2 корень из 3 поделить на 2: 2 делить на 3 корня из 2

Содержание

2 делить на 3 корня из 2

Вы искали 2 делить на 3 корня из 2? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 2 корня из 3 делить на 2, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «2 делить на 3 корня из 2».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 2 делить на 3 корня из 2,2 корня из 3 делить на 2,3 корень из 2 поделить на 2,3 корня из 2 делить на 2. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 2 делить на 3 корня из 2. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, 3 корень из 2 поделить на 2).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 2 делить на 3 корня из 2 Онлайн?

Решить задачу 2 делить на 3 корня из 2 вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

правила, методы, примеры как делить квадратные корни

Наличие квадратных корней в выражении усложняет процесс деления, однако существуют правила, с помощью которых работа с дробями становится значительно проще.

Единственное, что необходимо все время держать в голове —  подкоренные выражения делятся на подкоренные выражения, а множители на множители. В процессе деления квадратных корней мы упрощаем дробь. Также, напомним, что корень может находиться в знаменателе.

Метод 1. Деление подкоренных выражений

Алгоритм действий:

Записать дробь

Если выражение не представлено в виде дроби, необходимо его так записать, потому так легче следовать принципу деления квадратных корней.

Пример 1

144÷36, это выражение следует переписать так: 14436

Использовать один знак корня

В случае если и в числителе, и знаменателе присутствует квадратные корни, необходимо записать их подкоренные выражения под одним знаком корня, чтобы сделать процесс решения проще.

Напоминаем, что подкоренным выражением (или числом) является выражением под знаком корня.

Пример 2

14436. Это выражение следует записать так: 14436

Разделить подкоренные выражения

Просто разделите одно выражение на другое, а результат запишите под знаком корня.

Пример 3

14436=4, запишем это выражение так: 14436=4

Упростить подкоренное выражение (если необходимо)

Если подкоренное выражение или один из множителей представляют собой полный квадрат, упрощайте такое выражение.

Напомним, что полным квадратом является число, которое представляет собой квадрат некоторого целого числа.

Пример 4

4 — полный квадрат, потому что 2×2=4. Из этого следует:

4=2×2=2. Поэтому 14436=4=2.

Метод 2. Разложение подкоренного выражения на множители

Алгоритм действий:

Записать дробь

Перепишите выражение в виде дроби (если оно представлено так). Это значительно облегчает процесс деления выражений с квадратными корнями, особенно при разложении на множители. 

Пример 5

8÷36, переписываем так 836

Разложить на множители каждое из подкоренных выражений

Число под корнем разложите на множители, как и любое другое целое число, только множители запишите под знаком корня.

Пример 6

Упростить числитель и знаменатель дроби

Для этого следует вынести из-под знака корня множители, представляющие собой полные квадраты. Таким образом, множитель подкоренного выражения станет множителем перед знаком корня.

Пример 7

2266×62×2×2, из этого следует: 836=226

Рационализировать знаменатель (избавиться от корня)

В математике существуют правила, по которым оставлять корень в знаменателе — признак плохого тона, т.е. нельзя. Если в знаменателе присутствует квадратный корень, то избавляйтесь от него. 

Умножьте числитель и знаменатель на квадратный корень, от которого необходимо избавиться.

Пример 8

В выражении 623 необходимо умножить числитель и знаменатель на 3, чтобы избавиться от него в знаменателе:

623×33=62×33×3=669=663

Упростить полученное выражение (если необходимо)

Если в числителе и знаменателе присутствуют числа, которые можно и нужно сократить. Упрощайте такие выражения, как и любую дробь.

Пример 9

26 упрощается до 13; таким образом 226упрощается до 123=23

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание  

Метод 3. Деление квадратных корней с множителями

Алгоритм действий:

Упростить множители

Напомним, что множители представляют собой числа, стоящие перед знаком корня. Для упрощения множителей понадобится разделить или сократить их. Подкоренные выражения не трогайте!

Пример 10

432616. Сначала сокращаем 46: делим на 2 и числитель, и знаменатель: 46=23.

Упростить квадратные корни

Если числитель нацело делится на знаменатель, то делите. Если нет, то упрощайте подкоренные выражения, как и любые другие.

Пример 11

32 делится нацело на 16, поэтому: 3216=2

Умножить упрощенные множители на упрощенные корни

Помним про правило: не оставлять в знаменателе корни. Поэтому просто перемножаем числитель и знаменатель на этот корень.

Пример 12

Рационализировать знаменатель (избавиться от корня в знаменателе)

Пример 13

4327. Следует умножить числитель и знаменатель на 7, чтобы избавиться от корня в знаменателе.

437×77=43×77×7=42149=4217

Метод 4. Деление на двучлен с квадратным корнем

Алгоритм действий:

Определить, находится ли двучлен (бином) в знаменателе

Напомним, что двучлен представляет собой выражение, которое включает 2 одночлена. Такой метод имеет место быть только в случаях, когда в знаменателе двучлен с квадратным корнем.

Пример 14

15+2— в знаменателе присутствует бином, поскольку есть два одночлена.

Найти выражение, сопряженное биному

Напомним, что сопряженный бином является двучленом с теми же одночленами, но с противоположными знаками. Чтобы упростить выражение и избавиться от корня в знаменателе, следует перемножить сопряженные биномы.

Пример 15

5+2и 5-2 — сопряженные биномы.

Умножить числитель и знаменатель на двучлен, который сопряжен биному в знаменателе

Такая опция поможет избавиться от корня в знаменателе, поскольку произведение сопряженных двучленов равняется разности квадратов каждого члена биномов: (a-b)(a+b)=a2-b2

Пример 16

15+2=1(5-2)(5-2)(5+2)=5-2(52-(2)2=5-225-2=5-223.

Из этого следует: 15+2=5-223.

Советы: 

  1. Если вы  работаете с квадратными корнями смешанных чисел, то преобразовывайте их в неправильную дробь. 
  2. Отличие сложения и вычитания от деления — подкоренные выражения в случае деления не рекомендуется упрощать (за счет полных квадратов).
  3. Никогда (!) не оставляйте корень в знаменателе.
  4. Никаких десятичных дробей или смешанных перед корнем — необходимо преобразовать их в обыкновенную дробь, а потом упростить.
  5. В знаменателе сумма или разность двух одночленов? Умножьте такой бином на сопряженный ему двучлен и избавьтесь от корня в знаменателе.

Почему нельзя делить на ноль?

«Делить на ноль нельзя!» — большинство школьников заучивает это правило наизусть, не задаваясь вопросами. Все дети знают, что такое «нельзя» и что будет, если в ответ на него спросить: «Почему?» А ведь на самом деле очень интересно и важно знать, почему же нельзя.

Всё дело в том, что четыре действия арифметики — сложение, вычитание, умножение и деление — на самом деле неравноправны. Математики признают полноценными только два из них — сложение и умножение. Эти операции и их свойства включаются в само определение понятия числа. Все остальные действия строятся тем или иным образом из этих двух.

Рассмотрим, например, вычитание. Что значит 5 – 3? Школьник ответит на это просто: надо взять пять предметов, отнять (убрать) три из них и посмотреть, сколько останется. Но вот математики смотрят на эту задачу совсем по-другому. Нет никакого вычитания, есть только сложение. Поэтому запись 5 – 3 означает такое число, которое при сложении с числом 3 даст число 5. То есть 5 – 3 — это просто сокращенная запись уравнения: x + 3 = 5. В этом уравнении нет никакого вычитания. Есть только задача — найти подходящее число.

Точно так же обстоит дело с умножением и делением. Запись 8 : 4 можно понимать как результат разделения восьми предметов по четырем равным кучкам. Но в действительности это просто сокращенная форма записи уравнения 4 · x = 8.

Вот тут-то и становится ясно, почему нельзя (а точнее невозможно) делить на ноль. Запись

5 : 0 — это сокращение от 0 · x = 5. То есть это задание найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5. Но мы знаем, что при умножении на 0 всегда получается 0. Это неотъемлемое свойство нуля, строго говоря, часть его определения.

Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-то кроме нуля, просто не существует. То есть наша задача не имеет решения. (Да, такое бывает, не у всякой задачи есть решение.) А значит, записи 5 : 0 не соответствует никакого конкретного числа, и она просто ничего не обозначает и потому не имеет смысла. Бессмысленность этой записи кратко выражают, говоря, что на ноль делить нельзя.

Самые внимательные читатели в этом месте непременно спросят: а можно ли ноль делить на ноль? В самом деле, ведь уравнение 0 · x = 0 благополучно решается. Например, можно взять x = 0, и тогда получаем 0 · 0 = 0. Выходит, 0 : 0=0? Но не будем спешить. Попробуем взять

x = 1. Получим 0 · 1 = 0. Правильно? Значит, 0 : 0 = 1? Но ведь так можно взять любое число и получить 0 : 0 = 5, 0 : 0 = 317 и т. д.

Но если подходит любое число, то у нас нет никаких оснований остановить свой выбор на каком-то одном из них. То есть мы не можем сказать, какому числу соответствует запись 0 : 0. А раз так, то мы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла. Выходит, что на ноль нельзя делить даже ноль. (В математическом анализе бывают случаи, когда благодаря дополнительным условиям задачи можно отдать предпочтение одному из возможных вариантов решения уравнения 0 · x = 0; в таких случаях математики говорят о «раскрытии неопределенности», но в арифметике таких случаев не встречается.)

Вот такая особенность есть у операции деления. А точнее — у операции умножения и связанного с ней числа ноль.

