Вычисление производной функции сложной функции: Производная сложной функции (u(v(x))’

Производная функции — презентация онлайн

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

2. Содержание:

Приращение функции
Понятие о производной
Определение производной
Правила вычисления производной
Производная сложной функции
Производные тригонометрических
функций

3. Приращение функции.

Δf=f(x0+ Δ x)-f(x0)
конспект

4. Определение.

Производной функции ƒ в точке
х0 называется число, к которому
стремится разностное отношение, при
Δ х, стремящемся к нулю.
Конец.

5. Понятие о производной.

(x2)΄= Δ у/ Δx=(x0+ Δx)2-x02/ Δx=x20+2x Δx+
+Δx2-x02/ Δx=2×0 Δx+ Δx2/ Δx=2×0+Δx→2×0
↓
0
Назад

6. Определение производной.

f΄(x0)=lim /Δx →0
f(x0+ Δx)-f(x0)/Δx
f (x)-дифференцируема
с΄=0; x΄=1; (c x)΄=c (x)΄= c
Далее.

7. Правило вычисления производных.

(u ± v ) ΄ = u ΄± v ΄
(u · v ) ΄ = u΄ v + u v ΄
(u / v) ΄ =u ΄ v – u v ΄/ v2
(x n) ΄=n x n-1
Вперед.

8. Производная сложной функции.

h(x)=g(f(x))
h ΄(x0)=g ΄(f(x0))·f ΄(x0)
Далее.

9. Производные тригонометрических функций.

(sin x) ΄ =cos x
(cos x) ΄ = — sin x
(tg x) ΄ = 1/cos2
(ctg x) ΄ = -1/sin2 x
h( x)=g ( f ( x ) )
h ΄ (x0)=g ΄ (f(x0))·f ΄ (x0)
Далее.

10. Дифференцирование.

Функцию, имеющую производную в точке хо называют
дифференцируемой в этой точке. Пусть D1-множество точек, в
которых функция ƒ дифференцируема.Сопоставляя каждому х €
D1число ƒ ΄ (х), получим новую функцию с областью определения
D1. Эта функция называется производной функции
y = ƒ (х).Мы получаем формулы (х3)=3х2
(х2)=2х,(kх +b) ΄ =k.В формуле k=0, b=С
где С произвольная постоянная получаем
что С΄ =0,производная постоянная равна нулю.

11. Приращение функции.

При сравнении значения функции ƒ в некоторой
фиксированной точке х0 значениями этой
функции в различных
Точках х лежащих в окрестности х0,удобно
выражать разность ƒ (х)-ƒ (х0)
Через разность х-х0,пользуясь понятиями
«приращение аргумента»и
«приращение функции».
Δ х = х-х0 → х = х0+ Δ х.
Вследствие этого функции ƒ изменится на
Величину ƒ (х)- ƒ (х0)= ƒ (х0+ Δ х)-ƒ (х0).

12. Приращение функции.

Эта разность называется приращением
Функции ƒ в точке х0 соответствующим
приращению Δ х, и обозначается Δ ƒ ,
Т.е.по определению Δ ƒ = ƒ (х0+ Δ х)- ƒ (х0),
откуда
ƒ(х)= ƒ (х0+ Δ х)= ƒ (х0)+ Δ ƒ .
Обратите внимание :при фиксированном х0
Приращение Δ ƒ есть функция от Δ х.
Δ ƒ называют также приращением зависимой
Переменной и обозначают через Δ у для функции
У= ƒ (х).
ДАЛЬШЕ

13. Производная сложной функции

Если функция f имеет производную
в точке х0,а функция g имеет
производную в точке у0=f(х0),то
сложная
функция h(х)=g (f(х)) также имеет
производную в точке х0,причем
h΄(х0)=g΄(f(х0)) · f΄(х0).
Далее.

14. Приращение функции.

Пример 1.Найдем приращения Δ х и Δ f в
точке х0 ,если f(х)= Х2 ,А) Х0=2 и: Х=1,9;
Δ х = х-х0=1,9-2= — 0,1;
Δ f =f(1,9)-f(2)=1,92-22= — 0,39
НАЗАД

15. Производная сложной функции.

