Вычисление дроби: Онлайн сервис для вычислений обыкновенной и десятичной дробями, сложение, вычитание, умножение и деление десятичной и обыкновенной дробей.

Основные понятия 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Определение и примеры алгебраических дробей

 

Рациональные выражения делятся на целые и дробные выражения.

 

                         

Определение. Рациональная дробь – дробное выражение вида , где  – многочлены.  – числитель,  – знаменатель.

Примеры рациональных выражений:  – дробные выражения;  – целые выражения. В первом выражении, к примеру, в роли числителя выступает , а знаменателя – .

Значение алгебраической дроби, как и любого алгебраического выражения, зависит от численного значения тех переменных, которые в него входят. В частности, в первом примере значение дроби зависит от значений переменных  и , а во втором только от значения переменной .

 

Вычисление значения алгебраической дроби и две основные задачи на дроби

 

 

Рассмотрим первую типовую задачу: вычисление значения рациональной дроби при различных значениях входящих в нее переменных.

 

Пример 1. Вычислить значение дроби  при а) , б) ,    в)

Решение. Подставим значения переменных в указанную дробь: а) , б) , в)  – не существует (т. к. на ноль делить нельзя).

Ответ: а) 3; б) 1; в) не существует.

Как видим, возникает две типовые задачи для любой дроби: 1) вычисление дроби, 2) нахождение допустимых и недопустимых значений буквенных переменных.

Определение. Допустимые значения переменных – значения переменных, при которых выражение имеет смысл. Множество всех допустимых значений переменных называется ОДЗ или область определения.

 

Допустимые (ОДЗ) и недопустимые значения переменных в дробях с одной переменной

 

 

Значение буквенных переменных может оказаться недопустимым, если знаменатель дроби при этих значениях равен нулю. Во всех остальных случаях значение переменных являются допустимыми, т. к. дробь можно вычислить.

 

Пример 2. Установить, при каких значениях переменной не имеет смысла дробь .

Решение. Чтобы данное выражение имело смысл, необходимо и достаточно, чтобы знаменатель дроби не равнялся нулю. Таким образом, недопустимыми будут только те значения переменной, при которых знаменатель будет равняться нулю. Знаменатель дроби , поэтому решим линейное уравнение:

.

Следовательно, при значении переменной  дробь не имеет смысла.

Ответ: -5.

Из решения примера вытекает правило нахождения недопустимых значений переменных – знаменатель дроби приравнивается к нулю и находятся корни соответствующего уравнения.

Рассмотрим несколько аналогичных примеров.

Пример 3. Установить, при каких значениях переменной не имеет смысла дробь.

Решение. .

Ответ. .

Пример 4. Установить, при каких значениях переменной не имеет смысла дробь .

Решение..

Встречаются и другие формулировки данной задачи – найти область определения или область допустимых значений выражения (ОДЗ). Это означает – найти все допустимые значения переменных. В нашем примере – это все значения, кроме . Область определения удобно изображать на числовой оси.

Для этого на ней выколем точку , как это указано на рисунке:

 

 

Рис. 1

Таким образом, областью определения дроби будут все числа, кроме 3.

Ответ..

Пример 5. Установить, при каких значениях переменной не имеет смысла дробь .

Решение..

Изобразим полученное решение на числовой оси:

Рис. 2

Ответ..

 

Графическое представление области допустимых (ОДЗ) и недопустимых значений переменных в дробях

 

 

Пример 6. Установить, при каких значениях переменных не имеет смысла дробь .

 

Решение.. Мы получили равенство двух переменных, приведем числовые примеры:  или  и т. д.

Изобразим это решение на графике в декартовой системе координат:

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3. График функции 

Координаты любой точки, лежащей на данном графике, не входят в область допустимых значений дроби.

Ответ. .

 

Случай типа «деление на ноль»

 

 

В рассмотренных примерах мы сталкивались с ситуацией, когда возникало деление на ноль. Теперь рассмотрим случай, когда возникает более интересная ситуация с делением типа .

 

Пример 7. Установить, при каких значениях переменных не имеет смысла дробь .

Решение..

Получается, что дробь не имеет смысла при . Но можно возразить, что это не так, потому что: .

Может показаться, что если конечное выражение равно 8 при , то и исходное тоже возможно вычислить, а, следовательно, имеет смысл при . Однако, если подставить  в исходное выражение, то получим  – не имеет смысла.

Ответ..

Чтобы подробнее разобраться с этим примером, решим следующую задачу: при каких значениях  указанная дробь равна нулю?

 (дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю) . Но необходимо решить исходное уравнение с дробью, а она не имеет смысла при , т. к. при этом значении переменной знаменатель равен нулю. Значит, данное уравнение имеет только один корень .

 

Правило нахождения ОДЗ

 

 

Таким образом, можем сформулировать точное правило нахождения области допустимых значений дроби: для нахождения ОДЗ дроби необходимо и достаточно приравнять ее знаменатель к нулю и найти корни полученного уравнения.

 

Мы рассмотрели две основные задачи: вычисление значения дроби при указанных значениях переменных и нахождение области допустимых значений дроби.

Рассмотрим теперь еще несколько задач, которые могут возникнуть при работе с дробями.

 

Разные задачи и выводы

 

 

Пример 8. Докажите, что при любых значениях переменной дробь .

 

Доказательство. Числитель – число положительное. . В итоге, и числитель, и знаменатель – положительные числа, следовательно, и дробь является положительным числом.

Доказано.

Пример 9. Известно, что , найти .

Решение. Поделим дробь почленно . Сокращать на  мы имеем право, с учетом того, что  является недопустимым значением переменной для данной дроби.

