По математике пределы: Как решать пределы для чайников, примеры решений

Содержание

Высшая математика пределы. Вычисления пределов

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Высшая математика Пределы. Вычисления пределов

Муниципальная общеобразовательная средняя школа №2
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
ПРЕДЕЛЫ. ВЫЧИСЛЕНИЯ
ПРЕДЕЛОВ
900igr.n
et

2. Оглавление

ОГЛАВЛЕНИЕ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Титульная страница
Оглавление
Вступление
Предел переменной величины
Основные свойства пределов
Предел функции в точке
Понятие о непрерывности функции
Предел функции на бесконечности
Замечательные пределы
Заключение

3.

Предел переменной величиныПРЕДЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ
ВЕЛИЧИНЫ
Предел – одно из основных понятий
математического анализа. Понятие предела
использовалось еще Ньютоном во второй
половине XVII века и математиками XVIII века,
такими как Эйлер и Лагранж, однако они
понимали предел интуитивно. Первые строгие
определения предела дали Больцано в 1816 году
и Коши в 1821 году.

4. 1. Предел переменной величины

1. ПРЕДЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ
ВЕЛИЧИНЫ
Пусть переменная величина x в процессе своего
изменения неограниченно приближается к числу 5,
принимая при этом следующие значения: 4,9;
4,99;4,999;…или 5,1; 5,01; 5,001;… В этих случаях
модуль разности стремится к нулю: = 0,1; 0,01; 0,001;…
Число 5 в приведенном примере называют
пределом переменной величины x и пишут lim x = 5.
Определение 1. Постоянная величина a называется
пределом переменной x, если модуль разности при
изменении x становится и остается меньше любого как
угодно малого положительного числа e.

5. 2. Основные свойства пределов

2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
ПРЕДЕЛОВ
1. Предел алгебраической суммы конченного числа переменных величин равен
алгебраической сумме пределов слагаемых:
lim(x + y + … + t) = lim x + lim y + … + lim t.
2. Предел произведения конечного числа переменных величин равен
произведению их пределов:
lim(x·y…t) = lim x · lim y…lim t.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
lim(cx) = lim c · lim x = c lim x.
Например, lim(5x + 3) = lim 5x + lim 3 = 5 lim x + 3.
4. Предел отношения двух переменных величин равен отношению пределов, если
предел знаменателя не равен нулю:
lim =
lim y
5. Предел целой положительной степени переменной величины равен той же
степени предела этой же переменной:
lim = (lim x)n
Например: =
= x3 + 3
x2 = (-2)2 + 3·(-2)2 = -8 + 12 = 4
6. Если переменные x, y, z удовлетворяют неравенствам x
иx
z
y

6. 3.Предел функции в точке

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Определение 2. Число b называется пределом* функции
в точке a, если для
всех значений x, достаточно близких к a и отличных от a, значения функции
сколь угодно мало отличаются от числа b.
1.Найти:
(3×2 – 2x).
Решение. Используя последовательно свойства 1,3 и 5 предела, получим
(3×2 – 2x) =
(3×2) — (2x) = 3 x2 — 2 x = 3
— 2 x = 3 22 — 2·2 = 8

7. 4. Понятие о непрерывности функции

4. ПОНЯТИЕ О НЕПРЕРЫВНОСТИ
ФУНКЦИИ
2. Вычислить
Решение. При x = 1 дробь
определена, так как ее знаменатель отличен от нуля. Поэтому для
вычисления предела достаточно заменить аргумент его предельным значением. Тогда получим
Указанное правило вычисления пределов нельзя применять в следующих случаях:
1)Если функция при x = a не определена;
2)Если знаменатель дроби при подстановке x = a оказывается равным нулю;
3)Если числитель и знаменатель дроби при подстановке x = a одновременно оказывается
равным нулю или бесконечности.

В таких случаях пределы функций находят с помощью различных искусственных приемов.

