Второй признак – 2 признак равенства треугольников | Треугольники

Второй признак равенства треугольников — Студопедия.Нет

Класс

Билеты по геометрии с комментариями

Билет № 1

Пропорциональные отрезки в круге

Теорема об отрезках пересекающихся хорд

Теорема о квадрате отрезка касательной

Формулы площади треугольников

Формулировки теорем о площади треугольника с выводом формул

,

Смежные и вертикальные углы

определение смежных углов

 определение вертикальных углов,

свойства смежных и вертикальных углов с доказательством

Билет № 2

Определение, свойства равнобедренного треугольника.

Определение равнобедренного треугольника

Свойства равнобедренного треугольника:

· углы при основании

· медиана р/б треугольника, проведенная к основанию

· биссектриса р/б треугольника, проведенная к основанию

· высота р/б треугольника, проведенная к основанию

Формулы площадей параллелограмма

Формулировки и вывод формул площади параллелограмма

3. Теорема об окружности,  описанной около четырехугольника

Формулировка теоремы

Доказать 1 часть( если около четырехугольника описана окружность, то..)

Доказать 2 часть (если сумма противоположных углов равна 180⁰, то…)

Билет № 3

Признаки параллельности прямых .

Определение параллельных прямых

Формулировки и доказательство всех трех признаков параллельности прямых.

 

2. Средняя линия трапеции

Определение средней линии трапеции

Формулировка и доказательство теоремы о средней линии трапеции

Сформулировать и доказать теорему о площади треугольника , описанного около окружности.

Доказать ,что

Доказать, что радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник вычисляется по формуле r=0,5(a+b-c), где а, b –катеты, с –гипотенуза

Билет № 4

Свойство точки пересечения медиан треугольника.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении 2:1 , начиная от вершины (с док)

Площадь трапеции

Определение трапеции

Теорема о площади трапеции ( )

Признаки равнобедренного треугольника

Т 1 Если два угла в треугольнике равны, то он равнобедренный (следствие 2 из теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника)

Т.2 Если медиана треугольника является высотой, то треугольник равнобедренный.

Т3 Если биссектриса треугольника является высотой, то ..

 

Билет № 5

1. Свойство биссектрисы угла. Следствия.

Формулировка и доказательство теоремы о свойстве биссектрисы угла

Следствие 1 : геометрическим местом точек плоскости, лежащих внутри неразвернутого угла и равноудаленных от сторон угла, является биссектриса этого угла (без док)

Следствие 2 : формулировка и доказательство теоремы о том, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Теорема Пифагора.

Формулировка и доказательство теоремы.

Второй признак равенства треугольников

Формулировка и доказательство теоремы.

Билет № 6

1. Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике. Вычисление значений тригонометрических функций для 30⁰,45⁰,60⁰.

studopedia.net

2. Второй признак сравнения (предельный)

ТЕОРЕМА 3. Пусть даны два ряда со строго положи- тельными членами (1) и(2), для элементов которых выполняется условие:

. (7)

Тогда ряды (1) и (2) ведут себя одинаково, т.е. сходятся и

расходятся одновременно.

В самом деле, из определения предела следует, что для любого найдётся номер, начиная с которого (т.е. для всех

) выполняется неравенство

,

Отсюда, .

Учитывая замечание 2 из предыдущей теоремы, из сходимости ряда (2), по неравенству (6), следует сходимость ряда (1), и наоборот, из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

В частности, если , то равенство (7) означает экви -лентность рядов (1) и (2) (~).

Рассмотрим примеры. Исследовать на сходимость ряды:

1. . Общий член этого ряда

~ при .

Тогда

. Ряд расходится, как

обобщённый гармонический ряд с . Тогда расходится и исходный ряд.

2. . Для данного ряда, применяя таб- лицу эквивалентных бесконечно малых функций, получим:

~ ~~.

Ряд сходится, так как , следо- вательно исходный ряд также сходится, так как предел отно- шения общих членов этих рядов равен 1 (т.к. они эквивалент- ны).