Пример 1.Найдем производную функции
h (x)=(2x+3)100
Функцию h можно представить в виде
сложной функции
h (x)=g (f (x)), где g (y)=y100, y=f (x)=2x+3.
Так как f ΄(x)=2 и g΄(y)=100y99, имеем
h΄(x)=2·100y99=200(2x+3)99
Назад.

16. Правила вычисления производных.

Правило 1.Если функции U и v дифференцируемое в
точке х0 ,то их сумма дифференцируема в этой точке и
производная суммы равна сумме производных.
(U + v) ΄ = U΄ + v΄ .
Правило 2.Если функции u и v дифференцируемы в
точке х0,то их произведение дифференцируемо в этой
точке (u v ) ΄= u΄ v +u v΄.
Правило 3.Если функции u и v дифференцируемы в
точке х0 и функции v не равна нулю в этой точке то
Частное u/ v также дифференцируемо в х0 и
(u/ v ) ΄ =(u΄ v- u v΄)/v2.
Далее.

17. Правила вычисления производных.

Пример 1. Найдем производные функций:
А) f (x)=x2-1/x
(1/x) ΄= — x΄/x2= -1/x2, поэтому (x2- 1/x) ΄=
=(х2) ΄-(1/x) ΄=2x-(-1/x2)=2x+1/x2
Конец.

18. Производные тригонометрических функций.

Формула производной синуса. Докажем, что
функция синуса имеет производную в любой
точке и (sin x) ΄= cos x.
Применяя формулу
sin α –sinβ=2cos α β/2 · sin α+β/2,
Находим
Δ sin x/ Δ x=sin(x0+Δ x)-sin x0/Δ x =
=2cos(x0+Δ x/2)sin Δx/2/ Δ x=
= sinΔx/2/Δx/2cos(x0+Δx/2).
Далее.

19. Производные тригонометрических функций.

Для вывода формулы достаточно показать ,что
а) sinΔx/2/Δx/2→ 1при Δx→ 0;
б) cos(x0+Δx/2) → cos x0 при Δx→ 0
Опираясь на эти утверждения, можно получить
формулу. Действительно, при Δ х→0
(x0+Δx/2) Δ Δ sin x/Δx=sinΔx/2/Δx/2Δ· cos →
→1· cos x0=cos x0.
Конец.

20. Формула приближенного вычисления.

У=f(x0)+f΄(x0)(x-x0)
У ≈f(x0)+f ‘(x0) Δx

21. Производная в физике и технике.

Vср (Δt)=Δx/Δt→v(t0)
Δx/Δt→x'(t0)
V (t)= x´(t)
a=v’ (t)

22. Метод интервалов.

1f <=>Δf →0 при Δ х →0
f (x) →(a) при х →а
f ‘=> f
2f
и f ≠ 0 => (±соns)

23. Метод интервалов.

У=k x + b A(x0;f(x0))
У=f ‘(x) • x + b
f(x0)23=f´(x0) • x0 + b
b= f(x0)-f´(x0) • x0
У=f ´(x0) x + f(x0)-f´(x0) • x0
У=f(x0)+f´(x0) (x-x0)

24. Касательная к графику функции.

k=f ´(x0)=tgα
f ´(x1)>0; f ´(x2)=0; f ´(x3)<0
f ´(x1)=1; f ´(x2)=0; f ´(x3)=-1

25. Касательная к графику функции.

f (c)= f (b ) – f ( a ) / b — a

English     Русский Правила

Производная функции и её применение — КиберПедия

Производная функции и её применение

Определение производной функции. Вычисление производных основных элементарных функций. Вычисление производных сложных функций

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки .

Определение: Производной функции y=f(x) по аргументу x называется предел отношения ее приращения ∆f(x) к приращению ∆x аргумента x, когда приращение аргумента стремится к нулю:

.

Если этот предел конечный, то функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x. Если же этот предел есть ∞, то говорят, что функция y=f(x) имеет в точке x бесконечную производную.