8. 5. Предел функции на бесконечности

5. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ НА
БЕСКОНЕЧНОСТИ
3.Найти
Решение. При x
знаменатель х + 5 также стремится к
бесконечности, а обратная ему величина
0.
Следовательно, произведение
·3=
стремится к нулю,
если x . Итак,
=0

9. 6. Замечательные пределы

6. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ
Некоторые пределы невозможно найти теми способами, которые были изложены выше. Пусть например,
требуется найти
. Непосредственная подстановка вместо аргумента его предела дает
неопределенность вида 0/0. Невозможно также преобразовать числитель и знаменатель таким образом,
чтобы выделить общий множитель, предел которого равен нулю.
Поступим следующим образом. Возьмем круг с радиусом, равным 1, и построим центральный угол
АОВ, равный 2х радианам. Проведем хорду АВ и касательные АD и ВD к окружности в точках А и В.
Очевидно, что |AC| = |CB| = sin x, |AD| = |DB| = tg х
= 1 – Первый замечательный предел.

x
= e 2,7182…,.
– Второй замечательный предел.
Решение. Разделив числитель и знаменатель на x,получим
x=
(
)x =
=
=
x

10. 7. Вычисления пределов

7. ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ
1.
(x2 – 7x + 4) = 32 – 7·3 + 4 = — 8.
Решение. Для нахождения предела непосредственного нахождения заменим пределы функции в точке.
2.
.
Решение. Здесь пределы числителя и знаменателя при x
равным нулю. Умножим числитель и
знаменатель на выражение ,сопряженное числителю, получим
=
=
=
=
Следовательно,
=
=
=
=

11. Заключение

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данном проекте рассматривался наряду с теоретическим материалом и
практический.
В практическом применении рассмотрели всевозможные способы вычисления
пределов.
Изучение второго раздела высшей математики уже вызывает большой интерес,
так как в прошлом году рассматривали тему «Матрицы. Применение свойств матрицы к
решению систем уравнений», которая была простой, хотя бы по той причине, что
получаемый результат был контролируемым.

Здесь такого контроля нет. Изучение Разделов
высшей математики дает свой положительный результат.
Занятия по данному курсу принесли свои результаты:
— изучен большой объем теоретического и практического материала;
— выработано умение выбирать способ вычисления предела;
— отработано грамотное использование каждого способа вычисления;
— закреплено умение проектировать алгоритм задания.
Мы будем продолжать изучение разделов высшей математики. Цель ее изучения
состоит в том, что мы будем хорошо готовы к повторному изучению курса высшей
математики.

English Русский Правила

Предел функции в точке

Сегодня рассмотрим подборку новых задач на нахождение предела в точке. Начнем с простых примеров на подстановку значения, чаще всего рассматривают в 11 классе школьной программы по математике.
Далее остановимся и проанализируем пределы с неопределенностями, методы раскрытия неопределенностей, применением первой и второй важных границ и их последствий.
Приведенные примеры полностью не охватят всей темы, но на многие вопросы внесут ясность.

Пример 46. Предел функции в точке определяем подстановкой

Так как знаменатель дроби не превращается в ноль то такую задача под силу решить каждому выпускнику школы.

Пример 47. Имеем долю полиномов, кроме того знаменатель не содержит особенности (не равен нулю).
Еще одна задача, фактически за 11 класс.

Пример 48. Методом подстановки определяем предел функции
Из условия следует, что граница функции равна двум, если переменная стремится к бесконечности.

Пример 49.Прямая подстановка x=2 показывает, что граница в точке имеет особенность {0/0}. Это означает, что и числитель и знаменатель скрыто содержат (x-2).
Выполняем разложение полиномов на простые множители, а потом сокращаем дробь на указанный множитель (x-2).
Предел дроби, которая останется, находим методом подстановки.

Пример 50.Предел функции в точке имеет особенность типа {0/0}.
Избавляемся разницы корней методом умножения на сумму корней (сопряженное выражение), полином раскладываем.
Далее, упростив функцию, находим значение предела в единице.

Пример 51.Рассмотрим задачу на сложные пределы.
До сих пор от иррациональности избавлялись методом умножения на сопряженное выражение.
Здесь же, в знаменателе, имеем корень кубический, поэтому нужно использовать формулу разности кубов.
Все остальные преобразования повторяются от условия к условию.
Полином раскладываем на простые множители,
далее сокращаем на множитель, который вносит особенность (0)
и подстановкой x=-3 находим предел функции в точке

Пример 52.Особенность вида {0/0} раскрываем с помощью первого замечательного предела и его последствий.
Сначала разницу синусов распишем согласно тригонометрической формуле
sin(7x)-sin(3x)=2sin(2x)cos(5x).
Далее числитель и знаменатель дроби дополняем выражениями, которые необходимы для выделения важных пределов.
Переходим к произведению пределов и оцениваем вложение каждого множителя.

Здесь использовали первый замечательный предел:

и следствия из него

где a и b – произвольные числа.