3. Признак Даламбера.

Пусть для элементов ряда

(1) выполняется условие:

. (8)

Тогда, если , то ряд (1) сходится; если, то ряд (1) расходится; если, то данный признак не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

В самом деле, из определения предела следует, что для любого найдётся номер, начиная с которого (т.е. для всех) выполняется неравенство:

, или, что то же самое

. (9)

Пусть . Выберемтак, чтобы. Тогда

из правой части неравенства (9), получаем , илиТаким образом, получаем следующее неравенство:

, которое выполняется для всех .

Ряд, стоящий справа, представляет собой сумму сходящей- ся геометрической прогрессии (). Тогда, по первому при- знаку сравнения, ряд, стоящий в левой части неравенства, также сходится. По следствию 3 из предыдущего параграфа, получаем сходимость ряда (1).

Пусть . Выберемтак, чтобы. Тогда, т.е., начиная с номера, члены ряда (1) образуют возрастающую последовательность и не выполняется необходимый признак сходимости рядов.

Поэтому ряд (1) расходится.

ПРИМЕРЫ. Исследовать на сходимость ряды:

1. .,.

Тогда получаем:

.

По признаку Даламбера, ряд сходится.

2. . Для данного ряда. Тогда.

Применим признак Даламбера:

(степень числителя меньше степени знаменателя). Поэтому ряд сходится.

3. . Здесь, следователь- но. После сокра-

щения, получаем:

(степень числителя больше степени знаменателя). Следова – тельно данный ряд расходится.

Замечание. Признаком Даламбера удобно пользоваться в случае, если общий член ряда содержит — ые степени, фак – ториалы, бесконечные произведения.

studfiles.net

Второй признак подобия треугольников

На прошлом уроке мы с вами познакомились с первым признаком подобия треугольников. Вспомним его.

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Сегодня на уроке мы познакомимся со вторым признаком подобия треугольников.

Теорема (2-й признак подобия треугольников). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между ними равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство:

, .

, , тогда  по 1-му признаку.

.

Тогда .

Рассмотрим  и .

, – общая, , значит, .

Следовательно, .

Что и требовалось доказать.

Посмотрите на следующие треугольники и найдите среди них подобные.

Каждый из треугольников имеет угол, равный 65º. Но только у треугольников а и б известны длины сторон, образующих этот угол. Проверим пропорциональны ли эти стороны. Составим отношение их длин ,  . Видим, что эти отношения равны, а значит, стороны пропорциональны. Таким образом, мы получили, что треугольники а и б подобны по двум сторонам и углу между ними, то есть по второму признаку.

Задача. На одной из сторон  отложены отрезки  и , равные соответственно  см и  см. На другой стороне этого же угла отложены отрезки  и , соответственно равные  см и  см. Подобны ли треугольники  и ?

Решение.

Рассмотрим  и .

 – общий,  

;

;

значит, .

Следовательно,  по 2-му признаку.

Ответ: треугольники подобны.

Задача. На рисунке ,  см,  см, а  см. Найдите  и .

Решение.

Рассмотрим  и .

 как вертикальные,

, , .

Получаем, что  по 2-му признаку, .

, ,  см,  см,  см,  (см).

Ответ:  см,  см.

Итак, сегодня на уроке мы познакомились со вторым признаком подобия треугольников: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между ними равны, то такие треугольники подобны.

Также мы решили несколько задач на закрепление материала.

videouroki.net

Первый признак равенства треугольников. Второй и третий признаки равенства треугольников

Среди огромного количества многоугольников, которые по сути являются замкнутой непересекающейся ломаной линией, треугольник – это фигура с наименьшим количеством углов. Другими словами, это простейший многоугольник. Но, несмотря на всю свою простоту, эта фигура таит в себе много загадок и интересных открытий, которые освещаются особым разделом математики – геометрией. Эту дисциплину в школах начинают преподавать с седьмого класса, и теме «Треугольник» здесь уделяется особое внимание. Дети не только узнают правила о самой фигуре, но и сравнивают их, изучая 1, 2 и 3 признак равенства треугольников.

