Методическая разработка по математике «Решение задач ТВ»
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №1
(с углубленным изучением отдельных предметов)»
Методическая разработка по математике:
«Решение задач про кубики, кости, монеты и другие задачи по ТВ.»
Подготовила: учитель математики Батурова Г.Ю.
Моршанск 2020
Предисловие.
Некоторую сложность в подготовке к ОГЭ для учащихся составляет решение задач по ТВ. В данном пособии подробно разобраны решения некоторых задач, на которые ребята могут опереться, при работе с аналогичными заданиями. Также данная подборка поможет педагогам в отработке решений задач конкретного типа.
В пособии дается ряд задач с готовым решением и ряд подобных задач, которые учащиеся могут решить самостоятельно, без помощи учителя, дома или на дополнительных заданиях.
Для педагогов предоставляется возможность использовать данный материал в работе с отстающими учениками и учениками, имеющими пробелы в знаниях по данной теме. Подборка задач может быть использована также в качестве заданий для кружковой работы педагогов – предметников и в качестве дополнительных заданий при опережающем обучении.
В пособии
использованы материалы ФИПИ, сайт Гущин « Решу ОГЭ», СТАДград и другие
интернет-ресурсы.
Простейшие задачи на нахождение вероятности.
1.
На тарелке лежат 15 пирожков. Из них 4 с вишней, 5 с яблоком, остальные с абрикосом. Вова наугад берет пирожок. Найдите вероятность того, что ему попадется пирожок с абрикосом.
Благоприятные события – это пирожки с абрикосом. Их в тарелке 15-4-5=6.
Всевозможные события – это все пирожки. Их 15.
Вероятность=Благоприятные : Всевозможные, т.е.
P=6:15=0,4.
!!! Обратите внимание на то, что вероятность не может быть больше 1! Это связано с тем, что 100%-ая вероятность равна 1.
Ответ: 0,4.
2.
На научной конференции будут выступать 3 докладчика из Германии, 2 из России и 5 из Японии. Найдите вероятность того, что последним будет выступать докладчик из России, если порядок выступления определяется жребием.
Благоприятные события – это российские докладчики. Их 2.
Всевозможные события
– это все прибывшие докладчики. Их 3+2+5=10.
P=2:10=0,2
Ответ: 0,2
3.
Из слова «МАТЕМАТИКА» случайным образом выбирается одна буква. Найдите вероятность того, что эта буква окажется гласной.
Благоприятные события – это гласные буквы. Их 5.
Всевозможные события – это все буквы в слове. Их 10.
Р=5:10=0,5
Ответ: 0,5
4.
Из класса, в котором учатся 12 мальчиков и 8 девочек, выбирают по жребию одного дежурного. Найдите вероятность того, что дежурным окажется мальчик.
Благоприятные события – это все мальчики. Их 12.
Всевозможные события – все дети в классе. Их 12+8=20.
Р=12:20=0,6
Ответ: 0,6
5.
В партии из 1000 компьютеров оказалось 5 бракованных. Какова вероятность купить исправный компьютер?
Благоприятные события – это исправные компьютеры. Их 1000-5=995.
Всевозможные события – это все компьютеры. Их 1000.
Р=995:1000=0,995
Ответ: 0,995
6.
В урне лежат 3 белых,
2 желтых и 5 красных шаров. Найдите вероятность того, что извлеченный наугад
шар будет красного цвета.
Благоприятные события – это красные шарики. Их 5.
Всевозможные события – это все шарики. Их 3+2+5=10.
Р=5:10=0,5
Ответ: 0,5
7.
В каждой пятой банке кофе есть приз. Призы распределены случайно. Галя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Галя не найдет приз.
Благоприятные события – это банки, в которых нет приза. Их 4.
Всевозможные события – это все банки. Их 5.
P=4:5=0,8
Ответ: 0,8.
Из простых задач остались самые элементарные.
Мы уже знаем, что если какое-либо событие происходит стопроцентно, то его вероятность обозначают за 1.
1.
