Властивості модуля: Модуль числа и свойства модуля

alexxlab / / Разное

1.12. Модуль дійсного числа, його властивості

Модулем (абсолютною величиною) дійсного числа називають невід’ємне дійсне число, що визначається формулою:

Наприклад,

З означення модуля випливає, що для будь-якого дійсного чис­ла виконуються співвідношення:

1) 2) 3)

Ці співвідношення означають таке: 1) модуль дійсного числа є число невід’ємне; 2) протилежні числа і мають рівні між собою модулі; 3) будь-яке дійсне число не більше за свій модуль.

Наведемо деякі властивості модуля дійсного числа.

1. Модуль суми двох дійсних чисел не більший за суму модулів доданків:

Ця властивість справджується для будь-якої кількості доданків:

2. Модуль різниці двох дійсних чисел не менший за різницю модулів зменшуваного та від’ємника:

3. Модуль добутку двох дійсних чисел дорівнює добутку модулів множників:

4. Модуль частки двох дійсних чисел дорівнює частці модулів діленого і дільника:

  1. Послідовність формування множини дійсних чисел.

  2. Правила дій з числами (починаючи з натуральних).

  3. Відсотки та задачі, в яких застосовуються відсотки.

  4. Розкласти на прості множники число 420; 280; 884.

  5. Відношення та пропорції.

  6. Знайти відношення 1,5 хв до 90 с.

  7. Скільки цілих чисел міститься між –6 та 5?

  8. Розв’язати рівняння .

  9. Знайти середнє арифметичне чисел та , якщо х = 6,38, y = –4,8.

  10. Округлити 13,83671 до тисячних.

ЛЕКЦІЯ

АЛГЕБРАЇЧНІ ВИРАЗИ ТА ІХ ПЕРЕТВОРЕННЯ

В алгебрі вивчаються дії з числовими та буквеними величинами, а також розв’язання рівнянь, пов’язаних із цими діями. При цьому буквеним величинам можуть надаватися конкретні числові значення.

Одночленом називається добуток кількох співмножників, що є числами або буквами.

Окремі числа і букви також вважаються одночленами. Наприклад, 2bху, –3х2z5, 6, у — одночлени.

Многочленом називається сума одночленів. Наприклад, 2bху + + 7х2 + 3 — многочлен.

Основу всіх алгебраїчних дій становлять такі закони додавання і множення:

Переставний закон:

а + b = b + а, аb = bа.

Сполучний закон:

(а + b) + c = а + (b + с), (аb)c = а(bс).

Розподільний закон:

(а + b)c = аc + bс.

При виконанні перетворень алгебраїчних виразів використовуються такі підходи:

1. Зведення подібних членів. Якщо кілька доданків мають однакові буквені частини, то їхні числові коефіцієнти додаються, а буквена частина зберігається. Наприклад, 9а2b – 3а2b – 4а2b = (9 – – 3 – 4)a2

b = 2a2b.

2. Винесення множника за дужки здійснюється на основі розподільного закону і правил дій зі степенями. Наприклад, 4ax2y + + 3а2bху2 – 2abx2 = ax(4xy + 3aby2 – 2bx2).

3. Розкриття дужок також здійснюється за допомогою розподільного закону. Необхідно пам’ятати, якщо множник перед дужками має від’ємний знак, то при їхньому розкритті змінюються знаки всіх доданків. Приклади:

2mn2(mx – 3уn3 + 5) = 2m2n2x – 6mn5у + 10mn2;

–ab(3a – 2b + 4) = –3a2b + 2ab2

– 4ab.

4. Формули скороченого множення:

(а + b)2 = а2 + 2аb + b2,

(а – b)2 = а2 – 2аb + b2,

(а – b)(а + b) = а2 – b2,

(а + b)3 = а3 + 3a2b + 3аb2 + b3,

(а – b)3 = а3 – 3а2b + 3аb2 – b3,

(а + b)(а2 – ab + b2) = а3 + b3,

(а – b)(а2 + ab + b2) = а3

– b3.

Classmill — Елементарна математика

MODULE

All modules

Модуль дійсного числа та його властивості

Модулем додатного числа називається саме це число, модулем від’ємного числа називається число, протилежне даному, модуль нуля дорівнює нулю.

Модуль числа α позначається символом |а| і читається «мо­дуль числа а». Згідно з означенням:

 

Модулем додатного числа називається саме це число, модулем від’ємного числа…

Delete Drag

Виконання вправ

1. Знайдіть модулі чисел:

а) -;       б) -1;     в) 1- ;      г) 2- ()2.

Відповідь: а) ;       б) -1;    в) -1;    г) 0.

2. Запишіть вирази без знака модуля:

а) ; б) ; в) ; г) .

Відповідь: а) 2-; б)-1;     в) sin 3;    г) lg 5.

