век­то­ры  и  имеют рав­ные мо­ду­ли, кроме того, оче­вид­но, что они кол­ли­не­ар­ны и при этом со­на­прав­ле­ны, зна­чит, дан­ные век­то­ра равны.

Рис. 1

Для вы­ра­же­ния сле­ду­ю­ще­го век­то­ра вос­поль­зу­ем­ся пра­ви­лом па­рал­ле­ло­грам­ма для вы­чи­та­ния. Мы пом­ним, что одна из диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма, по­стро­ен­но­го на двух век­то­рах, со­от­вет­ству­ет сумме этих век­то­ров, а вто­рая – их раз­но­сти. Диа­го­наль, со­от­вет­ству­ю­щая раз­но­сти век­то­ров, сле­ду­ет от конца к на­ча­лу, таким об­ра­зом, если по­стро­ить на за­дан­ных век­то­рах  и  па­рал­ле­ло­грамм, то его диа­го­наль  будет со­от­вет­ство­вать раз­но­сти .

Век­тор  яв­ля­ет­ся про­ти­во­по­лож­ным к за­дан­но­му век­то­ру , от­сю­да .

Век­тор  ана­ло­гич­но век­то­ру  можно пред­ста­вить в виде раз­но­сти век­то­ров . При вы­ра­же­нии сле­ду­ет учесть тот факт, что точка В1 яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ка АС, зна­чит, век­то­ры  и  равны, зна­чит, век­тор  можно пред­ста­вить как удво­ен­ное про­из­ве­де­ние век­то­ра .

Перед ре­ше­ни­ем за­да­чи мы ска­за­ли, что через за­дан­ные два некол­ли­не­ар­ных век­то­ра можно вы­ра­зить любой век­тор. Вы­ра­зим, на­при­мер, ме­ди­а­ну АА1 (см. Рис. 2).

По­лу­чи­ли си­сте­му урав­не­ний, вы­пол­ним их сло­же­ние:

Век­то­ры  в сумме со­став­ля­ют ну­ле­вой век­тор, так как они кол­ли­не­ар­ны и про­ти­во­на­прав­ле­ны, а мо­ду­ли их равны, таким об­ра­зом по­лу­ча­ем:

Рис. 2

По­де­лим обе части урав­не­ния на два, по­лу­чим: 

Из дан­ной за­да­чи можно сде­лать вывод, что если за­да­ны два некол­ли­не­ар­ных век­то­ра, то любой тре­тий век­тор на плос­ко­сти можно од­но­знач­но вы­ра­зить через эти два век­то­ра. Для этого необ­хо­ди­мо при­ме­нить пра­ви­ло сло­же­ния век­то­ров, либо ме­то­дом тре­уголь­ни­ка, либо па­рал­ле­ло­грам­ма, и пра­ви­ло умно­же­ния век­то­ра на число.

При­мер 2: до­ка­зать с по­мо­щью век­то­ров свой­ство сред­ней линии тре­уголь­ни­ка (см. Рис. 3).

Задан про­из­воль­ный тре­уголь­ник , точки M и N – се­ре­ди­ны сто­рон АВ и АС со­от­вет­ствен­но, MN – сред­няя линия тре­уголь­ни­ка. Свой­ство сред­ней линии: сред­няя линия па­рал­лель­на ос­но­ва­нию тре­уголь­ни­ка и равна его по­ло­вине.

До­ка­за­тель­ство дан­но­го свой­ства ана­ло­гич­но для тре­уголь­ни­ка и тра­пе­ции.

Рис. 3

Вы­ра­зим век­тор  двумя спо­со­ба­ми:

По­лу­чи­ли си­сте­му урав­не­ний:

          Вы­пол­ним сло­же­ние урав­не­ний си­сте­мы:

Сумма век­то­ров  – это ну­ле­вой век­тор, длины этих век­то­ров равны по усло­вию, кроме того, они оче­вид­но кол­ли­не­ар­ны и про­ти­во­на­прав­ле­ны. Ана­ло­гич­но сум­мой век­то­ров  будет ну­ле­вой век­тор. По­лу­ча­ем:

По­де­лим обе части урав­не­ния на два:

Таким об­ра­зом, мы по­лу­чи­ли, что сред­няя линия тре­уголь­ни­ка равна по­ло­вине его ос­но­ва­ния. Кроме того, из ра­вен­ства век­то­ра  по­ло­вине век­то­ра  сле­ду­ет, что эти век­то­ры кол­ли­не­ар­ны и со­на­прав­ле­ны, а зна­чит, пря­мые MN и ВС па­рал­лель­ны.

Таким об­ра­зом, мы до­ка­за­ли свой­ство сред­ней линии тра­пе­ции при по­мо­щи век­то­ров.

При­мер 3: задан про­из­воль­ный тре­уголь­ник  (см. Рис. 4). В нем про­ве­де­ны ме­ди­а­ны АА1, ВВ1, СС1. Точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан – М. Век­тор  со­от­вет­ству­ет силе ,  – силе ,  – силе . До­ка­зать, что .

На­пом­ним, что ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке и этой точ­кой де­лят­ся в от­но­ше­нии 2:1, счи­тая от вер­ши­ны.

Ино­гда точку пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан на­зы­ва­ют цен­тром тя­же­сти тре­уголь­ни­ка.

Вы­пол­ним сло­же­ние век­то­ров , вос­поль­зу­ем­ся для этого пра­ви­лом па­рал­ле­ло­грам­ма (см. Рис. 5).

Рис. 4

По­лу­ча­ем: 

С дру­гой сто­ро­ны, , так как BMCD – па­рал­ле­ло­грамм, диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам, А1 – точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма, зна­чит, от­рез­ки МА1 и А1D равны, от­сю­да, по свой­ству точки пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан, длины век­то­ров  и  равны, но дан­ные век­то­ры про­ти­во­на­прав­ле­ны, а зна­чит, их сумма

Рис. 5

равна ну­ле­во­му век­то­ру. Мы пом­ним, что век­тор , а век­тор , таким об­ра­зом, , что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

При­мер 4 – за­да­ча 773: до­ка­жи­те, что для любых век­то­ров  и  спра­вед­ли­во сле­ду­ю­щее нера­вен­ство: 

Ре­ше­ние: пред­ста­вим раз­ность век­то­ров в виде суммы: . Также об­ра­тим вни­ма­ние на тот факт, что длины про­ти­во­на­прав­лен­ных век­то­ров  и  равны: . Таким об­ра­зом, можно пе­ре­пи­сать ис­ход­ное вы­ра­же­ние:

Для удоб­ства вве­дем новую пе­ре­мен­ную:  и пе­ре­пи­шем вы­ра­же­ние:

. А дан­ное нера­вен­ство – нера­вен­ство тре­уголь­ни­ка – было до­ка­за­но в преды­ду­щем уроке. От­ме­тим, что ра­вен­ство на­блю­да­ет­ся в том слу­чае, когда тре­уголь­ник вы­рож­да­ет­ся в от­ре­зок.

