Алгебра и теория чисел
Алгебра и теория чисел
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕГлава первая. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ § 1. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ Формулы логики высказываний.  Законы логики. Упражнения § 2. ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДСТВИЕ Схемы доказательств. § 3. ПРЕДИКАТЫ Предикаты. Операции над предикатами. Упражнения § 4. КВАНТОРЫ Запись высказываний на языке логики предикатов. Упражнения § 5. ПРЕДИКАТНЫЕ ФОРМУЛЫ. ЗАКОНЫ ЛОГИКИ Предикатные формулы. Законы логики предикатов. Упражнения Глава вторая. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ § 1. МНОЖЕСТВА Подмножества. Пустое множество. Операции над множествами. Основные свойства операций над множествами. Универсальное множество. Дополнение множества. Диаграммы Эйлера — Венна. Упражнения § 2. БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ Упражнения § 3. ФУНКЦИИ Композиция функций. Инъективные функции. Обратимые функции. Ограничение функции. Упражнения § 4. ОТНОШЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ Отношение эквивалентности. Фактор-множество. Отношение равнообразности отображения. Упражнения § 5. ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА Упорядоченное множество.  Упражнения Глава третья. АЛГЕБРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ § 1. БИНАРНЫЕ ОПЕРАЦИИ Виды бинарных операций. Нейтральные элементы. Симметричные элементы. Подмножества, замкнутые относительно операций. Аддитивная и мультипликативная формы записи. Конгруэнция. Упражнения. § 2. АЛГЕБРЫ Гомоморфизмы алгебр. Подалгебры. Фактор-алгебра. Упражнения § 3. ГРУППЫ Примеры групп. Простейшие свойства группы. Гомоморфизмы групп. Подгруппы. Упражнения § 4. КОЛЬЦА Простейшие свойства кольца. Гомоморфизмы колец. Подкольца. Упражнения § 5. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ Изоморфизмы алгебраических систем. Подсистемы. Упражнения Глава четвертая. ОСНОВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ § 1. СИСТЕМА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Слова в однобуквенном алфавите. Принцип математической индукции. Упражнения § 2. СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Свойства умножения.  § 3. ОТНОШЕНИЕ ПОРЯДКА НА МНОЖЕСТВЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Полная упорядоченность множества натуральных чисел. Упражнения § 4. КОЛЬЦО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ Естественное умножение в аддитивной группе целых чисел. Кольцо целых чисел. Отношение делимости в кольце целых чисел. Упражнения § 5. ПОЛЯ. ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Поле рациональных чисел. Упражнения § 6. СИСТЕМА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Система действительных чисел. Упражнения § 7. ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ Поле комплексных чисел. Модуль комплексного числа. Геометрическое представление комплексных чисел. Упражнения § 8. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЕЙ ИЗ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ Корни n-й степени из единицы. Корни n-й степени из произвольного комплексного числа. Упражнения Глава пятая. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ § 1. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Линейная зависимость и независимость системы векторов.  Эквивалентные системы векторов. Базис конечной системы векторов. Ранг конечной системы векторов. Упражнения § 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Равносильные системы линейных уравнений и элементарные преобразования системы. Равенство строчечного и столбцового рангов матрицы. Связь между решениями неоднородной линейной системы и решениями ассоциированной с ней однородной системы. Теоремы о следствиях системы линейных уравнений. Упражнения. § 3. СТУПЕНЧАТЫЕ МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Приведенные ступенчатые матрицы. Фундаментальная система решений. Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных. Упражнения Глава шестая. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ § 1. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ И ИХ СВОЙСТВА Транспонирование произведения матриц. Упражнения § 2. ОБРАТИМЫЕ МАТРИЦЫ Элементарные матрицы. Вычисление обратной матрицы. Запись и решение системы n линейных уравнений с n переменными в матричной форме.  Упражнения § 3. ПОДСТАНОВКИ Четные и нечетные подстановки. Знак подстановки. Упражнения § 4. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Основные свойства определителей. Упражнения § 5. МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ОБ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯХ Разложение определителя по строке или столбцу. Определитель произведения матриц. Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя. § 6. ТЕОРЕМЫ О МАТРИЦАХ. ПРАВИЛО КРАМЕРА Правило Крамера. Условия, при которых система n линейных однородных уравнений с n переменными имеет ненулевые решения. Упражнения Глава седьмая. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА § 1. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Простейшие свойства векторных пространств. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Упражнения § 2. ПОДПРОСТРАНСТВА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА Линейная оболочка множества векторов. Сумма подпространств. Линейные многообразия. Упражнения § 3. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА Дополнение независимой системы векторов до базиса.  Размерность векторного пространства. Упражнения. § 4. ИЗОМОРФИЗМЫ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ Изоморфизм векторных пространств. Упражнения § 5. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ УМНОЖЕНИЕМ Процесс ортогонализации. Упражнения. § 6. ЕВКЛИДОВЫ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Норма вектора. Ортонормированный базис евклидова пространства. Изоморфизмы евклидовых пространств. Упражнения. Глава восьмая. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ § 1. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Ядро и образ линейного оператора. Операции над линейными отображениями. Упражнения § 2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ МАТРИЦАМИ Связь между координатными столбцами векторов х и ф(x). Ранг линейного оператора. Связь между координатными столбцами вектора относительно различных базисов. Связь между матрицами линейного оператора относительно различных базисов. Упражнения § 3. ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРЫ Алгебра линейных операторов векторного пространства Изоморфизм алгебры линейных операторов и полной матричной алгебры.  Упражнения § 4. ОБРАТИМЫЕ ОПЕРАТОРЫ Полная линейная группа. Упражнения § 5. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Нахождение собственных векторов линейного оператора. Характеристическое уравнение. Линейные операторы с простым спектром. Условия, при которых матрица подобна диагональной матрице. Упражнения Глава девятая. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ § 1. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ Однородные системы линейных неравенств и выпуклые конусы. Следствия однородной системы линейных неравенств. Теорема Минковского. Критерий несовместности системы линейных неравенств. Неотрицательные решения системы линейных уравнений и системы линейных неравенств. Упражнения § 2. СТАНДАРТНЫЕ И КАНОНИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ Допустимые и оптимальные векторы. Теорема двойственности для стандартных задач. Теорема двойственности для канонических задач.  Упражнения § 3. СИМПЛЕКС-МЕТОД Упражнения Глава десятая. ГРУППЫ § 1. ПОЛУГРУППЫ И МОНОИДЫ Моноиды. Обобщенный закон ассоциативности. Упражнения § 2. ПОДГРУППЫ И СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ Смежные классы. Теорема Лагранжа. Упражнения § 3. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ Циклические группы. Подгруппы циклической группы. Упражнения § 4. НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ И ФАКТОР-ГРУППЫ Фактор-группа. Ядро гомоморфизма. Упражнения Глава одиннадцатая. ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В КОЛЬЦЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ § 1. РАЗЛОЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ Простые числа. Разложение целых чисел на простые множители. Делители целого числа. Число и сумма натуральных делителей числа. Бесконечность множества простых чисел. Решето Эратосфена. Упражнения § 2. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ И НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ Взаимно простые числа. Наименьшее общее кратное. Упражнения § 3. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА И КОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ Конечные цепные дроби.  