Если вероятность выпадения снега 50%, то логично предположить, что вероятность того, что снег не выпадет равна так же 50%. Избавимся от процентов. Вероятность выпадения снега равна 0,5, вероятность невыпадения – 0,5. В сумме эти два числа равны 1.
2.
Если вероятность
того, что при письме карандаш сломается равна 0,24, то, чтобы найти вероятность
того, что он не сломается, надо из 1 вычесть 0,24.
Получится 0,76.
3.
Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что ручка пишет хорошо.
Р=1-0,06=0,94
Ответ: 0,94.
Задачи с кубиками.
Следующий тип простых задач – это задачи с кубиками.
1.
Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию А=«сумма очков равна 10»?
Задаем себе вопрос: в каких случаях сумма очков будет равна 10?
| 1 кубик | 2 кубик |
1 | 4 | 6 |
2 | 5 | 5 |
3 | 6 | 4 |
Это и есть все
благоприятные события.
Итого, их 3.
Ответ: 3.
Ну и теперь рассмотрим несколько простейших задач.
У кубика, как известно, 6 сторон. Значит, при подбрасывании одного кубика, всевозможных событий у нас будет 6. А при подбрасывании двух кубиков? Можно, конечно, расписать все варианты, но если кубиков не два, а три/четыре/пять? Всё время экзамена уйдет на это.
Нужно запомнить, что если количество сторон кубика возвести в степень, равную количеству кубиков, то мы получим число всевозможных событий.
6количество кубиков=всевозможные события
Для нахождения благоприятных событий такой формулы нет, поэтому разминаем мозг и ищем все самостоятельно.
2.
В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 10 очков. Результат округлите до сотых.
Найдем благоприятные события. В каких случаях сумма очков будет равна 10? Распишем, главное, ничего не забыть.
| 1 кубик | 2 кубик | 3 кубик |
1 | 1 | 3 | 6 |
2 | 1 | 4 | 5 |
3 | 1 | 5 | 4 |
4 | 1 | 6 | 3 |
5 | 2 | 2 | 6 |
6 | 2 | 3 | 5 |
7 | 2 | 4 | 4 |
8 | 2 | 5 | 3 |
9 | 2 | 6 | 2 |
10 | 3 | 1 | 6 |
11 | 3 | 2 | 5 |
12 | 3 | 3 | 4 |
13 | 3 | 4 | 3 |
14 | 3 | 5 | 2 |
15 | 3 | 6 | 1 |
16 | 4 | 1 | 5 |
17 | 4 | 2 | 4 |
18 | 4 | 3 | 3 |
19 | 4 | 4 | 2 |
20 | 4 | 5 | 1 |
21 | 5 | 1 | 4 |
22 | 5 | 2 | 3 |
23 | 5 | 3 | 2 |
24 | 5 | 4 | 1 |
25 | 6 | 1 | 3 |
26 | 6 | 2 | 2 |
27 | 6 | 3 | 1 |
Итого, благоприятных
событий 27, а всевозможных – 63=216.
Р=27:216=0,125. Округляем до сотых – 0,13.
Ответ: 0,13.
3.
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых.
С двумя кубиками совсем просто.
Всевозможных событий — 62=36
Благоприятных событий — 3 (в сумме выйдет 4, если выпадут 1 и 3, или 3 и 1, или 2 и 2)
Р=3:36=0,08333
Ответ: 0,08
Задачи с монетами.
Задачи с монетками похожи на задачки с кубиками, но придется все всевозможные варианты выписать, чтобы найти благоприятные. Не уверены, что выписали всё? По аналогии с кубиками, можно сделать проверку: количество сторон монеты возвести в степень, равную количеству монеток.
2количество монет=всевозможные события
4.
Одновременно бросают две монеты. Найдите вероятность, что на обеих монетах выпадет орел.
О – орел, Р — решка
О | О |
Р | Р |
О | Р |
Р | О |
Благоприятных – 1
Всевозможных – 4
Р=1:4=0,25
Ответ: 0,25
5.
Одновременно бросают три монеты. Найдите вероятность, что не выпадут два орла и одна решка.