Ну, а самые дотошные, дочитав до этого места, могут спросить: почему так получается, что делить на ноль нельзя, а вычитать ноль можно? В некотором смысле, именно с этого вопроса и начинается настоящая математика. Ответить на него можно только познакомившись с формальными математическими определениями числовых множеств и операций над ними. Это не так уж сложно, но почему-то не изучается в школе. Зато на лекциях по математике в университете вас в первую очередь будут учить именно этому.

Ответил: Александр Сергеев

Чиcло пи. π, 2π, 1/π, π/2, π/3, π/4, π/180, (π/180)2, π2, π3, π4 и др.


Навигация по справочнику TehTab.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Таблицы численных значений. (Таблица квадратов, кубов, синусов ….) + Таблицы Брадиса  / / Чиcло пи. π, 2π, 1/π, π/2, π/3, π/4, π/180, (π/180)2, π2, π3, π4 и др.

Чиcло пи. π, 2π, 1/π, π/2, π/3, π/4, π/180, (π/180)2, π2, π3, π2, корень квадратный из π, ln π, lg π, πe, eπ, e, e1/(2π) , ii , e-1/(2π) и др..

3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679… (100 знаков после запятой)

πe =

22.4592 = 22.45915 77183 61045 47342 71522…

eπ =

23.1407 = 23.14069 26327 79269 00572 90864…

e =

0.0432 = 0.04321 39182 63772 24977 44177…

e1/(2π) =

4.8105 = 4.81047 73809 65351 65547 30357…

ii =e-1/(2π) =

0.2079 = 0.20787 95763 50761 90854 69556…

log e π = ln π =

1.1447 = 1.14472 98858 49400 17414 34273 51353 05871 16472 94812 91531…

log 10 π = lg π =

0.4971 = 0.49714 98726 94133 85435 12682 88290 89887 36516 78324 38044…
log 10 = lg = 0.3991 = 0.39908 99341 79057 52478 25035 91507 69595 02099 34102 92128



Нашли ошибку? Есть дополнения? Напишите нам об этом, указав ссылку на страницу.
TehTab.ru

Реклама, сотрудничество: [email protected]

Обращаем ваше внимание на то, что данный интернет-сайт носит исключительно информационный характер. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Все риски за использование информаци с сайта посетители берут на себя. Проект TehTab.ru является некоммерческим, не поддерживается никакими политическими партиями и иностранными организациями.

Таблица синусов.

Таблица синусов.

      Таблица синусов от 1 до 360 градусов. Значения синусов сведены в таблицу. На другой странице размещена тригонометрическая таблица с корнями для школьников.

      Тригонометрическая таблица синусов начинается со значения угла альфа равного единице. Синус угла ноль градусов sin 0 равен нулю. Точно такое же значение имеет синус 360 градусов sin 360 или синус 2пи радиан, который можно найти в таблице синусов.

синус угла 0 градусов = синус угла 0 радиан = 0

sin 0 = 0

sin 360 = sin 2pi = 0

      Синус 30 градусов sin 30 равен 0,5 или 1/2. В радианной мере мере углов это значение синуса соответствует синусу пи/6. В таблице синусов это значение тригонометрической функции sin можно найти напротив угла в 30 градусов.

синус угла 30 градусов = синус угла пи/6 радиан = 0,5

sin 30 = sin pi/6 = 0,5

      Тригонометрическая таблица синусов, помимо широко распространнехых значений синуса, содержит так же следующие значения: синус 5, sin 6, синус 10 градусов в градусной мере углов, а так же sin 12, синус 15, sin 20 градусов.

      Синус 45 градусов sin 45 равняется 0,7071 или корень из двух деленный на два. В радианах это соответствует синусу пи/4 радиан.

синус угла 45 градусов = синус угла пи/4 радиан = 0,7071

sin 45 = sin pi/4 = 0,7071

      Синус 60 градусов sin 60 равняется 0,866 или корень из трех деленный на два, что равно значению синуса пи/3 радиан в радианной мере углов.

синус угла 60 градусов = синус угла пи/3 радиан = 0,866

sin 60 = sin pi/3 = 0,866

      Синус 90 градусов sin 90 или синус пи/2 равняется 1 или единице.

синус угла 90 градусов = синус угла пи/2 радиан = 1

sin 90 = sin pi/2 = 1

      Другие значения синуса, которые представлены в таблице для углов больше 90 градусов, можно получить так же при помощи формул приведения тригонометрических функций

Если вам понравилась публикация и вы хотите знать больше, помогите мне в работе над другими материалами.

      4 декабря 2010 года — 28 февраля 2017 года.

© 2006 — 2021 Николай Хижняк. Все права защищены.

Как извлечь корень в Эксель: квадратный, кубический, в степени

Среди базовых математических вычислений помимо сложения, вычитания, умножения и деления можно выделить возведение в степень и обратное действие – извлечение корня. Давайте посмотрим, каким образом можно выполнить последнее действие в Эксель разными способами.

Метод 1: использование функции КОРЕНЬ

Множество операций в программе реализуется с помощью специальных функций, и извлечение корня – не исключение. В данном случае нам нужен оператор КОРЕНЬ, формула которого выглядит так:

=КОРЕНЬ(число)

Для выполнения расчета достаточно написать данную формулу в любой свободной ячейке (или в строке формул, предварительно выбрав нужную ячейку). Слово “число”, соответственно, меняем на числовое значение, корень которого нужно найти.

Когда все готово, щелкаем клавишу Enter и получаем требуемый результат.

Вместо числа можно, также, указать адрес ячейки, содержащей число.

Указать координаты ячейки можно как вручную, прописав их с помощью клавиш на клавиатуре, так и просто щелкнув по ней, когда курсор находится в положенном месте в формуле.

Вставка формулы через Мастер функций

Воспользоваться формулой для извлечения корня можно через окно вставки функций. Вот, как это делается:

  1. Выбрав ячейку, в которой мы хотим выполнить расчеты, щелкаем по кнопке “Вставить функцию” (fx).
  2. В окне мастера функций выбираем категорию “Математические”, отмечаем оператор “КОРЕНЬ” и щелкаем OK.
  3. Перед нами появится окно с аргументом функции для заполнения. Как и при ручном написании формулы можно указать конкретное число или ссылку на ячейку, содержащую числовое значение. При этом, координаты можно указать, напечатав их с помощью клавиатуры или просто кликнуть по нужному элементу в самой таблице.
  4. Щелкнув кнопку OK мы получим результат в ячейке с функцией.

Вставка функции через вкладку “Формулы

  1. Встаем в ячейку, в которой хотим произвести вычисления. Щелкаем по кнопке “Математические” в разделе инструментов “Библиотека функций”.
  2. Пролистав предложенный перечень находим и кликаем по пункту “КОРЕНЬ”.
  3. На экране отобразится уже знакомое окно с аргументом, который нужно заполнить, после чего нажать кнопку OK.

Метод 2: нахождение корня путем возведения в степень

Описанный выше метод позволяет с легкостью извлекать квадратный корень из числа, однако, для кубического уже не подходит.(1/3).

Нажав Enter, получаем результат вычислений.

Аналогично работе с функцией КОРЕНЬ, вместо конкретного числа можно указать ссылку на ячейку.

Заключение

Таким образом, в Excel можно без особых усилий извлечь корень из любого числа, и сделать это можно разными способами. К тому же, возможности программы позволяют выполнять расчеты для извлечения не только квадратного, но и кубического корня. В редких случаях требуется найти корень n-степени, но и эта задача достаточно просто выполняется в программе.

Глава МИД Венгрии назвал свой народ самым коренным на Украине

https://ria.ru/20210708/ukraina-1740418928.html

Глава МИД Венгрии назвал свой народ самым коренным на Украине

Глава МИД Венгрии назвал свой народ самым коренным на Украине — РИА Новости, 08.07.2021

Глава МИД Венгрии назвал свой народ самым коренным на Украине

Принятый на Украине закон о коренных народах не способствует улучшению ситуации с венгерским меньшинством, заявил глава МИД Венгрии Петер Сийярто в интервью… РИА Новости, 08.07.2021

2021-07-08T12:48

2021-07-08T12:48

2021-07-08T13:16

россия

мид венгрии

петер сийярто

верховная рада украины

владимир зеленский

владимир путин

словакия

киев

в мире

/html/head/meta[@name=’og:title’]/@content

/html/head/meta[@name=’og:description’]/@content

https://cdn25.img.ria.ru/images/153033/39/1530333995_0:100:2000:1225_1920x0_80_0_0_4bbf3bb39282aa06aaf5af5ef18cf725.jpg

МОСКВА, 8 июл — РИА Новости. Принятый на Украине закон о коренных народах не способствует улучшению ситуации с венгерским меньшинством, заявил глава МИД Венгрии Петер Сийярто в интервью «Известиям».По мнению министра, именно его народ можно считать самым коренным на территории Украины.»Я не могу представить на Украине более коренного народа, чем венгры. Это, конечно, некоторое преувеличение, но тем не менее эти люди живут на этой территории на протяжении веков. Там даже есть люди, которые, не покидая одного города, могли быть гражданами аж пяти стран — СССР, Украины, Чехословакии, Словакии, Венгрии. Менялась принадлежность территории, но не проживающий на ней народ», — подчеркнул Сийярто.Ранее Верховная рада приняла закон «О коренных народах Украины», в перечень которых, в частности, не включены русские. При этом в тексте отдельно прописаны как коренные народы те, что сформировались на территории Крыма: крымские татары, караимы и крымчаки. Документ должен подписать Владимир Зеленский, который и был его инициатором.Проект встретил критику как в России, так и на Украине. Так, глава региональной национально-культурной автономии крымских татар Эйваз Умеров назвал его клоунадой. А украинская партия «Оппозиционная платформа — За жизнь» планирует обратиться в Конституционный суд страны. Владимир Путин, в свою очередь, напомнил, что русские испокон веков жили на территории Украины и решение объявить их «некоренными» продиктовано недружественной позицией, которую заняли в Киеве. Ранее российский лидер подчеркивал, что идея делить народы на коренные и нет напоминает теорию и практику нацистской Германии.