Итак, мы вспом­ни­ли все ос­нов­ные опре­де­ле­ния и свой­ства век­то­ров, вспом­ни­ли ос­нов­ные опе­ра­ции над век­то­ра­ми, рас­смот­ре­ли при­ме­не­ние век­то­ров при ре­ше­нии раз­лич­ных задач, до­ка­за­ли неко­то­рые свой­ства фигур и ре­ши­ли наи­бо­лее рас­про­стра­нен­ные типы задач.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/vektory/vektory-povtorenie-teorii-zadachi

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/vektory/primenenie-vektorov-k-resheniyu-zadach

http://metodbook.ru/index.php/matematika/9-testy-po-geometrii-9-klass/8-itogovyj-test-po-teme-vektory-variant-1.html

http://metodbook.ru/index.php/matematika/9-testy-po-geometrii-9-klass/9-itogovyj-test-po-teme-vektory-variant-2. html

http://uslide.ru/images/22/28455/960/img5.jpg

http://www.studfiles.ru/html/2706/538/html_OqWQ3sDQeV.5bGa/htmlconvd-WBhq8w_html_73af1ab4.png

http://uchkollektor39.ru/uploads/images/items/29cc1d8d90989d9f0e3df70c3d95a9ee.jpg

http://rushkolnik.ru/tw_files2/urls_3/891/d-890061/890061_html_m5ff065f.jpg

http://cs1-48v4.vk-cdn.net/p24/3551abddfac0c8.mp3?extra=amJxaBk9gfTT0lPmsOEwb8Rn_T2twbNJh2OUazYT-T9cSSu4_1787ibMzOu6ytv1rZKrpdEq7XnWZN1f-bjAuKyWIFf7mzw

http://matssir.ucoz.ru/_ld/0/33_G8p84-85.pptx

http://nsportal.ru/sites/default/files/2014/05/11/vektory._dokazatelstvo.pptx

http://v.5klass.net/zip/b66d124d0243f848a0bf454b75404034.zip

Решение задач с векторами

Горячая математика

Мы можем использовать векторы для решения многих задач, связанных с физическими величинами, такими как скорость, скорость, вес, работа и так далее.

Скорость:

Скорость движущегося объекта моделируется вектором, направление которого является направлением движения, а величина — скоростью.

Пример :

Мяч брошен с начальной скоростью 70 футов в секунду, под углом 35 ° с горизонталью. Найдите вертикальную и горизонтальную составляющие скорости.

Позволять в представить скорость и использовать данную информацию, чтобы написать в в форме единичного вектора:

в знак равно 70 ( потому что ( 35 ° ) ) я + 70 ( грех ( 35 ° ) ) Дж

Упрощая скаляры, мы получаем:

в ≈ 57,34 я + 40.15 Дж

Поскольку скаляры являются горизонтальной и вертикальной компонентами в ,

Следовательно, горизонтальная составляющая 57,34 футов в секунду, а вертикальная составляющая 40. 15 футов в секунду.

Сила:

Сила также представлена ​​вектором. Если на объект действуют несколько сил, результирующая сила, испытываемая объектом, представляет собой векторную сумму этих сил.

Пример :

Две силы Ф 1 а также Ф 2 с величинами 20 а также 30 фунт соответственно действуют на объект в точке п как показано. Найдите результирующие силы, действующие на п .

Сначала мы пишем Ф 1 а также Ф 2 в виде компонентов:

в ≈ 57,34 я + 40.15 Дж

Упрощая скаляры, мы получаем:

Ф 1 знак равно ( 20 потому что ( 45 ° ) ) я + ( 20 грех ( 45 ° ) ) Дж знак равно 20 ( 2 2 ) я + 20 ( 2 2 ) Дж знак равно 10 2 я + 10 2 Дж Ф 2 знак равно ( 30 потому что ( 150 ° ) ) я + ( 30 грех ( 150 ° ) ) Дж знак равно 30 ( − 3 2 ) я + 30 ( 1 2 ) Дж знак равно − 15 3 я + 15 Дж

Итак, результирующая сила Ф является

Ф знак равно Ф 1 + Ф 2 знак равно ( 10 2 я + 10 2 Дж ) + ( − 15 3 я + 15 Дж ) знак равно ( 10 2 − 15 3 ) я + ( 10 2 + 15 ) Дж ≈ − 12 я + 29Дж

Работа:

Работа Вт сделано силой Ф при движении по вектору Д является Вт знак равно Ф ⋅ Д .

Пример :

Сила задается вектором Ф знак равно 〈 2 , 3 〉 и перемещает объект из точки ( 1 , 3 ) к точке ( 5 , 9) . Найдите проделанную работу.

Сначала мы находим Displacement.

Вектор смещения

Д знак равно 〈 5 − 1 , 9 − 3 〉 знак равно 〈 4 , 6 〉 .

По формуле совершенная работа равна

Вт знак равно Ф ⋅ Д знак равно 〈 2 , 3 〉 ⋅ 〈 4 , 6 〉 знак равно 26

Если единицей силы являются фунты, а расстояние измеряется в футах, то выполненная работа равна 26 фут-фунт

Как решать задачи кинематики: руководство по векторам

Эта статья является третьей главой в серии о том, как понимать задачи кинематики и подходить к ним. В первой главе рассматривались положение, скорость и ускорение. Во второй главе рассматривалось решение кинематики в одном измерении. Теперь мы собираемся сделать небольшой экскурс в векторную область, чтобы быть готовыми подойти к кинематике в двух (и даже трех) измерениях.

Что такое вектор?

Есть много способов думать о векторах, но основное определение — это величина (число) и направление. Так что «четыре метра на восток» — это просто вектор в словесной форме. Вы также можете думать о векторе как о стрелке; он указывает определенное расстояние в определенном направлении.

Все это векторы, причем красивые векторы.

Добавление векторов

Добавление векторов работает не так, как добавление чисел. Мы не можем просто суммировать величины (это распространенная ошибка), потому что это не учитывает направление. В конце концов, если вы пройдете 8 метров на восток, а затем 5 метров на запад, вы не окажетесь в 13 метрах от того места, откуда начали; вам будет всего 3 года (мы видели вариант этой идеи в главе 1, посвященной перемещению)

При сложении векторов вместо суммирования величин мы наклеиваем один на конец другого и смотрим, где они окажутся.

Итак, если я хочу добавить этот вектор к этому вектору

, я могу соединить их вместе, чтобы получить:

Мы называем красный вектор «результирующим», потому что он является результирующим. от сложения двух векторов вместе

Компоненты вектора

Чтобы прояснить векторы, мы часто записываем их как сумму их «компонентов». Каждый компонент сообщает, как далеко заходят векторы в определенном направлении. Обычно согласованный набор направлений составляет x̂,   ŷ , ẑ . В книгах по физике эти направления иногда называют х , х , k̂ , потому что они глупы (на самом деле это делается для упрощения векторных полей, когда дело доходит до продвинутого уровня).

Почему это работает? Добавление вектора! Поскольку векторы складываются, мы можем думать о каждом векторе как о сумме 2 (в 2D) или 3 (в 3D) векторов, которые движутся только в направлениях x, y или z.