Всевозможных событий у нас 23=8. Выпишем их.
О | О | О |
О | О | Р |
О | Р | О |
О | Р | Р |
Р | О | О |
Р | О | Р |
Р | Р | О |
Р | Р | Р |
Благоприятных событий
3.
Р=3:8=0,375
Ответ: 0,375.
Задачи на нахождение вероятности совместных и несовместных событий.
В предыдущих задачах события были случайными. Но еще есть такие виды событий как совместные и несовместные. Из названий понятно, что совместные события могут происходить одновременно, а несовместные нет. Например, к совместным событиям относятся снег с дождем, т.е. одновременно идет снег И дождь; к несовместным событиям относятся наступление дня и наступление ночи, т.к. в природе может быть ИЛИ день, ИЛИ ночь. Что-то одно.
Союзы и/или я выделила не просто так. В информатике есть тема «Логические операции». Правда не могу сказать, в каких классах ее изучают. Определенно в старших. В этой теме есть такие понятия как логическое сложение и логическое умножение. Так вот. Союз И отвечает за логическое умножение, а союз ИЛИ – за логическое сложение.
О чем это говорит? Если в задаче нам
даны вероятности совместных событий, то их необходимо умножать.
Если даны
вероятности несовместных событий, то их будем складывать.
И – умножаем
ИЛИ — складываем
1.
В уличном фонаре три лампы. Вероятность перегорания лампы в течении года равно 0,8. Найдите вероятность того, что в течении года хотя бы одна лампа не перегорит.
Начинаем рассуждать. Если лампа перегорает с вероятностью 0,8, то она не перегорает с вероятностью 1-0,8=0,2.
Возможны несколько случаев.
1) 1 лампа остается И 2 лампы перегорают. Вероятность такого расклада равна 0,2*0,8*0,8=0,128. Причем остаться гореть может первая лампа, вторая ИЛИ третья. Т.е. первый случай разбивается еще на три таких же. Учитывая этот факт, вероятность того, что одна лампа не перегорит, равна 0,128*3=0,384.
2) 2 лампы остаются И 1 перегорает. Этот случай так же разбивается на три. Найдем вероятность: (0,2*0,2*0,8)*3=0,096.
3) 3 лампы
остаются гореть. И первая, и вторая, и третья.
Вероятность данного события равна 0,2*0,2*0,2=0,008.
Что получаем на выходе? Произойти может или первый случай, или второй, или третий. Найдем вероятность:
Р=0,384+0,096+0,008=0,488
И решим задачу вторым способом. Более коротким.
Вероятность того, что все лампы перегорят (и первая, и вторая, и третья) равна 0,8*0,8*0,8=0,512
Т.к. нас интересует противоположный результат, то вероятность того, что в течении года хотя бы одна лампа не перегорит равна 1-0,512=0,488
Ответ: 0,488
2.
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.
Вероятность ничьей = 1-0,4-0,4=0,2.
Команду ожидают две
игры. За эти игры она должна набрать 4 очка. Это возможно осуществить тремя
способами.
Либо они одерживают победу в
обоих играх, либо одерживают победу в первой игре и играют
вничью во второй, либо играют вничью в первой игре и
побеждают во второй. Расставим союзы и/или, чтобы составить полноценную
формулу:
(победа и победа) или (победа и ничья) или (ничья и победа)
Заменяем союзы на знаки и получим, что вероятность того, что команда попадет в следующий тур равна 0,4*0,4+0,4*0,2+0,2*0,4=0,32.
Ответ: 0,32.
( сайт Гущина « Решу ОГЭ»)
Задание 10 № 325453
Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (правильной кости) выпадет нечетное число очков.
Решение.
При бросании кубика равновозможны шесть различных исходов. Событию «выпадет нечётное число очков» удовлетворяют три случая: когда на кубике выпадает 1, 3 или 5 очков. Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет нечётное число очков равна 3/6=0.5
Ответ: 0,5.
Задание 10 № 325481
Определите вероятность того, что при бросании кубика
выпало число очков, не большее 3.
Решение.