https://ria.ru/20210703/narody-1739769390.html

https://ria.ru/20210305/ukraina-1600010685.html

россия

словакия

киев

РИА Новости

[email protected]

7 495 645-6601

ФГУП МИА «Россия сегодня»

https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/awards/

2021

РИА Новости

[email protected]

7 495 645-6601

ФГУП МИА «Россия сегодня»

https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/awards/

Новости

ru-RU

https://ria.ru/docs/about/copyright.html

https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/

РИА Новости

[email protected]

7 495 645-6601

ФГУП МИА «Россия сегодня»

https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/awards/

https://cdn24.img.ria.ru/images/153033/39/1530333995_0:0:1936:1451_1920x0_80_0_0_5c5a603c4cb6dd0cceb08c987f84c52f.jpg

РИА Новости

[email protected]

7 495 645-6601

ФГУП МИА «Россия сегодня»

https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/awards/

РИА Новости

[email protected]

7 495 645-6601

ФГУП МИА «Россия сегодня»

https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/awards/

россия, мид венгрии, петер сийярто, верховная рада украины, владимир зеленский, владимир путин, словакия, киев, в мире

12:48 08.07.2021 (обновлено: 13:16 08.07.2021)

Глава МИД Венгрии назвал свой народ самым коренным на Украине

Рационализировать знаменатель

«Рационализация знаменателя» — это когда мы перемещаем корень (например, квадратный корень или кубический корень) из нижней части дроби в верхнюю.

О нет! Иррациональный знаменатель!

Нижняя часть дроби называется знаменателем .
Такие числа, как 2 и 3, являются рациональными.
Но многие корни, такие как √2 и √3, иррациональны.

Пример: имеет иррациональный знаменатель

Чтобы быть в «простейшей форме», знаменатель не должен быть иррациональным!

Исправление (путем рационального использования знаменателя)
называется « Рационализация знаменателя »

Примечание: нет ничего неправильного с иррациональным знаменателем, все равно работает. Но это не самая простая форма, поэтому может стоить марок.

А их удаление может помочь вам решить уравнение, поэтому вам следует узнать, как это сделать.

Итак … как мы это делаем?

1. Умножьте верх и низ на корень

Иногда можно просто умножить верх и низ на корень:

Пример: имеет иррациональный знаменатель. Давай исправим.

Умножьте верхнюю и нижнюю часть на квадратный корень из 2, потому что: √2 × √2 = 2:

Теперь в знаменателе есть рациональное число (= 2).Сделанный!

Примечание. Иррациональное число в верхней части (числителе) дроби — это нормально.

2. Умножьте верх и низ на конъюгат

Есть еще один особый способ переместить квадратный корень из нижней части дроби в верхнюю часть … мы умножаем верхний и нижний на , сопряженное знаменателю .

Сопряжение — это где мы меняем знак в середине двух членов:

Пример выражения Его конъюгат
x 2 — 3 х 2 + 3

Другой пример Его конъюгат
а + б 3 а — б 3

Это работает, потому что, когда мы умножаем что-то на его сопряжение, мы получаем квадратов , как это:

(a + b) (a − b) = a 2 — b 2

Вот как это сделать:

Пример: вот дробь с «иррациональным знаменателем»:

1 3 − √2

Как мы можем переместить квадратный корень из 2 вверх?

Мы можем умножить верхнюю и нижнюю части на 3 + √2 (сопряжение 3 − √2) , что не изменит значение дроби:

1 3 − √2 × 3 + √2 3 + √2 знак равно 3 + √2 3 2 — (√2) 2 знак равно 3 + √2 7

(Вы видели, что мы использовали (a + b) (a − b) = a 2 — b 2 в знаменателе?)

Используйте свой калькулятор, чтобы вычислить значение до и после… это то же самое?

Есть еще один пример на странице Оценка пределов (расширенная тема), где я перемещаю квадратный корень сверху вниз.

Полезный

Так что постарайтесь запомнить эти маленькие уловки, они могут однажды помочь вам решить уравнение!

Конъюгаты и деление на радикалы

Purplemath

Иногда вам нужно умножать многочленные выражения, содержащие только радикалы.Это ситуация, в которой вертикальное умножение является прекрасным подспорьем.

  • Упростить

Это упражнение выглядит некрасиво, но оно вполне выполнимо, если я аккуратен и точен в своей работе.

Сначала я выполняю умножение, используя вертикальный метод, чтобы все было прямо:

MathHelp.com

Затем я устанавливаю исходное выражение, равное последней строке из приведенного выше умножения, и завершаю вычисления, упрощая каждый член:


  • Упростить:

Сначала делаю умножение:

А потом упрощаю:


Обратите внимание на последний пример выше, как я получил все целые числа.(Хорошо, технически они целые числа, но дело в том, что члены , а не включают какие-либо радикалы.) Я перемножил два радикальных бинома и получил ответ, в котором не было радикалов. Вы также могли заметить, что два «бинома» были одинаковыми, за исключением знака посередине: у одного был «плюс», а у другого — «минус».

Эта пара факторов, где второй фактор отличается только одним знаком посередине, очень важна; по сути, этот «тот же самый, за исключением знака посередине» второй фактор имеет собственное название:

Учитывая радикальное выражение

, «конъюгат» является выражением.

Конъюгат (KAHN-juh-ghitt) имеет те же числа, но с противоположным знаком посередине. Таким образом,

не только является конъюгатом, но и является конъюгатом.

Кроме того, конъюгаты не обязательно должны быть двухчленными выражениями с радикалами в каждом из терминов. Фактически, любое двухчленное выражение может иметь конъюгат:

1 + sqrt [2] является конъюгатом 1 — sqrt [2] sqrt [7] — 5 sqrt [6] является конъюгатом sqrt [7] + 5 sqrt [6] x + sqrt [y] является конъюгатом x — sqrt [y]

Чтобы создать конъюгат, все, что вам нужно сделать, это перевернуть знак посередине.Все остальное остается прежним.


  • Что такое спряжение 3 + sqrt [5]?

В этом случае я нахожу сопряжение для выражения, в котором только один из терминов имеет радикал. Это хорошо. Независимо от этого, процесс тот же; а именно я переворачиваю знак посередине. Поскольку они дали мне выражение со знаком «плюс» в середине, спряжение — это те же два термина, но с «минусом» посередине:


  • Найдите конъюгат –7 sqrt [3] — 2

На этот раз радикал находится в первом из двух членов, и перед первым термином стоит «минус».Это хорошо. Я оставлю первый «минус» в покое, потому что ничего не меняю, кроме среднего знака; Переверну второй «минус» посередине на «плюс»:


Когда мы умножаем конъюгаты, мы делаем нечто похожее на то, что происходит, когда мы умножаем на разность квадратов; а именно:

a 2 b 2 = ( a + b ) ( a b )

Когда мы умножаем множители a + b и a b , средние члены « ab » сокращаются:

То же самое происходит, когда мы умножаем конъюгаты:

Мы вскоре увидим, почему это важно.Чтобы понять это, давайте сначала взглянем на дроби, в знаменателях которых есть радикалы.


Деление на квадратные корни

Точно так же, как мы можем переключаться между умножением радикалов и радикалом, содержащим умножение, мы можем переключаться между делением корней и одним корнем, содержащим деление.

  • Упростить:

Я могу упростить это, работая внутри, а затем извлекая квадратный корень:

…. или, в противном случае, разделив разделение на два радикала, упрощение и исключение:

В любом случае, мой окончательный ответ такой же.


  • Упростить:

Я вижу, что в знаменателе есть полный квадрат, а в числителе — простое число.Так что упрощение будет легче, если я разделю радикал, содержащий фракцию, на фракцию, содержащую радикалы:


URL: https://www.purplemath.com/modules/radicals4.htm

Как избавиться от квадратного корня в уравнении

Обновлено 20 ноября 2020 г.

Лиза Мэлони

Когда вы впервые узнали о числах в квадрате, таких как 3 2 , 5 2 и x 2 , вы, вероятно, узнали об обратной операции возведения в квадрат числа, то есть о квадратном корне.Эта обратная связь между возведением чисел в квадрат и квадратными корнями важна, потому что на простом английском языке это означает, что одна операция отменяет действие другой. Это означает, что если у вас есть уравнение с квадратными корнями в нем, вы можете использовать операцию «возведения в квадрат» или экспоненты, чтобы удалить квадратные корни. Но есть некоторые правила, как это сделать, а также потенциальная ловушка ложных решений.

TL; DR (слишком долго; не читал)

Чтобы решить уравнение с квадратным корнем, сначала выделите квадратный корень на одной стороне уравнения.Затем возведите обе части уравнения в квадрат и продолжайте поиск переменной. Не забудьте в конце проверить свою работу.