Запись компонентов 9означает единичный вектор, который представляет собой просто вектор, указывающий в определенном направлении (например, x̂   точек в направлении x) и имеющий длину, равную единице. Умножая этот единичный вектор на число, вы создаете более длинный вектор в том же направлении.

Нахождение компонентов вектора

Допустим, вы получили вектор с определенной величиной и углом от горизонтали (также известный как ось x) и хотите найти компоненты векторов. Это очень распространено в кинематике и за ее пределами, но как вы это делаете? Ответ тот же, что и у любой успешной фолк-рок группы: правильное использование треугольников.

Помните, мы разделили наш вектор на компоненты? Вы могли заметить, что компоненты и исходный вектор образуют прямоугольный треугольник. Это связано с тем, что оси x и y по определению всегда расположены под углом 90° друг к другу. Вы также можете помнить из геометрии, что если у нас есть угол и гипотенуза прямоугольного треугольника, то мы можем найти другие стороны (называемые катетами) с помощью SOH-CAH-TOA.

Краткий обзор SOH-CAH-TOA

Вы можете найти более подробные обзоры в Интернете, но основная идея SOH-CAH-TOA заключается в том, что синус угла равен стороне, противоположной углу деленная на гипотенузу (таким образом, S=O/H или SOH). Точно так же косинус равен прилежащей стороне относительно гипотенузы (C=A/H), а тангенс равен противолежащей стороне прилежащей стороны (T=O/A). Используя это, легко доказать, что вертикальный катет, направление y, нашего составного треугольника будет гипотенузой*sin(угол). Или, поскольку гипотенуза — это исходный вектор, векторная величина*sin(угол). Точно так же направление x будет просто векторной величиной * cos (угол).

Пример: Нахождение компонентов вектора

У меня есть вектор величиной 5 метров, который направлен вверх и вправо под углом 37 градусов к оси x. Я хочу знать форму компонента. Давайте проработаем это.

Шаги:

1. Нарисуйте вектор.
   
2. Добавьте треугольные ножки.
   
3. Математика

   Y-направление = величина * sin(угол) = 5 метров * sin (37) = 3 метра

   x-направление = величина * cos(угол) = 5 метров * cos (37) = 4 метра

4. Подставьте решения в определение вектора

   Вектор = 3x̂ + 4 х

   Тада, просто как π!

Определение величины и направления с помощью компонентов

Иногда вам могут быть заданы компоненты вектора, и вы хотите найти общую величину и угловое направление этого вектора. И снова на помощь приходят треугольники.

Величину вектора легко вычислить по теореме Пифагора. Из теоремы Пифагора a ² +b ² =c ² , поэтому, когда мы применим это к векторам: компонент) ² .

Чтобы найти угловое направление вектора, мы можем использовать арктангенс. Поскольку тангенс равен стороне, противоположной прилежащей стороне (T=O/A):

tan(угол вектора)=(y-компонента)/(x-компонента)

Затем используйте функцию invtan на вашем калькуляторе, чтобы найти обратную сторону этого тангенса, которая дает вам угол.

Добавление векторов с компонентами

Лучшее в векторных компонентах то, что они упрощают добавление векторов. Пока мы сохраняем компоненты x, y и z разными, мы можем просто добавлять компоненты. Таким образом, если V ₁ = (x ₁ , y ₁ , z ₁ ) и V ₂ = (x ₂ , y ₂ , z ₂ , z0253 2 ), то вектор их суммы равен V ₁ +V ₂ =(x ₁ +x ₂ , y ₁ +y 2 _{2 905 1} 2 , 3 z 90 2 ). Когда у вас есть этот новый вектор, вы можете использовать предыдущий раздел, чтобы найти величину и угловое направление.

Заключение

Теперь мы знаем, что такое вектор, как разделить его на компоненты, как сложить эти компоненты и как рекомбинировать его по величине и углу. В нашем следующем блоге мы обсудим, как использовать эти векторы для кинематики в двух измерениях.

Решения и примеры для физики

Векторы могут использоваться для решения множества задач, которые включают в себя такие величины, как ускорение, импульс, сила, скорость и перемещение.

В чем разница между скалярами и векторами?

Скаляр — это величина, которая имеет нет направление . Это просто шкала таких величин, как килограммы или сантиметры. Например, ваш вес и рост выражаются через количество и единицу измерения, но не имеют направления. Примерами скалярных величин являются скорость, масса, температура, энергия, длина и расстояние.

Скаляр — это величина, которая имеет нет направление . Это просто шкала таких величин, как килограммы или сантиметры. Например, ваш вес и рост выражаются через количество и единицу измерения, но не имеют направления. Примерами скалярных величин являются скорость, масса, температура, энергия, длина и расстояние.

Рис. 1. Вес – это скалярная величина. Источник: oatsy40, Flickr (CC BY 2.0).

Вектор , , с другой стороны, имеет величина и направление . Импульс объекта, например, равен его массе на ускорение и имеет направление, которое делает его векторной единицей. Примерами векторных величин являются скорость, ускорение, импульс, смещение и сила, включая вес.

Рис. 2. Ускорение является векторной величиной. Источник: Никос Кутулас, Flickr (CC BY 2.0).

Разложение векторов на компоненты

Разложение векторов на компоненты помогает нам, когда мы имеем дело с сложные векторные задачи . Чтобы разложить вектор на его компоненты, нам нужно измерить горизонтальную и вертикальную длину вектора и указать эти длины как две отдельные величины. Давайте посмотрим на пример ниже, чтобы лучше понять концепцию.

Найдите компоненты вектора, показанного ниже.

Чтобы найти компоненты этого вектора, нам нужно начать с определения его горизонтальной и вертикальной длины.

Как видите, длина по горизонтали равна 12, а по вертикали — 10. Когда мы разлагаем вектор на его компоненты, мы всегда получаем одно значение по горизонтали и одно по вертикали. Длины, которые мы измерили, являются величинами компонентов вектора.

Как видите, компонентами этого вектора являются два вектора, горизонтальный и вертикальный, с величинами 12 и 10.

Можем ли мы разложить вектор на его компоненты, если мы не можем измерить его горизонтальная и вертикальная длина? Да, можем, но давайте посмотрим, как это делается.

Рис. 3. Вектор v и его компоненты. Источник: Огулкан Тезкан, StudySmarter.

Если мы знаем угол градиента вектора, мы можем определить величину его горизонтальной и вертикальной составляющих. Для приведенного выше вектора v угол градиента равен a. Затем мы можем определить соотношение между углом и величиной компонентов с помощью тригонометрии.

Определим величину горизонтальной составляющей v _x . Мы знаем, что:

Если мы решим уравнение для v _x , мы получим:

Теперь определим величину вертикальной составляющей v _y . Опять же, мы знаем, что:

Если мы решим уравнение для v _y , мы получим:

Сложение векторов вместе

Сложение двух векторов вместе называется нахождением их равнодействующей. Есть два способа сложения векторов. Первый включает с использованием масштабных диаграмм , а второй использует тригонометрию .