Первое знакомство

Один из первых правил, с которым знакомятся школьники, звучит примерно так: сумма величин всех углов треугольника равняется 180 градусам. Чтобы это подтвердить, достаточно при помощи транспортира измерить каждую из вершин и сложить все получившиеся значения. Исходя из этого, при двух известных величинах легко определить третью. Например: В треугольнике один из углов равен 70°, а другой — 85°, какова величина третьего угла?

180 – 85 – 70 = 25.

Ответ: 25°.

Задачи могут быть и более сложными, если указано лишь одно значение угла, а про вторую величину сказано лишь, на сколько или во сколько раз она больше или меньше.

В треугольнике для определения тех или иных его особенностей могут быть проведены особые линии, каждая из которых имеет свое название:

• высота – перпендикулярная прямая, проведенная из вершины к противоположной стороне;
• все три высоты, проведенные одновременно, в центре фигуры пересекаются, образуя ортоцентр, который в зависимости от вида треугольника может находиться как внутри, так и снаружи;
• медиана – линия, соединяющая вершину с серединой противолежащей стороны;
• пересечение медиан является точкой его тяжести, находится внутри фигуры;
• биссектриса – линия, проходящая от вершины до точки пересечения с противолежащей стороной, точка пересечения трех биссектрис является центром вписанной окружности.

Простые истины о треугольниках

Треугольники, как, собственно, и все фигуры, имеют свои особенности и свойства. Как уже говорилось, эта фигура является простейшим многоугольником, но со своими характерными признаками:

• против самой длинной стороны всегда лежит угол с большей величиной, и наоборот;
• против равных сторон лежат равные углы, пример тому — равнобедренный треугольник;
• сумма внутренних углов всегда равна 180°, что уже было продемонстрировано на примере;
• при продлении одной стороны треугольника за его пределы образуется внешний угол, который всегда будет равен сумме углов, с ним не смежных;
• любая из сторон всегда меньше суммы двух других сторон, но больше их разницы.

Виды треугольников

Следующий этап знакомства заключается в определении группы, к которой относится представленный треугольник. Принадлежность к тому или иному виду зависит от величин углов треугольника.

• Равнобедренный – с двумя равными сторонами, которые называют боковыми, третья в этом случае выступает основанием фигуры. Углы у основания такого треугольника одинаковы, а медиана, проведенная из вершины, является биссектрисой и высотой.
• Правильный, или равносторонний треугольник, – это тот, у которого все его стороны равны.
• Прямоугольный: один из его углов равен 90°. В этом случае сторона, противолежащая этому углу, называется гипотенузой, а две другие — катетами.
• Остроугольный треугольник – все углы меньше 90°.
• Тупоугольный – один из углов больше 90°.

Равенство и подобие треугольников

В процессе обучения не только рассматривают отдельно взятую фигуру, но и сравнивают два треугольника. И эта, казалось бы, простая тема имеет массу правил и теорем, по которым можно доказать что рассматриваемые фигуры – равные треугольники. Признаки равенства треугольников имеют такое определение: треугольники равны, если их соответствующие стороны и углы одинаковы. При таком равенстве, если наложить эти две фигуры друг на друга, все их линии сойдутся. Также фигуры могут быть подобными, в частности, это касается практически одинаковых фигур, отличающихся лишь величиной. Для того чтобы сделать такое заключение о представленных треугольниках, необходимо соблюдение одного из следующих условий:

• два угла одной фигуры равны двум углам другой;
• две стороны одного пропорциональны двум сторонам второго треугольника, а величины углов, образованных сторонами, равны;
• три стороны второй фигуры такие же, как и у первой.

Конечно, для бесспорного равенства, которое не вызовет ни малейшего сомнения, необходимо иметь одинаковые значения всех элементов обеих фигур, однако с использованием теорем задача значительно упрощается, и для доказательства равенства треугольников допускается наличие лишь нескольких условий.