Простой пример

Прежде чем рассматривать некоторые потенциальные «ловушки» решения уравнения с квадратными корнями в нем, рассмотрим простой пример: Решите следующее уравнение для x :

\ sqrt {x } + 1 = 5

    Используйте арифметические операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление, чтобы выделить выражение квадратного корня на одной стороне уравнения.2

    x = 16

    Вы удалили знак квадратного корня и , у вас есть значение x , так что ваша работа здесь сделана. Но подождите, есть еще один шаг:

    Проверьте свою работу, подставив найденное вами значение x в исходное уравнение:

    \ sqrt {16} + 1 = 5

    4 + 1 = 5

    5 = 5

    Поскольку это вернуло допустимый оператор (5 = 5, в отличие от недопустимого оператора, такого как 3 = 4 или 2 = -2, решение, которое вы нашли на шаге 2, является действительным.В этом примере проверка вашей работы кажется тривиальной. Но этот метод устранения радикалов иногда может давать «ложные» ответы, которые не работают в исходном уравнении. Так что лучше иметь привычку всегда проверять свои ответы, чтобы убедиться, что они возвращают действительный результат, начиная с этого момента.

Немного сложнее

Что делать, если у вас есть более сложное выражение под знаком корня (квадратный корень)? Рассмотрим следующее уравнение. Вы по-прежнему можете применить тот же процесс, что и в предыдущем примере, но это уравнение выделяет пару правил, которым вы должны следовать.2

y — 4 = 576

Теперь, когда вы исключили радикальный или квадратный корень из уравнения, вы можете изолировать переменную. Чтобы продолжить пример, добавив 4 к обеим сторонам уравнения, вы получите:

y = 580

Как и раньше, проверьте свою работу, подставив найденное вами значение y обратно в исходное уравнение. Это дает вам:

\ sqrt {580 — 4} + 5 = 29

\ sqrt {576} + 5 = 29

Упрощение радикала дает:

24 + 5 = 29

29 = 29

истинное утверждение, указывающее на действительный результат.

Умножение квадратного корня: 3 простых метода [с примерами]

Ваши ученики знают, как умножать экспоненты, но теперь пришло время научить их умножению квадратного корня и удивительному миру предалгебры. Но вы опасаетесь, что они могут подумать: «На уроке математики мы больше узнали об алгебре, например, X + 10 = Y, но почему меня это должно волновать?»

Вы хотите, чтобы они поняли, что французский математик Жан де Ронд д’Аламбер сказал знаменитую фразу: «алгебра щедра; она часто дает больше, чем от нее просят.

То, что вы не видите X и Y, не означает, что вы не используете алгебру каждый день. Умение умножать квадратные корни — это один из камней на живописном пути к пониманию актуальности алгебры в реальной жизни.

Преподаватели, подобные вам, знают, что не всегда легко сделать эти абстрактные и сложные концепции интересными и увлекательными.

Этот пост в блоге, разделенный на три части, призван изменить это!

  • Что такое квадратные корни
  • Как умножить квадратные корни
  • Привлечение способов закрепить знания учащихся о квадратном корне

Часть первая: Что такое «квадратный корень»?

Квадратный корень из числа относится к множителю, который вы можете умножить само на себя, чтобы получить это число.Другими словами, нахождение квадратного корня — это процесс, противоположный возведению числа в квадрат.

Извлечь квадратный корень можно только из неотрицательных чисел — даже тех, которые не дают целых чисел. Это потому, что любое число раз само по себе является положительным или нулевым — вы никогда не получите отрицательный продукт, возведя в квадрат отрицательное число. Как вы видели выше, квадратный корень отменяет возведение в квадрат, поэтому отрицательные числа не могут иметь квадратные корни.

Тем не менее, точные квадратные числа являются наиболее эффективными при обучении студентов умножению квадратных корней.

На рисунке ниже мы видим, что квадратный корень из 16 равен 4, потому что 4 в квадрате, или 42, равно 16.

В математическом классе это уравнение будет выглядеть так:

Учащиеся видят это Впервые наверняка возникнут вопросы: Что это за символ в виде галочки? Почему на нем крошечная цифра?

Бретт Берри, основатель Math Hacks, в своей статье о понимании логарифмов и корней создала ясный и лаконичный образ со всей терминологией root .

Многие вопросы о нахождении квадратного корня не включают корневой индекс. Однако корневые индексы необходимы при вычислении более высоких индексированных корней, таких как кубические, четвертые или пятые корни.

Когда мне когда-нибудь понадобится умножать квадратные корни?

Независимо от того, насколько хорошо вы преподаете эти алгебраические концепции, студенты всегда будут задавать этот вопрос. ☝️

И вы должны быть готовы предоставить им законные ответы. Например, умножение квадратного корня может быть важно для:

  • Знание площади их будущих домов
  • Архитекторов
  • Художников
  • Плотников
  • Строителей
  • Дизайнеров
  • Инженеров

Есть еще кое-что! В то время как некоторым придется вычислять уравнения каждый день, другие будут использовать эти концепции для составления оценок.Одно можно сказать наверняка — люди этих профессий изучали математику в школе в детстве и используют ее до сих пор!

Часть вторая: 3 простых метода умножения квадратных корней

Умножение квадратных корней без коэффициентов

1. Умножьте каждое корневое и так же, как и без радикала или символа квадратного корня.

2. Упростите подкоренное выражение, вычленив все полные квадраты. Если в подкоренном выражении нет полных квадратов, значит, оно уже упрощено.В этом случае вы можете упростить √98 до √2, а √49 — до полного квадрата.

3. Извлеките квадратный корень из полного квадрата. В этом примере упростите √49 до 7 и поместите его перед оставшимся выражением √2.

Умножение квадратных корней на коэффициенты

1. Умножение коэффициентов перед знаками корня , если они есть.

2. Умножьте каждое подкоренное выражение так же, как и без радикала или символа квадратного корня.

3. Упростите подкоренное выражение, вычленив все полные квадраты. В этом примере вы можете упростить √40 до √4 и √10.

4. Извлеките квадратный корень из полного квадрата и умножьте его на коэффициент . В этом примере упростите √4 до 2 и умножьте его на 6.

Умножение квадратных корней с переменными

Помимо чисел, радикалы могут содержать другие вещи, такие как переменные и показатели степени.Упрощение радикалов с помощью переменных следует тем же правилам, что и упрощение радикалов с числами.

1. Умножьте подкоренные выражения . Если есть коэффициенты, их тоже умножьте.

Примечание : для умножения радикалов, содержащих переменные,:

  • Корневой индекс должен быть таким же
  • Значение x — вместе с любыми другими переменными — должно быть больше или равно нулю

2. Найдите разложения на простые множители, чтобы определить точные квадратные множители. Для этого вы можете использовать дерево факторов, как на изображении ниже.

Например, 2 и 9 равны 18, а 9 упрощается до 3 и 3. Таким образом, разложение на простые множители и квадратные множители для 18 будут 2, 3 и 3. Разложение на простые множители 30 равно 2, 3 и 5. Вы также можете разбить и переставить переменные экспоненты — вы можете переписать x3 как x2 и x .

Часть третья: Действия по закреплению знаний учащихся о квадратном корне

Создайте радикальные башни чисел

Лиза Тарман, педагог из Пенсильвании, создала сотни учебных материалов.Ее «Лабиринт упрощающих радикалов» — это освежающий и увлекательный подход к традиционным рабочим листам.

Попросите учащихся начать с левого верхнего угла. Им придется упростить радикалы, чтобы добраться до конца лабиринта. Получите доступ к бесплатной рабочей таблице Тармана и ответьте на него здесь.

Если вы хотите лабиринт умножающих радикалов, посмотрите этот от Teachers Pay Teachers!

Play Prodigy

Prodigy — бесплатная адаптивная математическая игра, которой пользуются полтора миллиона учителей и более 50 миллионов студентов по всему миру! Он предлагает контент по всем основным математическим темам и охватывает 1-8 классы, в том числе инструкции:

  • Оценивать идеальные корни
  • Переписывать показатели степени как корни

Использование Prodigy в вашем классе поможет ученикам развить беглость математики и уверенность в себе. будущая средняя школа и курсы математики на уровне колледжа.Ваш класс будет исследовать мир, наполненный захватывающими квестами, которые предоставляют персонализированный, согласованный с учебной программой контент и данные об учениках в реальном времени.

Помня об этих методах и упражнениях, вы поймете, что умножение квадратных корней не должно оставаться неуместным или пугающим для вас или ваших учеников.

При эффективном использовании упражнения, подобные приведенным выше, могут помочь укрепить понимание учащимися и повысить уровень вовлеченности учителей, которые редко становятся свидетелями на уроках математики.

Вы педагог? Настройте вопросы по математике, чтобы дополнить учебный материал и дифференцировать обучение, обращая внимание на проблемные места каждого учащегося.

Prodigy также предлагает мощные инструменты для немедленной подготовки отчетов как для учителей, так и для родителей. От отчетов о прогрессе до отчетов об использовании и т. Д. Используйте данные своего ученика или ребенка, чтобы определить, где они преуспевают или испытывают трудности, чтобы вы могли настроить для них контент в игре.

Нажмите здесь или на баннер ниже, чтобы начать работу менее чем за пять минут!

Как решать полиномиальные уравнения

Как решать полиномиальные уравнения

Авторские права © 20022020 Стэн Браун

Сводка: В алгебре вы тратите много времени на решение многочлена уравнения или факторизации многочленов (что одно и то же).Было бы легко потеряться во всех техниках, но эта статья связывает их все вместе в единое целое.