Определение результирующих векторов с помощью масштабных диаграмм

Чтобы найти результирующие векторы с помощью масштабных диаграмм, нам нужно нарисовать масштабную диаграмму векторов, которые мы хотим сложить вместе, соединяя векторы ‘ кончик к хвосту ‘.

Следующий пример иллюстрирует концепцию.

Человек сначала проходит на северо-восток 11,40 м, затем продолжает идти на восток 6,6 м и, наконец, проходит на северо-запад 21,26 м, прежде чем остановиться. Определить полное перемещение человека.

Чтобы определить полное перемещение человека, нам нужно указать длины, которые он прошел, в виде векторов, каждый из которых имеет правильное направление и величину. Назовем его первое движение вектором А, второе — вектором В, а третье — вектором С.

Рисунок 4. Общее перемещение человека. Источник: Огулкан Тезкан, StudySmarter.

Если вы измерите линейкой общее перемещение, то увидите, что оно составляет 23,094 метра в северном направлении, хотя человек прошел 390,26 метра. Давайте докажем это математически, разложив векторы на их компоненты. В этом конкретном примере нам нужны только вертикальные компоненты, поскольку общее смещение является только вертикальным.

Рис. 5. Компоненты вектора. Источник: Огулкан Тезкан, StudySmarter.

Чтобы определить A _y , , мы применяем уравнение для разложения векторов на их компоненты:

Нам не нужно определять компоненты B, так как этот пример не включает вертикальную компоненту . Для определения C _y , мы применяем то же уравнение.

Полное перемещение равно сумме A _y и C _y , которое можно рассчитать следующим образом: другой, мы можем найти равнодействующую с помощью тригонометрии. Давайте снова посмотрим на пример.

Двое друзей толкают коробку. Две силы, которые они прикладывают, перпендикулярны друг другу. Один из друзей прикладывает силу в 3 ньютона (F ₁ ) в восточном направлении, а другой прикладывает силу в 4 ньютона (F ₂ ) в северном направлении. Определите результирующий вектор полной силы, действующей на коробку.

Рис. 6. Две перпендикулярные силы, воздействующие на коробку. Источник: Огулкан Тезкан, StudySmarter.

Две силы, F ₁ и F ₂ , перпендикулярны друг другу, а это означает, что модуль F _{в сумме} равен гипотенузе треугольника, образованного этими векторами.

Задачи векторов — основные выводы

• В физике векторы используются для выражения любой величины, имеющей направление и величину.
• Чтобы разложить вектор на его компоненты, нам нужно измерить горизонтальную и вертикальную длины вектора и выразить их как два отдельных вектора.
• Чтобы сложить векторы вместе, мы можем использовать масштабные диаграммы или тригонометрию.
• Чтобы определить результирующие векторы с помощью масштабных диаграмм, нам нужно соединить векторы «кончик к хвосту».
• Если два вектора перпендикулярны друг другу, мы можем найти равнодействующую, используя теорему Пифагора.

Векторы и наборы задач со снарядами

Калькулятор, версия 2

Вы просматриваете устаревшую версию Калькулятора. Недавно мы переработали и улучшили Калькулятор. Версия 2 уже доступна!  Мы увеличили количество задач более чем в три раза, разбили каждую часть на несколько небольших однотематических наборов задач и использовали генератор случайных чисел для предоставления числовой информации по каждой задаче. Ответы учащихся оцениваются автоматически, а обратная связь осуществляется мгновенно. И мы сохранили такое же обязательство предоставлять помощь через ссылки на существующие ресурсы. В то время как БЕСПЛАТНАЯ версия делает все вышеперечисленное, учителя с подпиской на Task Tracker могут пойти еще дальше. Они могут модифицировать наши готовые наборы задач, писать свои собственные задачи с помощью нашего простого в использовании Конструктора задач и использовать планшет для разработки собственной программы, выражающей их акцент на использовании математики в физике.

Вернитесь на главную страницу, чтобы перейти к Версии 2. Узнайте больше о Версии 2. Или посетите Магазин, чтобы совершить покупку в системе отслеживания задач.

Векторы и снаряды: набор задач

Задача 1:

Тренер Суини проходит 26 ярдов на север вдоль боковой линии, делает паузу и проходит 12 ярдов назад на юг.

а. Определить расстояние, на которое проехал Coach.
б. Определить результирующее перемещение кареты.

• Аудиоуправляемое решение

Задача 2:

а. Роза Лодка плывет вверх по течению со скоростью 1,25 м/с относительно воды в реке, скорость течения которой 0,50 м/с относительно берегов реки. Какова результирующая скорость лодки Розы (относительно берегов)?
б. Роза Лодка плывет вниз по течению со скоростью 1,25 м/с относительно воды в реке, которая течет со скоростью 0,50 м/с относительно берегов реки. Какова результирующая скорость лодки Розы (относительно берегов)?

• Аудиогид

Задача 3:

Скорость взлета военного самолета с авианосца составляет примерно 170 миль/ч относительно воздуха. Они приобретают эту скорость за счет комбинации катапультной системы, имеющейся на авианосце, и реактивной двигательной установки самолета. Распространенная стратегия — направить авианосец и самолет против ветра. Если самолет взлетает с авианосца, который движется со скоростью 40 миль в час при встречном ветре со скоростью 20 миль в час, то какую скорость относительно палубы авианосца он должен иметь для взлета?

• Аудиогид

Задача 4:

Клэр де Иль делает покупки. Она проходит 16 м до конца прохода. Затем она поворачивает направо и проходит 21 метр по последнему проходу. Определите величину результирующего смещения Клэр.

• Аудиогид

Задача 5:

Джим Назиум идет с обеда на урок физкультуры. Он выходит из столовой и проходит 43 м на запад. Затем он поворачивается и проходит 72 метра на север по коридору, ведущему в раздевалку. Определите величину и направление результирующего смещения Джима.

• Аудиогид

Задача 6:

По пути из дома в школу Карла едет по трем улицам после выезда с подъездной дорожки. Она проезжает 1,85 мили на юг, 2,43 мили на восток и 0,35 мили на север. Определите величину результирующего смещения Карлы.

• Аудиогид

Задача 7:

Шейла — капитан университетской команды по кроссу. Во вторник во время внеклассной тренировки она вела команду на следующий забег из школы в ближайший парк, где они встретились с тренером для встречи: 0,68 мили, север; 1,09миль на восток; 1,56 мили к северу; 0,32 мили, запад. Определите величину и направление результирующего смещения команды.

• Аудиогид

Задача 8:

Во время лабораторной работы по сложению векторов Мак и Тош начинают у дверей класса и проходят 40,0 м на север, 32,5 м на восток, 15,5 м на юг, 68,5 м на запад и 2,5 м на север. Определить величину и направление равнодействующего смещения Мака и Тоша.