Алгоритм отыскания производной y = f(x):

1. Находим f(x).

2. Находим f(x+∆x).

3. Вычисляем ∆f = f(x+∆x) – f(x).

4. Составляем отношение при ∆x→0.

Пример 1. Найти производную функции

Решение.

1) f(x) =

2) f(x+∆x) = .

3) ∆f = f(x+∆x) – f(x) =

4)

Итак, .

Необходимое условие существования производной вытекает из следующей теоремы.

Теорема.

Если функция f(x) дифференцируема в точке то она непрерывна в этой точке.

Основные правила дифференцирования

Непосредственное вычисление производной функции с помощью предела в большинстве случаев представляет собой громоздкие вычисления. Значительно проще вычислять производные, применяя правила дифференцирования.

Обозначения: С−постоянная; х−аргумент; u, v, w−функции от х, имеющие производные.

Правило 1. Производная постоянной

Правило 2. Производная произведения постоянной на функцию

Правило 3. Производная алгебраической суммы

Правило 4. Производная произведения

Правило 5. Производная частного (дроби)

Частные случаи

Таблица основных формул дифференцирования

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

Пример 2. Найти производную функции .

Решение. Запишем формулу в виде

=

Пример 3. Найти производную функции .

Решение. Применяя правило производная произведения и формулы (2) и (15) получим

.

Пример 4. Найти производную функции .

Решение. Применяя правило производная частного и формулы (1) и (5) получим

Производная сложной функции

Если переменная y зависит от переменной u, а переменная u в свою очередь от переменной x, т.е. y=f(u(x)), то y называют сложной функцией от x. Например, y=sin – сложная функция от x, т.к. синус зависит от промежуточного аргумента х⁵.

Производная сложной функции определяется по формуле

,

т.е. производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной. Аналогично формула верна и для сложных функций, которые задаются с помощью цепочки, содержащей три звена и более.

Пример 5. Найти производную

Решение.

y’= .

Пример 6. Найти производную функции y=sin(3x-5).

Решение. .

Пример 7. Найти производную функции у= .

Решение.

.

Пример 8. Найти производную функции у= .

Решение. Эта функция также является сложной степенной функцией, а именно у= , где u= . Поэтому

.

Пример 9. Найти производную функции у= .

Решение.

= .

Пример 10. Дана функция f(x)= . Найти .

Решение.

.

Вычислим значение производной при х=1

,

. [1]

Упражнения для закрепления

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Контрольные вопросы

1. Дать определение производной функции.

2. Что называется приращением аргумента, приращением функции?

3. Как найти производную суммы или разности?

4. Как найти производную произведения?

5. Как найти производную частного двух функций?

6. Дать определение дифференциала функции.

 

Упражнения для закрепления

1. Составить уравнения касательной и нормали к линии у= в точке с абсциссой х=2.

2. Составить уравнения касательной и нормали к линии у=4х− в точке с абсциссой х=1.

3. Составить уравнения касательной и нормали к линии у= в точке с абсциссой х=−1.

4. Составить уравнения касательной и нормали к кривой у= в точке

(0; −2).

5. Найдите угол наклона касательной к графику функции f(x)= в точках х=0,5; х=1; х=1,5.

6. На графике функции f(x)= найдите точку, в которой касательная к нему образует с осью Ох угол π/4.

7. К графику функции f(x)= проведена касательная, параллельная оси абсцисс. Найдите координаты точки касания.

8. Найдите скорость и ускорение в указанные моменты времени для точки, движущейся прямолинейно, если движение точки задано уравнением s= , t=2.

9. Пуля вылетает из автомата вверх со скоростью 500м/с. Найдите скорость пути через 12с и определите, сколько времени поднимается вверх (сопротивление воздуха не учитывать).

10. Скорость прямолинейного движения тела выражается законом v=t²−4t+5 (v− в м/с, t− в секундах). В какой момент времени ускорение будет равно нулю?