Ответ..

На данном уроке мы рассмотрели основные понятия, связанные с дробями. На следующем уроке мы рассмотрим основное свойство дроби.

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Фестиваль педагогических идей (Источник).
2. Старая школа (Источник).

 

Домашнее задание

1. №4, 7, 9, 12, 13, 14. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
2. Запишите рациональную дробь, областью определения которой является: а) множество , б) множество , в) вся числовая ось.
3. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной  значение дроби  неотрицательно.
4. Найдите область определения выражения .
   Указание: рассмотреть отдельно два случая: когда знаменатель нижней дроби равен нулю и когда знаменатель исходной дроби равен нулю.

 

Приближенное вычисление десятичных дробей | Помощь школьникам

Десятичную дробь можно рассматривать как частное от деления двух натуральных чисел. Десятичные дроби в частном и процессе деления натуральных чисел получаются, если делимое меньше делителя или не кратно ему.

При делении двух натуральных чисел дробь будет конечной, если делимое кратно делителю, и бесконечной (периодической или непериодической), если делимое не кратно делителю.

Определение. Конечной десятичной дробью называется такая дробь, у которой при делении в каком-то из разрядов поэтапного деления остаток отсутствует. Такое деление возможно, если делимое кратно делителю.

Делимое кратно делителю, если при разложении на множители в его составе как множитель присутствует делитель.

Например:

3 : 15 = 0,2
Т. к. 3 * 10 = 30; 30 = 2 * 15, следовательно, делитель 15 присутствует как множитель в числе 30.

446,5 : 19 = 23,5
Т. к. 4 465 = 19 * 235, следовательно, делитель 19 присутствует как множитель в числе 446,5

Определение. Бесконечной десятичной дробью называется дробь с неограниченным числом знаков после занятой (в каждом поэтапном частном получается остаток). Такое деление можно продолжать до бесконечности, так как результат не является конечной десятичной дробью.

Бесконечная десятичная дробь получается, например, если делимое 1 или разрядная единица, а в делителе есть множители 3 или 7.

1 : 3 = 0,333333…
1 : 21 = 0,047619… (21 = 3 * 7)
1 000 : 224 = 4,4642… (224 = 7 * 32)

1 : 56 = 0,017857142… (56 = 7 * 8)

Бесконечные десятичные дроби могут иметь в определенной закономерности повторяющиеся цифры в дробной части при делении. Это может быть одна цифра или группа цифр, которые или стоят сразу после запятой, или через несколько цифр после запятой начинается повторение цифры или группы цифр.

Определение. Повторяющиеся цифры в дробной части бесконечной десятичной дроби образуют период десятичной дроби. Период в частном помещают в скобки и запись бесконечной дроби ограничивают одним периодом.

Например:
1:3 = 1,3333… можно записать как бесконечную десятичную дробь с периодом 3: 1,33333… = 1,(3)

172,3 : 3 = 57,43333… можно записать как бесконечную десятичную дробь с периодом 3: 172,3:3 = 57,4 (3)

Чтобы убедиться, что дробь периодическая, достаточно получить в частном два-три периода дроби.

Определение. Приближенное вычисление десятичных дробей состоит в том, что полученный результат округляют до определенного разряда. Для этого вычисляется одни «лишний» разряд, а затем проводится округление по обычным правилам.

Если «лишний» разряд содержит цифры 0, 1, 2, 3, 4, то разряд, до которого округляют, не изменяют, а «лишний» разряд отбрасывают; если «лишний» разряд содержит цифры 5, 6, 7, 8, 9, то его отбрасывают, а разряд, до которого округляют, увеличивают на 1.

Например, если частное равно дроби 1,23 (75), то мы можем при округлении до сотых взять число 1,23, отбросив период. Тогда в частном мы приблизились к точному ответу с недостатком (отбросили период, что составит 0,008). Если мы запишем в ответе число сотых с учетом периода и округлим до сотых, то в ответе получим 1,24 (получили приближенный ответ с избытком).

Запись опубликована в рубрике Математика с метками вычисление, десятичная, дробь. Добавьте в закладки постоянную ссылку.

фракционный калькулятор-5-го класса математика

Магистр 7 столбов школьного успеха

Улучшить свои оценки и снизить стресс

Pre-Algebra/Expersions, Equations

000

6666000

666666666666666666666666666666666669.

.

Предварительная алгебра/Дроби, Проценты

Алгебра/Экспоненты, Уравнения, Радикалы

Математические калькуляторы

Геометрия/Фигуры

Геометрия/SAT

Geometry/Plane

Good Study Habits

Geometry/Basics

Adding and subtracting fractions calculator

Multiplying fractions calculator

Dividing fractions calculator

Review of Fractions

Сложение дробей

Вычитание дробей

Умножение дробей

Деление дробей

​В видеоролике показаны пошаговые инструкции по сложению дробей

Как складывать дроби

​1. Если знаменатели совпадают, добавьте верхние числа (числитель) и поместите это число над общим знаменателем и упростите.

2. Если знаменатели разные, то

найти наименьший общий знаменатель (который является наименьшим общим кратным знаменателей)

3. Умножьте каждый знаменатель на недостающий множитель, чтобы получить наименьший общий знаменатель для каждой дроби.

4. Умножьте числитель на число из шага 3 и поместите это число на наименьшее общее кратное.

5. Сложите числители двух дробей и поместите их над наименьшим общим кратным.

6. Упростите дробь.

В этих двух видеороликах рассказывается, как умножать дроби с пошаговыми инструкциями и примерами задач.