• Аудиогид

Задача 9:

Эйвери, защитник футбольной команды Университета Юга, сделал самый потрясающий пас в игре «Возвращение домой» против соперника из города Норта. Он бросил передачу из точного центра поля в угол зачетной зоны, где Джамаал поймал ее на победный счет. Если футбольное поле имеет ширину 160 футов (от боковой линии до боковой линии) и расстояние от центра поля до задней части зачетной зоны составляет 60 ярдов, то какое расстояние пролетел мяч от рук Эйвери до рук Джамаала.

• Аудиогид

Задача 10:

Рассмотрим карту Соединенных Штатов ниже. Учитывая масштаб, что 1 см = 340 км, можно использовать транспортир и линейку для определения величины и направления для следующих поездок. Все направления выражены против часовой стрелки с востока. Для каждого рейса используйте функции синуса, косинуса и тангенса, чтобы определить горизонтальную и вертикальную составляющие смещения. Обязательно укажите E, W, N или S в качестве направления для каждого компонента.

Поездка	Рабочий объем	Гориз. Деталь	Вертик. Деталь
Чикаго — Денвер	1430 км, 187°
Рино в Майами	4030 км, 341°
Сиэтл — Вашингтон	3480 км, 344°
Хьюстон — Солт-Лейк-Сити	2040 км, 143°

• Решение с аудиогидом

Проблема 11:

Пилот самолета, летящего прямо на север, получает от диспетчера полетов уведомление о том, что второй самолет летит на юг примерно на той же высоте и находится в том же районе. Пилоту сообщают, что самолет, летящий на юг, в настоящее время находится на расстоянии 13,5 км, 102° от его собственного самолета.

а. Сколько километров на север второй самолет?
б. Сколько километров западнее второго самолета?
г. Если оба самолета имеют воздушную скорость 290. км/ч, то сколько времени пройдет, прежде чем самолеты окажутся рядом ?

• Аудиогид

Задача 12:

Спелеолог (человек, исследующий пещеры) определяет, что вход в пещеру находится в 349 м, 253° от его текущего положения. Как далеко на юг и как далеко на запад от ее нынешнего положения находится вход в пещеру?

• Аудиогид

Задача 13:

Эйвери, квотербек Саута, делает пас на 36,5 ярда на 21° з. д. от южной широты, прежде чем его ловит Митчелл ловлей в прыжке. Если предположить, что поле проходит с севера на юг и что Эйвери сделал пас с расстояния 7,2 ярда за линией схватки, сколько ярдов было выиграно в игре?

• Аудиогид

Задача 14:

Миа Андер выходит из парадной двери своего дома и идет по пути, показанному на схеме справа (не в масштабе). Шаг состоит из четырех шагов со следующими величинами:

A = 88 м
B = 272 м
C = 136 м
D = 183 м

Определите величину и направление результирующего смещения Мии.

• Аудиогид

Задача 15:

Дора исследует пещеру. Она начинается у входа и совершает следующие прямолинейные движения:

68 м, юг
112 м, 25° к северу от запада (155° против часовой стрелки)
34 м, юг CCW)

Определите положение Доры относительно входа в пещеру. То есть, как далеко и в каком направлении находится Дора от входа в пещеру?

• Аудиогид

Задача 16:

Тейлор и Дрю заканчивают последний урок за день до весенних каникул и решают спонтанно отправиться в путешествие. Их путешествие включает в себя следующие перемещения:

42 мили, 67° к северу от запада (113° против часовой стрелки)
61 миля, запад
23 мили, 17° к западу от юга (253° против часовой стрелки)

Машина Тейлора ломается после последней поездки. этап поездки. Как далеко и в каком направлении находятся Тейлор и Дрю от кампуса?

• Аудиогид

Задача 17:

В метеосводке указано, что в 12 км к югу и в 23 км к западу от вашего города был замечен торнадо. Сообщается, что шторм движется прямо к вашему городу со скоростью 82 км/ч.

а. На каком расстоянии от вашего города был замечен торнадо?
б. Приблизительно сколько времени (в минутах и ​​часах) пройдет, прежде чем сильный шторм обрушится на ваш город?

• Решение для аудиогида

Задача 18:

Самолет отправляется в Канаду из пункта назначения, расположенного в 450 км к югу от границы. Самолет летит по прямолинейному пути со скоростью 189 миль в час в направлении 20,5 градусов к западу от севера. Определить количество минут до пересечения границы самолетом. Предположим, что граница проходит прямо с востока на запад в районе, где происходит полет.

• Аудиогид

Задача 19:

Гленда и Гарольд пытаются пересечь реку на каяке. Река течет прямо на восток на отметке 1,9РС. Гленда и Гарольд идут на каяке прямо на север и гребут со скоростью 2,4 м/с (относительно воды). Ширина реки в этом месте 38 м.

а. Определите результирующую скорость лодки — как величину, так и направление.
б. Определите время, когда Гленда и Гарольд переправятся через реку.
г. Как далеко по течению будет лодка, когда Гленда и Гарольд достигнут противоположного берега?

• Аудиогид

Задача 20:

Тай Ридлегс садится в байдарку и направляется на запад прямо через реку. Река течет на юг со скоростью 48 см/с. Тай гребет на лодке со скоростью 98 см/с.

а. Определите результирующую скорость лодки — как величину, так и направление.
б. Если ширина реки в этом месте 22 м, то сколько времени потребуется Таю, чтобы пересечь реку? Предположим, что Тай держит свою байдарку на запад.
г. Как далеко вниз по течению будет Тай, когда он достигнет другого берега реки?

• Аудиогид

Задача 21:

Дилан и София гуляют по озеру Блюберд в совершенно безветренный день. Дилан, полный решимости произвести впечатление на Софию своей способностью прыгать через камни, берет самый плоский камень, который только может найти, и запускает его из пистолета с кромки воды. Скала приобретает полностью горизонтальную скорость 26 м/с с высоты 0,45 м над поверхностью воды.

а. Сколько времени потребуется камню, чтобы упасть на поверхность воды?

б. На какое расстояние от кромки воды пролетит камень, прежде чем совершит первый прыжок?

• Аудиогид

Задача 22:

Пытаясь создать всплеск, похожий на пушечное ядро, восьмилетний Мэтью сбегает с края доски хайдайвера со скоростью 4,6 м/с и падает с высоты 2,3 м в воду.

а. Определите время, за которое Мэтью упадет с высоты 2,3 м в воду.
б. На каком расстоянии по горизонтали от края доски Мэтью погрузится в воду?
г. С какой скоростью Мэтью входит в воду?

• Аудиогид

Задача 23:

Има Пеоде хочет сбросить 2,8-килограммовую тыкву горизонтально с крыши школы, чтобы попасть в машину мистера Х. Автомобиль припаркован на расстоянии 13,4 м от основания здания ниже точки, где стоит Има. Крыша здания имеет высоту 10,4 м. Предполагая отсутствие сопротивления воздуха, с какой горизонтальной скоростью Има должен бросить тыкву, чтобы попасть в машину мистера Х.