11. Тело масса которого m=3кг, движется прямолинейно по закону s=t

2+t+1 (s− в метрах, t−в секундах). Найдите кинетическую энергию тела (mv²/2) через 5с после начала движения.

12. Количество электричества, протекающее через проводник начиная с t=0, определяется по формуле Q=0,5t³+0,2t²+t+1 (Q− в кулонах, t− в секундах). Найдите силу тока при t=10с.

Контрольные вопросы

1. Какой механический смысл имеет производная?

2. Сформулировать геометрический смысл производной.

 

X x

Определение:Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.

Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции , характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором промежутке , то кривая выпукла вниз на этом промежутке; если же , то кривая выпукла вверх на этом промежутке

.

Определение. Точка графика функции , разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба.

Точками перегиба могут служить только критические точки II рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции , в которых вторая производная обращается в нуль или терпит разрыв.

Правило нахождения точек перегиба графика функции

1. Найти вторую производную .

2. Найти критические точки II рода функции , т.е. точки, в которой обращается в нуль или терпит разрыв.

3. Исследовать знак второй производной в промежутка, на которые найденные критические точки делят область определения функции . Если при этом критическая точка разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то является абсциссой точки перегиба графика функции.

4. Вычислить значения функции в точках перегиба.

Пример 3. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба следующей кривой: .

Решение: Находим , .

Найдем критические точки по второй производной, решив уравнение , .

	+		-
	↑	точка перегиба	↑

Ответ: Функция выпукла вверх при ; функция выпукла вниз при ; точка перегиба .

Упражнения для закрепления

1. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции:

а)

б)

в)

г)

д)

2. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба следующей кривой:

а)

б)

в)

г)

д)

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

а) на [0;1]

б) на [-2;3]

в) на [-1;1]

4. Исследовать функцию и построить ее график:

а)

б)

в)

Контрольные вопросы

1. Что такое критические точки функции?

2. Сформулировать достаточные условия возрастания и убывания функции.

3. Какими точками отделяются промежутки возрастания от промежутков убывания функции?

4. Сформулируйте правила нахождения точек экстремума функции.

5. Сформулировать достаточное условие выпуклости функции. Приведите алгоритм нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба.

 

Производная функции и её применение

исчисление — Производные по комплексному числу и сопряженные

Для существования обычной комплексной производной df(z)/dz должны выполняться уравнения Коши-Римана.

———————————————————

Мы можем эвристически вывести уравнения Коши-Римана на основе цепного правила. Предполагая, что f'(z) существует, мы имеем:

 f'(z) = f'(x)x'(z)+f'(y)y'(z).
 

Поскольку x=(z+z*)/2 и y=-i(z-z*)/2, мы можем сделать выводы x'(z) и y'(z):

 f'(z) = 1/2[f'(x)(1+z*')-if'(y)(1-z*')] (1)
 

Относительно терма z*’, из определения комплексной производной имеем:

 z*' = limdz->0 [(z+dz)*-z*]/dz
    = limdz->0 dz*/dz
    = limdz->0 (dx-idy)/(dx+idy). 
 

Если dy=0, это 1. Если dx=0, это -1. Если dx=dy, то это -i. Если dx=-dy, это i. Следовательно, это несуществующее предельное значение, поскольку оно зависит от пути, который проходит dz, чтобы приблизиться к 0. 1) выше. Часть, которая включает z*’, это:

 1/2[f'(x)+if'(y)]z*'
 

Требуя, чтобы он был равен нулю, мы получаем:

 f'(x)=-if'(y).
 

Это уравнения Коши-Римана в комплексной форме.

Если подставить f(z)=u(x,y)+iv(x,y), где u и v — действительная и мнимая части f(z), соответственно, получим:

 u'( х)+iv'(x)=v'(y)-iu'(y).
 

Полагая действительную и мнимую части с обеих сторон равными друг другу, мы получаем уравнения Коши-Римана, которые должны выполняться, чтобы f(z) была дифференцируемой в точке z:

 и'(х)=v'(у),
и'(у)=-v'(х).
 