Пример 53.Чтобы раскрыть неопределенность при переменной стремящейся к нулю, используем второй замечательный предел.
Чтобы выделить экспоненту, приводим показатель к 2-му замечательному пределу, а все остальное, что останется в предельном переходе, даст степень експоненты.

Здесь использовали следствие из второго замечатеьного предела:

Вычислить предел функции в точке:

Пример 54. Нужно найти предел функции в точке. Простая подстановка значения показывает, что имеем деление нулей.
Для ее раскрытия разложим на простые множители полиномы и выполним сокращение на множитель, который вносит особенность (х+2).
Однако числитель дальше содержит (x+2), а это значит, что при x=-2 граница равна нулю.

Пример 55.Имеем дробную функцию — в числителе разница корней, в знаменателе — поленом.
Прямая подстановка дает особенность вида {0/0}.
Переменная стремится к минус единице, а это значит, что следует искать и избавляться особенности вида (x+1).
Для этого избавляемся иррациональности умножением на сумму корней, а квадратичную функцию раскладываем на простые множители.
После всех сокращений методом подстановки определяем предел функции в точке

Пример 56.С виду подлимитной функции можно ошибочно заключить, что нужно применить первый предел, но вычисления показали, что все гораздо проще.
Сначала распишем сумму синусов в знаменателе sin(2x)+sin(6x)=2sin(4x)*cos(2x).
Далее расписываем tg(2x), и синус двойного угла sin(4x)=2sin(2x)cos (2x).
Синусы упрощаем и методом подстановки вычисляем предел дроби

Пример 57.Задача на умение использовать вторую замечательный предел:
суть заключается в том, что следует выделить ту часть, которая дает экспоненту.
Остальное, что останется в показателе в предельном переходе даст степень экспоненты.

На этом разбор задач на пределы функций и последовательностей не заканчивается.
В настоящее время подготовлено более 150 готовых ответов к пределам функций, поэтому изучайте и делитесь ссылками на материалы с однокласниками.

2: Пределы — Математика LibreTexts

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы: 2482

Гилберт Странг и Эдвин «Джед» Герман
OpenStax

Идея предела является центральной для всего исчисления. Мы начнем эту главу с изучения того, почему ограничения так важны. Затем мы переходим к описанию того, как найти предел функции в заданной точке. Не все функции имеют пределы во всех точках, и мы обсудим, что это означает и как мы можем определить, имеет ли функция предел при определенном значении. Эта глава написана в неформальной, интуитивной манере, но этого не всегда достаточно, если нам нужно доказать математическое утверждение, включающее пределы. В последнем разделе этой главы представлено более точное определение предела и показано, как доказать, что функция имеет предел.

2.0: Прелюдия к ограничениям
Мы начинаем эту главу с изучения того, почему ограничения так важны. Затем мы переходим к описанию того, как найти предел функции в заданной точке. Не все функции имеют пределы во всех точках, и мы обсудим, что это означает и как мы можем определить, имеет ли функция предел при определенном значении. В последнем разделе этой главы представлено более точное определение предела и показано, как доказать, что функция имеет предел.
2.1: Предварительный обзор математического анализа
Приступая к изучению математического анализа, мы увидим, как его развитие возникло из общих решений практических задач в таких областях, как инженерная физика — например, проблема космических путешествий, поставленная в открытие главы.
Две ключевые проблемы привели к первоначальной формулировке исчисления: (1) проблема касательной, или как определить наклон линии, касательной к кривой в точке; и (2) проблема площади, или как определить площадь под кривой.
- 2.1E: Упражнения к разделу 2.1
2.2: Предел функции
Для оценки предела можно использовать таблицу значений или график. Если предел функции в точке не существует, все же возможно, что пределы слева и справа в этой точке могут существовать. Если пределы функции слева и справа существуют и равны, то пределом функции является это общее значение. Мы можем использовать пределы для описания бесконечного поведения функции в точке.
- 2.2E: Упражнения к Разделу 2.2
2.3: Законы пределов
В этом разделе мы установим законы для расчета пределов и узнаем, как применять эти законы. В студенческом проекте в конце этого раздела у вас есть возможность применить эти предельные законы, чтобы вывести формулу площади круга, адаптировав метод, разработанный греческим математиком Архимедом. Начнем с переформулировки двух полезных предельных результатов из предыдущего раздела. Эти два результата вместе с предельными законами служат основой для вычисления многих пределов.
- 2.3E: Упражнения к разделу 2.3
2.4: Непрерывность
Чтобы функция была непрерывной в точке, она должна быть определена в этой точке, ее предел должен существовать в этой точке и значение функции в этой точке должно равняться значению предела в этой точке. Разрывы могут быть классифицированы как устранимые, скачкообразные или бесконечные. Функция непрерывна на открытом отрезке, если она непрерывна в каждой точке отрезка. Он непрерывен на отрезке, если он непрерывен в каждой его внутренней точке и непрерывен в своих концах.
- 2.4E: Упражнения к разделу 2.4
2.5: Точное определение предела
В этом разделе мы преобразуем эту интуитивную идею точного предела в формальное определение, используя математический язык. Формальное определение предела, возможно, является одним из самых сложных определений, с которыми вы столкнетесь в начале изучения исчисления; тем не менее, это стоит любых усилий, которые вы приложите, чтобы примирить его с вашим интуитивным представлением о пределе. Понимание этого определения является ключом к лучшему пониманию исчисления. 9n\) имеет бесконечные пределы в точке \(a\). (CC BY; OpenStax)