• Аудиогид

Задача 24:

Водолазы Ла-Кебрада устраивают ежедневные развлечения для толпы в Акапулько, Мексика. Группа профессиональных хайдайверов ныряет со скалы Ла-Кебрада и падает с высоты 45,1 м (148 футов) в воду. Дайверы со скалы должны рассчитать время своего погружения не просто как проявление храбрости, а так, чтобы они достигли воды, когда прибудет гребень набегающей волны. Определите скорость, с которой Педро должен сбежать с обрыва, чтобы приземлиться в воду на расстоянии 17,8 м по горизонтали от края обрыва.

• Аудиогид

Задача 25:

Самолет экстренной помощи сбрасывает пакет помощи группе медицинских работников, работающих в агентстве по оказанию помощи в африканской деревне. Пакет предназначен для приземления в небольшом озере, надувания прикрепленного плота при ударе и, наконец, всплытия на поверхность плотом вниз. Самолет будет двигаться горизонтально со скоростью 59,1 м/с. Посылка будет сброшена с горизонтального расстояния 521 м от намеченной цели. На какой высоте над водоемом должен лететь самолет, чтобы успешно совершить этот подвиг?

• Аудиогид

Задача 26:

Ресторан Choo Choo в ДесПлейнсе, штат Иллинойс, представляет собой закусочную в стиле 50-х годов, печально известную тем, что еду из кухни в столовую доставляют с помощью модели поезда O-масштаба. Обеденные корзины, наполненные хот-догами, гамбургерами, картофелем фри и т. п., устанавливаются на крыши вагонов-платформ и транспортируются на столешницы. На пятый день рождения Мэтью картофель фри скатился с вершины кучи на крутом повороте, двигаясь со скоростью 1,25 м/с, и упал на пол.

а. Определите время, за которое картофель фри упадет с высоты 113 см от вершины кучи на пол.
б. Определить горизонтальное смещение мальков от края следа.
г. Определите скорость картофеля фри при ударе об пол.

• Аудиогид

Задача 27:

Аарон Эгин и Бад Дерфенгер — партнеры по лаборатории, которые в прошлом году заработали репутацию за то, что разбивали мензурки, проливали кислоту, смешивали неправильные химические вещества, разбивали термометры и случайно поджигали волосы Софии с помощью горелки Бунзена. И теперь, к радости класса физики, мистер Х. совершил ошибку, снова позволив им стать партнерами. В недавней лаборатории, в которой использовались дорогие гусеницы и тележки, Аарон и Бад оправдали свою репутацию. Несмотря на строгие предупреждения г-на Х., они позволили тележке скатиться с рельсов, а затем со стола со скоростью 208 см/с. Падение тележки на пол на горизонтальном расстоянии 96,3 см от края стола заставили весь класс замолчать. Используйте эту информацию, чтобы определить высоту лабораторных столов в лаборатории мистера Х.

• Аудиогид

Задача 28:

Шэрон Стеди и Эл Вейскачон выиграли недавний конкурс Юга по бросанию яиц, который проводился во время недели возвращения домой. В своем победном броске Шэрон подбросила яйцо исподтишка, выпустив его со скоростью 8,06 м/с под углом 30° к горизонтали. К удовольствию публики, Эл поймал яйцо на той же высоте, что и бросок, даже не повредив скорлупу.

а. Рассчитайте горизонтальную и вертикальную составляющие начальной скорости.
б. Рассчитайте время, за которое яйцо достигнет середины траектории.
г. Рассчитайте общее время, в течение которого яйцо находится в воздухе.
д. Вычислите расстояние по горизонтали, пройденное яйцом от Шарона до Эла.
эл. Рассчитайте высоту яйца (относительно точки выпуска), когда оно находилось на пике своей траектории.

• Аудиогид

Задача 29:

Знаменитый китайский прыгун с трамплина Ли Пин Фар сходит с трапа с начальной скоростью 34,9 м/с под углом 35°.

а. Определить общее время полета.
б. Определить горизонтальное смещение.
г. Определите высоту пика (относительно начальной высоты). Предположим, что Ли приземляется на той же высоте, что и вершина пандуса, и что Ли является снарядом.

• Аудиогид

Задача 30:

Теннисистка вытягивается, чтобы достать мяч, едва находящийся над землей, и успешно перебрасывает его через голову соперника. Мяч брошен со скоростью 18,7 м/с под углом 65,1 градуса.

а. Определить время, в течение которого мяч находится в воздухе.
б. Определите максимальную высоту, на которую поднимается мяч.
г. Определите расстояние, которое мяч проходит по горизонтали до приземления.

• Аудиогид

Задача 31:

В канун Нового 2007 года Робби Мэддисон установил мировой рекорд по самому длинному прыжку на мотоцикле, преодолев 98,3 м по воздуху от рампы к рампе. (С тех пор рекорд был несколько раз побит самим Мэддисионом.) Предполагая, что угол запуска составляет 45 °, незначительное сопротивление воздуха и место приземления на той же высоте, что и высота запуска, определите скорость, с которой Мэддисон покинул рампу.

• Аудиогид

Задача 32:

Г-н Удади берет троих своих детей в парк для летнего отдыха. Олив Удади любит качаться и прыгать. В одном прыжке Олив покидает мах под углом 30° к горизонту со скоростью 2,2 м/с. Она приземляется на землю на горизонтальном расстоянии 1,09 м от места запуска.

а. Определите горизонтальную и вертикальную составляющие начальной скорости.
б. Определите время, в течение которого Олив находится в воздухе.
г. Определите высоту по вертикали (относительно места приземления), с которой Олив прыгает с качелей.

• Аудиогид

Задача 33:

В явном стремлении заслужить участие в шоу Уничтожено за секунды Калеб пытается совершить велосипедный маневр, в котором он прыгает между двумя пандусами, приподнятые края которых расположены на расстоянии 1,8 метра друг от друга. Пандусы расположены под углом 35° и расположены на одной высоте. Определите скорость (в м/с и милях/ч), которую должен развить Калеб, чтобы выполнить этот трюк. (Дано: 1,00 м/с = 2,24 мили/ч)

• Аудиогид

Задача 34:

Альберт — лучший игрок южной футбольной команды. Его лучшее время зависания в прошлом сезоне было для плоскодонки, которую он нанес под углом 74° над горизонталью. Время зависания плоскодонки составило 6,2 секунды.

а. Определить скорость, с которой мяч был отброшен.
б. Определите горизонтальное расстояние, пройденное мячом.

• Аудиогид

Вернуться к обзору

Просмотреть аудиоуправляемое решение проблемы:

1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34

13 задач и решение для практики Вектор в физике

Мы представляем 13 задач с решениями, которые помогут вам изучить вектор в физике. Мы также предоставляем изображения, которые помогут вам лучше понять проблемы и решения. Удачной учебы.

Baca juga Vector Fisika: Operasi penjumlahan, Pengurangan, notasi \hat{i} dan \hat{j}, dan penguraian

1. Вектор смещения

Сдвиньте изображение выше

Сабрина прошла 75 метров на восток . Затем она повернулась на 30 градусов влево и прошла 25 метров. Определите величину вектора смещения Сабрины.