Генеральный план

Убедитесь, что вас не смущает терминология. Все это то же:

  • Решение полиномиального уравнения p ( x ) = 0
  • Нахождение корней полиномиального уравнения p ( x ) = 0
  • Нахождение нулей полиномиальной функции p ( x )
  • Факторизация полиномиальной функции p ( x )

Есть коэффициент для каждого корня, и наоборот. ( x r ) является множителем тогда и только тогда, когда r является корнем. Это Теорема о факторах : поиск корней или факторов по сути то же самое. (Основное различие заключается в том, как вы относитесь к постоянный коэффициент.)

точное или приблизительное значение?

Чаще всего, когда мы говорим о решении уравнения или факторизации многочлен, мы имеем в виду точное (или аналитическое) решение . В другой тип, приближенное (или числовое) решение , всегда возможно, а иногда и единственная возможность.

Когда найдешь, точное решение лучше . Вы всегда можете найти численное приближение к точному решению, но пойти другим путем гораздо труднее. Эта страница тратит больше всего своего времени на методы точных решений, но также расскажет, что нужно делать, когда аналитические методы терпят неудачу.

Шаг за шагом

Как найти множители или нули многочлена (или корни полиномиального уравнения)? В основном вам сточить . Каждый раз вы вычеркиваете множитель или корень из многочлена, у вас остается полином на одну степень проще.Используйте этот новый уменьшенный полином, чтобы найти оставшиеся факторы или корни.

На любом этапе процедуры, если вы доберетесь до кубическое или четвертое уравнение (степень 3 или 4), у вас есть выбор продолжения факторинга или использования кубические или четвертичные формулы. Этих формул много работы, поэтому большинство людей предпочитают продолжать факторинг.

Выполните эту процедуру, шаг за шагом:

  1. Если вы решаете уравнение, запишите его в стандартную форму с 0 с одной стороны и упрощают .[ подробности ]
  2. Знайте , сколько корней ожидать. [ подробности ]
  3. Если у вас есть линейное или квадратное уравнение (степень 1 или 2), решите осмотром или по формуле корней квадратного уравнения. [ подробности ]
    Затем переходите к шагу 7.
  4. Найдите один рациональный множитель или корень. Это самая сложная часть, но есть много методов, которые могут вам помочь. [ подробности ]
    Если вы можете найти фактор или корень, перейдите к шагу 5 ниже; если не можете, переходите к шагу 6.
  5. Разделите на множитель . Это оставляет вас с новым приведенный многочлен , степень которого на 1 меньше. [ подробности ]
    Для остальной части задачи вы будете работать с уменьшенным многочлен, а не оригинал. Продолжите с шага 3.
  6. Если вы не можете найти множитель или корень , обратитесь к численные методы. [ подробности ]
    Затем переходите к шагу 7.
  7. Если это уравнение нужно было решить, запишите корни . Если это был многочлен для факторизации, запишите его в факторизованной форме , включая любые постоянные факторы, которые вы вывели на шаге 1.

Это пример алгоритма , набор шагов что приведет к желаемому результату за конечное количество операций. Это итеративная стратегия , потому что средние шаги повторять столько, сколько необходимо.

Кубические и четвертые формулы

Приведенные здесь методы находят рациональный корень и использовать синтетическое деление проще всего. Но если вы не можете найти рациональный корень, есть специальные методы для кубические уравнения (степень 3) и уравнения четвертой степени (степень 4), оба в Mathworld.Альтернативный подход предоставляется Дик Никаллс в PDF для кубический а также четвертичная уравнения.


Шаг 1. Стандартная форма и упрощение

К сожалению, это легко не заметить. Если у вас есть полиномиальное уравнение , отложите все члены в одну сторону. и 0 с другой. И независимо от того, является ли это проблема факторинга или уравнение, которое нужно решить, положите ваш многочлен в стандартной форме от до самой низкой степени .

Например, вы, , не можете решить это уравнение в такой форме:

x + 6 x + 12 x = −8

Вы должны изменить его на эту форму:

x + 6 x + 12 x + 8 = 0

Также убедитесь, что вы упростили, исключив любые общие факторы .Это может включать в себя вычитание −1 так что наивысшая степень имеет положительный коэффициент. Пример: в коэффициент

7-6 x -15 x — 2 х

начнем с того, что приведем его в стандартную форму:

−2 x -15 x -6 x + 7

, а затем вычтите −1

— (2 x + 15 x + 6 x -7) или же (−1) (2 x + 15 x + 6 x -7)

Если вы решаете уравнение, вы можете выбросить любых общий постоянный множитель.Но если вы факторизуете многочлен, вы должны сохранить общий множитель .

Пример: решить 8 x + 16 x + 8 = 0, вы можете разделите левую и правую на общий множитель 8. Уравнение х + 2 х + 1 = 0 имеет те же корни, что и исходное уравнение .

Пример: Фактор 8 x + 16 x + 8, вы узнаете общий множитель 8 и перепишем многочлен в виде 8 ( x + 2 x + 1), что является идентичен исходному многочлену .(Хотя это правда, что вы сосредоточит ваши дальнейшие усилия по факторингу на x + 2 x + 1, это будет ошибкой написать, что исходный многочлен равен х + 2 х + 1.)

Ваш общий фактор может быть дробь, потому что вы должны вычесть любые дроби, чтобы полином имеет целочисленных коэффициентов .

Пример: решить (1/3) x + (3/4) x — (1/2) x + 5/6 = 0, вы узнаете общий множитель 1/12 и разделите обе стороны на 1/12.Это в точности то же самое, что и распознавание и умножение на наименьший общий знаменатель из 12. В любом случае вы получите 4 x + 9 x -6 x + 10 = 0, которое имеет те же корни, что и исходное уравнение .

Пример: Фактор (1/3) x + (3/4) x — (1/2) x + 5/6, вы узнаете общий множитель 1/12 (или наименьший общий знаменатель 12) и вычитаем 1/12. Ты получаешь (1/12) (4 x + 9 x -6 x + 10), что идентично исходному многочлену .

Шаг 2. Сколько корней?

Многочлен степени n будет иметь n корней, некоторые из которых могут быть множественные корни.

Как узнать, что это правда? В Основная теорема алгебры говорит вам, что многочлен имеет хотя бы один корень. Теорема о факторах говорит вам, что если r является корнем, тогда ( x r ) является множителем. Но если разделить многочлен степени n на множитель ( x r ), степень которого равна 1, вы получите полином степени n −1.Неоднократно применяя Фундаментальную Теорема и теорема о множителях дают вам n корней и n факторов.

Правило знаков Декарта

Правило знаков Декарта может сказать вам, сколько положительных и сколько отрицательных действительных нулей многочлен. Это большое трудосберегающее устройство, особенно когда вы решаете, какой возможные рациональные корни, которые нужно искать.

Чтобы применить Правило знаков Декарта, вам необходимо понимать термин изменение знака .Когда многочлен расположен в стандартная форма, вариация в Знак возникает, когда знак коэффициента отличается от знака предыдущего коэффициента. (Нулевой коэффициент игнорируется.) Для пример,

p ( x ) = x 5 — 2 x 3 + 2 x 2 — 3 x + 12

имеет четыре варианта знака.

Правило знаков Декарта:

  • Число положительных корней из p ( x ) = 0 либо равно количество вариаций знака p ( x ), или меньше, чем на четное номер.
  • Число отрицательных корней из p ( x ) = 0 либо равно количество вариаций знака p (- x ), или меньше, чем на четное номер.

Пример: рассмотрим p ( x ) выше. Поскольку у него четыре варианта в знаке должно быть либо четыре положительных корня, либо два положительных корня, или нет положительных корней.

Теперь сформируйте p (- x ), заменив x на (- x ) в выше:

p (- x ) = (- x ) 5 — 2 (- x ) 3 + 2 (- x ) 2 — 3 (- x ) + 12

p (- x ) = — x 5 + 2 x 3 + 2 x 2 + 3 x + 12

p (- x ) имеет один вариант знака, поэтому оригинал p ( x ) имеет один негатив корень.Поскольку вы знаете, что p ( x ) должен иметь отрицательный корень, но он может или может не иметь положительных корней, сначала ищите отрицательные корнеплоды.

p ( x ) — полином пятой степени, поэтому он должен иметь пять нулей. Поскольку x не является множителем, вы знаете, что x = 0 не является нуль полинома. (Для полинома с действительными коэффициентами, например в этом случае комплексные корни встречаются парами.) Следовательно, есть три возможности:

вторая возможность 2
количество нулей
, которые являются
положительным отрицательным комплексным
нереальным
первая возможность 4 1 0
1 2
третий вариант 0 1 4

Сложные корни

Если полином имеет действительных коэффициентов , то либо все корни настоящие или есть четное число невещественных комплексных корней в сопряженных парах .

Например, если 5 + 2i является нулем многочлена с вещественными коэффициентов, то 5−2i также должен быть нулем этого многочлена. Также верно и то, что если ( x −5−2i) является множителем, то ( x −5 + 2i) также является фактором.

Почему это правда? Потому что, когда у вас есть фактор с воображаемым часть и умножьте ее на комплексное сопряжение, вы получите реальную результат:

( x −5−2i) ( x −5 + 2i) = x −10 x + 25−4i = х −10 х +29

Если ( x −5−2i) было фактором, но ( x −5 + 2i) не было, тогда многочлен будет иметь воображение в его коэффициентах, независимо от других факторов возможно.Если многочлен имеет только действительные коэффициентов, то любые комплексные корни должны входить в сопряженные пары.