При бросании кубика равновозможны шесть различных исходов. Событию «выпадет не больше трёх очков» удовлетворяют три случая: когда на кубике выпадает 1, 2, или 3 очка. Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет не больше трёх очков равна 3/6=0.5
Ответ: 0,5.
Задание 10 № 325482
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 1 раз.
Решение.
Всего возможны четыре исхода: решка-решка, решка-орёл, орёл-решка, орёл-орёл. Орёл выпадает ровно один раз в двух случаях, поэтому вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз равна 2/4=0.5
Ответ: 0,5.
Задание 10 № 325450
В соревнованиях по художественной гимнастике участвуют три гимнастки из России, три гимнастки из Украины и четыре гимнастки из Белоруссии. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что первой будет выступать гимнастка из России.
Решение.
Всего в соревнованиях участвуют 3 + 3 + 4 = 10 гимнасток. Поэтому вероятность того, что первой будет будет выступать гимнастка из России равна 3/10= 0.3
Ответ: 0,3.
Задание 10 № 325452
Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (правильной кости) выпадет менее 4 очков.
Решение.
При бросании кубика равновозможны шесть различных исходов. Событию «выпадет менее четырёх очков» удовлетворяют три случая: когда на кубике выпадает 1, 2 или 3 очка. Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет менее 4 очков равна 3/6= 0.5
Ответ: 0,5.
Задание 10 № 325456
Во время вероятностного эксперимента монету бросили 1000 раз, 532 раза выпал орел. На сколько частота выпадения решки в этом эксперименте отличается от вероятности этого события?
Решение. Всего возможны два исхода
эксперимента, выпадению решки удовлетворяет один из них, поэтому вероятность
выпадения решки в этом эксперименте равна 1 : 2 = 0,5.
Частота выпадения решки в данном эксперименте равна
(1000 − 532) : 1000 = 0,468. Поэтому частота
выпадения решки в этом эксперименте отличается от вероятности этого события на
0,5 − 0,468 = 0,032.
Ответ: 0,032.
Задание 10 № 325479
Определите вероятность того, что при бросании кубика выпало четное число очков.
Решение.
При бросании кубика равновозможны шесть различных исходов. Событию «выпадет чётное число очков» удовлетворяют три случая: когда на кубике выпадает 2, 4 или 6 очков. Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет чётное число очков равна 3/6= 0.5
Ответ: 0,5.
Задание 10 № 325480
Определите вероятность того, что при бросании кубика выпало число очков, не меньшее 1.
Результат округлите до сотых.
Решение.
При бросании кубика всегда выпадает не меньше одного очка, то есть вероятность события «выпадет число очков не меньшее 1» равна одному.
Ответ: 1.
Задание 10 № 325490
Игральную кость
бросают дважды.
Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало число, большее
3.
Решение.
При бросании кубика равновозможны шесть различных исходов. Событию «выпадет больше трёх очков» удовлетворяют три случая: когда на кубике выпадает 4, 5, или 6 очков. Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет не больше трёх очков равна 3/6= 0.5
Таким образом, при одном бросании кубика с одинаковой вероятностью реализуется либо событие А — выпало число, большее 3, либо событие Б — выпало число не больше 3. То есть равновероятно реализуются четыре события: А-А, А-Б, Б-А, Б-Б. Поэтому вероятность того, что хотя бы раз выпало число, большее 3 равна 3/4= 0.75
Ответ: 0,75.
Задание 10 № 325492
Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпало число, меньшее 4.
Решение.
При бросании кубика
равновозможны шесть различных исходов. Событию «выпадет меньше четырёх
очков» удовлетворяют три случая: когда на кубике выпадает 1, 2, или 3
очка.
Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет меньше четрёх очков
равна 3/6= 0.5
Таким образом, при одном бросании кубика с одинаковой вероятностью реализуется либо событие А — выпало число, меньшее 4, либо событие Б — выпало число не меньше 4. То есть равновероятно реализуются четыре события: А-А, А-Б, Б-А, Б-Б. Поэтому вероятность того, что хотя бы раз выпало число, меньшее 4 равна 1/4= 0.25
Ответ: 0,25.