Подходящие дроби. Упражнения. § 4. ЦЕЛЫЕ СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА Арифметические операции над целыми систематическими числами Перевод чисел из одной системы счисления в другую. Упражнения § 5. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ Функции T(х) и Л(х). Неравенства для функции Т(х). Неравенства Чебышева. Простые числа в арифметических прогрессиях. Упражнения Глава двенадцатая. ТЕОРИЯ СРАВНЕНИЙ С АРИФМЕТИЧЕСКИМИ ПРИЛОЖЕНИЯМИ § 1. СРАВНЕНИЯ И ИХ СВОЙСТВА Упражнения § 2. ПОЛНАЯ СИСТЕМА ВЫЧЕТОВ Упражнения § 3. ПРИВЕДЕННАЯ СИСТЕМА ВЫЧЕТОВ Мультипликативная группа классов вычетов, взаимно простых с модулем. Теоремы Эйлера и Ферма. Упражнения § 4. СРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ. СРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ Сравнения первой степени. Сравнения высших степеней по простому модулю. Упражнения § 5. ПЕРВООБРАЗНЫЕ КОРНИ И ИНДЕКСЫ Первообразные корни по простому модулю. Индексы по простому модулю.  Двучленные сравнения. Упражнения § 6. ОБРАЩЕНИЕ ОБЫКНОВЕННОЙ ДРОБИ В СИСТЕМАТИЧЕСКУЮ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ПЕРИОДА СИСТЕМАТИЧЕСКОЙ ДРОБИ Упражнения Глава тринадцатая. КОЛЬЦА § 1. ИДЕАЛЫ КОЛЬЦА. ФАКТОР-КОЛЬЦО Сравнения и классы вычетов по идеалу. Фактор-кольцо. Теорема об эпиморфизмах колец. Характеристика кольца. Наименьшее подкольцо кольца. Упражнения § 2. ПОЛЕ ЧАСТНЫХ ОБЛАСТИ ЦЕЛОСТНОСТИ Изоморфизм полей частных. Упражнения § 3. КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ Простые и составные элементы области целостности. Кольца главных идеалов. Факториальность кольца главных идеалов. Евклидовы кольца. Упражнения § 4. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ. НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ Наименьшее общее кратное. Упражнения Глава четырнадцатая. ПОЛИНОМЫ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ § 1. КОЛЬЦО ПОЛИНОМОВ Теорема о существовании простого трансцендентного расширения коммутативного кольца. Степень полинома. Деление полинома на двучлен и корни полинома.  Теорема о наибольшем возможном числе корней полинома в области целостности. Алгебраическое и функциональное равенства полиномов. Упражнения § 2. ПОЛИНОМЫ НАД ПОЛЕМ Алгоритм Евклида. Неприводимые над данным полем полиномы. Разложение полинома в произведение нормированных неприводимых множителей. Упражнения § 3. ФАКТОРИАЛЬНОСТЬ КОЛЬЦА ПОЛИНОМОВ НАД ФАКТОРИАЛЬНЫМ КОЛЬЦОМ Факториальность кольца полиномов. § 4. ФОРМАЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ПОЛИНОМА. НЕПРИВОДИМЫЕ КРАТНЫЕ МНОЖИТЕЛИ Разложение полинома по степеням разности х – с. Неприводимые кратные множители полинома. Кратные корни полинома. Упражнения Глава пятнадцатая. ПОЛИНОМЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. КОЛЬЦО ПОЛИНОМОВ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Кольцо полиномов от нескольких переменных. Изоморфизм колец полиномов. Нормальное представление полинома и степень полинома. Факториалыюсть кольца полиномов. § 2. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ Лемма о высшем члене произведения двух полиномов.  Симметрические полиномы. Леммы о симметрических полиномах. Основная теорема о симметрических полиномах. Упражнения 3. РЕЗУЛЬТАНТ ПОЛИНОМОВ И ИСКЛЮЧЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ Исключение переменных. Глава шестнадцатая. ПОЛИНОМЫ НАД ПОЛЕМ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ И НАД ПОЛЕМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 1. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ЗАМКНУТОСТЬ ПОЛЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ Непрерывность модуля полинома. Наименьшее значение модуля полинома. Лемма Даламбера. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Формулы Виета. Упражнения § 2. ПОЛИНОМЫ НАД ПОЛЕМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 3. УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ Исследование корней уравнения третьей степени с действительными коэффициентами. Уравнения четвертой степени. § 4. ОТДЕЛЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА Теорема Штурма. Глава семнадцатая. ПОЛИНОМЫ НАД ПОЛЕМ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА § 1. ЦЕЛЫЕ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ КОРНИ ПОЛИНОМА. КРИТЕРИЙ НЕПРИВОДИМОСТИ § 2. ПРОСТОЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РАСШИРЕНИЕ ПОЛЯ § 3.  {-1}A=E$$В случае если входная матрица a не является квадратной или вычисление обратной матрицы невозможно, то вызывается исключение LinAlgError.