3. Запишіть вирази, без знака модуля:

а) х + ;      б)  — х;      в) х — ;       г) .

Відповідь: а)  б)  в)  г) 

Виконання вправ 1. Знайдіть модулі чисел: а) -;       б) -1;     в) 1- ;      г) 2- ()2….

Delete Drag

 

 Геометричний зміст модуля числа є відстань від початку координат до точки, що зображає дане число (рис. 1) на координатній прямій. Дійсно, якщо а > 0, то відстань ОА дорівнює а. Якщо b < 0, то відстань 0В дорівнює —b.

 

 Теорема. Модуль різниці двох чисел дорівнює відстані між точ­ками, які є зображеннями чисел на координатній прямій.

 

Доведення

Візьмемо числа a і b. Позначимо на коор­динатній прямій числа а, b, а — b через А, В, С (рис. 2). При паралельному пере­несенні вздовж осі х на b, точка О перей­де в точку В, а точка С — в точку А, тобто ОС=АВ. Оскільки за означенням модуля ОС=, то АВ= , що і треба було довести.

Прості рівняння і нерівності з модулем зручно розв’язувати використовуючи геометричний зміст модуля. Розглянемо приклади.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння |х| = 5.

Розв’язання

Співвідношення |х| = 5 геометричне означає, що відстань від точ­ки х до початку координат дорівнює

 5, тобто х = 5 або х = -5. Відповідь: ±5.

 

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння |х + 3| = 2.

Перепишемо співвідношення |х + 3| = 2 у вигляді |х — (-3)| = 2, яке геометрична означає, що відстань від точки -3 до точки х дорівнює 2. Відклавши від точки -3 на координатній прямій відрізок довжиною 2 (вправо і вліво), одержимо х = -1 або х = -5.

Відповідь: -1; -5.

 

Приклад 3. Розв’яжіть нерівність |х — 3| < 2.

Розв’язання

Розв’язати нерівність |х — 3| < 2 геометричне оз­начає: знайти точки х, відстань від яких до точ­ки 3 не перевищує 2. На відстані 2 від точки З знаходяться точки 1 і 5 (рис. 3). Отже, 1

  х  5.

Відповідь: 1 х 5.

 

Приклад 4. Розв’яжіть нерівність |2х + 1|  3 .

Перепишемо нерівність |2х + 1|  3 у ви­гляді     |2х – (- 1)|  3 , яка геометрично оз­начає, що відстань від точки 2х  до точ­ки -1 не менша 3 (рис. 4). На відстані 3 від точки -1 знаходяться точки 2 і — 4. Таким чином, 2х  2 або 2х  — 4, звідси х  1 або х  -2.

Відповідь: х  1 або х  -2.

   Геометричний зміст модуля числа є відстань від початку координат до…

Delete Drag

1. Розв’яжіть рівняння:

а) |х – 1| = 2;         б) |х + 3| = 1;    в) |2х + 1| = 3;      г) |2х – 3| = 9.

Відповідь: а) -1; 3;     б) -2; -4;   в) 1; -2;    г) -3; 6.

 

2. Розв’яжіть нерівності:

а) |х + 2| > 2;         б) |2 – х| > 3;     в) |2х – 3| < 5;       г) |1 + 2х| < 1.

Відповідь: а) х < -4 або х > 0;    б) х < -1 або х > 5;  в) -1 < х < 4;     г) -1 < х < 0.

 

3. Множину чисел, зображених на рис. 5, запишіть у вигляді не­рівності, що містить знак модуля.

Відповідь: а) |х| < 1;    б) |х| < 2;   в) |х – 3| < 3; г) |х + 2| < 2.

 

4. Множину чисел, зображених на рис. 6, запишіть у вигляді нерівності, що містить знак модуля.

Відповідь: а) |х|  1;    б) |х| > 3;   в) |х + 2|  1; г) |х + 4| > 1.

 

5. Розв’яжіть рівняння:

а) ||х| – 1| = 2;    б) ||х| – 4| = 1;   в) ||х – 1| – 1| = 2;   г) ||х + 1| + 1| = 2.

Відповідь: а) ±3;       б) ±3; ±5;  в) -2; 4;    г) 0; -2.

 

6. Розв’яжіть нерівність:

а) ||х| — 2|  1;      б) ||х| — 5|  2;     в) ||х + 1| + 1|  3.

Відповідь: а) -3  х  -1 або 1  х  3;  б) -7  х  -3 або 3  х  7; в) -3  х  1.

Виконання вправ 1. Розв’яжіть рівняння: а) |х – 1| = 2;         б)…

Delete Drag

Використовуючи означення та геометричний зміст модуля дійсно­го числа, можна сформулювати такі його властивості.

1. Модуль дійсного числа — невід’ємне число, тобто |а|  0.