Задание 10 № 325493
Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что наибольшее из двух выпавших чисел равно 5.
Решение.
При бросании кубика
дважды равновозможны 6 · 6 = 36 различных исходов. Число 5
будет наибольшим из выпавших, если хотя бы один раз выпадает 5 и ни разу — 6.
То есть либо на первом кубике должно выпасть 5 очков, а на втором — любое число
кроме 6, либо наоборот, на втором кубике должно выпасть 5, а на первом — любое
число кроме 6. Также необходимо помнить, что при таком подсчёте вариант, когда
на обоих кубиках выпадает пять, мы учитываем дважды:
5 + 5 − 1 = 9.
Поэтому вероятность того, что
наибольшее из двух выпавших чисел — 5 равна 9/36= 0.25
Ответ: 0,25.
Задание 10 № 325494
Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что наименьшее из двух выпавших чисел равно 2.
Решение.
При бросании кубика дважды равновозможны 6 · 6 = 36 различных исходов. Число 2 будет наименьшим из выпавших, если хотя бы один раз выпадает 2 и ни разу — 1. То есть либо на первом кубике должно выпасть 2 очка, а на втором — любое число кроме 1, либо наоборот, на втором кубике должно выпасть 2, а на первом — любое число кроме 1. Также необходимо помнить, что при таком подсчёте вариант, когда на обоих кубиках выпадает двойка, мы учитываем дважды: 5 + 5 − 1 = 9. Поэтому вероятность того, что наименьшее из двух выпавших чисел — 2 равна 9/36= 0.25
Ответ: 0,25.
Задание 10 № 325495
Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма двух выпавших чисел четна.
Решение.
При бросании кубика два раза равновозможны 6 · 6 = 36 различных исходов. Сумма чётна, если на первом кубике выпадает нечётное число и на втором выпадает нечётное число, этому соответствует 3 · 3 = 9 исходов. Либо, если на обоих кубиках выпадают чётные числа, этому соответствует 3 · 3 = 9 исходов. Поэтому вероятность того, что сумма двух выпавших чисел чётна равна 18/36= 0.5
Ответ: 0,5.
Задание 10 № 325496
Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма двух выпавших чисел нечетна.
Решение.
При бросании кубика дважды равновозможны 6 · 6 = 36 различных исходов. Сумма нечётна, если на первом кубике выпадает нечётное число, а на втором выпадает чётное число, этому соответствует 3 · 3 = 9 исходов. Либо, если наоборот, на первом кубике выпадает чётное число, а на втором выпадает нечётное число, этому соответствует 3 · 3 = 9 исходов. Поэтому вероятность того, что сумма двух выпавших чисел нечётна равна 18/36 =0.5
Ответ: 0,5.
Задание 10 № 325497
Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало число, меньшее 4.
Решение.
При бросании кубика равновозможны шесть различных исходов. Событию «выпадет меньше четырёх очков» удовлетворяет три случая: когда на кубике выпадает 1, 2, или 3 очка. Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет меньше четырёх очков равна 3/6=0.5
Таким образом, при одном бросании кубика с одинаковой вероятностью реализуется либо событие А — выпало число, меньшее 4, либо событие Б — выпало число не меньше 4. То есть равновероятно реализуются четыре события: А-А, А-Б, Б-А, Б-Б. Поэтому вероятность того, что хотя бы раз выпало число, меньшее 4 равна 3/4=0.75
Ответ: 0,75.
Задание 10 № 325491
Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпало число, большее 3.
Решение.
При бросании кубика
равновозможны шесть различных исходов. Событию «выпадет больше трёх
очков» удовлетворяют три случая: когда на кубике выпадает 4, 5, или 6
очков.
Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет не больше трёх очков
равна 3/6=0.5
Таким образом, при одном бросании кубика с одинаковой вероятностью реализуется либо событие А — выпало число, большее 3, либо событие Б — выпало число не больше 3. То есть равновероятно реализуются четыре события: А-А, А-Б, Б-А, Б-Б. Поэтому вероятность того, что оба раза выпало число, большее 3 равна 1/4=0.25
Ответ: 0,25.