Если предположить, что они выполняются, (1) сводится к:

 f'(z)=1/2[f'(x)-if'(y)], (2)
 

что они и написали.

———————————————————

Неэвристический способ вывода уравнений Коши-Римана, а также уравнения (2):

Снова предположим, что f'(z) существует.

Начнем с определения комплексной производной:

 f'(z) = lim dz->0 [f(z+dz)-f(z)]/dz,
 

, где dz=dx+idy.

Этот предел существует только в том случае, если он не зависит от того, каким образом dz стремится к нулю.

Сначала пусть dx=0, и вычислите производную. Тогда пусть вместо этого dy=0 и повторите расчет. Наконец, вставьте f(z)=u(x,y)+iv(x,y). Тогда мы получаем:

 f'(z) = u'(x)+iv'(x) (3)
 

и

 f'(z) = -iu'(y)+v'(y). (4)
 

Когда мы приравниваем действительную и мнимую части, мы получаем уравнения Коши-Римана. Наш результат состоит в том, что если f(z) дифференцируема в точке z, то они должны выполняться. Мы также показали, что если f'(z) существует, то четыре частные производные в (3) и (4) должны существовать.

Предполагая, что f'(z) существует, и записывая f'(z)=1/2[f'(z)+f'(z)], из (3) и (4) мы имеем:

 f'(z) = 1/2[u'(x)+iv'(x)-iu'(y)+v'(y)]
      = 1/2[и'(х)+iv'(х)-i(и'(у)+iv'(у))]
      = 1/2[f'(x)-if'(y)]. 
 

Мы показали, что если предположить, что f'(z) существует, то будут удовлетворены уравнения Коши-Римана и (2) будет выполнено.

———————————————————

Можно показать, что если две вещественнозначные непрерывные функции u(x,y) и v(x,y) имеют непрерывные частные производные первого порядка, удовлетворяющие уравнениям Коши-Римана в некоторой области D, то комплексная функция f(z)=u+iv является аналитической (определенной и дифференцируемой) в D. 92 равно z*, а производная Виртингера от z* равна нулю.

Исчисление Виртингера описано здесь:

https://onlinelibrary.wiley.com/doi/pdf/10.1002/0471439002.app1

Производная сложной функции с использованием разностного частного

Задавать вопрос

спросил 5 лет, 2 месяца назад

Изменено 5 лет, 2 месяца назад

Просмотрено 400 раз

$\begingroup$

Учитывая комплекснозначную функцию $$\begin{align*}f: \mathbb C&\to \mathbb C\\z&\mapsto z\mathrm{Re}(z),\end{align*}$$ I хотите найти точки, в которых $f$ дифференцируема, используя только частное разности, и вычислить производную в этих точках.

Производная $$f'(z)=\lim\limits_{h\to0}\frac{(z+h)\mathrm{Re}(z+h)-z\mathrm{Re}(z) {h}, $$, но как мне продолжить дальше? В частности, что означает для комплексного числа, такого как $h$, стремиться к $0$ (в отличие от действительной оси, есть много способов приблизиться к $0$) и как мне справиться с этим при вычислении предела?

Я видел трюк, использующий полярные координаты и просто стремящийся к $r$, вещественному числу, к $0$, но я думаю, что это можно использовать только в том случае, если я уже знаю точку, в которой я хочу вычислить производную.

• комплексный анализ
• голоморфные функции

$\endgroup$

4

$\begingroup$

\начать{выравнивание} f'(z) &=\lim\limits_{h\to0}\frac{(z+h){\bf Re}(z+h)-z{\bf Re}(z)}{h}\\ &=\dfrac12\lim_{h\to0}\frac{h(2z+h)+h\bar{z}+z\bar{h}+h\bar{h}}{h}\\ &=\dfrac12\lim_{h\to0}\left(2z+h+\bar{z}+\bar{h}+z\frac{\bar{h}}{h}\right)\\ &=z+\dfrac12\bar{z}+\dfrac12z\lim_{h\to0}\frac{\bar{h}}{h} \end{выравнивание} этот предел существует только при $z=0$.