Смотрите так же: >>> import numpy as np
>>> from numpy import linalg as LA
>>>
>>> a = np.random.randint(10, size = (6, 6))
>>> a
array([[8, 9, 7, 6, 3, 0],
[6, 3, 1, 9, 8, 1],
[9, 5, 9, 7, 3, 6],
[9, 1, 3, 2, 4, 9],
[1, 5, 8, 4, 0, 0],
[9, 2, 0, 4, 7, 5]])
>>>
>>> a_inv = LA.inv(a)
>>> a_inv
array([[-0.14883721, -0.39186047, 0.53837209, -0.69069767, -0.16744186, 0.6755814 ],
[ 0.53333333, 0.55 , -0.78333333, 1.1 , -0.06666667, -1.15 ],
[-0.41627907, -0.51395349, 0.4627907 , -0.83023256, 0.34418605, 1.04186047],
[ 0.20310078, 0.43837209, -0.08100775, 0.45813953, -0.31317829, -0.81511628],
[-0.30465116, -0.28255814, -0.00348837, -0.4372093 , 0.46976744, 0.84767442],
[ 0.31860465, 0.53023256, -0.58604651, 1.04883721, -0.07906977, -1.09069767]])
>>>
>>>
>>> np. Мы можем проверить правильность результата, опираясь на основное свойство обратной матрицы, т.е. >>> np.allclose(np.dot(a, a_inv), np.eye(a.shape[0])) True >>> >>> np.allclose(np. Понятие обратной матрицы может быть обобщено и для матриц над полем комплексных чисел: >>> b = np.random.randint(0, 10, size = (4, 4))
>>> c = np.random.randint(0, 10, size = (4, 4))
>>>
>>> z = b + c*1j
>>> z
array([[7.+0.j, 7.+4.j, 6.+1.j, 9.+9.j],
[2.+6.j, 4.+8.j, 5.+8.j, 8.+4.j],
[7.+1.j, 7.+4.j, 1.+6.j, 5.+5.j],
[9.+1.j, 8.+6.j, 4.+4.j, 6.+8.j]])
>>>
>>> z_inv = LA.inv(z)
>>> z_inv
array([[ 0.04248703-0.30126338j, -0.13290916+0.01529899j, 0.07682157-0.35652787j, 0.08277916+0.57908833j],
[-0.04071282+0.36279118j, 0.07957304-0.10205249j, 0.08653401+0.46482539j, -0.14389804-0.66769836j],
[-0.01060869+0.0444729j , 0.04056649-0.01735018j, -0.1520231 -0.11146967j, 0.09741184+0.03498778j],
[ 0.11237768-0.17060791j, 0.0031617 +0.03600685j, 0.06850577-0.09999216j, -0.10577338+0.Математика — Алгебра матриц — ОбратнаяДеление и обратная матрица
Мы не склонны использовать обозначение для деления, так как умножение матриц не коммутативно, нам нужно уметь различать [a][b] -1 и [b] -1 [a]. Один случай, когда мы можем изменить порядок, — это когда результатом является единичная матрица [I] , поэтому для любой матрицы b тогда: [b][b] -1 = [b] -1 [b] = [I] Таким образом, вместо операции деления мы склонны умножать на обратную, например если [m] = [a][b] тогда, [m][b] -1 = [a][b][b] -1 потому что [b] [b] -1 =[I] мы можем удалить [b][b] -1 , что даст: [m][b] -1 = [a] Вычисление обратного с помощью определителей. Обратная матрица представляет собой транспонированную матрицу, в которой каждый элемент представляет собой определитель своего минора (с вычислением знака), деленный на определитель целого. Чтобы вычислить это, мы можем выполнить следующие шаги:
Например, обратная матрица 3×3 состоит из следующих определителей:
разделить на число матрицы, где каждый из этих членов является определителем, расширяющим это дает:
Инверсия некоторых распространенных преобразованийВот несколько примеров инверсии поворот Чтобы инвертировать вращение, мы просто поворачиваем на ту же величину в противоположном направлении. Итак, например, обратное этому:
это:
Попробуйте в «обратном калькуляторе». translate Обратное преобразование с помощью (tx,ty,tz) является переводом с помощью (-tx,-ty,-tz), просто переместите его назад в противоположном направлении.