2. Модулі протилежних чисел рівні: |а| =|-а|.

3. Модуль добутку дорівнює добутку модулів множників: |аb| = |а · b|.

Дійсно, якщо а і b — числа однакових знаків, то ab > 0 і |аb| = |а| · |b|.

Якщо α і b — числа, які мають різні знаки, то ab < 0 і |аb| = = -ab. З другого боку |а|·|b| = — ab. Отже, |аb| = |а|•|b|.

4. Квадрат модуля числа дорівнює квадрату числа: |а|2 = а2.

5. Модуль дробу дорівнює модулю чисельника, поділеному на модуль знаменника (якщо. модуль знаменника не дорівнює нулю): 

Дійсно, оскільки а = ·b, то за властивістю 3 маємо: , звідки .

6. Модуль суми не перевищує суми модулів доданків: |а + b|  |a| +|b|.

Оскільки -|a|  а  |a| і —|b|  b  |b|, то, додавши почленно ці не­рівності, одержимо   -|а| — |b|  а + b  |а| + |b|,  або   -(|а| + |b|)  а + b  |а| + |b|,   що означає |a + b|  |а| + |b|.

Використовуючи означення та геометричний зміст модуля дійсно­го числа, можна сформулювати…

Delete Drag

Next: Тест №2

Силовые модули — типовые области применения

Типичные области применения силовых модулей

Магазинные силовые модули

Модули питания представляют собой элементы цепи переключения/управления питанием, интегрированные в удобные корпуса с изолированным основанием, которые предлагают широкий спектр широко используемых конфигураций и номиналов диодов, тиристоров или тиристоров/диодов. Модули питания часто питают полупроводниковые устройства, а также обеспечивают простой способ охлаждения устройства, а также их подключения к внешней цепи. Силовые модули механически и термически оптимизированы для простоты сборки, длительного срока службы и надежной работы. Существует несколько распространенных структур, в которых доступны силовые модули, такие как IGBT или MOSFET.

Силовые модули имеют много общего с диодами и часто классифицируются по характерным характеристикам диода (быстрое восстановление, Hybrid SCR-High Voltage, Schottky, Standard, Standard Hybrid SCR, Standard SCR и т.д.). Эффекты Зенера и Лавины по-прежнему применимы в соответствующих конфигурациях диодов.

БТИЗ

IGBT (биполярный транзистор с изолированным затвором) представляет собой силовой полупроводниковый прибор с тремя выводами. IGBT действуют в основном как электронный переключатель и отличается высокой эффективностью и быстрым переключением. LGBT сочетают в себе простые характеристики полевых МОП-транзисторов с управлением затвором и способность биполярных транзисторов работать с большим током и низким напряжением насыщения. БТИЗ часто лучше всего подходят для приложений средней и высокой мощности, начиная от кондиционеров и стереосистем и заканчивая поездами и электромобилями. Крупногабаритные IGBT-модули часто состоят из множества параллельно работающих устройств.

МОП-транзистор

Мощный полевой МОП-транзистор (металло-оксид-полупроводниковый полевой транзистор) предназначен для работы со значительными уровнями мощности. Его преимуществом является высокая скорость коммутации и хороший КПД при низких напряжениях по сравнению с другими силовыми полупроводниковыми устройствами, такими как IGBT. Как и IGBT, он имеет изолированный затвор, что упрощает управление. Силовые полевые МОП-транзисторы чаще используются при низком напряжении (менее 200 В) в низковольтных приложениях, часто используются в источниках питания, преобразователях постоянного тока и низковольтных контроллерах двигателей. В приложениях, требующих высокого напряжения, большого тока и низкой частоты переключения, предпочтительнее использовать IGBT. Когда требуется низкое напряжение, малый ток и высокая частота переключения, МОП-транзистор будет наиболее подходящим.

МОП-транзисторы также способны проводить в противоположном направлении, хотя это можно исправить, используя свободный ход. диод с IGBT, если приложение больше подходит для IGBT.

Типичные области применения силового модуля

Типичные области применения силовых модулей включают:

  • Передняя часть привода переменного тока
  • Бытовая техника
  • Зарядка аккумулятора
  • Катодная защита
  • Преобразователи
  • Конвейеры
  • Прерыватели постоянного тока
  • Гальваника
  • Управление лифтом
  • полумост
  • Элементы управления отопителем
  • Элементы управления HVAC
  • Инверторы
  • Медицинская электроника
  • Блок управления двигателем переменного тока
  • Управление двигателем, постоянный ток
  • Пускатели двигателей
  • Коррекция коэффициента мощности
  • Источники питания
  • Защита от обратной полярности
  • Переключатели
  • Трехфазные инверторы
  • Тяга
  • Транспорт
  • Системы ИБП
  • Сварка

Блок питания Обзор продукта Видео