Иррациональные корни

По тем же причинам, если многочлен имеет рациональных коэффициентов то иррациональные корни, содержащие квадратный корни встречаются (если вообще встречаются) в сопряженных парах. Если ( x −2 + √3) является множителем многочлена с рациональными коэффициентов, то ( x −2 − √3) также должно быть фактор. Чтобы понять почему, вспомните, как вы рационализируете бином знаменатель; или просто проверьте, что происходит, когда вы умножаете эти два факторы.(1/3) и два сложные корни.

Интересная проблема, нет ли иррациональности с четными корнями порядка ≥4 также должны встречаться в сопряженных пары. У меня нет немедленного ответа. Я работаю над доказательство, как я успеваю.

Множественные корни

Когда данный множитель ( x r ) встречается m раз в полиноме, r равно называется кратным корнем или корнем с кратностью м .

  • Если кратность м — четное число, график касается Ось x при x = r , но не пересекает ее.
  • Если кратность m — нечетное число, график пересекает Ось x при x = r . Если кратность 3, 5, 7 и т. Д., График горизонтально в точке пересечения оси.

Примеры: сравните эти два многочлена и их графики:

f ( x ) = ( x −1) ( x −4) 2 = x 3 — 9 x 2 + 24 х — 16

г ( x ) = ( x −1) 3 ( x −4) 2 = x 5 -11 x 4 + 43 x 3 — 73 x 2 + 56 x — 16

Эти многочлены имеют одинаковые нули, но корень 1 встречается с разной кратностью.Посмотрите на графики:

Оба полинома имеют нули только в точках 1 и 4. f ( x ) имеет степень 3, что означает три корня. Из факторов видно, что 1 является корнем кратность 1 и 4 является корнем из кратности 2. Следовательно, граф пересекает ось в точке x = 1 (но не горизонтально там) и касается в точке х = 4 без пересечения.

Напротив, г ( x ) имеет степень 5. ( г ( x ) = f ( x ) раз ( x −1) 2 .) Из пяти корней 1 встречается с кратность 3: график пересекает ось при x = 1 и является горизонтальным там; 4 встречается с кратностью 2, и график касается ось при x = 4 без пересечения.


Шаг 3. Квадратичные множители

Когда у вас есть квадратичные множители (Ax + Bx + C), он может или не может можно будет их дополнительно проанализировать.

Иногда вы можете просто увидеть факторы, как в случае с x x −6 = ( x +2) ( x −3).В других случаях не так очевидно, квадратичный можно разложить на множители. Вот когда квадратная формула (показан справа) ваш друг.

Например, предположим, что у вас есть коэффициент 12 x x −35. Можно ли это еще раз проанализировать? Судом и ошибка вам придется перепробовать много комбинаций! Вместо этого используйте факт что коэффициенты соответствуют корням , и примените формулу к найти корни из 12 x x −35 = 0, например:

x = [- (- 1) √1 — 4 (12) (- 35)] / 2 (12)

x = [1 √1681] / 24

√1681 = 41, следовательно,

x = [1 41] / 24

x = 42/24 или -40/24

x = 7/4 или -5/3

Если 7/4 и −5/3 — корни, то ( x −7/4) и ( x +5/3) факторы.Следовательно,

12 x x −35 = (4 x −7) (3 x +5)

А как насчет x −5 x +7? Этот выглядит как лучший, но как ты можешь быть уверен? Снова применим формулу:

x = [- (- 5) √25 — 4 (1) (7)] / 2 (1)

x = [5 √ − 3] / 2

Что с этим делать, зависит от исходной проблемы. Если это должен был разложить на множители действительные числа, тогда x −5 x +7 простое число.Но если этот фактор был частью уравнения, и вы должны были найти все сложные корни, у вас их два:

x = 5/2 + (√3 / 2) i, x = 5/2 — (√3 / 2) i

Поскольку исходное уравнение имело действительные коэффициенты, эти сложные корни встречаются в сопряженной паре.


Шаг 4. Найдите один фактор или корень

Этот шаг является сердцем факторизации многочлена или решения полиномиальное уравнение. Есть много методов, которые могут вам помочь найти фактор.

Иногда можно найти факторы путем осмотра (см. Первые два следующие разделы). Это отличный способ быстрого доступа, поэтому проверьте легкие факторы, прежде чем начинать более напряженные методы.

Мономиальные множители

Всегда начинайте с поиска любых мономиальных множителей, которые вы видите. Например, если ваша функция

f ( x ) = 4 x 6 + 12 x 5 + 12 x 4 + 4 x 3

, вы должны немедленно разложить его на

f ( x ) = 4 x 3 ( x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1)

Получение 4 из оттуда упрощает оставшиеся числа, x 3 дает вам корень x = 0 (с кратностью 3), и теперь у вас есть только кубический многочлен (степени 3) вместо sextic (степень 6).Фактически, теперь вы должны распознать эту кубику как особый продукт, идеальный куб ( x +1) 3 .

Когда вы вычитаете общий переменный множитель, убедитесь, что вы помните об этом в конце, когда перечисляете фактор или корни. x +3 x +3 x +1 = 0 имеет определенные корни, но x ( x +3 x +3 x +1) = 0 имеет те же корни и также корень при x = 0 (с кратностью 3).

Особые продукты

Будьте внимательны к применению специальных продуктов .Если вы сможете применить их, ваша задача станет намного проще. Специальный Продукты

  • полный квадрат (2 формы): A 2 A B + B = ( A B )
  • сумма квадратов: A + B нельзя разложить на множители на действительные числа, как правило (для исключительных случаев см. Как разложить на множители сумму квадратов)
  • разность квадратов: A B = ( A + B ) ( A B )
  • идеальный куб (2 формы): A 3 A B + 3 A B B = ( A B )
  • сумма кубов: A + B = ( A + B ) ( A A B + B )
  • разность кубов: A B = ( A B ) ( A + A B + B )

Выражения для суммы или разности двух кубов выглядят так: хотя они должны учитывать дополнительные факторы, но они этого не делают. A A B + B является простым над реалами.

Рассмотрим

p ( x ) = 27 x — 64

Вы должны узнать это как

p ( x ) = (3 x ) — 4

Вы умеете множить разницу двух кубов:

p ( x ) = (3 x −4) (9 x +12 x +16)

Бинго! Как только вы дойдете до квадратичной, вы можете применить Квадратичная формула, и все готово.

Вот другой пример:

q ( x ) = x 6 + 16 x 3 + 64

Это просто идеальный квадратный трехчлен, но вместо x 3 х . Вы учитываете это точно так же:

q ( x ) = ( x 3 ) 2 + 2 (8) ( x 3 ) + 8 2

q ( x ) = ( x 3 + 8) 2

И вы можете легко разложить ( x 3 +8) 2 как ( x +2) 2 ( x 2 −2 x +4) 2 .

Рациональные корни

Предполагая, что вы уже учли легкое мономиальные факторы и специальные продукты, что вы будете делать, если у вас все еще есть многочлен степени 3 или выше?

Ответ — Rational Root Test . Он может показать вам некоторые корни кандидатов когда вы не видите, как разложить полином на множители, как показано ниже.

Рассмотрим многочлен стандартной формы, записанный с высшей степени. до самого низкого и всего с целочисленными коэффициентами :

f ( x ) = a n x n +… + a o

Теорема о рациональном корне говорит вам, что , если многочлен имеет рациональный нуль , затем , это должна быть дробь p / q , где p — коэффициент концевой константы a o и q — множитель старшего коэффициента a n .

Пример:

p ( x ) = 2 x 4 — 11 x 3 — 6 x 2 + 64 x + 32

Коэффициенты старшего коэффициента (2) равны 2 и 1.В коэффициенты постоянного члена (32) равны 1, 2, 4, 8, 16 и 32. Следовательно, возможные рациональные нули: 1, 2, 4, 8, 16 или 32 разделить на 2 или 1:

любой из 1/2, 1/1, 2/2, 2/1, 4/2, 4/1, 8/2, 8/1, 16/2, 16/1, 32/2, 32/1

уменьшенный: любой из, 1, 2, 4, 8, 16, 32

Что мы имеем в виду, когда говорим, что это список всех возможных рациональных корней ? Мы имеем в виду, что никакое другое рациональное число, как или 32/7, может быть нулем этого конкретного многочлена.

Осторожно : Не делайте Rational Root Test больше, чем есть.Это не означает, что рациональные числа являются корнями , просто что никакие другие рациональные числа не могут быть корнями. И это не говорит вы что-нибудь о том, какие иррациональные или даже сложные корни существовать. Rational Root Test — это только отправная точка.

Предположим, у вас есть многочлен с нецелыми коэффициентами. Вы застряли? Нет, вы можете исключить наименее распространенные знаменатель (LCD) и получите многочлен с целыми коэффициентами, которые способ. Пример:

(1/2) x — (3/2) x + (2/3) x — 1/2

ЖК-дисплей 1/6.Выносим за скобки 1/6 получаем многочлен

.

(1/6) (3 x — 9 x + 4 x — 3)

Две формы эквивалентны, и поэтому имеют одинаковые корнеплоды. Но вы не можете применить Rational Root Test к первой форме, только ко второму. Тест говорит вам, что единственно возможное рациональное корни — любые из 1/3, 1, 3.

После того, как вы определили возможных рациональных нулей, как вы можете их проверить? Метод грубой силы заключался бы в том, чтобы взять каждый возможное значение и замените его на x в полиноме: если результат равен нулю, тогда это число является корнем.Но есть лучше способ.