Первый признак равенства треугольников

Задачи по этой теме решаются на основе доказательства теоремы, которая звучит так: «Если две стороны треугольника и угол, который они образуют, равны двум сторонам и углу другого треугольника, то и фигуры тоже равны между собой».

Как же звучит доказательство теоремы про первый признак равенства треугольников? Всем известно, что два отрезка равны, если они одной длины, или окружности равны, если имеют одинаковый радиус. А в случае с треугольниками есть несколько признаков, имея которые, можно предположить, что фигуры идентичны, что очень удобно использовать при решении разных геометрических задач.

Как звучит теорема «Первый признак равенства треугольников», описано выше, а вот ее доказательство:

• Допустим, треугольники АВС и А₁В₁С₁ имеют одинаковые стороны АВ и А₁В₁ и, соответственно, ВС и В₁С₁, а углы, которые образуются этими сторонами, имеют одну и ту же величину, то есть равны. Тогда, наложив △ ABC на △ А₁В₁С_1, получим совпадение всех линий и вершин. Отсюда вытекает, что эти треугольники абсолютно идентичны, а значит, равны между собой.

Теорему «Первый признак равенства треугольников» называют еще «По двум сторонам и углу». Собственно, в этом и заключается ее суть.

Теорема о втором признаке

Второй признак равенства доказывается аналогично, доказательство основывается на том, что при наложении фигур друг на друга они полностью совпадают по всем вершинам и сторонам. А звучит теорема так: «Если одна сторона и два угла, в образовании которых она участвует, соответствуют стороне и двум углам второго треугольника, то эти фигуры идентичны, то есть равны».

Третий признак и доказательство

Если как 2, так и 1 признак равенства треугольников касался как сторон, так и углов фигуры, то 3-й относится лишь к сторонам. Итак, теорема имеет следующую формулировку: «Если все стороны одного треугольника равны трем сторонам второго треугольника, то фигуры идентичны».

Чтобы доказать эту теорему, нужно более детально углубиться в само определение равенства. По сути, что означает выражение «треугольники равны»? Идентичность говорит о том, что если наложить одну фигуру на другую, все их элементы совпадут, это может быть только в том случае, когда их стороны и углы будут равны. В то же время угол, противолежащий одной из сторон, которая такая же, как у другого треугольника, будет равен соответствующей вершине второй фигуры. Следует отметить, что в этом месте доказательство легко перевести на 1 признак равенства треугольников. В случае если такая последовательность не наблюдается, равенство треугольников просто невозможно, за исключением тех случаев, когда фигура является зеркальным отражением первой.

Прямоугольные треугольники

В строении таких треугольников всегда есть вершины с величиной угла 90°. Поэтому справедливы следующие утверждения:

• треугольники с прямым углом равны, если катеты одного идентичны катетам второго;
• фигуры равны, если равны их гипотенузы и один из катетов;
• такие треугольники равны, если их катеты и острый угол идентичны.

Этот признак относится к прямоугольным треугольникам. Для доказательства теоремы применяют приложение фигур друг к другу, в результате которого треугольники складывают катетами так, чтобы из двух прямых вышел развернутый угол со сторонами СА и СА₁.

Практическое применение

В большинстве случаев на практике применяется первый признак равенства треугольников. На самом деле такая, казалось бы, простая тема 7 класса по геометрии и планиметрии используется и для вычисления длины, например, телефонного кабеля без замеров местности, по которой он будет проходить. При помощи этой теоремы легко сделать необходимые расчеты для определения длины острова, находящегося посреди реки, не переплывая на него. Либо укрепить забор, расположив планку в пролете так, чтобы она делила его на два равных треугольника, или же рассчитать сложные элементы работы в столярном деле, или при расчете стропильной системы крыши во время строительства.

Первый признак равенства треугольников имеет широкое применение в реальной «взрослой» жизни. Хотя в школьные годы именно эта тема для многих кажется скучной и совершенно ненужной.

fb.ru