Задачи по теории вероятностей. Решение задания В10
1. Задание B5 (№ 285924) из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.
На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России.
Решение.
Заметим, что поскольку порядок докладов определяется жеребьевкой, вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России такая же, как вероятность того, что доклад ученого из России окажется первым.
То есть эта вероятность не зависит от номера выступления.
Вероятность события определятся по формуле:
,
где
k — число событий, которые нас «устраивают», на языке теории вероятностей они называются благоприятными исходами.
n — число всех возможных событий, или число всех возможных исходов.
В нашей задаче на семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании, то есть всего 10 человек.
Значит, число всех возможных исходов равно 10. Из России приехали 3 ученых, значит, число благоприятных исходов, то есть тех событий, которые нас устраивают, равно 3.
Следовательно, вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России равна 3/10=0,3
Ответ: 0,3
2. Задание B5 (№ 285925) Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов.
Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?
Решение. «Зафиксируем» Руслана Орлова. Теперь осталось найти вероятность того, что в паре с ним окажется бадминтонист из России. Если мы исключили Руслана Орлова из списка спортсменов (мы его «зафиксировали»), то нам осталось выбрать ему пару из 25 спортсменов, из которых 9 участников из России.
То есть число всех возможных исходов равно 25, а число благоприятных исходов равно 9.
Следовательно, p=9/25=0,36
Ответ: 0,36
3. Задание B5 (№ 285922) Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
Решение.
Заметим, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции с той же вероятностью, что и доклад любого другого участника конференции. Поэтому вопрос задачи можно переформулировать так: с какой вероятностью любой участник конференции выступит в последний день.
1. Найдем, какое количество докладчиков должно выступить в последний день конференции.
Так как всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями, на два последних дна запланировано
75-17х3=24 доклада.
Значит, на последний день запланировано 12 докладов, то есть количество благоприятных исходов равно 12.
Число всех возможных исходов равно 75, так как всего запланировано 75 докладов.
Итак, р=12/75=0,16
Ответ: 0,16.
4. Задание B5 (№ 283471) В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды.
Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.
Решение. Чтобы решить эту задачу, нам нужно вспомнить правило умножения вероятностей. Так как результат каждого бросания монеты не зависит от результата бросания монеты в другие разы, мы имеем дело с независимыми событиями.
Вероятность того, что произойдут независимые события А и В, равна произведению вероятностей события А и события В.
В нашей задаче орел не выпадет ни разу, если в результате бросания монеты каждый раз будет выпадать решка. Вероятность выпадения решки в каждом случае равна 1/2. Значит, вероятность того, что решка выпадет в результате всех четырех бросаний равна
ххх=1/16=0,0625
Ответ: 0,0625
5. Во время вероятностного эксперимента монету бросили 1000 раз, 532 раза выпал орел. На сколько частота выпадения решки в этом эксперименте отличается от вероятности этого события?
Частота события x — отношение N(x) / N числа N(x) наступлений этого
события в N испытаниях к числу испытаний N.
Если орел выпал 532 раза, то решка выпала 1000-532=468
Частота этого события равна
Вероятность выпадения решки равна 0,5
Следовательно, частота выпадения решки в этом эксперименте отличается от вероятности этого события на |0,5-0,468|=0,032
Ответ: 0,032
И, в заключение, предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК с решением задачи:
Вася выбирает трехзначное число. Найти вероятность того, что оно делится на 6. Ответ округлите до сотых.
Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачать
Firefox или
Chrome
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
ICS 6A — Викторина 4 решения
Викторина 4 решения
Если у вас есть какие-либо вопросы относительно решения напишите Шринивасу Рао Коллу
1. Пара правильных игральных костей бросается один раз.
Какова вероятность того, что общее количество очков на костях равно восьми? ( 3 балла )
(4,4), (5,3), (3,5), (6,2), (2,6) пять
благоприятные случаи/исходы.