Таким образом, обратное значение просто:
Попробуйте в «обратном калькуляторе». масштабЕсли мы масштабируем Sx, Sy и Sz в направлении осей x,y и z, мы получаем,
Таким образом, обратное значение этого преобразования:
Попробуйте в «обратном калькуляторе». Определитель обратной матрицы — узнайте и поймите его онлайнМы можем написать заданный набор линейных уравнений в виде единого матричного уравнения , и эта переформулировка упрощает его решение. Но что значит взять обратную матрицу и разрешено ли нам это делать? Кроме того, мы знаем, что если мы хотим разделить на число, нам нужно, чтобы число было ненулевым. Аналогично, у нас есть необходимое и достаточное условие для нахождения обратной матрицы через уникальное действительное число, связанное с некоторыми матрицами, называемыми определителями. По сути, это концепции, обсуждаемые в этой статье. Определитель матрицыКаждой квадратной матрице A порядка n мы можем связать уникальное действительное число, называемое определителем матрицы A. Оно обозначается или det A и читается как «детерминант матрицы A». Если . Определитель иногда обозначается . Обратите внимание, что только квадратные матрицы имеют определитель. Как найти значение определителя квадратной матрицы 2-го порядка? Как я уже сказал, определитель можно найти только для квадратных матриц. Для квадратной матрицы порядка 1 определитель не что иное, как сам элемент. Для квадратной матрицы порядка 2 , скажем, имеем. Значение этого определителя находится путем вычитания произведения элементов недиагонали из произведения элементов главной диагонали. Рассмотрим матрицу . Мы видим, что A является квадратной матрицей и имеет порядок 2. Мы можем найти определитель A, вычитая произведение элементов недиагонали из произведения элементов главной диагонали. Основные диагональные элементы этой матрицы — 1 и 5. Недиагональные элементы матрицы — 3 и 4. Обратите внимание, что значение определителя может быть отрицательным числом, как в случае выше. Можете ли вы найти определитель матрицы-строки? Ответ «нет», если только он не содержит только одну строку. Поскольку в общей матрице строк есть только один столбец, но может быть любое количество строк. Примеры матриц строк и . Таким образом, если в ней нет только одной строки, это не квадратная матрица. Мы знаем, что мы можем найти определители только для квадратных матриц. Миноры и кофакторы элементов определителяДля квадратных матриц порядка 3, скажем, имеем Значение этого определителя находится путем нахождения сначала кофакторов элементов этого определителя. В следующем разделе мы увидим, как найти кофакторы элементов в определителе и как мы могли бы использовать его для нахождения определителя квадратной матрицы порядка 3. Пусть , будет определителем порядка 3 . Определитель 2-го порядка, полученный вычеркиванием соответствующих строк и столбцов определенного элемента определителя, называется минор элемента определителя. Обозначается M ij , если элемент находится в i й строке и j м столбце определителя. Для приведенного выше определителя с 9 элементами у нас есть 9 миноров, соответствующих каждому элементу. Число (–1) i+j M ij называется кофактором элемента . Кофактор элемента в строке i th и столбце j th обычно обозначается A ij . Кофакторы элементов определителя в первой строке равны Имея матрицу, мы можем записать определитель этой матрицы. Мы хотим вычислить кофакторы его элементов 6, 3 и 7. Во-первых, мы видим, что 6 находится в строке 1 st и столбце 3 rd . Мы можем вычислить минор, удалив из определителя строку 1 st и столбец 3 rd . Получаем . Теперь мы можем получить сомножитель числа 6, используя формулу Аналогично мы можем получить сомножители A 22 и A 31 , соответствующие элементам 3 и 7. Как найти значение определителя квадрата матрица порядка 3 или выше?Значение определителя квадратной матрицы порядка 3 или выше представляет собой сумму произведений элементов любой строки или столбца определителя с соответствующими кофакторами. Теперь сформулируем шаги, необходимые для нахождения значения определителя матрицы порядка n > 2.
Для квадратной матрицы порядка 3, скажем, мы видели, как вычисляются кофакторы элементов ее определителя. Чтобы найти значение определителя, нам нужно всего лишь выбрать сомножители одной строки или столбца. . Теперь мы можем сказать, что значение определителя det A равно сумме произведений элементов с соответствующими коэффициентами , , что эквивалентно . Рассмотрим квадратную матрицу порядка 3, . Его определитель равен . Шаг 1: Чтобы вычислить его определитель, мы выбираем строку или столбец и находим кофакторы этих элементов. Выделим первую строку. Шаг 2 : Кофакторы трех элементов 1, 2 и 6 приведены ниже Шаг 3: Теперь, когда у нас есть кофакторы, мы можем найти значение определителя по сумме произведений элементов с соответствующими кофакторами. . Обратная матрица