Эта страница под названием 2: Ограничения распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Гилбертом Стрэнгом и Эдвином «Джедом» Херманом (OpenStax) через исходный контент, который был отредактирован для стиль и стандарты платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.
1. Наверх
- Была ли эта статья полезной?
1. Тип изделия
  Глава
  Автор
  ОпенСтакс
  
  Лицензия
  CC BY-NC-SA
  Версия лицензии
  4,0
  Программа OER или Publisher
  ОпенСтакс
  Показать страницу TOC
  нет
2. Теги
  автор @ Эдвин «Джед» Герман
  автор@Гилберт Странг
  источник@https://openstax. org/details/books/calculus-volume-1
список общих ограничений
- •
- •
  Для любых действительных чисел a и n limx→a⁡xn=an (доказано здесь (http://planetmath.org/ContinuityOfNaturalPower) для n положительное целое число)
- •
  limx→0⁡sin⁡xx=1 (доказано здесь (http://planetmath.org/LimitOfDisplaystyleFracsinXxAsXApproaches0))
- •
  limx→0⁡1-cos⁡xx=0 (доказано здесь (http://planetmath.org/LimitOfDisplaystyleFrac1CosXxAsXApproaches0))
- •
  limx→0⁡arcsin⁡xx=1 (доказано здесь (http://planetmath.org/LimitExamples))
- •
  limx→0⁡ex-1x=1 (доказано здесь (http://planetmath.org/DerivativeOfExponentialFunction))
- •
  Для a>0, limx→0⁡ax-1x=ln⁡a (доказано здесь (http://planetmath.org/LimitOfDisplaystyleFracax1xAsXApproaches0)).
- •
  Для b>1 и любого действительного числа limx→∞⁡xabx=0 (доказано здесь (http://planetmath. org/GrowthOfExponentialFunction)).
- •
  limx→0+⁡xx=1 (доказано здесь (http://planetmath.org/FunctionXx))
- •
  limx→0+⁡x⁢ln⁡x=0 (доказано здесь (http://planetmath.org/GrowthOfExponentialFunction))
- •
  limx→∞⁡ln⁡xx=0 (доказано здесь (http://planetmath.org/GrowthOfExponentialFunction))
- •
  limx→∞⁡x1x=1 (доказано здесь (http://planetmath.org/GrowthOfExponentialFunction))
- •
  limx→±∞⁡(1+1x)x=e
- •
  limx→0⁡(1+x)1x=e
- •
  limx→0⁡(1+sin⁡x)1x=e (степень e, правило Лопиталя (http://planetmath.org/LHpitalsRule))
- •
  limx→∞⁡(x-x2-a2)=0 (доказано здесь (http://planetmath.org/Hyperbola))
- •
  Для a>0 и n — положительное целое число, limx→a⁡x-axn-an=1n⁢an-1.
- •
  limx→0⁡tan⁡x-sin⁡xx3=12 (по правилу Лопиталя (http://planetmath.org/LHpitalsRule))
- •
  Для q>0 limx→∞⁡(log⁡x)pxq=0
- •
  tan⁡(x+π2)=limξ→π2⁡tan⁡x+tan⁡ξ1-tan⁡x⁢tan⁡ξ=limξ→π2⁡sec2⁡ξ-tan⁡x⁢sec2⁡ξ=-кроватка⁡x (по правилу Лопиталя (http://planetmath.
  No related posts.