Общее количество случаев/исходов = 6 x 6 = 36,
Вероятность = (количество благоприятных исходов)/(общее количество исходов) = 5/36.
2. Правильная монета подбрасывается 1000 раз.
а) Какова вероятность увидеть ровно 500 голов? ( 2 балла )
Испытания Бернулли
Из 1000 бросков 500 должны быть орлом и
(1000 500) = 500 должна быть решка.
выбор 500 бросков из 1000 бросков C(1000, 500)
и (вероятность наблюдения головы) x (
вероятность наблюдения головы).. 500 раз Х
(вероятность наблюдения хвоста) x (вероятность наблюдения хвоста) 500 раз
Подброшенная монета честна. Таким образом, вероятность увидеть голову = вероятность увидеть хвост =
1/2.
Вероятность увидеть 500 орлов из 1000 бросков
= C(1000, 500) x (1/2) 500 x
(1/2) 500 = C(1000, 500) (1/2) 1000
(b) Напишите выражение для
вероятность наблюдения количества голов от 450 до 550 включительно? ( 2 балла )
Испытания Бернулли
Общее количество бросков от 450 до 550 включительно = 101.
Вероятность наблюдения N числа
голов и (101 — N) количество испытаний в этих 101 испытаниях
= С(101, Н) х (1/2) Н х (1/2) 101-Н = C(101, N) (1/2) 101
Это один из возможных способов понимания вопроса. (т.е. N голов между 450-м и 550-м броском). Что я изначально имел в виду
— вероятность получения общего количества голов от 450 до 550 за 1000 бросков. Эта вероятность есть просто сумма вероятность
всех непересекающихся событий, связанных с получением 450 орлов, или 451, или 452 и т. д. В этом случае ответ лучше всего записать так:
C(1000,450) (1/2)) 450 (1/2) 550 + C(1000,451) (1/2)) 451 (1/2) 549 + … + C(1000,550) (1/2)) 550 (1/2) 450
, который можно упростить, используя
нотация «сигма» и сбор всех терминов, содержащих (1/2) 1000 .
(PB)
3. Какова вероятность того, что пяти-
карточная покерная рука состоит из пяти черных карт?
( 3 балла )
Есть 26 черных карт.
Количество благоприятных случаев = выбор 5 карт из этих 26 черных карт = C(26, 5).
Общее количество случаев = выбор 5 карт из 52 = C(52, 5).
Требуемая вероятность = C(26, 5) / C(52, 5).
Если у вас есть какие-либо вопросы относительно Решения по почте Sreenivas Rao Kollu
Вероятность 2 головы/Хвосты — Mathtec
Вероятность 2
головы и хвосты. 1 и 2
Рис.1 Президентская кампания в США. | Рис. 2 Математика может быть не совсем верной, но видите ли вы смысл добавления? |
Экспериментальная вероятность
Вероятность измеряется по десятичной шкале от 0 до 1, но учащимся также рекомендуется использовать дроби и проценты, поскольку это хорошо сочетается с числом.
0 представляет событие, которое невозможно , а 1 — событие, которое наверняка . Вероятность или шанс того, что завтра будет восход солнца, является уверенностью, даже если мы не можем его увидеть из-за природы погоды. Вероятность того, что я буду летать, быстро бегая и размахивая руками, будет представлена как 0, что невозможно. Вероятность выпадения орла при подбрасывании честной монеты будет равна 0,5 (при условии, что она не упадет на ребро).
Рис.3 Эта шкала показывает, как можно описать вероятность события.
Равновероятная деятельность
Работая в парах, напишите последовательность выпадений орла и решки, которая, по вашему мнению, может получиться при 20-кратном подбрасывании монеты. Например, вы можете подумать HTTHTHHTTTH и т. д.
Рис. 4 Результаты одной реальной попытки подбрасывания монеты 20 раз |
ЗАДАНИЕ 1
Напишите свою собственную «случайно сгенерированную» комбинацию H/T.
Повторите это 20 раз, например. ЧЧЧЧЧЧЧЧЧ.
Рис.5 Какой набор данных фальшивый, левый или правый?