Используйте Synthetic Division, чтобы узнать, кандидат делает полином равным нулю. Это лучше на троих причины. Во-первых, это проще в вычислительном отношении, потому что вам не нужно вычислить высшие степени чисел. Во-вторых, в то же время он сообщает независимо от того, является ли данное число корнем, он производит сокращенный многочлен , который вы будете использовать, чтобы найти оставшийся корнеплоды. Наконец, результаты синтетического деления могут дать вам верхняя или нижняя граница, даже если число тестирование оказывается не рутом.

Иногда правило знаков Декарта может поможет вам в дальнейшем выявить возможные рациональные корни. Например, Rational Root Test сообщает, что если

q ( x ) = 2 x 4 + 13 x 3 + 20 x 2 + 28 x + 8

имеет какие-то рациональные корни, они должны быть из списка любой из, 1, 2, 4, 8. Но не начинайте с замены или синтетическое разделение. Поскольку нет изменений знака, нет положительные корни.Есть ли отрицательные корни?

q (- x ) = 2 x 4 -13 x 3 + 20 x 2 -28 x + 8

имеет четыре смены знака. Следовательно, может быть целых четыре отрицательные корни. (Также может быть два отрицательных корня или ни одного.) Нет гарантии, что какой-либо из корней является рациональным, но любой корень рациональное должно происходить из списка -, −1, −2, −4, −8.

(Если у вас графического калькулятора, вы можете предварительно просмотреть рациональные корни, построив график полином и увидеть, где он, кажется, пересекает ось x .Но ты по-прежнему необходимо проверить корень алгебраически, чтобы увидеть, что f ( x ) там ровно 0, а не почти 0.)

Помните, Rational Root Test гарантирует нахождение всех рациональных корней. Но он полностью упустит настоящие корни, которых нет. рациональные, как корни x −2 = 0, которые √2, или корни из x + 4 = 0, которые 2i.

Наконец, помните, что Rational Root Test работает, только если все коэффициенты — целые числа.Посмотрите еще раз на эту функцию, которая На графике справа:

p ( x ) = 2 x 4 — 11 x 3 — 6 x 2 + 64 x + 32

Теорема о рациональном корне говорит вам, что единственно возможный рациональный нули — это 1, 2, 4, 8, 16, 32. Но предположим, что вы вычтите 2 (как я когда-то сделал в классе), написав эквивалент функция

p ( x ) = 2 ( x 4 — (11/2) x 3 — 3 x 2 + 32 x + 16)

Эта функция аналогична предыдущей, но вы не можете дольше применять Rational Root Test, потому что коэффициенты не целые числа.По сути — это ноль р ( х ), но это не так. появляются, когда я (незаконно) применил Rational Root Test к вторая форма. Моя ошибка заключалась в том, что я забыл, что применима теорема о рациональном корне. только когда все коэффициентов многочлена равны целые числа.

Графические подсказки

Построение графика функции вручную или с помощью графика Вы можете понять, где находятся корни, примерно, и сколько существует настоящих корней.

Пример: Если Rational Root Test говорит вам, что 2 возможных рациональных корня, вы можете посмотреть на график, чтобы увидеть, пересекает ли он (или касается) оси x в точках 2 или −2.Если да, используйте синтетическое деление, чтобы убедитесь, что предполагаемый корень на самом деле является корнем. Да ты всегда нужно проверить по графику, вы никогда не можете быть уверены является ли точка пересечения на ваш возможный рациональный корень или просто около это.

Границы корней

Некоторые методы не сообщают вам конкретное значение корня, но скорее, что корень существует между двумя значениями или что все корни меньше определенного числа больше определенного числа. Этот помогает сузить область поиска.

Теорема о промежуточном значении

Эта теорема говорит вам, что если график многочлена находится выше ось x для одного значения x и ниже оси x для другое значение x , оно должно пересекать ось x где-то посередине. (Если вы можете построить график функции, пересечения обычно будет очевидным.)

Пример:

p ( x ) = 3 x + 4 x -20 x −32

Рациональные корни (если есть) должны быть из списка любой из 1/3, 2/3, 1, 4/3, 2, 8/3, 4, 16/3, 8, 32/3, 16, 32.Естественно, сначала вы посмотрите на целые числа, потому что арифметика Полегче. Пробуя синтетическое деление, вы найти p (1) = −45, p (2) = −22 и p (4) = 144. Поскольку p (2) и p (4) имеют противоположные знаки, вы знайте, что график пересекает ось между x = 2 и x = 4, поэтому хотя бы один корень между этими числами. Другими словами, либо 8/3 — это корень или корень от 2 до 4 иррациональны. (По факту, синтетическое деление показывает, что 8/3 — это корень.)

Теорема о промежуточном значении может сказать вам, где находится root, но он не может сказать вам, где нет root. Например, считать

q ( x ) = 4 x -16 x + 15

q (1) и q (3) оба положительны, но это вам не говорит может ли график касаться или пересекать ось между ними. (Это на самом деле дважды пересекает ось, при x = 3/2 и х = 5/2.)

Верхняя и нижняя границы

Одним из побочных эффектов синтетического деления является что даже если число, которое вы тестируете, окажется не корневым, оно может сказать вам, что все корни меньше или больше этого номер:

  • Если вы выполните синтетическое деление на положительное число a , и каждые число в нижней строке положительное или нулевое, тогда a верхняя граница для корней, что означает, что все действительные корни ≤ .
  • Если вы делаете синтетическое деление на отрицательное число b , а числа в нижнем ряду чередуются знак, тогда b — это нижняя граница для корней, что означает, что все действительные корни ≥ b .

    Что делать, если нижняя строка содержит нули? Более полный Утверждение состоит в том, что чередуются неотрицательные и неположительные знаки , после синтетического деления на отрицательное число показать нижнюю границу корень. Следующие два примера поясняют это.

(Кстати, правило для нижних оценок следует из правила для верхних оценок. Нижние пределы корней p ( x ) равны верхним пределам корни p (- x ), и деление на (- x + r ) такое же, как деление на — ( x r ).)

Пример:

q ( x ) = x 3 + 2 x 2 — 3 x — 4

Использование Rational Root Тест, вы определяете единственно возможные рациональные корни как 4, 2 и 1.Вы решаете попробовать −2 как возможный корень, и вы тестируете его с синтетическим делением:

        -2 | 1 2 -3-4
            | -2 0 6
            | ------------------
               1 0–3 2 

−2 не является корнем уравнения f ( x ) = 0. В третьей строке чередуются знаки, и вы делили на отрицательное число; однако этот ноль все портит. Напомним, что у вас есть нижняя граница, только если знаки в нижнем ряду чередовать неположительный и неотрицательный.1 положительный (неотрицательный), и 0 может считаться неположительным, но −3 не считается неотрицательным. Чередование битая, а ты не знаешь есть ли корни меньше -2. (Фактически, графический или численные методы покажут корень около -2,5.) Следовательно, вам нужно попробовать нижний возможный рациональный корень, −4:

        -4 | 1 2 -3-4
            | -4 8-20
            | ------------------
               1–2 5–24 

Здесь знаки чередуются; поэтому вы знаете, что нет корни ниже −4.(Остаток −24 показывает, что −4 сам по себе не является корнем.)

Вот другой пример:

r ( x ) = x + 3 x — 3

Rational Root Test сообщает вам что возможные рациональные корни — 1 и 3. С синтетическим деление на −3:

        -3 | 1 3 0-3
            | -3 0 0
            | ------------------
               1 0 0-3 

−3 не является корнем, но знаки здесь чередуются, так как первый 0 считается неположительным, а второй — неотрицательным.Следовательно, −3 — это нижняя граница корней, а это означает, что уравнение не имеет вещественных корней ниже −3.

Коэффициенты и корни

Существует интересная взаимосвязь между коэффициентами многочлен и его нули. Я упоминаю об этом в последнюю очередь, потому что это больше подходит для формирования многочлена, который имеет нули с желаемыми свойствами, вместо нахождения нулей существующего многочлена. Однако если вы знать все корни многочлена, кроме одного или двух, вы можете легко использовать это техника, чтобы найти оставшийся корень.

Рассмотрим многочлен

f ( x ) = a n x n + а n −1 x n −1 + a n −2 x n −2 + … + а 2 x 2 + а 1 х + а или

Существуют следующие отношения:

  • a n −1 a n = сумма всех корней
  • + a n − 2 a n = сумма произведений корней взяты по два за раз
  • a n −3 a n = сумма произведений корней взято по три за раз
  • и так далее, пока
  • (−1) n a 0 a n = произведение всех корней

Пример: f ( x ) = x 3 — 6 x 2 — 7 x — 8 имеет степень 3 и, следовательно, не более трех действительных нулей.Если записываем действительные нули как r 1 , r 2 , r 3 , тогда сумма корней равна r 1 + r 2 + r 3 = — (- 6) = 6; в сумма произведений корней, взятых по два за раз, равна r 1 r 2 + r 1 r 3 + r 2 r 3 = −7, а произведение корней равно r 1 r 2 r 3 = (-1) 3 (-8) = 8.

Пример: Учитывая, что многочлен

г ( x ) = x 5 — 11 x 4 + 43 x 3 — 73 x 2 + 56 x — 16

имеет тройной корень x = 1, найдите два других корня.

Решение: Пусть два других корня будут c и d . Тогда вы знаете, что сумма всех корней равна 1 + 1 + 1 + c + d = — (- 11) = 11, или c + d = 8.Ты также знайте, что продукт всех корней 111 c d = (−1) 5 (−16) = 16, или c d = 16. c + d = 8, c d = 16; поэтому c = d = 4, поэтому оставшиеся корни представляют собой двойной корень с размером x = 4.