Решение:

Сдвиньте изображение выше, чтобы увидеть результирующий вектор. Результирующий расчет величины вектора выглядит следующим образом. 9{\circ}}}\\ =&97.46 \;\text{метр} \end{aligned}

Исходя из приведенных выше расчетов, водоизмещение «Сабрины» составляет 97,46 метра.

2. Найдите результирующую величину \overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}

Сдвиньте изображение выше

«Сатуан» — это слово на индонезийском языке. С английского переводится как «единица».

Посмотрите на изображение выше. \overrightarrow{A} имеет величину 45 единиц. В то же время \overrightarrow{B} составляет 30 единиц. Определите величину \overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}. 9{\circ}}}\\ \приблизительно&\;57\;\text{единица измерения} \end{aligned}

Итак, величина \overrightarrow{A}-\overrightarrow{B} составляет около 57 единиц. {\circ} \end{выровнено} 9{\circ} и \left | R \right |= 40.98\;\text{единицы}

4. Найдите x-компоненту и y-компоненту вектора и запишите их, используя обозначения \hat{i} и \hat{j}

Посмотрите на предыдущую задачу и найдите x-компоненту и y-компоненту \overrightarrow{R}. Затем напишите \overrightarrow{R} в нотации \hat{i} и \hat{j}.

Решение:

Мы можем найти y-компоненту

\begin{aligned} R_y=&40,98 \times \cos(66,53)\\ =&16.32 \;\text{единицы} \end{выровнено}

Затем найдите x-компоненту

\begin{align} R_x=&40,98 \times \sin(66,53)\\ =&37.59 \;\text{единицы}\\ \end{aligned}

Обратите внимание, что \overrightarrow{R} указывает влево и вниз, что означает, что единичные векторы будут (-\hat{i}) и (-\hat{j}). Мы можем записать вектор \overrightarrow{R} следующим образом.

\begin{выровнено} \overrightarrow{R}=&R_x(-\шляпа{i})+R_x(-\шляпа{j})\\ =&-37,59\;\шляпа{i}+-16,32\;\шляпа{j} \end{aligned}

Итак, имеем R_x=37,59ед. , R_y=16,32 ед., и пишем \overrightarrow{R}=-37,59 \;\hat{i}+R_x-16,32\;\hat{j}

5. Результат трех векторов

• \ стрелка вправо{A}=4\шляпа{i}+5\шляпа{j}
• \overrightarrow{B}=9\шляпа{i}-7\шляпа{j}
• \overrightarrow{C}=-3\шляпа{i}+2\шляпа{j}

Найдите результат \overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}. Определить результирующую величину.

Решение:

Во-первых, мы работаем с использованием обозначений \hat{i} и \hat{j}. 92}\\ =&16.12\; \text{единицы} \end{aligned}

По нашим расчетам результирующая длина \overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C} составляет 16,12 единиц.

На изображении ниже показан весь вектор, которым мы оперируем.

6. Нахождение углов вектора

Найдите угол результирующего вектора из предыдущей задачи.

Решение:

Сначала мы вычисляем угол между отрицательной осью x и \overrightarrow{R} 9{\ circ} от положительной оси x.

7. Нахождение углов между двумя векторами одинаковой величины

Известно, что векторы \overrightarrow{A} и \overrightarrow{B} имеют одинаковую величину, и это L. Пусть R_1 равнодействующая \overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}, а R_2 является результатом \overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}. Если \frac{R_1}{R_2}=\sqrt{3}, определите угол между \overrightarrow{A} и \overrightarrow{B}.

9{\circ}

Кнопка «Поделиться»

8. Результат двух векторов в квадрате

Посмотрите на рисунок выше. Определите результирующий вектор \overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}.

Решение:

Еще раз взгляните на картинку. Голова \overrightarrow{A} находится в центре правой стороны квадрата. Это означает, что \overrightarrow{A} имеет y-компоненту длины 6 единиц и x-компоненту 12 единиц. Мы можем записать вектор A, используя обозначения \hat{i} и \hat{j}. 92}\\ \примерно&\;25,46\; \text{units}\end{aligned}

Таким образом, результирующий вектор имеет длину 25,46 единиц.

9. Вычислите равнодействующую 3-х векторов, 2 из которых симметричны

Результирующий вектор

Сдвиньте изображение выше

Посмотрите на картинку выше. Есть 3 вектора одинаковой длины, равной 30 единицам. Определите результирующую величину сложения этих трех векторов.

Решение:

Более подробно рассмотрите \overrightarrow{A} и \overrightarrow{B}. Y-компоненты двух векторов имеют одинаковую величину, но противоположные направления, поэтому они компенсируют друг друга. Таким образом, результат \overrightarrow{A}+\overrightarrow{B} представляет собой просто сложение x-компоненты двух векторов и точек влево. 92}\\ =&36,.47\; \text{единицы} \end{aligned}

Основываясь на проведенных нами вычислениях, результирующая величина сложения трех векторов составляет 36,35 единицы.

10. Результирующая кулоновских сил

На точечный заряд действуют 3 разные силы, а именно \overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2} и \overrightarrow{F_3}, как показано на рисунке выше. Определить результирующую силу, действующую на точечный заряд.

Baca juga : Гая Кулон (Листрик) и Соал Пембахасан Гая Кулон

Решение:

Мы описываем все векторы на x-компоненту и y-компоненту. Вы можете увидеть расчет в таблице ниже.

После описания F_1, F_2 и F_3 мы складываем эти компоненты, чтобы получить компоненты x и y результирующего вектора. Расчеты приведены в последней строке таблицы выше. При добавлении компонентов будьте осторожны со знаком (-)(+). Помните, что отрицательное значение означает, что сила направлена ​​влево/вниз, а положительное означает, что сила направлена ​​вправо/вверх. 9{\ круг}. Затем мяч совершает параболическое движение и достигает точки C за 0,328 секунды. Найдите расстояние (расстояния) между точками B и C.

Решение:

Параболическое движение представляет собой комбинацию двух движений одновременно, а именно движения с постоянной скоростью и движения с постоянным ускорением.

В этом случае, когда мяч движется, свет сверху заставит мяч отбрасывать тень на стол. Что ж, несмотря на то, что мяч движется по параболе, его тень на самом деле движется по прямой из точки B в точку C со скоростью v_x=v \cos{40}.

Чтобы найти расстояние (расстояния), мы делаем расчет ниже.

\begin{выровнено} S=&v_x \times t\\ =&v \cos{40} \times 0,328\\ =&2,5 \times \cos{40} \times 0,328\\ =&0,628 \; \текст{метр}\\ \приблизительно&63\; \текст{см} \end{aligned}

Мы сделали расчет, согласно которому расстояние (d) между B и C составляет около 63 см.

12. Нахождение вектора ускорения объекта

На объект действуют 2 силы, как показано выше. Определите направление (\theta) и величину ускорения объекта. 9{\ circ} от отрицательной оси Y.

13. Анализ закона Ньютона с помощью векторов

Сдвиньте изображение выше

На объект действует множество сил, как показано выше. Если объект остается в покое, определите величину F_2 и N (нормальная сила).

Решение:

Говорят, что объект покоится, если он удовлетворяет двум условиям.