Многие люди не понимают, что последовательные решка и решка выпадают чаще, чем ожидалось. Это означает, что когда учащиеся пытаются создать свои собственные данные, они обычно не записывают более 3 орлов или решек подряд.
Задание 2
Целью этого задания является вычисление экспериментальной вероятности выпадения орла при подбрасывании монеты. На этом этапе вам нужно только знать о концепции скользящего среднего. Поскольку это действие является случайным, мы должны получить несколько разные результаты между группами. Мы знаем из теории, что вероятность равна 0,5 или 1/2. Подбросьте монету 50 раз и запишите результат в таблица частот , как показано ниже. Вы можете использовать простую частоту на рис. 7, если хотите, но она не объясняет концепцию скользящего среднего. Обратите внимание, что каждый подбрасывание монеты называется испытанием , результатом эксперимента является либо орел, либо решка, мы предполагаем, что монета, приземлившаяся на ребро, не является достоверными данными и может быть проигнорирована, поэтому подбросьте монету еще раз.
Мы также предположим, что монета справедлива и подброшена беспристрастно образом. Последовательно пронумеруйте головы в столбце 3, как показано ниже. Чтобы получить промежуточный итог, составьте дробь, используя столбец 4 в качестве числителя и столбец 1 в качестве знаменателя. Вы можете использовать калькулятор, чтобы вычислить десятичное значение, как показано ниже в таблице справа на рис. 6
Рис.6 Для построения графика проще использовать десятичные дроби для скользящих средних значений, как показано в таблице справа.
Если концепция скользящего среднего значения кажется вам запутанной, используйте упрощенную таблицу частот на Рис. 7 ниже.
Рис. 7 Упрощенная версия таблицы частот.
Расчет вероятности.
Экспериментальная вероятность = количество раз, когда событие произойдет в эксперименте0005
Например, если вы получили 24 головы после 50 испытаний,
Экспериментальная вероятность = 24
50
= 12/25 или 0,48 или 48%
.
один ниже, показывающий распределение орла и решки. В моем случае выпало 24 орла и 26 решек. Это дает в общей сложности 50 испытаний.
Рис. 8 Гистограмма
действие 3 скользящее среднее
Для расчета скользящего среднего используйте информацию из столбца скользящего итога таблицы частот на рис.6. Я использовал Excel для создания этих диаграмм — вам разрешено делать это с помощью технологий.
Рис.9 Длинное скользящее среднее из приведенных выше данных
Итак, как это работает? Ссылаясь на таблицу частот на рис. 6, вы можете видеть, что сначала я получил T, а не H, поэтому график на рис. 9 выше начинается с нуля. Мой следующий бросок монеты дал мне мой первый H. После двух бросков у меня теперь было одно T и одно H, что равно 1/2 или 0,5, поэтому вторая точка на графике равна 0,5. Мой следующий H выпал при 5-м броске монеты, пока что это два H после пяти бросков или 2/5 = 0,4. Обратите внимание, что среднее значение «движется» по мере прохождения испытаний.
Вот почему это называется бегущей средней.
Что говорит нам скользящее среднее?
Теоретическая вероятность, как обсуждалось, составляет 1/2 или 0,5. Тем не менее, мы не всегда можем прийти к такому выводу на ранней стадии эксперимента после нескольких подбрасываний монеты. Мы также узнали, что вполне возможно получить 5, 6, 7 или более Н подряд. В моем собственном примере тот факт, что у меня было только 2 H после 5 подбрасываний монеты, показан «сильными» колебаниями линий на рис. 9. Однако в долгосрочной перспективе я ожидаю, что подбрасывание монеты будет «ровным или сглаженным». Для этого может потребоваться 500 или 1000 бросков монеты. Ниже приведен график, показывающий долгосрочное скользящее среднее 500 подбрасываний монеты. Обратите внимание на широкие колебания, прежде чем он начнет «успокаиваться».
gamblers Заблуждение
По существу, Заблуждение Игрока основано на убеждении, что если какое-то случайное событие происходит чаще, чем обычно, то в будущем оно будет происходить реже.