Дополнительные коэффициенты и корни

Есть еще несколько теорем о соотношении между коэффициентами и корнями. Статья в Википедии Свойства корней полиномов дает хорошее, хотя и несколько краткое резюме.


Шаг 5. Разделите на множитель

Помните, что r является корнем тогда и только тогда, когда x r является множителем; это факторная теорема. Так что если ты хочешь чтобы проверить, является ли r корнем, вы можете разделить многочлен на x r и посмотрите, выходит ли ровным (остаток от 0). Элизабет Стапель имеет хороший пример деления многочленов делением в столбик.

Но делать синтетическое деление проще и быстрее.Если твой синтетическое деление немного заржавело, вы можете взглянуть на Dr. Математика короткая Учебное пособие по Synthetic Division; если вам нужен более длинный учебник, Элизабет Стейплс Синтетический дивизион отличный. (У доктора Мата также есть страница о почему работает Synthetic Division.)

Синтетическое подразделение также имеет некоторые побочные преимущества. Если вы подозреваете корень на самом деле является корнем, синтетическое деление дает вам приведенный многочлен . А иногда и тебе везет, и синтетическое деление показывает вам верхнюю или нижнюю привязаны к корням.

Вы можете использовать синтетическое деление при делении на бином вида x r для константы r . Если вы делите на x −3, вы проверяете, является ли 3 корнем, и вы синтетическое деление на 3 (не на −3). Если вы делите на x +11, вы тестируете является ли −11 корнем, и вы синтетически делите на −11 (не 11).

Пример:

p ( x ) = 4 x 4 — 35 x 2 — 9

Вы подозреваете, что x −3 может быть фактором, и проверяете это с помощью синтетическое деление, например:

        3 | 4 0-35 0-9
           | 12 36 3 9
           | --------------------
              4 12 1 3 0 

Поскольку остаток равен 0, вы знаете, что 3 является корнем p ( x ) = 0, а x −3 является множителем p ( x ).Но ты знаешь более. Поскольку 3 положительно и нижняя строка синтетического деления все положительные или нулевые, вы знаете, что все корни p ( x ) = 0 должно быть ≤ 3. И вы также знаете что

p ( x ) = ( x −3) (4 x 3 + 12 x 2 + x + 3)

4 x 3 + 12 x 2 + x + 3 — это приведенный полином .Все его факторы также коэффициентов исходного p ( x ), но его степень на единицу ниже , поэтому его с ним легче работать.


Шаг 6. Численные методы

Когда у вашего уравнения больше нет рациональных корней (или ваша многочлен не имеет более рациональных множителей) можно перейти к числовым методы нахождения приблизительного значения иррациональных корней:

  • Статья в Википедии Алгоритм поиска корней имеет достойное резюме с указателями на конкретные методы.
  • Многие графические калькуляторы имеют Команда Root или Zero, которая поможет вам найти приблизительные корни. Например, на TI-83 или TI-84 вы график функцию, а затем выберите [2nd] [Calc] [zero].

Полный пример

Решить для всех сложных корней:

4 x + 15 x — 36 = 0

Шаг 1. Уравнение уже в стандартной форме, с только ноль с одной стороны и степени x от наибольшего к наименьшему.Там нет общих факторов.

Шаг 2. Поскольку уравнение имеет степень 3, будет 3 корнеплоды. Есть одна вариация знака, а от Правило знаков Декарта, которое, как вы знаете, должно быть одним положительным корнем. Изучите многочлен с заменой — x x :

−4 x -15 x -36

Нет изменений в знаке, а значит, нет отрицательные корни. Следовательно, два других корня должны быть сложными, и конъюгаты друг друга.

Шаги 3 и 4. Возможные рациональные корни к сожалению, довольно много: любые из 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 делится на любое из 4, 2, 1. (перечислены только положительные корни, потому что вы уже определили, что для этого нет отрицательных корней уравнение.) Вы решаете сначала попробовать 1:

        1 | 4 0 15 -36
           | 4 4 19
           | -----------------
              4 4 19-17 

1 не является корнем, поэтому вы проверяете 2:

        2 | 4 0 15 -36
           | 8 16 62
           | -----------------
              4 8 31 26 

Увы, 2 тоже не рут.Но обратите внимание, что f (1) = −17 и f (2) = 26. У них противоположные знаки, что означает, что график пересекает ось x между x = 1 и x = 2, а корень находится между 1 и 2. (В данном случае это единственный root, поскольку вы определили, что существует один положительный корень и нет отрицательных корней.)

Единственно возможный рациональный корень между 1 и 2 — 3/2, и следовательно, либо 3/2 является корнем, либо корень иррационален. Вы пытаетесь 3/2 по синтетическому разделению:

        3/2 | 4 0 15 -36
             | 6 9 36
             | -----------------
                4 6 24 0 

Ура! 3/2 — это корень.Приведенный полином равен 4 x + 6 x + 24. Другими словами,

(4 x + 15 x — 36) ( х −3/2) = 4 х + 6 х + 24

Приведенный многочлен имеет степень 2, так что нет необходимости в большем методом проб и ошибок, и вы переходите к шагу 5.

Шаг 5. Теперь вы должны решить

4 x + 6 x + 24 = 0

Сначала разделите общий делитель 2:

2 x + 3 x + 12 = 0

Нет смысла пытаться множить этот квадратичный коэффициент, потому что вы определили, используя Правило знаков Декарта, что больше нет настоящие корни.Итак, вы используете квадратичный формула:

x = [−3 √9 — 4 (2) (12)] / 2 (2)

x = [−3 √ − 87] / 4

x = −3/4 (√87 / 4) i

Шаг 6. Помните, что вы нашли корень в более ранний шаг! Полный список корней —

3/2, −3/4 + (√87 / 4) я, −3/4 — (√87 / 4) я


Что нового

  • 19 октября 2020 г. : преобразовано в HTML5. Переменные, выделенные курсивом и имена функций; выделил мнимое i.
  • 3 ноя 2018 : Некоторые изменения форматирования для ясности, особенно с радикалами. Здесь отметили, что 0 является тройным корнем в этом примере.
  • (промежуточные изменения подавлены)
  • 15 февраля 2002 г. : первая публикация.

Калькулятор преобразования кубического корня

$ \ epsilon = 8 $ — это слишком большая тень, но намного ближе, чем $ \ epsilon = 7 $, поэтому ответ — оттенок ниже 378. Если бы мы хотели продолжить, мы могли бы взять $ \ epsilon = 8 $ и вычислим величину, на которую квадратный корень должен быть меньше 378, или мы могли бы взять $ \ epsilon = 7 $ и вычислить величину, на которую квадратный корень должен превышать 377.

Квадратный корень из 3 равен. То, что 5 — это. И особенно квадратный корень из 1. Другими словами, равно. знак равно Точно так же, поскольку куб степени будет показателем степени, умноженным на 3 (куб из n равен 3n), кубический корень из степени будет показателем степени, деленным на 3. Кубический корень из 6 равен 2; что из 2 — это а. И …

Чтобы извлечь кубический корень с помощью SPSS, просто возведите переменную в степень 1/3. В коде это будет выглядеть так: wkincome **. 333 Я полагаю, что коды преобразования указаны на стр.(1/3) используется, чтобы найти кубический корень 216, который равен 6. Вычислить корни мнимых чисел.

Онлайн-калькулятор — это простое веб-приложение, которое позволяет выполнять расширенные вычисления, строить двухмерные и трехмерные графики и выполнять символьные вычисления, такие как дифференцирование. Введите функции в стандартной математической записи, используя x как независимую переменную.

28 января 2016 г. · Графики сдвига функций квадратного корня. Построить график функций квадратного корня с помощью графического калькулятора. Решайте реальные проблемы, используя функции извлечения квадратного корня.Вступление. В этой главе вы узнаете о другом виде функции, называемой функцией извлечения квадратного корня. Вы заметили, что извлечение квадратного корня очень полезно при решении квадратичных …

19 ноября 2018 г. · Чтобы получить кубический корень в графических калькуляторах серии TI-83, у вас есть несколько вариантов. Уравнения для нахождения куба или кубического корня из любого числа просты. Когда вы нажимаете все правильные клавиши для выполнения уравнения, калькулятор TI-83 мгновенно генерирует ответ.

Разделение растений — Могу ли я разделить растение?

Разделение растений включает выкапывание растений и разделение их на две или более секции. Это обычная практика, которую проводят садоводы, чтобы сохранить растения здоровыми и создать дополнительный запас. Давайте посмотрим, как и когда делить растения.

Могу ли я разделить растение?

Не знаете, как ответить на вопрос: «Могу ли я разделить растение?» Поскольку деление растений включает в себя расщепление или разделение кроны и корневого комка, его использование должно быть ограничено растениями, которые распространяются от центральной кроны и имеют привычку к комковатому росту.

Подходящими кандидатами для разделения являются многочисленные виды многолетних растений и луковиц. Однако растения с стержневыми корнями обычно размножают черенками или семенами, а не дроблением.

Когда делить садовые растения

Когда и как часто делят растение, зависит от типа растения и климата, в котором оно выращивается. Как правило, большинство заводов разделяют каждые три-пять лет или когда они становятся переполненными.

Большинство растений делятся ранней весной или осенью; однако некоторые растения можно разделить в любое время, например лилейники.Обычно весной и летом цветущие растения разделяются осенью, а остальные — весной, но это не всегда так.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.