Мы знакомы с тем, как вычислить обратную матрицу. Чему равен мультипликатив, обратный 2? Это не что иное, как . То есть, если я умножу эти два числа на 2 и , я получу тождество 1. Теперь нас интересует та же концепция для матриц. Что такое мультипликативная обратная матрица? Если у меня есть матрица A, то что такое A -1 ? Пусть A — квадратная матрица порядка n, тогда мы говорим, что матрица A обратима , другими словами A -1 существует тогда и только тогда, когда . В этом случае формула для получения обратной матрицы A имеет вид . Здесь adj A обозначает матрицу, называемую сопряженной к A. (Дальше мы увидим, как получить сопряженную матрицу) Из приведенного выше определения мы видим, что если кто-то хочет найти обратную матрицу, то первым шагом будет проверка того, не равен ли нулю определитель матрицы. Теперь, чтобы понять формулу обратной матрицы, мы сначала должны знать, что такое сопряжение матрицы и как выполнять операцию транспонирования матриц. Транспонирование матрицы Транспонирование матрицы A порядка получается путем перестановки строк и столбцов матрицы. Предположим, у вас есть матрицы. Порядок матриц A и B равен и соответственно. Порядок транспонированных матриц A T и B T будет и соответственно. Сначала напишем транспонирование A. Первый столбец матрицы A T — это первая строка матрицы A. То есть . Аналогично запишем второй и третий столбцы матрицы A T из второй и третьей строк матрицы A, и мы имеем Аналогичным образом мы можем найти матрицу B T порядка Сопряженное к матрицеСопряженное к квадратной матрице транспонирование матрицы кофакторов. Сопряженная квадратная матрица A обозначается adj A. Кофакторная матрица образована кофактором элементов определителя матрицы. Кофактор-матрица квадратной матрицы A обозначается cof A. Следующий пример поможет вам лучше понять приведенное выше определение. Рассмотрим квадратную матрицу третьего порядка, скажем . Определитель А равен . Из предыдущего раздела мы знаем, как вычислить кофактор каждого элемента этого определителя. Матрица кофакторов формируется из вышеперечисленных элементов. Теперь мы получаем сопряженную матрицу A, транспонируя эту кофакторную матрицу. Имея матрицу , мы хотим вычислить ее сопряженную матрицу. Решение Для того же мы сначала формулируем матрицу кофакторов A, которая получается путем нахождения кофакторов всех элементов матрицы A. Из приведенных выше значений мы получаем матрицу кофакторов A как Теперь мы можем получить сопряженное, транспонировав вышеуказанную матрицу кофакторов . Нахождение обратной матрицы Теперь, когда мы поняли, что такое сопряженная матрица и как найти определитель матрицы, мы готовы применить формулу для нахождения обратной матрицы.
Для матрицы мы нашли сопряженную в предыдущем примере найдем обратную. Шаг 1 : Чтобы убедиться, что матрица обратима, мы должны проверить, отличен ли определитель от нуля. Для этого же найдем значение его определителя. Выбрав первую строку для вычисления значения определителя, мы имеем сомножитель его элементов равный -13, 26 и -13, рассчитанный в приведенном выше примере. Поскольку определитель равен нулю, матрица необратима. Вычислить обратную матрицу. Решение Шаг 1 : Вычислите определитель и убедитесь, что он отличен от нуля. |
pinv
dot(a, a_inv)
array([[ 1.00000000e+00, -1.11022302e-16, -9.85322934e-16, -4.44089210e-16, 2.22044605e-16, 4.44089210e-16],
[-5.55111512e-17, 1.00000000e+00, 3.33066907e-16, -1.77635684e-15, 0.00000000e+00, 1.99840144e-15],
[ 0.00000000e+00, 0.00000000e+00, 1.00000000e+00, -8.88178420e-16, 0.00000000e+00, 0.00000000e+00],
[ 0.00000000e+00, -8.88178420e-16, 8.88178420e-16, 1.00000000e+00, 0.00000000e+00, 1.77635684e-15],
[-3.33066907e-16, 6.66133815e-16, -9.99200722e-16, 1.33226763e-15, 1.00000000e+00, -2.22044605e-15],
[ 2.22044605e-16, -4.44089210e-16, -4.44089210e-16, -1.77635684e-15, 4.44089210e-16, 1.00000000e+00]])
dot(a_inv, a), np.eye(a.shape[0]))
True
20449824j]])
>>>
>>> np.allclose(np.dot(z, z_inv), np.eye(z.shape[0]))
True
>>>
>>> np.allclose(np.dot(z_inv, z), np.eye(z.shape[0]))
True
Это эквивалентно замене строк столбцами и столбцов строками (см. ортогональные матрицы).
матрица вместе с оператором умножения, как описано здесь.
Таким образом, чтобы получить x и y, мы делим все уравнение на матрицу в левой части равенства.
Теперь мы посмотрим, как найти определитель для каждого ордера.
Для элемента a в первой строке и первом столбце определителя минор является определителем 2-го порядка путем удаления первой строки и первого столбца. Мы получаем, . Точно так же мы можем найти миноры других элементов аналогичным образом;
Давайте выберем строку один. Значение кофакторов элементов a, b и c в первой строке равно 9.0017
Точно так же мультипликативное обратное число 3 равно .
Обозначается А Т . Заказ A T будет.
Давайте запишем шаги, необходимые для нахождения обратной матрицы A.