Первое условие состоит в том, что сила справа равна силе слева. Посмотрите на второй слайд изображения выше. В этом случае сила справа равна F_1, а сила слева равна F_{2x}. Итак, чтобы выполнить первое условие, мы должны написать следующее. 9{\circ}}}\\ =&\frac{40}{3}\sqrt{3}\;\text{Ньютон} \end{aligned}

Второе условие: направленная вверх сила должна быть равна направленной вниз силе. Сдвиньте изображение выше и посмотрите. В этом случае есть 2 направленные вверх силы, а именно F_{2y} и N (нормальная сила). Пока есть одна нисходящая сила, а именно w(вес). Чтобы выполнить условие, что восходящая сила равна направленной вниз силе, мы должны написать следующее математическое уравнение.

N \;+\;F_{2y}=\;W

Мы можем оперировать приведенным выше уравнением далее

\begin{выровнено} N \;+\;F_{2y}=&\;W\\ Н\;+\; F_2 \;\sin{30}=&\;50\\ Н\;+\; \frac{40}{3}\sqrt{3}\times \frac{1}{2}=&\;50\\ N=&50 – \frac{40}{6}\sqrt{3}\\ =&38,45 \; \text{Ньютон} \end{align}

Итак, F_2=\frac{40}{3}\sqrt{3} ньютонов и N=38,45 ньютонов.

Кнопка «Поделиться»

Векторное разрешение и компоненты — Практика — Гиперучебник по физике

[закрыть]

практическая задача 1

Направлен лазерный луч 15.95° над горизонтом на расстоянии 11 648 м от зеркала. Он отскакивает от зеркала и продолжает движение еще 8570 м на высоте 11,44° над горизонтом, пока не достигнет цели. Каково результирующее смещение луча к цели?

раствор

Необходимо обработать векторы, расположенные не под правильным углом. Разбейте их на составляющие.

x 1  =  r 1  cos θ 1 x 1  = (11 648 м)cos(15,95°) x 1  = 11 200 м

y 1  =  r 1  sin θ 1 y 1  = (11,648 m)sin(15.95°) y 1  = 3200 m

x 2 = R 2 COS θ 2 154. 0253 2  = (8 570 м)cos(11,44°) x 2  = 8400 м

y 2  =  r 2  sin θ 2 y 2  = (8,570 m)sin(11.44°) y 2  = 1700 m

Сложение векторов в одном направлении с «обычным» сложением.

x  = 11 200 м + 8 400 м x  = 19,600 м

г  = 3200 м + 1700 м г  = 4900 м

Добавить векторы под прямыми углами с комбинацией пифагорской теоремы для величины…

R = √ (1 x 2 +13332 7 2 7 2 7 2 7 2 7 2 7 2 +1. 2 +1. 2 + 2 + 2 + 2 + . 19 600 м) 2  + (4 900 м) 2 ] r  = 20 200 м

и тангенс для направления.

тангенс θ =	г	=	4900 м
	х		19 600 м
θ =	14,04°

Не забудьте ответить на вопрос.

Цель лазерного луча находится на расстоянии 20 200 м под углом места 14,04° .

Ах да, и не забудьте сделать рисунок. Я, наверное, должен был сказать тебе сделать это раньше. Мне неловко, что я сделал это дважды в разделах о векторах. Я должен подать лучший пример. Позвольте мне исправить это, предоставив вам анимированный рисунок.

Если у вас возникнет чувство дежавю , не пугайтесь. Матрица в порядке. Я переработал решение этой проблемы из более раннего. Идея заключалась в том, чтобы показать общий метод решения задач, используемый в физике. Всякий раз, когда это возможно, возьмите сложную проблему, которую вы еще не решили, и уменьшите ее до той, которую вы решили.

Как сложить параллельные векторы? Просто — добавьте их. Как сложить антипараллельные векторы? Тоже просто — вычесть их. Как сложить векторы под прямым углом. Разумно просто — используйте теорему Пифагора и тангенс. Как сложить векторы, которые не равны 0°, 180° или 9?0°? До безобразия просто — разложить их на составляющие. Не позволяйте векторам заставлять вас работать больше. Сделайте так, чтобы они указывали в удобном для вас направлении. Сделайте их в более простых векторах.

А потом студенты узнали, что на самом деле не существует такого понятия, как «плохой» вектор, и все живут долго и счастливо. Конец.

практическая задача 2

На точку действуют три силы: 3 Н под углом 0°, 4 Н под углом 90° и 5 Н под углом 217°. Что такое чистая сила?

раствор

Разложить векторы на их компоненты вдоль x и и оси. (Следите за знаками.) Затем добавьте компоненты вдоль каждой оси, чтобы получить компоненты равнодействующей. Используйте их, чтобы получить величину и направление равнодействующей. Задачи с большим количеством компонентов легче решать, когда значения записываются в виде таблицы, например:

	величина	направление	x-компонент	Y-компонент
первая сила	3 Н	0°	+3 с.ш.	0 Н
вторая сила	4 Н	90°	0 N	+4 с.ш.
третья сила	5 С	217°	−4 с.ш.	−3 с.ш.
результат	1,4 Н	135°	−1 с.ш.	+1 N

Может оказаться полезным рисунок или анимация.

практическая задача 3

Велосипедист едет прямо на запад по прямой дороге. Ветер дует с 248° со скоростью 10 м/с.

1. Этот ветер больше похож на встречный или попутный?
2. Какова скорость встречного/попутного ветра?
3. Какова скорость бокового ветра?

раствор

Начните с диаграммы. Вы можете нарисовать этого велосипедиста сверху, как это сделал я, но в этом нет необходимости. Однако нарисуйте стрелку, направленную вправо, чтобы обозначить направление велосипедиста. Направление ветра измеряется по часовой стрелке с севера. Север — 0°, восток — 90°, юг 180°, запад 270°. Ветер дует с 248°, что находится где-то между югом и западом. Нарисуйте стрелку из нижнего левого угла в верхний правый угол, чтобы обозначить ветер. Угол между двумя стрелками равен…

270° − 248° = 22°

Добавьте эту информацию на диаграмму.

1. Вот почему вам нужна диаграмма. Это позволяет легко увидеть ответ. Этот ветер больше похож на встречный ветер , чем на попутный.

2. Встречный ветер задается компонентом «x».

   v x  =  v  cos θ v x  = (10 m/s)cos(22°) v x  = 9.2 m/s

3. Боковой ветер задается компонентом «y».

   v y  =  v  sin θ v y  = (10 м/с)sin(22°) 4 40253 г = 3,7 м/с

практическая задача 4

В один злополучный зимний день я случайно поскользнулся на обледенелой рампе под углом 37° к горизонтали. Найдите мое ускорение вниз по рампе, учитывая, что ускорение свободного падения направлено прямо вниз и имеет значение 9,8 м/с ² . (Предположим, что лед совершенно лишен трения.)

раствор

Это пример задачи о наклонной плоскости — обычное дело на вводных уроках физики. Решение…

Начните с диаграммы. Нарисуйте диагональную линию, чтобы представить пандус.